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Matemática

Operações e Propriedades com Matrizes

Professor Dudan

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Matemática

3

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM MATRIZES

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais.

Exemplo:

Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

A = 3 1+ x2− y 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B= 2 4

1 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Solução:

1+ x = 42− y =1

→ x = 3y =1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎧⎨⎪

⎩⎪

Adição e subtração de matrizes

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A + B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. O mesmo ocorre para a subtração.

Exemplo:

Dadas as matrizes A e B determine A + B.

A = −10 12 3

4 62 8

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B= 1 8

0 64 −16 −3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A+B= −10+1 1+82+0 3+6

4+ 4 6−12+3 8−3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A+B= −9 92 9

8 55 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

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Exemplo:

1. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A = −3 56 4

28

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B= −8 −9

45 612−3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

2. Dadas as matrizes A =1 2 3−4 5 64 6 8

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, B=−7 −8 912 6 58 7 4

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

e C =2 3 −46 7 12 8 7

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, determine a

matriz D resultante da operação A + B – C.

MULTIPLICAÇÃO COM MATRIZES

Multiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.

Observe como exemplo a determinação da matriz.

A =231

104

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⇒3.A = 3231

104

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

3.23.33.1

3.13.03.4

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

693

3012

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Multiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo m x p, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos.

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ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

Exemplo:

3. Calcule o produto de A = 1 23 1

32

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ por B=

−120

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

.

4. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

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5. Sobre as sentenças abaixo:

I. O produto das matrizes A 3x2 .B 2x1 é uma matriz 3 x 1.

II. O produto das matrizes A 5x4 .B 5x2 é uma matriz 4 x 2

III. O produto das matrizes A 2x3 .B 3x2 é uma matriz quadrada 2 x 2.

É verdade que:

a) Somente I é falsa;b) Somente II é falsa;c) Somente III é falsa;d) Somente I e III são falsas;e) São todas falsas.

6. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira é:

2 11 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 −1−1 a

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

1 00 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

a) 1 b) 2 c) 0 d) – 2 e) – 1

7. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que C = 2 53 −7

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+

−1 −72 12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

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8. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2 e bij = – i2 + j2, o valor de A – B é:

a) 0 00 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

b) 0 −66 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

c) 0 −60 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

d) 0 6−6 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

e) 6 00 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Gabarito: 1. C =−11 −4 14

51 10 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 2. D =

−8 −9 162 4 1010 5 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 3. =

3

−1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 4. C 5. B 6. B 7. C

t 1 5−2 5

⎡⎣

⎤⎦ 8. B