Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

Orientador: Giovani Schmidt | Bolsista: Raquel Conceição da Silva

PLANO DE AULA – MATRIZES

1. IDENTIFICAÇÃO

Escola:

Município:

Disciplina: Ano: 2º Ano Ensino Médio

Professor:

Tempo estimado:

2. TEMA: Matrizes

2.1 Subtema: Matriz, definição, diagonais, elementos, ordem, classificações, igualdade

entre matrizes, multiplicação de matrizes e propriedades.

3 JUSTIFICATIVA

Nas situações cotidianamente vivenciadas pelos alunos, a existência de uma

matriz é frequente porem nem sempre de forma clara. Segundo Jefferson Silva (2010).

As matrizes têm uma importância muito significativa no campo das aplicações em

Matemática, especialmente na Álgebra Linear e Computação Gráfica. Também são muito

utilizadas na organização de dados, como a tabela de um campeonato, calendário, ficha

de aposta de loteria e até a tela do computador que você observa agora é formada por

pixels gerado por uma matriz.

Por isso a importância do estudo no ensino médio. Além de desenvolver o raciocínio,

através da compreensão dos conceitos e dos procedimentos, o fato de saberem que podem

usar tais conhecimentos no dia a dia estimula o aluno a querer aprender.

4 OBJETIVOS

a) Efetuar cálculos envolvendo Multiplicação de Matriz;

b) Resolver problemas envolvendo Matriz.

5 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS: Operações Fundamentais (adição, subtração e

multiplicação), matriz identidade, matriz inversa.

6 ESTRATÉGIAS:

6.1 Recursos: Quadro, pincel, projetor, software calc, slide e computador

6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada com o uso de tecnologias digitais.

7 PROCEDIMENTOS

Para auxiliar na representação de informações ou facilitar cálculos complexos, é

comum a utilização de tabelas numéricas. Essas tabelas, compostas por linhas

(horizontais) e colunas (verticais) são chamadas de Matrizes. Elas são amplamente

utilizadas, principalmente na computação gráfica, em engenharia, física e administração.

Exemplos

Matriz de ordem 2x3: duas linhas e três colunas: [2 9 64 −6 3

]

Matriz de ordem 3x2: três linhas e duas colunas: [

12 −6

18

5

√8 7

]

Matrizes são representadas com letra maiúscula e cada elemento pela mesma letra,

porém minúscula. Acompanhada de dois índices, que representam a sua ordem.

Considerando a matrix A2x2 = [8 −36 4

] temos:

• Elemento da 1ª linha e 1ª coluna: a11 = 8 (lê-se "a um um")

• Elemento da 1ª linha e 2ª coluna: a12 = -3

• Elemento da 2ª linha e 1ª coluna: a21 = 6

• Elemento da 2ª linha e 2ª coluna: a22 = 4

Podemos, ainda, representar genericamente uma matriz A de ordem mxn:

Sejam os elementos {a11 a22 ... aij ... amn}

pertencentes a Diagonal Principal

E os elementos {am1 ... a13 ... a2j ... a1n}

pertencentes a Diagonal Secundária

Exemplo 1: Escreva a Matriz A = (𝑎𝑖𝑗)1𝑥3 tal

que 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗

Resolução: A1x3 = [a11 a12 a13 ]

a11 = 3 . 1 – 2 . 1 = 3 – 2 = 1

a12 = 3 . 1 – 2 . 2 = 3 – 4 = -1

a13 = 3 . 1 – 2 . 3 = 3 – 6 = -3

A =

Logo: A1x3 = [1 −1 −3]

Exemplo 2: Escreva a matriz

Seja a matriz B = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2 tal que 𝑏𝑖𝑗 = (−1)𝑗 , 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗

𝑏𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 , 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗

Resolução:

𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3𝑥2= [

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22

𝑏31 𝑏32

]

Se i ≤ j : b11 = (-1)¹ = -1 b12 = (-1)² = 1 b22 = (-1)² =

1

Se i > j : b21 = 2 . 2 + 1 = 5 b31 = 2 . 3 + 1 = 7 b32 = 2.3+2

=8

Portanto 𝐁3𝑥2 = [−1 15 17 8

]

Exercícios de fixação

1) Escreva a ordem de cada matriz.

a) [2 1

−5 9] Ordem 2x2 ou apenas ordem 2

b) (11 0 −3−8 0 1√8 ∜9 8

7 1/8 9

−7/5 2 6−4 5 13

) Ordem 3x6

c)

[ 6/5 89 17 −31/6 12 03 0 ]

Ordem 5x2

2) Observe a tabela e resolva as questões.

