espa˘cos m etricos aula: conjuntos abertos e conjuntos ...€¦ · exemplo 3 se x = q;m = r e d e...

Conjuntos Abertos Conjuntos Fechados

Espacos MetricosAula: Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados

Prof. Rafael Rodrigo OttoboniDepartamento de Matematica - ICENE

27 de marco de 2018

Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni Departamento de Matematica - ICENEEspacos Metricos Aula: Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados


Sumario

Conjuntos Abertos

Conjuntos Fechados



Definicao de Ponto Interior

Seja M um espaco metrico munido de uma metrica d . Dizemosa ∈ X ⊂ M e ponto interior de X se, e so se

∃r > 0|B(a; r) ⊂ X

O interior do subconjunto X em M e definido por:

int(X ) = {a ∈ X |a e ponto interior de X}

Observe que a /∈ int(X ) significa que

B(a; r) ⊂/X , ∀r > 0



Definicao de Conjunto Aberto

Seja (M, d) um espaco metrico. Dizemos que X ⊂ M e umconjunto aberto se, e so se

X = int(X )



Definicao de Fronteira

Seja (M, d) um espaco metrico e X ⊂ M. A fronteira de X edefinida por:

∂X = {b ∈ M|∀r > 0,B(b; r) ∩ (M − X ) 6= ∅ e B(b; r) ∩ X 6= ∅}



Visualizacao.


pontointeriorenaointerior.ggb


Exemplo 1

Se X = [0, 1), M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = (0, 1)∂X = {0, 1}

Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R com a metricadistancia entre dois pontos.



Exemplo 1

Se X = [0, 1), M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = (0, 1)∂X = {0, 1}Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R com a metricadistancia entre dois pontos.



Exemplo 2

Se X = [0, 1), M = R2 e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = [0, 1]

Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R2 com a metricadistancia entre dois pontos.



Exemplo 2

Se X = [0, 1), M = R2 e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = [0, 1]Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R2 com a metricadistancia entre dois pontos.



Exemplo 3

Se X = Q, M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = R

Assim Q nao e um conjunto aberto em R com a metrica distanciaentre dois pontos.



Exemplo 3

Se X = Q, M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = RAssim Q nao e um conjunto aberto em R com a metrica distanciaentre dois pontos.



Resultado

Seja (M, d) um espaco metrico e considere X ⊂ M, entao

M = int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X



Demonstracao do Resultado

Obviamente temos

(int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X ⊂ M)�

Mostremos agora que M ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X

x ∈ M ⇒ x ∈ X ou x ∈ M − X



Continuacao da Demonstracao

Se x ∈ X , entao x ∈ int(X ) ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂Xou x /∈ int(X ), isto e para todo r > 0 temos que

B(x ; r) ⊂/X

ou equivalente

B(x ; r) ∩M − X 6= ∅,

Por outro lado temos obviamente que B(x ; r) ∩ X 6= ∅.Logo x ∈ ∂X ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂XAssim se (x ∈ X =⇒ x ∈ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )4




Se x ∈ M −X , entao x ∈ int(M −X ) ⊂ int(X )∪ int(M −X )∪ ∂Xou x /∈ int(M − X ), isto e para todo r > 0 temos que

B(x ; r) ⊂/M − X

ou equivalente

B(x ; r) ∩ X 6= ∅

Por outro lado temos obviamente que B(x ; r) ∩M − X 6= ∅.Logo x ∈ ∂X ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂XAssim se (x ∈ M − X =⇒ x ∈ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )44




De 4 e 44 temos

(M ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )��

Logo, de � e �� concluımos que

M = int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂(X )



Resultado 2

Seja (M, d) um espaco metrico e considere X ⊂ M. EntaoX e aberto em M com relacao a metrica d se, e somente seX ∩ ∂X = ∅



Demonstracao do Resultado 2

(=⇒)Por hipotese X = int(X ). Assim X ∩ ∂X = int(X ) ∩ ∂X = ∅

(⇐=)Pelo resultado 1 temos que X = int(X ) ∪ ∂X e por hipotese temosX ∩ ∂X = ∅. Assim X = int(X ), isto e X e aberto.




(=⇒)Por hipotese X = int(X ). Assim X ∩ ∂X = int(X ) ∩ ∂X = ∅(⇐=)Pelo resultado 1 temos que X = int(X ) ∪ ∂X e por hipotese temosX ∩ ∂X = ∅. Assim X = int(X ), isto e X e aberto.



Resultado 3

B(a; r) ⊂ M, com M espaco metrico munido com uma metrica d,e aberta




Seja x ∈ B(a; r), assim d(x , a) < r .Se s = r − d(x , a) temos que B(x ; s) ⊂ B(a; r). De fato,Se y ∈ B(x ; s) entao

d(y , a) ≤ d(y , x)+d(x , a) < s+d(x , a) = r−d(x , a) = d(x , a) = r

ou seja d(y , a) < r(y ∈ B(a; r))Logo x ∈ int(B(a; r)). Como todo ponto de B(a; r) e interiorentao B(a; r) e aberta.



Observacao

Com base no resultado anterior e possıvel mostrar que int(X ) e umconjunto aberto.



