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Capıtulo II - Fundamentos de Dinamica Discreta

ANALISE LINEAR DE SISTEMAS

JOSE C. GEROMEL

DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,

[email protected]

Campinas, Novembro de 2006

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NOTA AO LEITOR

Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto :

Jose C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Analise Linear de

Sistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exercıcios,ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,SP, 2004.

onde o leitor podera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados.

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Conteudo

1 Capıtulo II - Fundamentos de Dinamica DiscretaSistemas linearesEquacoes a diferencas lineares

Solucao temporalTransformada Z

Solucao via transformada Z

Representacao de estado

Sistemas dinamicos linearesFuncao de transferenciaResposta em frequencia

DiscretizacaoFuncao de transferencia pulsada

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Consideracoes iniciais

Como o leitor podera verificar no decorrer da leitura destecapıtulo, os conceitos matematicos que permitem analisarsistemas dinamicos a tempo discreto sao bastante similaresaqueles introduzidos no capıtulo anterior, no ambito doestudo de sistemas dinamicos a tempo contınuo.A diferenca fundamental e que para os sistemas dinamicos atempo contınuo a variavel independente e real (t ∈ R),enquanto que para os sistemas dinamicos a tempo discreto elae inteira (k ∈ Z). Esta diferenca requer o uso de ferramentasmatematicas adequadas para manipular os diversos conceitose propriedades basicas.Por este motivo este capıtulo tenta trilhar, da maneira maisproxima possıvel, o mesmo caminho adotado no capıtuloanterior.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema dinamico a tempo discreto definido para todok ∈ Z e um dispositivo que converte um sinal de entrada g(k)(definido para todo k ∈ Z) em um sinal de saıda y(k)(definido para todo k ∈ Z), atraves da relacao

y = S[g ]

onde S[·] indica um ente matematico que associa sinais deentrada com sinais de saıda. Por exemplo :

S [g ] = 3g → y(k) depende apenas de g(k).

S [g ] =∑k

i=−∞ g(i) → y(k) depende de g(i),−∞ ≤ i ≤ k .

S [g ] =∑∞

i=−∞ g(k − i)2 → y(k) depende deg(i),−∞ ≤ i ≤ ∞.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema dinamico pode ser qualificado como :

Causal quando y(k) depende de g(i) apenas para i ≤ k . Ouseja, em qualquer instante a saıda depende apenas da entradaocorrida no passado e no presente.Linear quando y(k) =

∑

i αiyi (k) for a saıda correspondente aentrada g(k) =

∑

i αigi (k) para todo escalar αi .Invariante no tempo quando y(t − i) for a saıdacorrespondente a entrada g(t − i) para todo i ∈ Z.

⇓

Sistemas inteiramente definidos atraves de sua resposta a umaentrada particular, o impulso unitario discreto g(k) = δ(k) :

δ(k) :=

{1 k = 00 k 6= 1

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

O impulso unitario permite decompor sinais discretos notempo. Sendo g(k) definido em k ∈ Z, vale a igualdade :

g(k) =

∞∑

i=−∞

g(i)δ(k − i)

Um sistema LIT com entrada g(k) tem como saıda :

y(k) = S

[∞∑

i=−∞

g(i)δ(k − i)

]

=

∞∑

i=−∞

g(i)S[δ(k − i)]

=

∞∑

i=−∞

g(i)h(k − i)

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Da primeira para a segunda igualdade usamos a linearidade eda segunda para a terceira a invariancia no tempo aplicada aresposta ao impulso

h(k) = S[δ(k)]

Fato (Sistema LIT)

A sua resposta y(k) e dada pela convolucao discreta de sua

resposta ao impulso h(k) pela entrada g(k), isto e :

y(k) = g(k) • h(k)

=

∞∑

i=−∞

g(i)h(k − i)

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Propriedades importantes :

A convolucao discreta e uma operacao associativa, distributivae comutativa.Um sistema LIT e Causal se

h(k) = 0 , ∀ k < 0

pois h(k − i) = 0 para todo i > k fazendo com que suaresposta seja dada por

y(k) =k∑

i=−∞

g(i)h(k − i)

e assim y(k) depende apenas de g(i) para i ≤ k .

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Resposta ao degrau unitario g(k) = υ(k) de um sistema LTI :

y(k) =

∞∑

i=−∞

υ(i)h(k − i)

=

∞∑

i=0

h(k − i)

=

k∑

r=−∞

h(r)

Para sistemas LIT causais

y(k) =

k∑

i=0

h(i)

e a soma parcial da resposta ao impulso unitario.10 / 80


Sistemas lineares

Sistemas lineares

Resposta a funcao potencia g(k) = µk de um sistema LTI :

y(k) =∞∑

i=−∞

µih(k − i)

=∞∑

r=−∞

µk−rh(r)

=

(∞∑

r=−∞

µ−rh(r)

)

µk

Para sistemas LIT causais

y(k) =

(∞∑

i=0

µ−ih(i)

)

µk

e proporcional a entrada, por um fator que depende de µ.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Sistemas LIT causais de grande interesse sao descritos porequacoes a diferencas do tipo

n∑

i=0

aiy(k + i) =m∑

i=0

eig(k + i) , k ∈ Z

onde ai e ei sao escalares e n ≥ m. Note que especificar afuncao de entrada g(k) nao e condicao suficiente para que aresposta y(k) correspondente seja unica. Dentre muitas, umasolucao especıfica pode ser individualizada impondo-sealgumas condicoes suplementares sobre y(k). Por exemplo, oseu valor em alguns instantes de tempo previamenteselecionados.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Sendo k = 0 adotado como instante inicial a funcao deentrada so e definida para k ≥ 0. Para selecionar uma solucaoespecıfica pode-se impor os valores de

y(0), y(1), · · · , y(n − 1)

que caracterizam as condicoes iniciais do sistema.

