ANÁLISE VISCOELASTICA LINEAR UTILIZANDO A TRANSFORMADA

DE LAPLACE E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Roberto Katumi Nakaguma

Dissertação de Mestrado apresentada

à Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo, para obtenção do

título de Mestre em Engenharia,

1975

ANÁLISE VISCOELASTICA LINEAR UTILIZANDO A TRANSFORMADA

DE LAPLACE E O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Roberto Katumi Nakaguma

Dissertação de Mestrado apresentada

à Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo, para obtenção do

título de Mestre em Engenharia.

Orientador: Prof. Dr. Décio Leal de Zagottis

1975

»

1

RESUMO

Descreve-se o método numérico apresentado por Adey

e Brebbia em "Efficient method for solution of viscoelastic pro­

blema" 1 * , capaz de r e s o l v e r um grande numero de problemas v i s -

coe lãs t i cos l i n e a r e s i s o t r o p o s . 0 método cons i s te em e l i m i n a r a

v a r i á v e l tempo do problema, u t i l i z a n d o - s e a t ransformada de La-

p lace . Desta fo rma, o problema rea l dependente da v a r i á v e l tem­

po é reduz ido a um problema elástico associado no plano t r a n s ­

formado, ou s e j a , as transformadas de Laplaee em re lação ao tem

po das equações v i s c o e l a s t i c a s de campo e condições de contorno

são formalmente i d ê n t i c a s as equações para um corpo e l á s t i c o de

mesma geomet r ia . As soluções t ransformadas são ca lcu ladas pelo

método dos elementos f i n i t o s e i n v e r t i d a s numericamente, para a

obtenção das respostas dependentes do tempo, pela ap l i cação do

método dos mínimos quadrados.

0 método apresentado permi te que as propr iedades

v i s c o e l a s t i cas dos m a t e r i a i s possam ser d e s c r i t a s d i re tamente

at ravés de dados ob t idos dos ensaios de re laxação ou de f l u ê n ­

c i a , sem necessidade por tan to» da montagem de modelos reo log icos

cor respondentes .

* Números re fe ren tes aos t raba lhos re lac ionados no Apêndice E.

11

* Numbers r e f e r to Works l i s t e d i n Appendix E.

ABSTRACT

The numerical method presented by Adey and Brebbia 1n "Efficient method for solution of viscoelastic problems" 1 *, capable o f s o l v i n g a la rge range of l i n e a r i s o t r o p i c v i s c o e l a s -t i c prob lems, i s descr ibed he re . The method cons i s t s i n remo­v ing the t ime dependence of the prob lem, by app ly ing the Lap la­ce t r a n s f o r m . The rea l t ime dependent problem i s thus reduced to an associated elastic problem i n the t ransformed p l a n e , t h a t i s , the Laplace t ime- t rans fo rmed v i s c o e l a s t i c f i e l d equat ions and boundary cond i t i ons are f o r m a l l y i d e n t i c a l to the equat ions f o r an e l a s t i c body o f the same geometry. The t ransformed s o l u t i o n s are c a l c u l a t e d by the f i n i t e element method and i n v e r t e d to ob­t a i n the t ime-dependent response, by app ly ing the method o f l e a s t squares.

The method presented a l lows to the v i s c o e l a s t i c data of m a t e r i a l s to be descr ibed d i r e c t l y by the exper imenta l creep or r e l a x a t i o n d a t a , w i t h o u t the use o f the correspondent r h e o l o g i c a l models.

AGRADECIMENTOS

Sinceros agradecimentos a:

- Pro f . Dr. Décio Leal de Z a g o t t i s , da Escola Po­

l i t é c n i c a da Univers idade de São Pau lo , o r i e n t a ­

dor deste t r aba lho

- I n s t i t u t o de Pesquisas Tecnológicas nas pessoas

de:

- Eng9 Lu iz EmTlio Soares de Gouvéa Horta

- Eng9 James Campanhã Alv im

- Dr. Carlos A lbe r to B rebb ia , da Univers idade de

Southampton

ÍNDICE iv

RESUMO . 1

ABSTRACT i i

• • •

AGRADECIMENTOS o * * a * « « * A * * * * « « • « • • • • • • * * « # * • • • • « • * » • • # * * • • • í i i

ÍNDICE i v

NOTAÇÃO 1

1 . INTRODUÇÃO < • • • • • • • . « • • < • • < > • • • « • . . « > • • • . • « • > . • • • • * • * . » 4

2. VISCOELASTICIDADE LINEAR 5

2.1 Corpos e l á s t i c o s e v iscosos l i n e a r e s 5

2.2 Corpos v i s c o e l á s t i c o s l i n e a r e s básicos . . . . . . . . . . . . 6

2 .2 .1 Corpo de Maxwell 8

2 .2 .2 Corpo de Ke lv in . . 9

2 .2 .3 Corpo de Maxwe 11 - K e l v i n . . . . . . . . . . 1 0

2.3 Corpos v i s c o e l á s t i c o s l i n e a r e s genera l izados . . . . . . . 1 0

2.3 .1 Corpo de Ke lv in genera l i zado 1 1

2.3 .2 Corpo de Maxwell genera l i zado 1 2

2.4 L inear idade dos operadores v i s c o e l á s t i c o s . . . . . . . . . 1 3

2.5 I n t e g r a l H e r e d i t á r i a 1 4

2.6 Conclusão 1 5

3. RELAÇTJES TENSÃO-DEFORMAÇÃO DA VISCOELASTICIDADE LINEAR 1 6

3.1 Estado de tensão em um ponto 1 7

3.2 Estado de deformação em um ponto

3.3 Relações tensão-deformação v i s c o e l á s t i c a s . . . . . . . . . 2 0

4. ANALISE VISCOELÃSTICA 2 4

4.1 Formulação no plano rea l do tempo 2 4

4.2 Formulação no plano t ransformado de Lap lace : p rob le — 2 6

ma e l á s t i c o associado , * «

4.3 Inversão da solução v i s coei ás t i ca t ransformada para

o plano r e a l do tempo 2 9

5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO METODO . . . . . . 3 9

5.1 Função t es te t í p i c a em v i s c o e l a s t i c i d a d e l i n e a r . . . 3 9

5.2 Teste de re laxação •• *

5 .2 .1 Solução a n a l í t i c a exata 4 6

V

5.2 .2 Solução numérica aproximada 4 8

5.3 C i l i n d r o vTscoe lãs t i co com r e f o r ç o ex terno 5 4

5 .3 .1 Solução a n a l í t i c a exata 5 4 5.3 .2 Solução numérica aproximada 6 0

6. UTILIZAÇÃO DAS CURVAS DE RELAXAÇÃO OU DE FLUÊNCIA PARA

A CARACTERIZAÇÃO DE MATERIAIS VISCOELÃSTICOS LINEARES 67

6.1 Exemplo de a p l i c a ç ã o : fundação 7 1

6 .1 .1 Determinação dos módulos de e l a s t i c i d a d e

para o problema e l á s t i c o associado

6 .1 .2 Inversão das soluções transformadas 7 5

7. CONCLUSÕES 7 7

APÊNDICES

A. TRANSFORMADA DE LAPLACE

A . l In t rodução a l

A.1 .1 Transformadas i n t e g r a i s a l

A . 1 . 1 . 1 De f in i ção a l

A.1 .1 .2 L inear idade a l

A. 1.2 Convolução a 2

A.2 Transformada de Laplace a 2

A.2.1 De f in i ção a 2

A.2 .2 Ex i s tênc ia a 2

A . 2 . 2 . 1 D e f i n i ç ã o : função seccionalmente

cont ínua a 2

A . 2 . 2 . 2 D e f i n i ç ã o : função de ordem exponen

c i a i a 3

A.2 .2 .3 Ex i s tênc ia da t ransformada de La­

place a 3

A. 2. 3 Exemplo a 3

A.2.4 Transformada de Laplace das der ivadas

d n f ( t ) a5

v i

A.2.5 Teorema da convolução a 6

A.2.6 Função degrau u n i t á r i o e função impulso uni^

t ã r i o a7

A .2 .6 .1 D e f i n i ç ã o : função degrau u n i t á r i o

A ( t ) a7

A .2 .6 .2 D e f i n i ç ã o : função impulso u n i t á r i o

6 ( t ) a8

A .2 .6 .3 U t i l i z a ç ã o das funções A ( t ) e 5 ( t ) . a9

A.2 .7 Transformada inve rsa ..." alO

A . 2 . 7 . 1 De f in i ção alO

A .2 .7 .2 Unicidade alO

A .2 .7 .3 Transformada inversa exata a l i

A .2 .7 .4 Transformada inversa aproximada . . a 12

A .2 .8 Exemplo de ap l i cação em v i s c o e i as t i c i d a d e

11 near * 12

B. PROCESSOS NUMÉRICOS DE INVERSÃO DA TRANSFORMADA DE LA-

PLACE

B.l In t rodução D l

B.2 Processo da colocação

. B.3 Processo multidata b4

B.4 Exemplo de ap l i cação - Comparação dos processos da

colocação e multidata b5

B.4.1 Função t e s t e estudada b 5

B.4.2 Cálculo dos er ros i n t r o d u z i d o s nos va lo res

dados b7

B.4.3 Estudo dos parâmetros b 7

B.4.4 Aval iação dos er ros 0 8

B.4.5 Escolha dos va lo res de d 8

B.4.6 Resultados b l °

B.4 .6 .1 Processo da colocação

B. 4 .6 .2 Processo multidata &12

B.4 ,6 .3 Comparação dos processos multidata

e colocação &13

B.4.7 Conclusão *>14

C. PROGRAMA - PROCESSO MULTIDATA DE INVERSÃO DA TRANSFORMA

DA DE LAPLACE

PROGRAMA - CALCULO DO MODULO DE ELASTICIDADE PARA O PRO BLEMA ELÁSTICO ASSOCIADO

BIBLIOGRAFIA

1

NOTAÇÃO

Os símbolos mais u t i l i z a d o s neste t r aba lho tem os

s i g n i f i c a d o s abaixo r e l ac i onados , sa lvo observações em c o n t r a r i o

no t e x t o .

Na v i s c o e l a s t i c i d a d e l i n e a r , sendo P e Q os operadores l i nea res

que re lac ionam o tensor i s o t r õ p i c o das tensões e o tensor das dj[

l a t a ç õ e s , e P* e Q' os operadores l i nea res que re lac ionam o t e n ­

sor tangenc ia l das tensões e o tensor das d i s t ò r s õ e s , por ex ten ­

são da t e o r i a da e l a s t i c i d a d e l i n e a r , de f i ne - se

K = Q/P

G = Q 7 P '

E . 9 ( Q / P ? ( q 7 P ' )

3(Q/P) + ( Q ' / P ' )

v =

P Q P'

E =

•3(Q/P) - 2 ( Q ' / P ' )

6(Q/P) + 2 ( Q ' / P ' )

Em p a r t i c u l a r , para a t e o r i a da e l a s t i c i d a d e l i n e a r ,

tem-se:

1

K (modulo de e l a s t i c i d a d e vo lúmico)

1

Q '= G (modulo de e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l )

9 KG

3K + G : modulo de e l a s t i c i d a d e

/ . 3JC - 2c?

6 * + 1G c o e f i c i e n t e de Poisson

t

Y ( t )

J ( t )

- P

f<P)

c o e f i c i e n t e de v iscos idade

v a r i á v e l tempo (p lano r p a l )

função de re laxação

função de f l u ê n c i a

v a r i á v e l t ransformada (p lano de Laplace)

L ( f ( t ) } : função t ransformada de Laplace de f ( t )

2

E(P)

G(P)

K(P)

V(P)

0 • .

e. .

U j U

F

K -j

S. J

a . , y • J J

A ( t )

<5(t)

x , x 2 3 f . .

1 1

símbolos correspondentes as constantes e l á s t i c a s re

fe ren tes ao problema elástico associado

componentes do tensor das tensões

tensão normal média

componentes do tensor t angenc ia l das tensões

componentes do tensor das deformações

deformação volumica e s p e c í f i c a

componentes do tensor das d i s to rsões

componentes do ve to r deslocamento

ve to r deslocamento nodal

ve to r dos esforços nodais

m a t r i z de r i g i d e z

constantes de a j us te

constantes de a jus te

função degrau u n i t á r i o

função impulso u n i t á r i o

coordenadas ca r tes ianas

f + f + f T l l T 22 T 33

3 f .

3x,

9 f . 11.

9 t

,k

onde f , = f . . (x x , x , t ) 2 3

d t '

m

P * E k=0 n

Q = E k=0

onde a f c e b f c são constantes

logB = l o g 1 0

B

0 símbolo - impresso sob um símbolo qualquer i n d i c a m a t r i z .

A 1 . INTRODUÇÃO

A u t i l i z a ç ã o recente de m a t e r i a i s , t a i s como p lás ­

t i c o em máquinas, concreto em reatores nuc lea res , combustíveis só

l i dos em fogue tes , bem como a mecânica dos solos e rochas , tem es_

t imulado pesquisas em v i s c o e l a s t l c i d a d e , Mais recentemente, Z ien-

c k i e w i c z , Watson e K1ng 2 desenvolveram métodos do t i p o paeeo a

pa88o tomando i n t e r v a l o s de tempo durante os quais assumiram as

tensões cons tan tes . A var iação da deformação de f l u ê n c i a , durante

um i n t e r v a l o de tempo, leva a uma i n c o m p a t i b i l i d a d e que e c o r r i g i ^

da e las t i camente no f im de cada i n t e r v a l o , a t ravés do método dos

elementos f i n i t o s . Porém, este processo leva a d i f i c u l d a d e s compu^

t a c i o n a i s , p o i s , um grande número de i n t e r v a l o s de tempo e e x i g i ­

do para se obter uma solução p rec isa * .

Um ou t ro procedimento, baseado nas transformadas

integrais , também tem s ido u t i l i z a d o . Desta manei ra , Lee 3 propôs

um processo desenvolv ido como uma extensão dos estudos de A l f r e y

e Ts ien . A l f r e y ** mostrou que para um meio v i s c o e l a s t i co incom­

p ress í ve l e i s õ t r o p o , sob a ação de esforços p r e s c r i t o s , a tensão

é a mesma que aquela para um corpo e l á s t i c o . Tsien 5 estendeu a

conclusão de A l f r e y para um meio v i s c o e l a s t i c o compressível sob a

ação de carregamento p r o p o r c i o n a l , mas assumiu uma r e s t r i t a re 1 a_

ção tensão-deformação, de forma que o equ iva len te ao c o e f i c i e n t e

de Poisson se mantivesse cons tan te , em vez de depender de operadp_

res d i f e r e n c i a i s .

Lee 3 considerou uma re lação tensão-deformação ge­

r a l e removeu a v a r i á v e l tempo das equações v i s coe i as t i c a s l i n e a ­

res pela ap l i cação da transformada de Laplace. Mostrou como a so­

lução poder ia ser ob t ida de um problema elástico associado. Po­

rém, somente reso lveu problemas cujos correspondentes e l á s t i c o s

associados tinham soluções a n a l í t i c a s e obteve a solução rea l a-

p l i cando a inversão exa ta . Contudo, além da d i f i c u l d a d e na tu ra l

de se a p l i c a r a inversão e x a t a , mesmo para problemas s i m p l e s , f r e

quentemente o problema elástico associado tem solução conhecida

somente para va lores rea i s p o s i t i v o s d i sc re tos do parâmetro trans_

formado, p o i s , na ma io r ia dos casos p r á t i c o s u t i l i z a m - s e técn icas

numéricas para a obtenção da solução t rans formada.

Neste t raba lho descreve-se o método apresentado

por Adey e Brebbia 1 para aná l i se de corpos v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a ­

res s u j e i t o s a cargas estáticas , baseado no método da transforma­

da integral, u t i l i z a n d o - s e a transformada de Laplace. 0 problema

5

elãetíoo associado e r e s o l v i d o pelo método dos elementos finitos

e a Inversão das tensões, deformações e deslocamentos t rans fo rma­

dos para o plano rea l do tempo i f e i t a numericamente por um pro­

cesso do t i p o multiãata% proposto por Cost 6 *

As soluções dos exemplos de ap l icação do método a-

presentado são comparadas com as soluções exatas quando p o s s í v e l .

Estes exemplos são apenas amostras das p o s s i b i l i d a d e s de sua u t i ­

l i zação em ana l i se v i s c o e l a s t i c a l i n e a r , p o i s , o método é gera l

para qualquer estado de tensão, desde que se possa a p l i c a r a

transformada de Lap lace ; além d i s s o , os autores Adey e Brebbia 1

afirmam que o método pode ser u t i l i z a d o para vá r i os t i pos de pro­

blemas dependentes da v a r i á v e l tempo.

2. VISCOELASTICIDADE LINEAR

A t e o r i a da v iscoe 1 as t i c i d a d e l i n e a r , d e s c r i t a por

d iversos autores 7 8 9 1 0 1 1 , basicamente pode ser entendida como

o estudo das combinações das propr iedades dos corpos e l á s t i c o s e

corpos v iscosos l i n e a r e s . Estas propr iedades e suas combinações

são resumidas a s e g u i r , com o o b j e t i v o p r i n c i p a l de conce i tua r o

fenômeno v i s c o e l a s t i c o l i n e a r . Não se d i scu te em deta lhes os mode

los reo lõg icos e as soluções das respec t i vas equações d i f e r e n ­

c i a i s , desnecessários para a ap l i cação do método em a n á l i s e . Con­

tudo , essas equações d i f e r e n c i a i s podem ser r e s o l v i d a s , mais f a ­

c i l m e n t e , u t i l i z a n d o - s e a t ransformada de Laplace (ve ja apêndice

A ) .

2.1 Corpos elásticos e viscosos lineares

A re lação tensão-deformação un id imens iona l referen^

te a um s ó l i d o e l á s t i c o U n e a r é d e s c r i t a pela l e i de Hooke:

a = Ee (1)

onde cr Ó uma componente qualquer de tensão, e é a componente de

deformação correspondente e E, no caso, e uma das constantes elãs^

t i c a s que depende da natureza de a e e . Estes s i g n i f i c a d o s 8 pa­

ra cr , e e E serão vá l i dos neste i tem 2.

Um l í q u i d o v iscoso l i n e a r ê d e f i n i d o pela l e i de

6

Newton da v i s c o s i d a d e ,

a • nè (2)

onde a constante n e o coeficiente de viscosidade e o ponto sobre

a v a r i á v e l i n d i c a a der ivada da v a r i á v e l em re lação ao tempo.

( d ) Hookt ( b ) Nowton

FIGURA 1 - MODELOS REOLOGICOS BÁSICOS

Modelos f i g u r a t i v o s , chamados modelos reolõgicos12,

são frequentemente convenientes para se v i s u a l i z a r as respostas

dos m a t e r i a i s . Assim, os corpos de Hooke e de Newton são represe^

tados respect ivamente por uma mola e um amortecedor ( f i g . 1 ) . A i£

da que não acrescentem nada as l e i s expressas por ( 1 ) e (2) estes

modelos são mui to ú t e i s , p o i s , convenientemente associados são cÔ

modos para uma descr ição de corpos complexos i d e a i s .

2.2 Corpos viscoelãstico8 lineares básicos

As propr iedades da e l a s t i c i d a d e e da v iscos idade

podem, p o r t a n t o , ser combinadas de va r i as maneiras para a constru_

ção de numerosos meios h i p o t é t i c o s , d i t os v i s c o e i ã s t i c o s , c o r r e s ­

pondentes a mp te r i a i s de comportamentos i n t e r m e d i á r i o s en t re o e-

l ã s t i c o e o v i scoso .

Um exemplo 8 desse comportamento pode ser v i s t o no

g r á f i c o da f i g . 2 , representando um tes te de fluência. A f i g . 2 a

mostra o g r á f i c o de uma componente qualquer de tensão a , constar^

te e i gua l a cr até o i n s t a n t e T, quando se anu la . A f i g . 2 b repre

sentando a componente de deformação e ( t ) e a resposta v i s c o e l a s -

t i c a , associada ã tensão cr , composta de uma deformação instàntâ-

7

nea elástica OA seguida de uma resposta elástica atrasada e escoa

mento viscoso AB, cont inuando com um escoamento viscoso BC. Anu-

lando-se a tensão a no i n s t a n t e T, a resposta elástica instantâ­

nea e recuperada imediatamente, CD, e a elástica atrasada e recu­

perada gradualmente, DE. Hã uma deformação permanente EF assoc ia ­

da ao escoamento viscoso.

c

! E F

., , 1 .-•»

ia) Variação da tensão com o tampo

(b ) Curva de fluencia e recuperação

FIGURA 2 — CORPO VISCOELA3TICO

Esta complicada resposta a tensão constante esta

em acentuado con t ras te com a de um ma te r i a l e l á s t i c o l i n e a r , onde

a var iação da deformação reproduz simplesmente a var iação da t e n ­

são numa escala ap rop r iada .

Para sistemas simples» como o d e s c r i t o na f i g . 2 , r e

presentados por uma sÕ componente de tensão a = a ( t ) e pela cor­

respondente componente de deformação e = e ( t ) , a v i scoe ias t i c i da_

de é expressa por uma re lação do t i p o :

P ia ( t ) } = Q {E ( t ) } (3)

onde P e Q são operadores que envolvem diferenciação ou integra­

ção em re lação ao tempo.

0 mais simples grupo dessas re lações e ob t i do quajn

do se toma os operadores P e Q lineares; o m a t e r i a l é" então d i t o

viscoeláatico linear» ob je to de estudo deste t r a b a l h o . *

Para i l u s t r a r os componentes básicos da resposta

v i s c o e l ã s t i c a l i n e a r ê conveniente tomar os operadores d i f e r e n ­

c i a i s P e Q de ordem mais b a i x a , estudados a s e g u i r .

* No que se segue, sempre se t r a t a r á de viscoelasticidade li­

near, embora, as vezes, se o m i t i r á o termo linear, por s im-

p l i c i dade.

8

2 .2 .1 Coppo de Maxwell

O corpo de Maxwell ê* d e f i n i d o pela equação d i f e r e n

c i a i :

= e (4)

As constantes são desc r i t as com a notação acima porque há conve­

n i ênc i a em represen ta r esta re lação por modelo composto por uma

mola e um amortecedor associados em s e r i e , como mostra a f i g . 3 a .

«•—«>A^v /VWV v—| D—I o-

( o ) Modelo raológico

O t

( b ) Curvo de fluência

O t

(c) Curvo de relaxação

FIQURA 3 - CORPO DE MAXWELL

A curva de fluência para o corpo de Maxwel l , i s t o Ó, a var iação da deformação associada a uma tensão cr , ap l i cada

o

repent inamente e depois mantida cons tan te , e mostrada na f i g . ( 3 b ) . Do modelo ( f i g . 3 a ) decorre que há uma deformação instantânea OA, de magnitude a / E , associada a extensão da mola , seguida por um

o

escoamento visàoso com veloc idade de deformação constante o^/n.Pa.

ra o ma te r i a l de Maxwell não há componente de elasticidade atrasa

da de deformação.

De ou t ra forma a curva de f l u ê n c i a poder ia ser de­

duzida de (4) pela s u b s t i t u i ç ã o de cr = cr A ( t ) , onde A ( t ) e a f u n ­

ção degrau u n i t á r i o (ve ja apêndice A2 .6 ) . A descont inu idade da

tensão no i n s t a n t e zero fornece a resposta i n i c i a l i ns tan tânea e

depois a s u b s t i t u i ç ã o da tensão constante em. (4) determina a

veloc idade de deformação cons tan te .

0 fenómeno da v i s c o e i as t i c i d a d e também é ex ib i do

no t e s t e da relaxação t onde se mede a var iação de tensão c o r r e s ­

pondente a uma ap l i cação repen t ina de deformação e ( , mantida cons_

t a n t e . A curva de re laxação ( f i g . 3 c ) para o m a t e r i a l de Maxwell e

9

ob t ida pela s u b s t i t u i ç ã o de e = e A ( t ) em (4) determinando-se a o

so lução: a » E e o e " t / T A ( t ) (5)

onde T s D/E i denominado tempo â@ relaxação. Da mesma forma que

a curva de f l u ê n c i a , a curva de re laxação expressa as p rop r i eda ­

des v i s c o e l ã s t i c a s do m a t e r i a l , e se vera mais ad iante como as e-

quações dessas duas curvas podem ser re lac ionadas .

2 .2 .2 Corpo de Kelvin

0 mais s imples corpo que exibe elasticidade atrasa

da é o corpo de Kelvin ou Voigt ( f i g . 4 ) , d e f i n i d o po r :

cr = E e + n è (6)

E ev idente da f i g . 4 a que as deformações da mola e do amortecedor

são as mesmas em todos os i ns tan tes e que a deformação i n i c i a l 5

ze ro , p o i s , para tensão f i n i t a , po r tan to para ve loc idade de de for

mação f i n i t a , o amortecedor não pode desenvolver componente de de

formação i n s t a n t â n e a ; com estas condições e a = cr A ( t ) , (6) f o m e o

ce a so lução:

e = J j L . ( l - e " t / T ) A ( t ) (7)

onde T = n/E denomina-se tempo de atraso. A curva de f l u ê n c i a

ABG f i g . 4 b i l u s t r a esta so lução .

Se a tensão e removida no i n s t a n t e T, obtém-se a

curva de recuperação BF, f 1 g . 4 b , cu ja equação é o b t i d a de (6) i -

gualando-se a tensão a ze ro .

10

<r E© i—vwwv-i y?2 ^ •* ° vWWV""1 ' 1 1

"•*>•• I o I—°-*

forma

F IGURA 5 — CORPO 0E M A X W E L L t K E L V I N

A re lação tensão-deformação correspondente i da

(p D 2 + p D + p )a = (D 2 + q D)e (8) 2 1 0 1

d k onde D e o operador — e p , p , p e q são constantes do ma_

dt ° 1 2 1

t e r i a l e podem ser expressas em termos das constantes que caracte_

r izam os elementos do modelo.

A curva de f l u ê n c i a e de recuperação e do t i p o i -

l us t r ado na f i g . 2 b .

2.3 Corpos viscoelãsticos lineares generalizados

Uma genera l ização d i r e t a das l e i s v i s c o e l a s t i c a s

p a r t i c u l a r e s ( 4 ) , (6) e (8) 5 a re lação ( 3 ) , tomando-se para P e

Q as expressões:

P * t a. D k , Q - •£ b . D k (9 ) k-0 K k-0 K

Para tempos longos , a curva de f l u ê n c i a e recupera,

ção, f1g«4b, exibe um comportamento e l á s t i c o com modulo E; esta

resposta e l á s t i c a ê a t i n g i d a gradualmente dependendo de x . Este

comportamento ê conhecido como elasticidade atrasada*

2.2 .3 Corpo de Maxwell-Kelvin

O mais simples dos corpos que exibe todos os t rês

t i pos de respostas v i s c o e l ã s t i cas (elasticidade instantânea» elas_

ticidade atrasada e escoamento viscoso) i representado pe lo mode­

l o de Maxwell-Kelvin f i g . 5 .

11

onde m, a f c, n e bfe são consoantes do material e D I o operador

—57- . Corpos de f i n i dos pela l e i gera l (3) - (9) podem ser repre d t k

sentados pelos chamados oorpoe generalizados , descritos a seguir.

2 .3 .1 Corpo de Kelvin generalizado

0 corpo de Kelvin generalizado ê* o corpo represen­

tado pe lo modelo reo lÓgico mostrado na f i g . 6 . Somando-se as de­

formações dos elementos i n d i v i d u a i s deste modelo e u t i l i z a n d o - s e

( 1 ) , (2) e ( 6 ) , a re lação v i s c o e l a s t i c a correspondente e dada f o r

malmente po r :

e « ( — L . + j I + — J — ) o (10)

El iminando-se D dos denominadores de (10) m u l t i p l V

cando-se ambos os membros po r :

r - 1 n r D n ( E k + n k D ) (11)

obtém-se uma re lação do t i p o expresso por (3) - ( 9 ) , com as o r ­

dens m e n dos operadores P e Q igua i s a r.

Para a curva de f l u ê n c i a correspondente ã tensão

constante a , cada elemento de Kelvin da f i g . 6 fornece uma con-o „

t r i b u i ç ã o de deformação com var iação exponenc ia l , com d i f e r e n t e s

tempoe de atraso se t k

S 1 \ / E k * esco lh ido d i fe ren temente para ca­

da elemento. I s t o oferece a p o s s i b i l i d a d e de se a j u s t a r uma curva

12

de f l u e n c i a do t i p o , mos t rado na f i g . 2b através de urna soma de

termos exponencia is e um termo l i n e a r , em lugar de um único termo

exponencial mais um termo l i n e a r , correspondentes ao corpo de Max

well-Kelvin [ f i g . 5 e (8) ] . Desta fo rma, qualquer curva de f l u e n ­

c i a , com a forma da f i g . 2 b , pode ser a justada com um razoável

grau de p r e c i s ã o ; uma maior p rec isão de a j u s t e , em g e r a l , requer

mais termos exponenc ia i s , p o r t a n t o , um modelo de Kelvin generali­

zado com mais elementos e ass im, operadores d i f e r e n c i a i s de ordem

mais a l t a .

Em p a r t i c u l a r , o corpo de Maxwell expresso por (4)

corresponde a tomar no corpo de Ke lv in genera l i zado r = 1 ; o mode_

lo de Maxwell-Kelvin expresso por ( 8 ) , r = 2 (ve ja f i g . 6 ) .

2 .3 .2 Corpo de Maxwell "generalizado

0 corpo considerado em 2 .3 .1 pode igualmente ser

representado pelo corpo de Maxwell generalizado, cu jo modelo reo -

log i co i mostrado na f i g . 7 . Neste modelo a deformação ê i gua l

em todos os elementos l igados em p a r a l e l o e a tensão r e s u l t a n t e e

a soma das con t r i bu i ções I n d i v i d u a i s .

E 2 % H % Er

gk gk EJK EK T :of

GENERALIZADO

FI6URA 7 — CORPO DE MAXWELL

Os correspondentes operadores são deduzidos de :

a - ( l 2 ) e ( « )

k - i D / E k + i / n k

El im ina-se D dos denominadores m u l t i p l i c a n d o - s e am

bos os membros de (12) po r :

13

n ( D / E k + i / n k ) (13)

Assim, (12) toma a forma da re lação expressa por (3) - ( 9 ) , onde

as ordens de P e Q são I g u a i s a r .

Em resumo, um par de operadores p a r t i c u l a r e s , do

t i p o dado por (3) - ( 9 ) , pode s e r , i gua lmen te , representado por

modeloe generalizados de Kelvin f i g . 6 ou de Maxwell f i g . 7 . A

determinação do modelo cons is te em d i v i d i r formalmente ambos os

membros de (3) por um dos operadores: d i v i d i n d o por Q obtem-se

( 1 0 ) , modelo de Kelvin generalizado', d i v i d i n d o por P obtem-se ( 1 2 ) ,

modelo de Maxwell generalizado.

2.4 Linearidade dos operadores visooelãstioos

A l i nea r i dade dos operadores v i s c o e l ã s t i c o s 8 imp1i_

ca na va l idade do p r i n c í p i o da superposição de e f e i t o s , ou s e j a , se a var iação de deformação e ( t ) ? associada ã var iação de t e n ­são o ( t ) , i s t o é , s imbo l icamente :

i

a.x ( t ) -* e ^ t ) , (14)

e o ( t ) + e ( t ) (15) 2 2

en tão , para constantes a r b i t r a r i a s B e $ , tem-se: a ( t ) - B 0 ( t ) + e o ( t ) + e ( t ) « B e ( t ) + B e ( t ) (16)

3 1 1 2 2 3 1 1 2 2

Esta re lação e u t i l i z a d a para t e s t a r a l i n e a r i d a d e de um m a t e r i a l

v i s c o e l ã s t i c o e obter as respostas para s i tuações a r b i t r a r i a s de

tensões, a p a r t i r de uma var iação p a r t i c u l a r de tensão , por exem

p i o , f l u e n c i a .

A l i n e a r i d a d e ê v e r i f i c a d a de modo mais s imples t o

mando-se B * 0 e gerando-se as var iações de tensão 2

0 ( t ) - B o ( t ) (17) 3 1 1

para um i n t e r v a l o de va lores de B. e um p a r t i c u l a r v a l o r de o ^ C t ) .

Para que se tenha l i n e a r i d a d e ,

e ( t ) / B - e ( t ) (18) 3 1 1

14

deve ser independente de 0 . Desta fo rma, se e medida uma s e r i e

de va lores de e ( t ) para cer tos va lores de 3^» a repe t i ção da mes_

ma curva [e ( t ) / B , t ] i n d i c a r á a l i n e a r i d a d e 8 . 9 1

2.5 Integral hereditária

Considere-se a var iação de tensão mostrada na

f i g . 8 . Esta curva pode ser aproximada pela soma de uma s e r i e de

tensões constantes com o tempo, correspondente a s o l i c i t a ç õ e s de

f l u ê n c i a 8 1 0 . Def in indo-se J ( t ) , função de fluência, como sendo

a var iação de deformação correspondente a uma tensão u n i t á r i a a-

p l i cada no i n s t a n t e t = 0 e mantida cons tan te , a resposta â varia_

ção de tensão mostrada na f i g . 8 , fazendo uso do princípio da su

perposição, pode ser representada pela i n t e g r a l :

e ( t ) - Y d g ( T ) J ( t - T ) dx (19)

l -oo dx 1

U——! H

FIGURA 6 — SUPERPOSIÇÃO DAS RESPOSTAS OE FLUENCIA

0 extremo i n f e r i o r da i n t e g r a l ê tomado como sen­

do -°° para p e r m i t i r o i nTc io da ap l icação de cargas em qualquer

i n s t a n t e , mas se a origem de t apenas i n d i c a r o i n T c i o do carreg_a

mento, com o corpo i n i c i a l m e n t e descarregado, o extremo i n f e r i o r

15

pode ser s u b s t i t u í d o por zero .

A representação da v i s c o e l a s t i c i d a d e l i n e a r pela re

lação ( 1 9 ) , Integral de Duhamel, f o i i n t r o d u z i d a por V o l t e r r a sob

a t e rm ino log ia de Integral Hereditaria, pois o núcleo da i n t e g r a l , J ( t - r ) , pode ser considerado como uma função memoria, t r a n s f o r ­

mando a i n f l u ê n c i a da tensão ap l i cada no i n s t a n t e t * T para o ins_

tante t • t . A re lação (19) é equ iva len te a re lação contendo o o-

perador d i f e r e n c i a l expressa por (3) - ( 9 ) , pois J ( t ) e uma s o l u ­

ção p a r t i c u l a r da equação d i f e r e n c i a l (3) - (9) para e ( t ) , c o r r e s ­

pondente a uma tensão u n i t a r i a constante ap l i cada 8 .

