notação vetorial

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slide 1 Objetivos da aula Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro. Vetores de força

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Page 1: Notação Vetorial

slide 1

Objetivos da aula

� Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentesusando a lei do paralelogramo.

� Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesianoe explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.

� Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre doisvetores ou a projeção de um vetor sobre outro.

Vetores de força

Page 2: Notação Vetorial

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Escalares e vetores

Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa quepode ser completamente especificada por sua intensidade.

Exemplos de quantidades escalares:

� Comprimento

� Massa

� Tempo

Page 3: Notação Vetorial

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Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade

e uma direção para sua completa descrição.

Exemplos de vetores:

� Força

� Posição

� Momento

Escalares e vetores

Page 4: Notação Vetorial

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Operações vetoriais

Multiplicação por um escalar

Page 5: Notação Vetorial

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Adição de vetores

Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da

adição.

Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:

Operações vetoriais

Page 6: Notação Vetorial

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Adição de vetores

No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, alei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalarR = A + B:

Operações vetoriais

Page 7: Notação Vetorial

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Subtração de vetores

R' = A – B = A + (–B)

Operações vetoriais

Page 8: Notação Vetorial

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Determinando uma força resultante

Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.

Page 9: Notação Vetorial

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Determinando as componentes de uma força

Algumas vezes é necessário decomporuma força em duas componentes paraestudar seu efeito em duas direçõesespecíficas.

As componentes da força Fu e Fv sãoestabelecidas simplesmente unindo aorigem de F com os pontos de interseçãonos eixos u e v.

Page 10: Notação Vetorial

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Procedimento para análise

Problemas que envolvem a soma de duas forças podem serresolvidos da seguinte maneira:

Lei do paralelogramo:

� Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei doparalelogramo, dando uma força resultante FR que forma adiagonal do paralelogramo.

Page 11: Notação Vetorial

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� Se uma força F precisar ser decomposta em componentes aolongo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade daforça F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, oparalelogramo. Os lados do paralelogramo representam ascomponentes, Fu e Fv.

Procedimento para análise

Page 12: Notação Vetorial

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Trigonometria

� Redesenhe metade doparalelogramo para a adiçãotriangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.

� Por esse triângulo, aintensidade da força resultanteé determinada pela lei doscossenos, e sua direção, pelalei dos senos. As intensidadesdas duas componentes de forçasão determinadas pela lei dossenos.

Procedimento para análise

Page 13: Notação Vetorial

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Adição de um sistema de forças coplanares

Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo doseixos x e y, as componentes são chamadas de componentesretangulares.

Estas componentes podem ser representadas utilizando:

� notação escalar.

� notação de vetor cartesiano.

Page 14: Notação Vetorial

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Notação escalar

Quando as componentes formam umtriângulo retângulo, suas intensidades podemser determinadas por:

No entanto, no lugar de utilizar o ângulo θ, como otriângulo abc e o triângulo maior sombreado sãosemelhantes, o comprimento proporcional doslados fornece:

Page 15: Notação Vetorial

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Notação vetorial cartesiana

Também é possível representar as componentes x e y de uma forçaem termos de vetores cartesianos unitários i e j.

Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma

quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e

Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

Page 16: Notação Vetorial

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Resultante de forças coplanares

Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado paradeterminar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:

Page 17: Notação Vetorial

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Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada comoum vetor cartesiano, ou seja,

F1 = F1x i + F1y j

F2 = – F2x i + F2y j

F3 = F3x i – F3y j

O vetor resultante é, portanto,FR = F1 + F2 + F3

= F1x i + F1y j – F2x i + F2y j + F3x i – F3y j

= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j

= (FRx) i + (FRy) j

Resultante de forças coplanares

Page 18: Notação Vetorial

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Se for usada a notação escalar, temos então

(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x

(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y

As componentes da força resultante de qualquer número de forçascoplanares podem ser representadas simbolicamente pela somaalgébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,

Resultante de forças coplanares

Uma vez que estas componentes sãodeterminadas, elas podem seresquematizadas ao longo dos eixosx e y com seus sentidos de direçãoapropriados, e a força resultantepode ser determinada pela adiçãovetorial.

Page 19: Notação Vetorial

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Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema dePitágoras, ou seja,

Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, édeterminado através da trigonometria:

Resultante de forças coplanares

Page 20: Notação Vetorial

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Pontos importantes

� A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmentese for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças foremdecompostas ao longo dos eixos.

� A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de açãoforma com um dos eixos.

� A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode serespecificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.

� As componentes x e y da força resultante são simplesmente a somaalgébrica das componentes de todas as forças coplanares.

� A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema dePitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y,a direção é determinada por meio da trigonometria.

Page 21: Notação Vetorial

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Vetores cartesianos

As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolverproblemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se osvetores forem primeiro representados na forma de um vetorcartesiano.

Sistema de coordenadas destro

Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desdeque o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z,quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixoe direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.

Page 22: Notação Vetorial

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Componentes retangulares de um vetor 3D

Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-sedecompô-lo em componentes, como:

A = A’ + Az

e depoisA’ = Ax + Ay.

Combinando essas equações, para eliminar A', A é representadopela soma vetorial de suas três componentes retangulares,

A = Ax + Ay + Az

Page 23: Notação Vetorial

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A = Axi + Ayj + Azk

Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,

simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente emtrês dimensões.

