Análise de Incertezas

AED-11

Erro e incerteza Em engenharia, erro não é sinônimo de

equívoco; Erro em medições está relacionada à incerteza

inerente a qualquer processo de medida. Nesse sentido eles são inevitáveis.

O que deve ser feito? Assegurar que sejam tão pequenos quanto possível; Obter uma estimativa confiável de quão pequenos

eles são.

Motivação Assessorar o procedimento experimental incluindo a

identificação de potenciais dificuldades: Passos necessários; Dificuldades a serem contornadas.

Identifica quais procedimentos são os principais responsáveis pela precisão do experimento – permite concentrar esforços em um número menor de detalhes;

Indica quando um experimento não é capaz de alcançar a precisão necessária para os fins a que se destina.

Motivação É a única forma de decidir se:

Os dados concordam com a teoria; Dados provenientes de diferentes laboratórios

concordam; Hipótese pode ser afirmada; Fenômenos medidos são reais.

Dão indícios de como conduzir o experimento;

Como lidar com o fato de não conhecer o valor verdadeiro? Em todas as situações reais, nós não

conhecemos de antemão o valor verdadeiro da grandeza que queremos medir;

Faz-se, então, necessário obter: A melhor representação desse valor verdadeiro A incerteza associada a esse erro.

Estado de controle estatístico; Tipos de erro: Aleatório e Sistemático;

Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico

Conceitos Iniciais:

Valor Verdadeiro:É aquele obtido utilizando: 1. os melhores instrumentos disponíveis 2. uma metodologia experimental exemplar, formulada por especialistas com grande experiencia

Processo de Medida (Procedimento Experimental):É a técnica usada para se fazer uma medida com um determinado instrumento.

NOTA: O resultado experimental obtido com um instrumento depende do processo de medida usado.

Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico

Conceitos Iniciais:

Processo de Medida em Estado de Controle Estatistico:

É o procedimento experimental, no qual todas as entradas (interferentes e/ou modificadoras) determinísticas estão controladas. Existem somente entradas que afetam a medida de forma aleatória.

Preciso

Impreciso

Inexato

Exato

Estimando o valor verdadeiro e o erro associado Uma boa estimativa do valor verdadeiro da

grandeza medida pode ser obtida através da repetitividade dos experimentos: A melhor estimativa do valor verdadeiro é a média obtida

através desses experimentos; O erro aleatório é, geralmente, da mesma ordem de

grandeza do desvio padrão das medidas ; Desvio padrão e desvio padrão da média: qual a

diferença??? E o erro sistemático, como estimar???

Estimando o valor verdadeiro e o erro associado Identificamos dois tipos de erros: sistemáticos

e aleatórios: Erros aleatórios podem ser controlados por meio

da repetitividade dos experimentos Erros sistemáticos não são afetados pela

repetição de experimentos. Devem ser estimados usando informações externas (especificações, conhecimento prévio)

Os dois erros devem ser então combinados para fornecer o erro final.

Célula de carga

V

Célula de carga

Roldana

Massa padrão

 

        

     

(a)

              

(b)

Calibração de uma célula de carga para ensaio aerodinâmico

Aparato Experimental

Tabela 1: resultados das medidas realizadas com a célula de carga, para uma

entrada padrão de 100 gramas. 

Medida Diferença de Potencial (Volt)

Medida Diferença de Potencial (Volt)

1 1,05 11 1,19

2 1,08 12 1,07

3 1,21 13 1,13

4 1,17 14 1,10

5 1,12 15 1,08

6 1,06 16 1,04

7 1,11 17 1,13

8 1,03 18 1,08

9 1,09 19 0,99

10 1,14 20 1,14

Resultados da Calibração da Célula de Carga

N

iiM X

NX

1

1

Definição de Média de Desvio Padrão

Mii XXd

Média

Desvio Padrão

N

iiM d

Nd

1

1

2

1

2 )(1

N

iidNd

2

1

2 )(1

N

iidNd

Medida Desvio(Xi-XM)

(volt)

 

(Xi-XM)2(volt2)

Medida Desvio(Xi-XM)

(volt)

 

(Xi-XM)2(volt2)

1 -0.051 0.00260 11 0.089 0.00792

2 -0.021 0.00044 12 -0.031 0.00096

3 0.109 0.01188 13 0.029 0.00084

4 0.069 0.00476 14 -0.001 0.000001

5 0.019 0.00036 15 -0.021 0.00044

6 -0.041 0.00168 16 -0.061 0.00372

7 0.009 0.00008 17 0.029 0.00084

8 -0.071 0.00504 18 -0.021 0.00044

9 -0.011 0.00012 19 -0.111 0.01232

10 0.039 0.00152 20 0.039 0.00152

Desvio de cada medida com relação a médiaXM = 1,101 volt. = 0,054

0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Vo lt)

