material didático notas de aula · 3.3 matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com...

1

Material Didático Notas de Aula

2

I – MATRIZES

1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

240321

A é uma matriz 2 x 3;

2. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

1104

B é uma matriz 2 x2;

3.

6121

34 0

2 0 15 23

C

−−

−

= é uma matriz 4 x 3.

Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada

por colchetes, parênteses ou duas barras verticais. 2. Representação de uma matriz:

As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa a aaaa aaaa aaa

A

!"!"""

!

!

!

ou, abreviadamente, A= [ ]

n x mija , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o

elemento ocupa, ⎩⎨⎧

≤≤

≤≤

nj1mi1

.

Por exemplo, na matriz anterior, 23a é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna. Exemplo 1: Seja a matriz A= [ ]

2 x 2ija , onde ji2a ij += :

3

Genericamente, temos: 2 x 22221

1211

aaaa

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= . Utilizando a regra de formação dos elementos

dessa matriz, temos: ji2a ij +=

62)2(2a42)1(2a51)2(2a31)1(2a

22

12

21

11

=+=

=+=

=+=

=+=

Assim, A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

6543

.

3. Matrizes especiais: 3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha. Ex: ( ) 4x11374A −= . 3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.

Ex:

1x3014

B⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= .

3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n.

Ex: 2x212

7 4C ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

3x33 7 23 0

0 14

D⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

π

−

=

Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..

Exemplo:

4

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

6753035 21

A3

Descrição da matriz:

- O subscrito 3 indica a ordem da matriz; - A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6; - A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - 11a = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; - 31a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.

3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.

Notação: n x mO

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

O 3 x 2

3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1002

A 2 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

700030004

B3 .

3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.

Notação: nI onde n indica a ordem da matriz identidade.

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

I 2 ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

100010001

I3

ou : [ ]⎩⎨⎧

≠

===

ji se 0,ji se ,1

a ,aI ijij n

3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.

Notação: tA .

Exemplo: Se ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=

12103 2

A então tA =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1 02312

5

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, tA é do tipo n x m. Note que a primeira linha de

A corresponde à primeira coluna de tA e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de tA .

3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A= tA .

OBS: Se A = - tA , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.

Exemplo: Se

3x3541423132

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3x3

t

541423132

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.

Notação: - A

Exemplo: Se ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1-40 3

A então A− = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

1403

3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos.

Notação: A = B.

Exemplo: Se ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

b102

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

31c2

B e A = B, então c = 0 e b = 3

Simbolicamente: ijij baBA =⇔= para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ .

Resolver a primeira lista de exercícios

6

1ª LISTA DE Matrizes

1-) Escreva a matriz A= ( )

3x2ija , onde ija =2i+3j

2-) Escreva a matriz B= ( )3x3ijb , onde ijb =

ji

.

3-) Escreva a matriz C= ( )

1x4ijc , onde

jic 2ij += .

4-) Escreva a matriz D= ( )

3x1ijd , onde ijd = i – j.


3x4ija , onde

⎩⎨⎧

<−

≥=

jise,1jise,2

a ij


3x3ija , onde

⎩⎨⎧

≠

=+=

jise,0jise,ji

a ij


3x2ija , onde

⎩⎨⎧

<−

≥+=

jise,jijise,ji2

a ij

8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

101532102

Be3421

.

9-) Dada a matriz A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−− 4121

, determinar:

a-) a transposta de A b-) a oposta de A

10-) Dadas as matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3a21

e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3b3x

B , determinar a, b e x para que

A= tB . 11-) Determinar os valores de a e b, tais que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+

3a2b

3b1a2

12-) Determine x e y na igualdade:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

594

5yxlog

23

13-) Seja A= ( )

3x2ija , onde ija =i + j. Determine

m, n e p em B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+

5p2m1n43nm

a fim de

que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que:

.1123

yx2bayxba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

++

15-) Determine x e y, tais que:

a-) .6453

xyxlog

2

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

b-) .y2x51

05710y3x2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

7

RESPOSTAS

1-) A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

131071185

2-) B=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1312

1

23

3231

21

3-) C=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

171052

4-) D= [ ]210 −−

5-) A=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

222222122112

6-) A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

600040002

7-) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−=

165213

A

8-) trA = 4 e trB = 4

9-) a-) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

4211

At b-) –A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

4121

10-) a = 3, b = 2 e x = 1 11-) a = 1 e b = 1 12-) x = 81 e y= 3± 13-) m = -2 n = 4 e p = -3 14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y = 5± b-) x = 5

7 e y = 1511

8

4. Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A= [ ]

n x mija e B = [ ]n x mijb , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz

C = [ ]n x mijc , tal que ijijij bac += , para todo mi1 ≤≤ e todo ni1 ≤≤ .

Notação: A + B = C OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). Propriedades : A, B e C são matrizes do mesmo tipo (m x n), valem as seguintes

propriedades: 1) Associativa:

(A + B) + C = A + (B + C)

2) Comutativa

A + B = B + A

3) Elemento Neutro

A + O = O + A = A

onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto

A + (-A) = (-A) + A = O

Exemplos:

1) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

9033

27001421

2 012

7041

2) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−++

+++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 10 1145

2111 1010 13 32

2 1- 11 1 3

11 00 3 2

5. Subtração de Matrizes: Dadas as matrizes A= [ ]

n x mija e B= [ ]n x mijb , chamamos de diferença entre as matrizes A e B

a soma de A com a matriz oposta de B Notação: A - B = A + (-B) OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).

9

Exemplo:

1) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 5422

27042013

2 0 2-1

740 3

2-02 1

740 3

6. Multiplicação de um número real por uma matriz: Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz

do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x. Notação: B = x.A OBS.: Cada elemento ijb de B é tal que ijb = x ija Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais

quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1) Associativa:

x.(y.A) = (x.y).A

2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes:

x.(A+B) = x.A + x.B

3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais:

(x + y).A = x.A + y.A

4) Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja:

1.A = A

Exemplo:

1) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 03216

0.31.37.32.3

0172

.3

7. Multiplicação de matrizes:

O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais. Assim, o produto das matrizes A= [ ]

p x mija e B= [ ]n x pijb é a matriz C= [ ]

n x mijc , onde cada

elemento ijc é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.

10

OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que

ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

203461

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

437205

B . Os

elementos 2b e 4a 1313 == são elementos correspondentes. Decorrência da definição: A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B).

Assim: ( ) n x mn x pp x m B.AB e A ⇒ Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de

colunas (n) do segundo fator. Exemplos: 1) Se ( ) 5 x 35 x 22 x 3 B.AB e A ⇒ 2) Se produto existe não que B e A 3 x 21 x 4 ⇒ 3) ( ) 1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A ⇒ Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são

válidas as seguintes propriedades: 1) Associativa:

(A.B).C = A.(B.C)

2) Distributiva em relação à adição:

a) A.(B+C) = A.B + A.C b) (A+B).C = A.C + B.C

3) Elemento Neutro:

A. nI = nI .A = A

onde nI é a matriz identidade de ordem n. Atenção: Não valem as seguintes propriedades:

1) Comutativa, pois, em geral, A.B ≠ B.A 2) Sendo n x mO uma matriz nula, A.B = n x mO não implica, necessariamente, que A =

n x mO ou B = n x mO .