Uma resposta especıfica y(k) correspondente a uma entradag(k) dada, pode ser determinada observando que se y(k)satisfaz a equacao a diferencas entao h0(k) + y(k) onde

n∑

i=0

aih0(k + i) = 0

tambem a satisfaz.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

O seguinte resultado e fundamental no presente contexto :

Fato (Solucao geral)

Qualquer solucao da equacao a diferencas em estudo, definida para

todo k ≥ 0, pode ser unicamente individualizada pela escolha

adequada de h0(k) e e dada por

y(k) = h0(k) +

k∑

i=0

h(k − i)g(i)

As funcoes h0(k) e h(k), definidas para todo k ≥ 0, precisamser determinadas com o devido cuidado. Este aspecto seraabordado em seguida.

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Sistemas lineares

Sistemas lineares

Exemplo : A figura abaixo mostra um pendulo oscilando nointerior de uma caixa

x

ℓ

M

mθ

κ

A determinacao do modelo matematico que descreve o seucomportamento dinamico nos instantes t = kT , e um dosobjetivos deste curso. Para pequenos deslocamentos, trata-sede um sistema a tempo discreto LIT causal.

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Equacoes a diferencas lineares

Solucao temporal

Considere a equacao a diferencas com coeficientes constantes

n∑

i=0

aiy(k + i) = g(k) , ∀ k ≥ 0

onde g(k) e uma funcao dada e ai ∈ R para i = 0, · · · , n saoescalares, com an 6= 0. Adotamos a notacao mais compactaD[y ] = g onde D[·] denota o operador avanco

D[y ] =

n∑

i=0

aiy(k + i)

com polinomio caracterıstico

∆D(µ) =

n∑

i=0

aiµi

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Solucao temporal

Os seguintes aspectos sao relevantes :

O operador D[·] e linear.Para a funcao potencia verifica-se que

D[µk]

=n∑

i=0

aiµiµk

= ∆D(µ)µk

ou seja D[µk]

e µk sao colineares. Por este motivo, µk edenominada auto funcao do operador D[·].A equacao algebrica ∆D(µ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica. Tem grau n e todos os seus coeficientes saoreais. Assim sendo, ela admite n raızes em pares complexosconjugados.

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Solucao temporal

O seguinte resultado e fundamental no estudo de equacoes adiferencas lineares :

Teorema (Existencia e unicidade)

Seja g(k) uma funcao definida para todo k ≥ 0. A equacao a

diferencas D[y ] = g sujeita as condicoes iniciais

y(0), y(1), · · · , y(n − 1)

admite uma unica solucao y(k) para todo k ≥ 0.

Observe que para qualquer conjunto de condicoes iniciais asolucao existe e e unica. Portanto, sem especificar ascondicoes iniciais a unicidade deixa de ocorrer.

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Solucao temporal

Fato (Independencia Linear)

O conjunto de funcoes f1(k), · · · , fm(k), definidas para todo k ≥ 0,e linearmente independente - LI se a igualdade

fα(k) :=m∑

i=1

αi fi(k) = 0 ,∀ k ≥ 0

for satisfeita apenas com todos os escalares α1, · · · , αm nulos.

Caso contario o conjunto e dito linearmente dependente - LD.

E preciso estabelecer um teste para classificar conjuntos comoLI ou LD. Ao contrario do ocorrido no estudo de funcoes atempo contınuo nao faremos nenhuma hipotese, como porexemplo continuidade, a respeito das funcoes em estudo.

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Solucao temporal

A funcao fα(k) deve ser nula para todo k ≥ 0. Em particularfα(i) = 0 para k ≤ i ≤ r := k + (m − 1) para todo k ≥ 0.

f1(k) f2(k) · · · fm(k)f1(k + 1) f2(k + 1) · · · fm(k + 1)

...... · · ·

...f1(r) f2(r) · · · fm(r)

︸︷︷︸

W (k)

α1

α2...

αm

︸︷︷︸

α

= 0

Para o conjunto de funcoes consideradas temos :

det(W (k)) 6= 0 para algum k ≥ 0 =⇒ LI.det(W (k)) = 0 para todo k ≥ 0 =⇒ LD. Formalmente estacondicao pode falhar pois todas as combinacoes formandomatrizes m × m devem ser testadas.

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Solucao temporal

A solucao geral da equacao a diferencas em estudo pode serdecomposta na forma

y(k) = yh(k) + yp(k) , ∀ k ≥ 0

onde :

yh(k) satisfaz a equacao homogenea D[yh] = 0.yp(k) e uma solucao particular que satisfaz D[yp] = g .

poisD[y ] = D[yh + yp] = D[yh] + D[yp] = g

Assim sendo, resta verificarmos como podemos impor as n

condicoes iniciais dadas. Isto e feito atraves da determinacaode um conjunto de n solucoes homogeneas LI.

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Solucao temporal

Equacao homogenea : Sao obtidas a partir da relacao

D[µk ] = ∆D(µ)µk , ∀ k ≥ 0

a qual indica que todas as fucoes do tipo µki , definidas para

todo k ≥ 0, com µi sendo uma das raızes de ∆D(µ) = 0, saosolucoes da equacao homogenea. Como ∆D(µ) e umpolinomio de grau n, com coeficientes reais, ele admite n

raızes em C em pares complexos conjugados. Supondo que asn raızes sejam distintas, as funcoes

µki , ∀ k ≥ 0 , i = 1, · · · , n

formam um conjunto LI.

