Lógica Proposicional

Resolução

Notação na forma de conjuntos H=(PvQvR)^(PvQ)^(PvP) Representação na forma de

conjuntos: H={[P,Q,R],[P,Q],[P]} Note que

(PvQvR) = [P,Q,R] (PvP)=[P]

Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos

Cláusulas e literais complementares

Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos: C1={P,Q,R}, C2={P,Q}, C3={P}

Dois literais são complementares quando um é a negação do outro

Resolvente de 2 cláusulas Supondo 2 cláusulas C1={A1,...,

An} e C2={B1, ..., Bn}, com literais complementares A, um conjunto de literais em C1, tal

que -A, um conjunto de literais

complementares a A, estão em C2 Resolvente de C1 e C2: Res(C1,C2)=(C1-A)U(C2- -A) Res(C1,C2) pode ser {}

Resolvente vazio ou trivial

Exemplo de resolvente

C1={P,Q,R} e C2={P,R} Res (C1,C2) = {Q,R}, que

também é uma cláusula D1={P,Q} e D2={P,Q} Res (D1,D2) = {}, que também é

uma cláusula

Regra de Resolução

Supondo 2 cláusulas C1={A1,..., An} e C2={B1, ..., Bn}, a Regra de Resolução aplicada a C1 e C2 é: Deduzir Res(C1,C2)

Para verificar satisfabilidade Empregar várias vezes até obter a

cláusula vazia Expansão por resolução

Expansão por resolução {[P,Q,R],[P,R],[P,R]} 1. [P,Q,R] 2. [P,R] 3. [P,R] 4. [Q,R] Res (1,2) 5. [Q,P] Res (3,4) 6. [P] Res (2,3) (Não conseguimos obter a cláusula

vazia...)

Exemplo de expansão por resolução {[P,Q],[P,R],[P,Q],[Q,R]} 1. [P,Q] 2. [P,R] 3. [P,Q] 4. [Q,R] 5. [Q,R] Res (1,2) 6. [P,R] Res (3,5) 7. [Q,R] Res (1,6) 8. {} Res(4,7) Expansão fechada – contém a cláusula

vazia

Forma clausal

Dada uma fórmula H, a forma clausal associada a H é Uma fórmula Hc, uma conjunção de

cláusulas equivalente a H Toda fórmula proposicional possui

uma forma clausal associada

Exercício

Achar a a forma clausal associada a:

(H^(GvH)) (H^G)v(H^H) (H G) (H G) ((H)) H

Principais Leis 1 -Leis de eliminação

PQ = (PvQ) P Q = (P Q)^(Q P)

2 -Lei da negação (H) H

2 -Leis de De Morgan (PvQ) = P ^ Q (P^Q) = P v Q

3 -Leis distributivas: F v (G^H) = (FvG) ^ (FvH) F ^ (GvH) = (F^G) v (F^H)

Prova por resolução

Dadas uma fórmula H e Hc (forma clausal associada a H)

Uma Prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre Hc

H é um teorema do sistema de resolução

Exemplo de Prova por resolução

H=((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P4

Determinar Hc associada a H Hc=(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^

(P3P4)) P4)) =(((P1vP2vP3)^(P1P4)^(P2P4)^(P3P

4))vP4) =(P1vP2vP3)^(P1vP4)^(P2vP4)^(P3vP4)

^ P4 ={[P1,P2,P3],[P1,P4],[P2,P4],[P3,P4],

[P4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!

Exemplo de Prova por resolução (cont.) 1. [P1,P2,P3] 2. [P1,P4] 3. [P2,P4] 4. [P3,P4] 5. [P4] 6. [P2,P3,P4] Res(1,2) 7. [P3,P4] Res(3,6) 8. [P4] Res(4,7) 9. {} Res(5,8)

Exercício

H=((P1vP2)^(P1P4)^(P2P4)^ (P3P4)) P3

Determinar Hc associada a H Fazer a expansão por resolução

Aberta ou fechada?

Conseqüência lógica na resolução

Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses

={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica de

por resolução se existe uma prova por resolução

de (H1^H2^...^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica por Resolução

Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} por resolução, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um

perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente

“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução

Provar H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT)) P

Mostrando que H é absurdo H=(D^I^((D^A)P)^(TA)^(IT))

P gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?

Resolução e Tableaux [Fitting 1990]

Métodos por negação Implementáveis

Resolução (Julia Robinson 1965) Prolog [Colmerauer 1972]

Em tableaux, usam-se preferencialmente as regras que não bifurcam Bom para DNF

Em resolução, usamos CNF Uma expansão fechada por resolução

equivale a um tableau fechado

Conjunto insatisfatível

Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?

Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}

Conjunto insatisfatível (cont.)

é insatisfatível sse H= ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD) for

uma tautologia H é tautologia Expansão por resolução

associada a Hc é fechada Hc = (AvB)^B^C^(CvD)^A^D Hc = {[A,B],[B],[C],[C,D],[A],[D]}

Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é

tautologia

Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é

insatisfatível? Provar que

((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia

Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade)

H é válida H é contraditória

Por resolução Gerar uma expansão por resolução fechada

para (((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))

Conclusões

Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Expansão por resolução

associada a Hc (forma clausal de H) é fechada H é contraditória (insatisfatível) H é tautologia

Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é fechada

H é refutável Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é aberta

Exercício

Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício Se hoje é Quinta-feira, então

amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.