Taxa de analfabetismo funcional (pessoas com 15 anos de idade ou mais) - 2009

Região Homens Mulheres

Norte 25,1 21,1

Nordeste 33,7 28,2

Centro-Oeste 19,0 17,9

Sudeste 14,5 16,0

Sul 14,9 16,1

Fonte: https://censo2010.ibge.gov.br/noticias-

censo?busca=1&id=1&idnoticia=1717&t=sis-2010-mulheres-mais-escolarizadas-sao-

maes-tarde-tem-menos-filhos&view=noticia

a ) Represente a tabela por uma matriz 5x2.

=

[ 25,1 21,133,7 28,219 17,9

14,5 1614,9 16,1

]

b) Nessa matriz, o que representa:

• a 4ª linha? Taxa de analfabetismo dos homens e mulheres do Sul

• A 1ª coluna? Taxa de analfabetismo dos homens das cinco regiões

• O elemento da 3ª linha com a 1ª coluna? Taxa de analfabetismo dos homens do

Centro-Oeste

• O a42? Taxa de analfabetismo das mulheres do Sudeste

3) Escreva as matrizes.

a ) A = (aij )2x2 , tal que aij = i – j

A = [0 −11 0

]

b) B = (bij )2x3 , tal que bij = (i + j)²

B = 4 9 169 16 25

c) C = (cij)3x2 , tal que se i = j, temos cij=i , se i≠ j temos cij = i + j

C = [1 33 24 5

]

AULA 2: TIPOS DE MATRIZES

Matriz quadrada:

É toda matriz A de ordem mxn, em que m = n, ou seja, o número de linhas é igual ao

número de colunas. Podemos simplismente chamá-la de matriz A de ordem n, indicada

por An.

Exemplos:

𝐀2 = [2 03 −9

] Matriz quadrada de ordem 2

Sendo os elementos da Diagonal Principal: {2, -9} e a Diagonal Secundária: {3, 0}

𝐁3 = [2 −9 1

0,8 9 0

4 √5 5

] Matriz quadrada de ordem 3

Sendo elementos da Diagonal Principal: {2, 9, 5} e a Diagonal Secundária: {4, 9, 1}

Matriz triangular:

É uma matriz quadrada de ordem n que os elementos acima ou abaixo da diagonal

principal são nulos.

Exemplos:

𝐀2 = [2 73 −9

] Matriz quadrada de ordem 2

Sendo os elementos da Diagonal Principal: {2, -9} e a Diagonal Secundária: {3, 7}

𝐁3 = [2 −9 1

0,8 9 0

4 √5 5

] Matriz quadrada de ordem 3

Matriz Triangular:

É uma matriz quadrada de ordem n que os elementos acima (triangular superior) ou

abaixo (triangular inferior) da diagonal principal são nulos:

Exemplo:

𝐀2 = [1 02 −5

] Matriz triangular superior de ordem 2

𝐁3 = [2 −9 18 3 30 0 4

] Matriz triangular inferior de ordem 3

Matriz diagonal:

Toda matriz quadrada em os os elementos abaixo e acima da diagonal principal são

nulos.

𝐂3 = [1 0 00 4 00 0 64

] Matriz diagonal de ordem 3

Matriz identidade:

Toda matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são 1 e os

demais são nulos. Indicada por I n .

𝐈3 = [1 0 00 1 00 0 1

] Matriz identidade de ordem 3

𝐈2 = [1 00 1

] Matriz identidade de ordem 2

Matriz nula:

Aquela que todos os elementos são igual a zero. Representada por 0mxn

𝟎2𝑥3 = [0 0 00 0 0

] Matriz Nula de ordem 2x3

Matriz linha ou coluna:

Aquela que possui somente uma linha ou coluna, respectivamente.

