Resumo 03: Funções Reais I 1

PRODUTO CARTESIANO

I. Definição

A x B é o conjunto formado por todos os

pares ordenados (x, y) onde x A e y B.

𝑨 × 𝑩 = {(𝒙, 𝒚)|𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ 𝑩}

Exemplo:

Se A = {1, 2} e B = {3, 4}, então:

A x B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

II. Propriedades

a) Se A B, então: A x B B x A. b) N(A x B) = N(A).N(B). c) A2 = A x A.

RELAÇÕES BINÁRIAS

I. Definição Dados dois conjuntos A e B, diremos que um conjunto R é uma relação binária de A em B, se, e somente se, R é um subconjunto de A x B.

𝑹 é 𝒓𝒆𝒍𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝑨 𝒆𝒎 𝑩 ↔ 𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑩 Exemplo:

Seja: A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6, 7}

{𝑅 = {(0, 3), (1, 5), (2, 7)}𝑃𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑒𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 à 𝑙𝑒𝑖 𝑦 = 2𝑥 + 3

II. Representação

a) LISTAGEM

Exemplo:

R = {(0, 3), (1, 5), (2, 7)}

b) FORMA SIMBÓLICA

Exemplo:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵| 𝑦 = 2𝑥 + 3}

III. Domínio e Imagem

O DOMÍNIO de uma relação binária é o

conjunto formado por todos os valores de x, dos pares ordenados, que pertencem à relação.

A IMAGEM de uma relação binária é o

conjunto formado por todos os valores de y, dos pares ordenados, que pertencem à relação.

Exemplo:

Sendo R uma relação de A em B, onde:

R = {(0,2), (1, 5), (2, 7)}

O domínio e a imagem de R serão representados, respectivamente, por:

D(R) = {0, 1, 2}

Im(R) = {2, 5, 7}

IV. Relação Inversa

A inversa de uma relação R, representada por R-1, é obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada par ordenado pertencente a R.

(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹 ↔ (𝒚, 𝒙) ∈ 𝑹−𝟏

DETERMINAÇÃO DA INVERSA

a) EM FORMA DE PARES ORDENADOS:

Exemplo:

{𝑅 = {(0, 3), (1, 5), (2, 7)}

𝑅−1 = {3, 0), (5, 1), (7, 2)}

b) EM FORMA SIMBÓLICA:

Exemplo:

𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵| 𝑦 = 2𝑥 + 3}

ETAPAS

1) Trocar x e y de posição:

x = 2y + 3

2) Isolar y:

2y = x - 3

𝑦 =𝑥−3

2

Então:

𝑅−1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 × 𝐴| 𝑦 =𝑥−3

2}

FUNÇÕES (ESTUDO GERAL)

I. Definição

É toda relação binária onde cada elemento do domínio se associa a um único elemento da imagem. Exemplos:

É função

Não é função

Não é função

II. Classificação

a) FUNÇÃO INJETORA:

Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas.

Exemplo:

(x1 x2 → y1 y2)

b) FUNÇÃO SOBREJETORA:

Não sobram elementos no conjunto de chegada.

Exemplo:

(Imagem = Contradomínio)

c) FUNÇÃO BIJETORA:

A função é INJETORA e SOBREJETORA ao mesmo tempo.

Exemplo:

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Resumo 03: Funções Reais I 2

d) FUNÇÃO CRESCENTE:

Exemplo:

(Se x2 > x1 então y2 > y1)

e) FUNÇÃO DECRESCENTE:

Exemplo:

(Se x2 > x1 então y2 < y1)

f) FUNÇÃO COMPOSTA:

Exemplo 1:

{𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 3𝑥

f(g(x)) = 2.g(x) + 1

f(g(x)) = 2.(3x) + 1

f(g(x)) = 6x + 1.

Exemplo 2:

{𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 − 5

𝑓(𝑥) = 2𝑥

f(g(x)) = 2.g(x)

2.g(x) = 3x – 5

𝑔(𝑥) =3𝑥−5

2

Exemplo 3:

{𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 − 3

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

f(x + 1) = 2x - 3

f(x) = 2.(x - 1) - 3

f(x) = 2x - 5.

IMPORTANTE:

f(g(x)) = fog(x) = (fog)(x)

g) FUNÇÃO INVERSA:

Observe relação inversa.

FUNÇÃO AFIM

I. Definição

Denomina-se FUNÇÃO AFIM, ou função

polinomial do 1o grau, a toda função de R em R definida por:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎

Com: {𝑎: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟.𝑏: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟.