0

2

4

6

8

Núm

ero

de m

edid

as e

m c

ada

sub-

faix

a

Histograma Associado aos Resultados Experimentais

0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Volt)

0

2

4

6

8D

ensi

dade

de

Pro

babi

lidad

e (D

P)

faixassub das Larguraoexperiment no realizada medidas de totalNúmero

faixa-sub cada em medidas de Número

DP

Distribuição Densidade de Probabilidade

0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m edidas (Volt)

0

2

4

6

8

Den

sida

de d

e P

roba

bilid

ade

(DP

)

0 ,05 0,05

0.95 1.05 1.15 1.250.90 1.00 1.10 1.20 1.30Valores obtidos nas m ed idas (Volt)

0

2

4

6

8

Den

sida

de d

e P

roba

bilid

ade

(DP

)

0 ,10 0,10

ΔX x DPoexperiment no realizada medidas de totalNúmero

faixa-sub cada em medidas de Número

Confiabilidade Associada a um Intervalo de Incerteza

Probabilidade = 65% Probabilidade = 90%

dX

oexperiment no realizada medidas de totalNúmerofaixa-sub cada em medidas de Número

Xf

2

1

)(21

X

XdXXfXXXP

X

X1 X2

f(X)

Função Densidade de Probabilidade

p/ - < X < +2

2

2)(

21)(

MXX

eXf

Função Gaussiana

0 .00 0 .40 0 .80 1 .20 1 .60 2 .00Valores obtidos no experim ento (X)

0 .00

1 .00

2 .00

3 .00

4 .00

Funç

ão D

ensid

ade d

e Pro

babi

lidad

e, f(X

) Função GaussianaValor m édio = 1 .10

Desvio padrão:

0 ,100 ,20

Intervalos de Confiança

Largura do intervalo de

incerteza (X)

Probabilidade (Nível de Confiança)

0,683 68,3% 2 0,954 95,4%

3 0,997 99,7%

São a forma mais corriqueira de representar a precisão de um resultado;

Dependem do desvio padrão e da distribuição estatística do fenômeno em questão (normal, gama, Weibull, etc);

E se essa distribuição for desconhecida?

Relação entre a largura do intervalo de incerteza e a probabilidade de um resultado estar contido no mesmo.

Largura do intervalo de incerteza (X)

Probabilidade

0,683 68,3%

2 0,954 95,4% 3 0,997 99,7%

X = P(XM - X < X < XM + X) = 0,683 =

 X = 2 P(XM - X < X < XM + X) = 0,954 =  

X = 3 P(XM - X < X < XM + X) = 0,997 =

115,215,2

12121

1356356

Aparato Experimental p/ a Calibração de uma Célula de Carga

Célula de carga

V

Célula de carga

Roldana

Massa padrão

 

        

     

(a)

              

(b)

Aparato Experimental

1.      Inicialmente, deve-se fazer o ajuste do valor inicial da grandeza padrão

2.      Após a espera de um tempo, deve-se fazer a leitura do voltímetro.

3.      No próximo passo, coloca-se sobre o prato um massa padrão (por exemplo, 50 gr)

4.      Após a espera de um tempo, faz-se a leitura do voltímetro.

5.      Na seqüência, novas massas padrão são adicionadas - carregamento do instrumento.

6.      O processo mostrado acima prossegue até o final da faixa de calibração.

7.      Se possível, um carregamento adicional deve ser dado ao instrumento, porém, não se faz a leitura do voltímetro.

8.      Na seqüência, as massas que estão no prato devem ser retiradas de modo a descarregar o instrumento.

9. O última medida é feita para o prato sem massas padrão

Procedimento Experimental p/ Calibração

0.00 2.00 4.00 6.0 0Força de Arrasto (N ewtons)

-4 .0 0

-2.0 0

0.0 0

2.0 0

4.0 0

6.0 0

Tens

ão d

e Saíd

a (V

olts)

Carregam entoDescarregam ento

Resultados do Ensaio de Calibração

N

iidS

1

2

)( iii XfYd

Para ajuste de uma reta  

Para ajuste de uma parábola  Para ajuste de uma exponencial

baXXfY )(

cbXaXXfY 2)(

baeXfY X )(

Ajuste de Curva p/ Ensaio de Calibração

N

iii baXYS

1

2

Minimizar

)()( iiiY XfYd

Determinação da Incerteza no Eixo - Y

X2

Y2

F(X2)

