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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ANÁLISE DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO

COMPORTAMENTO DE CASCAS CILÍNDRICAS

AUGUSTA FINOTTI BRAZÃO

GOIÂNIA 2011


ANÁLISE DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO


Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Dr. Frederico Martins Alves da Silva

GOIÂNIA 2011


ANÁLISE DE IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS NO


Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.

Aprovada em ______ / ______ / ______.

__________________________________________________________ Prof. Dr. Frederico Martins Alves da Silva (Presidente) Universidade Federal de Goiás __________________________________________________________ Prof. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (Examinador) Universidade Federal de Goiás __________________________________________________________ Prof. Dr. Zenón José Guzmán Nuñez del Prado (Examinador) Universidade Federal de Goiás

Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:

_______________________________________

Orientador

Em: _______ / _______ / _______

À Cláudia, ao Márcio, à Maria Fernanda, ao Delcides Netto e a todos meus familiares com amor e carinho.

A. F. Brazão

AGRADECIMENTOS

É uma grande conquista graduar em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Goiás.

Tenho orgulho de saber que, apesar de todos os desafios, eu consegui. Mas esta vitória não é

só minha, por isso quero fazer meus agradecimentos.

Primeiramente, gostaria de agradecer a Deus, por ter me proporcionado oportunidades em que

pude ver os verdadeiros valores da vida.

Aos meus pais Márcio e Cláudia, por todo apoio, amor, dedicação e carinho que me

motivaram e ajudaram a seguir meu caminho, independente dos obstáculos. À minha filha

Maria Fernanda, por ser a razão da minha vida. Ao meu noivo Delcides Netto, por todo

companheirismo, paciência e amor. E a todos meus familiares, que sempre me apoiaram e

contribuíram para esta conquista, entre eles: Matheus, Leonardo, Vonice, Terezinha, Lutel,

Márcia, Antônio e Catarina.

Ao meu orientador, Professor Frederico, por sua dedicação e paciência, além do grande

entusiasmo em me ensinar desde a iniciação científica. Aos meus professores, Sylvia Regina,

Zenon e Daniel, pela motivação e pelo apoio.

A todos os meus professores, pela dedicação e pelo aprendizado que me proporcionaram, que

me fizeram chegar até aqui.

Aos meus amigos que fizeram parte desta jornada e que sempre tiveram comigo, tanto nos

bons quanto nos maus momentos.

A. F. Brazão

RESUMO

Utilizando a teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas, este trabalho apresenta uma

metodologia para a determinação dos campos de deslocamentos axial e circunferencial em

função do campo de deslocamento lateral de uma casca cilíndrica com imperfeição

geométrica inicial. A solução modal utilizada é obtida através do método da perturbação e é

capaz de atender as equações de equilíbrio no plano e as condições de contorno, simetria e

continuidade da casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. A equação de

movimento na direção lateral é discretizada pelo método de Galerkin. São feitas análises não-

lineares estática e dinâmica, em que é possível detectar o real comportamento de cascas

cilíndricas imperfeitas. A qualidade do modelo proposto é comprovada com a convergência

do estudo do caminho pós-crítico, da relação freqüência-amplitude, da curva de sensibilidade

e do plano-fase. Observa-se que a influência da imperfeição geométrica inicial na capacidade

de carga e na freqüência natural da casca cilíndrica imperfeita ocorre de forma inversa, ou

seja, a medida que a amplitude da imperfeição aumenta ocorre a diminuição da capacidade de

carga e da freqüência natural. Além disso, o pré-carregamento estático tem um forte

comportamento na relação freqüência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita.

Palavras-chaves: cascas; imperfeição; estática; dinâmica; não-linear.

A. F. Brazão

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Representação da aplicação de cascas cilíndricas em silo e reservatório ............ 15

Figura 2.1 – Geometria, sistema de coordenadas e campo de deslocamento da casca

cilíndrica. ............................................................................................................................. 22

Figura 2.2 – Campo de deslocamento lateral da casca cilíndrica imperfeita .......................... 23

Figura 2.3 – Resultantes dos esforços de membrana e convenção de sinais ........................... 26

Figura 2.4 – Resultantes dos esforços de flexão e convenção de sinais ................................. 26

Figura 3.1 – Caminho pós-crítico da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões

para deslocamentos laterais e diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial................. 38

Figura 3.2 – Caminho pós-crítico para solução modal com seis graus de liberdade para

diferentes níveis de imperfeição ........................................................................................... 39

Figura 3.3 – Curva de sensibilidade para casca cilíndrica imperfeita axialmente

comprimida .......................................................................................................................... 39

Figura 3.4 – Relação frequência-amplitude da casca cilíndrica, considerando diferentes

expansões para deslocamentos laterais e diferentes níveis para a imperfeição geométrica

inicial ................................................................................................................................... 41

Figura 3.5 – Relação freqüência-amplitude para diferentes níveis de imperfeição geométrica

inicial. Modelo com seis graus de liberdade ......................................................................... 42

Figura 3.6 – Curva de sensibilidade da frequência natural para uma casca cilíndrica

imperfeita............................................................................................................................. 42

Figura 3.7 – Plano fase para a casca cilíndrica imperfeita (χ11 = 0,01) ao longo da relação

frequência-amplitude para diversas soluções modais ............................................................ 44

Figura 3.8 – Relação freqüência-amplitude considerando diferentes níveis de carregamento

axial estático e níveis de imperfeição geométrica inicial ....................................................... 45

A. F. Brazão

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Condições iniciais dos pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4 .............................. 43