11

Exemplos:

1) Sendo A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1432

e B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4321

, vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados

Solução:

A.B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1432

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4321

coluna 1 e linha 1aaa

11−−= = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11


12−−= = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16


21−−= = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7


22−−= = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12

Assim:

A.B = 2 x 214

32⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ .2 x 243

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ = 2 x 2127

16114834

124924.12.43.11.44.32.23.31.2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

B.A = 2 x 243

21⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ .2 x 214

32⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ = 2 x 21322

510491662382

1.43.34.42.31.23.14.22.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++

Comparando os resultados, observamos que A.B ≠ B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não vale.

2) Seja A=3 x 2

2 x 3

402321

B e 4110 32

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

, determine:

a) A.B b) B.A Solução:

a) A.B =

3 x 33 x 2

2 x 34.43.10.42.1)2.(41.1

4.13.00.12.0 )2.(11.04.33.20.32.2 )2.(31.2

402321

. 4110 32

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−−+−

++−+

++−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

=

3 x 33 x 3132940 2

184 4

16302)8(140 00 )2(0126 04 )6(2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−−+−

++−+

++−+

12

b) B.A = 2 x 2

2 x 33 x 2 4.4)1.(0)3.(2)1.(4)0.(0)2.(2

)4.(3)1.(2)3.(1)1.(30.22.1

4110 32

402321

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−++−

++−++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

= 2 x 22 x 2 108

1711606)4(04

1223)3(02⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−−++−

++−++

Conclusão: Verificamos que A.B ≠ B.A 8. Matriz Inversa:

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz 'A , de mesma ordem, tal que A. 'A = 'A .A = nI , então 'A é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. 'A = 'A .A = nI , isto implica que 'A é a matriz inversa de A, e é indicada por 1A− ). Notação: 1A−

Exemplo: Sendo A = 2 x 212

21 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.

Solução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.

Como, para que exista inversa, é necessário que A. 'A = 'A .A = nI , vamos trabalhar em duas etapas:

−o1 Passo: Impomos a condição de que A. 'A = nI e determinamos 'A :

A. 'A = nI ⇒2 x 212

21 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−.

2 x 2dcba⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ = ⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2 x 21001

2 x 22 x 2

2 x 22 x 2

1001

d2b-ca2d2b c2a

1001

1.d2.b-c.1a.2d.2b.1 c.2a.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

++⇒

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

++⇒

A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à:

13

51a0

522a-

0c2a-

52c 25c

0c 2a-24c2a

0ca2(-2) 1c2a

__________________

=⇒=+

=+

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒=

=+

=+

⇒⎩⎨⎧

⊕↵=+−

=+

52b1

512b-

1d2b-

51d 15d

1d 2b- 04d2b

1db2

(-2) 0d2b

__________________

−=⇒=+

=+

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⇒=

=+

=+

⇒⎩⎨⎧

⊕↵=+−

=+

Assim temos:

'A =.2 x 2dc

ba⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ =

2 x 251 5

2

52

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−o2 Passo: Verificamos se 'A A = 2I :

'A .A =

2 x 251 5

2

52

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −.

2 x 21221 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

( )( ) ( )( )

2

2 x 2

2 x 22 x 2

I10

01

550

055

51

54

52

52

52

52

54

51

1.512.5

22.511.5

2

1..522.5

1 2.521.5

1

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

−+−−+=

14

Portanto temos uma matriz 'A , tal que: A. 'A = 'A .A = 2I Logo, 'A é inversa de A e pode ser representada por:

1A− =

2 x 251 5

2

52

51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −.

Resolver a segunda lista de exercícios

2ª LISTA DE MATRIZES II

1-) Sendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

32

10

41

e B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−124103

,

calcule: a-) A + B b-) A – B c-) B – A 2-) Calcule x, y e z, tais que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 04z23

1771

1yxzx2

.

3-) Sendo A= ( )

2x3ija , onde ija =2i-j, e B= ( )2x3ijb ,

com ijb = ,ji2 + calcule:

a-) A – B b-) B – A c-) ( )tBA + 4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então ( ) ttt BABA +=+ .

Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3.

5-) Sendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2002

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3003

B , determinar as

matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B.

6-) Dadas as matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1032

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2340

B e

C= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1801415

calcule:

a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C c-) a matriz X, tal que 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C)

7-) Sendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

032

e B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

201

, determine as matrizes

X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B

8-) Determine a relação existente entre as

matrizes A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

31

40

23

e B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

342

103

.

9-) Sendo a matriz A= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

320y43c32

simétrica,

determine c e y. 10-) Sendo A= ( )

2x2ija , onde ija =2i-j, e

B= ( )2x2ijb , com ijb = ij− , determine X tal

que 3A + 2X = 3B.

11-) Sendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

2312

e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

1110

B ,

calcule as matrizes X e Y no sistema

⎩⎨⎧

=+

=+

AY2X3BY3X2

.

12-) Sendo A= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

112010321

e B=-2A,

determine a matriz X, tal que B21A3X2 =−

13-) Dadas as matrizes A= ( )

4x6ija , tal que

ija = i - j, B= ( )5x4ijb , tal que com ijb = ij−

e C = AB, determine o elemento 42c .

14-) Sendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2122

, calcule

22 I5A4A −+ .

15-) Determine a matriz X, tal que

( )tAB.AA2X −=+ , sendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1012

e

15

16-) Dadas as matrizes

A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

531531531

B,431541532

3x3

e

C=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

321431422

. Calcule:

a-) A.B b-) B.A c-) A.C d-) C.A 17-) (UFPA) A matriz A= ( )

3x3ija é definida de tal

modo que ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−=

+

jise,0jise,)1(a

ji

ij . Então, A é igual a:

a-)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

011101110 b-)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

101011001

c-)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

011101110

d-)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

100010001

e-)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

011101110

18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= ( )ija e

B= ( )ijb , quadradas de ordem 2, com

j3i4bej4i3a ijij −−=+= , se C=A + B, então 2C é igual a:

a-)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1001 b-)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

1001 c-)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0110 d-)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

0110 e-)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1111

B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0121

.

19-) Verifique se B=2x23

13221 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−é inversa de

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 3402

20-) Determinar, se existir, 1A− em cada caso:

a-) A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1001

b-) A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1232

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1101

21-) Sendo A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4321

, calcule ( ) 11A −− .

