profa. silvia modesto nassar [email protected] introdução aos conjuntos difusos incerteza:...

Profa. Silvia Modesto [email protected]

Introdução aos Conjuntos Difusos

• INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão

• CONJUNTOS CLÁSSICOS: caracterização

• CONJUNTOS DIFUSOS: caracterização


Conjuntos Clássicos: caracterização

DEFINIÇÃO: elemento, propriedade e função característica.• CONCEITOS: cardinalidade, complemento, união e intersecção.• PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES: involução,

comutatividade, associatividade, distributividade, idempotência, absorção, identidade.

• LEIS: contradição, meio excluído, Morgan• OUTRAS PROPRIEDADES: conjuntos disjuntos, partição.


Conjuntos Difusos: caracterização

• CONJUNTO: Difuso/Nebuloso/Fuzzy• FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA• NOTAÇÃO DE UM CONJUNTO DIFUSO• PROPRIEDADES: α-cut, suporte, núcleo, altura, convexidade• OPERAÇÕES-PADRÃO: complemento, união (t-conorma),

intersecção (t-norma)• TIPOS DE CONJUNTOS DIFUSOS: ordinário e intervalo-

valorado.


TIPOS DE INCERTEZA

E R R O IR R E L E VÂ N C IA

IG N O R Â N C I A

D I S T O R Ç Ã O I N C O M P L E T UD E

I N C E R T E Z A AUS Ê N C IA

A L E A T O R I E D A D E A M BIGU ID A D EVAG UE Z A /IM P REC IS Ã O

R E D E SBA YES IA N A S

F UZ Z Y

Fig u ra 1 . Ta x in o m ia da I g n o râ n cia ( ad ap tad o d e Br ac a ren s e , 1 9 9 9 * )

* Um en fo q u e s eg u n d o a teo r ia d o s c o n ju n to s d if u s o s p ara a m e ta- an á lis e ,T es e , P P G E P /UF S C ,1 9 9 9 , p ag s 1 7 e 1 8 .


INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão(vagueza)

• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” aleatoriedade : probabilidade de ocorrer o conjunto A

a proposição ou é V (certamente x pertence ao conjunto A) ou é F (certamente x não pertence ao conjunto A)distinção precisa, não ambígua, entre ser membro ou não do conjunto A


Incerteza:aleatoriedade x imprecisão

• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” imprecisão : grau de pertinência ao conjunto fuzzy A

esta proposição NÃO necessariamente é V ou Fpode ser Verdadeira somente com algum grau, o grau em que x é membro de AA é um conjunto fuzzy se seus limites não são precisos. Assim, a pertinência a um conjunto fuzzy não é uma afirmação ou negação, mas uma intensidade de pertinência.


Conjuntos: Clássicos x Difusos

• Conjuntos difusos: limites imprecisos grau de pertinência expressam a transição

gradual de pertencer a não pertencer

representam conceitos vagos expressos em linguagem natural

• Conjuntos Clássicos: limites precisos pertence ou não pertence a transição de pertencer a

não pertencer é brusca


Conjunto A: { homem careca }

• Abordagem fuzzy: GRAU DE PERTINÊNCIA

ao conjunto A: [0;1]

• Abordagem Clássica: PROBABILIDADE de ocorrência

do conjunto A: [0;1]


Conjuntos Clássicos ou Crisp: definições

• Definição de um conjunto crisp A: lista de seus membros: A={a1, a2, ...., an} propriedade P satisfeita pelos seus membros: A={x|P(x)} função característica A , declara que elementos do

conjunto universal X são membros de A:

A (x) = 1 para x A 0 para x A


Conjuntos Crisp:conceitos

• Cardinalidade de A: |A| é igual ao número de elementos de um conjunto finito A

• Complemento relativo de A em relação ao conjunto B: B-A

B-A={x| xB e xA}

• Complemento absoluto de A em relação ao conjunto universal X: A


Conjuntos Crisp:conceitos

• União: A B AB={x| xA OU xB}

• Intersecção: A B AB={x| xA E xB}


Conjuntos Crisp: propriedades de operações

• Involução: (Ac)c = A

• *Comutatividade: AB = BA ; AB = BA

• *Associatividade: (AB)C = A(BC) A(BC) = (AB)C

• Distributividade: A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB) (AC)


Conjuntos Crisp: propriedades de operações

• *Idempotência: AA = A ; AA = A

• *Absorção: A(AB)=A ; A(AB)=A

• Identidade: A=A ; AX=A


Conjuntos Clássicos: lattice

Um sistema A = (, f1,f2,...,fn) onde o elemento é um conjunto e os outros elementos são operações definidas neste conjunto então A é denominada uma estrutura algébrica.