A. F. Brazão

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos romanos

C1 - Constante de integração

C2 - Constante de integração

E - módulo de elasticidade da casca cilíndrica

f - função axial para a determinação do campo de deslocamento axial

F - função da parcela da solução homogênea para a determinação do campo de

deslocamento axial

G - função da parcela da solução homogênea para a determinação do campo de

deslocamento axial

h - espessura da casca cilíndrica

kx - mudança de curvatura na direção axial

ky - mudança de curvatura na direção circunferencial

kxy - mudança de curvatura no plano x-y

L - comprimento da casca cilíndrica

R - raio da casca cilíndrica

n - número de ondas circunferenciais

Nx - esforço de membrana na direção axial

Nx+ - esforço de membrana incremental na direção axial

Ny - esforço de membrana na direção circunferencial

Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas

A. F. Brazão

Ny+ - esforço de membrana incremental na direção circunferencial

Nxy - esforço de membrana cisalhante

Nxy+ - esforço de membrana incremental cisalhante

m - número de semi-ondas longitudinais

Mx - momento na direção axial

Mx+ - momento incremental na direção axial

My - momento na direção circunferencial

My+ - momento incremental na direção circunferencial

Mxy - momento torçor

Mxy+ - momento torçor incremental

P - carga na direção axial

Qx - esforço cisalhante transversal na face cuja a normal é x

Qy - esforço cisalhante transversal na face cuja a normal é y

Qx+ - esforço cisalhante transversal incremental na face cuja a normal é x

Qy+ - esforço cisalhante transversal incremental na face cuja a normal é y

t - tempo

u - deslocamento na direção longitudinal

v - deslocamento na direção circunferencial

w - deslocamento na direção lateral

wp - deslocamento incremental na direção lateral

wi - imperfeição geométrica inicial


A. F. Brazão

w&& - aceleração

x - coordenada na direção longitudinal

y - coordenada na direção circunferencial

z - coordenada na direção lateral

Símbolos gregos

11χ - amplitude modal da imperfeição geométrica inicial

xε - deformação específica axial

xε - deformação específica axial em um ponto qualquer da casca

yε - deformação específica circunferencial

yε - deformação especifica circunferencial em um ponto qualquer da casca

yxγ - deformação específica angular

yxγ - deformação especifica angular em um ponto qualquer da casca

ρ - densidade do material da casca cilíndrica

xσ - tensão axial em um ponto qualquer

yσ - tensão circunferencial em um ponto qualquer

xyτ - tensão cisalhante em um ponto qualquer

0Γ - parâmetro adimensional do pré-carregamento axial estático


A. F. Brazão

máxΓ - Parâmetro adimensional do nível máximo de carregamento

Ω - freqüência natural não-linear da casca cilíndrica

P0Ω - freqüência natural da casca cilíndrica perfeita

*Ω - Relação entre freqüência natural não-linear e freqüência natural linear da

casca perfeita

υ - coeficiente de Poisson

ijξ - amplitude modal da expansão para os deslocamentos laterais

Matrizes e Vetores

σ - vetor de tensões atuantes

ε - vetor de deformações especificas

C - matriz constitutiva do material

A. F. Brazão

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................... 14

1.1. OBJETIVOS ......................................................................................................... 21

1.2. ESTRUTURA DA MONOGRAFIA .................................................................... 21

CAPÍTULO 2 – FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................ 22

2.1. CAMPO DE DEFORMAÇÕES........................................................................... 22

2.2. DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTO U E V ..................... 29

2.3. ESCOLHA DA EXPANSÃO MODAL PARA W ............................................... 33

CAPÍTULO 3 – RESULTADOS E DISCUSSÕES .......................................................... 36

3.1. ANÁLISE ESTÁTICA NÃO-LINEAR ............................................................... 36

3.2. ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR .............................................................. 40

CAPÍTULO 4 - CONCLUSÃO ......................................................................................... 47

4.1. TRABALHOS FUTUROS ................................................................................... 47

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 49

A. F. Brazão

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Nos últimos anos, a engenharia estrutural vem passando por grandes

aperfeiçoamentos, que vai desde os materiais empregados na construção até os procedimentos

de cálculo dos elementos. Devido a estes acontecimentos, as estruturas estão cada vez mais

esbeltas e leves. Um bom exemplo dessas estruturas são as cascas, um elemento cuja

espessura é menor que as outras dimensões. A combinação da simples geometria e da sua

eficiência para carregamentos axiais e pressões laterais faz com que a casca cilíndrica seja

uma das geometrias mais comuns entre as diversas cascas, tanto em aplicações industriais

quanto na natureza. Existem diversas aplicações de cascas cilíndricas nas mais variadas áreas

da engenharia como, por exemplo, a engenharia aeronáutica, a petrolífera, a mecânica e a civil

que tem suas aplicações em coberturas, reservatórios, silos, dentre outras (Figura 1.1). Apesar

de ter uma forma geométrica simples, uma casca cilíndrica pode apresentar um complexo

comportamento não-linear, quando submetida a uma excitação externa. Este comportamento

ainda não está totalmente compreendido e um grande conjunto de novos fenômenos não-

lineares ainda está sendo descoberto. Devido aos avanços teóricos e numéricos, a dinâmica

não-linear de cascas tem apresentado notáveis progressos. Uma das principais motivações

para o estudo do comportamento estático e dinâmico destas estruturas é a grande diferença

encontrada entre os resultados teóricos e experimentais reportados na literatura.

Sabe-se, a partir de resultados teóricos e experimentais encontrados na literatura,

que cascas cilíndricas submetidas a cargas estáticas, como a compressão axial, pressão radial

externa e torção, são suscetíveis a flambagem e podem apresentar uma capacidade de carga

muito menor do que a carga teórica crítica, devido principalmente aos efeitos das

imperfeições geométricas. As imperfeições mais deletérias para cascas cilíndricas são as

imperfeições geométricas iniciais, principalmente devido ao comportamento não linear de

cascas cilíndricas e a perda de rigidez da membrana, além do acoplamento modal e das

interações geradas por elas.

As imperfeições geométricas iniciais em cascas cilíndricas ocorrem, geralmente,

no momento em que a estrutura é fabricada, ou montada, provocando alguma alteração em

sua geometria. De acordo com a literatura, esta imperfeição geométrica tem influência no

Análise das imperfeições geométricas inicias no comportamento de cascas cilíndricas 15

A. F. Brazão

comportamento da casca cilíndrica, diminuindo sua capacidade de carga e alterando sua

freqüência natural.

Figura 1.1 –Representação da aplicação de cascas cilíndricas em silo e reservatório.

É possível encontrar na literatura diversos trabalhos que estudam a influência da

imperfeição geométrica no comportamento de cascas cilíndricas. Existem duas vertentes de

pesquisas, uma que faz a análise experimental enquanto a outra trata por soluções analítico-

numéricas. Essas vertentes, por sua vez, não são totalmente dissociadas, encontram-se na

literatura sobre o assunto trabalhos que envolvem estudos numéricos e experimentais.

Para realizar a análise numérica, diversos autores recorrem ao método dos

elementos finitos, como é o caso do trabalho realizado por Guggenberger (1995) que tem

como objetivo explicar o efeito de uma única imperfeição inicial localizada no

comportamento do carregamento de uma casca cilíndrica externamente pressurizada. A partir

de uma abrangente análise da estabilidade elástica não-linear, obtém os resultados numéricos

que são comparados com os resultados experimentais, chegando a uma boa concordância

entre eles, pelo menos qualitativamente. Já quantitativamente, os resultados apresentaram

discrepâncias nas cargas de flambagem e no número de ondas do modo de flambagem, que

podem ser atribuídos a diferenças intrínsecas aos modelos numérico e experimental.

Outro trabalho que também utiliza solução numérica através do método dos

elementos finitos é o dos autores Schenk e Schueller (2002), que estudam o efeito de

imperfeições geométricas aleatórias no limite de carregamento de cascas cilíndricas esbeltas

e isotrópicas sob carregamento axial. Para esta análise o conceito para a previsão numérica de

grande dispersão no limite de carregamento, observado nos experimentos, introduziu-se ao

método dos elementos finitos a técnica de simulação direta de Monte Carlo.