22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. 2

1 IA =− e C.B =

A, determine C e 1C− . 23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é: a-) A + B existe se, e somente se, n = p b-) A= tA implica m = n ( tA = transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. tB existe se, e somente se, n = p e-) tA .B sempre existe

16

Respostas 1) a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

23

30

84 b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

41

10

02 c)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

41

10

02

2) x=2, y=-9 e z=-7

3) a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

743

521

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

743

521

c) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1515

88

33

4) -------------

5) X=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

34

34

00

e Y=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

311

311

00

6) a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0000 b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−

815144 c)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−

1396101118

7) X=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

2

49 e Y=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−1

1

43

8) A= tB− 9) c=0 e y=2

10) X= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−

3623

23

11) X=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −

54

511

51

56

e Y= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−−

51

59

51

54

12) X=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

112010321

13) 2 14)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

98169

15) X=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−−

3313

16) a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000000 b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000000 c) AC= A d) CA= C

17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B é inversa de A

20) a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1001 b)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

− 85

81

83

81

21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A.

22) C= 21 IC =−

23) Alternativa c)

17

II – DETERMINANTES

Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Aplicações dos determinantes na matemática:

- Cálculo da matriz inversa; - Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; - Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices.

1. Determinante de primeira ordem

Dada uma matriz quadrada de −

a1 ordem M= [ ]11a , chamamos de determinante associado à

matriz M o número real 11a . Notação: det M ou 11a = 11a

Exemplos:

1. [ ] 55ou 5Mdet5M 11 ==⇒=

2. [ ] 33-ou 3Mdet3M 12 −=−=⇒−=

2. Determinante de segunda ordem

Dada a matriz M= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

, de ordem 2, por definição, temos que o determinante

associado a essa matriz, ou seja, o determinante de −a2 ordem é dado por:

( )211222112221

1211 aaaaaaaa

Mdet −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Assim:

( )21122211 aaaaMdet −=

Exemplo: Sendo M= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

5432

, então:

det M= 2121043525432

−=−=⋅−⋅=

Logo: det M = -2

Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

18

3. Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por ija .

Exemplo 1: Dada a matriz M= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

, de ordem 2, para determinarmos o menor

complementar relativo ao elemento 11a ( 11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1;

MC = menor complementar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

, logo, 222211 aaMC ==

Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a é dado por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

, logo, 212112 aaMC == e assim por diante.

Exemplo 2: Dada a matriz M=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

, de ordem 3, vamos determinar:

a) 11MC

b) 12MC c) 13MC d) 21MC Solução: OBS.: Vamos denotar “menor complementar” por MC

a) retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

, temos que:

11MC = ( )322333223332

2322 aaaaaaaa

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que:

12MC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3331

2321

aaaa

= ( )31233321 aaaa −

c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:

19

13MC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3231

2221

aaaa

= ( )31223221 aaaa −

d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:

21MC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

3332

1312

aaaa

= ( )32133312 aaaa −

4. Cofator

Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento ija de uma matriz

quadrada de ordem n o número ijA , tal que ijji

ij MC)1(A ⋅−= + .

Exemplo 1: Dada M= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa

, os cofatores relativos a todos os elementos da matriz M

são:

! 22222

MC22

1111 aa)1(a)1(A

11

+=⋅−=⋅−= + ;

! 21213

MC21

2112 aa)1(a)1(A

12

−=⋅−=⋅−= + ;

! 12123

MC12

1221 aa)1(a)1(A

21

−=⋅−=⋅−= + ;

! 11114

MC11

2222 aa)1(a)1(A

22

+=⋅−=⋅−= + .

Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por A )

como sendo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1112

2122

2221

1211

a aaa

AAAA

A

Exemplo 2: Sendo M=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

, vamos calcular os cofatores 312322 A e A ,A :

( )[ ] ( )[ ]31133311311333114

3331

13112222 aaaa)1(aaaa)1(

aaaa

)1(A −⋅+=−⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= + ;

( )[ ] ( )[ ]31123211311232115

3231

12113223 aaaa)1(aaaa)1(

aaaa

)1(A −⋅−=−⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= + ;

( )[ ] ( )[ ]22132312221323124

2322

13121331 aaaa)1(aaaa)1(

aaaa

)1(A −⋅+=−⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= + .

20

5. Matriz Adjunta

A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. Assim: ( )tAadjA =

6. Teorema de Laplace

Definição: O determinante de uma matriz quadrada [ ] ( )2m aMm x mij ≥= pode ser obtido

pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando mj1 que tal,Nj ≤≤∈ , temos:

∑=

=m

1iijijAaMdet

onde, ∑=

m

1i

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Nm∈ e ijA é o

cofator ij. Exemplo : Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes:

a)

3 2 0 11 1 13 0 2 0 0 14 3 2

D b) 6 5 0 2 1 243 2

D 21

−

−

−

=−

−

=

Solução:

a) 6 5 0 2 1 243 2

D1 −

−

=

Aplicando Laplace na coluna 1, temos:

! ! ! 2 143

(-1)06 543

(-1))2(6521

(-1)2D

31

31

21

21

11

11

CofatorA

13

a

CofatorA

12

a

)11cofator(A

11

a1 ⇒

−+

−−+= +++

""#""$%""#""$%"#"$%

06 543

26521

2D1 ⇒+−

+=⇒

2(38)2(-4)20)2(1810)-2(6D1 ⇒+=++=⇒

68768D1 =+−=⇒

21

b) Como três dos quatro elementos da −a2 linha são nulos, convém aplicar Laplace nessa

linha.

3 2 0 11 1 13 0 2 0 0 14 3 2

D 2

−

−

−

=

⇒

−

−

−

−++= + 3 0 11 13 13 2

)1(200D

23MCD

322

!!"!!#$

OBS.: Então podemos rescrever 2D como:

(I) D2D 2 −=

Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos

Laplace na −a3 linha (mais conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos:

⇒−+−−= ++

!"#$!$"#3331 MC

33

MC

13

1-33 2

)1(31 1-1-3

)1(1D

⇒−−=−+−=−−+−−= 332)11(3)2(1)92(3)13(1D

35D −=

Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos: -2(-35)DD2D 22 ⇒=⇒−=

70D 2 =

7. Regra de Sarrus

Dispositivo prático para calcular o determinante de −a3 ordem.

Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.

D=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

22

Solução:

−a1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da −

a3 :

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaaaaaaaa

−a2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois

produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++=

−a3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois

produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja: ( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++−

Assim:

( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−= ( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++

OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de −a3 ordem com o auxílio do

teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois representam o mesmo número real.

Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes:

a)

0 1 1 0 0 1 - 0 1 2 1 0 0 1 0 1- 2

D b) 1 2 32 1 4 13 2

D 21 =

−

−

=

Solução: a)

( ) ( ) 47242381821283

213

3-4 2

1 2 32 1 4 13 2

D1

−=−−=−−+++−=

=

−

−

=

23

b)

0 1 1 0 0 1 - 0 1 2 1 0 0 1 0 1- 2

D 2 =

Aplicando Laplace na −

a2 linha, temos:

⇒

−

−+

−

−++= ++

!"!#$!"!#$''2

'2 D

42

D

322

1 1 01-0 10 12

)1(20 1 00 0 11 12

)1(100D

''2

'22 D2D)1(D +−=

- Cálculo de '

2D : Como, na −a2 linha, dois elementos são nulos, é conveniente aplicar

Laplace; assim:

1)10(101 11

)1(1D 12'2 =−−=

−−= +

- Cálculo de ''

2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos:

=''2D =

1 0 1-

012

1 1 0 1- 0 1 0 1- 2

3)000()120( =+++−−−=

Portanto,

5D

61)3(2)1(1D

D2D)1(D

2

2

''2

'22

=

⇒+−=+−=

⇒+−=

24

8. Matriz de Vandermonde Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 2n ≥ , com a seguinte forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−− 1nn

1n2

1n1

3n

32

31

2n

22

21

n21

a aa

a a aa a aa a a1 1 1

V

!

!!!!

""""

Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base com expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1. O determinante da matriz de Vandermonde é dado por:

( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )1n1nn142434132312 aaaaaaaaaaaaaaaaVdet −⋅⋅−⋅⋅−−−−−−= − !!

Exemplo: Calcular o determinante da matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1694432111

M

Solução: Como podemos escrever a matriz M na forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=222

111

432432111

M

Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com 4a e 3a ,2a 321 === . Assim,

( )( )( ) ( )( )( ) 2211243423aaaaaaMdet 132312 =⋅⋅=−−−=−−−=

25

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: (de matriz quadrada de ordem n)

As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos. P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplos:

1-) 0

391218312300007894

=−

−

2-) 07013021503

=

−

−

P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

1-) 0

3479531289245352

= pois, L1 = L3

P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.

Exemplo:

1-) 0623412241= pois C3 = 2C1

P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.

Exemplos:

1-) 0523642431= pois C1 + C2 = C3 2-) 0

5107321143= pois 2L1 + L2 = L3

OBS.: Definição de combinação linear: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que:

v= a1. v1+...+ ak. vk

26

P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

1-) 9342212321=

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

93410214325

342422121232221

2C2 C1

==

⋅+

⋅+

⋅++ !"#

P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo:

Det A = 9342212321= Det At = 9

323412221=

P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:

1-) 4123112321

−=− Multiplicando C1 por 2, temos: ( ) 842126114322

−=−⋅=−

2-) 1451024730105

−=

−

−

Multiplicando L1 por 51 , temos: ( ) 29145

51

102473021

−=−⋅=

−

−

P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:

4123112321

−=−

27

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:

4123321112

+=

−

P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:

1-) cbacfe0bd00a

⋅⋅= 2-) zyxz00iy0hgx

⋅⋅=

P10-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos

nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por ( )( )21nn

1−⋅

− . Exemplos:

1-) baxba0

⋅−= 2-) cbazycxb0a00

⋅⋅−=

P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos:

Observação: Como A ⋅ A-1 = I, na propriedade acima, temos:

Exemplo:

Se A = ,4312

B = 2201

e A⋅B = 81124

, então:

( ) !

2510

BdetAdetABdet ⋅= "#$%"%#$

det (AB) = det A ⋅ det B

det (A-1) = Adet1

28

P12-) Se k ∈ ℜ, então det (k⋅A) = kn ⋅ detA.

Exemplo:

Sendo k=3, A = 5412

e k⋅A = 151236

, temos:

( ) ! "#$%"%#$

623

n

54

AdetkAkdet ⋅=⋅

P13-) det (A+B) ≠ detA + detB 9. Regra de Chió A regra de Chió é mais uma técnica que facilita muito o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n ( 2n ≥ ). Essa regra nos permite passar de uma matriz de ordem n para outra de ordem n-1, de igual determinante. Exemplos:

1) Vamos calcular o determinante associado à matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

642315432

A com o auxílio da

regra de Chió: Passo 1: Para podermos aplicar essa regra, a matriz deve ter pelo menos um de seus

elementos igual a 1. Assim fixando um desses elementos, retiramos a linha e a coluna onde ele se encontra.

↑

←

642315432

Passo 2: Em seguida subtraímos do elemento restante o produto dos dois correspondentes que foram eliminados (um da linha e outro da coluna).

618513

)12(6)20(2)9(4)15(2

)34(6)45(2)33(4)35(2

−−

−−=

−−

−−=

⋅−⋅−

⋅−⋅−

Passo 3: Multiplicamos o determinante assim obtido por ( ) ji1 +− , onde i representa a linha e j

a coluna retiradas (neste caso, −a2 linha e −

a2 coluna).

29

( )

12Adet

9078)1(618513

)1(Adet 422

−=

⇒−⋅−=−−

−−−= +

10. Inversão de matrizes com o auxílio da teoria dos determinantes A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicação do seguinte teorema: A matriz inversa 1A− de uma matriz A (quadrada de ordem n) existe se, e somente se,

0Adet ≠ e é dada por:

adjAAdet1A 1 ⋅=−

OBS.: adj A é a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A = ( )tA Exemplos:

1) Verificar se a matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

310 6

A admite inversa

Solução: A matriz A admite inversa se, e somente se, 0Adet ≠ . Assim, como:

0183-10 6

Adet ≠−== , existe a matriz inversa de ª

2) Calcular x para que exista a inversa da matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

x1 201x 233

A

Solução: Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0AdetA -1 ≠⇔∃ )

Então: 1 13

2x 3

x1 201x 233

−

−

−−

−

−

( ) ( )

04x3x x3042x03x-

2

2

≠−−⇒

⇒−+−++=

30

Assim, -1 xe 34xA 1- ≠≠⇔∃

3) Calcular, se existir, a inversa da matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

4132

A com o auxílio da fórmula

adjAAdet1A 1 ⋅=−

Solução:

Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa. ( ) 538)1(342Adet −=+−=−−−=

Como 1A05 −∃⇒≠−

Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A.

44)1( 1111 =⋅−= +A

11)1( 2112 =−⋅−= +A

33)1( 1221 −=⋅−= +A

22)1( 2222 −=−⋅−= +A

Assim, a matriz dos cofatores é dada por: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

2- 31 4

A

Passo 3: Cálculo da matriz adjunta de A.:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⇒=

2-134

adjAAadjA t

Passo 4: Cálculo da matriz inversa de A ( 1A− ):

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

−=⇒⋅= −−

2 -134

51

det1 11 AadjAA

A

:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−−

52

51

53

54

1A

Resolver a terceira lista de exercícios de GA I

31

3ª LISTA DE MATRIZES I

1) Calcular o valor dos determinantes das

seguintes matrizes:

a) A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

833,02

1 b) A= [ ] .jia onde ,a ij2x2ij +=

2) Calcular o valor de Rx∈ na igualdade

3x43x3+

=0

3) O conjunto solução de 1x11

1x1111x1

= é:

a){ }1x|Rx ≠∈ b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 4) Determinar a matriz formada pelos cofatores

dos elementos da matriz

A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

2 2 10 1 41 23

.