Uma re lação s i m i l a r a (19) pode ser ob t i da em t e r ­

mos da função de relaxação Y ( t ) 1 0 , que é a var iação de tensão por

unidade de deformação constante ap l i cada no i n s t a n t e t = 0 , ou se­

j a ,

a ( t ) . / _ á £ Í Í Z - Y ( T - T ) dr < 2 0 )

1 -oo d T 1

2.6 Conclusão

Os var ios métodos de expressar as propr iedades vis_

coe lãs t i cas (3) - (9) , (19) e (20) podem ser considerados como

var iações de ( 3 ) , com P e Q tomando a forma de operadores diferen_

ciais ou integrais . Para um m a t e r i a l v i s c o e l ã s t i c o p a r t i c u l a r , es_

tes operadores são todos e q u i v a l e n t e s , p o i s , cada um deles pode

ser deduzido de out ro qualquer por manipulações puramente matemá­

t i c a s . Na p r á t i c a , deve-se saber mudar de urna forma de operador

para o u t r a , p o i s , pode ser conveniente medir as propr iedades v i s ­

c o e l a s t i cas numa forma e ser mais conveniente uma ou t ra forma pa­

ra a aná l i se de tensões 8 .

A i n f l u e n c i a das der ivadas em re lação ao tempo,que

comparecem nas relações tensão-deformação ( 3 ) , ( 4 ) , ( 6 ) , ( 8 ) , ( 1 0 ) ,

(12) e em outras re lações v i s c o e l a s t i c a s , determina d i s t r i b u i ç õ e s

de tensões em acentuados cont ras tes com as da aná l i se e l á s t i c a .

Assim, em análise estática, sob ação de esforços constantes p res ­

c r i t o s , as tensões i n te rnas podem v a r i a r acentuadamente com d i f e ­

rentes d i s t r i b u i ç õ e s em d i f e r e n t e s i n s t a n t e s , após a ap l i cação da

carga. A correspondente solução e l á s t i c a fornece tensões que não

variam com o tempo. Em p ro je tos v i s c o e l a s t i c o s pode ser poss íve l

a u t i l i z a ç ã o deste e f e i t o no tempo, escolhendo-se ma te r i a i s cujas

c a r a c t e r í s t i c a s impeçam o desenvolvimento de cer tas componentes

16

de tensões , antes que sejam a l i v i a d a s pela remoção do carregamen­

to (ve ja 1 tem 5 . 3 . 1 ) .

3. RELAÇÕES TENSZO-DEFORMAÇÂO DA VISCOELASTICIDADE LINEAR

Como em problemas p r á t i c o s normalmente surgem esta_

dos t r i p l o s de tensão, serão necessár ias l e i s v i s c o e l ã s t i c a s l i ­

neares que relacionem as componentes dos tensores das tensões e

das deformações.

A s i tuação é i n te i r amen te análoga a d i s c u t i d a em e_

l a s t i c i d a d e l i n e a r , com a d i f e rença de que razões en t re operado­

res do t i p o d i s c u t i d o na secção a n t e r i o r s u b s t i t u i r ã o as constan­

tes e l á s t i c a s . Desta forma, m a t e r i a i s v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a r e s isÓ

tropos poderão ser representados por dois pares independentes de

operadores, por analogia as duas constantes independentes necessã

r i a s para represen ta r um m a t e r i a l e l á s t i c o i s õ t r o p o . Este f a t o se

demonstra ex ig indo-se que a resposta a uma s o l i c i t a ç ã o não se aj_

te re quando o corpo e g i rado a r b i t r a r i a m e n t e , antes de a tuar a S £

l i c i t a ç ã o .

E pa r t i cu l a rmen te s i g n i f i c a t i v o , em v i s c o e l a s t i c i ­

dade, separarem-se os e f e i t o s ãietovs-ionais e âilataaionaie, p o i s ,

as i n f l u ê n c i a s v i s c o e l ã s t i c a s são mais acentuadas nas respostas

as tensões tangenc ia is 8 .

No que se segue, adota-se um sistema de eixos car ­

tes ianos ( x i r . x 2 , x 3 ) designados por x.. ( i « 1 , 2 , 3) 9 . Neste

sistema de r e f e r ê n c i a , ( i , j = 1 , 2 , 3 ) , ( i , j = 1 ,2 , 3)

e u.. ( i = 1 , 2 , 3) denotam respect ivamente as componentes dos ten_

sores das tensões , deformações e as componentes do v e t o r des loca­

mento. U t i l i z a m - s e também as convenções de der ivação e soma do

ca l cu lo t e n s o r i a l : 3 u .

u. - 1

' i , k 3x, k

ou s e j a , um Tndice após a v í r g u l a i n d i c a der ivação em re lação a

coordenada cor respondente;

a i i " a l l + a 2 2 + ° 3 3 •

ou s e j a , quando um í n d i c e aparece duas vezes no mesmo monómio, de_

ve-se dar a este í nd i ce os va lo res 1 , 2 , 3 e somar-se os r e s u l t a ­

dos.

1 7

3.1 Estado de tensão em um ponto

Quando um t e t r a e d r o i n f i n i t e s i m a l é r e t i r a d o de

um corpo c o n s t i t u í d o de um m a t e r i a l qua lque r , sob a h ipó tese

de pequenos deslocamentos e pequenas deformações, as g ran­

dezas a^ j ( i , j = 1 , 2 , 3 ) , mostradas na f i g . 9 , definem o es_

tado de tensão num ponto P 1 3 .

FIGURA 9 - E L E M E N T O I N F I N I T E S I M A L DE UM CORPO SOLIDO

Estas grandezas são componentes das tensões nas facetas que pas­

sam por um ponto e são pa ra l e l as aos planos coordenados, e formam

uma ent idade f í s i c a denominada tensor das tensões, representado

pelo p r ime i r o membro de ( 2 1 ) . Por razões de e q u i l í b r i o a . . = o . .

e , p o r t a n t o , o tensor das tensões ê s i m é t r i c o . Esse tensor pode

ser decomposto em dois out ros tensores denominados esférico e an-

tiesféricoi

°11 °12 °"l3 " s o o «11 812 S13

°21 °22 °23 a o s o +

821 S22 S 23 (21)

°31 °32 a 3 3 0 o 8 8 3 1

8 32 S33 •

Sendo s_ a tensão normal media, ou s e j a ,

tem-se:

s ^ = 0 (23)

1 8

Desta fo rma, o p r ime i r o tensor do segundo membro

de (21) representa um estado i s o t r õ p i c o de tensões , por i sso cha­

mado de tensor isotrõpico das tensões', o segundo t e n s o r , com a

propr iedade ( 2 3 ) , Í o denominado tensor tangencial das tensões e

pode ser decomposto em c inco out ros tensores 1 0 :

\ 0 % 0 0 0 0 0 0 H s„ 0 0 0 0 0

s S21 0 0 + 0 ' + 0 0 0 + 0 -s,, 0 + 0 - S a 0

> %2 S 3 3 i

0 0 0 0 %a 0 ; 0 0 0 m

0 0 0 0 v

(24)

Os t res p r ime i ros tensores do segundo membro de

(24) representam estados tangenciais simples de tensão , com s i j s a 1 j * ^ c l u a r ' t o tensor representa um estado de tensão no p l a ­

no ( X j , x 2 ) , f i g . l O a , sendo equ iva len te ao estado tangencial sim-

plec de tensão mostrado na f i g . 10b.

( o ) (b)

FIGURA 1 0 - ESTADOS TANGENCIAIS S IMPLES DE TENSÃO EM SISTEMAS DIFERENTES DE REFERENCIA.

Uma i n t e r p r e t a ç ã o análoga para o q u i n t o tensor do

segundo membro de (24) pode ser f e i t a .

3.2 Estado de deformação em um ponto

Uma aná l i se análoga para o estado de deformação,

ainda considerando a h ipó tese de pequenos deslocamentos e peque­

nas deformações, pode ser f e i t a considerando-se que as grandezas

e . . (1 , j = 1 , 2 , 3) definem o estado de deformação num ponto P l k .

Estas grandezas, denominadas componentes de deformação, são a l o n -

1 9

gamentos e d is to rções r e l a t i v o s a t rês segmentos elementares con­

siderados num ponto e pa ra le los a t rês e ixos o r togona is de r e f e ­

r ê n c i a , e compõem o tensor das deformações representado pe lo p r i ­

meiro membro da expressão ( 2 5 ) . 0 tensor das deformações I s imé­

t r i c o , pois e . i j

= e . . , e pode ser decomposto em dois out ros tenso «J '

res denominados esférico e antiesférico:

£13 e

3 0

£32 £ 23 = 0 e

3

C32 £ 33 0 0 e_

3

e11 e 1 2 e13

e 23

e 31 e 32 e 33

(25)

Sendo e_ a deformação volúmiaa específica, ou s e j a ,

e » e.

tem-se: 11

e . . = 0 11

(26)

(27)

Desta forma, o p r i m e i r o tensor do segundo membro

de (25) representa uma d i l a t a ç ã o un i fo rme, e é o denominado ten­

sor das dilataçõess o segundo t e n s o r , com a propr iedade ( 2 7 ) , e o

denominado tensor das distorções e pode ser decomposto em c inco

out ros tensores 1 0 :

e 1 l e!3 O eia 0 0 0

•

0 0 0 e13 O O O 0

e 2 J e 22 e23 - eai 0 0 + 0 0 e23 + 0 0 0 + O 0 + O - e 3 3

e3l «32 633 0 0 0 0 e 3 2 O e 3 )

0 O O O O 0 0

(28)

Os t rês p r ime i ros tensores do segundo membro de

(28) representam distorções simples, com e.^ = 0 quar to t e n ­

sor representa uma deformação no plano ( x 1 § x 2 ) equ i va len te ã d i s

torção simples mostrada na f i g . 1 1 .

20

\

FIGURA I DISTORSÃO SIMPLES EM UM SISTEMA DE REFERENCIA U . r M DIFERENTE 0E ( K , , X 4 )

Para se p roduz i r este estado de deformação, mantêm-se f i x o o pon­

to 0 e de ixa-se o ponto A mover para a d i r e i t a de uma d i s t â n c i a

enquanto o ponto B se move de i gua l quant idade para b a i x o . 0

ponto C tem por deslocamento a soma v e t o r i a l dos deslocamentos de

A e B, p o r t a n t o , CC = e n ^ ~ • A d iagonal OC g i r a de um angulo

de e l l e , p o r t a n t o , o Sngulo r e to COD v a r i a de 2 e n . No sistema

( ç , n l da f i g . l O b , I s t o corresponde a um estado de d i s t o r ç ã o s im­

ples com

= e 1 1 (29)

Uma i n t e r p r e t a ç ã o análoga para o qu in to tensor do

segundo membro de (28) pode ser f e i t a .

3.3 Relações tens ao-de formação -oisooeláetioaQ

Se o ma te r i a l é i s ô t r o p o , o tensor i s o t r o p i c o das

tensões deve p roduz i r d i l a t a ç ã o e não d i s t o r ç ã o e , p o r t a n t o , as

grandezas s_ e e , considerando-se m a t e r i a l v i s c o e l ã s t i c o , de­

vem ser conectadas por uma das relações do t i p o ( 3 ) , apresentadas

na secção 2:

P s ( t ) = Q e ( t ) (30)

ou u t i l i z a n d o - s e (22) e ( 2 6 ) :

P c . . ( t ) - 3Q e . . ( t ) (31)

2 1

Por ou t ro l a d o , cada um dos tensores de ( 24 ) deve

p roduz i r d i s t o r ç ã o simples representada pelo tensor correspondei!

te em ( 2 8 ) , e a i s o t r o p i a do ma te r i a l ex ige que uma das re lações

do t i p o ( 3 ) se ja igualmente v a l i d a para todos os pares de compo­

nentes cor respondentes , ou s e j a ,

P' S i j ( t ) = 2Q' e..(t) (32 )

onde, de acordo com ( 21 ) e ( 2 5 ) f

S i j ( t ) = au(t) - 4 - a k k ( t ) ô . . ( 3 3 )

eu(t) = e . j ( t ) - 4 - e k k ( t ) * u ( 34 )

sendo 6 . . , o símbolo de Kronecker, i s t o e , 5 . . = 1 se i = j e 1 J 1 J

6 . • • 0 se i t j .

Os quat ro operadores P, Q, P' e Q' que descrevem o

comportamento v i s c o e l ã s t i c o do m a t e r i a l são i n te i r amen te indepen­

dentes.

Note-se que o ma te r i a l e l á s t i c o é um caso l i m i t e

dos ma te r i a i s v i s c o e l a s t i c o s . Pode-se escrever a l e i de Hooke 1 5

na forma ( 31 ) e ( 3 2 ) :

a . . - 3 Kc.. ( 35 )

s i j ' 2 G e i j < 3 6 >

onde K e o modulo de elasticidade volümico e G é" 0 módulo de elas_

ticidade transversal. P o r t a n t o , para um s o l i d o e l á s t i c o l i n e a r , o s

quat ro operadores são simples constantes m u l t i p l i c a t i v a s :

P = 1 , Q = Kt P* = 1 , Q' = G ( 37 )

As outras constantes e l á s t i c a s , modulo de elastici_

dade E e coeficiente de Poisson / , que igualmente descrevem as

propr iedades do m a t e r i a l e l á s t i c o l i n e a r , estão re lac ionadas com

as constantes K e G a t ravés das expressões 1 5 :

B s J M , / , 3 * - ZG ( 3 8 )

3K + G 6K + ZG

2 2

Como a ap l icação de um operador l i n e a r sobre ou t ro

do mesmo t i p o r e s u l t a num operador l i n e a r , os operadores v i scoe -

l ã s t i c o s básicos P, Q, P' e Q' podem ser combinados, como foram

as constantes e l á s t i c a s , determinando-se operadores apropr iados

para a descr ição de respostas a estados p a r t i c u l a r e s de tensão.Ha

conveniência em se d e f i n i r 8 ,

_Q_ = K e —jj-r = G (39)

p o i s , desta forma, as re lações tensão-deformação v i s c o e l ã s t i c a s

l i neares (31) e (32) se expressam por re lações formalmente idênt i_

cas as e l á s t i c a s l i nea res (35) e ( 3 6 ) , ou s e j a ,

ou(t) = 3K e . . ( t ) (40a)

S.. = 2G e . . . ( t ) (40b)

onde —2— = K e —2-r = G.

As re lações ( 3 2 ) , ( 3 3 ) , (34) e ( 3 9 ) , para i = j = l ,

permitem esc reve r :

• u < t ) - - r 0 k k < * > • M f r u t * J - 4 - « 1 * 1 * 1 1 ( 4 1 >

A combinação de (40a) e (41) r e s u l t a :

a u ( t ) = [K + —|— G] e n ( t ) + [K - - |— g ] [ e 2 2 ( t ) + . e 3 3 ( t ) ]

(42)

Fazendo-se novamente uma ana log ia com a l e i de

Hooke 1 S ,

a l l * (1 + v ) ( 1 - 2v ) t d - v ) e n + v ( e 2 2 + e 3 3 ) ] (43)

pode-se d e f i n i r formalmente em (42) os operadores v i s c o e l ã s t i c o s

E e v t a i s que:

u . 4 r . E( l - v ) y. 2 r _ Ev

~~W (1 + v ) ( l - 2v) ' "~3~ (1 + v ) ( l - 2v)

(44)

De (44) resu l tam para E e v re lações i d ê n t i c a s as corresponden-

23

tes da t e o r i a da e l a s t i c i d a d e e x p r e s s a s por ( 3 8 ) :

E * 3K + G ' v 3 6K + 2G í 4 5 )

sendo: K • Q/P § G = Q ' / P '

Desta forma, de f i n i ndo -se K e 6 a t r a v é s de (39) ,po

de-se ob te r os operadores combinados, correspondentes as outras

constantes e l á s t i c a s , u t i l i z a n d o - s e formalmente as re lações ( 4 5 ) .

Por exemplo 8 , considerando-se estado de tração

simples, o operador v i s c o e l ã s t i c o correspondente ao modulo de e-

l a s t i c i d a d e E I d e f i n i d o por :

E - 5 (46) e ( t )

Para um ma te r i a l v i s c o e l ã s t i c o d e f i n i d o por (31) e (32)» u t i l i z a n

do-se ( 4 5 ) , (46) pode ser expresso formalmente po r :

ou [3 P'Q + Q'P] o ( t ) = [9 QQ'] e ( t ) (48)

Esta e a re lação v i s c o e l ã s t i c a tensão-deformação para um estado

de t ração simples em termos dos operadores d i f e r e n c i a i s bás i cos .

Para melhor e x e m p l i f i c a r , tomando-se um corpo que se comporta e-

las t icamente a s o l i c i t a ç õ e s h i d r o s t á t i c a s e como m a t e r i a l de Max­

we l l a s o l i c i t a ç õ e s t a n g e n c i a i s , ou s e j a , u t i l i z a n d o - s e (35) e

( 4 ) , com uma notação conven ien te , tem-se:

^ • ^ • S 1 F ? T <49> d

onde Kt A e B são constantes do ma te r i a l e D e o operador

Subs t i t u i ndo (49) em ( 4 8 ) , tem-se: HT

[ (3*A + 1) D + 3 * B ] a ( t ) - 9KÜ e ( t ) (50)

ou

( 3 K A

9

+

K

1 D * - | - ) o ( t ) = D e ( t ) (51)

que é do t i p o da re lação ( 4 ) , de Maxwel l , apenas com c o e f i c i e n t e s

d i f e r e n t e s . Assim, o corpo d e f i n i d o por (49) se comporta como um

mate r i a l de Maxwell num tes te de t ração simples,com tempo de rela_

xação e demais constantes d i f e r e n t e s daquelas correspondentes ao

24

modelo básico de Maxwell para s o l i c i t a ç õ e s t a n g e n c i a i s .

De maneira análoga, uma re lação de operadores pode

ser ob t ida para re iac ionar ,num elemento em estado s imples de t e n ­

são, o alongamento p r i n c i p a l mínimo e o alongamento p r i n c i p a l má

ximo, correspondente â constante e l á s t i c a c o e f i c i e n t e de Poisson

Na consideração das relações en t re os vár ios méto­

dos de represen ta r os operadores v i s c o e l ã s t i cos que se f a r á adian_

t e , estas re lações podem ser v i s t a s como apl icadas ou aos pares

de operadores bás i cos , ou a outros operadores v i s c o e l ã s t i c o s com­

binados. Po r t an to , por exemplo, a tensão a e a deformação E po­

dem representar e f e i t o s d i l a t a c i o n a i s , d i s t o r c i o n a i s . o u estados

de t ração simples conforme se e s t e j a considerando ( 3 1 ) , (32) ou

(48 ) .

A.ANÁLISE VISCOELÁSTICA

4.1 Formulação no plano real do tempo

A f i g . 1 2 mostra um corpo v i s c o e l ã s t i co V. s u j e i t o a

esforços constantes T.. (x..) ap l icados na par te e com des loca­

mentos u.. ( X j ) impostos na par te S 2 ; % l e $ 2 formam o contorno S

do corpo. Forças por unidade de volume f> ( x . ) também podem ser » J

25

consideradas. A ana l i se v i s c o e l a s t i ca cons is te em determinar a va_

r iação das tensões, deformações e deslocamentos, funções da v a r i a

vel tempo, no corpo v i s c o e l a s t i c o V. A presente ana l i se e l i m i t a ­

da a pequenos deslocamentos e deformações 1 5 , desta fo rma, c o n s i ­

derando-se ma te r i a l v i s c o e l a s t i c o l i n e a r , a ana l i se toda pode

ser considerada l i n e a r .

Assim sendo, as componentes do estado de tensão e

as componentes de deformação,

a i j = 0 i j ( x k ' e i j = e i j ( x k * i » J » k = 1» 2 , 3 (52)

sa t i s fazendo as relações v i s c o e l a s t i c a s l i n e a r e s d e s c r i t a s em

(31) e ( 3 2 ) , são funções das coordenadas car tes ianas ( x 1 , x 2 , x 3 ) e

da v a r i á v e l tempo t . A s s i m , as der ivadas em re lação ao tempo, a-

te aqui cons ideradas, tornam-se der ivadas p a r c i a i s . Os operadores

P, Q, P' e Q' podem assumir qualquer uma das formas d i s c u t i d a s

nas secções a n t e r i o r e s , onde todas as der ivadas ou i n t e g r a i s , em

re lação ã* v a r i á v e l tempo t , são vá l i das para cada ponto ( x l t x 2 , x 3 )

do corpo V.

As relações de 8 lo c amento-de formação l i n e a r i z a d a s

podem ser e s c r i t a s 1 5 :

«i i («k '* i * 4 - h . j f v ' ) + » j . i < v t J ] - ( 5 3 )

onde u . ( i = 1 , 2 , 3) são as componentes do ve to r deslocamento.

As equações de equilíbrio linearizadas 1 5 são ex­

pressas por :

o i y . " ( x k . t ) + f . ( x k ) = 0 (54)

As condições de contorno para o problema se esc re ­

vem:

T i ( x j ) = a i j n j e m S i * * 5 5 *

onde T . ( x . ) são os esforços impostos e n . são os cossenos d i r e t o -

res da normal e x t e r n a ;

u i í x k } = " i ( x k } e m S 2 » * 5 6 )

onde U. ( x . ) são deslocamentos impostos. I K.

As equações ( 3 1 ) , ( 3 2 ) , (53) e (54) formam um s i s -

26

tema de 15 equações d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s l i nea res que, juntamen­

te com as condições de contorno (55) e (56) .determinam as incõgni_

t a s , ou s e j a , se is componentes de tensão, se is componentes de de­

formação e t rês componentes de deslocamento, funções de X j , x 2 , x 3

e t .

Devido a e x i s t ê n c i a de der ivadas em re lação ao tem

po, serão necessár ias condições i n i c i a i s . Este aspecto será abor­

dado no i tem segu in te .

4 , 2 . Formulação no plano transformado de Laplaoe: problema elás­

tico associado

Uma grande c lasse de problemas da ana l i se v i scoe -

l ã s t i c a l i n e a r pode ser t r a tada pela remoção da v a r i á v e l tempo do

sistema de 15 equações d i f e r e n c i a i s acima r e f e r i d o , pela a p l i c a ­

ção da transformada de Laplace em re lação ao tempo t, 3 1 6 8 .

A transformada de Laplace em re lação a t e por de­

f i n i ç ã o (ve ja apêndice A ) :

— oo

f ( x , y , z , p) = / f ( x , y , z , t ) e " p t d t (57) ò

onde o acento c i r c u n f l e x o sobre o sTmbolo f i n d i c a a transformada

de Laplace da função f .

Para a ap l i cação da transformada de Lap lace, a for_

ma e o volume do corpo V não devem ser a l t e r a d o s , a menos de des­

locamentos i n f i n i t e s i m a i s , e as regiões S1 e S 2 , sobre as quais

se prescrevem as condições de contorno mecânicas e geometr icas ,de_

vem ser mantidas f i x a s durante o per íodo em que a ana l i se Ó f e i ­

t a . Do c o n t r á r i o , a transformada de Lap lace, sendo uma i n t e g r a l

sobre o tempo no i n t e r v a l o de zero a i n f i n i t o , não pode ser calcu_

lada.

De acordo com as conclusões do i tem A2.8 do apêndi_

ce A, supondo-se que o corpo e s t e j a i n i c i a l m e n t e descarregado, a

h ipótese de condições iniciais nulas (para t -»• 0 + , tensões e de­

formações e suas der ivadas de todas as ordens necessár ias i gua i s

a zero) levam a resu l tados co r re tos após a ap l i cação da t r a n s f o r ­

mada de Laplace. P o r t a n t o , a re lação tensão-deformação (3) - ( 9 ) ,

em termos de operadores d i f e r e n c i a i s , se t ransforma em:

27

( " a . p k ) õ (p ) = ( i b p k ) ê (p ) (58) k-0 K k-0 K

Por ou t ro l a d o , as transformadas de Laplace das re lações tensão-

deformação (19) e ( 2 0 ) , em termos de operadores I n t e g r a i s , são ob

t i das pela ap l icação do teorema da Convolução (ve ja apêndice

A2 .5 ) :

ê(P) • J ( P ) Pô(p) (59)

â (p ) = Y(p) pê(p) (60) •

Note-se que as expressões (59) e (60) permitem r e ­

l ac i ona r os módulos de re laxação e de f l u ê n c i a no plano t r a n s f o r ­

mado;

Ô(P) Y(p) = p " 2 (61)

Pela observação de uma das t r ês re lações equivalen,

t e s , ( 5 8 ) , (59) ou ( 6 0 ) , conc lu i - se que uma re lação tensão-de fo r -

mação e l á s t i c a se a p l i c a no plano t rans fo rmado, sendo os termos e

qu iva len tes as constantes e l á s t i c a s funções do parâmetro transfor_

mado p. Esta ê realmente a grande impor tânc ia da transformada de

Laplace na solução de problemas em v iscoe las t i c i d a d e l i n e a r : uma

equação d i f e r e n c i a l ou i n t e g r o - d i f e r e n c i a l do t i p o convolução (ve_

j a apêndice A, i tem A l . 2 ) se t ransforma numa equação a l g é b r i c a no

plano de Laplace.

As transformadas das relações tensao-de formação, na

forma (31) e ( 3 2 ) , das equações diferenciais e das condições de

contorno ( 5 3 ) , ( 5 4 ) , (55) e (56) formam o sistema de equações:

P(P) ôu{p) « 3 Q(p) ^ . ( p ) (62)

P ' (P) s . ^ p ) = 2 Q ' (p ) e i j ( p ) (63)

c i j (p) - 4 " I « i f J ( P ) + Gj t i (P) ] (64)

õ i y . (p) + f . ( p ) = 0 (65)

T ^ p ) = c?i j (p) T\y em S x (66)

u ^ p ) = u \ ( p ) , em S 2 (67)

Note-se que todas as funções que aparecem nas r e l a

28

ções acima dependem das v a r i á v e i s x (k = 1 , 2 , 3 ) , omi t idas por

s imp l i c i dade.

Este sistema de equações d i f e r e n c i a i s l i neares .com

condições de con to rno , c o n s t i t u i o chamado problema elástico asso_

ciado, que p o s s i b i l i t a a determinação das tensões , deformações e

deslocamentos no plano t ransformado. Obserye-se que as v a r i á v e i s

x f c permaneceram ina l t e radas e que, p o r t a n t o , o problema elástico

associado tem a mesma geometr ia que o problema o r i g i n a l .

As constantes e l á s t i c a s usuais correspondentes as

equações (62) e (63) são expressas formalmente por :

K = Q/P (68a)

G = Q ' /P ' (68b)

Como a formulação do problema em termos do módulo de e l a s t i c i d a d e

e do c o e f i c i e n t e de Poisson pode ser mais conven ien te , as demais

constantes e l á s t i c a s , E e v» podem ser deduzidas u t i l i z a n d o - s e as

relações equ iva len tes âs relações expressas por ( 3 8 ) :

Ê = _ i M _ _ j - . 3K - 2G ( 6 g )

3K + G 6K + 2G

Os acentos c i r c u n f l e x o s sobre as constantes e lãs t i_

cas para o problema associado apenas lembram os seus s i g n i f i c a d o s .

Assim, por exemplo, E, num elemento em estado simples de tensão,

é o quociente da tensão p r i n c i p a l t rans fo rmada, não n u l a , pelo a-

longamento p r i n c i p a l t ransformado correspondente 3 3 .

As conclusões ob t idas acima permitem a u t i l i z a ç ã o

das técn icas de resolução de problemas e l á s t i c o s l i n e a r e s , en t re

estas o método dos elementos f i n i t o s , para a resolução dos p ro ­

blemas v i s c o e l ã s t i c o s l i nea res correspondentes.

Desta forma, considerando o problema e l á s t i c o as­

soc iado , a ap l icação do método dos elementos f i n i t o s , processo

dos deslocamentos 1 8 1 9 , conduz a r e l a ç ã o :

K ( v , E)U = F (70)

onde K é a matriz de rigidez, U o vetor deslocamento nodal trans-

formado e F 0 vetor dos esforços nodais transformados. Também, co_

mo se t r a t a de a n a l i s a r problemas e s t á t i c o s , ou s e j a , F cons tan te ,

29

tem-se que F - F/p, p o r t a n t o :

pU * K - ^ v . E J F (70a)

Note-se que a re lação (70) também poder ia ser obti_

da u t i l i z a n d o - s e os métodos v a r i a c i o n a l s de uma ou t ra maneira 3 l f .

Resolvido o problema e l á s t i c o assoc iado,^ as s o l u ­

ções rea is poderão ser obt idas pela inversão das Soluções t r a n s ­

formadas na forma (70a) .

4.3 Inversão da solução viscoelãstica transformada para o plano

real do tempo

Devido ãs d i f i c u l d a d e s , mencionadas no apêndice B,

de se a p l i c a r um processo de inversão exata na solução v i s c o e l ã s -

t i c a t rans formada, deve-se u t i l i z a r um processo numérico de inver .

são aproximada para a obtenção da solução rea l função da v a r i á v e l

tempo.

Dois processos numéricos de inversão aproximada t co

locação 3 1 e multidata 6 , são d e s c r i t o s no apêndice B,

Cost 6 r e a l i z o u um es tudo , d e s c r i t o no i tem B . 4 . 1 ,

ap l icando os dois processos acima c i tados ã t ransformada da f u n ­

ção t es te X ( t ) ,

X ( t ) =

0 , t < 0

75 Z e - V , t > 0 < 7 1 >

i = 0

3. = 1 0 { - 2 ' 5 + ( i / 1 5 > \ i = 0 , 1 , 2 , . . . , 7 5

Note-se que a função transformada inversa cons ide­

rada , X ( t ) , assume o va lo r zero no l i m i t e quando a v a r i á v e l tempo

t tende ao i n f i n i t o . Baseado neste es tudo , onde va r i ou exaustiva_

mente os parâmetros envo lv idos nos dois processos, Cost aponta

vantagens em se u t i l i z a r o processo multidata em re lação ao p ro ­

cesso da colocação, p r i nc ipa lmen te quando hã er ros na função a

ser i n v e r t i d a . Aceitando esta conc lusão, neste t r aba lho u t i l i z a r -

30

se-a o processo multidata, pelo menos em suas bases mais g e r a i s ,

ou s e j a , a ap l icação do método dos mínimos quadrados no a jus te de

curvas d i retamente no plano t ransformado.

Para a sua a p l i c a ç ã o , em casos semelhantes ao da

função tes te ( 7 1 ) , o processo multidata, d e s c r i t o no apêndice B,

ê a segu i r resumido e colocado sob forma m a t r i c i a l v isando f ac i l i ^

t a r a sua programação para cá lcu los em computador,

Na dedução do processo multidata chegou-se ao s i s ­

tema ( b . 1 4 ) :

I I oc. I I JJ a. a.

. i p, f ( P , ) d • - p i - r* - . i . í s.ci * - J - r o . )-

k - 1 , 2 , . . . , J J (72)

Este sistema de JJ equações l i nea res permi te a de­

terminação das constantes S j , p o r t a n t o , a determinação da t r a n s ­

formada inversa aproximada procurada at ravés de ( b . 9 ) ,

f * ( t ) = " S . e - V (73) j - l J

0 número de termos da s é r i e aproximação (73) deve

ser f i x a d o , segundo as conclusões de Cost ( i t em B . 4 . 7 ) , de forma

que se tenha um termo exponencia l por década de log p, no interva_

l o onde a função v a r i a .

As considerações f e i t a s para a centragem dos t e r ­

mos exponencia is resu l ta ram no c á l c u l o dos va lores et., em função

da v a r i á v e l tempo t a t ravés da re lação ( b . 2 0 ) . Como as duas f u n ­

ções, inversa e transformada cor respondente , variam no mesmo i n ­

t e r v a l o ( v e j a , por exemplo, o g r á f i c o b . l a ) , ha uma correspondên­

c ia en t re t e a v a r i á v e l t ransformada p, de forma que a re lação

(b .20) pode ser expressa po r :

log a. = - l o g p. - 0,5 (74)

onde log Pj é o centro da curva exponencia l associada a constante

correspondente cu .

Estas condições para a determinação de JJ e cu de­

vem leva r a bons r e s u l t a d o s . Alem d i s s o , o v a l o r de I I , número de

valores dados da função a ser i n v e r t i d a , deve ser i gua l a JJ,quan_

3 1

do não ha er ros nos va lores das funções t ransformadas. Porém, o

va lo r de I I deve ser aumentado conforme aumente a porcentagem de

erros nos va lores dados. Estes c r i t é r i o s , es tabe lec idos experimen_

ta lmen te , são apresentados no apêndice B onde pode-se observar

também os resu l tados obt idos quando se variam os va lores de I I e

J J .

0 sistema de equações l i nea res (72) pode ser c o l o ­

cado sob a forma m a t r i c i a l :

m rs

r-i cm co I «•- » «•- < <*-

<~* cm co O - Ou Q .

I , , i

H M M M

CM

a a

a +

CM

a

CO

CM O . ' —

r— a

CM

CM a

CM a .

•-5

— H ^ 0 0 )

a CM

8 a +

1 _ X <->

r-t CM t o CO • • • CO

• f c o r

1 J—1 r-» 1 1 1 . •

. r—S M rH CM CO M

Q. O - o . el­' s » ~s. ^s. ' s .

I-) *-> • • »-5 *-> »-» • * -)

a a a • • a + + + + r— r— r— #—

s^> s_r s •

• • • • «

* * 1 Í 1 . , »—s »—S M

CM CO r-l o . CL Ol. O . "s» *«s. *s» • • V »

CM CM CM * * CM a 3 a • • a + + + + r— r— r— r—

* —' —' ' r-t rH .-i • 1 1 • » - s

. . M 1—1 CM co W

Ou, O - Q - O . " s s _ • • ' s »

r-l • • r-l a a a • • a + + + + r— r— r—

i ' 1

1 r- 1 f t

1 r—S »—s »—s H

M M M M M O .

Ow Q - —-» Ss. S • ->

r-l CM • •-> a a • a + + + r— r— r—

' ' • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

p—i • 1 1 *—s .—s »—s CO

CO CO O.

O - o_ ' s . *s» ' s » •->

r-t CM • >-> a a • a + + + r— r— r—

' 1-4

•—' 1 1 1 r—s X .—. .—» CM

CM CM CU >-> O . O - ' s » <-) S . s ^ • •o s—

r-l CM • *-> a a • a + + + r— r— r—

s^» w w

i—» fH 1 1 * . »—S »—S i-I

1-1 1-H O . Ok. Ou ' s »

— • • r-l CM m <->

a a • a + + + r— r—

3 2

X

H H

0 0 J

3 3

Com a notação ind icada em ( 7 5 ) , tem-se:

B T ? ' = B T B S (76)

Po r tan to , formalmente,

S = ( B 1 ^ ) - 1 B T f ' (77)

Assim, com os valores de determinados, a aproximação f * ( t ) da

função inversa procurada é fo rnec ida pela re lação ( 7 3 ) .

Este processo, da forma como f o i d e s c r i t o , f o i a-

p l i cado a função tes te ( 7 1 ) , sem erros a d i c i o n a i s , repe t indo o

procedimento de Cost. Considerou-se o caso 3 c i t ado no i tem B .4 .5 ,

re lações ( b . 2 1 ) , ou seja tomourse 6 termos na s é r i e exponencia l

( 7 3 ) , i s t o é , JJ = 6 , e 6 va lores de p X ( p ) , i s t o é , l i = 6. A in_

versão da ma t r i z BTB f o i f e i t a considerando-se apenas prec isão du

pia (apêndice C) em computador B6700, não havendo necessidade de

p ivoteamento, pelo menos nos exemplos cons iderados. Desta fo rma,

chegou-se a um e r ro quadrá t i co médio, d e f i n i d o por ( b . 1 9 ) , i gua l

a 0 , 0 4 , menor que o conseguido por Cost , em torno de 0,3 (ve ja

f i g . b . 5 , curva k = 0 ) . Confirma-se ass im, a e f i c i ê n c i a do proces­

so multidata proposto por Cost, quando ap l i cado a funções do t i p o

da função tes te ( 71 ) . Porém, em v i s c o e l a s t i c i dade l i n e a r se encoii

t r a mais frequentemente funções do t i p o de (71) com um termo cons_

tante a d i c i o n a l , por exemplo uma função do t i p o mostrado na f i g . 2 .

