conjuntos numéricos. n z q i r · segunda. ex: ½ / ¼ ... exercitando. resolva as expressões...

prof. Alessandro Ramaldes

Conjuntos numéricos.

N

Z

Q

I

R


Z= inteiros

Regra dos sinais.

+ - = -

- + = -

+ + = +

- - = +

Só é aplicado na multiplicação e divisão.

Exemplos:


Exemplos;

-4 + 5 = 1

-4 X -3 = 12

-128/-32 = 4


Números racionais.

Todo numero que pode ser escrito em forma

de fração.

A com B diferente de zero.

B

A = numerador

B= denominador


Soma e subtração com denominadores

iguais.

Somamos os numeradores e repetimos os

denominadores.

Ex:

¼ + ¾ = 4/4 = 1

Com denominadores diferentes.

½ + 2/3 = 3 + 4 = mmc 2,3 = 6

6


Multiplicação

Numerador x numerador

Denominador x denominador

Ex:

2/3 x 1/5 = 2/15


Divisão

Repete a primeira fração x o inverso da

segunda.

Ex:

½ / ¼ = ½ x 4/1 = 4/2 = 2


Dizimas periódicas.

Ex; 1/3 = 0,333333333.....

como resolver o problema?

0,22222222.... x 0,33333333.....

Transformando uma dizima em fração 0,2222.....

1º notamos o período = 2

2º colocamos esse número como numerador

3º para cada algarismo existente no periodo colocamos um

9 no denominador. Daí teremos; 2/9

Fazendo o mesmo para 0,333... Temos 3/9 = 1/3

Agora resolvemos 2/9 + 1/3 = 5/9 que como dizima é

0,555...


Exercitando

0,444444..... X 0,5555555.....

0,111111... X 0,999999.....


Dizimas periódicas compostas.

Ex; 0,1222222...

1º notamos a parte não periódica. = 1

2º notamos a parte periódica. = 2

3º juntamos a parte não periódica com a periódica e formamos um novo

número. = 12

4º colocamos esse novo número no numerador

5º colocamos no denominador um 9 para cada algarismo da parte

periódica.

6º colocamos um zero para cada algarismo não periódico.

Até aqui temos; 12 feito isso subtraimos a parte não periodica

90

do novo numerador daí temos 12 - 1 = 11/90

90


Exercitando;

0,23333333....

0,144444444....

0,3555555....


Números decimais.

São números cujo os denominadores são

múltiplos de 10.

Ex; 1/10 = 0,1

1/100 = 0,01

23/1000 = 0,023


Trabalhando com números decimais

Soma e subtração

Mantém a virgula embaixo de virgula e

efetua a operação.

Ex; 0,23 + 0,001 = 0,231

0,123 – 0,12 = 0,003 = 0,003


Multiplicação.

Se esquece a virgula e efetua a operação

depois somamos o número de casa decimais

das parcelas e atribuímos ao resultado.

Ex; 0,02 x 0,02 = 0,0004

O,012 x 0,3 = 0,0036

1,2 x 0,1 = 0,12


Divisão

Colocamos o quociente e o divisor com o

mesmo número de casa decimais e

efetuamos a operação como se fossem

números naturais.

Ex; 0,123 / 0,3 = daí teríamos 123/300 = 0,41

0,3 / 0,15 = 2


Exercitando.

Resolva as expressões

[(0,2 + 0,31) – ( 0,12 x 0,04)]

0,1236 / 0,3

(0,32 x 0,2) x ( 0,4 x 0,196 )


Números irracionais

São todos os números que não podem ser

escritos em forma de fração.

Ex; ∏ = 3,141592653589793238462643383

√2 = 1,4142135623730950488016887242


Trabalhando com raízes.

Quanto seria √2 + √3 = ?


Resposta

√2 + √3

Ou seja não podemos modificar ao escrever

essas raízes na forma de raiz.

Agora; quanto seria √12 + √27=?


Resposta

5 √3

Porque?

Temos que √12 temos 2x2x3 como temos dois

ao quadrado cortamos o quadrado com a

raiz. Daí temos 2 √3 pois não podemos

resolver a raiz de 3

√27= 3x3x3 temos um 3 ao quadrado

temos 3 √3 como 2 √3 + 3 √3 =5 √3


Exercitando.

Resolva;

√18 + √8

√45 - √20

√50 + √45


Multiplicação e divisão

Repete-se a raiz e realiza a operação com

os números que estão dentro.

Ex; √2 x √3 = √6

√8 x √18 = 2 √2 x 3 √2 = 6x √2x √2= 6x2 = 12


Racionalização.

É encontrar uma formula de tirar do

denominador de uma fração uma raiz.

Ex: 1 / √2= √2/2 ( primeiro caso )

1 / √2 + 1 = √2 – 1 ( segundo caso )


Exercitando.

Racionalize os denominadores abaixo.

3/ √2

4/ √12

1/ √3 + 1

2/ √2 – 2


Questões de concursos.

Observe as frações e suas respectivas representações

decimais.