Devido à extensa capacidade de modelagem do método dos elementos finitos, que

tem sido aplicada para a determinação do carregamento limite, este conceito pode ser

estendido a uma análise mais complexa de flambagem, incluindo fontes adicionais de não-


A. F. Brazão

linearidades bem como estruturas mais complexas que as cascas cilíndricas. Uma pequena

desvantagem nessa abordagem é que a malha de elementos finitos para cascas cilíndricas

esbeltas tem que ser bastante refinada para que se reproduza a resposta da casca de forma

aceitável, exigindo um esforço computacional significativo. Entretanto, os autores acreditam

que, com a evolução contínua dos computadores digitais, esta desvantagem será superada em

um futuro imediato. Por último, este conceito precisa ser melhorado através da incorporação

de todas as incertezas que contribuem para a flambagem de cascas cilíndricas, por exemplo, a

espessura e as imperfeições nas condições de contorno.

Para realizar análises analítica-numéricas, diversos autores recorrem à função de

tensão de Airy para auxiliar a solução do sistema de equações de equilíbrio da casca, como é

o caso do trabalho de Amabili (2002), em que o autor estuda a resposta de grande-amplitude

de cascas cilíndricas perfeitas e imperfeitas simplesmente apoiadas para uma excitação

harmônica na vizinhança das freqüências naturais. A teoria não-linear de Donnell para cascas

abatidas é utilizada e as soluções são obtidas pelo método de Galerkin. As condições de

contorno no deslocamento radial e na continuidade do deslocamento circunferencial são

exatamente satisfeitos. Além disso, a casca cilíndrica está completamente cheia com um

fluido irrotacional, incompressível e não-viscoso. Sendo assim, é realizada uma série de

experimentos de vibrações forçadas de uma casca vazia e de uma cheia de água. A geometria

real da casca analisada foi medida e as imperfeições geométricas foram introduzidas no

modelo teórico.

Vários fenômenos não-lineares interessantes foram observados

experimentalmente e reproduzidos numericamente, tais como a não-linearidade da perda de

rigidez, os diferentes tipos de propagação de ondas nas proximidades da freqüência de

ressonância, a interação entre os modos com diferentes números de ondas circunferenciais e

as respostas no tempo da amplitude modal. Para todos os modos investigados, resultados

teóricos e numéricos são compatíveis. Isto indica que a teoria não-linear de Donnell para

cascas abatidas fornece resultados precisos dentro do limite de aplicabilidade da teoria, ou

seja, em cascas cilíndricas esbeltas. Para amplitude da vibração da ordem da espessura da

casca e com número de ondas circunferenciais maior do que quatro, o autor observa que

imperfeições geométricas com duas vezes o número de ondas circunferenciais provocam

maior efeito sobre a freqüência natural do que as imperfeições geométricas com uma vez o

número de ondas circunferenciais.


A. F. Brazão

Outro trabalho que utiliza função de tensão é o de Jansen (2004). O autor analisa o

comportamento não-linear das vibrações de cascas cilíndricas usando vários modelos

analítico-numéricos com diferentes níveis de precisão e complexidade. São comparadas as

relações freqüência-amplitude dos diferentes modelos de análise desenvolvidos tanto para

cascas isotrópicas quanto para ortotrópicas. Salienta-se que as pequenas discrepâncias entre os

resultados obtidos por diferentes pesquisadores para um determinado caso da literatura é

enganosa.

O autor observa que, em certos casos, a ocorrência de interações modais altera

drasticamente o comportamento não-linear de vibração e que os resultados calculados

dependem fortemente do método de análise escolhido. Nestes casos é necessário recorrer a

uma análise multimodal. Então, além da influência das interações modais, os efeitos das

condições de contorno, das imperfeições geométricas e do carregamento estático são questões

importantes para futuras investigações neste campo.

Jansen (2007) analisa o comportamento de vibração não-linear de cascas

cilíndricas anisotrópicas imperfeitas sob pré-carregamento estático através do método da

perturbação As equações da casca cilíndrica são resolvidas juntamente com as funções de

tensões de Airy. Os efeitos sobre as vibrações lineares e não-lineares causados pelas

imperfeições geométricas no estado estático fundamental e no estado não-trivial estático são

incluídos no procedimento de perturbação. As condições de contorno da casca cilíndrica são

satisfeitas com precisão. O autor avalia, a partir dos resultados apresentados, a potencialidade

do método da perturbação e conclui que o procedimento da perturbação é útil para obter uma

visão do comportamento não-linear de estruturas, incluindo problemas com interações

modais. O método da perturbação apresentado pode ser usado para diversas estruturas e em

todos os níveis de complexidade de discretização de um problema semi-analítico. Segundo o

autor, os problemas não se restringem ao contexto semi-analítico, podendo ser aplicado a

problemas com soluções por elementos finitos.

Posteriormente, continuando na vertente de soluções analíticas para cascas

cilíndricas que utilizam a função de tensão de Airy, Huang e Han (2008) estudam a

flambagem de cascas cilíndricas feitas com material com gradação funcional, axialmente

comprimidas e com imperfeições geométricas iniciais, utilizando a teoria não-linear de

Donnell para cascas abatidas e as relações não-lineares de tensão-deformação para grandes


A. F. Brazão

deformações. As equações discretizadas para o estudo da flambagem de cascas cilíndricas

imperfeitas são obtidas utilizando o método de Galerkin.

Os resultados numéricos mostram os efeitos da imperfeição, do tipo de estrutura,

do expoente da função de gradação do material, da temperatura e dos parâmetros

dimensionais na flambagem. Conclui-se que as cascas cilíndricas com material com gradação

funcional axialmente comprimidas têm comportamento semelhante ao das cascas cilíndricas

isotrópicas, ou seja, são muito sensíveis à imperfeição. Observa-se que a imperfeição muda

significativamente o modo de flambagem e, enquanto o modo de flambagem está relacionado

com a forma de onda da imperfeição, a carga crítica está relacionada tanto com a amplitude

quanto com a forma da onda da imperfeição. Além disso, a carga crítica diminui com o

aumento de temperatura e decresce com o aumento da relação raio/espessura ou com a

diminuição da relação comprimento/raio. Observa-se que a relação raio/espessura é o fator

dimensional mais importante que afeta a carga crítica.

Jamal et al. (2002) investigam a estabilidade de cascas cilíndricas esbeltas sujeitas

a um carregamento axial de compressão sob a presença de imperfeições localizadas e/ou

distribuídas. Este estudo é resolvido com técnicas de perturbação para se calcular a redução da

carga de flambagem de uma casca cilíndrica imperfeita sob compressão axial. Confirma-se a

grande sensibilidade de cascas cilíndricas sob carregamento axial de compressão na presença

das imperfeições. Os resultados obtidos pelo método proposto mostram resultados

satisfatórios até 30-40% de redução da carga de flambagem. Observa-se também que a

imperfeição localizada tem uma menor influência sobre a redução da carga de flambagem em

comparação com a imperfeição distribuída. Nesse trabalho, os autores descrevem a equação

de equilíbrio da casca cilíndrica juntamente com a equação de compatibilidade dos

deslocamentos, que por sua vez, são descritos em função das funções de tensões de Airy.

