MATRIZES

Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas.Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros.

M = à M é uma matriz 2 x 3.

Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde “i” refere-se à linha e “j” refere-se à coluna na qual o elemento se encaixa. Na matriz, temos :

a11 = 4 a12 = 9 a13 = 10a21 = 8 a22 = 6 a23 = 5

DEFINIÇÃO

ELEMENTOS

Exercício1. Determine a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e aij = i – j, se i ≠ j.

Exercício2. Multiplique os elementos da diagonal principal da matriz M quadrada de ordem 3 x 3 onde aij =

TIPOS DE MATRIZES

Exercício3. Determine as matrizes oposta e transposta das matrizes abaixo:a)

Exercício

b)

Exercício

c)

Exercício4. Calcule x e y para que a matriz seja simétrica.

Exercício5. Seja A a matriz A = (aij)2x3 , cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:

Exercício6. Sendo as matrizes A = (aij) e B=(bij),quadradas de ordem 2 com aij = i² - j² e bij = -i² + j² , o valor de A – B é :

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

Igualdade de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B, o mesmo ocorre para a subtração.A única necessidade é que as matrizes sejam do mesmo tamanho nxm.

Adição e subtração de matrizes

Exemplo ResolvidoDadas as matrizes A e B determine A+B.

Exercício7. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A = e B =

Exercício8.Dadas as matrizes A = , B = e C = determine a matriz D resultante da operação A + B – C.

üMultiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz.

üMultiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos.

Exemplo Resolvido

ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se e somente se, o número de colunas da matriz A for igualao numero de linhas da matriz B. Assim:

ATENÇÃO

O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

9. Calcule o produto de A = por B =

10. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

11. Sobre as sentenças abaixo:I. O produto das matrizes A 3x2 .B 2x1 é uma matriz 3 x 1.II. O produto das matrizes A 5x4 .B 5x2 é uma matriz 4 x 2III. O produto das matrizes A 2x3 .B 3x2 é uma matriz quadrada 2x2.É verdade que:a) Somente I é falsa;b) Somente II é falsa;c) Somente III é falsa;d) Somente I e III são falsas;e) São todas falsas.

12. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira é:a) 1 b) 2 c) 0 d) -2 e) -1

13. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que C =

14. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i² – j2 e bij = -i² + j², o valor de A - B é

Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra matriz denotada A-1, tal que A. A-1 = I onde I, é a matriz identidade.

DEFINIÇÃO

MATRIZ INVERSA

Exemplo Resolvido

Se queremos descobrir a matriz inversa da matriz A representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes. Assim:A = e A-1 =

MÉTODO PRÁTICOÉ necessário calcular o determinante da matriz (caso o determinante de igual a zero, não existe matriz inversa para ela). Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.

MÉTODO PP-SS :Inverte a POSIÇÃO da PRINCIPAL e muda o SINAL da SECUNDÁRIA

15. Determine a inversa da matriz A =

16. Determine o valor de x que garante que a matriztem inversa.

17. Caso exista, encontre a inversa da matriz

18. Sejam as matrizes

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:a) 3/2b) 2/3c) 1/2d) 3/4e) 1/4

19. Multiplicando-se por

obtém-se a matriz .Então o valor de x é:a) -1b) 0c) 1d) 2e)3