5) Dada a matriz A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−

31

32

32

32

31

32

32

32

31

.

Calcule A , conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A.

6) Calcule os seguintes determinantes,

aplicando o Teorema de Laplace:

a)

987654321

b)

0010100020023110

7) O determinante

0 300 x 2 10 0 x 2110 x0

−

−

−

representa o polinômio: a) 1x2 + b) 1x2 −− c) 1x3 2 − d) )1x(3 2 + e) )1x)(1x(3 −+

8) (Fuvest – SP) O determinante da matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

abba

, onde

xxxx ee2b e eea2 −− −=+= é igual a: a) 1 b) –1 c) xe d) xe− e) 0 9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule:

08111215,03,0

321

20

−

−

−•

10) Sendo A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

231210032

, calcule:

a) det A b) det tA

11) Calcular x na igualdade 03x131x101=

−

12) Calcular x na igualdade

09x6x4x

3x2x111

22

=

+−

−

13) Sendo A=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

1642781169414321111

, calcular

det A. 14) Utilizando as propriedades dos

determinantes, calcule os determinantes justificando os valores obtidos:

a)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

152311243

b)

1302280449035102 −

32

c)

32018126431244632

−−

−

−−

d)

5000340092305421

−

−−

−−

e) =

−

++−+

− 431220100

17218134892

097022043

54827723428184255

15) (MACK-SP) Se ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

4xb1

y32a

,

A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

yxba

e B = tA , então det(A.B) vale:

a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4

16) (FAAP-SP) Dada a matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 3021

,

calcule o determinante da matriz inversa de A. 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes:

a) A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 2310

b) B=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

207135064

Respostas 1) a) 3 b) 1 c) –1 2) x= -4 ou x=1 3) alternativa c)

4)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−

=

541476782

A

5) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−

=

31

32

32

32

31

32

32

32

31

A e

adjA= ( ) =tA⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

31

32

32

32

31

32

32

32

31

- -

6) a) 0 b) –2 7) alternativa d) 8) alternativa a)

9) 125

−

10) a) –2 b) –2 11) x=1 ou x=-4 12) x=2 ou x=5 13) 600 14) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 e) 2 15) alternativa b)

16) 31

−

17) a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

01A 3

132

1

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=−

11B

21

212

214

141

71

72

71

1

33

Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes

1) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.

2) Construa as seguintes matrizes:

A = (aij)3x3 tal que aij = ⎩⎨⎧

≠

=

ji ,0ji ,1

sese

B = (bij)3x3 tal que bij = ⎩⎨⎧

=

≠+

ji se 3j,-iji se2j, i

3) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = ⎩⎨⎧

≠

=

ji ,ji ,1

2 seise

4) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = ⎩⎨⎧

≠−

=+

ji ,22ji ,

jiseji

, então a22 + a34 é igual a:

5) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.

6) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da

matriz A = (aij)3x3.

7) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = ⎩⎨⎧

>

≤+

ji ,.ji ,

sejiseji

, determine a soma dos elementos a23 +a34.

8) Seja a matriz A = (aij)5x5

tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

9) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.

10) Determine a e b para que a igualdade ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

7 10b 4 3a

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

7 10b 2a

seja verdadeira.

11) Sejam A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 01- 43 2

e B = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

5 81- 70 2

, determine (A + B)t.

12) Dadas as matrizes A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2- 41 3

e B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

2- 1y- xyx

, determine x e y para que A = Bt.

13) Resolva a equação matricial:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

2 2 43 5 12 5 3

2- 1- 17 2 05 4 1

= x +

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 5 9 13- 1- 82 7 2

.

14) Determine os valores de x e y na equação matricial: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4 32 1

.25 74- 4

3 x2y

.

34

15) Se o produto das matrizes ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1

2 0 11- 1 0

.1 10 1

yx

é a matriz nula, x + y é igual a:

16) Se ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

.4.3 11- 3

yx

, determine o valor de x + y.

17) Dadas as matrizes A = ,5- 2

3 0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

1- 04 2

e C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 0 62 4

, calcule:

a) A + B b) A + C c) A + B + C

18) Dada a matriz A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2- 1 04 3 20 1- 1

, obtenha a matriz x tal que x = A + At.

19) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.

20) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

5 18 7

3q- n-n

p 2m

qpm

.

21) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5- 80 1

1- 43 2

wy

zx

.

22) Dadas as matrizes A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 4 31 2

, B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

5 21- 0

e C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

1 60 3

, calcule:

a) A – B b) A – Bt – C

23) Dadas as matrizes A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

8 2 62- 4 0

, B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0 6- 129 6 3

e C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2 1- 10 1- 0

, calcule o resultado das

seguintes operações:

a) 2A – B + 3C b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +− CBA31

21

24) Efetue:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 23

.4 13- 5

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 3 01- 2

.4 12 5

c) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2 1 22 2 11 2 2

.1 1 00 1 10 0 1


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1 0 00 0 10 1- 2

, calcule A2.

35

26) Sendo A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1 52 3

e B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0 21- 3

e C = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

41

, calcule:

a) AB b) AC c) BC 27) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j.

Sabendo que C A + B, determine C2. 28) Calcule os seguintes determinantes:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3- 18 4-

b) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

7- 3

3 8 c)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 8 3 16 4 3-9- 6 4-

29) Se a = 4 31 2

−, b =

1 37 21

− e c =

3 52- 1-

, determine A = a2 + b – c2.

30) Resolva a equação x5

x x= -6.

31) Se A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

4 33 2

, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.

32) Sendo A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33 b

b aa

, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor numérico

desse determinante para a = 2 e b = 3.

33) Calcule o valor do determinante da matriz A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3 1 26 7 50 1- 4

34) Resolva a equação 2- 1 4

2- 1 3 5 1 3 2 1

xx

x=

+

35) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.

36) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500

crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A,

em que:

32 2 0

x- 0 31 1- 1

, com base na fórmula p(x) = det A, determine:

a) o peso médio de uma criança de 7 anos b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.

36

37) Calcule o valor do determinante da matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

sen x- x cos xcos- x sen

.

38) Resolva a equação 1- 1 - 1 3

x= 3.

39) Se A = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5 41- 2

, calcule o valor do determinante de ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− AA 2

7

2

.

40) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 2x1 e 21 ≤≤≤≤ i . Determine o

determinante de A.

41) Determine o determinante da seguinte matriz

1 2 0 x1- 3

1 2x .


2 1 05 4 1-3 2 1

e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?

43) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.

44) Calcule os determinantes das matrizes A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 7- 1- 24 3 1- 2 0 1

e B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

7- 6- 12 4- 30 0 1

, usando o teorema

de Laplace.