Pellicano e Amabili (2006) investigam a estabilidade dinâmica de cascas

cilíndricas submetidas a carregamentos axiais estáticos e dinâmicos, usando tanto a teoria

não-linear de Donnell para cascas abatidas quanto a teoria de Sanders-Koiter para cascas são

aplicadas. Os resultados são comparados a fim de avaliar a precisão dessas teorias na previsão

da instabilidade inicial e na resposta pós-crítica não-linear. Os autores estudam o efeito do

fluido e da influência de imperfeições geométricas na estabilidade das cascas cilíndricas e no

seu comportamento pós-crítico. Os autores observam que a presença de um fluido contido na

casca provoca efeitos de segurança no início da instabilidade e que a casca cilíndrica


A. F. Brazão

analisada não é sensível a pequenas imperfeições geométricas no que diz a respeito do início

da instabilidade.

Zhang e Han (2007) investigam o comportamento de pré-flambagem e pós-

flambagem de cascas cilíndricas submetidas à torção. As equações governantes são baseadas

nas equações diferenciais não-lineares de Donnell e a teoria de camada limite da casca

cilíndrica é aplicada para obter soluções analíticas que atendam estritamente às condições de

contorno. Além disso, a técnica de perturbação é empregada para determinar as cargas de

flambagem e os caminhos pós-críticos. O autor analisa os efeitos dos parâmetros geométricos

no comportamento de pré- e pós-flambagem e observa, através dos resultados numéricos, que

a teoria de Donnell dá boas estimativas dos caminhos pós-flambagem da casca cilíndrica.

Confirma-se, então, que o equilíbrio do caminho pós-crítico de cascas cilíndricas submetidas

à torção são instáveis e as cascas relativamente curtas têm maior equilíbrio do caminho de

pós-crítico.

São analisados, também pelo autor, os efeitos das imperfeições iniciais no

comportamento das cascas cilíndricas. Através dos resultados obtidos para cascas cilíndricas

imperfeitas com diferentes imperfeições transversais iniciais, observa-se que imperfeições

extremamente pequenas, de fato, reduzem a carga crítica e fazem com que o equilíbrio do

caminho pós-crítico seja mais baixo. Conclui-se que a flambagem e a pós-flambagem de

cascas cilíndricas submetidas à torção apresentam uma sensibilidade à imperfeição. Além

disso, os efeitos tornam-se maiores para grandes imperfeições.

Del Prado, Gonçalves e Paidoussis (2009) estudam a influência simultânea das

imperfeições geométricas e do fluxo de um fluido na direção axial nas vibrações não-lineares

e nas instabilidades da casca cilíndrica simplesmente apoiada sob carregamento axial. Os

resultados mostram que a imperfeição tem grande influência sobre a carga crítica de

flambagem da casca, e que este efeito deletério aumenta com a velocidade do fluxo do fluido.

Por outro lado, a influência das imperfeições geométricas na freqüência natural da casca e na

relação não-linear de freqüência-amplitude é menor. Concluiu-se que na presença de qualquer

pequena imperfeição, o grau de segurança e toda a topologia das bacias de atração mudam

radicalmente.

Nas formulações analíticas, além das soluções que recorrem a função de tensão de

Airy, pode-se obter a solução das três equações de equilíbrio da casca cilíndrica com

imperfeição geométrica inicial simultaneamente. Determina-se o campo de deslocamento


A. F. Brazão

axial e circunferencial, u e v, respectivamente, em função do campo de deslocamento lateral

w. Mallon, Fey e Nijmeijern (2007), utilizaram este procedimento, determinaram os limites de

estabilidade dinâmica de uma casca cilíndrica com uma massa concentrada na extremidade

submetida a uma excitação de base e estudaram como esses resultados são afetados por uma

possível imperfeição geométrica. Então, dependendo da consideração da imperfeição

geométrica e do número de ondas circunferenciais, vários tipos de comportamento pós-crítico

são observados, como por exemplo, periódico, quase-periódico e caótico. Os autores

observam que, similar ao caso estático de flambagem, o valor crítico da amplitude da

aceleração de base prescrita para cada resposta harmônica muda significativamente para uma

resposta pós-crítica dependendo das imperfeições geométricas iniciais presentes na casca.

Em 2010, como continuação deste trabalho, Mallon, Fey e Nijmeijern (2010)

estudam novamente a estabilidade dinâmica de uma casca cilíndrica com massa concentrada

na extremidade submetida a uma excitação de base, tanto em abordagens numéricas quanto

experimentais. Então para poder comparar os resultados experimentais com os numéricos, um

modelo semi-analítico acoplado a um equipamento que produz excitações externas é

construido. Através deste modelo, mostra-se que a análise da estabilidade dinâmica de uma

casca cilíndrica com massa concentrada na extremidade, submetida a uma excitação de base,

deve estar concentrada perto da freqüência de ressonância, correspondendo a um modo no

qual as vibrações da massa concentrada na extremidade são dominantes. Os resultados

experimentais confirmaram qualitativamente as observações numéricas.

Silva, Gonçalves e Del Prado (2011) investigam um modelo de baixa dimensão

levando em consideração a influência dos modos na solução modal. Para isso, a solução

modal é obtida através do método da perturbação, que satisfaz, no plano, as equações de

equilíbrio e todas as condições de contorno, de continuidade e de simetria. Então a equação de

movimento transversal é discretizada utilizando o método de Galerkin. A importância de cada

modo na expansão modal proposta é estudada usando a decomposição de Karhunen-Loève.

Para comprovar a qualidade do estudo em questão, foram estudadas a

convergência da relação freqüência-amplitude, as curvas de ressonância, os diagramas de

bifurcações e as repostas no tempo. Mostra-se que os deslocamentos no plano são descritos

como uma função das amplitudes modais fora do plano, reduzindo consideravelmente o

número de graus de liberdade do sistema discretizado. Os autores concluíram que isto leva a

uma solução modal eficiente para grandes deslocamentos, cerca de duas vezes a espessura da


A. F. Brazão

casca, na maioria das situações, envolvendo respostas livres e forçadas, com um número de

modos relativamente pequenos.

1.1. OBJETIVOS

Este trabalho tem como objetivo propor uma metodologia para determinação dos

campos de deslocamentos axial e circunferencial em função do campo de deslocamento

lateral de uma casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. Essa metodologia deve ser

capaz de atender as condições de contorno do problema, de reduzir o número de graus de

liberdade do sistema e detectar o real comportamento de cascas cilíndricas imperfeitas nas

análises não-lineares estática e dinâmica.