Componentes retangulares de um vetor 3D

Page 24: Notação Vetorial

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É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele sejaexpresso sob a forma de um vetor cartesiano.

temos:

Componentes retangulares de um vetor 3D

Page 25: Notação Vetorial

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Direção de um vetor cartesiano 3D

A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z

positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A.

Page 26: Notação Vetorial

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Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A

sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção.

Direção de um vetor cartesiano 3D

Page 27: Notação Vetorial

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Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetorunitário uA na direção de A.

Direção de um vetor cartesiano 3D

Se A for expresso sob a forma de umvetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k,então para que uA tenha uma intensidadeunitária e seja adimensional, A serádividido pela sua intensidade, ou seja,

vemos que as componentes i, j, k de uA

representam os cossenos diretores de A,ou seja,uA = cos α i + cos β j + cos γ k

Page 28: Notação Vetorial

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Existe uma relação importante entre os cossenos diretores:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:

A = A uA

A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k

A = Ax i + Ay j + Az k

A direção de A também pode ser especificadausando só dois ângulos: θ e ϕ

Direção de um vetor cartesiano 3D

Page 29: Notação Vetorial

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Pontos importantes

� A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolverproblemas em três dimensões.

� A intensidade de um vetor cartesiano é dada por� A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção

coordenados α, β, γ que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos,respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/Arepresentam os cossenos diretores α, β, γ. Apenas dois dos ângulos α, β,γ precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação:cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

� Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulosθ e ϕ. Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas pordecomposição vetorial usando trigonometria.

� Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (quese interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetorcartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças dosistema.

Page 30: Notação Vetorial

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Vetor posição

� Coordenadas x, y, z

As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O, medindo-se xA

= +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e,finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desdeO até B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).

Page 31: Notação Vetorial

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Vetor posição

Se r estende-se da origem de coordenadas O até o ponto P (x, y, z),

então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:

Page 32: Notação Vetorial

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Observe como a adição vetorial das três componentes produz o vetorr.

Vetor posição

Page 33: Notação Vetorial

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Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de umponto A para um ponto B no espaço. Também podemos obter essascomponentes diretamente.

Vetor posição

Page 34: Notação Vetorial

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Produto escalar

O produto escalar dos vetores A e B, escrito A · B e lido ‘A escalarB’, é definido como o produto das intensidades de A e B e docosseno do ângulo θ entre eles. Expresso na forma de equação,

A · B = AB cos θ

Page 35: Notação Vetorial

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Propriedades do produto escalar

1. Lei comutativa:

A · B = B · A

2. Multiplicação por escalar:

a (A · B) = (aA) · B = A · (aB)

3. Lei distributiva:

A · (B + D) = (A · B) + (A · D)

Page 36: Notação Vetorial

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Formulação cartesiana do produto escalar

Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e Bexpressos na forma de um vetor cartesiano, teremos:

A · B = (Axi + Ayj + Azk) · (Bxi + Byj + Bzk)= AxBx(i · i) + AxBy(i · j) + AxBz(i · k)+ AyBx(j · i) + AyBy(j · j) + AyBz(j · k)

+ AzBx(k · i) + AzBy(k · j) + AzBz(k · k)

Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final:

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

Page 37: Notação Vetorial

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Aplicações

O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.

� O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.

� As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha.

Aa = A cos θ = A · ua

Page 38: Notação Vetorial

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Pontos importantes

� O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre doisvetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.

� Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos,o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivascomponentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente osresultados, ou seja, A · B = AxBx + AyBy + AzBz.

� Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origensdos vetores A e B é θ = cos–1 (A·B/AB).

� A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha, cujadireção é especificada pelo vetor unitário ua, é determinada peloproduto escalar Aa = A · ua.

Exemplos e exercícios

Page 39: Notação Vetorial

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Exemplo 1Considerando que θ = 600 e que T = 5 kN determine a

magnitude da força resultante e sua direção

Page 40: Notação Vetorial

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Exemplo 1

Page 41: Notação Vetorial

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Exemplo 2Decomponha as forças F1 e F2 nas direções u e

v. determine os valores destas componentes.

Para F1 teremos:

Page 42: Notação Vetorial

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Exemplo 2Para F2:

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resolver1. Três cabos puxam uma tubulação de forma a criar uma

força resultante de 1800 N. Se dois cabos estão submetidos a

forças conhecidas, como indicado na figura, determine o

ângulo θ do terceiro cabo de forma que a magnitude da força

F seja mínima. Todas as forças se encontram no plano x-y.

Qual é o valor da F mínima?

2. Se a magnitude da força resultante no suporte da figura é

de 600 N e sua direção medida a partir do eixo positivo x na

direção horária é 30o, qual a magnitude da F1 e qual é sua

direção φ?

3. Determine a magnitude e a direção (os ângulos

coordenados ou diretores) da força resultante no suporte da

figura.

Page 44: Notação Vetorial

slide 44

resolver4. Se a força resultante atuando no suporte é FR = {-300 i +

650 j + 250 k} determine a magnitude e os ângulos diretores

de F

5. O candelabro é suportado por três braços com correntes

congruentes no ponto O. se a força resultante em O e de 650

N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a força

em cada um dos três braços.

6. Uma torre é mantida no seu lugar por três

cabos. Se a força que atua em cada cabo é

indicada, determine os ângulos diretores α, β,

γ da força resultante. Considere x = 20 m e y =

15 m

Page 45: Notação Vetorial

slide 45

resolver7. Determine a magnitude da componente da força FAB atuando na direção do eixo z.