Exemplo: f(x) = -3x + 5 {𝑎 = −3.𝑏 = 5.

II. Observações a) Para uma função do tipo: f(x) = ax + b,

temos que: {𝐷(𝑓) = 𝑅.

𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅.

b) Uma função do 1o grau é representada

graficamente por uma reta.

c) {𝑎 > 0 → 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒.𝑎 < 0 → 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒.

d) (0, b): ponto de intersecção da reta com o

eixo Oy. e) Cálculo do coeficiente angular, a:

𝒂 =∆𝒚

∆𝒙

III. Inequações

Exemplo 1:

3𝑥−2

3+

2𝑥+1

2< 5

6𝑥−4+6𝑥+3

6<

30

6∴

12𝑥 − 1 < 30

12𝑥 < 31 → 𝑥 <31

12.

Exemplo 2: (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) > 0

Estudando o sinal das parcelas, individualmente:

FUNÇÃO QUADRÁTICA

I. Definição

Denomina-se FUNÇÃO QUADRÁTICA, ou

função polinomial do 2o grau, a toda função de R em R definida por:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎

Exemplo: f(x) = x2 – 2x – 3 {𝑎 = 1

𝑏 = −2𝑐 = −3

II. Estudo do gráfico a) GRÁFICO: Parábola.

b) {𝑎 > 0 → 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎.𝑎 < 0 → 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜.

c) INTERSEÇÕES COM O EIXO Ox:

y = 0 ax2 + bx + c = 0

Raízes: {𝑥 =−𝑏±√∆

2𝑎, 𝑐𝑜𝑚:

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

Importante:{𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =

−𝒃

𝒂

𝒙𝟏 ∙ 𝒙𝟐 =𝒄

𝒂

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Resumo 03: Funções Reais I 3

𝒇(𝒙) = |𝒙|

Onde: |𝒙| = {𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎

d) INTERSEÇÃO COM O EIXO Oy:

x = 0 y = c. e) VÉRTICE DA PARÁBOLA:

V(xV, yV), onde:

𝑥𝑉 = −𝑏

2𝑎 𝑒 𝑦𝑉 = −

∆

4𝑎

Atenção: {𝑎 > 0 → 𝑉 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜.𝑎 < 0 → 𝑉 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜.

f) DOMÍNIO E IMAGEM:

{

𝐷 = 𝑅.𝐼𝑚 = [𝑦𝑉 , +∞[, 𝑠𝑒 𝑎 > 0.𝐼𝑚 =] − ∞, 𝑦𝑣], 𝑠𝑒 𝑎 < 0.

III. Inequações A resolução de inequações do 2o grau pode ser feita com o auxílio do gráfico da função do 2o grau.

Exemplo:

x2 - 5x + 6 < 0

Raízes: {𝑥1 = 2𝑥2 = 3

(+) (+)

2 (-) 3 S = ]2, 3[.

FUNÇÃO MODULAR

I. Módulo de um número real

Denomina-se módulo de um número real x, e representa-se por |x|, ao seu valor absoluto.

|𝒙| = {𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎

LEMBRE-SE QUE:

Sendo 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑒 𝑎 ∈ 𝑅+

∗ , decorrem da definição, as seguintes propriedades: a) |𝑥| ≥ 0.

b) |𝑥| = |𝑦| ⇒ {𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢𝑥 = −𝑦 .

c) √𝑥2 = |𝑥|.

d) |𝑥| = 𝑎 ⇒ {𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢𝑥 = −𝑎

II. Inequações modulares

Sabe-se que se |x| = a, com 𝑎 ≥ 0, então 𝒙 = 𝒂 𝑜𝑢 𝒙 = − 𝒂.

d: distância à origem. Podemos dizer que |x| é a distância, d, do número x à origem, logo: a) |𝑥| < 𝑎 → 𝑑 < 𝑎.

|𝒙| < 𝒂 ⇒ −𝒂 < 𝒙 < 𝒂

Exemplo:

|2x - 1| ≤ 3 ⇒ {−3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3−2 ≤ 2𝑥 ≤ 4−1 ≤ 𝑥 ≤ 2

b) |𝑥| > 𝑎 → 𝑑 > 𝑎.

|𝒙| > 𝒂 ⇒ 𝒙 < −𝒂 𝒐𝒖 𝒙 > 𝒂

Exemplo:

|x - 3| > 5 {𝑥 − 3 < −5 𝑜𝑢 𝑥 − 3 > 5𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 8.

III. Função Modular

Denomina-se FUNÇÃO MODULAR, a toda

função de R em R definida por:

Anotações

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