Neste caso, a função tes te (71) assumir ia a forma:

X ( t ) *

0 , t < 0 7 5 -a t

Z e + C, para t > 0 (78) i=o

onde, B. = 1 0 { ~ 2 ' 5 + < i / 1 5 > } i . o ,1 ,2 , . . . ,75

C = constante

Note-se que, desta forma, X ( t ) assume o v a l o r cons_

tan te C no l i m i t e , quando a v a r i á v e l tempo t tende ao i n f i n i t o .

Para estes casos, cons ta ta -se que a, u t i 1 i zação do

processo multidata, adotando-se a s é r i e aproximação ( 7 3 ) , não l e ­

va a bons r e s u l t a d o s . I s t o se deve ao f a t o de que quando t » ,

considerando-se a s é r i e ( 7 3 ) , f * ( t ) -> 0 e , p o r t a n t o , não pode r e ­

p roduz i r a condição X ( t ) = C para t -»- °°.

Uma melhor aproximação para estes casos s e r i a uma

sé r i e composta de (73) com um termo constante a d i c i o n a l :

34

J J f * ( t ) - S + Z S e " V (79 )

0 " j - l J

Assim sendo, repe t indo-se os passos ind icados no a_

pêndice B, na ap l icação do processo multidata, obtém-se a t r a n s ­

formada d§ Laplace da re lação ( 7 § ) , f ( p ) , u t i 1 i 2 i n d o » s § a tabe la

( a . l ) do apêndice A, que pode ser colocada na forma:

p f * ( p ) = S n + J z s . (1 + ) - 1 (80) 0 j - i 2 P

Sendo l i o número de va lores de p f ( p ) , ca lcu lados

com cer tos c r i t é r i o s f i xados por e x p e r i ê n c i a , de acordo com

( b . l l ) o erro quadrãtiao total é :

E 2 = " [p . f ( P i ) - p f * ( p . ) ] 2 (81) I = 1

Subs t i t u indo (80) em ( 8 1 ) , obtém-se:

I I - • J J a . E 2 = Z [ p . f ( p . ) - SQ l s . (1 + - i - )-»]

j - l J Pi i = i • i

(82)

Minimizando E 2 em re lação a S, ( k = 0 ,1 ,2 , . . . , J J ) ,

r e s u l t a

3 2 E . " rr ; , _ x c 3Í c m . " j , - , ! , , . V -

9 S k i = l j - l P-| P-j

(83)

onde otQ « 0 , por d e f i n i ç ã o . Assim,

I I - a, I I J J a . a.

£ [ P i ^ P i ) d + = ^ U s 0 + Z S. (1 + - ! ) ->] (H -A) - ' }

i = l K i 1 = 1 j » l i i

(k »' 0,1 , 2 , . . . , J J ) (84)

Sob forma m a t r i c i a l o sistema de equações l i nea res

(84) se escreve:

3 5

B T f ' = BTB S (85)

onde

B =

( I I x J J + 1 )

1 (1 + a j / p ^ " 1 (1 + a 2 / P i r l . . . (1 + a ^ / P j ) " 1

1 (1 + c^/p,,)- 1 (1 + aztv2)"1 . . . (1 + a j j / P j , ) - 1

1 (1 + a 1 / p 3 ) - í (1 + a 2 / p 3 r l . . . (1 + a J J / p 3 ) " 1

1 (1 + a ^ P j j . ) - 1 (1 + a2/PltTl . . . (1 + « J J / P H ) " 1

(86 )

( I I x 1 )

p l f l

P f v2 2

P 3 f 3

P f K I I I I

S =

( J J + 1 x l )

JJ

(87 )

Assim, os va lores de ( j = 0 , 1 , . . . , J J ) podem ser

determinados através de:

S = (B T B) - 1 B T f ' (88)

Adey e Brebbia 1 , na ap l i cação do processo de i n ­

versão aproximada para a obtenção das respostas v i scoe las t i c a s

r e a i s , sugerem a u t i l i z a ç ã o de uma s é r i e exponenc ia l , aproximação

da função inversa procurada, sob ou t ra forma. Segundo os a u t o r e s ,

se a equação proposta por McHenry 1 7 ,

Y ( t ) = S + 3i S. (1 - e

0 j - l J

t / Y í j ) (89)

36

representa bem o módulo de re laxação do ma te r i a l v iscoe lãs t i c o , é

razoãvel supor que uma s é r i e do mesmo t i p o igualmente representa

as respostas v i s c o e l a s t i c a s , ou s e j a , tensões , deformações e des­

locamentos.

Desta fo rma, a s é r i e aproximação da transformada

inversa é suposta t e r a forma:

f * ( t ) = S + Jí S (1 - e " t / Y j ) (90) 0 j = l 3

Assim sendo, na ap l i cação do processo multidatat

t ransforma-se (90) para o plano de Lap lace, u t i l i z a n d o - s e a tabe­

la ( a .1 ) do apéndi ce A:

S n JJ , , f * ( p ) • + £ S, - I 1 , (91)

P j « l 3 Y j p (p+ - r r í—) Y j

ou , mais convenientemente,

JJ S. p f * ( p ) • S + i 1 — (92)

j - l 1 + PYj

Sendo l i o número de va lores de p f ( p ) , a r b i t r a r i a ­

mente cons iderados, de acordo com ( b . l l ) o erro quadrático total

é:

E2 • " [Pi f ( P i ) - Pi f * ( P i ) ] 2 (93) i ^ l

Subs t i t u i ndo (92) em (93) obtem-se:

E 2 • " [Pi f ( P i ) - S S. ( 1 + P i Y i ) " 1 ] 2 (94) i - 1

1 1 0 j - l 3 1 3

Minimizando E 2 em re lação a S f c (k = 0 , 1 , 2 , . . . , J J ) ,

r e s u l t a :

l | i = -2 " { [ p . f í p . ) - S - J Z S. ( l + P . Y . ^ l t l + P ^ J " 1 } - 0 c S k i - 1

1 1 0 j = l 3 1 3 1

onde Y Q - 0» P ° r d e f i n i ç ã o . Assim,

(95)

37

(96) ou s e j a , m a t r i c i a l m e n t e :

B T f == BTB S (97)

onde:

B =

( I I x JJ+1 )

( i + p ^ r 1 ( í + p 1 Y 2 r 1 . . . ( i + p ^ j j ) - 1

O + P 2 Y 1 ) _ 1 (1 + P 2 Y 2 ) " 1

V + P 2

Y JJ>" 1

O + P 3 Y ! ) _ 1 (1 + P 3 Y 2 ) " 1 . . . O + P 3 Y J J ) * 1

( i + p l i y i r o + p I I Y 2 r 1 . . . ( i + - P n Y j j ) -

(98)

f =

( I I X 1)

P l f l

P 2 f 2

P 3 f 3

P f v 1 1 1 1

S =

(JJ+1 x 1 )

JJ

(99)

Assim, os va lores de ( j = 0 , 1 , . . . , j j ) podem ser

determinados através de:

S = (B TB )"* B T f (100)

obtendo-se, p o r t a n t o , a solução aproximada por meio de ( 9 0 ) .

Deve-se notar que a u t i l i z a ç ã o do processo multida

ta tomando-se uma das duas se r ies aproximações (79) ou ( 9 0 ) , ou

38

s e j a ,

f * ( t ) - S + 3l S e ^ j * (79)

0 j - l 3

f*'(t) - S'Q + 3 Z S' (1 - e ' t / Y j ) , ( 9 0 ' ) i - i i

levam a resu l tados i d ê n t i c o s , pois cons iderando-se:

Y J - 1 / o J JJ

s ; + z s. = s „ ( í o i ) 0 j - i 3 0

Si = - s. J J

observa-se que ( 9 0 ' ) se to rna i gua l a ( 7 9 ) .

Assim sendo, nos exemplos de ap l i cação mostrados

a s e g u i r , considera-sé apenas a s é r i e aproximação ( 9 0 ) , para que

a notação u t i l i z a d a neste t r aba lho f i que coerente com a da r e f e ­

rênc ia 1 , ou s e j a , o processo multidata e associado 5:

- função transformada i n v e r s a :

J J . . f * ( t ) - S. + Z S. (1 - e " t / Y j ) (90)

0 j - l J

- função t rans formada:

J J S.

P f * ( p ) = S n + Z i (92) 0 j - l 1 + PYj

Note-se que o processo multidata, da maneira como

f o i apresentado no apêndice B, embora possua bases teó r i cas c l a ­

r a s , ou s e j a , o método dos mínimos quadrados, teve a sua e s t a b i l i _

dade numérica garan t ida através de parâmetros espec i f i cados expe­

r imenta lmente . Desta forma, como hã i n t e resse em se a p l i c a r este

processo a funções d i f e r e n t e s da função t es te de Cost ( 7 1 ) , no

sen t ido de que a função transformada inversa não converge para ze

ro quando a v a r i á v e l tempo t tende ao i n f i n i t o , a imposição dos

valores dos argumentos da função exponenc ia l , Y j * devera novamen­

te ser pesquisada.

39

Assim, duas t e n t a t i v a s serão f e i t a s no i tem 5 . 1 :

- considerando-se a sugestão de Cost , ( 7 4 ) :

log — = - 0,5 - log p. (102)

- considerando-se a sugestão de Brebb ia :

— • P, (103) Y j

Observe-se que, como j ã se fez r e f e r e n c i a no Apên-°

d ice B, uma out ra maneira de se c a l c u l a r va lores de Y j poderá ser

ace i ta desde que os resu l tados f i n a i s obt idos sejam c o n f i á v e i s .

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

5.1 Função típica em vis coei as ti cidade linear

Pretende-se neste i tem es tudar a i n f l u ê n c i a da con_

dição f * ( t ) = C para t •*• '«, não considerada por Cost na r e f e r ê n ­

c ia 6 ; também, pretende-se es tabe lecer uma maneira em que o p ro ­

cesso multidata, associado as re lações (90) e ( 9 2 ) , forneça resul_

tados acei tãve i s .

Desta fo rma, a p l i c a - s e o processo a função cons­

t r u í d a a p a r t i r da função t e s t e ( 7 1 ) :

0 , t < 0

f ( t ) = 7 l e " B 1 t + 500, t > 0 (104) 76 i - 0

onde, B. = I O * " 1 ' 5 + ( i / 2 5 ) } i . 0 , 1 , 2 , . . . , 75

A função assim cons t ru ída tem as segu in tes caracte

r í s t i c a s :

f (0) = 1500

f ( t ) ] = 500

40

e, p o r t a n t o , se pres ta as f i n a l i d a d e s e s t a b e l e c i d a s .

A transformada de Laplace de ( 1 0 4 ) , m u l t i p l i c a d a

por p , pode ser determinada de forma e x a t a , ou s e j a ,

p f (p) = 1M1 z (1 + - ± - )-» + 500 (105) 76 i=0 p

Assim, seguindo os mesmos passos ind icados por

Cost (ve ja apêndice B) , u t i l i z a n d o a expressão ( 1 0 5 ) , pode-se ob­

t er a curva [ p f ( p ) , log p] mostrada na f i g . l 3 a .

Observa-se que, na curva do g r a f i c o 1 3 a , o interva_

lo onde a função p f ( p ) v a r i a pode ser considerado como sendo

- 2 , 5 < log p 4 + 2 , 5 . Porem, tomou-se va lores de p.. d i s t r i b u í d o s

em i n t e r v a l o s desde - 2 , 5 < log p. «: +2,5 a tê - 1 , 0 <? log p. « 1 , 0 , 3 3

conforme se i n d i c a na f i g u r a 1 3 b , com o o b j e t i v o de se e s tudar es_

tas v a r i a ç õ e s . Assim, montou-se 12 t e n t a t i v a s de inversão r e f e r i ­

das a t ravés de uma notação que e a s e g u i r d e s c r i t a .

As t e n t a t i v a s f e i t a s para inversão foram c o n s t r u í

das baseadas nas locações de (1 ) a ( 1 2 ) , mostradas na f i g . l 3 b . Ca_

da uma dessas locações , determinando v a l o r e s de log p a través

das s e t a s i n d i c a d a s , serve para a e s p e c i f i c a ç ã o dos parâmetros enr-

vo lv idos no processo multidata, ou s e j a :

l i va lores p i f ( p i ) ,

j j va lores Yj > correspondentes aos JJ termos exponenc ia i s

da s é r i e , ca l cu lados a t r a v é s de (102) ou ( 1 0 3 ) .

Por exemplo, suponha-se o s e g u i n t e cQnjunto de da­

dos :

6 v a l o r e s f (p^)» n = 6, onde os v a l o r e s de p.. sejam de

terminados a través da locação ( 3 ) , ou s e j a , log p.. i g u a i s

a { - 2 , 5 ; - 1 , 5 ; - 0 , 5 ; +0 ,5 ; + 1 , 5 ; +2 ,5}

5 va lores Yj» J J - 5 , ca l cu lados a t r a v é s de uma das r e l a ­

ções (102) ou ( 1 0 3 ) , sendo os v a l o r e s de p. determinados

a través da locação ( 1 1 ) , ou s e j a , log p. i g u a i s a { - 1 . 0 ;

- 0 . 5 ; 0 .0; +0 .5 ; +1 .0}

A l

1500

1000

a

5 0 0

i 1 1

1 1

1 1 -

X ! i X r

1

— t í ; i , '

l 1 1 l , i

l 1 ' 1 ! i 1

i i 1 í

! ! i i i i [ i

1 4 1 1 1 1 1 1

1 j

- 3 - 1 O

( o )

+ 1 + 2 + 3 tog p

I Z J locação |

6 1 1 1

10 r m : i i

12

(b)

(a) curva da solução transformada j_> f (p ) , "üog p] (b) locações que determinam os valo es de p. para os cá lcu los de

( j - 1 »2 • . • . , J J ) .

Fi gura 1_3

42

Uma inversão através do processo multidata, onde

os dados necessár ios são completamente espec i f i cados pelo con jun­

to acima d e s c r i t o , será denominada de t e n t a t i v a ( 3 - 1 1 ) . I s t o por­

que o conjunto de dados que compõe esta t e n t a t i v a pode ser de te r ­

minado pelas locações (3) e ( 1 1 ) , ind icadas no g r a f i c o 13b. Esta

notação serã u t i l i z a d a neste e noutros exemplos segu in tes .

Considerou-se, na obtenção das i nve r sões , o proces_

so multidata no seu caso restrito, ou s e j a , tomou-se o numero de

termos da se r i e i n c l u i n d o S Q , JJ+1 , i gua l ao numero de va lo res da_

dos de p ^ f ( p ^ ) , l i . Desta forma, um va lo r de p, a d i c i o n a l aos va­

lores dados nas locações da f i g . T 3 . b , deve ser f o rnec ido para o

ca l cu lo de um v a l o r a d i c i o n a l de p f ( p ) . Este va lo r de p, nos ca­

sos restritos cons iderados, será designado por p Q e es ta rá asso­

ciado ao va lo r da função transformada P 0

f ( P 0 ) -

Os va lores de p^ ( j = 1,2, , JJ ) foram adotados

de acordo com o c r i t é r i o suger ido por Cost (Apêndice 8 ) , ou s e j a ,

d i s t r i b u í d o s homogeneamente no i n t e r v a l o onde a função transforma^

da v a r i a . Foram adotados vá r ios va lores de p Q ( 1 0 ~ 3 , IO" 1 * , I O " 1 2 ,

10 3 , 10 10 1 2 , 10 ° * 3 ) , visando determinar as suas i n f l u ê n ­

cias nos resu l tados da inve rsão .

Os va lores de Yj foram ca lcu lados at rayés de (102)

e ( 103 ) , com o o b j e t i v o de, conforme se apontou no f i n a l do i tem

4 . 3 , esco lher uma maneira de impor os va lores de Yj de forma a

se obter resu l tados a c e i t á v e i s .

Na tabe la 1 estão re lac ionados os resu l tados o b t i ­

dos, na consideração da inversão da função t ransformada ( 1 0 5 ) , a-

va l iados através do e r ro quadrá t i co médio e_, d e f i n i d o no i tem

B.4.4 do apêndice B. Além d i s s o , para se t e r uma i d é i a do que es­

tes resu l tados fo rnec idos em termos do e r ro e_ s i g n i f i c a m , apre­

senta-se na tabe la 2 , para o caso I , os va lores das soluções apro

ximadas f * ( t ) obt idos através da t e n t a t i v a de inversão ( 6 - 6 ) , e

os correspondentes er ros r e l a t i v o s ãs soluções exatas f ( t ) .

Notação para a Tabela 1 :

Caso (I) . : 1 /Y j * Pj (103)

Caso (II) : log 1 / Y . = - 0 , 5 - log p. (102)

Ten ta t i va (I) (1) (I)

P . - 1 0 * "

(I)

P o =10" 3

(I)

p 0=«T< (I)

P o " ' " - 1 2

(I) p = 1 0 + 0 * 3

0

(II)

( 1 - 1) .705E-05 .749E-05 .755E-05 .705E-05 .749E-05 .754E-05 .364E-05 .462E+07

(2 - 2) .119E+00 .125E+00 .126E+00 .119E+00 .125E+00 .126E+00 .203E+00 .419E+07

(3 - 3) .299E+03 .305E+03 ' .306E+03 .218E+03 .223E+03 .224E+03 .lOOE+03 .lOOE+06

(4 - 4) .219E-04 .231E-04 .232E-04 .219E-04 .231E-04 .232E-04 .449E-04 .264E+09

(5 - 5) .169E+00 .177E+00 .178E+00 .169E+00 .177E+00 .178E+00 .549E+00 .258E+08

(6 - 6) .137E+02 .143E+02 .144E+02 .137E+02 .143E+02 .144E+02 .123E+02 .860E+06

(7 - 7) .549E-03 .576E-03 .580E-03 .549E-03 .576E-03 .580E-03 .257E-02 .I56E+14

(8 -8 ) .519E+00 .548E+00 .551E+00 .519E+00 .548E+00 .551E+00 .235E+01 .221E+09

(9 - 9) .737E+03 .752E+03 .754E+03 .511E+03 .522E+03 523E+03 .267E+03 .310E+Q6

(10- 10) .885E+01 .9 39E+01 ,945-E+Ol .885E+01 .939E+01 .945E+01 .632E+02 .348E+12

( 1 1 - 11) .529E+02 .562E+02 .566E+02 .529E+02 .562E+02 .566E+02 .246E+03 . 1 3 1 E + 0 9

(12- 12) .577E+02 .625E+02 .631E+02 .577E+02 .625E+02 .631E+02 .749E+02 ,221E+07

Tabela 1 : Erros quadrá t i cos médios (e) obt idos na inversão da função tes te ( 1 0 5 ) , a t ravés do processo multidata, caso restrito (Notação para (J) e ( I J ) : v e j a p a g . a n t e r i o r ) .

44

tempo t Solução exata f ( t )

Ten ta t i va (6-6) f * ( t )

e = 14.4

f ( t ) - f * ( t )

f ( t )

. lOOxlO" 2 1495.31 1 494,91 0.02 %

.316xlO~ 2 1485.44 1484.51 0.06

. l O O x l O - 1 1456.39 1455.69 0.04

.316x1o" 1 1382.14 1386.22 0.29

.100x10 0 1245.66 1246.24 0.04

.316x10 0 1083.37 1077.53 0. 53

. 1 0 0 x l O + 1 921.82 926.46 0.50

. 3 1 6 x l O + 1 766.38 764.16 0.28

. 1 0 0 x l 0 + 2 628.67 633.06 0.69

. 3 l 6 x l 0 + 2 533.80 525.26 1.59

. 1 0 0 x l 0 + 3 501.81 505.87 0.80

. 3 l 6 x l O + 3 500.00 500.67 0.13

. 1 0 0 x l O + A 500.00 500.00 0.00

100

Tabela 2: Valores da função aproximada f * ( t ) ob t idos na t e n t a ­

t i v a de inversão ( 6 - 6 ) , caso I , p Q = 1 0 + 1 2 - e r ros

r e l a t i v o s

Por ana l i se da tabe la 1 , pode-se c o n c l u i r que o ca_

so I (103) forneceu melhores resu l tados do que o caso II (102) e ,

p o r t a n t o , será o caso u t i l i z a d o daqui por d i a n t e .

Para o caso J , pode-se a f i r m a r com base nos er ros

quadrát icos médios fo rnec idos na tabe la 1 e nos va lores das f u n ­

ções aproximadas f * ( t ) juntamente com os er ros r e l a t i v o s r e l a c i o ­

nados na tabe la 2 , que todas as t e n t a t i v a s forneceram bons r e s u l ­

tados , a menos das t e n t a t i v a s ( 3 - 3 ) , (9 -9 ) e (12-12) por cons ide­

rarem poucos va lores p^, no i n t e r v a l o onde a função p f ( p ) v a r i a ,

para a determinação de P j f ( p ^ ) e Y j • Também a t e n t a t i v a (11-11)

não forneceu bons resu l tados e deve-se no ta r que, embora tenha

considerado 5 va lores p.. , da mesma forma que a t e n t a t i v a (6-6),es_

tes va lores não foram tomados homogeneamente d i s t r i b u í d o s no i n -

4 5

t e r v a l o onde a função v a r i a , ocasionando um v a l o r re la t i vamen te

a l t o de e. Note-se que a conclusão de Cost (ve ja o i tem B.4.7 do

apêndice B ) , de que Ó melhor cons iderar um termo por década de

log p, j á não ê mais v a l i d a , p o i s , encontrou-se melhores r e s u l t a ­

dos considerando va lores de p. d is tanc iados de 0,5 na escala

log p, no i n t e r v a l o onde a função t ransformada v a r i a .

Alem d i s s o , observando a tabe la 1 , pode-se con­

c l u i r também que todos os va lores de p Q considerados para o cãlcu_

lo de P Q f ( P 0 ) prat icamente levaram aos mesmos r e s u l t a d o s .

5.2 Teste de relaxação

Ap l i ca -se o método exposto a um exemplo r e s o l v i d o

por Z i e n c k i e w i c z , Watson e King 2 a t ravés do método passo a passo.

Tra ta-se de um tes te de re laxação onde a e s t r u t u r a apresentada na

f i g . l 4 a , c o n s t i t u í d a de um m a t e r i a l v i s c o e l ã s t i co l i n e a r , é subme_

t i d a a uma deformação provocada por uma var iação de temperatura

T Q , mantida constante até o tempo t = 80 dias ( f i g . l 4 b ) .

h , , , , _ O 20 40 60 80 Hdios)

( b)

F i g . 1 4 : Teste de re laxação

O m a t e r i a l da bar ra f o i suposto representado por

um modelo c o n s t i t u í d o por um elemento de Hooke e dois elementos

de K e l v i n , todos associados em s é r i e . Assim sendo, a equação (10)

do modelo de Ke lv in genera l i zado se a p l i c a para o caso, tomando-

se r = 3 e e l im inando-se o elemento de Newton. Desta fo rma, sendo

a a tensão normal na d i reção do e ixo x , mostrado na f i g u r a 14a, e

sendo e a deformação cor respondente , tem-se:

4 6

e = ( J — + 3 + 2 )a (106) E„ E + n D E + T i D

O 1 1 2 2

Esta re lação pode ser expressa na forma:

1 a a e . (—— + i +' 2 )g (107)

ín D + b D + b

o 1 2

onde l / a » n l / a = n I I 2 2

b = E /n b = E /n I I I 2 2 2

A r e f e r e n c i a 2 e s p e c i f i c a numericamente as constain

tes da expressão (107 ) :

a * 6,0 . I O " 9 T ; a = 0,14 . I O " 9 T : E = 5 ,0 . IO 6 p . s . i .

b = 1 , 5 / d i a ; b = 0 , 0 3 5 / d i a ; T = 409C 1 2 O

O c o e f i c i e n t e de d i l a t a ç ã o té rmica l i n e a r f o i toina

do igua l a 9 , 0 . 1 0 " 6 / ° C .

Tra ta-se de determinar a var iação de tensões com o

tempo, ate o tempo t = 80 d i a s .

5 .2 .1 Solução analítica exata

Como a var iação da temperatura T , imposta no i n s ­

tan te z e r o , é mantida constante no decor re r da ana l i se e estando

f i x a s as extremidades da b a r r a , uma deformação e - aT Q e imposta

no i n s t a n t e zero e mantida constante durante a a n á l i s e , ocorrendo

então o fenômeno da re laxação .

Desta fo rma, (107) pode ser e s c r i t a :

(—— + ^ + -z ) o - aT A ( t ) (108) E D + b D + b 0

o i 2

onde A ( t ) é a função degrau u n i t á r i o , d e f i n i d a no i tem A . 2 . 6 . 1 .

A t ransformada de Laplace (ve ja apêndice A) corres^

pondente a expressão ( 1 0 8 ) , se expressa po r :

47

OU

a-

« T « E r t [ p 2 + p (b + b ) + b b ]

p { p 2 + [bi + b 2 + ( a ^ a j E 0 ] p + [ b j b 2 + ( a ^ + a ^ ) E Q ] }

(110)

Fazendo-se as s u b s t i t u i ç õ e s numér icas, obtém-se:

p 2 + 1,535 p + 0,0525 a = 1800 [ ] (111)

p ( p 2 + 2,763 p + 0,1365)

Fatorando o denominador, tem-se:

p 2 + d p + d a » 1800 [ 1 2 ] (112)

p (p + b) (p + c)

onde, d = 1,535 b = 0,0503192

d Q = 0,0525 c = 2,7126807

U t i l i z a n d o - s e a inversão n9 296 da tabe la 1 , r e f e ­

rênc ia 29, obtém-se a t ransformada i n v e r s a :

a„ b 2 - a b+a„ c 2 - a c+a„ „ . a(t) = 1800 [-0- + 1 2- e " b t + 2. e ' c t ] (113)

bc b (b -c ) c ( c -b )

A tabe la 3 r e l ac i ona os va lo res de a ( t ) ca lcu lados

através de (113) para alguns va lores de t no i n t e r v a l o cons ide ra ­

do. A curva da f i g . 1 5 i l u s t r a esta so lução .

Tempo ( d i a s ) ( p . s . i )

0.0 1800.00 1.0 1029.75 2.0 965.69 3.0 949. 12 4.0 936.31 6.0 912.93

10.0 872.71 20.0 801.38 30.0 758.25 40.0 732.18 50.0 716.41 60.0 706.88 70.0 701.12 80.0 697.63

Tabela 3: Solução exata do problema da re laxação .

48

B a

«000

ISOO »tt IA M W a 1000 3 O o

• » INVERSÃO EXATA

• IHVCMAO AMtOXiMAflA O-?) • »!•«,0

BOO

_4— 10 20

i 30 40 90 60 70 ao t (dia*)

FIGURA 15 — RELAXAÇÃO OA TENSÃO AXIAL OE COMPRESSÃO COM 0 TEMPO

5.2.2 Solução numérica aproximada

Neste i t e m , ca l cu l a - se soluções aproximadas para o

t es te da re laxação , espec i f i cado no i tem 5 .2 . U t i l i z a - s e o proces^

so multidata na forma que levou a bons resu l tados quando ap l i cado

a função t e s t e (104) no i tem 5 . 1 , ou s e j a , associado as r e l a ç õ e s :

- função t ransformada i n v e r s a :

J J t /Y : f * ( t ) - S + l S (1 - e " " j ) 0 j = l 3

(90)

função transformada

J J p f ( p ) = S o + E (92)

j » l 1 + PYj

4 9

- Calculo das constantes y.:

1/Y. = Pj (103)

Os passos a serem segu idos , na ap l icação do proces^

s o , são os mesmos ind icados no i tem 5 . 1 . Assim, a expressão (109)

pode s e r , convenientemente, expressa po r :

p5(p) = aT 0 Ê(p) (114)

onde,

Í ( P ) - — i i < 1 1 5 > ! _ + 1 + 2

E„ p + b p + b o i r

2

E representa o modulo de e l a s t i c i d a d e para o problema elástico as_

sociado. A expressão (114) representa a solução desejada no plano

t rans fo rmado, podendo ser ca lcu lada numericamente para os va lores

desejados de p, permi t indo a montagem da tabe la 4 e a construção

da curva [ p ô ( p ) , log p] mostrada na f i g u r a 16.

Por aná l i se da curva do g r á f i c o 16a. observa-se

que fo ra do i n t e r v a l o - 3 ,5 <> log p < +2,5 a função t ransformada

p5(p) i cons tan te . P o r t a n t o , tomou-se neste i n t e r v a l o 8 locações

de P j ( v e j a f i g . l ô b ) para a determinação de 8 t e n t a t i v a s de i n v e r ­

são, at ravés do processo multidata, caso restrito, ou s e j a ,

I I • J J + l ; o va lo r ad i c i ona l de p , para o c á l c u l o de P f i f ( P 0 ) » + 12 o o

f o i adotado igua l a 10 em todas as t e n t a t i v a s .

Com a notação r e f e r e n t e as t e n t a t i v a s es tabe lec ida

no i tem 5 . 1 , os resu l tados o b t i d o s , ava l iados at ravés do e r r o qua

d r ã t i c o médio e , estão re lac ionados na tabe la 5.

log p pô(p)

- 4 .0 .69292 E + 03

- 3 . 5 .69426 E + 03

- 3 . 0 .69842 E + 03

-2 .5 .71089 E + 03

- 2 . 0 .74474 E + 03

-1 .5 .81678 E + 03

-1 .0 .91958 E + 03

-0 .5 .10342 E + 04

0.0 .11943 E + 04

+0.5 .14216 E + 04

+ 1.0 .16258 E + 04

+ 1.5 .17355 E + 04

+2.0 .17784 E + 04

+ 2.5 .17930 E + 04

+3.0 .17977 E + 04

Tabela 4 : Valores de p5(p) ca lcu lados at ravés de (114)

5 1

2 000

i soo

«a a

1000

500

O -4

1

7 r

i

i

1 1

i

i

I i

1

1 1 1 ! 1

i

i

- 2 - 1 0 + 1 -»-2 +-3 log p

(a )

locofào ( I ) f t t t f

(2)

(3 ) 2 Z Z

(4)

(5 ) r z i

(6)

(7) (8)

( b )

(a) Curva da solução t ransformada [ p 5 ( p ) , log p]

(b) Locações que determinam os va lores de p^ para os cã l cu los de

P j f ( P j ) e Yj ( j « 1 , 2 , . . . , JJ )

Figura 16

52

Ten ta t i va e r ro e

(1 - 1 ) 6,3

(2 - 2 ) 164,0

(3 - 3' ) 7,5

(4 - 4 ) 171,3

(5 - 5 ) 7,5

< 6 " 6 ) 171,2

(7 - 7 ) 7,7

(8 - 8 ) 171 ,3

Tabela 5: Erros quadrá t i cos médios (e) ob t idos na inversão das so

luções transformadas do problema da re laxação .

Para se t e r uma i d é i a do que estes resu l tados

fornec idos em termos de e r r o e s i g n i f i c a m , apresenta-se na tabe la

6 os va lores das soluções aproximadas o * ( t ) ob t idos a t ravés das

t e n t a t i v a s de inversão ( 1 - 1 ) e (2 - 2 ) , e os correspondentes

e r ros r e l a t i v o s ãs soluções exatas f ( t ) .

Tempo t Solução exata

o ( t )

Ten ta t i va (1-1) e = 6,3

a* ( t ) a ( t ) - a*(t) 1

Ten ta t i va (2 -2) e = 164,0

a * ( t ) o ( t ) - a * ( t ) 1 Tempo t

Solução exata

o ( t )

Ten ta t i va (1-1) e = 6,3

a* ( t ) o(t) "100

Ten ta t i va (2 -2) e = 164,0

a * ( t ) a ( t ) " 100

0. 1800.00 1800.00 0.00 1800.00 0.0

1 . 1029.75 1032.34 0.25 1049.19 1.88

2. 965.69 963.50 0.22 980.00 1.48

3. 949.12 945.43 0.38 948.59 0.05

4. 936.31 934.95 0.14 925.01 1.20

6. 912.93 916.12 0.34 891.30 2.36

10. 872.71 875.48 0.31 851.83 2.39

20. 801.37 797.64 0.46 801.41 0.00

30. 758.25 756.16 0.27 769.33 1.46

40. 732.17 733.06 0.12 746.24 1.92

50. 716.41 719.00 0.36 729.51 1,82

60. 706.88 709.85 0.42 717.41 1.48

70. 701.11 703.66 0.36 708.67 1.07

80. 697.63 699.39 0.25 702.39 0.68

Tabela 6: Valores da função aproximada a * ( t ) , obt idos nas t e n t a t i v a s de inversão (1 -1 ) e

( 2 - 2 ) - er ros r e l a t i v o s

U>

54

Assim, fazendo um ju lgamento através dos t r r o s

quadrát icos médios fo rnec idos na tabe la 6 e dos va lores das f u n ­

ções aproximadas a * ( t ) re lac ionados na tabe la 7, pode-se a f i r m a r

que as t e n t a t i v a s (1 - 1 ) , (3 - 3 ) , (5 - 5) e (7 - 7 ) , com erros

quadrát icos médios próximos en t re s i , forneceram resu l tados prat i_

camente exa tos , com er ro r e l a t i v o máximo em torno de 0,5%. As de­

mais t e n t a t i v a s com erros quadrá t icos médios próximos ou menores

que o e r ro quadrá t i co médio ob t ido na t e n t a t i v a (2 - 2) também le

varam a bons r e s u l t a d o s , com e r ro r e l a t i v o máximo em torno de 3%

(ve ja tabe la 6 e g r á f i c o 15 ) .

5 .3 . Cilindro vis ao elas tico com reforço externo

Considera-se neste i tem um exemplo e x t r a í d o da

r e f e r ê n c i a 33, onde os autores Lee, Radok e Woodward anal isam um

c i l i n d r o v i s c o e l á s t i co re forçado por um revest imento externo elãs_

t i c o e s u j e i t o a uma pressão i n t e r n a un i fo rme. 0 c i l i n d r o e toma­

do su f i c i en temen te longo e é impedido de t e r movimento a x i a l , de

forma a se poder a d m i t i r estado plano de deformação. Uma secção

t ransve rsa l t í p i c a e mostrada na f i g . 17.

F i g . 1 7 : C i l i n d r o v i scoe l ã s t i co com r e f o r ç o e x t e r n o , su je i^

to a pressão i n t e r n a .

5 .3 .1 Solução analítica exata

A solução a n a l í t i c a e x a t a , determinada na re fe

rênc ia 33, pode ser encontrada d i re tamente em coordenadas polares

c i l í n d r i c a s ( r , e, z) u t i l i z a n d o - s e a solução ge ra l de Lamê 1 5 .As_

s im , considerando-se o c i l i n d r o sem re fo r ço c o n s t i t u í d o de mate­

r i a l e l á s t i c o , tem-se:

5 5

° r r = A' - ( B ' / r 2 ) (116)

aQQ = A' + ( B ' / r 2 ) (117)

onde A ' , B' são cons tan tes .