1.2. ESTRUTURA DA MONOGRAFIA

Este trabalho está organizado em quatro capítulos, incluindo este de introdução, e

apresenta a formulação matemática da casca cilíndrica imperfeita, além de resultados obtidos

para análise não-linear estática e dinâmica. A estruturação se dá da seguinte forma:

♦ O capítulo 2 apresenta a formulação das equações de movimento de uma casca

cilíndrica imperfeita. O campo de deformações da superfície média segue a teoria

não-linear de Donnell para cascas abatidas;

♦ No capítulo 3 são apresentados os resultados das análises estática e dinâmica não-

lineares, além de discussões acerca do assunto;

♦ O capítulo 4 consiste nas principais conclusões deste trabalho.

A. F. Brazão

CAPÍTULO 2

FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Casca cilíndrica pode ser definida como um elemento estrutural cuja sua espessura

h é menor que o raio R e o comprimento L que a definem. Sendo assim, as teorias de casca

reduzem o problema tridimensional a um problema bidimensional.

As equações não-lineares de movimento são obtidas neste trabalho considerando o

campo de deformações proposto pela teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas.

Devido a sua precisão e sua simplicidade essa teoria é a mais utilizada para o estudo de

problemas não-lineares. Para cascas esbeltas, ou seja, em que a espessura é muito inferior ao

raio ( )RhR << , a precisão da teoria não-linear de Donnell é satisfeita para modos com um

grande número de ondas circunferenciais, n , onde a relação 11 2 <<n deve ser satisfeita.

Sendo assim, deve-se considerar 5≥n para garantir uma boa precisão.

2.1. CAMPO DE DEFORMAÇÕES

Considera-se uma casca cilíndrica simplesmente apoiada de raio R , espessura h ,

comprimento L , de material elástico linear com módulo de elasticidade E , coeficiente de

Poisson υ e densidade ρ . Esta casca está submetida a uma carga axial de compressão, P,

aplicada em suas extremidades. A geometria, o sistema de coordenadas (x, y, z) e o campo de

deslocamentos (u, v, w) estão ilustrados na Figura 2.1.

Análise das imperfeições geométricas iniciais no comportamento de cascas cilíndricas 23

A. F. Brazão

Figura 2.1 – Geometria, sistema de coordenadas e campo de deslocamento da casca cilíndrica.

A Figura 2.2 representa um corte longitudinal da casca, sendo a linha tracejada a

representação da casca perfeita, ou seja, com raio R. Já a linha cheia representa a imperfeição

geométrica inicial dada por wi(x,y) e a linha traço-dois-pontos representa o deslocamento

lateral incremental dado por wp(x,y) devido às excitações externas. O deslocamento lateral

total, w(x,y), é dado pela soma da imperfeição geométrica inicial wi(x,y) com o deslocamento

lateral incremental wp(x,y). As considerações dos efeitos de imperfeição geométrica inicial da

casca cilíndrica não alteram o estado de tensões inicial da casca.

Figura 2.2 – Campo de deslocamento lateral da casca cilíndrica imperfeita.


A. F. Brazão

A partir da teoria não-linear de Donnell para cascas abatidas, as deformações

específicas para uma casca cilíndrica perfeita são dadas por:

2,, 2

1xxx

wu +=ε (2.1)

2,, 2

1x

p

yy wR

wv ++=ε (2.2)

yxxyxy wwvu ,,,, ++=γ (2.3)

Substituindo w pela soma da imperfeição geométrica inicial wi com o

deslocamento lateral incremental wp nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) e excluindo os termos de

alta ordem em wi, chega-se ao campo de deformações da superfície média de uma casca

cilíndrica imperfeita:

xixpxpxxwwwu ,,

2,, 2

1++=ε

(2.4)

yiypxp

p

yy wwwR

wv ,,

2,, 2

1+++=ε

(2.5)

xpyiypxiypxpxyxy wwwwwwvu ,,,,,,,, ++++=γ (2.6)

onde xε ,

yε e xyγ são as deformações normais específicas e cisalhantes de um elemento da

superfície média; u, v são as componentes dos deslocamentos axial e circunferencial; wp é o

deslocamento lateral incremental; e wi é a imperfeição geométrica inicial.

Considera-se que as imperfeições geométricas iniciais não inserem mudanças de

curvatura na casca cilíndrica (DEL PRADO; GONÇALVES, PAÏDOUSSIS, 2009), portanto:

xxpx wk ,−= (2.7)

yypy wk ,−= (2.8)

xypxy wk ,−=

(2.9)

As deformações específicas de um ponto qualquer da casca, ( )xyyx γεε ,, ,

localizado a uma distância z da superfície média, ( )2/2/ hzh ≤≤− , são definidas por:

xxx kz+= εε (2.10)

yyy kz+= εε (2.11)

xyxyxy kz2+= γγ (2.12)


A. F. Brazão

Os esforços que atuam na casca cilíndrica são escritos na seguinte forma

matricial:

εCσ = (2.13)

onde σ e ε são, respectivamente, o vetor de tensões e o vetor de deformação, ambos relativos

a um ponto qualquer ao longo da espessura da casca.

Considerando um estado plano de tensões e um material linear, elástico e

isotrópico, a equação (2.13) é escrita da seguinte maneira:

( )

+

−−

−−

=

xy

y

x

xy

y

x

E

EE

EE

γ

ε

ε

υ

υυ

υυ

υ

υ

τ

σ

σ

1200

011

011

22

22

(2.14)

Conhecidas as relações tensão-deformação da casca cilíndrica em um ponto

qualquer, as resultantes dos esforços de membrana e de flexão são dadas por:

∫−

=2

2

h

h

xx dzN σ

(2.15)

∫−

=2

2

h

h

yy dzN σ (2.16)

∫−

=2

2

h

h

xyxy dzN τ (2.17)

∫−

=2

2

h

h

xx dzzM σ

(2.18)

∫−

=2

2

h

h

yy dzzM σ (2.19)

∫−

=2

2

h

h

xyxy dzzM τ (2.20)

onde yx NN , e xyN são os esforços de membrana e yx MM , e xyM são os esforços de flexão.

As resultantes dos esforços de flexão e de membrana, para uma casca imperfeita,

são dadas por:


A. F. Brazão

(

−++

+++−

=

R

wwv

wwwwwuhE

N

p

ypy

yiypxixpxpxx

υυυ

υυ

2,,

,,,,2

,,2

2

222)1(2

(2.21)

(

++

++++−

=

R

ww

vwwwwwuhE

N

p

yp

yyiypxixpxpxy

2,

,,,,,2

,,22222

)1(2υυυ

υ (2.22)

( )( )xpyiypxiypxpxxxy wwwwwwvu

hEN ,,,,,,,,12

+++++

=υ

(2.23)

( ) ( )yypxxpx wwhE

M ,,2

3

112υ

υ−

+−

−= (2.24)

( ) ( )yypxxpy ww

hEM ,,2

3

112−−

+−

−= υ

υ (2.25)

( ) xypxy whE

M ,

3

112 υ+

−= (2.26)

Figura 2.3 – Resultantes dos esforços de membrana e convenção de sinais.