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Solucao temporal

De fato, a matriz W (k) e dada por

W (k) =

1 · · · 1... · · ·

...

µn−11 · · · µn−1

n

︸︷︷︸

W0

µk1 · · · 0... · · ·

...0 · · · µk

n

onde W0 e uma matriz de Vandermonde cujo determinante ediferente de zero tendo em vista que todos os µi , i = 1, · · · , nsao diferentes entre si. Consequentemente, det(W (k)) 6= 0para k = 0. A solucao geral e dada por

y(k) =

n∑

i=1

ciµki + yp(k)

onde ci , i = 1, · · · , n sao constantes determinadas com as n

condicoes iniciais.23 / 80



Solucao temporal

Quando duas ou mais solucoes da equacao caracterıstica naosao distintas um conjunto de solucoes homogeneas pode serobtido observando-se que a igualdade

kµk = µdµk

dµ

permite verificar que

D[kµk ] = µD

[dµk

dµ

]

= µd

dµ∆D(µ)µk

=

[

µd

dµ∆D(µ) + k∆D(µ)

]

µk

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Solucao temporal

Por exemplo, considerando que µj seja uma raiz commultiplicidade dois da equacao caracterıstica entao∆D(µ) = (µ − µj)

2d(µ) para algum polinomio d(µ) de ordemn − 2. Portanto

∆D(µj) = 0 ,d

dµ∆D(µj) = 0

fazem com que as funcoes µkj e kµk

j , definidas para todok ≥ 0 sejam solucoes da equacao homogenea. Alem disso,calculando-se a matriz W (k) verificamos que o conjunto defuncoes µk

1 , · · · , µkj , kµk

j , · · · , µkn e LI se µj 6= 0. Neste caso,

y(k) =

n∑

i 6=j=1

ciµki + cjkµk

j

+ yp(k)

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Solucao temporal

Este procedimento e valido para raızes com qualquermultiplicidade. Se µj for uma raiz com multiplicidade m ≤ n

entao

∆D(µj ), · · · ,dm−1

dµm−1∆D(µj) = 0

e, com raciocınio analogo, verificamos que as funcoes k iµkj ,

definidas para todo k ≥ 0 e todo i = 0, · · · ,m − 1 saosolucoes da equacao homogenea e formam um conjunto defuncoes LI, desde que µj 6= 0. Note que para µj = 0 tem-sekµk

j = 0 para todo k ≥ 0. Quando isto ocorre a ordem daequacao a diferencas pode ser reduzida!Podemos assim determinar as n solucoes da equacaohomogenea que formam um conjunto de funcoes linearmenteindependentes. Estas funcoes sao denominadas ModosProprios da equacao a diferencas.

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Solucao temporal

Solucao particular : O chamado Metodo dos Coeficientes aDeterminar se aplica para a classe de funcoes g(k) que emconjunto com seus valores em instantes sucessivos, ate umcerto valor m, formam um conjunto LD. Portanto, existe umoperador avanco com polinomio caracterıstico ∆N(µ) deordem m tal que

N[g ] = 0

Neste caso, uma solucao particular de D[y ] = g pode sercalculada atraves da equacao homogenea definida pelooperador composto

N[D[y ]] = 0

que nada mais e que uma equacao a diferencas homogenea deordem n + m.

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Solucao temporal

Verificando que

N[D[µk ]] = ∆D(µ)∆N(µ)µk

a sua equacao caracterıstica e dada por ∆D(µ)∆N(µ) = 0 ecomo ja sabemos (supondo que todas as raızes sejamdistintas)

y(k) =

n∑

i=1

ciµki

︸︷︷︸

∆D(µ)=0=⇒yh(k)

+

m∑

i=1

diµki

︸︷︷︸

∆N(µ)=0=⇒yp(k)

sendo que os coeficientes d1, · · · , dm sao determinadosimpondo-se D[yp] = g . No caso da eventual ocorrencia deraızes multiplas o tratamento anterior deve ser adotado.

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Exemplos

A equacao a diferencas y(k + 1) + y(k) = (−2)k comy(0) = 1 admite ∆D(µ) = µ + 1 e ∆N(µ) = µ + 2. Portanto

y(k) = c1(−1)k︸︷︷︸

yh(k)

+ d1(−2)k︸︷︷︸

yp(k)

substituindo yp(k) obtem-se d1 = −1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 2. A solucao geral e

y(k) = 2(−1)k − (−2)k , ∀ k ≥ 0

A equacao a diferencas y(k + 1) + y(k) = (−1)k comy(0) = 1 admite ∆D(µ) = µ + 1 e ∆N(µ) = µ + 1. Portanto

y(k) = c1(−1)k︸︷︷︸

yh(k)

+ d1k(−1)k︸︷︷︸

yp(k)

substituindo yp(k) obtem-se d1 = −1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 1.