Para o problema elástico associado, as s o l u ­

ções (116) e (117) continuam v á l i d a s , apenas que A' e B* serão

funções do parâmetro t ransformado p, conforme as considerações

f e i t a s no i tem 4 . 2 . As funções A' e B' serão determinadas at ravés

das condições de contorno impostas nas s u p e r f í c i e s i n te rnas e ex­

ternas do c i l i n d r o v i s c o e l ã s t i c o , ou s e j a , nos pontos r = a e

r = b.

Desta fo rma, sendo a pressão i n t e r n a imposta i_

gual a n , a condição de contorno (66) se esc reve :

n(p) = - 5 r r , em r = a (118)

A condição de contorno em r = b deve expressar

o e q u i l í b r i o en t re as tensões no re fo r ço e pressão r a d i a l no c i ­

l i n d r o , e a igualdade da deformação c i r c u n f e r e n c i a l do c i l i n d r o e

do r e f o r ç o em con tac to . 0 r e f o r ç o Ó suposto delgado e , p o r t a n t o ,

pode se a p l i c a r a t e o r i a de membrana desprezando-se as i n f l u ê n ­

cias de f l e x ã o . Sendo F a fo rça de t ração c i r c u n f e r e n c i a l t r a n s ­

formada no r e f o r ç o , o e q u i l í b r i o r a d i a l em r = b ex ige que:

FdO = - a r r bde (119)

U t i l i z a n d o - s e a l e i de Hooke para a deformação

c i r c u n f e r e n c i a l e Q 0 no caso de estado plano de deformação 1 5 , t e m -

se :

- para o r e f o r ç o :

g e o < b» P) 0 ; / 2 r ) (120) h ER

onde h e a espessura do r e f o r ç o , conforme i n d i c a a f i g . 1 7 , e o í n

d ice R denota o m a t e r i a l do r e f o r ç o .

- para o c i l i n d r o v i s c o e l ã s t i c o :

£0O ( b . P ) - - 4 - [ 5 0 Q (1 - v*) - — I ^ - 0 - í " a ) a r r ] .

( i - v ) (121)

5 6

I g u a l a n d o o s s e g u n d o s m e m b r o s d e ( 1 2 0 ) e ( 1 2 1 )>

e e l i m i n a n d o F p e l a u t i l i z a ç ã o d e ( 1 1 9 ) , c h e g a - s e ã c o n d i ç ã o d e

c o n t o r n o em r = b :

5 r r - S e & ! ( 1 ' ? ' - . r . . b ( 1 2 2 )

c t v ( l + v ) - E

o n d e £"Rh o =

(1 - / 2 o ) b

c o n t e m a s p r o p r i e d a d e s d o r e f o r ç o .

S u b s t i t u i n d o a s c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o ( 1 1 8 ) e

( 1 2 2 ) n a s o l u ç ã o g e r a l ( 1 1 6 ) e ( 1 1 7 ) d e t e r m i n a - s e A ' e B ' e , p o r ­

t a n t o , a s s o l u ç õ e s p r o c u r a d a s :

o t ( l - v 2 ) b 2 b 2

( — - • 1 ) - ( — - 1 ) . c tv ' ( l + v ) - E r 2 r

B r r - - f i - í ( 1 2 3 )

a ( l - v 2 ) b 2 b 2

( — + i ) - ( — - í .) : a v ( 1 + v ) - E a 2 a 2

a ( l - v 2 ) b 2 b 2

( . ! ) . ( _ - . • 1 ) a v ( 1 + v ) - E r 2 r 2

ÔQQ - it ^ ; ; ( 1 2 4 ) a ( l - v 2 ) b 2 b 2

( — - + 1 ) - ( — - 1 ) a v ( l + v ) - E a 2 a 2

P a r a q u e s e p o s s a a v a l i a r a d i s t r i b u i ç ã o d e

t e n s õ e s , a r e f e r ê n c i a 3 3 s u p õ e q u e uma p r e s s ã o i n t e r n a i g u a l a JI^

i a p l i c a d a i n s t a n t a n e a m e n t e em t - 0 e m a n t i d a c o n s t a n t e n o s i n s ­

t a n t e s s e g u i n t e s . P o r t a n t o ,

n ( t ) = n A ( t ) ( 1 2 5 ) o

o n d e A ( t ) é a f u n ç ã o d e g r a u u n i t a r i o ( v e j a i t e m A . 2 . 6 ) .

A t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d e ( 1 2 5 ) , u t i l i z a n ­

d o - s e a t a b e l a a i d o a p ê n d i c e A , s e e x p r e s s a p o r :

n ( p ) - n f l / p ( 1 2 6 )

P a r a a e s p e c i f i c a ç ã o d o s o p e r a d o r e s v i s c o e l a s -

5 7

t i c o s a r e f e r e n c i a 3 3 s u p õ e um m a t e r i a l q u e s e c o m p o r t a e l á s t i c a ­

m e n t e q u a n t o a d i l a t a ç õ e s e como c o r p o d e M a x w e l l q u a n t o a d i s t o r

s o e s . A s s i m , o m a t e r i a l c o n s i d e r a d o p o d e s e r d e s c r i t o f a z e n d o - s e

u s o d a s r e l a ç õ e s ( 3 5 ) e ( 4 ) :

o . . = 3Kc.. ' ( 1 2 7 )

S . . + S . . - ¿ I J U L « è . . ( 1 2 8 )

E n 1 J

o n d e a n o t a ç ã o u t i l i z a d a p a r a t e n s õ e s e d e f o r m a ç õ e s é a m e s m a d e ­

f i n i d a n o s i t e n s 3 . 1 e 3 . 2 .

A r e l a ç ã o ( 1 2 8 ) p o d e s e r e x p r e s s a , f a z e n d o u s o

de uma n o t a ç ã o c o n v e n i e n t e , p o r :

S . . = - e . . ( 1 2 9 ) 1 J AD + B 1 J

o n d e , A ' - l / E , B = l / n e D = d

d t

As t r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e d a s r e l a ç õ e s t e n -

s ã o - d e f o r m a ç ã o ( 1 2 7 ) e ( 1 2 8 ) , r e p r e s e n t a t i v a s d o m a t e r i a l , s e e x ­

p r e s s a m p o r :

5 . . = 3KÍ. . ( 1 3 0 ) í i í i x '

S . . = g . . ( 1 3 1 ) 1 J Ap + B 1 J

t e m - s e :

o n d e C = 3K.

C o m p a r a n d o ( 1 3 0 ) com ( 6 2 ) e ( 1 3 1 ) com ( 6 3 ) ,

Q /P = K = C / 3 ( 1 3 2 )

Q ' / P ' = ( 1 3 3 ) 2 (Ap + B)

A s s i m , u t i l i z a n d o - s e ( 6 8 a ) e ( 6 8 b ) , o b t é m - s e :

K = C / 3 ( 1 3 4 )

6 * E ( 1 3 5 ) 2 (Ap + B)

C o m o , c o n f o r m e r e f e r ê n c i a s j ã f e i t a s a n t e r i o r -

5 8

m e n t e , a f o r m u l a ç ã o d o problema aaeooiado em t e r m o s d o m o d u l o d e

e l a s t i c i d a d e E e c o e f i c i e n t e d e P o i s s o n v e m a i s c o n v e n i e n t e , u t i _

1 i z a n d o - s e a s r e l a ç õ e s ( 6 9 ) c h e g a - s e ã :

E =

v =

3 Cp

(2AC * 1 ) p + 2 0 C

(AC - 1 ) p + BC

(2AC + 1 ) p + 2BC

( 1 3 6 )

( 1 3 7 )

S u b s t i t u i n d o ( 1 2 6 ) , ( 1 3 6 ) e ( 1 3 7 ) em ( 1 2 3 ) e

( 1 2 4 ) o b t é m - s e a s t e n s õ e s t r a n s f o r m a d a s p a r a o p r o b l e m a c o n s i d e r a ^

d o , o u s e j a :

n

P

° 0 O * "

[ ( 1 - b - Í - <xA)(2AC + 1 ) - 3otA ~ ] p 2

r 2 r 2

+ [ ( 1 - — ) 2BC - a B ( 3 — + 4AC + 1 ) ] p - 2 a B 2 C

[ ( i - P _ - a A ) ( 2 A C + 1 ) - 3 a A — 1 p 2

a 2 a 2

+ [ ( 1 - È l ) 2BC - a B ( 3 ~ + 4AC + 1 ) ] p - 2 a B 2 C

( 1 3 8 )

[ ( 1 + — - <xA)(2AC + 1 ) + 3aA ~ ] p 2

+ [ ( 1 + — ) 2BC - a B ( - 3 — + 4 AC + 1 ) ] p - 2 a B 2 C

C d - o A ) (2AC + 1 ) - 3aA P— ] p !

+ [ ( 1 - — ) 2BC - a B ( 3 — + 4 AC + 1 ) ] p 2 a B 2 C

( 1 3 9 )

P r o s s e g u i n d o , a r e f e r ê n c i a 3 3 a d o t a , p a r a a s

c o n s t a n t e s e n v o l v i d a s n o p r o b l e m a , o s v a l o r e s n u m é r i c o s :

59

C = 3 X = 3 . 1 0 ° p . s . i h / b • 1 / 3 3

A = B = - i - . IO"" 5 E, 3 . 1 0 p . s . i .

b / a • R - 1 / / T T

D e s t a f o r m a , ( 1 3 8 ) p o d e s e r e s c r i t a em t e r m o s

d e f r a ç õ e s p a r c i a i s :

n . 0 0 5 2 8 2 . 2 2 3 3 b 2 . 0 0 1 3 2 0 . 0 5 5 8 3 " - - - ^ [ ( . 3 6 1 6 + - + ) + — ( 1 . 5 9 6 — ) ]

>2 p + . 9 8 4 9 p + . 3 5 2 8 r r P + . 9 8 4 9 p + . 3 5 2 8 r'

( 1 4 0 )

A i n v e r s ã o de ( 1 4 0 ) , o b t i d a a t r a v é s d e t a b e l a s 2 9

2 7 , s e e x p r e s s a p o r :

r r - „ { [ . 3 6 1 6 + - 0 0 5 2 8 2 ( l - e " 9 8 4 9 t ) - ^ 2 2 3 3 ( 1 . e - . 3 5 2 8 t

0 . 9 8 4 9 . 3 5 2 8

^ 1 ) 2 r - c o e . 0 0 1 3 2 0 - . 9 8 4 9 t . . 0 5 5 8 3 / , - . 3 5 2 8 t + — 1 . 1 5 9 6 - ( i - e ) ( i - e

r 2 . 9 8 4 9 . 3 5 2 8

( 1 4 1 )

De f o r m a a n á l o g a s e o b t é m a e x p r e s s ã o p a r a a Q Q em

f u n ç ã o d a v a r i ã v e l t e m p o t .

As f i g u r a s 1 8 e 1 9 , e x t r a í d a s d a r e f e r e n c i a 3 3 , i -

l u s t r a m e s t a s s o l u ç õ e s .

1.0 e

. s

.7

( i .5 I

.4

.3

.2 .625 .75 .875

r/b

F i g . 1 8 - V a r i a ç ã o d a t e n s ã o r a d i a l a . S o l u ç ã o e x a t a .

6 0

F i g . 1 9 - V a r i a ç ã o - d a t e n s ã o c i r c u n f e r e n c i a l O*QQ. S o l u ç ã o e x a t a .

O b s e r v e - s e q u e n a f i g . 1 9 , n o s i n s t a n t e s i n i ­

c i a i s , o c o r r e m t e n s õ e s c i r c u n f e r e n c i a i s d e t r a ç ã o numa r e g i ã o a d ­

j a c e n t e a o f u r o i n t e r n o d o c i l i n d r o . I s t o , s e g u n d o a r e f e r ê n c i a

3 3 , p o d e r i a s e r e v i t a d o n a p r a t i c a a p l i c a n d o - s e a p r e s s ã o i n t e r n a

g r a d a t i v a m e n t e .

5 . 3 . 2 Solução numérica aproximada

No i t e m a n t e r i o r , o problema elástico associa­

do, com a m e s m a g e o m e t r i a q u e o p r o b l e m a r e a l p r o p o s t o ( f i g . 1 7 ) ,

t e v e a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s c a l c u l a d a s a n a l i t i c a m e n t e e x p r e s ­

s a s p o r ( 1 3 8 ) e ( 1 3 9 ) . I s t o t o r n o u p o s s í v e l a o b t e n ç ã o d a i n v e r ­

s ã o e x a t a a t r a v é s de t a b e l a s .

N e s t e i t e m , c a l c u l a - s e a s o l u ç ã o t r a n s f o r m a d a

n u m e r i c a m e n t e , como f i z e r a m A d e y e B r e b b i a 1 a t r a v é s d o m é t o d o

d o s e l e m e n t o s f i n i t o s 1 8 1 9 2 0 2 1 o q u e t o r n a o b r i g a t ó r i o a a p l i ­

c a ç ã o d e um p r o c e s s o n u m é r i c o a p r o x i m a d o d e i n v e r s ã o , n o c a s o , o

p r o c e s s o multidata.

A s s i m s e n d o , n a a p l i c a ç ã o do p r o c e s s o multida­

ta, d e v e - s e a r b i t r a r c e r t o s v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s f o r m a d a p e

c a l c u l a r o s v a l o r e s d a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s c o r r e s p o n d e n t e s

p f ( p ) d e f o r m a a s e p o d e r c o n s t r u i r a c u r v a [ p f ( p ) , l o g p ] , B a -

6 1

s e a d o n e s t a c u r v a , a t r a v é s d e c r i t é r i o s e s t a b e l e c i d o s a n t e r i o r m e n ^

t e , e s c o l h e - s e n v a l o r e s p. . q u e d e f i n i r ã o o s v a l o r e s p ^ f ( p ^ ) e

J J v a l o r e s P j q u e d e f i n i r ã o o s v a l o r e s Yj • E s t e s d a d o s , a s s i m o b ­

t i d o s » p e r m i t e m a a p l i c a ç ã o do p r o c e s s o multidata.

P o r e m , o s e a l e u l o s d a s s o l u ç õ e s p ^ f ( p ^ ) , o b t i »

d a s a t r a v é s d o m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i n i t o s , s ã o o p e r a ç õ e s b a s t a r ^

t e d i s p e n d i o s a s n o q u e s e r e f e r e a o t e m p o d e c o m p u t a ç ã o . A s s i m , u

ma t e n t a t i v a é f e i t a n o s e n t i d o d e e l i m i n a r a c o n s t r u ç ã o d a c u r v a

[ p f ( p ) » l o g p ] , s u b s t i t u i n d o - a p e l a s c u r v a s [ E ( p ) , l o g p ] e

[ v ( p ) , l o g p ] , a d m i t i n d o q u e a s t e n s õ e s t r a n s f o r m a d a s t e n h a m v a ­

r i a ç õ e s s e m e l h a n t e s . D e s t a f o r m a , a s c u r v a s [ E ( p ) , l o g p ] e

[ 0 ( p ) , l o g p ] p e r m i t i r ã o a d e t e r m i n a ç ã o d o s n v a l o r e s p ^ f í p ^ ) e

d o s J J v a l o r e s Y j » n e c e s s á r i o s p a r a a a p l i c a ç ã o d o p r o c e s s o mul­

tidata.

P o r t a n t o , c o n s i d e r a n d o - s e a s e x p r e s s õ e s ( 1 3 6 )

e ( 1 3 7 ) , a p ó s a s s u b s t i t u i ç õ e s n u m é r i c a s , ou s e j a ,

Ê ( p ) = 9 l o 5 p ( 1 4 2 ) 9 p + 8

v C p ) - 3 P + 4 ( 1 4 3 ) 9 p + 8

p o d e - s e , a r b i t r a n d o v a l o r e s p^ , c o n s t r u i r a t a b e l a 7 e a s c u r ­

v a s [ E ( p ) , l o g p ] e [ v ( p ) , l o g p ] , a p r e s e n t a d a s n a s f i g u r a s 2 0

e 2 1 , r e s p e c t i v a m e n t e .

6 2

l o g p Í ( P ) V ( P )

- 2 , 0 1 1 1 2 , 4 8 4 5 0 , 4 9 8 1

- 1 , 5 3 4 3 5 , 3 4 7 7 0 , 4 9 4 2

- 1 , 0 10 1 1 2 , 3 5 9 5 0 , 4 8 3 1

- 0 , 5 2 6 2 4 0 , 4 2 7 8 0 , 4 5 6 2

0 , 0 5 2 9 4 1 , 1 7 6 4 0 , 4 1 1 7

+ 0 , 5 7 8 0 5 8 , 4 4 6 1 0 , 3 6 9 9

+ 1 , 0 91 8 3 6 , 7 3 4 6 0 , 3 4 6 9

+ 1 , 5 9 7 2 6 5 , 9 3 9 0 0 , 3 3 7 8

+ 2 , 0 9 9 1 1 8 , 9 4 2 7 0 , 3 3 4 8

P 00 1 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 , 3 3 3 3

T a b e l a 7 : V a l o r e s de E ( p ) e v ( p ) p a r a a c o n s t r u ç ã o d o s g r á f i c o s

[ E ( p ) , l o g p ] e [ v ( p ) , l o g p ] .

10 a

5.10'

»0« L

/

/

/

- 2 -I JL

+ 1 log p

+ 2

F i g . 2 0 - C u r v a [ E ( p ) , l o g p ]

6 3

"i r

o, 5

0,4

a.

0,3

N

0,2 I 1 1 L - 2 • -I

FIGURA 21

O b s e r v a n d o a s f i g u r a s 2 0 e 2 1 , p o d e - s e t o m a r o s n

e J J v a l o r e s d e l o g p n o i n t e r v a l o - 1 «: l o g p + 1 , o n d e a s f u n ­

ç õ e s E ( p ) e v ( p ) v a r i a m . A lem d i s s o , como e s t e i n t e r v a l o é m u i t o

p e q u e n o , o s v a l o r e s l o g p.. f o r a m e s c o l h i d o s d i s t a n c i a d o s d e 0 , 5

n a e s c a l a l o g p , o u s e j a , i g u a i s a - 1 . 0 , - 0 . 5 , 0 . 0 , + 0 . 5 , + 1 . 0 .

C o n s i d e r o u - s e o p r o c e s s o multidata n o s e u c a s o r e s t r i t o , ou s e j a ,

l i = J J + l - 6 ; o v a l o r a d i c i o n a l p Q p a r a o c á l c u l o d e P 0 " f ( P 0 )

f o i a d o t a d o i g u a l a 1 0 + 1 , 5 . O b s e r v e - s e q u e , s e n d o J J = 5 , f o r a m

c o n s i d e r a d o s c i n c o t e r m o s e x p o n e n c i a i s n a s é r i e a p r o x i m a ç ã o , m a i s

um t e r m o c o n s t a n t e . E s t e c a s o , r e s t r i t o , d e v e c o n d u z i r a b o n s r e ­

s u l t a d o s , p o i s , com a u t i l i z a ç ã o d o m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i n i t o s ,

a s o l u ç ã o t r a n s f o r m a d a o b t i d a p r a t i c a m e n t e n ã o c o n t é m e r r o s , s e a

m a l h a u t i l i z a d a f o r d e t a m a n h o e r e g u l a r i d a d e r a z o á v e i s .

Os c i n c o v a l o r e s d e E ( p ) e v ( p ) , c o r r e s p o n d e n t e s

a o s v a l o r e s de l o g p a c i m a a r b i t r a d o s , q u e f o r a m u t i l i z a d o s n o s '

c á l c u l o s d a s s o l u ç õ e s e l á s t i c a s a s s o c i a d a s , p o d e m s e r r e t i r a d a s

da t a b e l a 7 .

As s o l u ç õ e s e l á s t i c a s a s s o c i a d a s f o r a m c a l c u l a d a s

n u m e r i c a m e n t e a t r a v é s d o m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i n i t o s , u t i l i z a n d o -

s e um e l e m e n t o t r i a n g u l a r com s e i s g r a u s d e l i b e r d a d e .

A d i s c r e t i z a ç ã o d e uma s e c ç ã o t r a n s v e r s a l t í p i c a

d o c i l i n d r o , c o n s i d e r a n d o - s e a s i m e t r i a e x i s t e n t e , p o d e s e r v i s t a

n a f i g . 2 2 .

o + i + 2 lop p

— CURVA [ 3 ( p ) , l o g p ]

Apôs a r e s o l u ç ã o d o s p r o b l e m a s e l á s t i c o s a s s o c i a ­

d o s , t o m o u - s e a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s r e f e r e n t e s a o e i x o g l o ­

b a l ( x , y ) , ou s e j a , ó " x , 5 e ? x y , em c i n c o p o n t o s l o c a l i z a d o s

n o s c e n t r o s d e g r a v i d a d e d o s e l e m e n t o s 1 , 2 , 3 , 4 e 5 ( v e j a f i g . 2 2 )

e p r o c e d e u - s e a i n v e r s ã o a t r a v é s d o p r o c e s s o multidata.

Um p r o g r a m a d e i n v e r s ã o n u m é r i c a b a s e a d o n o p r o ­

c e s s o multidata n a f o r m a a n t e r i o r m e n t e i n d i c a d a , u t i l i z a d o em to_

d o s o s e x e m p l o s a p r e s e n t a d o s n e s t e t r a b a l h o , é a p r e s e n t a d o n o a -

p é n d i c e C . Também s ã o a p r e s e n t a d o s n e s t e a p ê n d i c e , a t í t u l o d e e_

x e m p l o , o s d a d o s d e e n t r a d a d o c i l i n d r o v i s c o e l ã s t i c o , o u s e j a ,

a s t e n s õ e s t r a n s f o r m a d a s , ã , 5 e x , e o s c o r r e s p o n d e n t e s r e -x y x y

s u l t a d o s a , cr e T , r e l a t i v o s a a l g u n s v a l o r e s a r b i t r á r i o s d e x y x y

t e m p o .

O b t i d a s a s t e n s õ e s r e a i s p a r a o s c i n c o p o n t o s d a

6 5

e s t r u t u r a e o s v a l o r e s d e t e m p o j ã r e f e r i d o s a c i m a ( v e j a a p ê n d i c e

C ) , p o r c o n s i d e r a ç õ e s d o e s t a d o d u p l o d e t e n s ã o 1 3 , em c a d a p o n t o »

o b t e v e - s e a s t e n s õ e s r a d i a i s a r r e ç i r c u n f e r e n c i a i s o Q 0 , c o r r e s ­

p o n d e n t e s . E s t e s r e s u l t a d o s s ã o i l u s t r a d o s n a s f i g u r a s 2 3 e 2 4 »

o n d e s l o c o m p a r a d o s com a s s o l u ç õ e s e x a t a s f o r n e c i d a s p e l a r e f e ­

r ê n c i a 3 3 .

FIGURA 2 3 - VARIAÇÃO OA TENSÃO RAOIAL Gfr

6 6

4

r/fc

FIGURA 2 4 - VARIAÇÃO DA TENSÃO CIRCUNFERENCIAL ^9©

C o n c l u i - s e , o b s e r v a n d o o s g r á f i c o s d a s f i g u r a s 2 3

e 2 4 , q u e o p r o c e s s o multiãata n a f o r m a a p r e s e n t a d a t a m b é m f o r n e ­

c e u b o n s r e s u l t a d o s p a r a o e x e m p l o a n a l i z a d o n e s t e i t e m .

6 7

6 . UTILIZAÇÃO DAS CURVAS DE RELAXAÇÃO OU DE FLUÊNCIA PARA A CA­

RACTERIZAÇÃO DE MATERIAIS VISCOELÃSTICOS LINEARES

Como j a s e f e z r e f e r ê n c i a a n t e r i o r m e n t e , o m é t o d o

da t r a n s f o r m a d a i n t e g r a l , p r o p o s t o p o r Adey e B r e b b i a 1 , p e r m i t e

q u e a s p r o p r i e d a d e s d o s m a t e r i a i s v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a r e s p o s s a m

s e r d e s c r i t a s d i r e t a m e n t e a t r a v é s d a s c u r v a s d e r e l a x a ç ã o o u d e

f l u ê n c i a o b t i d a s , p o r e x e m p l o , a t r a v é s d e e n s a i o s e x p e r i m e n t a i s .

D e s t a f o r m a , o s m o d e l o s r e o l Õ g i c o s u t i l i z a d o s n o s e x e m p l o s j a a -

p r e s e n t a d o s p o d e m s e r d i s p e n s a d o s .

A s s i m s e n d o , em p r i m e i r o l u g a r d e v e - s e a p l i c a r o s

t e s t e s d e l i n e a r i d a d e a p o n t a d o s r e s u m i d a m e n t e n o i t e m 2 . 4 . Se e s ­

t e s t e s t e s i n d i c a r e m a l i n e a r i d a d e d o m a t e r i a l , a d e t e r m i n a ç ã o

d a s c u r v a s de r e l a x a ç ã o ou d e f l u ê n c i a , p o r p o n t o s , ê s u f i c i e n t e

p a r a a c a r a c t e r i z a ç ã o c o m p l e t a d o m a t e r i a l , como s e v e r a a d i a n t e .

A d e s c r i ç ã o d o m é t o d o , s e g u i n d o a r e f e r e n c i a 1 , é

f e i t a a s e g u i r . C o n s i d e r a - s e em p r i m e i r o l u g a r , q u e s e j a m c o n h e c i _

d a s a s c u r v a s d e r e l a x a ç ã o d o m a t e r i a l , p e l o m e n o s p a r a a l g u n s va_

l o r e s e s p e c i f i c a d o s de t e m p o s e g u n d o c r i t é r i o s a s e r e m e s t a b e l e c i _

d o s no i t e m 6 . 1 . A c o n s i d e r a ç ã o d a s c u r v a s d e f l u ê n c i a s e r ã f e i t a

p o s t e r i o r m e n t e .

A d e y e B r e b b i a s e g u i n d o M c H e n r y 1 7 , r e p r e s e n t a m

o m o d u l o d e r e l a x a ç ã o e x p e r i m e n t a l a t r a v é s da e x p r e s s ã o :

J J . , Y * ( t ) = S f t + s S . ( 1 - e ' t / Y j ) ( 1 4 4 )

3 = 1 J

o n d e J J d e v e s e r e s c o l h i d o d e f o r m a a r e p r e s e n t a r a d e q u a d a m e n t e o

m a t e r i a l . A r e l a ç ã o ( 1 4 4 ) p o d e s e r a j u s t a d a a o s d a d o s e x p e r i m e n ­

t a i s a p l i c a n d o - s e o p r o c e s s o multidata, d e s c r i t o n o a p ê n d i c e B,pa_

r a o c a s o , o u s e j a , a j u s t a n d o - s e uma c u r v a a o s p o n t o s d a d o s , n o

p l a n o d o t e m p o , a t r a v é s d o m é t o d o d o s m í n i m o s q u a d r a d o s .

S e n d o l i o n ú m e r o d e v a l o r e s d e Y ( t ) , a r b i t r a r i a ­

m e n t e c o n s i d e r a d o s , o e r r o q u a d r á t i c o t o t a l n o p l a n o r e a l d o t e m ­

p o é d e f i n i d o p o r :

E 2 = " [ Y ( t . ) - Y * ( t . ) ] 2 ( 1 4 5 ) i - 1

S u b s t i t u i n d o ( 1 4 4 ) em ( 1 4 5 ) o b t é m - s e :

E 2 = " [ Y ( t . ) - S - 3 Í S . ( 1 - e " V Y j ) ] a ( 1 4 6 ) i = l 1 0 j - 1 J

6 8

M i n i m i z a n d o E 2 em r e l a ç ã o a S f c ( k - 0 , 1 , 2 , . . . , J J ) ,

r e s u l t a

I I J J — - - 2 l ' { [ Y C t ^ - S - Z S . ( l - e " t i / Y j ) ] ( l - e " t i / Y k > ) » 0 ( 1 4 7 ) 3S , i » l j » l

o n d e Y 0 **• 0 , p o r d e f i n i ç ã o . A s s i m ,

i i i i j j *S [ Y f t . J f l - e ^ i ^ k ) ] = 1 Í [ S + 1 S . ( l - e " V Y j ) ] ( 1 - e " V Y k ) > i - 1 1 i - l 0 j - l 3

( 1 4 8 )

(k = 0 , 1 , 2 , . . . , J J )

E s t e s i s t e m a d e J J e q u a ç õ e s l i n e a r e s p e r m i t e a d e ­

c o n s t a n t e s S j ( j = 0 , 1 , . . . , J J ) .

M a t r i c i a l m e n t e o s i s t e m a ( 1 4 8 ) p o d e s e r e x p r e s s o

( 1 4 9 )

t e r m i n a ç ã o d a s c o n s t a n t e s $.. ( j = 0 , 1 , . . . , J J ) .

p o r :

o n d e :

B =

( I I x J J + 1 )

B T Y = B T B S

~ V Y 1 ) ( l - e " t l / Y 2 ) . . • 0 - e ^ l ^ J J )

- t 2 / Y l ) ( l - e " t 2 / Y 2 ) . , . (1 - e " t 2 / Y J J )

" V Y 1 ) ( l - e ' V Y 2 ) . ( 1 - e _ t 3 / Y J J )

1 ( l - e " * ! ! ^ ! ) ( l - e " t n / Y 2 ) . . . ( l - e ^ n ^ J J )

( 1 5 0 )

6 9

Y =

( I I x 1 )

Y ( t x )

Y ( t 2 )

Y ( t J

Y ( t I T )

S =

( J J + 1 x 1 )

J J

P o r t a n t o , f o r m a l m e n t e , p o d e - s e e s c r e v e r :

S = ( B ^ B ) " 1 B T Y

( 1 5 1 )

( 1 5 2 )

A s s i m , com o s v a l o r e s d e d e t e r m i n a d o s , a a p r o x i _

m a ç ã o Y * ( t ) d o m o d u l o d e r e l a x a ç ã o é f o r n e c i d a p e l a r e l a ç ã o

( 1 4 4 ) , bem como a s u a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e x p r e s s a p o r :

S .

Y ( P ) • — [ S . + 3 Í (— p u j » l 1 + p y.

• ) ] ( 1 5 3 )

C o n f o r m e d e s c r i t o n o i t e m 4 . 2 , a s s u m i n d o q u e o c o r .

p o e s t e j a d e s c a r r e g a d o e com d e f o r m a ç ã o n u l a a n t e s d a a p l i c a ç ã o

d a c a r g a , a r e l a ç ã o t e n s ã o - d e f o r m a ç ã o p o d e s e r e x p r e s s a a t r a v é s

d a e x p r e s s ã o ( 2 0 ) :

o - ( t ) = / o

d e ( f )

d r Y ( t - T ) dx ( 1 5 4 )

o n d e o e x t r e m o i n f e r i o r d a i n t e g r a l , v a l o r z e r o , a p e n a s i n d i c a o

i n T c i o d o c a r r e g a m e n t o .

A t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d a r e l a ç ã o ( 1 5 4 ) , u t i l i ­

z a n d o o t e o r e m a d a c o n v o l u ç ã o ( i t e m A . 2 . 5 ) , s e e x p r e s s a a t r a v é s

d e ( 6 0 ) :

ô ( p ) = p Y ( p ) e ( p ) ( 1 5 5 )

O b s e r v a n d o a r e l a ç ã o ( 1 5 5 ) , c o n f o r m e r e f e r ê n c i a

70

f e i t a n o i t e m 4 . 2 , c o n c l u i - s e q u e uma r e l a ç ã o t e n s ã o - d e f o r m a ç ã o e

l ã s t i c a s e a p l i c a n o p l a n o t r a n s f o r m a d o e , s e o e e s e r e f e r i r e m

a um e s t a d o d e t r a ç ã o s i m p l e s , v a l e a e q u i v a l ê n c i a :

E + p Y ( p ) ( 1 5 6 )

E Ó o d e n o m i n a d o m ó d u l o de e l a s t i c i d a d e p a r a o problema elástico

associado n o p l a n o t r a n s f o r m a d o , f u n ç ã o d a v a r i á v e l t r a n s f o r m a d a

p . D e s t a f o r m a , u t i l i z a n d o a t r a n s f o r m a d a d o m o d u l o d e r e l a x a ç ã o

a p r o x i m a d o , a j u s t a d o a d a d o s d e e n s a i o s , p o d e - s e e s c r e v e r u t i l i ­

z a n d o a e x p r e s s ã o ( 1 5 3 ) :

- J J S . E - p Y ( p ) = S + Z í ( 1 5 7 )

° j - 1 1 + PYj

P a r a a d e t e r m i n a ç ã o d o c o e f i c i e n t e d e P o i s s o n p a r a

a problema elástico associado, o s a u t o r e s A d e y e B r e b b i a 1 a f i r ­

mam q u e uma b o a a p r o x i m a ç ã o p a r a m u i t o s m a t e r i a i s p o d e s e r o b t i d a

a s s u m i n d o c o n s t a n t e o m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d e v o l ú m i c o K.

E l i m i n a n d o , c o n s i d e r a n d o o problema elástico asso­

ciado, o m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l G d a s d u a s e x p r e s s õ e s

i n d i c a d a s em ( 6 9 ) , o b t é m - s e a e x p r e s s ã o d o c o e f i c i e n t e d e P o i s s o n

v em f u n ç ã o do m o d u l o d e e l a s t i c i d a d e E e do m o d u l o d e e l a s t i c i d a _

de v o l ú m i c o K:

v - — d 1 - ) ( 1 5 8 ) 2 3K

A s s i m , s e o m o d u l o d e e l a s t i c i d a d e v o l ú m i c o K ê s u p o s t o c o n s t a n t e

a o l o n g o d o t e m p o , t e m - s e :

p o r t a n t o ,

K = K ( 1 5 9 )

v = J _ (1 - - J L ) ( 1 6 0 ) 2 3K

O b s e r v e - s e q u e , uma e x p r e s s ã o a n á l o g a a ( 1 5 4 ) pode_

r i a s e r e s c r i t a em t e r m o s d a s c o m p o n e n t e s d o t e n s o r t a n g e n c i a l

d a s t e n s õ e s e d o t e n s o r d a s d i s t o r s õ e s , p e r m i t i n d o a d e t e r m i n a ç ã o

do m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d e t r a n s v e r s a l p a r a o problema elástico as_

sodado, G. E s t e f a t o p o s s i b i l i t a r i a , a m e n o s d a e x i s t e n c i a d e

7 1

p o s s í v e i s d i f i c u l d a d e s e x p e r i m e n t a i s , a d e t e r m i n a ç ã o do c o e f i c i e n _

t e de P o i s s o n p a r a o p r o b l e m a a s s o e i a d o , v .

A s s i m , d e t e r m i n a d a s a s c o n s t a n t e s e l á s t i c a s E e v

p a r a o problema elástico associado n o p l a n o t r a n s f o r m a d o , p o d e - s e

d e t e r m i n a r a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s . A i n v e r s ã o p a r a o p l a n o d o

t e m p o , p a r a a o b t e n ç ã o d a s o l u ç ã o r e a l , é f e i t a d e a c o r d o com a s

c o n s i d e r a ç õ e s f e i t a s n o i t e m 4 . 3 .

