matrizes definiÇÃo k corpo p,q números naturais uma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um...

Matrizes

DEFINIÇÃOK corpop,q números naturaisUma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um quadro (ou tabela de dupla entrada) de escalares do tipo

com p linhas e q colunas de elementos .O elemento chama-se termo ou coeficiente da matriz. O índice i corresponde à linha, o índice j à coluna.Também se usa a notação .

11 12 1q

21 22 2q

p1 p2 pq

a a ... a

a a ... aA

a a ... a

ijA a

ija Kija

Matrizes

DEFINIÇÃO (Igualdade de Matrizes)Duas matrizes e de p linhas e q colunas são iguais se os seus coeficientes e são iguais para cada i=1,...,p e j=1,...,q.

ijA a ija

ijB b ijb

DEFINIÇÃOUma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas chama-se matriz quadrada.

Matrizes

Numa matriz quadrada p×p, os elementos a11, a22, …, app são os da diagonal principal.

Uma matriz quadrada em que os elementos que não são da diagonal principal são iguais a zero chama-se matriz diagonal.

Se todos os elementos forem iguais a zero, a matriz diz-se nula.

Os elementos aij e aji que se dispoem simetricamente relativamente à diagonal principal chamam-se opostos.

Uma matriz quadrada diz-se triangular superior (inferior) se aij=0 quando i>j (aij=0 quando i<j).

Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais chama-se matriz escalar. Se forem iguais a 1 chama-se matriz identidade.

Matrizes

DEFINIÇÃOSe é uma matriz quadrada, a matriz transposta de A, AT, é a matriz que se obtem substituindo cada elemento pelo seu oposto e mantendo os da diagonal principal. Assim, .

ijA a

TjiA a

11 12 1p

21 22 2p

p1 p2 pp

a a ... a

a a ... aA

a a ... a

11 21 p1

12 22 p2T

1p 2p pp

a a ... a

a a ... aA

a a ... a

Matrizes

DEFINIÇÃODada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz conjugada de A, , é a matriz que se obtem substituindo cada elemento de A pelo seu conjugado.

A

DEFINIÇÃODada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz associada de A ou matriz transposta hermítica de A, AH, é a matriz que se obtem transpondo a conjugada de A.

(isto é, ) TH TA A A

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ADIÇÃO DE MATRIZES

DEFINIÇÃO e duas matrizes p×q com coeficientes no corpo K.

A matriz soma, A+B, é definida como sendo a matriz

obtida adicionando os elementos correspondentes de A e B.

ijA a ijB b

ij ija b

NOTAA soma A+B só está definida quando A e B são do mesmo tipo, isto é, quando A e B têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Matrizes

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K, K.

A matriz A é definida como sendo a matriz

obtida multiplicando o escalar pelos coeficientes de A.

ijA a

ija

Matrizes

TEOREMAO conjunto M das matrizes p×q com coeficientes no corpo K é um espaço vectorial sobre K.

Matrizes

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K.

matriz q×r com coeficientes no corpo K.

A matriz produto é uma matriz p×r cujos coeficientes cij

são definidos por com i=1,...,p e j=1,...,r.

ijA a

ijB b

ijAB c q

ij ik kjk 1

c a b

(isto é, para se obter o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de AB, multiplicamos ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos da j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados,

ij i1 1j i2 2 j iq qjc a b a b ... a b

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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

NOTADuas matrizes que podem ser multiplicadas (isto é, em que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda) dizem-se encadeadas.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Sempre que os produtos estiverem definidos, tem-se:

(I) ( A B ) C = A ( B C ) - associativa

(II) A ( B + C ) = A B + A C - distributiva ( A + B ) C = A C + B C

Matrizes

TEOREMAO conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n (isto é, matrizes n×n) com coeficientes no corpo K com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel com unidade não comutativo.

Matrizes

DEFINIÇÃOUma matriz A Mn(K) diz-se invertível se existe B Mn(K) tal que A B = B A = In.

NOTAA matriz B quando existe é única.Representa-se por A-1, inversa de A.

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PROPOSIÇÃOSe A e B são matrizes invertíveis e o produto AB está definido (isto é, as matrizes são encadeadas) então:(I) AB é invertível

(II) 1 1 1AB B A

Generalizando,Se A1, A2,..., Ap são matrizes invertíveis e o produto A1A2...Ap está definido então:(I) A1A2...Ap é invertível

(II) 1 1 1 11 2 p p 2 1A A ...A A ...A A

PROPOSIÇÃOSe A é invertível, AT também o é e . 1 TT 1A A

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Matrizes

DETERMINANTE

DEFINIÇÃOF=1,2,...,n}Uma permutação de F é uma bijecção de F sobre F.

O conjunto de todas as permutações de F com a operação de composição de funções forma um grupo que se chama Grupo Simétrico e se representa por Sn.

DEFINIÇÃO

Seja a permutação .

Diz-se que ocorre uma inversão em ou que o par ((i),(j)) constitui uma inversão se i<j e (i)>(j).