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Exemplos

A equacao a diferencas y(k + 2) + y(k) = sen((π/2)k) e talque ∆D(µ) = µ2 + 1 e ∆N(µ) = µ2 + 1. Portanto

y(k) = c1ej(π/2)k + c2e

−j(π/2)k

︸︷︷︸

yh(k)

+ d1kej(π/2)k + d2ke

−j(π/2)k

︸︷︷︸

yp(k)

Uma equacao a diferencas com ∆D(µ) = (µ + 1)(µ − 1) eentrada tal que ∆N(µ) = µ + 1 tem a solucao geral

y(k) = c1(−1)k + c2︸︷︷︸

yh(k)

+ d1k(−1)k︸︷︷︸

yp(k)

Uma equacao a diferencas com ∆D(µ) = (µ + 1)2 e entradatal que ∆N(µ) = µ − 1 tem a solucao geral

y(k) = c1(−1)k + c2k(−1)k︸︷︷︸

yh(k)

+ d1︸︷︷︸

yp(k)

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Transformada Z

A transformada Z de uma funcao f (k) definida para todok ∈ Z, denotada por f (z) ou Z(f (k)), e uma funcao devariavel complexa

f (z) : D(f ) → C

onde D(f ) e o seu domınio e

f (z) :=

∞∑

k=−∞

f (k)z−k

D(f ) := {z ∈ C : f (z) existe}

E importante ressaltar que f (z) existe indica que a soma acimaconverge e e finita.

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Transformada Z

Geralmente D(f ) nao coincide com C. Nestes casos existem

pontos z ∈ C tais que z /∈ D(f ) e, portanto, torna-seessencial a determinacao do domınio da transformada Z.

Importante : O domınio D(f ) da transformada Z dependefortemente do domınio da funcao f (k). Como verificaremosem seguida :

k ∈ [0, +∞) =⇒ |z| ∈ (α, +∞)

k ∈ (−∞, 0] =⇒ |z| ∈ (0, β)

k ∈ (−∞, +∞) =⇒ |z| ∈ (β, α)

para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domıniode f (k), menor o domınio de f (z) e vice-versa.

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Transformada Z

Os calculos envolvendo a transformada Z dependem, emgrande medida, da seguinte propriedade da serie geometricacom razao complexa z ∈ C

z0, z1, z2, · · · , zk , · · ·

Lema (Convergencia da serie geometrica)

Considere z ∈ C. A igualdade

∞∑

k=0

zk =1

1 − z

se verifica e e finita se e somente se |z | < 1.

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Transformada Z

Os seguintes exemplos ilustram os domınios da transformadaZ de algumas funcoes :

f (k) = ak : Z → C e D(f ) = ∅.f (k) = ak : [0, +∞) → C e

f (z) =z

z − a, D(f ) = {z ∈ C : |z| > |a|}

f (k) = ak : (−∞, 0] → C e

f (z) = −a

z − a, D(f ) = {z ∈ C : |z| < |a|}

f (k) = a|k| : (−∞, +∞) → C e

f (z) =z2 + 1

(z − a)(z − 1/a), D(f ) = {z ∈ C : |a| < |z| < 1/|a|}

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Transformada Z

A funcao potencia µk : Z → C com µ ∈ C qualquer naoadmite a transformada Z. Portanto, para funcoes definidasem todo k ∈ Z a transformada Z e muito restritiva. Paracontornar esta dificuldade vamos restringir nosso interesse afuncoes definidas no intervalo k ∈ N := [0,+∞) e assim :

f (z) :=∞∑

k=0

f (k)z−k

que admite o domınio na forma generica

D(f ) := {z ∈ C : |z | > α}

para algum α ∈ R a ser adequadamente determinado.

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Transformada Z

Classe importante : Definida pela existencia de zf ∈ C talque o limite

limi→∞

i∑

k=0

|f (k)|z−kf

existe e e finito.

Lema (Domınio)

Para as funcoes da classe acima, e valido que :

Qualquer z ∈ C satisfazendo |z| ≥ |zf | pertence a D(f ).

Existe M finito tal que |f (z)| ≤ M para todo s ∈ D(f ).

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Transformada Z

Forma geral : Para funcoes definidas para todo k ≥ 0 :

D(f ) := {z ∈ C : |z | > α}

Determinacao do domınio : Para a funcao f (k) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que

limi→∞

i∑

k=0

|f (k)α−k | < ∞

Determinacao do domınio : Para a funcao f (z) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que ela permanecaanalıtica e portanto finita em todo z ∈ D(f ).

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Transformada Z

A funcao f (z) = z−1 nao e analıtica em z = 0. Note que

f (k) = δ(k − 1) = {0, 1, 0, · · · }

e portantoD(f ) := {z ∈ C : |z | > 0}

e todo o plano complexo C com excecao da origem.

A funcao f (z) = z/(z2 − 1) nao e analıtica em z = 1 ez = −1. Note que

f (k) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, · · · }

e portantoD(f ) := {z ∈ C : |z | > 1}

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Transformada Z

Uma funcao racional e da forma

f (z) :=N(z)

D(z)=

∑mi=0 eiz

i

∑ni=0 aiz i

onde m ≤ n, ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R paratodo i = 1, · · · , n. Se n = m ela e chamada propria, casocontrario ela e dita estritamente propria. Ela deixa de seranalıtica nos seus polos, raızes de D(z) = 0. Assim sendo

α = maxi=1,··· ,n

|pi |

O impulso unitario discreto (Kronecker) :

δ(z) = 1 , D(δ) = C

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Transformada Z

Varios calculos envolvendo a transformada Z dependem dadeterminacao correta do seu domınio :

Soma : A soma de uma funcao em todo o seu domınio e dadapor

∞∑

k=0

f (k) = f (1)

desde que 1 ∈ D(f ).Limite : O limite de uma funcao definida em k ≥ 0 satisfaz

limk→∞

f (k) = limz→1

(z − 1)f (z)

desde que 1 ∈ D((z − 1)f ).