C a s o s e t e n h a a c u r v a d e f l u ê n c i a e x p e r i m e n t a l , o

p r o c e d i m e n t o é a n á l o g o n o q u e s e r e f e r e a o a j u s t e d a c u r v a , ou se_

j a , p o d e - s e a s s u m i r a a p r o x i m a ç ã o :

J J . . J * ( t ) = S + E S ( 1 - e _ t / Y j ) ( 1 6 1 )

0 j = l 3

A a p l i c a ç ã o do p r o c e s s o multidata, s e g u i n d o - s e exa

t a m e n t e o s m e s m o s p a s s o s q u a n d o s e c o n s i d e r o u a c u r v a d e r e l a x a ­

ç ã o , c o n d u z ã t r a n s f o r m a d a d a e q u a ç ã o de f l u ê n c i a :

j ( p ) = _ L [ s + J E ( ^ ) ] ( 1 6 2 )

p j = l 1 + p Y j

F a z e n d o u s o d a e x p r e s s ã o ( 6 1 ) , ou s e j a ,

J ( P ) Y ( p ) = p " 2 ( 1 6 3 )

o b t e m - s e Y ( p ) , r e c a i n d o - s e , p o r t a n t o , n o c a s o a n t e r i o r q u a n d o s e

a d m i t i u c o n h e c i d a a c u r v a d e r e l a x a ç ã o .

6 . 1 Exemplo de aplicação: fundação

N e s t e i t e m , r e p e t e - s e a a n a l i s e do p r o b l e m a d e f u n

d a ç ã o , em e s t a d o p l a n o d e d e f o r m a ç ã o , p r o p o s t o p e l o s a u t o r e s A d e y

e B r e b b i a 1 . N e s t e e x e m p l o , a c u r v a d e r e l a x a ç ã o é o d a d o c a r a c t e _

r í s t i c o d o m a t e r i a l .

C o n s i d e r a - s e , p o r t a n t o , o s o l o c o m p o r t a n d o - s e como

m a t e r i a l v i s c o e l a s t i c o l i n e a r , e m b o r a o a u t o r F o l q u e , p a r a o s t i ­

p o s de s o l o s a n a l i s a d o s n a r e f e r ê n c i a 2 2 , t e n h a a p o n t a d o um c o m ­

p o r t a m e n t o n ã o - l i n e a r . A s s i m s e n d o , o m é t o d o e x p o s t o n o i t e m a n t e

r i o r s e a p l i c a a o p r e s e n t e c a s o .

Uma s e c ç ã o t r a n s v e r s a l t í p i c a do s u b s o l o c o m p o s t o

72

d e 4 c a m a d a s d i f e r e n t e s p o d e s e r v i s t a n a f i g . 2 5 , j u n t a m e n t e com

a s r e s p e c t i v a s c u r v a s de r e l a x a ç ã o q u e c a r a c t e r i z a m s u a s p r o p r i e ­

d a d e s v i s c o e l ã s t i c a s l i n e a r e s .

a ) g e o m e t r i a e c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o

b ) c u r v a s d e r e l a x a ç ã o d o s m a t e r i a i s

F i g . 2 5 - P r o b l e m a d e f u n d a ç ã o

P r o c u r a - s e d e t e r m i n a r n e s t e p r o b l e m a , a t i t u l o d e

e x e m p l o , a v a r i a ç ã o d o s d e s l o c a m e n t o s v e r t i c a i s a o l o n g o d o t e m p o ,

d a s u p e r f í c i e s u p e r i o r d o s u b s o l o , s o b a a ç ã o dq c a r r e g a m e n t o i n ­

d i c a d o n a f i g . 2 5 a . O b s e r v e - s e q u e a d e t e r m i n a ç ã q d e q u a l q u e r d a s

v a r i á v e i s , t e n s õ e s ou d e s l o c a m e n t o s , em q u a l q u e r p o n t o d a e s t r u t u

r a s e f a r i a d e m a n e i r a a n á l o g a q u e a d e s c r i t a a s e g u i r .

6 . 1 . 1 Determinação dos mâdulos àe elasticidade pawa o problema e_

lãstioo associado

P a r a a a p l i c a ç ã o d o p r o c e s s o multidata n o a j u s t e

da f u n ç ã o a p r o x i m a ç ã o ( 1 4 4 ) a s c u r v a s d e r e l a x a ç ã o f o r n e c i d a s ne

7 3

f 1 g , 2 5 b , e s c o l h e u - s e :

I I * 9 e t 1 i g u a i s a { I O * " 1 » 5 ; I O " 1 , 0 ; I O " 0 ' 5 ; 1 0 o * ; 1 0 o » 5 ;

10 10 1 » 5 ; 10 2 ' ° ; I O 2 ' 5 }

J J » 4 e t j i g u a i s a U O " 0 » 5 ; 10 ° » 5 , 10 l , s ; I O 2 » 5 }

O b s e r v e - s e q u e e s t e s v a l o r e s f o r a m e s c o l h i d o s , n o

i n t e r v a l o d e t e m p o o n d e a f u n ç ã o Y ( t ) n ã o ê" c o n s t a n t e » d i r e t a m e n ­

t e n o g r a f i c o [ Y ( t ) , t ] , f i g , 2 5 . b , d i s p e n s a n d o - s e , p o r t a n t o , a

c o n s t r u ç ã o d o g r a f i c o [ Y ( t ) , l o g t ] .

S e n d o l i = 9 , n ú m e r o d e v a l o r e s d e Y ( t ^ ) , e J J + 1 = 5 ,

n ú m e r o d e t e r m o s n a s e r i e a p r o x i m a ç ã o , c o n s i d e r o u - s e o p r o c e s s o

multidata n o s e u c a s o i r r e s t r i t o , ou s e j a , I I f J J + T . I s t o p o r q u e

o s v a l o r e s Y ( t ^ ) , n e c e s s ã r i Q S p a r a a a p l i c a ç ã o d o p r o c e s s o , f o r a m

d e t e r m i n a d o s g r a f i c a m e n t e u t i l i z a n d o - s e a s c u r v a s d e r e l a x a ç ã o a -

p r e s e n t a d a s n a f i g , 2 5 b , e q u e » p o r t a n t o , p o d e m c o n t e r e r r o s . Nes_

t e c a s o , c o n f o r m e s e c o n c l u i u n o i t e m B . 4 . 7 , d o A p ê n d i c e B , o c a ­

s o i r r e s t r i t o d e v e l e v a r a m e l h o r e s r e s u l t a d o s .

Um p r o g r a m a d e s e n v o l v i d o c o n f o r m e a d e s c r i ç ã o f e i ­

t a n o i t e m 6 p a r a o c a l c u l o d o s v a l o r e s d e E , a p a r t i r d a s c u r ­

v a s d e r e l a x a ç ã o , e a p r e s e n t a d o n o a p ê n d i c e D e e i l u s t r a d o com u

ma a p l i c a ç ã o a o p r o b l e m a em a n a l i s e .

Os v a l o r e s d e Y j » s e g u i n d o uma s u g e s t ã o d o a u t o r

B r e b b i a , f o r a m i m p o s t o s a t r a v é s d e :

Y• = t . ( 1 6 4 ) J J

N o t e - s e q u e , d a m e s m a f o r m a como s e f e z r e f e r ê n c i a

no i t e r a 4 , 3 , q u a l q u e r o u t r o c r i t é r i o p o d e s e r e m p r e g a d o d e s d e q u t

c o n d u z a a r e s u l t a d o s a c e i t á v e i s .

Os d a d o s d e e n t r a d a do p r o g r a m a , e x t r a í d o s d a s cujr

v a s d a f i g . 2 5 b , s ã o a p r e s e n t a d o s n a t a b e l a 8 .

Os v a l o r e s do m o d u l o d e e l a s t i c i d a d e - E p a r a o p r ^

blema plástico associado, r e l a t i v o s a v a l o r e s d e p n o i n t e r v a l o

d e I O " " 3 < p < 1 0 + 2 , c a l c u l a d o s a t r a v é s d o p r o g r a m a j á m e n c i o n a d o ,

e s t ã o r e l a c i o n a d o s n o A p ê n d i c e D e p e r m i t e m a c o n s t r u ç ã o d a s c u r ­

v a s [ £ , l o g p ] , a p r e s e n t a d a s n a f i g . 2 6 .

MATERIAL 1

^ _ — — — MATERIAL 2

MATERIAL 3

— — MATERIAL 4

4 2

F 1 g » 2 6 - C u r v a s [ E ( p ) , l o g p ]

75

t M a t . 1 M a t . 2 M a t . 3 M a t . 4

T O " 1 » 5 2 0 . 0 1 5 . 0 1 0 . 0 3 1 . 5

1 0 - i , o 1 9 . 9 1 4 . 9 9 , 9 3 1 . 4

i o " 0 * 5 1 9 . 3 1 4 . 6 9 . 5 2 9 . 9

10 ° ' ° 1 8 . 1 1 3 . 2 8 . 8 2 8 . 5

1 0 + 0 ' 5 1 5 . 3 1 1 . 1 5 . 8 2 5 . 6

1 0 + 1 ' ° 1 2 . 4 9 . 0 5 . 4 2 2 . 6

1 0 + 1 ' 5 1 1 . 3 8 . 4 5 . 1 2 K 5

1 0 + 2 ' ° 1 0 . 6 8 . 3 5 . 1 2 0 . 6

1 0 + 2 ' 5 1 0 . 6 8 . 3 5 . 1 2 0 . 6

T a b e l a 8 : V a l o r e s do m o d u l o d e r e l a x a ç ã o Y ( 1 0 x t / m 2 ) p a r a o ca1_

c u l o d o s m ó d u l o s d e e l a s t i c i d a d e E p a r a o problema elãs^

tico associado.

O b s e r v e - s e q u e o u t r a s t e n t a t i v a s d e a j u s t e v a r i a n ­

d o o s J J v a l o r e s d e Jb l e v a r a m a r e s u l t a d o s p r a t i c a m e n t e i g u a i s

a o s d o c a s o c o n s i d e r a d o , o q u e i n d i c a a e s t a b i l i d a d e d o p r o c e s s o .

V a r i a s t e n t a t i v a s d e a j u s t e ou d e i n v e r s ã o s e m p r e d e v e m s e r f e l - »

t a s , p r i n c i p a l m e n t e q u a n d o e x i s t e m e r r o s n o s d a d o s d e e n t r a d a , pa .

r a m a i o r g a r a n t i a d a i n t e r p o l a ç ã o f e i t a .

6 . 1 . 2 Inversão das soluções transformadas

O b s e r v a n d o a f i g . 2 6 , d e a c o r d o com o p r o c e d i m e n t o

a d o t a d o n a d e t e r m i n a ç ã o d o s m ó d u l o s d e e l a s t i c i d a d e d o p r o b l e m a e

l ã s t i c o a s s o c i a d o , c o n s i d e r o u - s e o c a s o i r r e s t r i t o d o p r o c e s s o

multidata, c o m :

I I - 9 e l o g p . i g u a i s a { - 2 , 5 ; - 2 , 0 ; - 1 , 5 ; - 1 , 0 ; - 0 , 5 ; 0 , 0 ;

+ 0 , 5 ; + 1 , 0 ; + 1 , 5 }

J l • 5 e l o g P j i g u a i s a { - 2 , 5 ; - 1 , 5 ; - 0 , 5 ; + 0 , 5 ; + 1 , 5 }

Os v a l o r e s d e E ( p ) c o r r e s p o n d e n t e s a o s l i v a l o r e s

76

d e l o g p . e s t ã o r e l a c i o n a d o s n o A p ê n d i c e D. Os a u t o r e s d a r e f e r ê n

c i a 1 n ã o f a z e m a l u s ã o a o c o e f i c i e n t e d e P o i s s o n , q u e p o d e r i a s e r

d e t e r m i n a d o a t r a v é s da e x p r e s s ã o ( 1 6 0 ) m a n t e n d o - s e c o n s t a n t e o mó

d u l o de e l a s t i c i d a d e v o l ú m i c o Kt c o n f o r m e s u g e s t ã o d a d a p e l o s p r ó

p r i o s a u t o r e s . A t T t u l o d e e x e m p l o , n e s t e t r a b a l h o , a d o t a - s e cons_

t a n t e o c o e f i c i e n t e d e P o i s s o n , i g u a l a 0 , 3 .

D e s t a f o r m a , o s n o v e p r o b l e m a s e l á s t i c o s a s s o c i a ­

d o s , c o n s i d e r a n d o - s e a g e o m e t r i a e a s c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o a p r e ­

s e n t a d a s n a f i g . 2 5 . a , p o d e m s e r c a l c u l a d o s e , p o r t a n t o , p o d e - s e

d e t e r m i n a r o s d e s l o c a m e n t o s v e r t i c a i s t r a n s f o r m a d o s d a s u p e r f í c i e

s u p e r i o r d o s u b s o l o .

U t i l i z a n d o o mesmo p r o g r a m a d e i n v e r s ã o a p r e s e n t a ­

do n o A p ê n d i c e C , o s d e s l o c a m e n t o s r e a i s em f u n ç ã o d o t e m p o s ã o ,

f i n a l m e n t e , d e t e r m i n a d o s . E s t a s s o l u ç õ e s e s t ã o a p r e s e n t a d a s g r a f i _

c a m e n t e n a f i g . 2 7 .

F i g . 2 7 - D e s l o c a m e n t o s v e r t i c a i s d a s u p e r f í c i e s u p e r i o r do s u b s o ­

l o a o l o n g o d o t e m p o .

77

E m b o r a o p r o b l e m a a n a l i s a d o a t í t u l o d e e x e m p l o se_

j a de s i m p l e s g e o m e t r i a , c o n f o r m e a f i r m a t i v a d o s a u t o r e s A d e y e

B r e b b i a ' 1 , o p r o g r a m a p o d e s e r u t i l i z a d o p a r a p r o b l e m a s com q u a i s _

q u e r c o n f i g u r a ç õ e s g e o m é t r i c a s e n ú m e r o s d e m a t e r i a i s .

7 Conclusões

F o i d e s c r i t o um m é t o d o n u m é r i c o , a p r e s e n t a d o p o r A

d e y e B r e b b i a em "Efficient Method for Solution of Viscoelastic

Problems" * , c a p a z de r e s o l v e r um g r a n d e n ú m e r o d e p r o b l e m a s e s t á

t i c o s v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a r e s .

As v a n t a g e n s m a i s m a r c a n t e s d o m é t o d o e x p o s t o a s e

r e m a p o n t a d a s s ã o a s p o s s i b i l i d a d e s d e u t i l i z a ç ã o d a l i t e r a t u r a

s o b r e a t e o r i a d a e l a s t i c i d a d e l i n e a r , p r i n c i p a l m e n t e o m é t o d o

d o s e l e m e n t o s f i n i t o s , e a u t i l i z a ç ã o d i r e t a d a s c u r v a s e x p e r i m e n .

t a i s d e r e l a x a ç ã o o u d e f l u ê n c i a d i s p e n s a n d o , p o r t a n t o , a m o n t a ­

gem d o s m o d e l o s r e o l ó g i c o s ,

A lém d i s s o , s e g u n d o o s a u t o r e s , m u i t a s d i f i c u l d a ­

d e s i n e r e n t e s a o s m é t o d o s d o t i p o passo a passo 2 f o r a m e l i m i n a ­

d a s , em p a r t i c u l a r , o s r e s u l t a d o s n ã o d i v e r g e m da s o l u ç ã o v e r d a ­

d e i r a q u a n d o o t e m p o a u m e n t a , uma f a l h a comum d o m é t o d o passo a

passo.

A i n d a s e g u n d o o s a u t o r e s , o s r e s u l t a d o s o b t i d o s pe_

l a a p l i c a ç ã o d o m é t o d o d e s c r i t o d e p e n d e d a p r e c i s ã o d a s o l u ç ã o ob_

t i d a a t r a v é s d o m é t o d o d o s e l e m e n t o s f i n i t o s e d o n ú m e r o d e t e r ­

mos t o m a d o n a s é r i e a p r o x i m a ç ã o . P o r é m , s e a m a l h a u t i l i z a d a f o r

de t a m a n h o e d e r e g u l a r i d a d e r a z o á v e i s p o d e - s e d e s p r e z a r o s e r r o s

i n t r o d u z i d o s n a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s e uma a l t a p r e c i s ã o s e r i a

e n c o n t r a d a n a s o l u ç ã o d e p e n d e n t e d o t e m p o , com a u t i l i z a ç ã o d e

p o u c o s t e r m o s n a s é r i e a p r o x i m a ç ã o * .

E" r e c o m e n d á v e l a d o t a r v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s f o r

m a d a p . n o i n t e r v a l o o n d e a f u n ç ã o v a r i a , d i s t a n c i a d o s d e 0 , 5 n f

e s c a l a l o g p . T o m a n d o - s e o s v ã r i o s s u b c o n j u n t o s d e s t e s v a l o r e s p ^ ,

d i s t r i b u í d o s d e f o r m a r e g u l a r n a e s c a l a l o g p , p o d e - s e c a l c u l a r a s

c o r r e s p o n d e n t e s s o l u ç õ e s i n v e r s a s . Um e s t u d o c o m p a r a t i v o e n t r e cjs_

t a s s o l u ç q e s q u a n d o s e a u m e n t a o n ú m e r o d e v a l o r e s d a f u n ç ã o

t r a n s f o r m a d a , ou o n ú m e r o d e t e r m o s n a s é r i e a p r o x i m a ç ã o , p o d e as_

s e g u r a r a e s t a b i l i d a d e d a s o l u ç ã o e p e r m i t i r a e s c o l h a d a m e l h o r

i n v e r s ã o .

a i

APÊNDICE A

A. Transformada de Laplace

A. 1 Introdução

A. 1 . 1 Transformadas integrais

A . 1 . 1 . 1 Definição

T r a n s f o r m a d a i n t e g r a l d e uma f u n ç ã o f ( x ) e , p o r d e

f i n i ç ã o , a i n t e g r a l i m p r ó p r i a :

-foo

9 ( y ) = / K ( x , . y ) f ( x ) dx ( a . l ) — 00

o n d e y p o d e s e r v a r i á v e l r e a l ou c o m p l e x a e a f u n ç ã o K ( x , y ) i d e ­

n o m i n a d a núcleo da transformada 2 3 . A l g u n s d o s n ú c l e o s m a i s c o ­

muns em a p l i c a ç õ e s s ã o a p r e s e n t a d o s a b a i x o :

T r a n s f o r m a d a e x p o n e n c i a l d e F o u r i e r : / e " 1 x y f ( x ) d x ( a . 2 )

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r em c o s s e n o : / c o s ( x y ) f ( x ) d x ( a . 3 ) 0 oo

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r em s e n o : / s e n ( x y ) ' f ( x ) d x ( a . 4 ) o 00

T r a n s f o r m a d a d e M e l l i n : / x y ~ f ( x ) dx ( a . 5 ) 0 oo

T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e : f e x ~ v f ( x ) dx ( a . fi )

o

As e x p r e s s õ e s ( a . 3 ) , ( a . 4 ) e ( a . 6 ) p o d e m s e r c o n s i ­

d e r a d a s como c a s o s e s p e c i a i s d e ( a . 2 ) , t r a n s f o r m a d a e x p o n e n c i a l d e

F o u r i e r .

A » 1 . 1 . 2 Linearidade

Uma e q u a ç ã o d o t i p o d e ( a . l ) e , 5 s v e z e s , r e p r e s e n ­

t a d a p o r çj = K { f > , o n d e K d e n o t a o o p e r a d o r i n t e g r a l q u e c o n v e r t e

f em g . Em p a r t i c u l a r , o s o p e r a d o r e s d e f i n i d o s p e l a s t r a n s f o r m a d a s

d e F o u r i e r e L a p l a c e s ã o d e n o t a d o s r e s p e c t i v a m e n t e p o r F e L 2 3 .

Com e s t a n o t a ç ã o , s e g u e - s e q u e K e um o p e r a d o r l i ­

n e a r , p o i s ,

K{a f, + a 0 f „ } = a . K { f . } + a . K { f . } ( a . 7 )

s e n d o a , e a . c o n s t a n t e s .

a 2

A. 1 . 2 Convolução

D a d a s d u a s f u n ç õ e s f e g , a m b a s a b s o l u t a m e n t e i n ­

t e g r á v e i s em ( -oo , +oo) , s e j a S o c o n j u n t o d e x em q u e a i n t e g r a l

i m p r ó p r i a + o o

h ( x ) = / f ( t ) g ( x - t ) d t ( a . 8 ) — 00

c o n v e r g e . E s t a i n t e g r a l d e f i n e uma f u n ç ã o h , em S , c h a m a d a convo­

lução de f e gs r e p r e s e n t a d a s i m b o l i c a m e n t e p o r f * g 2 3 .

Um c a s o e s p e c i a l i m p o r t a n t e o c o r r e q u a n d o f e g

s ã o n u l a s n o e i x o r e a l n e g a t i v o . N e s t e c a s o , g ( x - t ) = O s e t > x , e

( a . 8 ) t o r n a - s e : x

h ( x ) = / f ( t ) g ( x - t ) d t ( a . 9 ) o

A. 2 Transformada â.e Lap lace

A. 2 „ 1 Defini ção

S e j a f ( t ) uma f u n ç ã o d e v a r i á v e l r e a l p o s i t i v a t .

C o n f o r m e d e f i n i ç õ e s d a d a s em ( A . 1 . 1 ) , a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

e d e f i n i d a p e l a t r a n s f o r m a d a i n t e g r a l n a f o r m a :

00

f ( p ) = L { f ( t ) } = / e " p t f ( t ) d t ( a . 1 0 ) o

o n d e p = x + i y . A s s i m , f ( p ) e unia f u n ç ã o da v a r i á v e l c o m p l e x a p ,

p a r a v a l o r e s d e p p a r a o s q u a i s a i n t e g r a 1 ( a . 1 0 ) e x i s t e 2 3 2 4 . N o

q u e s e s e g u e , o a c e n t o c i r c u n f l e x o i n d i c a r a a t r a n s f o r m a d a d e L a ­

p l a c e d a f u n ç ã o c o r r e s p o n d e n t e .

A . 2 . 2 Existência

A. 2 . 2 . 1 Definição; função se.ccionalmente contínua

Uma f u n ç ã o f ( t ) s e d i z seccionalmente contínua s o ­

b r e um i n t e r v a l o f i n i t o , s e e s t e i n t e r v a l o p o d e s e r d i v i d i d o em

um n ú m e r o f i n i t o d e s u b i n t e r v a l o s , o n d e , em c a d a um d o s q u a i s ,

f ( t ) ê* c o n t í n u a e p o s s u i l i m i t e s f i n i t o s q u a n d o t t e n d e a o s e x t r e _

mos do s u b i n t e r v a l o a p a r t i r d o i n t e r i o r 2 4 2 5 .

a 3

A . 2 . 2 . 2 Definição; função de ordem exponencial

Uma f u n ç ã o f ( t ) s e d i z d e ordem exponencial q u a n d o - c t -

t •> <*>, s e e x i s t e uma c o n s t a n t e c d e f o r m a q u e e | f ( t ) | e l i m i ­

t a d a p a r a t o d o t > T , o n d e T e um n ú m e r o f i n i t o p o s i t i v o 2 4 2 5 . E m

o u t r a s p a 1 a v r a s , s e M 5 um l i m i t e , e n t ã o

| f ( t ) I < M e c t , p a r a t > T ( a . 1 1 )

N o t e - s e q u e q u a l q u e r f u n ç ã o l i m i t a d a e* d e o r d e m ex_

p o n e n c i a 1 com c = 0 .

A. 2 . 2 . 3 Existência da transformada de Laplace

C o n s i d e r e - s e uma f u n ç ã o f ( t ) s e c c i o n a l m e n t e c o n t i ­

n u a em t o d o i n t e r v a l o f i n i t o p a r a o q u a l t > O , e d e o r d e m e x p o ­

n e n c i a l q u a n d o t -> °°. A d e s i g u a l d a d e e v a l i d a :

/ | e " p t f ( t ) I d t < / e " x t | f ( t ) _ | d t + M / e " ( x " c ; t d t ( a . 1 2 ) o o T

A p r i mei r a i n t e g r a l d o s e g u n d o m e m b r o e x i s t e , p o i s ,

f ( t ) e s s c c i o n a l m e n t e c o n t T n u a , e n q u a n t o q u e a s e g u n d a i n t e g r a l e

x i s t e p a r a x > c (x e a p a r t e r e a l d e p ) . D e s t a f o r m a , a t r a n s f o r

m a d a d e L a p l a c e e x i s t e q u a n d o x > c , p o i s , e n t ã o a i n t e g r a l ( a . 1 0 )

c o n v e r g e a b s o l u t a m e n t e 2 3 2 4 .

E m b o r a a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d e f ( t ) p o s s a e -

x i s t i r p a r a o u t r o s c a s o s , e s t a s c o n d i ç õ e s p e r m i t e m a c o n s i d e r a ç ã o

d a m a i o r i a d a s a p l i c a ç õ e s p r a t i c a s 2 5 .

A . 2 . 3 Exemplo

A n t e s d e s e e s t u d a r a s p r o p r i e d a d e s d a t r a n s f o r m a ­

d a d e L a p l a c e , i l u s t r a - s e uma d e s u a s m a i s ú t e i s a p l i c a ç õ e s , q u e

é a r e s o l u ç ã o d e e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , c o n s i d e r a n d o - s e um s i m ­

p l e s p r o b l e m a 2 5 :

- y = e a t ( a . 1 3 ) d t

p a r a v a l o r e s p o s i t i v o s d e t , d e v e n d o s a t i s f a z e r a c o n d i ç ã o i n i -

c i a 1

y ( 0 ) = - 1 ( a . 1 4 )

a 4

Em l u g a r d e s e d e t e r m i n a r a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ­

ç ã o ( a . 1 3 ) e d e p o i s c a l c u l a r a s c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s s a t i s f a z e r ^

do a c o n d i ç ã o ( a . 1 4 ) , p o d e - s e u t i l i z a r a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

p a r a o b t e r d i r e t a m e n t e a s o l u ç ã o , s a t i s f a z e n d o ( a . 1 3 ) e ( a . 1 4 ) . A

p 1 i c a n d o - s e a t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e em a m b o s o s m e m b r o s d e

( a . 1 3 ) , t e m - s e :

/ e " p t — d t - / e " ' p t y d t = / e " p t e a t d t ( a , 1 8 ) o d t o o

S u p õ e - s e q u e a s t r ê s i n t e g r a i s d e ( a . 1 5 ) e x i s t e m p a r a c e r t o s v a l o

r e s d e p .

A i n t e g r a l d o s e g u n d o m e m b r o p o d e s e r c a l c u l a d a :

/ e p t e a t d t = - — ] = — 1 — ( a . 1 6 )

o p - a o P - a

E s t a i n t e g r a l e x i s t e q u a n d o p > a .

A p r i m e i r a i n t e g r a l d o p r i m e i r o m e m b r o d e ( a . 1 5 )

p o d e s e r i n t e g r a d a f o r m a l m e n t e p o r p a r t e s :

00 00 00

/ e - P t _ d y _ d t = e ~ p t y ( t ) ] + p / e " p t y d t

o d t o o

oo

= - y ( 0 ) + p / e " p t y d t o

= 1 + p / e " p t y d t ( a . 1 7 ) o

A i n t r o d u ç ã o d e ( a . 1 6 ) e ( a . 1 7 ) em ( a . 1 5 ) r e s u l t a :

oo

( p - 1 ) / e " p t y d t = — 1 , ou o P - a

00 / e - p t y d t = â + l l E ( a . 1 8 ) o ( p - l ) ( p - a )

P o r t a n t o , o p r o b l e m a r e d u z - s e ã d e t e r m i n a ç ã o d e

y ( t ) c u j a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e é d a d a p o r ( a . 1 8 ) , d e n o m i n a d a e_

quagão subsidiaria. P o d e - s e e x p r e s s a r ( a . 1 8 ) n a f o r m a :

/ e " p t y d t = ~ J 3 5 J _ ( a . 1 9 ) o a - 1 p - a a - 1 p - 1

De a c o r d o com ( a . 1 6 ) , l / ( p - a ) e a t r a n s f o r m a d a d e

e e q u e , p o r t a n t o , o p r i m e i r o t e r m o d e ( a . 1 9 ) e a t r a n s f o r m a d a

a 5

d e e a t / ( a - l ) e o s e g u n d o t e r m o e a t r a n s f o r m a d a d e - a e * / ( a - 1 ) . A s ­

s i m , ( a . 1 9 ) s e r á s a t i s f e i t a p a r a

y = _ J — ( e a t - a e * ) ( a . 2 0 ) a - 1

q u a n d o a f 1 .

Não s e p o d e a f i r m a r q u e ( a . 2 0 ) s e j a a G n i c a s o l u ­

ç ã o d e ( a . 1 9 ) , p o i s , p o d e h a v e r d i v e r s a s s o l u ç õ e s p a r a ( a . 1 9 ) e

s o m e n t e uma d a s q u a i s s a t i s f a z e r ( a . 1 3 ) e ( a . 1 4 ) . E s t e a s p e c t o d e

u n i c i d a d e d e s o l u ç ã o p a r a ( a . 1 9 ) s e r á d i s c u t i d o m a i s a d i a n t e , cori

s i d e r à n d o - s e o t e o r e m a d e L e r c h . P o r e m , p o r s u b s t i t u i ç ã o d i r e t a

em ( a . 1 3 ) e ( a . 1 4 ) , m o s t r a - s e q u e ( a . 2 0 ) Ó s o l u ç ã o e p o r t a n t o únj_

c a , p o i s , s a b e - s e q u e ( a . 1 3 ) e ( a . 1 4 ) t ê m uma G n i c a s o l u ç ã o .

A. 2 . 4 Transformada de Lavlaoe das derivadas — ZÍJLí— dtn

Uma d a s m a i s i m p o r t a n t e s p r o p r i e d a d e s d a t r a n s f o r ­

mada d e L a p l a c e e a e x p r e s s ã o d a t r a n s f o r m a d a d e uma d e r i v a d a , d e

o r d e m q u a l q u e r d e uma f u n ç ã o , em t e r m o s d a t r a n s f o r m a d a da p r ó ­

p r i a f u n ç ã o e d o s v a l o r e s d a s d e r i v a d a s d e o r d e m m a i s b a i x a d a

f u n ç ã o , c a l c u l a d a s q u a n d o t •+ 0 2 4 2 S ,

C o n s i d e r e - s e n - 1 . U t i l i z a n d o - s e a d e f i n i ç ã o

( a . 1 0 ) t e m - s e :

L { d f ( t ? } „ / e - P t d f ( t ? d t ( a > 2 1 )

d t o d t

A i n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s d e ( a . 2 1 ) f o r n e c e :

. / e " p t d f V i d t = e " p t f ( t ) ] + p / e " p t f ( t ) d t ( a . 2 2 )

o d t 0 0

o n d e f ( t ) e c o n t í n u a e d f ( t ^ s e c c i o n a l m e n t e c o n t í n u a em q u a l q u e r

i n t e r v a l o ( Q , T ) p a r a q u e d t s e p o s s a f a z e r a i n t e g r a ç ã o p o r p a r t e s ,

Como f ( t ) Ó d e o r d e m e x p o n e n c i a l , a p a r t e i n t e g r a d a s e a n u l a p a ­

r a t -* » ( p a r a x > c ) , p o r t a n t o

L { - á f l l L . } = p f ( p ) - f ( o + ) ( a . 2 3 ) d t

A n a l o g a m e n t e , p a r a n = 2 :

L { d 2 f V ) > . p 2 ; ( p ) - p f ( 0

+ ) - d f ( ° + ) d t 2 d t

( a * 2 4 )

a 6

R e p e t i n d o - s e o p r o c e s s o n_ v e z e s t e m - s e :

L { d " f ( * > ) - P ^ Í P J - Í P - 1 f ( 0 + ) + P

n - 2 t I Í P - 1 +...+ * U ~ l f j ° * > ) d t n d t d t n _ i

( a . 2 5 )

o n d e f ( t ) e s u a n - 1 d e r i v a d a s s ã o c o n t í n u a s em q u a l q u e r i n t e r v a l o

( O . T ) , d f ( M • ê , a o m e n o s , s e c c i o n a l m e n t e c o n t i n u a em q u a l -d t n

q u e r i n t e r v a l o ( 0 , T ) e f ( t ) e s u a s n_ d e r i v a d a s s ã o de o r d e m e x p o ­

n e n c i a l 2 5 .

A . 2 . 5 Teorema da convolução

Se f ( t ) e g ( t ) s ã o s e c c i o n a I m e n t e c o n t í n u a s e d a

o r d e m d e e c * , e n t ã o :

Í ( P ) 9 ( P ) = L { f * g } ( a . 2 6 )

o n d e f ( p ) - L { f ( t ) } , g ( p ) = L í g ( t ) } e L { f * g } é a t r a n s f o r m a d a d e

L a p l a c e d a c o n v o l u ç ã o e n t r e f e g d e f i n i d a p o r ( a . 9 ) .

A d e m o n s t r a ç ã o 2 5 e f e i t a c o n s i d e r a n d o - s e ( a . 1 0 ) e

u t i l i z a n d o - s e d u a s v a r i á v e i s i n t e r m e d i a r i a s d i f e r e n t e s , u e v :

•» — CO 00

f ( p ) 9 ( P ) • { / e " p V f ( v ) d v H / e " p u g ( u ) d u } o u , o o

f ( p ) g ( p ) = / / e " p ( v + u ) f ( v ) g ( ü ) d v du o u , o o

f ( P ) g ( p ) = / g ( M ) ' { / e " p ( v + U ) f ( v ) d v } d u ( a . 2 7 )

S e , p a r a a s e g u n d a i n t e g r a l d e ( a . 2 7 ) , t r o c a r v

p o r uma n o v a v a r i á v e l £ a t r a v é s d a s u b s t i t u i ç ã o :

v = t - p » dv = d t

s e g u e - s e q u e :

OQ 00

/ e ^ P ^ 4 " ) f ( v ) dv = / e " p t f ( t - u ) d t ( a . 2 8 ) p u

P o r t a n t o :

f ( p ) g ( p ) - / { / e " p t f ( t - u ) g ( u ) d t } d u ( a . 2 9 ) o u

a 7

T r o c a n d o - s e a o r d e m d e i n t e g r a ç ã o n a i n t e g r a l d u p l a e o s l i m i t e s

c o n f o r m e a f i g . a l , o b t é m - s e :

- 0 0 t f ( p ) 9 ( P ) = / í / e ~ p t f ( t - u ) g ( u ) du > d t o u ,

o o

- 00 t

f ( p ) 9 ( P ) = / e " p c ' { / f ( t - u ) g ( u ) du } d t o u ,

t f ( p ) g ( p ) = L { / f ( t - u ) g ( u ) du } ( a . 3 0 ;

o

C o n s i d e r a n d o - s e ( a . 9 ) , ( a . 3 0 ) t o r n a - s e i d é n t i c a a ( a . 2 6 ) , d e m o n s ­

t r a n d o o t e o r e m a .

A u t i l i d a d e d e s t e t e o r e m a é" a p o s s i b i l i d a d e d e s e

t r a n s f o r m a r uma e q u a ç ã o i n t e g r a l o u i n t e g r o - d i f e r e n c i a l do t i p o

c o n v o l u ç ã o ( a . 9 ) em um p r o d u t o d e f u n ç õ e s d e p e n d e n t e s do p a r á m e ­

t r o p , o q u e t o r n a m a i s f á c i l a o b t e n ç ã o da s o l u ç ã o r e a l .