3/1000 = 0,003

2367/100 = 23,67

129/10000 = 0,0129

267/10 = 2,67

Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa

correta?

a. I e II

b. I e IV

c. I, II e III

d. I, II, III e IV


Qual o valor da √1,7777....

A)1,3333...

B)1,2222...

C)1,1111...

D)4,2

E)Nehuma das anteriores


Propriedades de potência.

an . am = an+m

(an) / (am) = an-m

(am)n = am . n

(a - m) = 1/ am

an/m = m√ an


Notação científica.

É uma maneira de escrever um número,

normalmente números grandes, de uma forma mais

simples.

Sempre sendo escrito dentro da regra 1<x<10

Ex: 3000 podemos escrever 3 x 1000 que também

pode ser escrito como 3 x 103

43000 = 4,3 x 104

543200000 = 5,432 x 108


escrevendo números decimais em notação

científica.

0,003 = 3 x 10-3

0,000000435 = 4,35 x 10-7


O número 0,000 000 25 escrito em notação

científica é:

a) 2,5 x 10-5

b) 2,5 x 10-6

c) 25 x 10-8

d) 25 x 10-6

e) 2,5 x 10-7


Escrevendo-se 0,000 0072 obtém-se:

a) 0,72 x 10-6

b) 0,72 x 10-5

c) 7,2 x 10-5

d) 7,2 x 10-8

e) 7,2 x 10-7


Efetuando-se 2,5 x 10-5 / 5 x 10-5, obtém-se:

a) 5

b) 0,5 x 10-1

c) 5 x 10-1

d) 0,5 x 10-3

e) 0,5 x 10-11


Equação do 1º grau ou função linear ou ainda

função afim.

Sempre na fórmula y= ax + b


Resolvendo problemas com a equação e

sistemas de equação do 1º grau.

Ex: A soma das idades de duas pessoas é 25

anos e a diferença entre essas idades é de

13 anos. Qual a idade de cada uma?


Resolvendo o sistema.

x+y=25 (a)

x-y=13 (b)

Usaremos o método por isolamento.

(a) x=25 – y

(b) (25 – y ) – y = 13 25 – 2y = 13

-2y =13 – 25 -2y= -12 y= -12/-2 y= 6

(a) x= 25 – 6 x= 19

Ou seja uma tem 6 anos e outra 19 anos


Questão 4


Questão 5. A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n.

Então, o valor de m³ + n é

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13


Usando os pontos do gráfico temos.

Y=1 e x=3

Y=-9 e x= -2

Daí y = mx + n substituindo 1= m3 + n e também -9 = -2m + n

Resolvendo o sistema n= 1 – 3m substituindo -9 = -2m + ( 1-3m)

-9= -2m+ -3m +1 -9 -1 = -5m m= -10/-5 m=2

Como 1= m3 +n temos 1= 2.3 + n 1= 6 + n 1 – 6 = n n= -5

O que se pede é m³ + n temos 2³ + (-5) 8 – 5 = 3

Letra B


Questão 6

Uma repartição possui 120 cadeiras, das quais 15% estão

em conserto e o restante encontra-se nas salas A, B, C ou perdido.

A soma do número de cadeiras das salas B e C é o triplo do

número de cadeiras da sala A, a sala B contém o dobro do

número de cadeiras da sala C, e o número de cadeiras da sala B

menos o da sala A é igual a 25.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1)

Mais de 20 cadeiras estão em conserto.

2)

As salas A e C apresentam a mesma quantidade de cadeiras.

3)

O número de cadeiras perdidas é superior a 5


A+B+C+P=102 POIS 15% DE 120 É 18

B + C = 3A

B = 2C

B – A = 25

Como B = 2C 2C+C=3A 3C=3A C=A

Daí (B=2C) – A = 25 2A - A = 25 A = 25

Portanto C=25 e B= 50 daí temos 2 perdidas

1) Errada são 18 cadeiras em conserto

2) Certo

3)Errado não é superior a 5 pois são 2


Questão 7

Um certo sultão tinha muitos cavalos. Certa vez, alguém lhe

perguntou quantos eles eram, e a resposta foi a seguinte:'

Se você somar um quarto do número de cavalos a um terço

do mesmo número, terá dez a mais que a metade do

número de cavalos.' Quantos cavalos tinha o sultão?“

A) 98 B) 102 c)115 d)120 e)132


Questão 9


Inequação do 1º grau.

No geral se resolve uma inequação como

resolvemos um equação.

Ex; 2x – 6 > 12

2x > 12 + 6

2x > 18

x > 18/2

x > 9


Temos que ter uma atenção especial para quando o

coeficiente for negativo, neste caso devemos inverter

a desigualdade.

Ex: 2x + 3 > 3x – 5

2x – 3x > -5 - 3

-x > -8 ( aqui multiplicamos tudo por -1 e

invertemos a desigualdade )

x < 8


Exercitando;

Resolva as inequações abaixo.

3x + 2 > 2 – 5x

2x -9 < 4x – 4

5x – 3 < 8x + 3


Equação do segundo grau ou função

quadrática.