Figura 2.4 – Resultantes dos esforços de flexão e convenção de sinais.


A. F. Brazão

As Figuras 2.3 e 2.4 ilustram um elemento infinitesimal da casca cilíndrica na

configuração deformada. Os esforços de membrana são dados por Nx, Ny, Nxy e Nyx enquanto

os esforços cisalhantes transversais são dados por Qx e Qy. Já os termos Mx, My, Mxy e Myx

representam os esforços de flexão. Ainda, nestas figuras, w,x e w,y são ângulos de rotação nas

direções x e y, respectivamente, sendo que w é o deslocamento lateral total, dado pela soma do

deslocamento lateral incremental wp e da imperfeição geométrica inicial wi. Os termos que

apresentam o sinal de adição (+) sobrescrito representam os esforços incrementais, como no

exemplo dado a seguir:

dxNNN xxxx ,+=+ (2.27)

Então, a partir de um elemento infinitesimal da casca cilíndrica dado pelas Figuras

2.3 e 2.4, faz-se análise do equilíbrio deste elemento para obter as equações de equilíbrio não-

lineares da casca. Sendo assim, realiza-se o somatório das forças nas direções x, y e z, e dos

momentos nas direções x e y do elemento. Gera-se assim um sistema de equações de

equilíbrio não-lineares da casca cilíndrica (BRUSH; ALMROTH, 1975). A seguir apresenta-

se a dedução desse sistema de equações.

Primeiramente, tem-se que o somatório dos esforços na direção x é dado por:

( ) ( ) 0,, =++++−− dydxNNdxdyNNdyNdxN xxxyxyxyxxy (2.28)

Dividindo-se a equação (2.28) por dydx tem-se:

0,, =+ xxyxy NN (2.29)

que representa a equação de equilíbrio da casca cilíndrica na direção do eixo x.

Em seguida, obtém-se, a partir do somatório dos esforços na direção y:

( ) ( ) 0,, =++++−− dxdyNNdydxNNdxNdyN yyyxxyxyyxy (2.30)

Novamente, dividindo-se a equação (2.30) por dydx tem-se que:

0,, =+ yyxxy NN (2.31)

que representa a equação de equilíbrio da casca cilíndrica na direção do eixo y.

O somatório das forças em torno do eixo z fornece:


A. F. Brazão

0,,,

,,,,,,

,,,,,

=−−

−−−−

−−++

dxdywNdxdywN

dxdywNdxdywNdxdywNdxdywN

dxdywNdxdywNdxdyQdxdyQdydxp

xyxyxxy

yyyyyyxxxxxx

yxxyyxxyyyxx

(2.32)

Dividindo a equação (2.32) por dydx tem-se:

0,,,,,,

,,,,,,,,

=−−−−

−−−−++

xyxyxxyyyyyyy

xxxxxxyxxyyxxyyyxx

wNwNwNwN

wNwNwNwNQQp (2.33)

Observa-se que a equação (2.33) está em função dos esforços cisallhantes

transversais dados por Qx e Qy. Então, a partir do somatório dos momentos é possível

relacioná-los com os momentos fletores e de torção, como pode ser visto nas equações (2.34)

a (2.39). Inicialmente, o somatório dos momentos em torno do eixo x fornece:

0,, =+−− dydxQdydxMdydxM yyyxxy (2.34)


yyyxxyQMM =+ ,, (2.35)

O somatório dos momentos em torno do eixo y é dado por:

0,, =−+ dxdyQdydxMdydxMxxxyxy

(2.36)


xxxyxyQMM =+ ,, (2.37)

Substituindo-se as equações (2.35) e (2.37) na equação (2.33), chega-se a:

( )

pR

NwNwN

wwNMMM

y

xxxyyy

xyxyxyxxxxyxyyyy

−=−−

+−++

,,

,,,,, 2

(2.38)

Sendo assim, obtém-se o sistema de equações não-lineares dada por:

0,, =+ yxyxx NN

0,, =+yyxxy

NN

( )

( ) ( ) pwwNwwN

R

NwwNMMM

xyipxyxxipx

y

yyipyyyyxyxyxxx

−=+−+

−−++++

,,

,,,,

2

2

(2.39)


A. F. Brazão

Para as análises dinâmicas, deve-se inserir o termo de inércia da casca cilíndrica

que tem a mesma direção da pressão radial p. Desta maneira, substitui-se na terceira equação

de (2.39):

pwhp &&ρ−= (2.40)

obtendo-se a seguinte equação de equilíbrio transversal para análises dinâmicas:

( )

( ) ( )pxyipxyxxipx

y

yyipyyyyxyxyxxx

whwwNwwN

R

NwwNMMM

&&ρ=+−+

−−++++

,,

,,,,

2

2 (2.41)

O problema proposto, além de atender ao sistema de equações dado pela equação

(2.39), deve satisfazer as seguintes condições de contorno:

♦ A condição de antimetria do campo de deslocamentos axiais:

( ) 0,2/ =yLu (2.42)

♦ A condição de continuidade dos deslocamentos circunferenciais:

( ) ( )π2,0, xvxv = (2.43)

♦ Deslocamentos circunferenciais nulos nas extremidades da casca:

( ) ( ) 0,,0 == yLvyv (2.44)

♦ Deslocamentos radiais nulos nas bordas da casca:

( ) ( ) 0,,0 == yLwyw (2.45)

♦ Momento axial nulo nas extremidades da casca:

( ) ( ) 0,,0 == yLMyM xx (2.46)

♦ Esforço axial nas extremidades da casca deve ser igual a carga axial:

( ) ( ) PyLNyN xx == ,,0 (2.47)

A condição de contorno (2.47) pode ser escrita em termos dos deslocamentos

como apresentado na equação (2.21).

2.2. DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE DESLOCAMENTO U E V

O número de graus de liberdade pode ser reduzido obtendo-se analiticamente as

amplitudes modais dos deslocamentos u e v em função das amplitudes modais de wp e wi.. Os

deslocamentos u e v são obtidos em função das amplitudes modais de wp satisfazendo as


A. F. Brazão

equações de equilíbrio, as condições de contorno, de simetria e de continuidade da casca

cilíndrica (SILVA, 2008; SILVA et al., 2011).

No presente estudo, onde se trata de casca cilíndrica imperfeita, os deslocamentos

u e v são obtidos em função das amplitudes modais de wp e wi, ou seja, do deslocamento

lateral incremental e da imperfeição geométrica inicial, respectivamente.

Primeiramente, considera-se a segunda equação do sistema de equações (2.39).

