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MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular.
Verifique se existe e, em caso afirmativo,
determine a matriz inversa de A =
RESOLUÇÃO: PELA DEFINIÇÃO TEMOS:
10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
23032
185
ceaca
ca58
132
085
debdb
db
Então X =
52
83, para AX = I2.
MATRIZES ELEMENTARES
Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações:
i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;
ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;
iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
DEFINIÇÃO
Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
EXEMPLO
1. Considere a matriz identidade
1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes
1000
0100
0050
0001
1E ,
1000
0001
0010
0100
2E ,
1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes
elementares obtidas de I , pela aplicação de uma única operação elementar
em suas linhas.
Se representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:
1000
0100
0010
0001
22 5 LL
1
1000
0100
0050
0001
E
1000
0100
0010
0001
31 LL
2
1000
0001
0010
0100
E
1000
0100
0010
0001
244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E
TEOREMA
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em .
EXEMPLO
1. Ache a inversa da matriz
321
121
121
A
100321
010121
001121
21 LL
100321
001121
010121
133
122
LLL
LLL
110440
011240
010121
22 4
1LL
110440
04
1
4
1
2
110
010121
233
211
4
2
LLL
LLL
101200
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
33 2
1LL
2
10
2
1100
04
1
4
1
2
110
02
1
2
1001
322 2
1LLL
2
10
2
1100
4
1
4
1
2
1010
02
1
2
1001
2
10
2
14
1
4
1
2
1
02
1
2
1
1A
.
Assim