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Transformada Z

No estudo de equacoes a diferencas via transformada Z, asseguintes propriedades sao importantes para funcoes definidasem k ≥ 0 e escalares θ1, θ2, · · ·

Combinacao linear :

Z

(∑

i

θi fi (k)

)

=∑

i

θi fi (z)

Convolucao a tempo discreto :

Z(f (k) • g(k)) = f (z)g (z)

Deslocamento no tempo :

Z(f (k + 1)) = zf (z) − zf (0)

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Transformada Z

Para funcoes racionais, a inversa da transformada Z pode serobtida via Decomposicao em Fracoes Parciais com a qualdeterminamos os escalares αi tais que

∑mi=0 eiz

i

∑ni=0 aiz i

= α0 +M∑

i=1

αiz

(z − pi )ni

onde pi sao seus polos e∑M

i=1 ni = n. Observe que estamosconsiderando que cada polo pi tenha multiplicidade ni paratodo i = 1, · · · ,M. A inversa e determinada com a relacao

Z−1

(z

(z − p)r+1

)

=1

r !

d r

dprpk =

(k

r

)

pk−r , ∀ k ≥ 0

valida para todo r ≥ 0.

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Considere a equacao a diferencas anterior dada na forma

n∑

i=0

aiy(k + i) =m∑

i=0

eig(k + i) , ∀k ≥ 0

com condicoes iniciais y(i), para todo i = 0, · · · , n − 1.Aplicando a transformada Z em ambos os membros obtemos

y(z) = H0(z)︸︷︷︸

cond. iniciais

+ H(z)g(z)

onde devemos notar que H0(z) depende dos valores iniciais dasolucao y(0), · · · , y(n − 1) e tambem dos valores iniciais daentrada g(0), · · · , g(m − 1).

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Os aspectos mais importantes sao :

h0(k) := Z−1(H0(z)) e a parte da solucao que dependeexclusivamente das condicoes iniciais e dos valores iniciais daentrada.h(k) := Z−1(H(z)) e a resposta ao impulso (obtida a partir decondicoes iniciais que anulam H0(z)). A funcao h(k) • g(k)obtida pela transformada Z inversa e a parte da solucao quedepende exclusivamente da funcao de entrada.

⇓

y(k) = h0(k) +

k∑

i=0

h(k − i)g(i) , ∀ k ≥ 0

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Exemplo

Aplicando a transformada Z na equacao a diferencasy(k + 2) + 3y(k + 1) + 2y(k) = g(k + 1) − 3g(k) comcondicoes iniciais y(0) = 0 e y(1) = 0 determinamos

H0(z) =−zg(0)

(z + 2)(z + 1), H(s) =

z − 3

(z + 2)(z + 1)

Sendo g(k) = δ(k) o impulso unitario temos :

y(z) =−3

(z + 2)(z + 1)= −3/2 − 3/2

z

z + 2+ 3

z

z + 1

ou seja

y(k) =

{0 k = 0

3(−2)k−1 − 3(−1)k−1 k ≥ 1

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Exemplo

Aplicando a transformada Z na mesma equacao a diferencasanterior mas com condicoes iniciais y(0) = 0 e y(1) = g(0)determinamos

H0(z) = 0 , H(s) =z − 3

(z + 2)(z + 1)

Sendo g(k) = δ(k) o impulso unitario temos :

y(z) =z − 3

(z + 2)(z + 1)= −3/2 − 5/2

z

z + 2+ 4

z

z + 1

ou seja

y(k) =

{0 k = 0

5(−2)k−1 − 4(−1)k−1 k ≥ 1

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Qualquer equacao a diferencas linear de ordem n pode serconvertida em um sistema de n equacoes a diferencas deprimeira ordem. Este sistema de equacoes a diferencas,geralmente acoplado, denominado representacao de estado daequacao original e expresso na forma matricial:

x(k + 1) = Ax(k) + Bg(k) , x(0) = x0

y(k) = Cx(k) + Dg(k)

onde A ∈ Rn×n, B ∈ R

n×1, C ∈ R1×n e D ∈ R

1×1.As matrizes (A,B ,C ,D) e a condicao inicial x0 ∈ R

n devemser determinadas de tal forma que a funcao produzida pelarepresentacao de estado y(k) coincida com a solucao daequacao a diferencas em estudo para todo k ≥ 0.

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Para a equacao D[y ] = g com an = 1, definimos as variaveisde estado

x(k) =

x1(k)...

xn(k)

, xi(k) := y(k + i − 1), i = 1, · · · , n

e obtemos

A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

...... · · ·

...−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

, B =

00...01

C =[

1 0 0 · · · 0]

, D =[

0]

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A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadorde ordem m ≤ n − 1 pode ser reescrita na forma

D[ξ] = g , y = E [ξ]

Definindo como no caso anterior as variaveis de estado

x(k) =

x1(k)...

xn(k)

, xi(k) := ξ(k + i − 1), i = 1, · · · , n

as matrizes A e B nao se alteram. Ademais

y(k) = E [ξ] =

m∑

j=0

ejξ(k + j) =

m∑

j=0

ejxj+1(k)

permite determinar as matrizes restantes

C =[

e0 e1 e2 · · · 0]

, D =[

0]

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A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadorde ordem m = n pode ser reescrita na forma

D[ξ] = g , y = E [ξ] + eng

onde E [ξ] := E [ξ] − enD[ξ] com coeficientes ei = ei − enai

para i = 0, · · · , n − 1 e um operador de ordem n − 1.Definindo as mesmas variaveis de estado do caso anterior, asmatrizes A e B nao se alteram. Ademais

y(k) = E [ξ] + eng =n−1∑

j=0

ejxj+1(k) + eng

permite determinar as matrizes restantes

C =[

e0 e1 e2 · · · en−1

], D =

[en

]

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Para qualquer matriz quadrada A ∈ Rn×n define-se a funcao

potencia de matriz:

F (k) := Ak , ∀k ∈ N

Lema (Transformada Z)

A transformada Z da funcao F (k) = Ak definida para todo k ≥ 0e dada por

F (z) = z(zI − A)−1 , D = {z ∈ C : |z | > max |λi |}

onde λi , i = 1, · · · , n sao os autovalores de A.

