Matrizes especiais

Matriz linha

Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna

matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.

Todos os Elementos são nulos

Matrizes especiais

Matriz Nula

Igual número de Linhas e Colunas

Matriz Quadrada

Matrizes especiais

Diagonal Secundáriai+j =n+1

1+4 = 4+12+3 = 4+13+2 = 4+14+1 = 4+1

Diagonal Principali=j

1=12=23=34=4

Diagonal Principal e Diagonal Secundária

Matriz Quadrada

Matrizes especiais

Matriz em que a diagonal principal é composta apenas pelo número 1 e todos os outros elementos são compostos pelo número 0

Matriz Identidade

Matrizes especiais

Matrizes especiais

A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta.

Matriz transposta

A= m x nAT= n x m

Exemplos:

Matriz Transposta

Matrizes especiais

Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta.

Matriz simétrica

Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji.

A =

AT =

Matriz simétrica

Exemplos:

Matrizes especiais

Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - AT

Matriz anti-simétrica

Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos.

A = AT = - AT =

Matriz anti-simétrica

Exemplos:

Operações envolvendo Matrizes

Igualdade de matrizes

Soma de matrizes

O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.

Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem.

Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.

Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.

Subtração de matrizes

O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais.

Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem.

Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente.

Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.

Subtração de matrizes

Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

Basta multiplicar todos os elementos da matriz pela constante

Multiplicação de uma matriz por uma constante

Subtração de matrizes

Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1.

Então E - F = E + (-F). Por exemplo.

F multiplicada por -1

Subtração de matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p.

O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de linhas da matriz à esquerda for igual ao número de colunas da matriz à direita.

O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.

Produto de duas matrizes

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

Produto de duas matrizes

Exemplo:

1) Determine X e Y de modo que se tenha:

2) Determine X,Y,Z e t de modo que se tenha:

3) Calcule:3.1 C = A+B3.2 D = A-B

4) Dadas:

Calcule: 4.1) D = A+B 4.2) E = A+C 4.3) F = A+C4.4) G = A+B+C 4.5) H = A+B-C 4.6) I = A-B-C4.7) J = (A+B) +(C-B) 4.8) k = (A+C) +(B-C)

5) Dadas:

Determine a matriz X tal que X+A = B-C

6) Determine a matriz X tal que:

7) Calcule:7.1 C = 4A7.2 D = (1/3) B7.3 E = ½ C + 2D

8)Calcule a, b,c para que:

9) Calcule: (Exercício Resolvido)

10) Calcule:

11) Calcule:

12) Calcule:

13) Calcule: 14.1 AB14.2 (AB)C

14) Resolva a Equação Matricial (Exercício Resolvido):

Solução:

15) Calcule: a, b, c d

16) Calcule: x e y

17) Calcule: X

18) Calcule A .Bt

19) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja simétrica

20) Calcule x,y e z para que a Matriz A seja anti-simétrica