A . 2 . 6 Funções degrau unitario e impulso unitario

A . 2 . 6 . 1 ' Definição: função degrau unitario h(t)

A função degrau unitario é d e f i n i d a como s e s e g u e

2 k 2 6 :

A ( t - t c ) = O , t < t D

A ( t - t 0 ) = 1 , t > t c

( a * 3 1 )

O g r a f i c o c o r r e s p o n d e n t e a ( a . 3 1 ) e m o s t r a d o n a f i g . a 2 .

3 8

û ( t - t o )

1 1 •~"ï

0

FIGURA a2 — FUNÇÃO DEGRAU UNITARIO

A t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e da f u n ç ã o d e g r a u u n i t á ­

r i o ê :

o° . - p t

L { A < t - t ) W e " p d t - - - , x > O ( x : p a r t e r e a l d e p ) ( a . 3 2 )

Em p a r t i ci< I a r , p a r a t = O , t e m - s e :

A ( t ) = O ,

A ( t ) = 1 ,

t < O

t > O

L Í A ( t ) } = l/p

A. 2 . 6 . 2 Definição: função impulso unitário &(t)

( a . 3 3 )

( a . 3 4 )

A f u n ç ã o impulso unitário é , p o r d e f i n i ç ã o :

t f t

com

ô ( t - t 0 ) = 0 $

6 ( t - t o ) = «>,

/ ô ( t - t ) d t = 1 — ao

t = t . ( a )

( b )

( a . 3 5 )

Uma d e f i n i ç ã o e q u i v a l e n t e 2 " 2 5

s e r o b t i d a c o n s i d e r a n d o - s e o l i m i t e d a f u n ç ã o ( f i g . a 3 )

A ( t - t o ) - A ( t - t o - e )

p a r a 6 ( t - t ) , p o d e

( a . 3 6 )

a 9

á ( t - t o )

í

e

to to + £ t

FIGURA oi - FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO

A f u n ç ã o ( a . 3 6 ) t e m s e m p r e a p r o p r i e d a d e ( a . 3 5 b ) ,

p a r a q u a l q u e r v a l o r de e . P o r t a n t o , q u a n d o e •> 0 em ( a . 3 6 ) , o b ­

t é m - s e a d e r i v a d a f o r m a l d e A ( t - t ) , q u e s a t i s f a z a s p r o p r i e d a d e s

de < 5 ( t - t Q ) r e l a c i o n a d a s em ( a . 3 5 ) . P o r t a n t o , A ' ( t - t Q ) = 6 ( t - t Q )

o n d e , A ( t - t ) - A ( t - t - e )

A 1 ( t - 1 ) = l i m 2 ° _ ( a . 3 7 ) 0 e + 0 e

A t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d e <5 ( t - t Q ) ê :

e - P t . e " p ( t o + e ) - D t L {A ' ( t - 1 ) } = l i m § 2 Ê 2 = e

p t o ( a . 3 3 ) 0 e + 0 p e

a p ó s a a p l i c a ç ã o da r e g r a de L ' Hos p i t a 1 , p a r a o c a l c u l o d o l i m i t e

Em p a r t i c u l a r , p a r a t = 0 , t e m - s e :

<S( t ) = 0 , t JÍ 0

5 ( t ) = «o , t = O ( a . 3 9 )

+ oo com / 6 ( t ) d t * 1

~ 00

L { 6 ( t ) > = 1 ( a . 4 0 )

A . 2 . 6 . 3 Utilização das funções h(t) e 6(t)

O b s e r v a n d o - s e a s t r a n s f o r m a d a s d a s f u n ç õ e s A ( t ) em

( a . 3 4 ) e 5 ( t ) em ( a . 4 0 ) , , p o d e - s e e s t a b e l e c e r a r e l a ç ã o 2 5 :

L { 5 ( t ) } = p L { A ( t ) } ( a . 4 1 )

P o r t a n t o , <S( t ) ê a d e r i v a d a f o r m a l d e A ( t ) , c o n f o r m e s e a f i r m o u n o

a l O

i t e m A , 2 . 6 . 2 , p o r é m d e a c o r d o com ( a . 4 1 ) , d e v e - s e c o n s i d e r a r c o n -

d i ç ã o i n i c i a l n u l a p a r a A ( t ) , ou s e j a A ( 0 ) = 0 , n a a p l i c a ç ã o d a

r e g r a d e d e r i v a ç ã o ( a . 2 3 ) .

A f u n ç ã o 6 ( t ) , com a d e f i n i ç ã o d a d a em ( a . 3 5 ) , n ã o

e uma f u n ç ã o o r d i n á r i a n o s e n t i d o m a t e m á t i c o u s u a l e , p o r t a n t o ,

t e n t a t i v a s d e j u s t i f i c a r o p e r a ç õ e s m a t e m á t i c a s o r d i n á r i a s , d i f e ­

r e n c i a ç ã o , i n t e g r a ç ã o e t c , em e x p r e s s õ e s c o n t e n d o a f u n ç ã o 5 ( t ) ,

e n v o l v e m q u e s t õ e s e x t r e m a m e n t e c o m p l i c a d a s . Uma d i s c u s s ã o r i g o r o ­

s a d e s s e t i p o d e f u n ç õ e s singulares ê f e i t a n a t e o r i a d a s d i s t r i ­

b u i ç õ e s . P o r e m , p a r a s e e v i t a r uma j u s t i f i c a t i v a m a i s t r a b a l h o s a

e c o m p l e x a , u t i l i z a - s e f o r m a l m e n t e a f u n ç ã o 6 ( t ) e s e o s r e s u l t a ­

d o s o b t i d o s f o r e m c o n f i á v e i s , p a s s í v e i s d e i n t e r p r e t a ç ã o f í s i c a ,

p o d e - s e a c e i t á - l o s como c o r r e t o s n o s c a s o s p r á t i c o s 2 5 2 6 2 7 .

A . 2 . 7 Transformada inversa

A, 2, 7 . 1 Definição

Em a p l i c a ç õ e s d a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e n c o n t r a -

s e o p r o b l e m a i n v e r s o , ou s e j a , a d e t e r m i n a ç ã o d a f u n ç ã o f ( t ) q u e

t e m p a r a t r a n s f o r m a d a uma d a d a f u n ç ã o F ( p ) . A n o t a ç ã o L ~ l { F ( p ) } ê

c o n v e n c i o n a l m e n t e u t i l i z a d a p a r a s e i n d i c a r a transformada de La­

place inversa d e F ( p ) , i s t o é , s e F ( p ) = L { f ( t ) > , e s c r e v e - s e

f { t ) = L - x { F ( p ) } .

A. 2 . 7 . 2 Unicidade

C o n s i d e r a ç õ e s s o b r e a u n i c i d a d e d a t r a n s f o r m a d a in_

v e r s a f a z - s e u t i l i z a n d o o t e o r e m a d e L e r c h 2 5 , 2 8 o n d e s e e s t a b e ­

l e c e q u e d u a s f u n ç õ e s f ^ t ) e f 2 ( * ) p o d e m t e r a m e s m a t r a n s f o r m a ­

d a f ( p ) , p o r é m , n e s t e c a s o ,

f x ( t ) - f 2 ( t ) = N ( t ) ( a . 4 2 )

o n d e N ( t ) ê uma f u n ç ã o nula n o s e n t i d o d e q u e

* o fQ N ( t ) d t = 0 ( a . 4 3 ) o

p a r a t o d o v a l o r p o s i t i v o d e t .

a 1 1

Uma p o s s í v e l f u n ç ã o N ( t ) e m o s t r a d a n a f i 9 . .n 4 * 9 .

NU )

• (ponto singular)

-O- " • t

FIGURA o4 — UMA POSSÍVEL FUNÇÃO NULA

T o m a n d o - s e o t e o r e m a d e L e r c h n o s e u s e n t i d o m a i s

a m p l o , a i n v e r s a d a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e n ã o e ú n i c a . P o r e m ,

p a r a a m a i o r i a d o s c a s o s p r á t i c o s d e e n g e n h a r i a , p o d e - s e t o m a r

N = N ( t ) = 0 , p o i s , a r t i f i c i a l i d a d e s como a m o s t r a d a n a f i g . a 4 , n a

p r á t i c a n ã o t ê m s e n t i d o 2 5 2 6 . D e s t a f o r m a , c o n s i d e r a n d o - s e f u n ­

ç õ e s c o n t í n u a s f ( t ) , s e a e q u a ç ã o i n t e g r a l ( a . 1 0 ) t i v e r s o l u ç ã o ,

e s t a s e r á u n i c a .

A . 2 . 1 . 3 Transformada inversa exata

A d e t e r m i n a ç ã o da t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e m a n e i r a

e x a t a p o d e s e r f e i t a u t i l i z a n d o - s e a i n t e g r a l d e Bromwi c h , f o r m a J_

m e n t e e x p r e s s a p o r :

-, c + i R t ~ f ( t ) = - — p p - u m / e p z f ( p ) d p ( a . 4 4 )

R-»-co c - Í R

E s t e p r o c e d i m e n t o 2 4 2 6 2 8 , f o r a d o s o b j e t i v o s d e s t e t r a b a l h o , em

g e r a l , e m u i t o d i f í c i l . P o r e m , f a c i l i t a - s e a i n v e r s ã o u t i l i z a n d o -

s e a d e f i n i ç ã o da t r a n s f o r m a d a ( a . 1 0 ) p a r a a c o n s t r u ç ã o de uma ta^

b e l a de f u n ç õ e s t r a n s f o r m a d a s e t r a n s f o r m a d a s i n v e r s a s c o r r e s p o n ­

d e n t e s , q u e u t i l i z a d a j u n t a m e n t e com a s p r o p r i e d a d e s j á a p r e s e n t a ^

d a s em ( A . 1 . 1 . 2 ) , ( A . 2 . 4 ) e ( A . 2 . 5 ) e o u t r a s a d i c i o n a i s 2 " 2 5 ,

p e r m i t e m a d e t e r m i n a ç ã o d a s t r a n s f o r m a d a s d i r e t a s e i n v e r s a s d e

f o r m a e x a t a .

E x t e n s a s t a b e l a s p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n a s r e f e r ê n

c i a s 2 9 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , e t c . Uma p e q u e n a a m o s t r a , ú t i l p a r a p r o b l e ­

mas v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a r e s , e x t r a í d a da r e f e r ê n c i a 10 I a p r e s e n ­

t a d a n a t a b e l a a l .

a l 2

T a b e l a a l - P a r e s d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e

f ( t ) f ( p )

( 1 )

( 2 )

A ( t )

« ( t )

1 / p

1

( 3 ) e - o t l / ( a + p )

( 4 ) 1 ( i - e " a t ) l / p ( a + p )

( 5 ) i - 1 (1 - e " a t ) a a 2

l / p 2 ( a + p )

( 6 ) t n n.' p " n _ 1 , n = 0 , 1 , . . .

0 e x e m p l o a p r e s e n t a d o n o i t e m A . 2 . 3 t e m uma s o l u ­

ç ã o m a i s r á p i d a u t i l i z a n d o - s e a s t a b e l a s d e t r a n s f o r m a ç ã o c i t a d a s

a c i m a , p o i s , e s t a s p e r m i t i r i a m a p a s s a g e m d e ( a . 1 3 ) e ( a . 1 4 ) , d i ­

r e t a m e n t e p a r a ( a . 1 8 ) e d e ( a . 1 9 ) p a r a a s o l u ç ã o ( a . 20 ) 2 5 .

A. 2 . 7 . 4 'Evans formada inversa aproximada

Como a a p l i c a ç ã o da i n v e r s ã o e x a t a , d i s c u t i d a n o

i t e m A . ? . 7 . 3 , p a r a a p l i c a ç õ e s p r á t i c a s , nem s e m p r e e p o s s í v e l , ou

p e l a d i f i c u l d a d e i n t r í n s e c a do m é t o d o o u p o r q u e a s o l u ç ã o t r a n s ­

f o r m a d a e c o n h e c i d a s o m e n t e p a r a p o n t o s d i s c r e t o s do p a r â m e t r o p ,

t é c n i c a s n u m é r i c a s de i n v e r s ã o a p r o x i m a d a t e m s i d o d e s e n v o l v i d a s 6

só s i 32 t e n t a n d o c o n t o r n a r e s t a s d i f i c u l d a d e s . No a p ê n d i c e B a -

p r e s e n t a m - s e d u a s t é c n i c a s p r o p o s t a s n a s r e f e r ê n c i a s 31 e 6 , b a s ­

t a n t e e f i c i e n t e s p a r a p r o b l e m a s e s p e c í f i c o s em v i s c o e 1 a s t i c i d a d e

l i n e a r .

A . 2 . 8 Exemplo de aplicação em viscoelastiaidade linear

C o n s i d e r a - s e um e x e m p l o , e x t r a í d o d a r e f e r ê n c i a 2 ,

o n d e s e p r o c u r a d e t e r m i n a r a e q u a ç ã o d e r e l a x a ç ã o d e um m o d e l o d e

H o o k e a s s o c i a d o em s e r i e com um m o d e l o d e K e l v i n . A e q u a ç ã o ( 1 0 )

f o r n e c e :

a I i

e « ( 4 — + E + \ 5 ) a ( a . 4 5 ) o i 1

d o n d e , D = , S e n d o E = E „ , a « 1 /n e b = E / n , ( a . 4 í > ) s o

d t O i l i

e x p r e s s a p o r :

e = ( + — - — ) a ( a . 4 6 ) E D+b

P a r a s e d e t e r m i n a r a e q u a ç ã o d a r e l a x a ç ã o , uma d e ­

f o r m a ç ã o e e i m p o s t a no i n s t a n t e t = 0 , e m a n t i d a c o n s t a n t e d u -0

r a n t e t o d a a a n á l i s e . P o r t a n t o ,

e = e A ( t ) ( a . 4 7 ) o

A s u b s t i t u i ç ã o d e ( a . 4 7 ) em ( a . 4 6 ) r e s u l t a e m :

e A ( t ) (ED + b E ) = a ( t ) ( D + b + a E ) ( a . 4 8 ) o

E f e t u a n d o - s e a d e r i v a d a d e A ( t ) , d e a c o r d o com a s d e f i n i ç õ e s d a -

' o I t e m A. 2 . 6 . 2 , t e m - s e :

. ( t ) + bE e A ( t ) = D a ( t ) + (b + a E ) a ( t ) ( a . 4 9 )

R e c o r d a - s e d a s c o n s i d e r a ç õ e s f e i t a s n o i t e m

A. 2 . 6 . 3 , q u e a u t i l i z a ç ã o d a s f u n ç õ e s A ( t ) e 6 ( t ) l e v a a e x p r e s ­

s o s - ; m e r a m e n t e f o r m a i s , e s t a n d o a s s o l u ç õ e s q u e d e l a s d e c o r r e r e m

s u j e i t a s a v e r i f i c a ç õ e s p a r a s e r e m a c e i t a s c o m o c o r r e t a s . A s e -

f , i Í K . p r o c u r a - s e e s t a b e l e c e r a s c o n d i ç õ e s em q u e a u t i l i z a ç ã o for_

1 -.tas f u n ç õ e s s i n g u l a r e s l e v a a r e s u l t a d o s c o r r e t o s .

P a r a s e o b t e r a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e de ( a . 4 9 ) ,

s u p o n h a - s e q u e , p o r s u g e s t ã o d a s c o n c l u s õ e s t i r a d a s n o i t e m

A . 2 . 6 . 3 , s e t e n h a condições iniciais nulas, o u s e j a , q u e a s f u n -

- õ o ; d e p e n d e n t e s d o t e m p o e t o d a s a s s u a s d e r i v a d a s em r e l a ç ã o a o

t e m p o q u a n d o t •> 0 + s e j a m n u l a s . P o r t a n t o , s o b e s t a s c o n d i ç õ e s , u_

t i l i z a n d o - s e ( a . 3 4 ) e ( a . 4 0 ) t e m - s e :

•i- b E r / p = p a + ( b + a E ) ô ( a . 5 0 ) o

q u e p o d e s e r c o l o c a d o n a f o r m a ( m é t o d o d a s f r a ç õ e s p a r c i a i s ) :

Ec b Ea S = 2 ( + ) ( a . 5 1 )

( E a + b ) p p + Ea + b

a 1 4

U t i l i z a n d o - s e a t a b e l a a l , a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a

de ( a . 5 1 ) é :

E F

a ( t ) - l a ( b A ( t ) + Ea e ~ ( E a + b ) t ) , t > 0 ( a , 5 2 ) ( E a * b )

N o t e - s e q u e , s e a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e t i v e s s e

s i d o a p l i c a d a d i r e t a m e n t e s o b r e a e q u a ç ã o ( a . 4 6 ) , t e r i a s e o b t i d o

o mesmo r e s u 1 t a d o , ou s e j a , i m p o n d o - s e c = e A ( t ) em ( a . 4 6 ) e u t i o ~

l i z a n d o - s e ( a . 3 4 ) , o b t é m - s e :

Ee b Ea ã = _ °— ( — + )

( E a + b ) p p + E a + b

q u e ê a e q u a ç ã o ( a . 51 ) .

A f i g . a B i l u s t r a a s o l u ç ã o ( a . 5 2 ) .

i

Ea + b

FIGURA o5

O b s e r v e - s e q u e , d e a c o r d o com ( a . 5 2 ) , q u a n d o t->0 ,

a s o l u ç ã o o-*Ee , ou s e j a , o n ã o t e n d e a z e r o como f o i i m p o s t o p a -o

r a s e o b t e r a equação subsidiaria ( a . 5 0 ) . I s t o t o r n a a c e i t á v e l a

s o l u ç ã o ( a . 5 2 ) j á q u e s a t i s f a z a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l ( a . 4 6 ) com

e - e A ( t ) e f o r n e c e a condição inicial e s p e r a d a o ( 0 ) = Ee . o ' o

S u p o r c o n d i ç õ e s iniciais nulas p a r a o p r o b l e m a ê

como s e a i n t e g r a l da t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e ( a . 1 0 ) f o s s e t o m a d a

com e x t r e m o i n f e r i o r i g u a l a 0~ , d e s t a f o r m a , i n c l u i n d o a d e s c o n ­

t i n u i d a d e em 0 1 0 . Sob e s t a s c o n d i ç õ e s , a u t i l i z a ç ã o f o r m a l d e

< S ( t ) , n o e x e m p l o a n a l i s a d o a c i m a , l e v o u a r e s u 1 t a d o s c o r r e t o s . Es_

t a c o n c l u s ã o t a m b é m ê v á l i d a p a r a o u t r o s m o d e l o s v i s c o e i á s t i c o s

a ! 5

e n v o l v e n d o d e r i v a d a s d e o r d e n s m a i s a l t a s de A ( t ) , c o n c l u s ã o q u e

é* e x t e n s i v a m e n t e u t i l i z a d a em t o d a a l i t e r a t u r a s o b r e v i s c o e l a s t i _

c i d a d e 3 s 1 0 1 6 q u e f a z u s o d a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e .

APÊNDICE B

B Processos numéricos de inversão da transformada de Laplace

B. 1 Introdução

Q u a n d o c o r p o s v i s c o e 1 a s t i c o s s ã o s o l i c i t a d o s com

c a r g a s c o n s t a n t e s , o g r á f i c o d a s r e s p o s t a s em f u n ç ã o d o l o g a r i t m o

d o t e m p o , em g e r a l , s e d e s e n v o l v e p o r m u i t a s décadas d e l o g t . Es_

t e s c o m p o r t a m e n t o s p o d e m s e r r e p r e s e n t a d o s p o r uma s e r i e e x p o n e n ­

c i a l com um a l t o g r a u d e p r e c i s ã o 3 1 .

Os p r o c e s s o s a q u i d i s c u t i d o s s e b a s e a r ã o n e s t e t i ­

p o d e s e r i e e x p o n e n c i a l e , p o r t a n t o , r e p r e s e n t a m p r o c e s s o s d e i n ­

v e r s ã o l i m i t a d o s a f o r m a s e s p e c í f i c a s d e f u n ç õ e s a s e r e m i n v e r t i ­

d a s , p o r e m , e f i c i e n t e s p a r a p r o b l e m a s v i s c o e i á s t i c o s .

E x i s t e m v á r i o s p r o c e s s o s d e i n v e r s ã o , s e g u n d o C o s t 6 , a p r e s e n t a n d o uma g r a n d e v a r i e d a d e n o q u e s e r e f e r e ã q u a n t i d a ­

d e d e t r a b a l h o . P o r e m , a m a i o r i a d e s t e s p r o c e s s o s é" s e n s í v e l a e r

r o s n o s v a l o r e s da f u n ç ã o a s e r i n v e r t i d a . E s s e s e r r o s p o d e m s e r

a t r i b u í d o s a t é c n i c a s n u m é r i c a s u t i l i z a d a s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o

d o s v a l o r e s da f u n ç ã o , a p r o c e s s o s d e a r r e d o n d a m e n t o d e n ú m e r o s e

p o s s i v e l m e n t e a t é c n i c a s d e i n t e r p o l a ç ã o . E m b o r a e s s e s e r r o s c o m ­

b i n a d o s n ã o a f e t e m m u i t o a f u n ç ã o a s e r i n v e r t i d a , s e u s e f e i t o s

n a s o l u ç ã o i n v e r s a p o d e m s e r m u i t o g r a n d e s . N e s t e s c a s o s , a a p l i ­

c a ç ã o d a m a i o r i a d o s p r o c e s s o s d e i n v e r s ã o a p r o x i m a d a e x i s t e n t e s

n ã o l e v a a r e s u l t a d o s s a t i s f a t ó r i o s 6 .

D o i s p r o c e s s o s d e i n v e r s ã o n u m é r i c a d a t r a n s f o r m a ­

da de L a p l a c e a q u i s ã o d e s c r i t o s : um d o t i p o colocação p r o p o s t o

p o r S c h a p e r y 3 1 e o u t r o d o t i p o multidata p r o p o s t o p o r C o s t 6 . N e s _

t e t r a b a l h o , e s t e s p r o c e s s o s s e r ã o c h a m a d o s s i m p l e s m e n t e d e p r o ­

c e s s o s d a colocação e multidata.

D e s c r e v e - s e t a m b é m uma c o m p a r a ç ã o e n t r e o s d o i s

p r o c e s s o s , f e i t a p o r C o s t , b a s e a d a numa i n v e r s ã o d e uma f u n ç ã o

com s o l u ç ã o a n a l í t i c a e x a t a . E s t a c o m p a r a ç ã o m o s t r a r á a s e n s i b i l j _

d a d e a e r r o s a q u e o p r o c e s s o d a colocação e s t á s u j e i t o , bem c o ­

m o , a m e l h o r i a d a p r e c i s ã o a l c a n ç a d a com o p r o c e s s o multidata ,es_

p e c i a l m e n t e q u a n d o e x i s t e m e r r o s n a f u n ç ã o a s e r i n v e r t i d a .

B. 2 Processo da Colocação

S c h a p e r y 3 1 s u g e r e q u e a s r e s p o s t a s v i s c o e l ã s t i -

b 2

c a s , p a r a a c l a s s e d e p r o b l e m a s em q u e a a n a l o g i a elastico-visaoe_

lãs tico s e a p l i c a , s e j a a p r o x i m a d a p o r uma s e r i e d e D i r i c h l e t :

J J f * ( t ) = E S . Q*\X ( b . l )

j - 1 3

o n d e e cu s ã o c o n s t a n t e s i n c ó g n i t a s , e t i a v a r i á v e l t e m p o ;

f * ( t ) e uma aproximação p a r a a r e s p o s t a r e a l f ( t ) .

N e s t e p r o c e s s o , e ou s ã o t e o r i c a m e n t e d e t e r m i na_

d o s d e f o r m a q u e o erro quadrático total e n t r e f ( t ) e f * ( t ) , d e f i _

n i d o p o r :

00

E 2 = / [ f ( t ) - f * ( t ) ] 2 d t , ( b . 2 ) o

s e j a m í n i m o .

A d e t e r m i n a ç ã o d e ou p e l a m i n i m i z a ç ã o d e E 2 l e v a a

um s i s t e m a d e e q u a ç õ e s n ã o l i n e a r e s e n v o l v e n d o t r a b a l h o s c o m p u t a ­

c i o n a i s m a i s l a b o r i o s o s e a s o l u ç ã o n ã o é ú n i c a 6 . D e s t a f o r m a ,

e s p e c i f i c a - s e p o r i n s p e ç ã o e e x p e r i ê n c i a p r é v i a a s c o n s t a n t e s ou

e s o m e n t e s e d e t e r m i na S_. p o r mi n i m i z a ç ã o d e E 2 , r e s u l t a n d o :

9 E " = - / 2 [ f ( t ) - f * ( t ) j e * a i t d t = O ( i = 1 , 2 , . . . , J J ) 3 S .

( b . 3 )

/ f ( t ) e ~ a i l àt = f f * ( t ) e ~ i d t ( i = 1 , 2 , . . . , J J ) ( b . 4 )

E s t a e q u a ç ã o p o d e s e r i n t e r p r e t a d a de f o r m a q u e pa_

r a a m i n i m i z a ç ã o do e r r o q u a d r á t i c o t o t a l , em r e l a ç ã o a S ^ , a

t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e ( A p ê n d i c e A) d a função aproximada f * ( t }

d e v e s e r i g u a l ã t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d a função exata f ( t ) em

p e l o m e n o s n p o n t o s , p = a . , i = 1 , 2 , . . . , J J .

P o r t a n t o :

f ( p ) ] p = a . = f * ( p ) ] p a a . i = 1 , 2 , . . . , J J ( b . 5 )

o n d e o a c e n t o c i r c u n f l e x o i n d i c a a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e d a fun_

ç ã o c o r r e s p o n d e n t e .

b 3

A t r a n s f o r m a d a de L a p 1 a c e d e ( b . 1 ) é

J J , f * ( p ) = X S j ! ( b . 6 )

j = 1 P + ou

S u b s t i t u i n d o - s e ( b . 6 ) em ( b . 5 ) t e m - s e :

J J S .

f ( p ) ] = l J ] p = a i = l s 2 , . . . , J J p a i j = l p + ou p a i

( b . 7 )

P o r c o n v e n i ê n c i a e s c r e v e - s e ( b . 6 ) n a f o r m a :

J J a .

P f ( p ) L = a = t S (1 + — J - r l i = l , 2 , . . . , J J ( b . 8 ) H i j = 1 J a .

f ( p ) r e p r e s e n t a o s v a l o r e s d a d o s d a f u n ç ã o t r a n s ­

f o r m a d a a s e r i n v e r t i d a , c o r r e s p o n d e n t e s , em p r o b l e m a s v i s c o e l ã s -

t i c o s l i n e a r e s , a o s v a l o r e s c o n h e c i d o s d a s s o l u ç õ e s e l á s t i c a s a s ­

s o c i a d a s . E s t e s v a l o r e s , d a q u i p o r d i a n t e , s e r ã o c h a m a d o s s i m p l e s _

m e n t e d e dados, no s e n t i d o d e q u e s ã o d a d o s d e e n t r a d a p a r a a o b ­

t e n ç ã o d a i n v e r s ã o .

P o r t a n t o , e s p e c i f i c a n d o - s e o s v a l o r e s d e ou e conhe_

c e n d o - s e o s J J d a d o s f ( p ) em ( b . 8 ) , o b t e m - s e um s i s t e m a de J J e -

q u a ç õ e s l i n e a r e s q u e p e r m i t e m o c a l c u l o d o s v a i o r e s d e S j . A s s i m ,

a f u n ç ã o f * ( t ) , a p r o x i m a ç ã o d a f u n ç ã o i n v e r s a e x a t a f ( t ) , p o d e

s e r d e t e r m i n a d a u t i l i z a n d o - s e ( b . l ) .

D e v e - s e l e m b r a r q u e n o p r o c e s s o d a colocação d e s ­

c r i t o a c i m a , e x i g i u - s e um a j u s t e d a s e r i e e x p o n e n c i a l a p r o x i m a d a

ã f u n ç ã o e x a t a n o p l a n o r e a l d o t e m p o , n o s e n t i d o d o s m T n i m o s qua_

d r a d o s . E s t e c r i t é r i o r e s u l t o u num a j u s t e p o n t o a p o n t o d a t r a n s ­

f o r m a d a d e L a p l a c e d a s e r i e e x p o n e n c i a l a o s d a d o s , n o p l a n o t r a n s ­

f o r m a d o . 0 n u m e r o d e d a d o s f ( p ) u t i l i z a d o e i g u a l a o n ú m e r o d e

t e r m o s d a s é r i e e x p o n e n c i a l .

P o r a n á l i s e d o e r r o q u a d r á t i c o t o t a l , S c h a p e r y 3 1

a f i r m a s e r n e c e s s á r i o a o b t e n ç ã o d o s v a l o r e s d a s f u n ç õ e s t r a n s f o r

n a d a s com b a s t a n t e p r e c i s ã o , p a r a q u e s e o b t e n h a uma i n v e r s ã o s a -

t i s f a t o r i a .

b 4

B. 3 Processo multidata

Em g e r a l , h a d o i s t i p o s d e p r o b V e m a s em q u e , s e gun_

do Cos t 6 , a d e t e r m i n a ç ã o de uma a p r o x i m a ç ã o p o r a j u s t e , p a s s a n d o

e x a t a m e n t e em um c o n j u n t o d e p o n t o s d i s c r e t o s d a d o s , n ã o e o p r o ­

c e s s o m a i s d e s e j á v e l . P r i m e i r o , q u a n d o a f u n ç ã o a s e r a p r o x i m a d a

é* c o n h e c i d a p a r a n u m e r o s o s v a l o r e s da v a r i á v e l i n d e p e n d e n t e em

c e r t o i n t e r v a l o , e d e s e j á v e l l e v a r em c o n t a m u i t o s ou t o d o s o s va_

l o t e s c o n h e c i d o s , em v e z . d e s e l e c i o n a r e m - s e p o u c o s v a l o r e s a r b i ­

t r á r i o s . S e g u n d o , q u a n d o s ã o o b t i d o s v a l o r e s a p r o x i m a d o s da f u n ­

ç ã o , o p r o c e d i m e n t o d e t e n t a r f o r ç a r a p a s s a g e m d a f u n ç ã o a p r o x i ­

m a d a e x a t a m e n t e p e l o s p o n t o s d a d o s é q u e s t i o n á v e l . E s t a s o b s e r v a ­

ç õ e s , s e g u n d o C o s t , i n d i c a m uma c e r t a l i m i t a ç ã o p a r a o p r o c e s s o

da colocação, q u e p o d e s e r s i g n i f i c a t i v a n a s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s

v i s c o e 1 á s t i c o s q u e p o s s u e m a m b a s a s c a r a c t e r í s t i c a s a p r e s e n t a d a s

a c i m a .

De f o r m a d i f e r e n t e d o p r o c e s s o d a colocação n o

q u a l a f u n ç ã o é a j u s t a d a p o n t o a p o n t o no p l a n o t r a n s f o r m a d o , o

p r o c e s s o multidata 6 u t i l i z a um n ú m e r o m a i o r d e v a l o r e s da f u n ç ã o

a s e r i n v e r t i d a e a j u s t a e s t e s v a l o r e s d a d o s n o p l a n o t r a n s f o r m a ­

do no s e n t i d o d o s m í n i m o s q u a d r a d o s . A s s i m , um n ú m e r o m a i o r de va_

l o r e s s ã o l e v a d o s em c o n t a no p r o c e s s o multidata e uma m e n o r i m ­

p o r t â n c i a e a t r i b u í d a a um p o n t o i n d i v i d u a l . A b a s e d e s t e a r g u m e n _

t o f u n d a m e n t a - s e n a i d é i a de q u e uma m e l h o r r e p r e s e n t a ç ã o n o p l a ­

no t r a n s f o r m a d o d a f u n ç ã o a s e r i n v e r t i d a r e s u l t a numa m e l h o r a -

p r o x i m a ç ã o d a i n v e r s a n o p l a n o d o t e m p o .

No p r o c e s s o multidata , p r o p o s t o p o r C o s t 6 , uma s £

r i e d e f u n ç õ e s r a c i o n a i s n o p l a n o t r a n s f o r m a d o , c u j a i n ve r s a n o

p l a n o do t e m p o é uma s e r i e d e f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s , s e r á a j u s t a d a

no s e n t i d o d o s mínimos quadrados a v a l o r e s d a f u n ç ã o a s e r i n v e r ­

t i d a .

Como n o p r o c e s s o d a colocação , a r e s p o s t a i n c õ g n j _

t a v i s c o e 1 a s t i c a é s u p o s t a t e r a f o r m a :

J J . f * ( t ) = I S e ' V ( b . 9 )

j = i J

o n d e f * ( t ) e a a p r o x i m a ç ã o d e s e j a d a p a r a a f u n ç ã o i n v e r s a e x a t a

f ( t ) ; o u e S.. s ã o c o n s t a n t e s a s e r e m e s c o l h i d a s com b a s e em e x p e ­

r i ê n c i a p r e v i a e d e t e r m i n a d a s p e l a m i n i m i z a ç ã o d o e r r o q u a d r á t i c o

b 5

t o t a l n o p l a n o t r a n s f o r m a d o , r e s p e c t i v a m e n t e .

A t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e de ( b . 9 ) , m u l t i p l i c a d a

p o r p , e J J a .

p f * ( p ) = Z S . ( 1 + — ( b . 1 0 ) j = l J p

Na a p l i c a ç ã o d o m é t o d o d o s m í n i m o s q u a d r a d o s p a r a

a d e t e r m i n a ç ã o d o s , o erro quadrático total e d e f i n i d o c o m o :

l i -E 2 = X [p f ( P i ) - P i f * ( P i ) ] 2 ( b . l l )

i = l

o n d e I I ê um n ú m e r o a r b i t r á r i o d e d a d o s p ^ f ( p ^ ) . S u b s t i t u i n d o

( b . 1 0 ) em ( b . 1 1 ) t e m - s e :

I I - J J a . £ [ p , f ( P , ) - £ S (1 + — M " 1 ] 2 ( b . 1 2 )

i = l j = l J p . E 2

i - 1 " 1

M i n i m i z a n d o E 2 em r e l a ç ã o a o S k ( k = 1 , 2 , . . . , J J )ob_

t ê m - s e :

= - 2 ^ J [ p i f } - ^ s . ( i + - ^ - Y ' l d + —f—Y*Î = o

( b . 1 3 )

„ F 2 I I - J J a . a, ^ — = - 2 Z { [ p . f ( p . ) - Z S (1 + — J - ) ' 1 ] ( 1 + — £ 3 S k i - 1 j « l J p . p .

o u ,

I I a, I I J J a . a, z p f ( p ) ( i + - J L - r = 2 z s ( í + - a - r 1 ( í + — £ - ) • !

i - l P i i = l j = l 3 P i P i

k = 1 , 2 , . . . , J J ( b . 1 4 )

As J J e q u a ç õ e s ( b . 1 4 ) d e f i n e m um s i s t e m a d e e q u a ­

ç õ e s l i n e a r e s a s e r r e s o l v i d o p a r a J J i n c Õ g n i t a s S . , em t e r m o s d e

I I v a l o r e s d e p f ( p ) d a d o s . A s s i m , a a p r o x i m a ç ã o f * ( t ) d a f u n ­

ç ã o i n v e r s a f ( t ) f i c a d e t e r m i n a d a p e l a e q u a ç ã o ( b . 9 ) .