Exemplo 4

M − B[a; r ]

e um conjunto aberto.

De fato,Seja x ∈ M − B[a; r ], entao d(x , a) > r . Tomemos s > 0 de talforma que s + r < d(x , a).Note que se y ∈ B(x ; s) entao

s + r < d(x , a) ≤ d(x , y) + d(y , a) < s + d(y , a)

ou seja

d(y , a) > r

ou ainda y ∈ M − B[a; r ]. Isto B(x ; s) ⊂ M − B[a; r ]. Desta formatodo ponto de M − B[a; r ] e ponto interior, o que garante queM − B[a; r ] e aberto.



Exemplo 4

M − B[a; r ]

e um conjunto aberto. De fato,Seja x ∈ M − B[a; r ], entao d(x , a) > r . Tomemos s > 0 de talforma que s + r < d(x , a).Note que se y ∈ B(x ; s) entao

s + r < d(x , a) ≤ d(x , y) + d(y , a) < s + d(y , a)

ou seja

d(y , a) > r

ou ainda y ∈ M − B[a; r ]. Isto B(x ; s) ⊂ M − B[a; r ]. Desta formatodo ponto de M − B[a; r ] e ponto interior, o que garante queM − B[a; r ] e aberto.



Exemplo 5

Os intervalos (a, b), (a,+∞), (−∞, a) e (−∞,∞) sao abertos emR com a metrica distancia entre dois pontos.



Resultado 4

(a) Se Aj e aberto para j = 1, . . . , n, entaon⋂

j=1

Aj e aberto

(b) Se Aλ e aberto para todo λ ∈ L ⊂ R, entao⋃j∈L

Aj e aberto



Demonstracao do Resultado 4 item (a)

Seja x ∈n⋂

j=1

Aj , ou seja x ∈ Aj , ∀j ∈ {1, . . . , n}.

Como Aj e aberto para todo j ∈ {1, . . . , n}, temos que existem rjtais que B(x , rj) ⊂ Aj para cada j ∈ {1, . . . , n}.Seja s = min

j∈{1,...,n}rj . Assim temos B(x ; s) ⊂ B(x , rj) ⊂ Aj para

todo j ∈ {1, . . . , n}.Desta forma B(x ; s) ⊂ Aj ,∀j ∈ {1, . . . , n}, ou seja

B(x ; s) ⊂n⋂

j=1

Aj .

Como mostramos acima que todo ponto den⋂

j=1

Aj e interior,

concluımos quen⋂

j=1

Aj e um conjunto aberto.



Demonstracao do Resultado 4 item (b)

Seja x ∈⋃j∈L

Aj , ou seja x ∈ Aj para algum j ∈ L.

Como Aj e aberto temos que existe rj tal que

B(x , rj) ⊂ Aj ⊂⋃j∈L

Aj .

Desta forma B(x ; rj) ⊂⋃j∈L

Aj , ou seja x e ponto interior de⋃j∈L

Aj .

Como mostramos acima que todo ponto de⋃j∈L

Aj e interior,

concluımos que⋃j∈L

Aj e um conjunto aberto.



Definicao de ponto aderente

Dizemos que um ponto a ∈ M e ponto aderente a um subconjuntoX ⊂ M se, e so se d(a,X ) = 0

Note que

d(a,X ) = 0⇐⇒ ∀ε > 0 tem-se B(a; ε) ∩ X 6= ∅

Chamamos de fecho de X o conjunto definido por

X = {a ∈ M, a e ponto aderente a X}



Definicao de ponto aderente

Dizemos que um ponto a ∈ M e ponto aderente a um subconjuntoX ⊂ M se, e so se d(a,X ) = 0Note que

d(a,X ) = 0⇐⇒ ∀ε > 0 tem-se B(a; ε) ∩ X 6= ∅

Chamamos de fecho de X o conjunto definido por

X = {a ∈ M, a e ponto aderente a X}



Definicao de Conjunto Fechado

Seja (M, d) um espaco metrico, dizemos que X ⊂ M e umconjunto fechado se, e so se X = X



Resultado 1

a /∈ X ⇐⇒ a ∈ int(M − X )




(=⇒)Pelo resultado 1 de conjuntos aberto temos queM − X = int(M − X ) ∪ ∂(M − X ).Assim se a /∈ int(M − X ) temos que a ∈ ∂(M − X ). Em particular∀r > 0 B(a; r) ∩ X 6= ∅, isto e a ∈ X o que e uma contradicao.



Continuacao da Demonstracao do Resultado 1

(⇐=)Por hipotese temos que existe r > 0 tal que B(a; r) ∩ X =, ou sejaB(a; r) ⊂ (M − X ), o que garante que a e um ponto interior deM − X .



Resultado 2

F e fechado⇐⇒ M − F e aberto



Resultado 3

(a) Se Aj e fechado para j = 1, . . . , n, entaon⋃

j=1

Aj e fechado

(b) Se Aλ e fechado para todo λ ∈ L ⊂ R, entao⋂j∈L

Aj e fechado


espa˘cos m etricos aula: conjuntos abertos e conjuntos ...€¦ · exemplo 3 se x = q;m = r e d e...

Documents