Então, a partir dela é possível escrever a derivada parcial do deslocamento axial, xy

u, , em

função de v, wp e wi:

(

−+++++

+++++

+++−

+−−−+

−=

R

wwwwwvwwv

wwwwwwwwww

wwwwwwww

wwwwvwwu

yp

ypxxpyiyypyyxpxyixx

xxpyiyyiypxypxixypxpypxxi

yypypxyixpxixypypxxi

xypxpypxxpxxxxpyixy

,

,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

222

2

2

)1(

1

υυυ

υυυυυ

(2.48)

Derivando a equação (2.48) duas vezes com relação à variável x e duas vezes com

relação à variável y, obtém-se:

(

++

+++++

+−+++

+++++

+++++

+++++

−−++−

−−−++

−=

R

www

wwwwwwwwww

wwvwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwvvu

xxyp

ypxxxxp

xxyiyypxxpxxyixxxypxpxxyypypxxypxxp

xypxxxpxxxxxxxxxpyixxxpxyixyypxyp

yypxxypxxxypxixxypxxixxyyiypxyyixyp

yyixxypxypxxxiypxxxxixyixyypyixxyyi

xpxxxyixxxyixpxxyixxpxxixxypxixxxyp

xypxxxiypxxxxixxxypxpxxypxxpxypxxxp

ypxxxxpxxxxpyixxxpxyixxxxxxyyxyxx

,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

2

2323

334

2324

2342

2)1(

1

υ

υυυυ

υυυυυ

υυυυ

(2.49)


A. F. Brazão

( )(

+−++

++++

++++

++++

+++−−

−++−

−−−−

−+++

++++

++++

−=

R

wvwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwwwww

wwwwvvu

yyyp

xxyyyiyyyypyyypxxp

yyypxxixpxyyyixxpyyyiyyypyyp

xyyypxixyyypxpyyyyiypyyyypyp

yyyiyypyyiyyypxyyyixpxyyixyp

xyixyypxixyyypyyypxxiyypxxyi

ypxxyyixyyypxpxyypxypyyypxxp

yypxxypypxxyypxxyypyixxypyyi

xxpyyyixxyiyypxxyypypxyypxyp

yypxxypxxyyiypxyyixypyyixxyp

xyixyypyixxyypxxyyyyyyxyyy

,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,

22

6

22

663

32

3

22

23

232

321

1

υ

υυ

υυυυ

υυυ

υυυυ

υ

υ

(2.50)

Derivando a primeira equação do sistema de equações (2.39) duas vezes com

relação às variáveis x e y e substituindo as equações (2.49) e (2.50) na equação resultante,

chega-se à seguinte equação diferencial:

ypxxxxpyyyiyypxxyypyi

xxypyyixyypxyixypxyyiyypxxyiypxxyyi

xyypxypyypxxypypxxyypxxypxxpxypxxxi

yyyyiypyyyypypxyypxypxxpxxyixxypxxi

yyypyypypxxxxixyyixypxypxxxpxxxpxyi

yyypxxpxxypyyi

xxyp

yyiyyypxyixyyp

xxxxpyixxpyyyiyypxxypyiyyyypyyyp

yyypxxiyypxxyi

xxyp

yyyyxxyyxxxx

wwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwR

wwwww

wwwwwwwww

wwwwR

wvvvv

,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,

,,,,

,,,,,,,,,

,,,,

,

,,,4

32

24422

4222

2

3222

232

2

−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−−−

++−−−

−++−−

++=++=∇

υ

υ

υυυυ

υυ

υυυ

(2.51)

Definidas a expansão modal para os deslocamentos radiais wp e a imperfeição

geométrica inicial wi, e substituindo-as na equação (2.51), obtém-se uma equação diferencial

parcial linear em v. A solução para os deslocamentos circunferenciais, v, é obtida a partir da

soma de uma solução particular, vp, e de uma solução homogênea, vh, sendo esta última

considerada nula para satisfazer a continuidade dos deslocamentos na direção circunferencial

da casca (SILVA, 2008; SILVA et al., 2011). A solução particular é obtida substituindo a

expansão modal de wp e wi na equação (2.51), expandindo os produtos e potências das

funções trigonométricas e equacionando os coeficientes das funções harmônicas. Assim, a

solução modal para os deslocamentos circunferenciais, v, é obtida como uma função não-


A. F. Brazão

linear das amplitudes do deslocamento incremental e da imperfeição geométrica inicial. Então

a solução resultante satisfaz a condição de contorno (2.43) na média, a saber:

( ) ( ) 0,,0 == ∫∫ θθθθ dRLvdRv (2.52)

Substituindo as soluções modais de v, wp e wi na equação (2.49), é obtida a

derivada parcial de u em termos das amplitudes modais de wp e wi. Integrando a equação

resultante, obtém-se:

(

( ) ( )yxGxF

dydxdxdxR

wwwwwww

wwwwwwwwv

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwwwwwww

wwwwvvu

xxyp

ypxxxxpxxyiyypxxpxxyi

xxxypxpxxyypypxxypxxpxypxxxpxxxxx

xxxxpyixxxpxyixyypxypyypxxypxxxypxi

xxypxxixxyyiypxyyixypyyixxypxypxxxi

ypxxxxixyixyypyixxyyixpxxxyixxxyixp

xxyixxpxxixxypxixxxypxypxxxiypxxxxi

xxxypxpxxypxxpxypxxxpypxxxxpypxxxxp

xxxxpyixxxpxyixxxxxxyy

,

223

233

342

32423

42

2)1(

1

,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,

++

++++

++++−

+++++

+++++

+++++

+++−−

++−+−

−−+

+−= ∫∫∫ ∫

υ

υ

υυυυυ

υυυυυ

υυυ

(2.53)

Os deslocamentos axiais ficam totalmente definidos se determinadas suas funções

( )xF e ( )yxG , , sendo que ( )xF e ( )yxG , são parcelas da solução homogênea da equação

diferencial parcial (2.53) como:

( ) ( ) ( ) ( )yFyFxyFxyxG 3212, ++= (2.54)

Substituindo (2.53) na primeira equação do sistema (2.39), obtém-se uma equação

diferencial ordinária não-homogênea de segunda ordem em ( )xF . Esta equação pode ser

escrita como:

( ) ( )xfxFxx

=, (2.55)

Resolvendo a equação (2.55) obtém-se:

( ) ( ) 21 CxCdxdxxfxF ++= ∫ ∫ (2.56)

As constantes de integração 1C e 2C , bem como as funções ( )yF1 , ( )yF2 e ( )yF3 ,

são obtidas impondo a condição de antimetria (2.42) e a condição de contorno (2.47).

Primeiramente, usa-se a condição de contorno não-linear (2.47) em 0=x e L , obtendo por


A. F. Brazão

inspeção dos termos, a constante 1C e as funções ( )yF1 e ( )yF2 , sendo que ( ) 01 =yF . Em

seguida, o valor da constante 2C e da função ( )yF3 é fornecido pela condição de antimetria

(2.42) De maneira que o campo de deslocamentos axiais fica totalmente definido.