(dY)2

X

Y

Y = f(X)

X2

Y2

              

 

2

1

2 )(1

N

iiiY XfY

NS

Para ajuste de uma reta baXXfY )(

Desvio Padrão da Variável - Y

2

1

2 1

N

iiiY baXY

NS

)(YgX )(XfY

Desvio Padrão da Variável - X

Inversa

)()( iiiX YgXd

X2

Y2

g(Y2)

(dX)2

X

Y

Y = f(X)

X2

X = g(Y)

Y2

)()( iiiX YgXd

2

1

2 )(1

N

iiiX YgX

NS

abYYgX

)(

2

1

2 1

N

i

iiX a

bYX

NS

2

22

aS

S YX

Desvio Padrão da Variável - X

2

11

2

22

)(

.

N

ii

N

ii

Ya

XXN

SNS

2

11

2

2

1

2

2

)(

N

ii

N

ii

Y

N

ii

b

XXN

SXS

2

1

2 )(1

N

iiiY XfY

NS

Desvio Padrão dos Coeficientes Angular e Linear

baXXfY )(

Rejeição de Dados Dilema ético (olha a DC!!): se durante um

experimento aparecer uma medida que discorda muito das anteriores: É um dado significante? É um erro?

Existe um critério para tomar essa decisão – Critério de Chauvenaut:

O Critério de Chauvenet Suponha que os resultados obtidos a partir das

medições sejam normalmente distribuídas; Se o valor é mais afastado da média do que M

desvios padrões (M = 3, por exemplo), então a probabilidade dele ocorrer é menor que 0,003.

Isso é improvável o suficiente para descartar a medida em questão?

O limiar do “ridiculamente improvável” fica a cargo do experimentador, que deve deixar claro em seu relatório o critério empregado.

Propagação de Erros

Como, na realidade, os dxi são quantidades muito pequenas, o último termo da equação acima pode ser desprezado;

O termo cruzado dxidxj também pode ser desprezado se as variáveis forem independentes: para um determinado desvio em xi os desvios das demais variáveis podem apresentar quaiquer valores, tanto positivos quanto negativos. Assim depois de muitas medidas, termos positivos e negativos devem cancelar-se.

32

222

iji

jii

i

ii

i

dxOxf

xfdxdx

xfdx

dxOxfdxdf

Sensibilidade

nuuuuf ,...,,, 321

Propagação de Incertezas

nn uuuuuuuuf ,...,,, 332211

TOSuufu

ufu

ufu

ufuuuuf nn

1

33

22

11

321 ...,...,,,

nuufu

ufu

ufu

uf

13

32

21

1

...

)(

Expansão em série de Taylor:

nuufu

ufu

ufu

uf

13

32

21

1

...

2

1

2

33

2

22

2

11

...

nuuf

uuf

uuf

uuf

Propagação de Incertezas

Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites absolutos

Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites relativos

nuufu

ufu

ufu

uf

13

32

21

1

...

Incertezas de Cada Instrumento p/ uma Dada Incerteza Final

Método dos Efeitos Iguais

Objetivo: Determinar valores de u1,u2, u3, ..., um p/ uma valor requerido de

ii

nn

uufu

ufu

ufu

ufu

uf

...3

32

21

1

ii

uufN

i

i

ufN

u

Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites absolutos

Incertezas de Cada Instrumento p/ uma Dada Incerteza Final

Incertezas u1, u2, u3, ..., un devem ser consideradas como limites relativos

Método dos Efeitos Iguais

Objetivo: Determinar valores de u1,u2, u3, ..., um p/ uma valor requerido de

22

ii

uufN

i

i

ufN

u

2

1

2

33

2

22

2

11

...

nuufu

ufu

ufu

uf

222

33

2

22

2

11

...

ii

nn

uufu

ufu

ufu

ufu

uf

Verificando a Viabilidade do Modelo

Resíduos padronizados

O Coeficiente de Determinação

Qual porção da variabilidade de y pode ser atribuída ao fato de que x e y estão relacionados linearmente? Quão bem o meu modelo é capaz de explicar a variabilidade de y a partir do modelo linear proposto?

A soma dos quadrados dos erros SQE pode ser interpretada como uma medida da quantidade de variação em y deixada inexplicada pelo modelo, ou seja, que não pode ser atribuido a uma relação linear.

Uma medida quantitativa da quantidade total de variação nos valores observados de y é dada pela soma total dos quadrados (SQT).

O Coeficiente de Determinação