Análise Dinâmica Linear

João Yoshiyuki Ishihara

Sob Controle?

História: Revolução Industrial

Controle de velocidadeProblema: ventos erráticos

que alimentam os moinhos de vento

História: Revolução IndustrialSolução: Fly-ball governor [1788] Sir James Watt (1736 - 1819) Projeto para máquinas a vapor rotatórias.

Arte do controle: intuição, tentativa-e-erro

Nascimento da teoria matemática de controle: On governos 1868

James Clerk MaxwellBorn: 13 June 1831 in Edinburgh, ScotlandDied: 5 Nov 1879 in Cambridge, Cambridgeshire, England

História: I Guerra Mundial

Problema: controle para navegação de navios

Solução: invenção do

giroscópio [1910]

controladores PID [1922, Minorsky].

O controlador permite o navio ficar parado em um lugar sem uma âncora!

História: II Guerra Mundial

Problema: Aeronaves voavam rápido demais para a artilharia

AA manuais.

Solução: controladores PID Eletro-mecânicos permitiram artilharia

AA automáticas.

•Breve Resumo Histórico:

• James Watt: construção do regulador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII • Minorsky, 1922: sistema de pilotagem de navios. Estabilidade - Equações Diferenciais

• Nyquist, 1932: procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha fechada

• Hazen, 1934: Introdução da termo “servomecanismo” para sistemas de controle de posição. Projeto de servomecanismos e relés capazes de seguir uma entrada variável.

• Década de 40: Métodos de resposta em frequência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle lineares com realimentação.

• Coração da Teoria de Controle Classico, 1940-1950: Desenvolvimento do método do lugar das raízes em projeto de sistema de controle (SISO)

• Evolução para sistemas MIMO a partir de 1960

• Estado da arte: controle ótimo, utilização de computadores, sistemas com apredizado e treinamento, controle adaptativo, controle robusto.

Regras Básicas para Engenharia

Conheça a física envolvidaModele a físicaProjete o controladorSimule o controlador no modeloValide na realidade

Terminologia Básica

•Planta (Plant): Parte de um equipamento ou conjunto de partes de uma máquina que funcionam integrados como um sistema. No contexto deste curso estaremos usando o termo planta como qualquer objeto físico a ser controlado.

•Processo: Neste curso estaremos utilizando este termo para identificar qualquer operação a ser controlada

Perturbação (distúrbio): Sinal que tende a afetar adversamente o comportamento da saída do sistema. Uma perturbação pode ser externa, funcionando como uma entrada, ou interna ao sistema.

Sistema de controle realimentado: sistema que tende a manter uma relação prescrita entre a entrada e a saída, por comparação.

Servomecanismo: sistema de controle com realimentação no qual a saída pode ser uma posição, velocidade ou aceleração.

Sistema regulador automático: sistema no qual a entrada de referência, ou a saída desejada, ou é constante ou varia lentamente no tempo. O principal objetivo é manter a a saída real em um valor desejado, na presença de perturbações.

Introdução

2. BASE MATEMÁTICA - TRANSFORMADA DE LAPLACE

• Método operacional que pode ser usado para solução de sistemas de equações diferenciais lineares

• Características da Transformada de Laplace: • Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por

operações algébricas no plano complexo. • A solução da equação diferencial (ED) pode ser encontrada através de uma

tabela de transformadas de Laplace ou pelo uso de técnicas de expansão em frações parciais.

• Vantagens:• Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de um sistema

sem necessidade de resolução do sistema de Eds.• Quando se resolve um Sistema de Equacões Diferenciais (SED) pode ser

obter simultaneamente as soluções correspondentes aos regimes transitório e permanente.

A transformada de Laplace é definida como

Teoremas das transformadas de Laplace

Definição  Teorema da linearidade Teorema do deslocamento de frequênciaTeorema do deslocamento no tempo Teorema do fator de escala Teorema da derivação     

Teorema da integração  

Teorema do valor final1

 Teorema do valor inicial2

 

Exercício Considere o sistema mecânico mostra na figura. Suponha que o sistema é acionado por uma impulso unitário. Determine a oscilaçõ resultante. Suponha que o sistema está inicialmente em repouso.

k

x

Impulso (t)

m

A EDO que representa o sistema é dada por

)t(kxmdt

xd 2

2

Onde (t) é a entrada impulsiva (excitação impulsiva). Note que a transformada de Laplace do impulso é L[(t) ]=1. Portanto

tsen)t(f)s(XsX

skXxsxsXms

mk

mkkms11

2

2

100

1-L

Exemplo: Determinar a transformada inversa de 213

ss

s)s(F

Expandindo em franções parciais: 2121

3 21

sa

sa

sss

)s(F

Usando a fórmula kk

k aps

)ps()s(A)s(B

1

22

213

21

121

3

2

1

ss

sss

a

ss

sss

a

Exemplo (Cont)

02

212

2

tee)t(f

ss

S)s(F)t(f

tt

LLL 1-1-1-

tpk

k

k keaps

a

1-LVimos que

Exemplo 2 : Achar a transformada inversa de Laplace de

)s)(s(sss

)s(G21

795 23

2)(s

2)1)(s(s

300

485795

23

23

s

ssssss

)s)(s(s

s)s)(s(

sss)s(G

213

221

795 23

Portanto

)s(A)s(B

Note que o o último termo à direita se refere ao exemplo anterior

Então

213

2 1111

sss

s)s(G)t(f L1LLL

tt ee)t()t(D)t(f 222 Portanto

02 2 tee)t(f tt

Cuja solução é