Esta na forma ax2 + bx + c = y

Para descobrir as raízes de uma equação

usamos a fórmula de bhaskara.


Informações importantes.

Δ = b2 - 4.a.c


Resolvendo as raízes de uma equação de 2º grau.

Quais os coeficientes da equação x² + 4x – 5 = 0?

a = 1 b = 4 c = – 5


Em uma equação do 2º grau podemos ter valores máximos e

mínimos. Que são dados pelo yv = -Δ/4a Ex;


Exercícios de concursos.

Questão 1


Questão 2

A soma de dois números é 12 e a soma de

seus quadrados é 74. Determine o produto

desses números.

A) está entre 20 e 30

B) está entre 30 e 40

C) está entre 40 e 50

D) está entre 50 e 60


Logo 7x5=35 letra b


Questão 3

Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu.

Se multiplicarmos as idades que possuem

hoje, obtém-se um produto que é igual a três

vezes o quadrado da idade do filho. Quais são

as suas idades?


Questão 4

O número de ocorrências policiais no dia x do mês é

dado pelo valor da função f(x) = -x2 + 12x -27, e os dias em que

ocorrências foram registradas são aqueles em que f(x) > ou = 0.

Com base nessas informações, julgue os itens abaixo.

17)

O número de dias em que foram registradas ocorrências é

superior a 9.

18)

O maior número de ocorrências em um único dia foi

inferior a 10.

19)

Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de

ocorrências registradas vai aumentando.


Questão 5

sabendo que as expressões

São iguais então o produto de suas raízes é;

A) 10

B) -10

C) 14

D) -14


Questão 3


Progressão Aritmética.

Ex; 2,4,6,8......

Fórmula termo geral.

an= a1+(n-1).r onde;

an= enésimo termo.

a1= primeiro termo.

n= números de termos.

r= razão.


Razão de uma progressão aritmética.

r= a2-a1= a3-a2= a4-a3.....

Exercitando.

Qual o 35º termo da sequencia abaixo.

-3,-1,1,3,......


Questão 1

Quantos números ímpares há entre 13 e 193?

(A) 88

(B) 89

(C) 87

(D) 86

(E) 90


Questão 2


Questão 3


Questão 4


Questão 5

Seja uma progressão aritmética de razão -5 e

décimo termo igual a 12. o primeiro termo

desta progressão é.

50

57

63

89


Questão 6

Em uma progressão aritmética sabe-se que a4

= 12 e a9 = 27. então a5 vale;

10

15

20

25


Questão 7

Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números

em P. A. nesta ordem. Então x vale;

2

4

6

8

10


Somatório dos termos de uma P.A.

Sn= ( a1 + an )n

2


Questão 1


Questão 4

A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000,

isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:

a) 5870

b) 12985

c) 2100 . 399

d) 2100 . 379

e) 1050 . 379


Questão 6

A soma dos múltiplos de 4 compreendidos entre 10 e 90 é;

700

800

900

1000

1100


Progressão geométrica

Termo geral

an= a1.rn-1

Onde

an= enésimo termo.

a1= primeiro termo.

n= números de termos.

r= razão.


Razão de uma progressão geométrica.

r= a2\a1=a3\a2=a4\a3.........

Exercitando.

Determine o 8º termo da P.G.(1, 2, 4,...)


Questão 2

Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, o

termo de ordem 8 é;

1032

4096

6096

8000

10000


Somatório de uma P.G.

Sn= a1(rn – 1)

r – 1

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

a1

1-r


Questão 1


Questão 2

A soma da seguinte P.G infinita (10, 4, 8/5,...)

10\5

40\3

50\3

65\2

Nenhuma das anteriores.


Logaritmo.

Log a = x equivale b x = a

b

Ex. log 81 = ?

3

Ex. log x = 5

2


Exercitando.

Log 0,01 =?

10

Log 2√2 = ?

4

Log 0,25 = ?

2


Propriedades logarítmicas.

Condições de existência de um logaritmo.

Seja log a = x

b

Temos

a > o

b > 0 e b ≠ 1


Propriedades logarítmicas.

loga (x * y) = loga x + loga y

logax/y = logax – logay

logaxm = m*logax


Ex.seja log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5

Calcule log 12=?

4


Questões de concursos.

Assinale a propriedade válida sempre:

a) log (a . b) = log a . log b

b) log (a + b) = log a + log b

c) log m . a = m . log a

d) log am = log m . a

e) log am = m . log a

(Supor válidas as condições de existências

dos logaritmos)


Os valores de x que satisfazem log x + log (x -

5) = log 36 são:

a) 9 e -4

b) 9 e 4

c) -4

d) 9

e) 5 e -4


log3 (x + 5) = 2. podemos afirmar que x vale:

2

3

4

5

6


Calcule o valor do log

a) 3

b) 2.

c) 3/4

d) 3/2.

e) 6/12.


Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor

correspondente a log 144.

a) 2,22.

b) 2,19.

c) 2,06.

d) 2,14.

e) 2,27.

conjuntos numéricos. n z q i r · segunda. ex: ½ / ¼ ... exercitando. resolva as expressões...

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