B.4 Exemplo de aplicação - Comparação dos processos de coloca­

ção e mui t i data

B.4.1 Função teste estudada

C o s t 6 a p r e s e n t a um e x e m p l o de a p l i c a ç ã o d o p r o c e s _

b 6

s o , t o m a n d o como f u n ç ã o e x a t a n o p l a n o d o t e m p o uma s e r i e e x p o n e n_

c i a " ! de 76 t e r m o s q u e a f i r m a s e r d e r e p r e s e n t a ç ã o a n a l í t i c a s i m ­

p l e s e t í p i c a em p r o b l e m a s p r á t i c o s :

A ( t ) =

0 , t < 0

7 5 - P t E e V

i = 0 t » 0 » o n d e ( b . 15 )

3 , = 1 0 { ~ 2 ' 5 + ( i / 1 5 ) } , i = 0 , 1 , 2 , . . . . 75 ( b . 1 6 ) L 1

Como a t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e d e ( b . 1 5 ) , ' m u l t i p l i _

c a d a p o r p , p o d e s e r d e t e r m i n a d a d e f o r m a e x a t a , ou s e j a ,

75 p X ( p ) = 1 (1 +

i = 0 p

S i - 1 ( b . 1 7 )

a f u n ç ã o t e s t e p o d e s e r d e s c r i t a d e f o r m a e x a t a n o s p l a n o s d o t e m

po e d e L a p l a c e ( f i g . b . l . a 6 ) . D e s t a f o r m a , C o s t p o d e e s t u d a r e

c o m p a r a r a p r e c i s ã o d o s d o i s m é t o d o s j á a p r e s e n t a d o s . Uma d e s c r i ­

ç ã o s u m a r i a d e s t e e s t u d o 5 a p r e s e n t a d a a s e g u i r .

o.

y-

Caso 5 • í t i \ ! f 1 \ ! f ! t Coso 4 f ! f ; f ! 1 : \ \ t i Caso 3 f - ' t ( T Coso 2 T t Coso 1 f t ' 1 f t

(b) FIGURA bl

(a) - FUNÇÃO TESTE (b) - LOCAÇÃO DOS CENTROS DOS TERMOS EXPONENCIAIS

PARA A ESCOLHA OOS VALORES DE o£|

b 7

B.4.2 Calculo dos erros introduzidos nos valores dados

Os e r r o s q u e e v e n t u a l m e n t e p o s s a m e x i s t i r n a s f u n ­

ç õ e s a s e r e m i n v e r t i d a s , a p o n t a d o s n o i t e m ( B . l ) , f o r a m g e r a d o s e

i n t r o d u z i d o s a o a c a s o n o s d a d o s , c a l c u l a d o s d e f o r m a e x a t a a t r a ­

v é s d e ( b . 1 7 ) . E s t e p r o c e d i m e n t o , f e i t o p o r C o s t , é d e s c r i t o a s e

g u i r .

Em p r i m e i r o l u g a r , o e r r o m á x i m o a s e r a d i c i o n a d o

em c a d a v a l o r e x a t o f o i e s p e c i f i c a d o como s e n d o uma c e r t a p o r c e n ­

t a g e m k d o m á x i m o v a l o r d a f u n ç ã o t r a n s f o r m a d a {p X ( p ) } m ã x . A

s e g u i r f o i g e r a d o um c o n j u n t o d e n ú m e r o s a o a c a s o , v a r i a n d o d e

- 1 . 0 a + 1 . 0 , d e s i g n a d o s p o r RN, a s s o c i a d o s u m . a um a o s v a l o r e s e -

x a t o s . A s s i m s e n d o , c a d a d a d o { p . X ( p ^ ) } c o n t e n d o e r r o f o i o b t i -

do a d i c i o n a n d o - s e a o v a l o r e x a t o , c a l c u l a d o p o r ( b . 1 7 ) , um c e r t o

e r r o i g u a l a o p r o d u t o d a p o r c e n t a g e m k e s p e c i f i c a d a , d i v i d i d a p o r

1 0 0 , p e l o v a l o r m á x i m o d a f u n ç ã o t r a n s f o r m a d a {p X ( p ) } m ã x . e pe_

l o n ú m e r o a o a c a s o , RN, a s s o c i a d o . E s t e p r o c e d i m e n t o p a r a o v a l o r

p = p . é i l u s t r a d o p e l a e q u a ç ã o ( b . 1 8 ) 6 .

^ 7 5 3 *** DADO ( p . ) = p . X ( p . . ) = l {1 + — — RN ( k / 1 0 0 ) ípX ( p ) } mãx

3 3 0 i = 0 P j

( b . 1 8 )

B.4.3 Estudos dos parâmetros

0 p r o c e s s o d a colocação p e r m i t e a v a r i a ç ã o d e d o i s

p a r â m e t r o s : a . , v a l o r e s q u e c o m p a r e c e m n o a r g u m e n t o d a s f u n ç õ e s

e x p o n e n c i a i s e o n ú m e r o d e t e r m o s d a s e r i e , J J . 0 p r o c e s s o rnulti-

data a l e m d e s s e s d o i s p a r â m e t r o s , p e r m i t e a v a r i a ç ã o d e um t e r c e i _

r o p a r á m e t r o , I I , n ú m e r o d e p o n t o s d a d o s , ou s e j a , p o s s u i um g r a u

d e l i b e r d a d e a d i c i o n a l .

D e v i d o a s d i f i c u l d a d e s j á m e n c i o n a d a s , o s v a l o r e s

d e a . s e r ã o e s c o l h i d o s b a s e a d o s num e n t e n d i m e n t o d e s u a f u n ç ã o n a

s e r i e 3 l . A l t e r a n d o - s e o s v a l o r e s o u , s i m p l e s m e n t e m u d a m - s e a s l o

c a ç õ e s d a s f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s a s s o c i a d a s num g r á f i c o t e n d o p o r

a b c i s s a l o g t . I s t o p e r m i t e e s c o l h e r cu de f o r m a q u e a s f u n ç õ e s

e x p o n e n c i a i s s e j a m u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a s n o i n t e r v a l o d e v a ­

r i a ç ã o d a f u n ç ã o a s e r i n v e r t i d a . P o r t a n t o , p a r a s e m a n t e r o e s t u _

d o l i n e a r , o s a . f o r a m i m p o s t o s d e a c o r d o com a e x p e r i e n c i a , 0 nú_

b 8

m e r o d e t e r m o s d a s é r i e , o n u m e r o d e p o n t o s d a d o s e a p o r c e n t a g e m

d o e r r o k a d i c i o n a d a n o s v a l o r e s d a d o s e x a t o s f o r a m a s v a r i á v e i s

a n a l i s a d a s .

B,4.4 Avaliação dos erros

P a r a a n a l i s e d o s p a r â m e t r o s , C o s t 6 e s c o l h e u como

m e d i d a d o s d e s v i o s d a s i n v e r s õ e s a p r o x i m a d a s , c a l c u l a d a s p e l o s

p r o c e s s o s multidata e colocação, em r e l a ç ã o a i n v e r s ã o e x a t a , o

erro quadrático médio, d e f i n i d o p o r :

l [ f ( t . ) - f*(t )]z

i = l e = ( b . 1 9 )

r

o n d e f ( t ) ê a f u n ç ã o e x a t a i n v e r s a , f * ( t ) Õ a a p r o x i m a ç ã o d e f ( t ) ,

e r e o n u m e r o d e p o n t o s o n d e e s t a s f u n ç õ e s f o r a m c a l c u l a d a s .

B.4.S Escolha dos valores de ct. í

C o n s i d e r a n d o - s e o g r a f i c o [ e " x , l o g x ] , a c u r v a e x

p o n e n c i a l e p r a t i c a m e n t e c o n s t a n t e f o r a d o i n t e r v a l o - 2 < l o g x < l ;

p o r t a n t o , o c e n t r o d a r e g i ã o o n d e a c u r v a n ã o ê c o n s t a n t e ( " c e n ­

t r o d a c u r v a " ) e a p r o x i m a d a m e n t e l o g x = - 0 , 5 . Como o a r g u m e n t o

d a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l n a s e q u a ç õ e s ( b . l ) e ( b . 9 ) s ã o c o m p o s t a s d e

f a t o r e s a . e t , o s v a l o r e s d e a . p o d e m s e r e s c o l h i d o s d e f o r m a

q u e a s f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s s e j a m c e n t r a d a s em a l g u n s p o n t o s d e ­

s e j a d o s n a e s c a l a l o g t 6 . D e s t a f o r m a , como num g r a f i c o

— rv 4*

[ e " , l o g c t t ] o c e n t r o d a c u r v a é d a d o p o r l o g a t = - 0 , 5 , p o ­

d e - s e t r o c a r a v a r i á v e l i n d e p e n d e n t e l o g a t p a r a l o g t . N e s t e c a ­

s o , a p o s i ç ã o d o c e n t r o n o g r a f i c o [ e " a t , l o g t ] s e r ã d a d a p o r

l o g t = - 0 , 5 - l o g a ( b . 2 0 )

E x p e r i ê n c i a s p r é v i a s 3 1 , p e r m i t e m a d m i t i r , em p r i r i

c T p i o , q u e um t e r m o e x p o n e n c i a l l o c a l i z a d o em c a d a década d e l o g t

( o u l o g p ) , n o i n t e r v a l o em q u e a f u n ç ã o v a r i a , e o n ú m e r o m í n i m o

d e t e r m o s a s e r e m u t i l i z a d o s p a r a a o b t e n ç ã o d e uma a p r o x i m a ç ã o

r a z o a v e 1 .

As c o n s i d e r a ç õ e s f e i t a s a c i m a f o r a m t o m a d a s , p o r

b 9

C o s t , como b a s e p a r a t e n t a t i v a s d e s e l e ç ã o d e um c o n j u n t o ó t i m o

d e ou . No g r a f i c o ( b . l . a ) o b s e r v a - s e q u e o i n t e r v a l o o n d e a

f u n ç ã o n ã o 5 c o n s t a n t e p o d e s e r c o n s i d e r a d o como s e n d o

- 2 , 5 « l o g t + 2 , 5 . P o r t a n t o , f o i t o m a d o p a r a a a p r o x i m a ç ã o b á ­

s i c a uma s e r i e c o n t e n d o 6 t e r m o s , o n d e c a d a t e r m o e x p o n e n c i a l f o i

c e n t r a d o n o s v a l o r e s de l o g t i g u a i s a - 2 , 5 , - 1 , 5 , - 0 , 5 , + 0 , 5 ,

+ 1 , 5 , + 2 , 5 . A s s i m , o s c e n t r o s d a s e x p o n e n c i a i s f i c a r a m d i s t a n c i a ­

d o s d e uma década d e l o g t . A u t i l i z a ç ã o d e ( b . 2 0 ) p e r m i t i u a d e ­

t e r m i n a ç ã o d o s v a l o r e s d e ot. ( 1 0 2 , 1 0 1 , 1 0 ° , I O ' 1 , I O " 2 , 1 0 " 3 ) c o r

r e s p o n d e n t e s , r e s p e c t i v a m e n t e , a o s 6 v a l o r e s d e l o g t p r é - f i x a d o s ,

Além d i s s o , C o s t c o n s i d e r o u m a i s 4 c a s o s l i g e i r a m e n t e d i f e r e n t e s

do c o n j u n t o b á s i c o . E s t e s 5 c a s o s p o d e m s e r r e s u m i d o s n a s e x p r e s ­

s õ e s a b a i x o :

C a s o 1

C a s o 2

C a s o 3

C a s o 4

a .

a .

a .

C a s o 5 a .

[ 0 . 3 5 4 ]

[ 0 . 6 3 0 ]

[1 . 0 0 0 ]

[ 2 . 0 0 0 ]

[ 0 . 3 5 4 ]

10

10

( - 3 + i )

( - 3 + i )

1 0 ( - 3 + i )

1 0 ( - 3 + i )

1 0 ( - 3 + i )

= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

( b , 2 1 )

] i = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

As l o c a ç õ e s d o s c e n t r o s de c a d a t e r m o e x p o n e n c i a l ,

p a r a o s c i n c o c a s o s , s ã o m o s t r a d a s n a f i g . ( b . l . b ) .

C o n s i d e r a n d o e s t e s 5 c o n j u n t o s de cu», C o s t o b t e v e

a s i n v e r s õ e s a p r o x i m a d a s t o m a n d o v a l o r e s d a f u n ç ã o t e s t e ( b . 1 7 )

s e m e r r o a d i c i o n a l (k *= 0 ) , a t r a v é s d o m é t o d o d a colocação. Os re_

s u l t a d o s s ã o m o s t r a d o s n a T a b e l a I .

T a b e l a I

E r r o q u a d r á t i c o m é d i o ( e ) n a s t e n t a t i v a s d e

o t i m i z a r o s v a 1 o r e s a . i

C a s o 1 2 3 4 5

e r r o e 0 . 4 6 9 2 1 . 0 2 5 1 0 . 3 4 3 1 0 . 3 8 8 5 0 . 4 4 7 8

P e l a a n á l i s e da T a b e l a I , i s t o ê , f a z e n d o um j u l g a

b l O

m e n t o b a s e a d o n o e r r o q u a d r á t i c o m é d i o , o c a s o 3 r e s u l t o u n a m e ­

l h o r a p r o x i m a ç ã o . E s t e c a s o , c h a m a d o no q u e s e s e g u e d e aproxima­

ção de e termos, f o i o c o n j u n t o e x a m i n a d o com m a i s d e t a l h e s . T r ê s

o u t r o s c o n j u n t o s d e v a l o r e s d e o u , c o n t e n d o 1 1 , 21 e 41 t e r m o s

r e s p e c t i v a m e n t e , f o r a m d e t e r m i n a d o s d e f o r m a q u e , em c a d a c a s o , o s

t e r m o s e x p o n e n c i a i s t i v e s s e m p o r c e n t r o a s a b e i s s a s i n t e r p o l a d a s

a p a r t i r d a a p r o x i m a ç ã o d o s 6 t e r m o s ( f i g . b . 2 6 ) .

6 Termos t < < t f t caso 3 n Termos _t. í J _ _ L _ i _ L J ! i M 21 Tormos . I H M U J M l K l l t M t M 41 Termo»

FIGURA b2 — LOCAÇÃO DOS CENTROS OOS TERMOS EXPONENCIAIS RELATIVO "A APROXIMAÇÃO DE 6 TERMOS

Os v a l o r e s d e cu p a r a o s 4 c a s o s p o d e m s e r r e s u m i ­

d o s n a s e x p r e s s õ e s :

6 t e r m o s :

11 t e r m o s :

21 t e r m o s :

41 t e r m o s :

B. 4. 6 Resultados

Na a p l i c a ç ã o d o s p r o c e s s o s d e i n v e r s ã o , colocação

e multidatay o s s i s t e m a s de e q u a ç õ e s l i n e a r e s r e s u l t a n t e s q u e

p e r m i t e m a d e t e r m i n a ç ã o d o s c o e f i c i e n t e s i n c ó g n i t a s f o r a m r e s o 1 vi_

d o s p o r C o s t 6 , em c o m p u t a d o r , p e l o p r o c e s s o d e e l i m i n a ç ã o d e

G a u s s com p i v o t e a m e n t o c o m p l e t o e p r e c i s ã o d u p l a p a r a a m i n i m i z a ­

ç ã o d o s e r r o s .

D e v i d o a n a t u r e z a c a s u a l em q u e o s e r r o s s ã o i n t r o

d u z i d o s ( b . 1 8 ) , o s a s p e c t o s e s t a t í s t i c o s d o p r o b l e m a s ã o s i g n i f i -

04 . X

= 10 ( - 3 + i ) ( i = 0 , 1 , . . . , 5 )

a . x

l o i - 3 * ! * ( i = 0 , 1 , . . . , 1 0 )

a . i o < - 3 + t > ( i = 0 , 1 , . . . , 2 0 )

a . x 1 0 < ~ 3 + ? > ( i = 0 , 1 , . . . , 4 0 )

b 11

c a t i v o s . D e s t a f o r m a , p a r a s e o b t e r uma a m o s t r a s i g n i f i c a t i v a , em

g e r a l , p a r a um d a d o c o n j u n t o d e p a r â m e t r o s e s t a b e l e c i d o s , C o s t ob_

t e v e d e z d i f e r e n t e s a p r o x i m a ç õ e s . N e s t e c a s o , c a d a s o l u ç ã o d i f e ­

r i a da o u t r a s o m e n t e n a m a n e i r a c a s u a l d e i n t r o d u ç ã o d o s e r r o s .

D e s t a f o r m a , em v e z d e s e c o m p a r a r o s r e s u l t a d o s e x a t o s a t r a v é s

d o e r r o q u a d r á t i c o m é d i o ( b . 1 9 ) r e s u l t a n t e d a a p l i c a ç ã o d o s p r o ­

c e s s o s d a colocação e multidata, n a r e f e r e n c i a 6 c o m p a r o u - s e a m£

d i a d e s t e s e r r o s .

B.4.6.1 Processo da colocação

0 p r o c e s s o d a colocação f o i a p l i c a d o ã f u n ç ã o t e s ­

t e c o n s i d e r a n d o - s e a s 4 a p r o x i m a ç õ e s e s t a b e l e c i d a s , com 6 , 1 1 , 21

e 41 t e r m o s n a s e r i e , e t o m a n d o - s e p a r a k o s v a l o r e s 0 , 1 , 2 e 3%.

Os r e s u l t a d o s o b t i d o s p o r C o s t , s ã o i l u s t r a d o s n a f i g . b . 3 e x t r a í ­

da da r e f e r ê n c i a 6 .

b l 2

B.4.6.2 Processo multiãata

Os c a s o s a n a l i s a d o s em ( B . 4 . 6 . 1 ) t a m b é m f o r a m a n a ­

l i s a d o s p e l o p r o c e s s o multiãata, p o r e m , c o n s i d e r a n d o - s e v á r i o s d i

f e r e n t e s n ú m e r o s d e v a l o r e s d a d o s , com o o b j e t i v o de e s t u d a r « s t e

e f e i t o ,

E m b o r a a s a p r o x i m a ç õ e s em s e r i e e x p o n e n c i a l com 6 ,

1 1 , 21 e 4 1 t e r m o s t e n h a m s i d o e s t u d a d a s c o n s i d e r a n d o - s e k *= 0 , 1 ,

2 e 3% e uma g r a n d e q u a n t i d a d e d e d a d o s , o c o n j u n t o c o m p l e t o d e s ­

t e s r e s u l t a d o s n ã o f o i a p r e s e n t a d o n a r e f e r ê n c i a 6 , s e g u n d o C o s t ,

d e v i d o a l i m i t a ç õ e s de e s p a ç o , m a s o s r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s

( f i g . b . 4 6 ) s ã o t í p i c o s do c o n j u n t o i n t e i r o .

número da dados p f (p )

FIGURA b4 — RESULTADOS DO PROCESSO " MÜLTIDATA" PARA

K = 1 %

Como p e l a o b s e r v a ç ã o d a f i g . b . 4 a a p r o x i m a ç ã o d e 6

t e r m o s f o r n e c e o m e l h o r r e s u l t a d o , i n d e p e n d e n t e d o n ú m e r o d e d a ­

d o s , e s t e c a s o f o i m a i s d e t a l h a d o v a r i a n d o - s e o n ú m e r o d e d a d o s e

a s p o r c e n t a g e n s k , c o n f o r m e m o s t r a a f i g . b . 5 6 .

b ! 3

0.2 -

0 I i i i i ' 0 20 40 60 8 0 100

número de dados

FIGURA b5 — RESULTADOS DO PROCESSO "MULTÍDATA" PARA A APROXIMAÇÃO DE 6

TERMOS

B.4.6.3 Comparação dos processos multidata e colocação

C o s t c o n s i d e r o u n a a p l i c a ç ã o d o p r o c e s s o multidata

a f u n ç ã o t e s t e , em p r i m e i r o l u g a r , c a s o s o n d e o n u m e r o d e d a d o s e

i g u a l a o n ú m e r o d e t e r m o s d a s e r i e a p r o x i m a ç ã o ( c a s o restrito). Is_

t o r e s t r i n g e o p r o c e s s o multidata d e 3 p a r a 2 g r a u s d e l i b e r d a d e ,

p o r t a n t o , com l i m i t a ç õ e s s e m e l h a n t e s a s i n e r e n t e s a o p r o c e s s o d a

colocação. D e p o i s c o n s i d e r o u c a s o s com um g r a n d e n ú m e r o d e d a d o s ,

m a i o r q u e o n ú m e r o d e t e r m o s da s e r i e . Como m o s t r a m a s f i g u r a s

b . 4 e b . 5 , e s t e s c a s o s c o r r e s p o n d e m a o s m e l h o r e s r e s u l t a d o s o b t i ­

d o s p e l o p r o c e s s o multidata ( c a s o i r r e s t r i t o ) .

E s t e s d o i s c a s o s f o r a m c o m p a r a d o s com o p r o c e s s o

da colocação o n d e o s p a r â m e t r o s s ã o v a r i a d o s d e a c o r d o com a f i g .

b . 6 .

b 14

O 10 20 30 40 50 número de termos na série

processo da colocação _o... ..«> processo "multidata" caso restrito —»—°—» processo "multidata", caso irrestrito FIGURA bC - COMPARAÇÃO ENTRE OS PROCESSOS " MULTIDATA" E COLOCAÇÃO

B. 4.7 Cone lusao

A f i g . b . 3 m o s t r a q u e n o p r o c e s s o d a colocação , p a ­

r a o c a s o em q u e n ã o s ã o a d i c i o n a d o s e r r o s n o s v a l o r e s d a d o s

( k = 0 ) , o b t e m - s e m e l h o r i a n a p r e c i s ã o d a s a p r o x i m a ç õ e s q u a n d o s e

a u m e n t a o n u m e r o d e t e r m o s d a s e r i e . P o r é m , s e h a p r e s e n ç a d e e r ­

r o s ( k ^ O ) , a c o n s i d e r a ç ã o d e m a i s t e r m o s n a s é r i e d i m i n u i a p r e c j [

s ã o d a s a p r o x i m a ç õ e s . N o t e - s e q u e n a f i g . b . 3 a s m é d i a s d o s e r r o s

q u a d r á t i c o s m é d i o s e s t ã o em e s c a l a l o g a r í t m i c a .

C o s t a f i r m a q u e a s f l u t u a ç õ e s a n o r m a i s d o s g r á f i ­

c o s s e r i a m e l i m i n a d a s s e f o s s e m i n c l u í d a s m a i s a m o s t r a s .

Os r e s u l t a d o s d o m é t o d o multidata, m o s t r a d o s n a s

f i g u r a s b . 4 e b . 5 , i n d i c a m q u e q u a n d o h á e r r o s n o s d a d o s ( M O ) ,

b l 5

s i g n i f i c a t i v a s m e l h o r i a s n a p r e c i s ã o d a s a p r o x i m a ç õ e s s ã o o b t i d a s

q u a n d o s e a u m e n t a o n u m e r o d e d a d o s . Se n ã o h ã e r r o s p r e s e n t e s ,

n ã o s e o b t é m m e l h o r i a s .

A f i g . b . 6 m o s t r a q u e o c a s o restrito d o p r o c e s s o

multidata f o r n e c e r e s u l t a d o s i g u a i s o u m e l h o r e s q u e o c o r r e s p o n ­

d e n t e c a s o r e s o l v i d o p e l o p r o c e s s o d a colocação.

A f i g . b . 4 m o s t r a q u e a a p r o x i m a ç ã o d e 6 t e r m o s con_

d u z a m e l h o r e s r e s u l t a d o s d o q u e a s a p r o x i m a ç õ e s com m a i o r e s núme_

r o s de t e r m o s , p o r t a n t o , a u t i l i z a ç ã o de um t e r m o p o r década de

l o g t p a r e c e s e r m a i s v a n t a j o s a .

R e s u m i n d o 6 , o e s t u d o f e i t o p o r C o s t p e r m i t e a f i r ­

m a r :

a ) 0 p r o c e s s o d a colocação é s e n s T v e 1 a e r r o s n o s

v a l o r e s d a d o s da f u n ç ã o t r a n s f o r m a d a .

b ) 0 p r o c e s s o multidata d a r e s u l t a d o s , p e l o m e n o s ,

t ã o b o n s q u a n t o o s d o p r o c e s s o d a colocação , mesmo q u a n d o o n u m e ­

r o de p o n t o s d a d o s é i g u a l a o n ú m e r o d e t e r m o s n a s é r i e .

c ) M e l h o r i a s s i g n i f i c a t i v a s n a p r e c i s ã o p o d e m s e r

o b t i d a s com o p r o c e s s o multidata, c o n s i d e r a n d o - s e um n ú m e r o m a i o r

de p o n t o s d a d o s do q u e o n ú m e r o d e t e r m o s n a s é r i e .

d ) Ê m e l h o r u t i l i z a r s o m e n t e um t e r m o p o r década

de l o g t em a m b o s o s p r o c e s s o s , colocação e multidata, p a r a a i n ­

v e r s ã o d e f u n ç õ e s d o t i p o a q u i c o n s i d e r a d a s .

c l

RArOO/.-iTTOO F O H T R A N

** APHNORE C **

PROGRAMA / . PRUCESSC) * M U L T. I O A T A ni-: LA P L A C E

C O M P I L A T I O N M A « K

» UL I N V E R S Ã O üA T R A N S F O R M A D A

OIMFMSIOM T I T U L Ü ( 2 0 ) / I N D P ( 3 0 ) # J S É ; R ( 3 0 )

DOUBLE P R E C I S I O N P T 0 T C 3 0 ) > T W R l T C 3 0 ) / S 0 C 3 0 # 5 ) * P X L C 3 0 / 3 0 / 5 ) , a T B l N V *< 30» 3 0 > * G A ! , , A ( 3 0 ) * B ( 3 0 ' 30 )*BTBÇ 30» 3» > * t3TPXL C 3 0 , 5 > ' S < 3 Ü ' 5 ) ' R P X L ( 30 *» 5 ) . A p X L C 1 0 , 5 5 ' R C 3 0 ' 5 )

1* DADOS GERAIS

R E A O C S ' l ^ ) TITULO

10 FORMATC20 4 4 ) W R I T E ( 6 ' ? 0 ) TITULO

20 F 0 R H A T <1 H 0 » 2 0 A 4 ) W R I T F : ( 6 ' ? ' n

21 FORMATÉ I X , ' P R O C E S S O M U L l I D A T A DE luVtf t&AO DA TRANSFORMADA Ot L A P L A * C ' )

WR T TEC 6 R i ) 2 «S FOR: ! A T C / / / Í l X * ' * * * OAOOS DE ENTRADA * * * • )

R E A D ( S ' 3 0 ) MlJMprO'HPTO r , H T W R I T ' M T E N T 3 0 F O ^ H T U I R )

R ï T E < 6 / A 0 ) M ! J M P T 0 , N P T Û T > M T H R l T ' N T t N I 40 F ' I O H A T Î fftt IX* 'NUMERO f)E PONTOS DA ESTRUTURA PARA I U y E R S A 0 ' M ' / /

* .• 3 X P ' NU ME RO DE VALORES uA VARIÁVEL P * * I 1 / IX / • NlJHEHÜ DE TEMPOS * P A A ï M P P F Ci S A 0 ' /> I 1 7 > / / J» I X , * M U M E R 0 OE TENTATIVAS t J E I ¡jVERS AO * * I i 6 )

' > F A O C S / r) 0 ) ( i1T 0 T ( I ) » I ~ 1 f i -IP T 0 T > 50 FO '^ATC ! hFr,, 2 )

I)!.) 6 3 I = I»MPT0T 6 3 P T ;l T ( ! ) - l O . * * ( ^ T n T ( I ) )

u ^ I T E C 6 > 6 o ) ( P T O T C I ) , I = 1 ' N P T 0 T ) 6 0 Fn-V!AT< tt/> I X ' ' VALORES DE P : • > / / , 1 Ü C 1 X > E 1 0 . 5 ) )

RF AD ( *>, 5 r« ) ( T H R I T C I ) > I » 1 > NTWR I T } 5 5 F0RMATC^F" i0 . /O

!'i P Ï T E ( 6 ' « 0 ) C TWRITC I ) > 1*1 / MTWRIT) BO F n R M A T ( / / / > I X ' ' V A L O R E S DE TEMPO PARA IMPRESSÃO : » ' / / ' 1 X / 1 0 ( 1 X ' F 1 o •

*6 ) ) D 0 i 3 O I - 1 * M U M P T 0 DO 1 3 0 J - 1 ' N P T O T

130 R E A n c 5 ' l « 0 ) ( P X L C I ' J > L ) ' L = 1 ' 5 ) H O FORMATÉ 5 e i r ' , a )

"i R ï T E C 6 ' 1 5 0 ) 150 F 3 R M A T ( / / / > 1 X * ' T E N S Õ E S E D £ S L 0 C A M E w T U S TRANSFORMADOS 5 ' )

DO 160 I*1*MUMPT0 WRITEC^" 1 7 0 ) I

1 70 FORMATÉ/ /* I X ' * P 0 M T 0 NUMERO' ' I 5 ' / / *> 1 X ' T 7 ' 'VALORES DF P ' ' T 2 6 ' ' U X L A PL * ' > T ü 3 , * 0 Y L A p L * , T 5 ^ , ' S I G M A X L A P L ' ' T 6 ' ! S I û M A Y L A P L ' > T S 3 , ' S I G A X Y L A P L ' * > / )

c2

DO í o o j = i , , . p r o Í

\ b 0 v tf I T r ( 6 , t ÍJ ft 1 ,J, P T f 5 T C j ) , ( P A L ( T , J , I.) . L = 1 , S ) 16(5 \ úRM A T t 1 X , ] S • ' * ' , ] X , fr C F i 5 , 8 ) )

C C ? * rfcMATTVA S H h Ir> V K H $ A 0 c

^ I T f £ 6 , 2 5 S ) 2 S b F ORr, A T ( ' 1 1 , / / . 1 x'. 1 * * * ««ESUI.TAPOS / U k T A T T VAS DF I >•> TE R f OL A C A n * * * '

* ) DO i 00 i TT E M * 1 , ^ T E N T

* R I T E ( f t , 2 0 0 ) IT E N T ¿ 0 0 M J R M A T C / / / , 1. X , ' TEWT AT IV A F U M E RO ' » T5 )

? í t " A ü i b . a i o ) i i , J J PIO FOH^AT C ? I S )

'•*•' P T T E ( 6 » 2 2 O ) I I , J J 2? O F O H M A T f / / / , I X . "gilMFRO CF VALORES DF P CONSIDERADOS' , 1 5 , / / , 1 X, ' M ! "

* E R O O E T E P M O S N A 3 F R I E ' , I 1 5 ) R E A D ( 5 , 2 3 0 ) ( I N D P ( I ) , I 5 1 , 1 T ) R E A D ( 5 t 2 3 0 ) ( J S E R C J ) , J » 1 , J J - 1 )

2 3 0 FORMAT ( 1 . 6 1 5 ) W R I T F ( 6 , 2 4 0 ) ( I N D P ( I ) , l s l , I I )

2 4 o FORMAT ( / , ) . X , ' I N D I C E S DOS I I VALORES DE P * » , 6 X , 1 h CI 5 ) ) >i R I T E ( h , ?. n 1)

2 / í l FORHATClX, »CALCULO DE E ' I * E ( P I ) « ) W H I T E ( 6 , 2 5 0 ) ( J 3 E R C J ) , J = 1 , J J - 1 )

2 5 0 FORE-Al C / , I X , • INDICES 0 0 6 J J - 1 VALORES DE P í » , 6 X , 1 6 ( I S ) ) H I T E ( 6 , 2 b 1 ) '

2 5 1 F0RMATÍ1X, »CALCULU DE GAMAJ ' ) C C 3 * MONTAGEM OA tf E .INVERSÃO OA HTH C

UÜ 3ufl 1 = 1 , I I o o 3 0 O J S 3 , J J I F { J - i 3 3 0 0 2 * 3 0 0 3 * 3 0 0 2

30 0 3 B ( I , J ) s 1 . fi ü T O 3 O O

3 0 0 2 G - ^ A Í j ) a i f / P T O T ( J S E R ( J - t ) ) h C I , J ) a i „ / ( 1 , + P ! O T ( I N D F C I ) ) * G A M ( J ) )

' 3 0 0 CONTINUE DO 3 1 0 1 = 1 . J J í) Ü 3 I O J ~ i , J J 9 T B ( I , J ) ~ 0 . O O 11 O * = i , 11

3 I O H T R ( I , J ) = t í T H ( I , J ) + H < X , I ) * tf(K , J ) CALL IN V E R T ( J J , H T 8 , HT tí I N v )

C C O* AJUSTE NO PLANO DF L A F L A c E / CAt.ri.-LO DCS C D E F I C I E N T E S SJ C

W R I T E ( 6 , 0 0 0 ) aOO F ORMAT ( / / / , } X, 1 A JUSTE NO PLANO DE l. A P L. A C E ' )

D ü 10 0 2 K í P T = \ i N U M P T O v - 'RITE(ò , 1 0 0 3 ) N P T

IOí-3 FORMAT C / / / , t X, 1 PONTO N U r>' E R O 1 , 11 Ü ) D ü 1 ft O 4 L = t > 5 O ü 5 \ O J = 1 , J J B T P X K J . l ) = 0 . Dü 5 1 0 1 = i , I r

M O ÍUPXLC J f l . ) = f 3 T p X L ( J » L ) + f . ' C I . s J ) * P V L í *PT , TN.-OP ( I ) > L ) DO 5 2 0 I = 1 , J J S ( I , L ) = :.-.

c 3

0 0 5 ? o J = l , J J 5 2 0 S C I , i . ) = S C I , L ) • 9 T R I N V C I , J ) * j T P X L C j , L )

DO 5 5 0 1 = 1 * 1 1 R^XLC I ' D = S( 1 , L ) 0 0 5 5 0 J = 2 ' J J

5 5 0 RPXLÍ I ^ D a R P X L Í I » L ) + SC J > L ) / C l . + P T Q T C Ii | i)PC I ) )*ÜAMAC j > ) DO *»60 I " 1 * 11

5 6 0 APXLC I ' D « P X L C N P T ' I !jQP< I ) , L ) " R P X L ( I > L > C C 5 * CALCULO DOS üESLOCAMENTOS E TENSÕES REAIS C

00 6 1 0 I T a l / N T W R I T R C I T , L. ) = S C 1 , L ) 0 0 6 1 0 J = ? ' j J

6 1 0 R ( l T , L > a R < I T * L ) + S < J > L > * < 1 i - O E X P C - T N r t l T < I T ) / G A M A < J > > ) 1 0 0 " CONTINUE

C C 6 * IMPRESSÕES DAS O I F E R E N C A S DE AJUSTE. NO PLANO TRANSFORMADO C E DAS SOLUÇÕES REAIS C

W R I T E C 6 ' 5 . 3 0 ) 5 3 0 FORMATC// ' I X , ' C O E F I C I E N T E S S ( E C P I ) = SÜít-S J * C 1 / 1+ P I *G A M A J ) )