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Aplicando a transformada Z nas equacoes de estadodeterminamos

H0(z) = C (zI − A)−1zx0 , H(z) = C (zI − A)−1B + D

e, com o lema anterior, as funcoes

h0(k) = CAkx0 , h(k) =

{D k = 0

CAk−1B k ≥ 1

Teorema (Solucao da equacao de estado)

A solucao da equacao de estado e dada por

x(k) = Akx0 +k−1∑

i=0

Ak−1−iBg(i) , ∀ k ≥ 1

y(k) = Cx(k) + Dg(k) , ∀ k ≥ 0

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Neste ponto, resta determinarmos o vetor de condicoes iniciaisx0 ∈ R

n. Para tanto, calculando sucessivamente a parte dasolucao que depende das condicoes iniciais

y(k) = CAkx0

para k = 0, 1, · · · , n − 1 obtemos

ymod(0)ymod(1)

...ymod(n − 1)

= Ox0 , O :=

C

CA...

CAn−1

onde ymod(·) sao as condicoes iniciais modificadas pelosvalores iniciais da entrada e O ∈ R

n×n e a Matriz deObservabilidade que e inversıvel sempre que o sistema for deordem mınima.

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Finalmente, deve ser notado que a representacao de estadonao e unica. Unica e a funcao H(z) e, dada as condicoesiniciais, unica tambem e a funcao H0(z). Com umarepresentacao de estado (A,B ,C ,D) e uma matriz naosingular T ∈ R

n×n, a chamada Transformacao de Similaridadepermite obter uma nova representacao de estado(T−1AT ,T−1B ,CT ,D) mas ambas representando a mesmafuncao H(z). De fato, simples calculos levam a

H(z) = C (zI − A)−1B + D

= CT (zI − T−1AT )−1T−1B + D

Ademais, observe que det(zI − A) = det(zI − T−1AT ).

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Exemplo

A funcao de transferencia do deslocamento angular do elorotacional de uma junta robotica, apos discretizacao e

H(z) =z2 − 1.044z + 0.0678

z2 − 0.074z + 0.9418

A representacao de estado aqui considerada e dada por

x(k + 1) =

[0 1

−0.9418 0.074

]

︸︷︷︸

A

x(k) +

[01

]

︸︷︷︸

B

g(k)

y(k) =[−0.8740 −0.9700

]

︸︷︷︸

C

x(k) + [1]︸︷︷︸

D

g(k)

Note que os autovalores de A sao iguais aos polos de H(z).Isto e sempre verdade!

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Sistemas dinamicos lineares

Funcao de transferencia

De maneira generica, um sistema dinamico LIT a tempodiscreto e caracterizado por ter seu comportamento, nodecorrer do tempo, descrito por uma equacao a diferencaslinear com coeficientes constantes. A partir das condicoesiniciais definidas em k = 0, · · · n − 1 e de uma funcao deentrada g(k) definida para todo k ≥ 0, sua saıda e dada por

y(z) = H0(z) + H(z)g(z)

onde

Definicao (Funcao de transferencia)

A funcao H(z) e denominada funcao de transferencia do sistema e

h(k) = Z−1(H(z)) definida para todo k ≥ 0 e a sua resposta ao

impulso.

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Funcao de transferencia

A funcao de transferencia de um sistema torna explıcito comoa entrada influencia a saıda. Para condicoes iniciaisadequadas, nao necessariamente nulas, H0(s) = 0 e a relacaoentrada / saıda torna-se :

y(z) = H(z)g(z)⇐⇒y(k) = h(k) • g(k)

Definicao (Estabilidade)

A funcao de transferencia H(z) e denominada assintoticamente

estavel se ela for analıtica em todos os pontos da regiao |z | ≥ 1.

Como consequencia :

Todos os polos de H(z) estao localizados na regiao |z| < 1.limk→+∞h(k) = 0.

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Resposta em frequencia

A resposta em frequencia de um sistema com funcao detransferencia H(z) e simplesmente dada por H(ejω) para todoω ∈ R. Isto exige que todos os pontos do cırculo unitario doplano complexo estejam no domınio de H(z), isto e

z = ejω ∈ D(H) , ∀ ω ∈ R

Desta forma, devemos nos restringir ao calculo da respostaem frequencia apenas para sistemas assintoticamente estaveis.Para esta classe de sistemas, o efeito das condicoes iniciaisdesaparece no decorrer do tempo pois H0(z) e H(z) tem osmesmos polos e portanto limk→+∞h0(k) = 0. A sua saıdatende a uma funcao que depende exclusivamente da entrada,denominada solucao de regime permanente.