1 2 ... n

1 2 ... n

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DETERMINANTE

DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE INVERSÕES

Para cada elemento do contradomínio de , verificar quais os elementos que o precedem e que são maiores do que ele.

ls é o número de elementos que precedem s e que são maiores do que s, sendo s um elemento qualquer do contradomínio de .

O número de inversões da permutação é .n

ss 1

l l

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DETERMINANTE

DEFINIÇÃOO número (1)l em que l é o número de inversões da permutação chama-se sinal da permutação e representa-se por ().

DEFINIÇÃOUma permutação diz-se par ou ímpar conforme o seu número de inversões é par ou ímpar, ou seja, conforme o seu sinal é +1 ou 1.

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DETERMINANTE

DEFINIÇÃO matriz n×n com coeficientes em K

O determinante da matriz A é o elemento de K definido pela expressão

ijA a

n

1, 1 2, 2 n, nS

det A a a ...a

Matrizes

DETERMINANTE

EXEMPLO (n=2) 11 12

21 22

a aA

a a

2 1 2

1 2 1 2S id;

1 2 2 1

n! 2! 2

1 1 2 1

2

1, 1 2, 2S

11 22 12 21

11 22 12 21

det A a a

1 a a 1 a a

a a a a

Matrizes

DETERMINANTE

EXEMPLO (n=3) 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

3 1 2 3

4 5 6

1 2 3 1 2 3 1 2 3S id; ; ;

1 2 3 1 3 2 2 1 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3; ;

2 3 1 3 1 2 3 2 1

n! 3! 6

1 4 5 1 2 3 6 1

Matrizes

DETERMINANTE

3

1, 1 2, 2 3, 3S

det A a a a

1 1 1 2 2 2

3 3 3 4 4 4

5 5 5 6 6 6

1 21, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3

3 41, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3

5 61, 1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3, 3

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

Matrizes

DETERMINANTE

REGRA DE SARRUS(para o cálculo do determinante de uma matriz 3×3)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas primeiras colunas da matriz.

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DETERMINANTE

REGRA DE SARRUS

São positivos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a vermelho, com a direcção da diagonal principal;

São negativos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a azul, com a direcção da diagonal não principal.

NOTAEm vez de acrescentarmos à direita as duas primeiras colunas podemos acrecentar em baixo as duas primeiras linhas e a regra mantem-se.

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

det A a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

Matrizes

DETERMINANTE

TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Então, det AT = det A.

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DETERMINANTE

PROPRIEDADE 1Seja uma matriz n×n sobre o corpo K.

Se a linha i de A (1in), é a soma dos n-úplos

e , então o determinante de A é igual à soma dos determinantes que se obtêm de A substituindo a linha i respectivamente por e , isto é:

ijA a i1 ina ,...,a i1 ina ,...,a

i1 ina ,...,a

i1 ina ,...,a i1 ina ,...,a

11 1n 11 1n 11 1n

i1 i1 in in i1 in i1 in

n1 nn n1 nn n1 nn

a a a a a a

det det deta a a a a a a a

a a a a a a

Matrizes

DETERMINANTE


Se a linha i de A (1in) é o produto do escalar pelon-úplo , então o determinante da matriz A é igual ao produto de pelo determinante da matriz que se obtêm de A substituindo a linha i por , isto é:

ijA a

i1 ina ,...,a

i1 ina ,...,a

11 1n 11 1n

i1 in i1 in

n1 nn n1 nn

a a a a

det deta a a a

a a a a

Matrizes

DETERMINANTE

COROLÁRIO (da Propriedade 2)Se a matriz A tem uma linha ou coluna de zeros, então det A = 0.

Matrizes

DETERMINANTE


Designemos por A' a matriz que se obtem de A trocando as linhas i e j de A (respectivamente as colunas i e j de A), ij, 1i,jn. Então det A' = det A.

ijA a

Matrizes

DETERMINANTE

COROLÁRIO (da Propriedade 3)Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det A = 0.

Matrizes

DETERMINANTE

TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Designemos por A' a matriz que se obtem de A adicionando à linha (coluna) i o produto do escalar pela linha (coluna) j.Então det A' = det A.

Matrizes

DETERMINANTE

Matrizes

DETERMINANTE

Observação:Quando se efectua a condensação de uma matriz, as transformações que podem ocorrer no seu determinante são:

- Mudança de sinal, se houver troca de linhas (ou colunas) um número ímpar de vezes;

- Multiplicação por um escalar não nulo, se se multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo.

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DETERMINANTE

TEOREMA (Critério de invertibilidade de uma matriz)Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K.A é invertível se e só se det A 0.

TEOREMAO determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal principal.

TEOREMASe A e B são duas matrizes n×n sobre o corpo K, entãodet (AB) = det A det B

Matrizes

DETERMINANTE

DEFINIÇÃOSeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Chama-se menor de A associado ao elemento aij ao elemento de K det A(i|j).A(i|j) é o determinante da matriz que se obtem de A retirando a linha i e a coluna j

DEFINIÇÃOSeja A uma matriz n×n sobre o corpo K.Chama-se complemento algébrico do elemento aij da matriz A ao elemento de K (1)i+j det A(i|j).Representa-se por Aij.