• Uma estrutura algébrica é uma lattice se atende às seguintes propriedades: Idempotência Comutatividade Associatividade Absorção


Conjuntos Crisp: leis

• Lei da Contradição: AAc =

• Lei do Meio Excluído: AAc = X

• Leis de Morgan: (AB)c = Ac Bc

(AB)c = Ac Bc


Conjuntos Crisp: propriedades

• Conjuntos disjuntos: AB =

• Partição: (A) = {Ai | iI , Ai A}

AiAj= e Ai =A

A1 A2 A3 A4A


Conjuntos Difusos (Fuzzy): função de pertinência

• Seja A um conjunto fuzzy e X um conjunto universal crisp então a função de pertinência dos elementos de X ao conjunto A é denotada por:

A : X [0;1]

A : X [0;1]

números difusos variáveis difusas


Números Fuzzy: exemplos de função de pertinência

2

1

2

1

2

1

2

1


Variável Fuzzy: exemplo de função de pertinência

Altura(cm)a1 a2

Baixo Médio Alto

1

Gra

u de

Per

tinên

cia

1


x

Conjuntos Difusos: notação

• Seja A um conjunto difuso e ai o grau de pertinência do elemento xi de X ao conjunto A

• Sejam xi’s os elementos suporte de A• Notação:

A = a1/x1 + a2/x2 + ... + an/xn

A = ai/xi ou A = A(x)/x


Conjuntos Difusos: conceitos básicos

- cut• suporte• core ou núcleo• altura:

normal subnormal

• conjunto difuso convexo



- cut e strong - cut :

Dado um conjunto fuzzy A definido em X e um número [0; 1] um conjunto - cut é um conjunto crisp definido por

A = { x| A(x) }

+ A = { x| A(x) } strong - cut


Conjuntos Difusos: propriedades -cut e strong -cut

Dado um conjunto fuzzy A definido em X e o par 1 e 2 [0; 1] tal que 1 2 então:

1 A 2 A e 1+ A 2+ A

(1 A 2 A) = 2 A e (1+ A 2+ A) = 2+ A

(1 A 2 A) = 1 A e (1+ A 2+ A) = 1+ A



• Suporte de A

• Núcleo de A

São conjuntos crisp que contém todos os elementos de X para 0+A e 1A.

1

núcleo

suporte Notação:S(A) ou supp(A)



• Altura de A:

normal: se h(A) = 1 subnormal: se h(A) 1

heig

ht

h(A)


Conjuntos Difusos: operações padrão

• Cardinalidade escalar: | A |

“sigma count”

|A| = A(x)

xX


Conjuntos Difusos: operações padrão

• Complemento: A(x) A(x) = 1 - A(x)

pontos de equilíbrio: são os elementos de X onde A (x) = A(x)


Conjuntos Difusos: operações-padrão

Sejam dois conjuntos difusos A e B:

• União : t-conormas ( AB ) x = max[ A(x), B(x)]

• Intersecção: t-normas( AB ) x = min[ A(x), B(x)]


Convexidade: conjunto crisp

• Seja A um conjunto em Rn . A é um conjunto convexo IFF

para todos os pares de pontos r e s de A para todo numero real [0;1] o ponto t definido por t = r + (1-) s também está em A


Convexidade: conjunto difuso

• conjunto difuso convexo: -cut

1

0.8


Conjuntos Difusos: tipos

• Ordinário: grau de pertinência a cada elemento de X pode ser associado um particular

número real pode ser especificada uma função de pertinência

A: X [0;1]

• Intervalo-valorado: intervalo de grau de pertinência

A: X [0;1]


Conjuntos Difusos: intervalo-valorado

a1 2

A = { aproximadamente 2 }

1

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