* : % / / , 1 X > ' I N D I N E DE S ' > T l a , ' U X L A P L ' , * T 3 3 » ' U Y L A P L ' , T A 8 , *S lG f 1AXLAPL' , T 6 3 , 'SIGMAYLAPL * / T 7 8 , 'SIGMAXYLAPL ' )

DO 5 ^ 5 J = 1 , J J 5 3 5 WRITEC 6 ^ 5 4 0 ) ( j - 1 > ( S C J , L ) , L 3 1 * r>) > 5 4 0 FORMATC 1 5 , 1 0 X > 5 C E l 5 . «5? )

W R T T F C 6 * 7 O O ) 7 0 0 F O R M A T C / / / * I X » ' C O N T R O L E 0 0 AJUSTE / D IFERENCA<INTERPQLAü0-O M)0) * ,

* / / , U » T ? > ' V A L O R E S OE P ' , T 2 ó , * U X L A P L ' , 'f 4 1 , • U Y L A P L ' , T 3 4 , ' S I G M À X L A P L ' * , T nq , • s I G H A Y L APL » ' T 3 3 * ' 3 I G MA X YL APL ' )

0 0 7 1 0 1 = 1 , I I ?1 n WR ITTC 6 J » 7 ; > 0 ) I ' PTOT C T NDP C I ) ) ' ( APXL < I > L ) ' L=¡ 1 ' 5 > 7 2 0 F O R -í A T C 1 X , I 3 j, • * % 1 x , 6 C E 1 5 . 3 ) )

H R I T F ( ó 7 .10 ) 7 3 0 F O R M A T O / / / ' I X ' ' D E S L O C A M E N T O S E TENSÕES REA I 5 ' ' / / ' T 4 ' ' VAL0RES OE T '

* , T 2 5 * " J X R £ A L ' > T 41 > ' U Y R E A L ' ' T 5 4 •• ' S I tiM A X R £ AL ' ' T 6 a ' ' S I ÜM A Y R E A L ' ' T 3 3 , ' *SIGMAXYREAL ' )

DO 7 ? 5 I = 1 ' N T W R I T 7 2 5 W R T T E C 6 ' 7 3 5 ) I , T I T C I ) ' ( R C I * L ) ' L= 1> ->) 7 35 F 0 R ! 1 A T C lX.. I 3 , * * ' , Í X ' 6C El 8 ) )

1 0 0 2 CONTINUE 100 1 CONTINUE

CALL EXIT ENT

c 4

SU W R I T IMF INVERTÍ M' A ' T ) fil ^ ' ' S r i N \< 3 0 , J 0 ) # û ( 3 0 * 3 0 ) # C < : j 0 , 3'J) • AA( 3 0 , J 0 ) DQ'JMLE p ; > F C l S Ï Û ; i A , y * A A / C

G C c C M ss H R o F ' 1 OA MATRIZ A C

DO 10/10 1 = 1/.M 0 0 10/(0 J » 1 , N I C ( I - J ) 1 0 4 1 , 1 0 4 2 * 1 0 4 1

1 0 4 2 S O , J > - l ' . GO TO 1 0 4 0

i 0 4 1 3 ( I , . J ) = 0 . 1 0 4 0 CONTINUE

C GUARDAR A P / CALC 0 0 RESlOUO C D DO 3 0 00 I s 1 ,N 00 3 0 0 0 J a l > N

3 0 0 0 A A C I . J ) 3 AC I , J ) C C CALCULO DA MATRIZ INVERSA C FORWARD REDUCTION C C OIVIOE EACH EQUATION 3 ? ACK'K) C

DO 10 K = 1 , N K 1 - K + 1 DO 20 00 L - 1 , N

? 0 0 0 3 C K , L ) ~ t U K / L ) / A C K * K ) C C CHECK FOR LAST EQUATION C

I F C K . E O ' N ) GO TO 100 -C C f D 3 M A C < » J ) / A C K * K ) C

0 0 ? 0 J = '< 1 / N I r C A C K , J ) . E 0 . 0 . ) Go TÛ 2 0 A(< , J ) = \ C * > J ) / A ( « , DO ? O I - K 1 , N A C I f J ) = A C I , J ) - A C I » K ) * A C K , J >

30 CONTINUE

C MOO IF Y 3C.J#L) C

0 0 2 0 0 1 L = 1 > N 20 01 M ( J » L ) = B C J , L ) " A C J J> K ) * 3 C -s * L )

20 CONTINUE 10 CONTINUE

e C » A C K SUBSTITUTION C

i 00 Kl='< K s / - 1 i F C K . E O . ; ) ) GO TO 2 0 0 DO 4 0 J * K 1 , N DO 2 0 0 2 L=»1,N

? 0 0 2 Í3 C < , L ) = ^ C K > L ) - A ( K J ) * M C J , L ) 40 CONTINUE

c 5

í.U ïrî ) .ja g o o c ü w T i í v i . r

!)t¡ b<)l) I = ] , N DO 5 0 0 J * t » N C CI ; O ) s ti f

D ü b 0 0 K a 1 ,N

'1Û0 CONTINUE WR T Tf ( h , O í £C ( I f J ) # J » 1 » N ) * I « 1 # ''O

b o i F0RHAÎ ( • 1 • . / / • MATRI2 I N:ÍDAfU r /CDMT«Olt DA î N V F R 8 A O DA MATRIZ H T 1.1 '

RETURN E N D

MANUAL DE USO - DADOS DE ENTRADA

c 6

PROCESSO MULTIDATA DE INVERSÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

E s t e p r o g r a m a p e r m i t e q u e s e f a ç a d i v e r s a s t e n

t a t i v a s d e i n v e r s ã o num só* p r o c e s s a m e n t o .

C a d a g r u p o d e c a r t õ e s , r e l a c i o n a d o s a b a i x o , r e

f e r e - s e a um c o m a n d o READ do p r o g r a m a .

I - Dados Gerais

G r u p o 1

- v a r i á v e l : T I T U L 0 - t í t u l o d o p r o b l e m a

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 20 A4

G r u p o 2

- v a r i á v e i s : NUMPT0 - n ú m e r o de p o n t o s d a e s t r u t u r a o n d e s e f a ­

r ã o a s i n v e r s õ e s d a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s ( s e m l i_

mi t e m á x i m o ) .

NPT0T - n ú m e r o t o t a l d e v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s ­

f o r m a d a p ( P T 0 T ) q u e s e r ã o c o n s i d e r a d o s n a s d i v e r s a s

t e n t a t i v a s d e i n v e r s ã o ( m á x i m o i g u a l a 3 0 ) .

NTWRIT - n ú m e r o d e v a l o r e s d a v a r i á v e l t e m p o t

(TWRIT) em q u e s e d e s e j a o b t e r a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r _

m a d a s i n v e r s a s ( m á x i m o i g u a l a 3 0 ) .

NTENT - n ú m e r o d e t e n t a t i v a s d e i n v e r s ã o d a s s o l u ­

ç õ e s t r a n s f o r m a d a s ( s e m l i m i t e m á x i m o ) .

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 4 15

c 7

G r u p o 3

» v a r i á v e l : PT0T ( I ) , 1 = 1 , NPT0T - v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s f o r ­

mada p em q u e s e r ã o c o n s i d e r a d o s o s v a l o r e s d a s s o 1 u_

ç õ e s t r a n s f o r m a d a s . A e n t r a d a 5 f e i t a em l o g p p a r a

m a i o r f a c i 1 i d a d e .

- n u m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e NPT0T

- f o r m a t o : 16 F 5 . 2

G r u p o 4

- v a r i á v e l : TWRIT ( I ) , 1 = 1 , NTWRIT - v a l o r e s d a v a r i á v e l t e m p o t

em q u e s e d e s e j a o b t e r a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s i n ­

v e r s a s , o u s e j a , p a r a a i m p r e s s ã o d a s s o l u ç õ e s r e a i s .

- n u m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e NTWRIT

- f o r m a t o : 8 E 1 0 . 4

G r u p o 5

- v a r i á v e l : PXL ( I , J , L ) , 1 = 1 , NUMPT0; J = l , N P T 0 T ; L=l , 5 - v a l o ­

r e s d a s s o l u ç õ e s t r a n s f o r m a d a s n o s NUMPT0 p o n t o s d a

e s t r u t u r a e r e f e r e n t e s a o s NPTÇJT v a l o r e s d a v a r i á v e l

t r a n s f o r m a d a p ( P T 0 T ) .

PXL ( I , J , 1 ) = u x ( p ) .

PXL ( 1 , 0 , 2 ) = u y ( p )

PXL ( 1 , 0 , 3 ) = 5 x ( p )

PXL ( 1 , 0 , 4 ) = 5 y ( p )

PXL ( 1 , 0 , 5 ) = T x y ( p )

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : NUMPT0 x NPT0T

- f o r m a t o : 5 E 1 5 . 8

- l e i t u r a p o r c a r t ã o : {PXL ( 1 , 0 , 1 ) , PXL ( 1 , 0 , 2 ) , PXL ( 1 , 0 , 3 ) ,

PXL ( 1 , 0 , 4 ) , PXL ( 1 , 0 , 5 ) }

c 8

I I - Dados referentes às tentativas de inversão

G r u p o 6

- v a r i á v e l : 11 - n u m e r o d e v a l o r e s d e p ^ f ( p ^ )

J J - n ú m e r o d e t e r m o s n a s e r i e a p r o x i m a ç ã o , i n c l u i n ­

do a c o n s t a n t e S Q .

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 2 15

G r u p o 7

- v a r i á v e l : INDP ( I ) , 1 = 1 , I I

C o n s i d e r a n d o a o r d e m em q u e o s v a 1 o r e s d e PT0T f o r a m

d a d o s , o s í n d i c e s INDP ( I ) d e t e r m i nam o s v a i o r e s d e

PT0T ( I ) a s e r e m c o n s i d e r a d o s numa t e n t a t i v a d e i n ­

v e r s ã o , p a r a o c a l c u l o d e p . - f ( p . . ) •

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e I I

- f o r m a t o : 16 15

G r u p o 8

- v a r i á v e l : J S E R ( J ) , J = l , J J - 1

Cons i d e r a n d o a o r d e m em q u e o s v a i o r e s d e PT0T f o r a m

d a d o s , o s í n d i c e s J S E R ( J ) d e t e r m i nam o s v a i o r e s d e

PT0T ( I ) a s e r e m c o n s i d e r a d o s numa t e n t a t i v a d e i n ve_r

s ã o , p a r a o c á l c u l o d e T j ( Y j = 1 / P j ) •

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e J J

- f o r m a t o : 16 I 5

O h s e r v a ç õ e s :

- R e p e t i r o s c a r t õ e s d o s g r u p o s 6 , 7 e 8 p a r a c a d a

t e n t a t i v a a s e r f e i t a .

c9

- I m p r i m e - s e s o b o t T t u l o "MATRIZ UNIDADE/CÇfNTRJfiLE

DA INVERSA0 DA MATRIZ BTB" o r e s u l t a d o d o p r o d u t o B T B x ( B T B ) " ' .

C o n s i d e r a - s e q u e uma i n v e r s ã o f o i s a t i s f a t ó r i a q u a n d o e s t e p r o d u _

t o f o r m u i t o p r ó x i m o da m a t r i z u n i d a d e ( v e j a o e x e m p l o n a s p a g i ­

n a s s e g u i n t e s ) .

- As d e m a i s i m p r e s s õ e s f e i t a s p e l o p r o g r a m a p o d e m

s e r e n t e n d i d a s p e l a l e i t u r a d o s t í t u l o s e c o m e n t á r i o s .

CILINDRO VISCüf. L A S T R O CCK FEFDECC EXTERNO / IT E. (••' 5 . 3 - F I & » 1 7

PROCESSO F U L T I D A T /-. DE iRVfhSAG CA TRANSFORMADA DE L A PLACE

* * * DADOS DE E 1) M * * *

NUMERO DE FOr-T OS i. A ESTRUTURA PANA I h V t R S A O 5

NUMERO DE VAL D RES DA VARIÁVEL P IO

NUMERO DE TEMP n s F ARA IMPRESSÃO 7

NUMERO DE TEET ATI V AS DE INVERSÃO 1 4

VALORES CE F '

• Í O O O O E - O l . 3 1 6 2 3 E - 0 1 .10COOE+OC « 3 1 6 2 - E + C 0 . I C O O ü f + Ô l . 3 1 6 2 3 E + C 1 .1GOGOF+02 « 3 1 6 2 3 E + 0 2 . l O O O C E + 0 3 • Í O O O O E + I 3

VALORES CE T r ^ P O PARA IMPRESSÃO l

0 . 0 0 0 0 0 0 0 , 1 0 0 0 0 0 0 , 5 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 3 , 0 0 0 0 0 0 5 . 0 0 0 0 0 0 I t .COOOOO

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* * APÊNDICE D * * •

PROGRAMA / CALCÜL.Ü Oü MODULO QE C L A S T IC IO AO ti PARA Q PROBLEMA ELÁSTICO ASSOCIADO

001)RLE P R E C I S I O N T ( 30 ) > Y J C 30 ) > B( 3 0 ' 30 ) > y j A ( 30 > > Y JDC 30 ) DiMEMSl JN T I T U L O C 2 o ) , J S E R ( 3 0 ) CüMMHN H T d ( 3 0 » 3 0 ) » B T Y - J ( < 0 ) , J J COMNníVELFlN/ELAPLC 3 0 ' 5 ) QOURLE P R r C l S I O N BJ3P DTY J» E L A P L / P ( 30 ) , GAMAC 30 ) / SG> JY ( 30 ) IM T E G E R CQDE

1 * 0 A DOS GERAIS

RE AO ( 5 * 1 0 ) TITULO

10 F.f)R>-'AT( ,>0A'4)

W R I T Ê C ^ Z O ) TITULO

? O F o 9 M A T - 1 H O j> 2 O A 'í ) W R I T E Í 6 ' ^ ' 0 )

' 3 0 F O ? ^ A T C / / / j . 1X, • * + * DADOS OE ENTRADA * + * ' ) R E A f ) ( f j 4 O ) í|UHMAT> ÍJPWRIT

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3 5 0 C O N T I N U E

R E A 0 ( 5 ' 3 6 0 ) ( Y U C I ) , I = 1 , 1 1 )

3 6 0 F O R M A T f ^ r 1 0 . 6 ) 3 6 5 HRITEC 6 , 3 7 0 ) ( T ( I ) , Y J ( I ) , I = 1 , 1 1 ) 3 70 E O P M A T C / / C l X , f * i 0 . 3 , 1 0 X , f 1 0 . 3 ) ) .

C C ? * AJUSTE DE Y î Y I = S 0 + S J C Í - E X R Í - T l / ^ A M A J ) C CALCULO DOS C O E F I C I E N T E S S J C

0 0 4 ? 0 1 = 1 ' I I 00 4 ? o J = 1 , J J I F ( J - I ) 4 3 0 , 4 4 0 ' 4 3 0

ft A 0 3 < I » J ) = 1 . G O T 0 ü "¿ O

4 3 0 G A M A ( U ) = T ( U S E R ( U " 1 ) ) • U I , J ) a l . - O E X P C - T Í I ) / G A N A ( U ) )

4 20 CONTINUE DO / < o I = 1 ' J J D O lí 6 O J - 1 > U U R T B ( I , J ) - O . DO 4 6 0 K = 1 ' I I

4 6 0 HT?îf I , U ) = pf K, I ) * 9 ( K * J ) * B T 0 ( I , J ) 0 0 4 « n U = 1 , J J S T Y J < J ) = A . DO 4 9 0 1 - 1 * 1 1

P T Y J ( J ) = R C I , J ) * Y U £ I ) ¡> T Y J C U ) 4 9 0 CONTINUE

CALL GAUSS C C CALCULO DO DESVIO NOS VAL D R LS OL Y û A j u S C

I F < C 0 D E " ? ) í : ; i 5 , 5 1 ô ' 5 l 6 5 1 5 w p T T F C r> > ? 0 ) 5 2 0 F O ^ ' M T C / . / / , 1 X, ' CONTROLE ÜQ A J US T E ' ' / / , 1 X, * TE M PO * , 1 2 X , ' Y - D A DÛ » , 9 X , *

* Y - A J i ! S T A D 0 ' , 5 X , ' f) I F E R E N C A • ) GO TO 5 2 6

5 1 6 W R T T F C 6 , 5 ? 5 ) 5 2 5 F O » ' H T ( / / / , 1 X , ' C O N T R O L E DO A J U S T E ' ' / / 1 X , • T E M P 0 ' , 1 2 X , * J DADÛ*9X,*

* J A J 1 1S T A 0 0 ' , f> X , ' D I F E R E N CA*) 5 2 6 COMTlNi.iE

DO ^ 3 0 1 = 1 ' I I Y U A ( I ) = ti T Y U ( 1 ) 00 5 3 0 J = 2 , J J

^ 1 î Y J /. í 1 ) î? Y J A ( 1 ) + 0 T Y J £ J > * ( 1 y " D E X p Ç " f ( î ) / G A N /\ C J ) ) )

5 3 0 c 0 M T I 'V' < E 0 0 S'lO 1 = 1*11

5 4 0 Y . n ( T ) - -YJ( I ) - Y J A ( I ) 1 1R 1 TEC 6 •* 5 5 0 ) C T ( I ) , Y J C I ) » Y J AC I ) , Y J u ( 1 ) , I = 1 , n )

5 5 0 FORMATC'C 1 X , E 1 2 . 6 > 3 X , E 1 2 . 6 , 3 X , E 1 2 . & > 3 X > E 1 2 . o ) ) c C 3 * CALCULI) DOS I I MODULUS QE ELAST* 1 H ANSFORMADUS i C E L A P L ~ R * Y L A P L = S O + S j / < 1 + G A M A J * P > C

I''RITEC ^ . S ' S O ) 5 6 0 FO»'<ATC tiff IX * ' MODULOS [)E ELAST I c IOADfc, TR A N S F Q K M A O O S ' *

* 2 K » ' L 0 G P » , 6 X , ' E TRAUSFORMADQ*' / ) 0 0 57Q 1 = 1 , NP ^ R I T . E L A P L < I > M ) - B T Y U ( D DO 5 7 0 J = ? > N P W R I T

67 1 ELAF'K I>M) = ELAPL( I , M ) + 8 T Y J C J ) / ( l . + 1 0 . * * P ( I ) * G A H A ( J ) ) 5 7 0 CONTINUE

C c S E nA no j ; P * Y L A P L * I / P * J L A P L c

l F ( C n 0 C - 2 ) 5 8 0 * 5 9 0 , 5 9 0 5 9 0 DO 5 9 5 1=1>UPWRIT

f L AP = E L A P L C I , M ) 5 9 5 E L A P L C I ' M ) = 1 . / E L A P 5 8 0 CONTINUE

C W P I T F C 6 * 6 0 0 ) C R C I ) » E L A p L C 1 , l1) ' I = 1 ' 1" P P i T )

6 0 0 F 0-M A T C 1X , F 7 , 3 , 5X , E 1 ^ • 8 ) 1 0 0 0 CONTInUE

CALL EXIT F '! r-

d 4

SUri p OUT ï NF. GAUSS COM MO M A í 3 O t3 0 ) , R ( ? O ) * N oniiOLF. P R F C I S I O N A,t3 DlíWftLE P R E C I S I O N A A ( 3 0 , 3 0 ) # Ü B ( 3 0 ) # C C J U ) * R E S C 3 0 )

C C N = Of-nru C MAX» 3D) c c, ij A R D A R A L: M P/ c ALC • ou R C s i o u n " c

no i n « o i a W M nn 1 Ò/|A J a l , H m u i >••»< ï )

104 0 A A( J » J ) a A ( i > J ) DP 10 K = 1 , N K1=K+1 R ( K ) = n ( K ) / A ( K * Y ) I F ( K . E - J . w ) GO TQ 100 DO ? 0 J = ><"i»N I F ( A ( K > J ) » E 0 . 0 • ) GQ TO 20 A ( K , J ) = A ( K . J ) / A C K > K > DO 3« Î S K 1 > N •Aí I , J ) = A( I , J ) - A ( I » K ) * A ( K / J )

30 CONTINUE R( J ) = H( J ) - - A ( J , K ) * B ( K )

? 0 CO M T I M U E 10 CONTINUE ,

1 0 0 Kl«K K = K ••» 1 Î F ( K * E ^ . O ) GO TÛ 2 0 0 0 fi /i 0 J - K 1 , M

p ( K ) = B ( K ) ** A ( K y J ) P' CU) 4 0 CONTINUE

GO r n 1 0 0 2 0 0 WRÏ TF< 6 , 5 0 0 0 X OC K ) ,K = 1 »N)

5 0 0 0 F Ci RM A T î / / , 1 X* ' C Q E F I C I ENTES S • , / / , 6 t E 1 2 . ó , 2% ) )

on ? s o I = i.»N C ( I ) - 0 • on ? s o u = i * N

2 5 0 C(? ) = C C I ) + A A ( I , J ) * 0 ( J ) DO 2 1 0 1-1*N

2 1 0 R E S ( I ) = C ( I ) - B B ( I ) W R I T F ( Ó , 2 ? 0 ) ( R E S C I ) * 1 = 1 'M)

2 2 0 F C p ; ' A T ( / / / * I X , ' CONTROLE D A R£SOLUC A Û Dû S I STEM A * , / / * ó ( E 1 2 . û , 2X ) * )

RETURN E N 0

MANUAL DE USO - DADOS DE ENTRADA

ci5

CÁLCULO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE PARA O PROBLEMA

ELÁSTICO ASSOCIADO

C a d a g r u p o de c a r t õ e s r e l a c i o n a d o s a b a i x o r e

f e r e - s e a um c o m a n d o READ do p r o g r a m a .

I - Dados gerais

G r u p o 1

- v a r i á v e l : TTTUL0 - t í t u l o do p r o b l e m a

- n u m e r o d e c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 20 A4

G r u p o 2

- v a r i á v e l : NUMMAT - n ú m e r o d e m a t e r i a i s c o n s i d e r a d o s

NPWRIT - n u m e r o d e v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s f o r m a d a

p em q u e s e d e s e j a o b t e r o s m ó d u l o s d e e l a s t i c i d a d e

p a r a o p r o b l e m a e l á s t i c o a s s o c i a d o .

- n u m e r o d e c a r t õ e s : 1

•- f o r m a t o : 2 15

G r u p o 3

- v a r i á v e i s : I I - n ú m e r o d e v a l o r e s do m o d u l o d e r e l a x a ç ã o Y ( t ^ )

c o n s i d e r a d o s .

J J - n ú m e r o d e t e r m o s n a s é r i e a p r o x i m a ç ã o , i n c l u i n

do a c o n s t a n t e S Q .

- n ú m e r o de c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 2 15

d6

G r u p o 4

- v a r i á v e l ; T ( I ) , 1 = 1 , I I - v a l o r e s da v a r i á v e l t e m p o t o n d e s e ­

r ã o c o n s i d e r a d o s o s v a l o r e s d o m o d u l o d e r e l a x a ç ã o .

- n u m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e I I

- f o r m a t o : 8 E 1 0 . 5

G r u p o 5

- v a r i á v e l : JSER ( J ) , J = l , J J - 1

C o n s i d e r a n d o a o r d e m em q u e o s v a l o r e s d e T ( I ) f o r a m

d a d o s , o s í n d i c e s J S E R ( J ) d e t e r m i n a m o s v a l o r e s d e

T ( I ) a s e r e m c o n s i d e r a d o s , p a r a o c a l c u l o d e Y j

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e J J

- f o r m a t o : 16 15

G r u p o 6

•- v a r i á v e l : P . ( I ) , 1 = 1 , NPWRIT - v a l o r e s d a v a r i á v e l t r a n s f o r m a d a

p em q u e s e d e s e j a o b t e r o s m ó d u l o s d e e l a s t i c i d a d e

p a r a o p r o b l e m a e l á s t i c o a s s o c i a d o . A e n t r a d a é f e i _

t a em l o g p p a r a m a i o r f a c i l i d a d e .

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e NPWRIT

-• f o r m a t o : 16 F 5 . 1

G r u p o 7

- v a r i á v e l : C0DE - c ó d i g o p a r a d i f e r e n c i a ç ã o :

C0DE = 1 : e d a d a a c u r v a e x p e r i m e n t a l d e r e l a x a ç ã o

p o r p o n t o s .

C0DE = 2 : e d a d a a c u r v a e x p e r i m e n t a l d e f l u ê n c i a

p o r p o n t o s .

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : 1

- f o r m a t o : 15

d 7

I I - Dados referentes a cada material

G r u p o 8

- v a r i á v e l : Y J ( I ) , 1 = 1 , I I - v a l o r e s d o s m ó d u l o s d e r e l a x a ç ã o r e

f e r e n t e s a o s I I v a l o r e s d a v a r i á v e l t e m p o T ( I ) .

- n ú m e r o d e c a r t õ e s : d e p e n d e d e I I

- f o r m a t o : 8 F I O . 6

O b s e r v a ç õ e s :

- R e p e t i r o s c a r t õ e s d o g r u p o 8 p a r a c a d a m a t e r i a l

c o n s i d e r a d o .

- I m p r i m e - s e s o b o t T t u l o "C0NTROLE DA RES0LUÇA0 0 0

SISTEMA" o r e s u l t a d o d a e x p r e s s ã o m a t r i c i a l B T B S - B T Y . C o n s i ­

d e r a - s e q u e a r e s o l u ç ã o d o s i s t e m a f o i s a t i s f a t ó r i a q u a n d o o r e ­

s u l t a d o d e s t a e x p r e s s ã o f o r m u i t o p r ó x i m o d a m a t r i z c o l u n a n u l a .

( V e j a o e x e m p l o n a s p a g i n a s s e g u i n t e s ) .

- As d e m a i s i m p r e s s õ e s f e i t a s p e l o p r o g r a m a p o d e m

s e r e n t e n d i d a s p e l a l e i t u r a d o s t í t u l o s e c o m e n t á r i o s .

d 8 -

UJ

O O o

+ Ul cv

o CM O + Ul O O o

o

cv

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o + UJ

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a.

U' a cr. _J

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cv i

in (V

I

d 9

* * * RESULTADOS +

•** MATERIAL Ni I ME Rn i + * *

04-00 } CURVA DE RELAXAÇÃO EXPERIMENTAL PUN PONTOS

T F M P O VALORES OE Y

0 . 0 3 ? 0 . 1 0 0 0 . 3 1 6 1 . 0 0 ^ 3 . 1 6 ?

1 0 . 0 0 0 3 1 . 6 ? ?

1 0 0 . o o o 3 l $ . ? ? 0

2 0 0 0 0 0 . 1 9 t ) 0 0 0 , 19 3 0 0 0 . 1 8 1 0 0 0 . 15 3 0 0 0 . 1 2 4 0 0 0 . 1 1 3 0 0 0 . 1 0 6 0 0 0 . 1 0 6 0 0 0 .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 O o o 0 0 0 o o o 0 00 o o o o o o

C n F F Ï C I E N T F S .S

. ? 0 0 7 0 2 E * - 0 6 .7Í5Í32 3 1 E + 0 3 " . 3 t J 'i 5 3E + 0 5 - • 2 3 4 4 3 2 E + 0 5 , 3 o 7 7 2 t f E * Ü 4

C O N T R O L E DA R E S O L U Ç Ã O on S I S T E M A

. 6 9 3 3 6 9 E - 1 7 » Ó 9 3 3 9 9 E " 1 ? . 2 ò 0 2 0 y E * 1 7

C O N T R O L E DO A J U S T E

T F M P O

« 3 1 6 ^ 2 0 E ~ 0 1 .1OOOOOE+00 . 3 1 6 2 2 0 E + 0 0 .1OOOOOE+01 . 3 1 6 2 2 0 F + 0 1 • lOOOOOF+02 . 3 l 6 ? ? 0 E + 0 2 . 1 0 0 0 0 0 E + 0 3 . 3 1 6 ? 2 O E + O 3

Y-OADQ

. 2 0 0 0 Ü O E + 0 6

. 1 9 O 0 0 0 E + 0 6

. 1 9 3 0 0 0 E + 0 6

. 1 9 1 0 0 0 E + 0 4

. 1 5 3 0 0 0 E + 0 6

. 1 2 4 0 0 0 E + Ü 6 • 1 1 3 0 0 0 E + 0 6 . 1 0 6 0 0 0 E + 0 6 . 1 0 6 0 0 0 E + Û 6

Y - A J U S T A U U

2 O 0 0 1 6 E + 0 Ó 1 9 6 5 3 5 E + 0 6 19 3.920E + J 6 l o O ó ^ O E + 0 6 1 5 2 5 2 7 E + Ü 6 1 2 4 3 9 4 E + 0 Ó 1 1 3 0 0 2 E + 0 6 1 0 5 9 0 0 E + 0 6 1 0 6 0 2 3 E + 0 6

DIFERENÇA

. 1 5 Q 6 1 6 E + 0 Í

. 4 6 4 9 4 H E + Û3 ' . 9 2 0 2 4 4E + 0 3 . 3 3 0 1 6 6 E + 0 3 . 4 7 2 a 1 9 E + O 3 . 3 9 4 4 0 3 E + 0 3 . 1 3 3 6 0 4 E + 01 . 9 2 0 7 6 1 L + 02

' . 2 7 6 5 8 5 E + 0 2

MOOULOS DC ELASTICIDADE TRANSFORMA005

d l O

LOG a Z TRANSFORMADO

- * . 0 0 0 . 1 0 7 3 7 0 3 O E + 0 6 - í > , 5 0 0 . 10-Í/482Í54E + 06 » 2 , 0 ( 1 0 . 1 1 2 7 1 7 1 1E + 06 - 1 . 5 0 0 . 1 2 2 7 9 7 1 2 E + 0 6 - 1 . 0 0 0 . 1 3 9 7 2 3 1 R E + 0 6 - 0 , 5 0 0 . 1 6 2 3 2 6 1 4 E + 06

0 . 0 0 0 « 1 H 2 8 1 0 4 6 E + 0 6 0 , 5 0 0 • 1 9 4 1 3 4 2 7 E + 0 6 1 . 0 0 0 . l 9 ; i 5 4 6 S ó E + 06 1 . 5 0 0 . 2 0 0 0 1 6 2 3 E + 0 Ó 2 . 0 0 0 . 20Q4 fM7>3E + 06

* * * MATERIAL NUMERO 2 * * *

DAOQ * CURVA OE R E L A X A C A Q E - < Û E R Mt-NTAL POR PONTOS

T F M P O VALOR1-S OE Y

0 . 0 3 ? 1 5 O ü O O . O O O 0 . 1 0 0 1 4 9 0 0 0 , 00 O O » 3 1 6 1 4 6 0 0 0 . 0 0 0 1 . 0 0 0 • 1 3 2 0 0 0 , 0 0 0 3 . 1 6 2 1 1 1 0 0 0 . 0 0 0

1 0 * 0 0 0 9 0 0 0 0 . 0 0 0 3 t . 6 2 2 3 4 0 0 0 . 0 0 0

10 0 . 0 0 0 3 3 0 0 0 . 0 O O 3 1 6 . 2 2 0 8 3 0 0 0 . 0 0 0

C O F F ï C I E N T E S S

• 1 5 1 2 -s l F + O 6 1 3 6 5 Ó 1 E + 04 - . 6 Q - - > 2 7 û E + 0 5 - • 7 2 9 3 2 9 E + 04 . 2 2 1 7 1 4 E + O 4

C O N T R O L E DA R E S O L U Ç Ã O DO S r S T E M A

. 6 9 3 C 3 9 E - i 7 0 . • 7 r i 0 6 2 6 E " , l 7 , 4 3 3 6 8 1 E " 1 7

C O N T R O L E on A - N I C T F .

T F M ? 0

. 3 1 6 2 2 0 E - 0 1

. ÎOOOOOE + OO „ 3 1 6 2 2 0 F + 0 0 .1OOOOOE+01

Y - 0 A 0 0

. 1 5 0 0 0 0 E + 06

. 1 4 9 0 0 0 E + 0 6

. 1 4 6 0 0 0 E + 0 6

. 1 320OOE + Q6

Y-AJUSTADÛ

. 1 5 0 5 3 Û E + U6 , 1 4 ci 9 9 2 F + 0 6 , 1 4 4 5 5 0 E + UÓ. . 1 3 3 2 3 5 E + 0 6

DIFERENÇA

- . 5 3 á l 0 2 E + 0 3 . 7 7 0 3 1 1 E + Û 1 . 1 4 5 0 2 0 E + 0 4

- , 1 2 3 5 4 5 E + 0 4

d l l

. i n o n o o r + o ? , 31 6 R ? O F + O 2

, 2 000OOE*O3 . 3 1 6 ? ? o r + 0 3

» 1 1 1 0 0 0E + 0 6 . 0 o o 0 0 0 K + 0 s . Ö/I0000E + 0 5 . 6 3 0 0 0 O E + 0 5 . « 3 0 0 0 0 E + 0 5

• 1 1 0 7 3 1 E + 0 6 , . -VÓ592E + Q5 . a / ( N 9 2 2 f > 0 Í J

• 1 2 6 Q 5 2 E + <>5 . 3 io<.yr>¿+.)5

• 2 6 9 4 1 OL+ 0 3 . 3 4 ü 7 9 1 E + 0 i

- . • 5 9 2 2 1 3E + 0 3 . 3 9 4 B 0 5 L + 0 3

9 7 2 3HSE + 02

' ' n O U L l S D** ELASTICIDADE TRANSFORMADOS

LOG » E TRANSFORMADO

- 3 . 0 0 0 » 3 3 7 9 5 P31E + 0 S - ? . V ) 0 . ^ 4 0 7 1 5 ^ 0 E + 0S - 2 . 0 0 0 . 3 5 ä 5 2 1 7 7 £ + 0 5 - 1 . 5 0 0 . 9 1 0 9 5 7 9 0 E + 0 5 - 1 , 0 0 0 . 1 0 1 9 3 3 3 9 E + 0 6 - 0 . 5 0 0 . 1 l 8 ^ 3 A 9 0 E + 0 6

0 . 0 00 . 1 3 5 38O0 7E+0 6 0 . 5 0 0 . 1 4 4 9 3 9 Ó 0 E + 0 6 1 . 0 0 0 . 1 4 9 0 6 3 3 0 E + 0 6 1 , 5 0 0 . 1 5 0 5 4 6 9 { > E + 0Ó 2 . 0 0 0 . 1 5 1 0 4 5 2 0 E + 0 5

* * * HATENT 4L 'iU I E R Q 3 * * *

OAOQ » CUR''A DF RELAXAÇÃO E'< p E R I M E N T AL PÛH POUTOS

ÏFMpO VALORES OE Y

0 , 0 V ? I Û O O O O . ^ 0 0 0 . 1 m 9 9 0 0 0 . 0 0 0 0 . 3 1 6 9 5 0 0 0 . 0 0 0 1 . 0 0 0 8 8 0 0 0 , 0 0 0 3 . 1 6 ? 5 8 0 0 0 . 0 0 0

1 0 . 0 0 0 5 4 0 0 0 . 0 0 0 3 1 é 6 ' 2 3 1 0 0 0 . 0 0 0

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C Q E F I C I E O T E S S

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APÉNDICE E: BIBLIOGRAFIA e l

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e 3

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