45) Resolva as equações:

a) 7 5

2x x += 0 b)

x5x x

= 0 c) 1- x1

5 3x + = 0

46) Sabendo – se a = 1 52 3-

−e b =

10 46 2

, calcule o valor de 3a + b2.

47) Dada a matriz A = 3 14 2

, calcule:

a) det A b) det A2 48) Determine o valor de cada determinante:

a)

4 3 23 1 45 2 3

b)

5 2- 41 3 2-0 3 0

c)

0 3 41 1 10 2 2

37

49) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2 2 0

1- 1 2

1 1- 2

.

50) Na matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

9 3- 14 2 1

x x1 2

, calcule:

a) seu determinante b) os valores de x que anulam esse determinante

51) Determine em IR a solução da equação:

2 1 31- 2- 1-

x x 2= 8 – log8

4.

52) Sabendo que a = 2 23 1

e b =

3 1 11 2 21 3 1

, efetue a2 – 2b.

53) Determine a solução da equação: x- 28 x 3

−= 0.

54) Determine o determinante da matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− sen x 2 x 2 xcos sen x

co.

55) Resolver a equação

4 4 4 x x

xx x

x= 0

56) Resolva as equações:

a)

2 1 3 x4 2

1 4 2= 0 b)

3- x 2 x 1 0

2- 3 2= 2 c)

1- x2 1 x 3

x3 1

x

x += 0

III – SISTEMAS LINEARES

1 Equação linear

38

É Toda equação da forma:

bxaxaxa nn =+++ !2211 onde naaa ,,, 21 ! são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

nxxx !,, 21 e b é um número real chamado termo independente.

OBS: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea. Exemplos: Equações Lineares Equações Não-Lineares 1) 3x – 2y + 4z = 7

1) xy 3z + t = 8

2) x + y –3z - 7 t = 0 (homogênea) 2) x 2 - 4y = 3t - 4 3) –2x + 4z = 3t – y + 4 3) x - y + z = 7

2 Sistema Linear Definição: Um conjunto de equações lineares da forma:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

!"

!

!

332211

22323222121

11313212111

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

2.1 Solução do Sistema Linear Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados ( )nrrr ,,, 21 ! que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema.

2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear 2.2.1 Matriz incompleta

É a matriz A, formada pelos coeficientes da incógnitas do sistema. Exemplos: Seja o sistema: Matriz incompleta:

39

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=++

=−+

4274032

zyxzyxzyx

A=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1 121 14 132

2.2.2 Matriz Completa

É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada

pelos termos independentes das equações do sistema. Assim a matriz completa referente ao sistema anterior é:

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

470

1 1 1-

113

2-4 2

2.3 Sistemas Homogêneos Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−+−

=+−

4 3 2

0340 23

yx

zyxzyx

2.3.1 Soluções de um Sistema Homogêneo

A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e

recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. 2.4 Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções

• possível⎩⎨⎧

soluções) (infinitas adoindeterminúnica) (solução odeterminad

• impossível (não tem solução)

Exemplos:

1. ⎩⎨⎧

=−

=+

128

yxyx

Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema é possível e determinado.

2. ⎩⎨⎧

=+

=+

16228yx

yx

40

Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),… . Portanto o sistema é possível e indeterminado.

3. ⎩⎨⎧

=−−

=+

1010yxyx

4. Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é impossível. 2.5 Sistema Normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o

determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero, ou seja, se m = n e det A≠ 0, o sistema é normal.

OBS.: Todo sistema normal é possível e determinado e portanto tem solução única.

Exemplo: Determinar Rk ∈ , de modo que o sistema ⎩⎨⎧

=+

=+

53

kyxykx

seja normal.

Solução: Para o sistema ser normal temos que observar duas condições: m=n e detA≠ 0 1ª condição: m = 2 e n = 2 nm =⇒ No sistema, o número de equações (m = 2) é igual ao número de incógnitas (n = 2) 2ª condição: det A≠ 0

det A = 10111 2 ±≠⇒≠−= kkk

k

Logo, o sistema é normal para qualquer k real diferente de 1 e de –1. 2.6 Regra de Cramer

41

Todo sistema normal tem uma única solução dada por DD

x ii = , onde { }ni , 3, ,2 ,1 !∈ , D= detA

é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a) ⎩⎨⎧

=−

=+

33272

yxyx

Solução:

Temos: m = n = 2 (1ª condição) e condição) (2ª 0826321 2

≠−=−−=−

=D

Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo. 1º Passo: Calcular yx DD e

- Substituindo, na matriz incompleta ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

− 321 2

, a coluna 1c pela coluna formada pelos termos

independentes, encontramos:

24321331 7

−=−−=−

=xD

- - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos:

81463272

−=−==yD

2º Passo: Encontrar x e y: Assim:

188

3824

=−

−==

=−

−==

DD

y

DD

x

y

x

Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado.

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=++

++

+

222292227222

11

1

zyx

zyx

zyx

ou ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=++

22.22.229222.2

7222

11

1

zyx

zyx

zyx

42

Solução: Da maneira como é apresentado o sistema não é linear. Assim, para torná-lo linear, fazemos as substituições:

cba yx === z2 e 2,2 , obtendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=++

222927

cbacbacba

Agora temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz

incompleta diferente de zero, veja:

0103741242121 1

121

2 2111 21 1 1

≠−=−−=−−+−−−=

−−

−=D

1º Passo: Calcular cD e , ba DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos termos independentes:

40634182141814221 1

297

2 2211 91 1 7

−=−−=−−+−−−=

−−

−=aD

201535471828292 9 7

121

2 2 119 21 7 1

−=+−=+−+−+−=−=bD

101772892418721 1

121

2 219 1 27 1 1

−=−=−++++−=

−−

=cD

Portanto, por Cramer vem:

41040

=−

−==

DD

a a 21020

=−

−==

DD

b b 11010

=−

−==

DD

c c

Voltando a transformação feita anteriormente (afinal queremos os valores de x, y e z) temos:

222422 2 =⇒=⇒=⇒= xa xxx

122222 1 =⇒=⇒=⇒= yb yyy

022122 0 =⇒=⇒=⇒= zc zzz

43

Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) é a solução do sistema dado.

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−

=−−

=++

030 2 043

zyxzyxzyx

Solução:

Temos m = n = 3 e 0296438913 1-4

12 3

1-3 111- 2 1 4 3

≠=+++++−=

−−

−=D

Portanto, como o sistema é normal, apresentando uma única solução e, além do mais, o sistema é homogêneo, esta solução única será a solução trivial (0, 0, 0). Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).

44

2.7 Discussão de um Sistema Linear

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se

⇒≠ 0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única. ⇒= 0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou

impossível (SI) (não ter solução). Observações: 1) Se o 0≠D , o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema. 2) Se o 0=D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI

teremos que encontrar todos os iD ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?

Se todos os iD forem iguais a 0, teremos um SPI Se pelo menos um iD diferente de zero, teremos um SI.