𝑬 = [1 7 2] 𝑭 = [356]

IGUALDADE DE MATRIZES

Dadas as matrizes A e B

𝐀 = [7 0,5 49 0 1

] 𝐁 = [14/2 1/2 √16

3² 0 1]

Temos que A e B têm a mesma ordem e elementos, sejam:

a11=b11= 14/2 = 7 a12=b12= ½ = 0,5 a13=b13= √16 = 4

a21=b21= 3² = 9 a22=b22= 0 a23=b23= 1

Assim, A = B

Se um único elemento for diferente ou não possuirem a mesma ordem as matrizes serão

diferentes.

Aula 3 – Multiplicação De Matrizes Com Material Manipulativo

Nesta etapa será abordado alguns exemplos de multiplicação de matrizes, para

isso será entregue aos estudantes fichas (conforme figura 1) afim de realizar a explanação

do conceito de multiplicação de matrizes, cada aluno recebera além das fichas alguns

milhos. Será resolvido inicialmente o Exemplo A. O exemplo A deve ser realizado com

o auxílio do professor.

As multiplicações necessárias serão realizadas sem o auxílio de calculadora e após

realizar tais cálculos será colocado o valor correspondente com unidades de milho na

posição que ocupa (conforme figura 2) na matriz para no final somar todos os milhos. Por

exemplo, usando esta estratégia o produto da primeira linha de A pela primeira coluna de

B é o número:

2 . 4 + 5 . 3 = 23

Serão colocados primeiramente 8 milhos (2 ∙ 4) na primeira linha da primeira coluna da

matriz, e 15 milhos (5.3). Para no final serem somados (23).

Outra ficha será entregue aos alunos para que realizem a multiplicação de 𝐴 por 𝐵:

Exemplo 𝑩

Multiplicação de matrizes.

O produto da matriz A = (aij) m x n pela matriz B = (bij) k x n, que se indica por AB

ou A . B, é a matriz C = (cij) m x n tal que cada elemento cij é igual ao produto da linha i de

A pela coluna j de B. (Paiva, 2004)

O software LibreOffice Calc será utilizado para realizar outros exemplos de

multiplicação.

Exemplo 1

Sejam as matrizes:

𝐴 = (2 5 8

1 4 − 3) e (

4 3 43 6 1

1 2 0) Determine 𝑨.𝑩 =

Figura 3: Ficha 3.

Figura 4: Resolução da Ficha 3.

Fonte: Autor, 2019.

Fonte: Autor, 2019.

1º passo: Insira as matrizes em qualquer célula do Calc, e identifique-as.

2º passo: Construa uma nova matriz, denominada “matriz resposta” aplicando as

propriedades de multiplicação. (nas observações encontrasse as planilhas completas, onde

poderá ser visto todos os passos da introdução das propriedades nas cédulas).

Observar-se destacando para a turma que, se A e B são matrizes, existe o produto AB se,

e somente se, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Veja os

exemplos:

a) Existe o produto: A 3 x 4 . B 4 x 5

São Iguais

b) Não existe o produto: A 2 x 3 . B 4 x 2

Diferentes

Destacar para os alunos que a matriz C, tal que C = AB, possui o mesmo número de linhas

de A e o mesmo número de colunas de B, isto é:

A m x k . B k x n = C m x n

Por exemplo:

a) A 3 x 5 . B 5 x 8 = C 3 x 8

b) A 1 x 4 . B 4 x 1 = C 1 x 1

Exemplo 2

Determinar a matriz X tal que:

(5 1

4 1) . (

9

7) = 𝑥

PROPRIEDADES

Propriedade associativa: sendo A,B e C matrizes de tipos m x n, n x k e k x p,

respectivamente, tem-se (AB)C = A(BC). A propriedade associativa nos permite

indicar o produto entre essas duas matrizes simplesmente por ABC, Isto é, sem

parênteses. (Paiva, 2004)

Exemplo 3:

Propriedade distributiva à direita: se A, B e C são matrizes do tipo m x n, m x n e

n x k, respectivamente tem-se (A + B)C = AC + BC. (Paiva, 2004)

Exemplo 4:

Propriedade distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes do tipo m x n, n x k

e n x k, respectivamente, tem-se A(B + C) = AB + AC. (Paiva, 2004)

Exemplo 5:

Sendo A uma matriz do tipo m x n, tem-se AIn = A e ImA = A. (Paiva, 2004)

Exemplo 6:

Sendo A e B matrizes do tipo m x n e n x k, respectivamente, e sendo r um número

qualquer, tem-se (rA)B = A(rB) = r(AB). (Paiva, 2004)

Exemplo 7:

Sendo A e B matrizes de tipos m x n e n x k, respectivamente, tem-se (AB)t =

BtAt. (Paiva, 2004)

Exemplo 8:

Atividade para os alunos

Com a tabela acima foi possível codificar uma frase. Para codificar essa frase

primeiramente foi trocado as letras da frase pelos números correspondentes, os números

foram colocados em forma de matriz 𝐵 com metade dos números na primeira linha e a

outra metade na segunda linhas.

𝐵 = ( 14 21 …1 4

)

A seguir foi escolhida uma matriz e chamada de matriz 𝐴.

𝐴 = (1 2 0 1

)

A seguir realizou-se a multiplica de 𝐴 por 𝐵.

𝐴 = (1 2 0 1

) . 𝐵 = ( 14 21 …1 4

)

Obtendo a matriz produto de A por B.

𝐴. 𝐵 = ( 16 29 24 41 11 40 17 29 33 37 20 1 4 5 19 5 18 6 5 12 9 0

)

Determine qual frase foi codificada?

Para resolver o problema proposto, estudaremos os conceitos de matriz inversa.

Matriz inversa:

Só existe matriz inversa de matrizes quadrada.

Uma matriz quadrada 𝐴 de ordem 𝑛 multiplicada por sua inversa será uma matriz

identidade 𝐼 de ordem n.

𝐴. 𝐴−1 = 𝐼

A seguir estão todos os passos da criptografia e descriptografia (planilhas presentes nas

observações), que foram precisos para construção e resolução dessa atividade: se for fazer

no calc coloque o passo a passo de como construiu o arquivo. Ou faz no quadro e bate

foto.

Após encontrar a matriz que deu origem a criptografia, os alunos precisam apenas trocar

os números pelas letras da tabela mostrada anteriormente, e encontraram a frase:

(nuncadesistadeserfeliz) Nunca desista de ser feliz.

Exercício para fixação:

1) Sendo as matrizes:

𝐴 = (78 − 27 6

52 15 1) , 𝐵 = (

−1 − 3−19 15 −6 21

) 𝑒 𝐶 = ( 13 12 5

−10 2 − 61).

Determine:

a) 𝑨. 𝑩 =

b) 𝑩.𝑨 =

c) 𝑨. 𝑰𝟑 =

d) 𝑰𝟐. 𝑨 =

e) 𝑩. 𝑪 =

2) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes:

𝐴 = (𝑥 5

2 1) . 𝐵 = (

2 0

1 4) = (

11 20

5 4)

O valor de x que a torna verdadeira é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Para resolução desse exercício o professor deve auxiliar os alunos a fazerem a

multiplicação das tabelas a e b, sem o termo a11 e substituir os valores das alternativas a,

b, c, d e e, até que ache o valor de a11 que chegue a solução exata da tabela rosa.

Referências

JEFFERSON SILVA, Aprendendo um pouco sobre matriz. Disponível em:

<https://profjefferson.wordpress.com/tag/matrizes-cotidiano/> Acesso em: 05 de agosto

de 2019.

PAIVA, Manoel. Matemática 1. 1. Ed. São Paulo : Moderna, 2004.

RESENDE. Tatiane de Andrade. Uma ferramenta de ensino de matrizes utilizando a

criptografia. Disponível em: < http://www.sbem-

go.com.br/anais/index.php/EnGEM/article/download/40/39> Acesso em: 24 de agosto de

2019.