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DETERMINANTE

TEOREMA DE LAPLACEO determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos complementos algébricos.

COROLÁRIOA soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos complementos algébricos dos elementos de uma fila paralela, pela mesma ordem, é nula.

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MATRIZ INVERSA

DEFINIÇÃOChama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo A e substituindo em seguida cada elemento pelo seu complemento algébrico.

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a a

a a aA

a a a

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

A A A

A A AadjA

A A A

Matrizes

MATRIZ INVERSA

TEOREMA

nA adjA adjA A det A I

Se det A 0, então 1 1A adjA

det A

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MATRIZ INVERSA

DEFINIÇÃOUma matriz quadrada A com coeficientes num corpo K diz-se regular (ou não singular) se det A 0.

TEOREMAUma matriz quadrada com coeficientes num corpo é invertível se e só se é regular.

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MATRIZ INVERSA

DEFINIÇÃOUma matriz quadrada real invertível A diz-se ortogonal se a inversa coincide com a transposta.

DEFINIÇÃOUma matriz quadrada complexa invertível A diz-se unitária se a inversa coincide com a transposta da conjugada.

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CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ

Matrizes


As linhas da matriz A podem ser identificadas com vectores do espaço vectorial Kn.

Seja uma matriz m×n sobre o corpo K.ijA a

1 11 12 1n

i i1 i2 in

m m1 m2 mn

L a a a

L a a a

L a a a

Linhas da matriz A

Li vector cujas coordenadas são na base canónica de Kn.

i1 i2 ina ,a ,...,a

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A dependência linear das linhas de uma matriz goza das seguintesPROPRIEDADES

Se em L1,...,Lm algumas das linhas forem linearmente dependentes, então todas o são.

P1

Se em L1,...,Lm alguma linha é nula (isto é, totalmente formada por zeros), então as linhas são linearmente dependentes.

P2

L1,...,Li,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li,...,Lm, escalar não nulo.

P3

L1,...,Li,...Lj,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li+Lj,...,Lj,...,Lm.

P4

Matrizes


As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo acontece com as que se obtêm somando a uma delas uma combinação linear das restantes.(consequência de P3 e P4)

P5

As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se alguma delas é combinação linear das restantes.

P6

Matrizes


Analogamente para colunas.

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OPERAÇÕES ELEMENTARES sobre as linhas de uma matriz

Troca entre si de duas linhas.O1

Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.O2

Substituição de uma linha pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra por um escalar.

O3

Matrizes


Analogamente para colunas.

Matrizes


TEOREMAA dependência ou independência linear das linhas (ou colunas) de uma matriz não é alterada por nenhuma das seguintes operações (chamadas operações elementares):

Troca (entre si) de duas filas paralelas (linhas ou colunas).O1

Multiplicação de uma fila por um escalar diferente de zero.O2

Substituição de uma fila pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra fila paralela por um escalar.

O3

Matrizes


É possível, efectuando apenas operações elementares, transformar qualquer matriz numa matriz diagonal em que os primeiros elementos da diagonal principal são iguais a 1 (podendo eventualmente serem todos) e os restantes (que podem eventualmente não existir) são iguais a 0.

É o que se chama condensar uma matriz.

Matrizes


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Condensando uma matriz obtemos uma matriz do tipo

com r elementos iguais a 1 na diagonal principal que se pode representar por

onde Ir representa a matriz identidade de ordem r e os zeros significam que os restantes elementos da matriz são todos nulos.

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

rI 0

0 0

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DEFINIÇÃOCaracterística de uma matriz é o número máximo de filas (linhas ou colunas) linearmente independentes.

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Descrição do processo de Condensação de uma matriz (caso geral)

Seja A=[Aij] uma matriz m×n, de característica r (a determinar).

Se A=0 (matriz nula), não há filas linearmente independentes e a característica é igual a zero.

Se A0, executam-se sobre A as seguintes operações elementares:

, com

por operações do tipo O1 ( se ).

(i) 11a 0 ijA A a

11a 0A A

Matrizes


, com e , i2

por operações do tipo O3.

(ii) 1j 1jb a i1ij ij 1j

11

ab a a

a

ijA B b

Ficará bi1=0 (i2) e ao elemento a'11, abaixo do qual todos os elementos ficaram iguais a zero, chamaremos elemento redutor.

, com e

por operações do tipo O1 ( se ).

(iii) 1j 1jb b 22b 0 ijB B b

22b 0B B

, com , i3

por operações do tipo O3 e tomando como elemento redutor.

(iv) i2c 0ijB C c

22b

E assim sucessivamente até chegar à última linha não nula.

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INVERSÃO DE UMA MATRIZ

TEOREMASeja A uma matriz n×n sobre o corpo K, invertível.Então é possível condensar a matriz A utilizando apenas transformações elementares em linhas (ou em colunas).Além disso, a matriz que se obtem de In efectuando em In, pela mesma ordem, as transformações elementares em linhas (ou em colunas) que permitiram condensar A é a inversa de A.

matrizes definiÇÃo k corpo p,q números naturais uma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um...

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