Exemplos:

1) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=+−

6234323

zyxzyxzyx

Temos: m = n = 3

032 1311 21 11

≠=

−

−

−

=D

Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única.

2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=−+

=++

023343 21 2

zyxzyxzyx

Temos: m = n = 3

02-333121 21

=−=D

45

0352-303141 21

≠=−=xD

Sendo D = 0 e 0≠xD , o sistema é impossível, não apresentando solução.

3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−

−=++−

=++

134 2 2

12 3

zyxzyxzyx

Temos: m = n = 3

03411122 31

=

−

−=D

03411122 31

=

−

−=xD

031112-22 1 1

=

−−

−=yD

01-412121 31

=

−

−−=zD

Logo temos, D = 0, 0=xD , 0=yD , 0=zD . Portanto, o sistema é possível e indeterminado, apresentando infinitas soluções.

46

2.8 Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Exemplo: Sendo

⎩⎨⎧

=+

=+=

8323

1 yxyx

S e ⎩⎨⎧

=+

=+=

523

2 yxyx

S

o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, 21 e SS são equivalentes: . ~ 21 SS 2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes 1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.

Exemplo: Sendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=+

=

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

=++

=

IzyxIII zyII - zx

SIII z yII - zxIzyx

S)(12

)(2 )(3

e )(2

)(3 )(12

21

temos, . ~ 21 SS

2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k *R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo:

Dado ( )( )⎩

⎨⎧

=−

=+=

IIyxIyx

S0 32

1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:

⎩⎨⎧

=−

=+=⇒

⎩⎨⎧

⋅=−

=+=

03 3 32

3)0 ( 32

22 yxyx

Syxyx

S

Assim, temos . ~ 21 SS

3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k *R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo:

Dado ( )( )⎩

⎨⎧

=−

=+=

IIyxIyx

S1 42

1 , substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I),

multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos:

-33y- 1

42

1 )1()42 ( '

1'1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−

−=−−

=⇒⎩⎨⎧

=−

−⋅=+=

yxyx

Syxyx

S

47

Logo:

33

42 2

⎩⎨⎧

−=−

=+=

yyx

S

Assim, , pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas. 2.9 Sistemas escalonados A técnica de escalonar um sistema linear é muito mais utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de Cramer). Além disso, quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. Por exemplo, um sistema com quatro equações e quatro incógnitas requer o cálculo de cinco determinantes de 4ª ordem. Neste caso, usamos a técnica de escalonamento, que facilita a resolução e a discussão de um sistema.

Dado um sistema linear:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

=

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

S

!"

!

!

332211

22323222121

11313212111

onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação. Exemplos:

⎩⎨⎧

=

=−=

32 6 3

)1 1 y yx

S ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−

=+−

=

-54z 2 32 9 z 4

)2 2 zy yx

S

⎩⎨⎧

=−

=+−=

0z 4 8542

)3 3 y zyx

S ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=++

=+−+

=

73 422 1232

)4 4

ttzy tzyx

S

2.9.1 Procedimentos para escalonar um sistema

1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.

2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. 4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Exemplos:

48

1) Vamos escalonar o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−+

=+−

2z 2y- x0 423x5 z 2

zyyx

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades: • Trocamos de posição a 1ª e a 3ª equações:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=+

5 z 20 423x2z 2y- x

yxzy

• Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-3) com a 2ª equação:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

⊕↵=−+

⋅=+

5 2 678

22

5 z 2 0423

3-)22 (

zyxzy

zyx-

yx zyx

zy-x


( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=+−

=−

⋅=+

1 z 3 678 22

5 z 2 6- 78

2-)22(

yzy

zyx-

yxzy

zyx-

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:

• Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−83 com a 3ª equação:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=−

−⋅=−

=+

67 8

2 2

1 3 6)- 78(

22

8 26

813

83

zzy

zyx-

zyzy

zyx-

Agora, como o sistema está escalonado, podemos resolvê-lo:

2826

813

=⇒= zz

Substituindo este valor em 678 −=− zy , vem:

1886278 =⇒=⇒−=⋅− yyy Substituindo, agora, 22 em 2 e1 =+−== zyxzy , vem:

49

22212 =⇒=+⋅− xx Portanto, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução que é dada por: (x, y, z) = (2, 1, 2).


⎪⎨

⎧

=+

=++

=+−

22 31232

z - yx z yx zy x

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades: • Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

⊕↵=++

⋅=+

2 2z 3 5 5

32

2 2z 3 1 2

2-)32 (

yxzy

zyx-

yxzyx

zy-x


( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=+−

=−

⋅=+

7- z 5 5 5

32

2 2z 3 5- 5

3-)3 2 (

yzy

zyx-

yxzy

zyx-

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação: • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )1− com a 3ª equação:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=−

=+

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=−

−⋅=−

=+

2- 0 5 5

3 2

7- 5 15)- 5(

3 2 zy

zyx-

zyzy

zyx-

Dessa forma fica escalonado. Como não existe valor real de z, tal que 20 −=⋅ z , o sistema é impossível e portanto não tem solução.


⎪⎨

⎧

−=++

−=+−+

=−++

322 1 226

t zy- xtz yx

t zy x

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação: • Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por (-2) com a 2ª equação:

50

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=+−−

=−++

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

⊕↵=+−+

⋅=−++

3- 2 2 13- 3 4

6

3- 2 2 1- 2 2

2-)6 (

tzyxtzyt z yx

tzyxtzyxt z yx


( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=+−−

=−++

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=++−

=+−−

⋅=−++

9- 3 0 3 13- 3 4 6

3- 2 2 13- 3 4

1- 6

tzytzyt z yx

tzyxtzyt z yx

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação: • Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por ( )3− com a 3ª equação:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=+−−

=−++

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊕↵=++−

⋅=+−−

=−++

30 612 13- 3 4 6

9- 3 0 3 3-13)- 3 4 (

6

tztzyt z yx

tzytzyt z yx

O sistema está escalonado. Entretanto, o número de equações (m) é menor que o número de incógnitas (n). Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o número de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

Para resolvermos um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo: • Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=+−−

=−++

30 612 13- 3 4 6

tztzyt z yx

• Calcular o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n – m = 4 – 3 = 1 Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor α , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Fazendo α=t e substituindo esse valor na 3ª equação, obtemos:

25

126306301230612 αα

αα+

=⇒+

=⇒+=⇒=− zzzz

mnGI −=

51

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2ª equação ( )1334 −=+−− tzy :

3

310131332101332

54

+=⇒

−−=−⇒+−=+−⇒−=+−−−⇒−=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅−−

α

αααααα

y

yyyy

Conhecidos z e t e y, substituímos esses valores na 1ª equação ( )6=−++ tzyx :

21

1212112122562262

53

α

ααααααα

α

−=⇒

−=⇒=++⇒=−++++⇒=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++

x

xxxx

Assim, a solução do sistema é dada por:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

−= α

αα

α ,2

5,3,2

1S ,

sendo R∈α . Para cada valor que seja atribuído a α , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema. OBS.: Se GI >1, então daremos valores … , , βα a todas as incógnitas livres (que não iniciam equações).

