ADL17

4.1 Pólos, Zeros e Resposta do SistemaA resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural.

Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a aplicação da transformada de

Laplace permitam calcular essa resposta, tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo.O uso de

pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no domínio do tempo simplifica e torna mais

rápida a análise.

Pólos de uma Função de Transferência1. valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se

tome infinita

2. quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às raízes do numerador.

Zeros de uma Função de Transferência1. os valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se

torne igual a zero.

2. quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às raízes do denominador.

3. Pólos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: Um Exemplo

Dada a função de transferência G(s) da figura, há um pólo em s = —5 e um zero em —2. Estes valores são

plotados no plano complexo s

Vejamos a resposta do sistema a um degrau unitário. Multiplicando a função de transferência da figura pela transformada de um degrau resulta

(4.1)

onde

Assim,

(4.2)

Podemos concluir que:

1. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada (isto é, o pólo na origem gerou a função degrau na saída).

2. Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural (isto é, o pólo em —5 gerou e-5t ).3. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma e-�t, onde -� é a localização

do pólo sobre o eixo real. Assim, quanto mais à esquerda fique situado o pólo sobre o semi-eixo real negativo, tanto mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para zero.

4. Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natural e forçada (isto pode ser visto a partir dos cálculos de A e B na Eq. (4.1)).

Exemplo 4.1

Cálculo da resposta usando pólos

Problema , escrever a saída, c(t), em termos genéricos.

Solução Por inspeção. cada pólo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta natural. O pólo da entrada gera a resposta forçada. Por conseguinte,

Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos

4.3 Sistemas de Primeira OrdemUm sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na figura abaixo. Se a entrada for um degrau unitário, onde R(s) = l/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau será C(s), onde

(4.5)

Aplicando a transformada de Laplace inversa, a resposta ao degrau é dada por

(4.6)

onde o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada cf(t) = 1, e o pólo do sistema em -a, gerou a resposta natural cn(t) = -e-at . A Eq. (4.6) está plotada na Fig. 4.5.

(4.3a)

(4.3b)

(4.4)

Constante de TempoChamamos 1/a de constante de tempo da resposta. Com base na Eq. (4.7), podemos descrever a constante de tempo como o tempo necessário para que a resposta c(t) se reduza a 37% do seu valor inicial. Alternativamente, com base na Eq. (4.8), a constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final (ver Fig. 4.5 abaixo).

Examinemos a importância do parâmetro a, o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória. Quando t = 1/a

(4.7)

(4.8)

O inverso da constante de tempo é homogêneo a l/segundos, ou seja, a freqüência. Assim, podemos chamar o parâmetro a de freqüência exponencial. Como a derivada de e-at é -a para t = 0. a é a taxa inicial de variação da exponencial em t =0. A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama de pólos (ver figura da pág. Anterior).Quanto mais longe do eixo imaginário o pólo se situa, tanto mais rápida será a resposta transitória.

Tempo de Subida,TrO tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu

valor final.O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq. (4.6) . Portanto,

(4.9)

Tempo de Assentamento (acomodação), Ts (Ta)O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de 2% em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c(t) = 0,98 na Eq. (4.6) e resolvendo cm função de t:

Funções de Transferência de Primeira Ordem Obtidas ExperimentalmenteFrequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema. Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente. Com uma entrada em degrau, podemos medir a constante de tempo e o valor de estado estacionário, a partir de cujos valores podemos calcular a função de transferência.Considere um sistema de primeira ordem simples, G(s) = K/(s + a), cuja resposta ao degrau é

Se pudermos identificar os valores de K e de a de ensaios em laboratório, poderemos obter a função transferência do sistema.

Por exemplo, suponha que a resposta ao degrau unitário seja dada na Fig. 4.6.• Curva com ausência de ultrapassagem e inclinação inicial não-nula.• Valor final é cerca de 0,72,• Constante de tempo é calculada onde a curva chega ao valor 0.63 X 0,72 = 0,45, ou seja cerca de 0.13 s. Em conseqüência, a = 1/0,13 = 7,7.

Com base na Eq. (4.11). a resposta forçada alcança o valor estacionário K/a = 0,72. Substituindo o valor de a, obtemos K = 5,54. Assim, a função de transferência do sistema é G(s) = 5,54/(s + 7,7).

(4.11)

(4.10)