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Considerando a entrada g(k) = ejωk para k ≥ 0 temos comoresposta

y(z) = H0(z) + H(z)z

(z − ejω)

cuja decomposicao em fracoes parciais resulta em

y(z) = H0(z) + R(z) +H(ejω)z

(z − ejω)

onde R(z) denota os demais termos da decomposicao. Comoos polos de R(z) sao aqueles de H(z) tem-selimk→+∞r(k) = 0 de tal forma que para k suficientementegrande

y(k) ≈ H(ejω)ejωk := yperm(k)

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Exemplo : A figura abaixo mostra yperm(kT ) e a respostay(kT ) com T = 0.05 [s] a partir de condicoes iniciais nulas,de uma suspensao

H(z) =0.3596z − 0.1481

z2 − 1.529z + 0.7408, g(k) = (1/4)sen(10(kT ))

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

kT

Observe que ambas coincidem so apos um certo tempo.60 / 80




A resposta em frequencia de um sistema a tempo discretotambem pode ser representada graficamente atraves dosDiagramas de Bode de Modulo e de Fase, definidosrespectivamente por

A(ω)dB × log(ω) , ∀ ω ∈ (0, π)

φ(ω) × log(ω) , ∀ ω ∈ (0, π)

onde A(ω)dB e o modulo de H(ejω) expresso em decibeis eφ(ω) e a fase de H(ejω) expressa em graus ou radianos.

Fato (Periodicidade)

A funcao z = ejω e periodica com perıodo 2π. O mesmo ocorre

com H(ejω). Como H(e−jω) = H(ejω)∗, basta representa-la em

meio perıodo.

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Os diagramas de Bode sao calculados numericamente semgrandes dificuldades. Diferentemente do caso contınuo, por setratar de funcoes periodicas, eles nao admitem assıntotaslineares. Para contornar esta dificuldade notamos que aigualdade

ejω =1 + s

1 − s

∣∣∣∣s=jtan(ω/2)

, ∀ ω ∈ (0, π)

permite determinar o valor de ejω atraves de uma fracaoracional calculada em s = jw onde

w = tan(ω/2) ∈ (0,+∞)

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A partir da funcao de transferencia H(z) podemos determinara funcao de transferencia modificada

Hmod(s) = H

(1 + s

1 − s

)

que e racional sempre que H(z) for racional. Construindo osdiagramas de Bode (inclusive os assintoticos) para Hmod(jw)com w ∈ (0,+∞) da maneira como tratamos os sistemas atempo contınuo, obtemos H(ejω) para

ω = 2arctan(w)

pois w ∈ (0,+∞) fornece ω ∈ (0, π).

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A transformacao

z =1 + s

1 − s

e denominada bilinear. Ela mapeia todos os pontos dosemiplano Re(s) < 0 em todos os pontos do cırculo unitario|z | < 1 e vice-versa.

Como consequencia :

Sistemas discretos estaveis sao mapeados em sistemascontınuos estaveis e vice-versa.

Hmod(s)︸︷︷︸

Re(s)<0

⇐⇒ H(z)︸︷︷︸

|z|<1

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Uma maneira de calcular Hmod(s) e fatorar H(z) na forma

H(z) = KΠm

i=1(z − qi )

Πni=1(z − pi )

e por substituicao obtemos

Hmod(s) = KΠm

i=1((1 + qi )s + (1 − qi ))

Πni=1((1 + pi )s + (1 − pi ))

︸︷︷︸

I

(1 − s)n−m

︸︷︷︸

II

onde notamos que Hmod(s) e sempre propria.

A parte I e de fase mınima desde que H(z) tambem seja.Os diagramas de Bode da parte II sao bastante simples deserem obtidos. O modulo e igual ao de (1 + s)n−m e a fasetem sinal contrario.

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Exemplo

Abaixo vemos os diagramas de Bode para

H(z) =z − 0.5

(z + 0.5)2

Bode Diagram

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

−180

−135

−90

−45

0

45

System: H Frequency (rad/sec): 2

Phase (deg): −34.4

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

System: H Frequency (rad/sec): 2

Magnitude (dB): 3.82

ω [rad/s]

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Exemplo

Abaixo vemos os diagramas de Bode para

Hmod(s) =1.5s + 0.5

0.25s2 + 1.5s + 2.25(1 − s)

Bode Diagram

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

System: Hmod Frequency (rad/sec): 1.56 Magnitude (dB): 3.83

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

45

System: Hmod Frequency (rad/sec): 1.56 Phase (deg): −34.5

w [rad/s]

67 / 80



Exemplo

Nas figuras anteriores colocamos em evidencia os valores demagnitude e de fase obtidos com a transformacao bilinearatraves da relacao

ω = 2 [rad/s] ⇐⇒ w = tan(1) = 1.56 [rad/s]

Os seguintes pontos sao importantes :

Para Hmod(s) as assıntotas podem ser calculadas. Observe quea sua resposta em frequencia e calculada para s = jw onde,como e usual no caso contınuo no tempo, w ∈ (0, +∞).Se H(z) for uma funcao de fase mınima, o mesmo se dara comHmod(s) desde que n = m. Nos demais casos, Hmod(s) seraigual ao produto de uma funcao de fase mınima por(1 − s)n−m, fazendo com que n − m zeros ocorram em s = 1.Este termo adicional deve ser manipulado com o devidocuidado.

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Discretizacao

Funcao de transferencia pulsada

O objetivo central e representar, mesmo queaproximadamente, um sistema a tempo contınuo atraves deum sistema a tempo discreto. Isto e conseguido com umaoperacao denominada discretizacao. Seja f (t) uma funcaodefinida para todo t ≥ 0 e um escalar T > 0.

Dada f (t), os valores f (kT ) para todo k ∈ N sao denominadosamostras e T e denominado perıodo de amostragem.Dada a sequencia f (kT ) podemos determinar f (t) atraves dealguma aproximacao. A mais evidente e

f (t) ≈ f0(t) := f (kT ) , ∀ kT ≤ t < (k + 1)T

O erro entre f (t) e f0(t) pode ser controlado a partir daescolha adequada de T > 0.