52

4ª LISTA DE MATRIZES E SISTEMAS I

1) Verifique se os sistemas abaixo são normais:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−

=++

=++

4z2yx5z2y3x2

1zyx b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=++

=−−

19z6y6x17z7y4x6zy3x

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−+

=++

9y4x30zyx8zy3x2

2) Determine os valores de k∈R, para que os

sistemas sejam normais:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=++−

=++

0kzyx20z3kyx0z2kyx

b) ⎩⎨⎧

+=−+

=+−

k31y2x)1k(k2y4x)1k(

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

1z9y4xk7z3y2kx

1zyx

2

3) Resolva os seguintes sistemas lineares:

a) ⎩⎨⎧

−=−

=+

4y3x25yx3

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

−=+−

=−+

0zyx25z4yx39z3y2x

c) ⎩⎨⎧

=−

−=

−

− 13x52y7

y3x21

4) Determine para quais valores de k o sistema

⎩⎨⎧

=+

=+

2kyx23y2x

é:

a) possível e determinado; b) possível e indeterminado; c) impossível. 5) (UFPR) O sistema de equações

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=−+

QPzyx46zyx10z3yx7

é:

a) Impossível, se P≠ -1 e Q ≠ 8. b) Indeterminado, se P≠ -1 e Q ≠ 8. c) Indeterminado, se P≠ -1 e Q=8. d) Impossível, se P=-1 e Q ≠ 8. e) Impossível, se P≠ -1 e Q=8.

6) Escalone, classifique e resolva os sistemas

abaixo:

a) ⎩⎨⎧

=+

=+

2yx51y3x

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=+−

0zyx4

62zyx2

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

−=−+

=+−

8z3yx35z2y2x9zy3x2

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=−+

=++

6zy4x34z2y3x2

2zyx

e)⎩⎨⎧

=+

−=

+ 13x41y5

y2x21

f) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

=−

34y3x53yx37y4x

7) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho.

O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de: a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75 d)R$1,50 e)R$1,20

8) (Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas

de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há: a) igual número de balas dos dois tipos b) duas balas de hortelã a mais que de

laranja c) 20 balas de hortelã d) 26 balas de laranja e) duas balas de laranja a mais que de

hortelã 9) (UCDB-MT) O sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−+

=−+−

=−+

=−++−

0257206104022022

zyxzyxzyxzyx

é:

a) impossível b) homogêneo c) determinado d) indeterminado com uma variável arbitrária. e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias. 10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche

necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma

53

doação de R$370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar:

a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas 11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe

uma única matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

yx

, tal que

?00

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−

yx

kk

a) k≠ -1 b) k=-2 c) k=-2 ou k=1 d) k≠ -2 e k≠ 1 e) k≠ 2 e k≠ -1

12) (UF-AL) O sistema ⎩⎨⎧

=−

=+

132

ybxyax

, nas

variáveis reais x e y, é: a) possível e determinado, ∀ a, b∈R. b) possível e indeterminado se a = 2b. c) possível e determinado se a ≠ 2b.∀ a, b∈R. d) possível e indeterminado se a = -2b. e) impossível se a = -2b. 13) (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas

de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma:

Mesa Hambúrguer Refrigerante Porção de

fritas

1ª 4 2 2 2ª 6 8 3 3ª 2 3 1 A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados:

a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante.

b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche.

c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os componentes do lanche.

d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos componentes do lanche.

e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido um erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa.

Respostas 1) a) Sim b) Sim c) Não

2) a) S={k∈R | k ≠2111±

}

b) S={k∈R | k≠31

− }

c) S={k∈R | k ≠ 2 e k≠ 3} 3) a) S={(1, 2)} b) S={(2, -1, -3)} c)S={(-4, -3)}

4) a) k ≠ 4 b) ∃/ k ∈ R c) k = 4 5) alternativa d)

6) a) possível e determinado; S=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛143,

145

b)possível e indeterminado;

S=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈α∀⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ α−α− R p/ ,4 ,

44

c) possível e determinado; S= ( ){ }1 ,2,1− d)possível e indeterminado; S= ( ){ }R p/ ,4 ,52 ∈α∀ααα−

e) possível e determinado; S=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 2 ,23

f) sistema impossível; S={ } 7) alternativa b) 8) alternativa a) 9) alternativa c) 10) alternativa e) 11) alternativa e) 12)alternativa e) 13) alternativa a)

54

LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES

1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.

a-) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=++

=−+

122745432432

zyxzyxzyx

b-) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=++

=−+

134275423432

xzyzxyzyx

c-) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=+−

=+−

129625642432

zyxzyxzyx

d-) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

114645732213421346702134573221347866213421345732

zyxzyxzyx

e-)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

165374375075312753

wzyxwzyxwzyxwzyx

f-)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=+

=+

=+

0542

zyxyxzyzx

g-) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

=+−+

=++−

260222

12

yxtzyx

tzyx

2-) Determine para que valores de m e n o sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=−+

=+−

nmzyxzyxzyx

342132

seja:

a-) Indeterminado b-) impossível Respostas 1-) a-) SI (0 = -1) b-) SPI S={(x, y, z) = ( )ααα ,103,172 +−− }

c-) SI (0 = -3) d-) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)}

e-) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f-) SI (0 = -11/2)

g-) S={(x, y, z, t) = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−−α

ααα ,2751,

27410,

27246

}

2-) a-) m = 2 e n = 5

b-) m = 2 e n ≠ 5

55

IV - APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES

Exemplos 1) Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram

curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas apresentaram ligações para telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.

Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)

Valor

Paula 10 min 6 min 2 min 12,20 Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40

André 8 min 5 min 5 min 14,70 Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente. Desta forma, • A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20 • A conta de Júlia é dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40 • A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear.

56

2) (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana:

Loja Produtos Preço unitário (R$)

Despesa (R$)

A Caneta 3,00 50,00 Lapiseira 5,00

B Caderno 4,00 44,00 Corretor 2,00

Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

57

3) (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. Sejam as matrizes:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zyx

XeA012501430

tais que:

• os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha);

• os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa;

• os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00

4) (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída

entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente: a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265

58

5) (U.F. Uberlândia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois

filhos João e José. Essa divisão seria diteramente proporcional à produção que cada filho conseguisse em uma plantação de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que José produziu 250 kg a mais que João. Como foi dividida a Fazenda?

6) Ao ser indagado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de

passeio e 3 ônibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões, arrecadou-se a quantia de R$52,00”. Qual foi o valor do pedágio para cada tipo de veículo citado?

material didático notas de aula · 3.3 matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com...

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