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Discretizacao


A transformada de Laplace de f0(t) e

f0(s) =∞∑

k=0

f (kT )

∫ (k+1)T

kT

e−stdt

=1 − e−Ts

s︸︷︷︸

S0(s)

∞∑

k=0

f (kT )e−kTs

︸︷︷︸

f∗(s)

onde :O dispositivo com funcao de transferencia S0(s) e denominadosegurador de ordem zero - SOZ =⇒ s0(t) = υ(t) − υ(t − T ).A transformada f∗(s) define a funcao amostrada ideal

f∗(t) =

∞∑

k=0

f (kT )δ(t − kT )

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Discretizacao


O amostrador ideal e ilustrado atraves do seguinte diagramade blocos

f (t) f∗(t)

[T ]

Deve ser observado o aparecimento, em t = kT , de umimpulso com intensidade f (kT ). E claro que f∗(t) so contemas informacoes a respeito de f (t) nos instantes deamostragem t = kT para todo k ∈ N.

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Discretizacao


O segurador de ordem zero e ilustrado atraves do seguintediagrama de blocos

f0(t)f∗(t)

SOZ

O SOZ apenas completa com o valor constante f (kT ) todo ointervalo de tempo entre duas amostras sucessivas. Para T

pequeno (muitas amostras por unidade de tempo), o erroentre f (t) e f0(t) tende a ser tambem pequeno.

72 / 80


Discretizacao


A resposta em frequencia do segurador de ordem zero e

S0(jω) = T sinc

(ωT

2

)

e−jωT/2

A figura abaixo mostra o modulo e a fase de S0(jω) emescalas lineares para T = 2 [s].

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−15 −10 −5 0 5 10 15−200

−100

0

100

200

ω [rad/s]

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Discretizacao


Considere um sistema contınuo no tempo com resposta aoimpulso h(t) = L−1(H(s)) definida para todo t ≥ 0. Parauma entrada g(t) qualquer obtemos a saıda h(t) ∗ g(t). Sesubstituirmos g(t) por g∗(t) temos

y(t) = h(t) ∗

(∞∑

i=0

g(iT )δ(t − iT )

)

=∞∑

k=0

g(iT )h(t − iT )

que leva a

y(kT ) =

∞∑

k=0

g(iT )h(kT − iT )

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Discretizacao


Ou, de forma equivalente

y(kT ) = h(kT ) • g(kT ) ⇐⇒ y(z) = H(z)g (z)

ondeH(z) := Z(h(kT ))

a transformada Z da sequencia formada pelas amostras daresposta ao impulso do sistema e denominada funcao detransferencia pulsada. Observe que as amostras da entradag(kT ) permitem determinar a transformada g(z) a qual,multiplicada pela funcao de transferencia pulsada, fornece atransformada das amostras da saıda.

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Discretizacao


Em varias situacoes praticas e importante fazermos oscalculos anteriores mas para a entrada g0(t) no lugar deg∗(t). Isto se deve ao fato ja mencionado de que g0(t) podese aproximar arbitrariamente de g(t) por uma escolhaconveniente do perıodo de amostragem. Notando que

y(t) = h(t) ∗ g0(t)

= h(t) ∗ (s(t) ∗ g∗(t))

= r(t) ∗ g∗(t)

obtemos y(z) = R(z)g(z) onde R(z) = Z(r(kT )) e

r(t) = h(t) ∗ s(t) ⇐⇒ r(s) =

(H(s)

s

)

− e−sT

(H(s)

s

)

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Discretizacao


Os mesmos calculos anteriores podem ser realizados a partirda representacao de estado

x(t) = Ax(t) + Bg0(t) , x(0) = x0

y(t) = Cx(t) + Dg0(t)

Com a notacao simplificada x(k) := x(t)|t=kT temos

x(k + 1) = eA(k+1)T x0 +

∫ (k+1)T

0eA((k+1)T−τ)Bg0(τ)dτ

= eAT x(k) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)Bg0(τ)dτ

= eAT x(k) +

(∫ T

0eAξBdξ

)

g(k)

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Discretizacao


A representacao de estado da funcao de transferencia pulsadae expressa na forma

x(k + 1) = Fx(k) + Jg(k) , x(0) = x0

y(k) = Cx(k) + Dg(k)

onde as matrizes indicadas sao dadas por

F = eAT , J =

∫ T

0eAξBdξ

Felizmente estas matrizes podem ser calculadas de maneirabastante eficiente a partir da relacao

Γ :=

[A B

0 0

]

=⇒ eΓT =

[F J

0 1

]

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Discretizacao

Exemplo

Abaixo mostramos a funcao de transferencia pulsada com umSOZ na entrada, perıodo de amostragem T = 0.15 [s] para

H(s) =15s2 + 16s + 6

s4 + 7s3 + 15s2 + 16s + 6

0 1 2 3 4 5 6 7−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t, kT [s]

g(t) = υ(t)

g(t) = e−t

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Discretizacao


A resposta em frequencia da funcao de transferencia pulsada eobtida a partir da entrada g(t) = ejωt com t ≥ 0. Asamostras, colhidas com perıodo T > 0, permitem calcular

g(kT ) = ejkωT =⇒ g(z) =z

z − ejωT

e portanto

yperm(kT ) = H(ejωT )ejkωT , ∀ k ∈ N

torna aparente que e relevante representar a funcao detransferencia pulsada H(z) para z = ejωT com ω ∈ (0, π/T ).Neste caso, a transformacao bilinear se aplica com a ligeiramodificacao w = tan(ωT/2).

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analise linear de sistemas´ - dt - home pagegeromel/alin_disc.pdf · cap´ıtulo ii - fundamentos...

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