Então, substituindo a expansão modal dos deslocamentos radiais wp e wi

juntamente com as expansões modais obtidas para u e v na equação de equilíbrio, que é a

terceira equação do sistema de equações (2.39) e, aplicando o método de Galerkin, obtém-se

um sistema discretizado de equações diferenciais ordinárias.

2.3. ESCOLHA DA EXPANSÃO MODAL PARA W

A expansão modal de u, v e w é obtida aplicando o método da perturbação, que é

capaz de fornecer os principais termos que devem estar presentes nos deslocamentos u, v e w

da casca cilíndrica. Obtendo-se a seguinte solução geral para o campo de deslocamentos:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+

=

+

=

+

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

= =

= =

= =

= =

L

xml

R

ynktw

L

xjm

R

ynitww

L

xml

R

ynktv

L

xmj

R

ynitvv

L

xml

R

ynktu

L

xjm

R

ynituu

k l

kl

i j

ij

k l

kl

i j

ij

k l

kl

i j

ij

π

π

π

π

π

π

coscos

sencos

cossen

sensen

sencos

coscos

4,2,0 4,2,0

5,3,1 5,3,1

4,2,0 4,2,0

5,3,1 5,3,1

4,2,0 4,2,0

5,3,1 5,3,1

(2.57)

Esta é a solução para uma casca infinitamente longa já que nenhuma condição de

contorno foi imposta durante a determinação dos termos de alta ordem (GONÇALVES;

BATISTA, 1988). Assim, o sistema dinâmico é reduzido a um sistema discretizado com n-

graus de liberdade, sendo que o número total de graus de liberdade é dado pela soma dos

graus de liberdade presentes na solução de cada componente do deslocamento. Por exemplo,

um sistema onde cada uma das três soluções modais tem três modos em sua solução, então

este sistema possui nove graus de liberdade.


A. F. Brazão

Segundo Silva (2008) e Silva et al. (2011), o campo de deslocamentos laterais de

uma casca perfeita simplesmente apoiada, impondo as condições de contorno (2.45) e (2.46),

pode ser escrito como:

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

+

+

++

+−

+

+

+

=

∑ ∑

∑ ∑∞

=

∞

=+

∞

=

∞

=

R

xm

R

xm

R

xm

R

ynht

R

xπmj

R

ynihtw

i j

ijp

πβ

β

βπβ

πβ

β

βαξ

ξ

α ββα

64cos124

6162cos

6cos

124

63cos

sencos

4,2,0 062

5,3,1 5,3,1

(2.58)

Neste trabalho será considerada a expansão modal dada pela equação abaixo, pois

há uma boa convergência dos resultados tanto para análise não-linear estática quanto

dinâmica, que será apresentada no próximo capítulo.

+

−

+

+

−+

+

+

+

=

L

xm

L

xm

R

ynh

L

xm

L

xmh

L

xm

R

ynh

L

xm

R

ynh

L

xm

R

ynh

L

xm

R

ynhwp

ππξ

ππξ

πξ

πξ

πξ

πξ

4cos

4

12cos

4

32cos

4cos

4

12cos

4

3

3sen

3cossen

3cos

3sencossencos

22

02

3331

1311

(2.59)

Após a escolha da solução modal para os deslocamentos transversais, obtêm-se os

campos de deslocamentos axiais (u) e circunferenciais (v), segundo a metodologia

apresentada neste capítulo. Substituem-se, em seguida, esses campos de deslocamentos na

terceira equação de (2.39) e, aplicando-se o método de Galerkin, chega-se a um sistema

discretizado de equações não-lineares.

Na literatura são encontradas outras abordagens para descrever os campos de

deslocamentos u, v e w, por exemplo, o método da perturbação e as funções de vigas, que

descrevem esses campos de deslocamentos a partir de um somatório de funções. Nestes casos

o número de graus de liberdade total do sistema é igual a soma do número de termos do

somatório relativo aos campos de deslocamentos u, v e w.

Outra abordagem, observada na literatura, é resolver a equação de equilíbrio

transversal da casca juntamente com a função de tensão de Airy, que está relacionada com o


A. F. Brazão

campo de deslocamento w. Nessa abordagem, o número de graus de liberdade é o número de

graus de liberdade utilizado para descrever o campo de deslocamento w.

Sendo assim, tanto a função de tensão de Airy quanto a abordagem proposta neste

trabalho são capazes de reduzir o numero de graus de liberdade, porém a abordagem proposta

é capaz de atender de forma precisa as condições de contorno da casca cilíndrica, mostrando-

se eficiente para grandes amplitudes de vibração e de deslocamentos (SILVA, 2008; SILVA;

GONÇALVES; DEL PRADO, 2011).

A. F. Brazão

CAPÍTULO 3

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo, têm-se o objetivo de descrever corretamente o comportamento

não-linear de cascas cilíndricas imperfeitas tanto em análises estáticas quanto dinâmicas. Os

resultados obtidos neste trabalho são para uma casca cilíndrica imperfeita com R = 0,2 m,

L = 0,4 m, h = 0,002 m, E = 210 GPa, ν = 0,3 e ρ = 7850 kg/m³. A imperfeição geométrica

inicial, wi, é considerada na forma do modo fundamental da casca cilíndrica que é dada por:

=

L

xm

R

ynhwi

πχ sencos11

(3.1)

A geometria escolhida é largamente utilizada na literatura, apresentando vários

resultados numéricos e experimentais, o que facilita a comparação qualitativa dos resultados

deste trabalho. Para esta casca cilíndrica perfeita a menor carga de flambagem, assim como a

menor freqüência natural, são obtidas para (m, n) = (1,5) (GONÇALVES e DEL PRADO,

2005), sendo m o número de semi-ondas longitudinais e n o número de ondas

circunferenciais. Essa combinação de ondas será utilizada ao longo de todo o capítulo.

3.1. ANÁLISE ESTÁTICA NÃO-LINEAR

Para realizar a análise estática não-linear é necessário eliminar o termo de inércia

contido na terceira equação do sistema de equações (2.41). Inicialmente, realiza-se o estudo

do caminho pós-crítico que representa o comportamento da estrutura após atingir a carga

crítica de flambagem. Em cascas cilíndricas, após atingir a carga crítica a casca apresenta

perda de rigidez até atingir um mínimo pós-crítico e, em seguida, volta a ganhar carga axial

com o incremento da rigidez.

A Figura 3.1 ilustra o caminho pós-crítico da casca cilíndrica imperfeita para

diferentes números de graus de liberdade, variando para cada gráfico o nível de imperfeição

geométrica inicial. Os resultados foram obtidos resolvendo-se as equações de equilíbrio

discretizadas através do método de Newton-Raphson. Nos gráficos, a curva em azul

representa a solução modal para dois graus de liberdade que contêm os modos ξ11 e ξ02 na


A. F. Brazão

equação (2.59). Já para curva em vermelho, a expansão modal utilizada apresenta três graus

de liberdade que é obtida a partir da soma do modo ξ22 à solução modal com dois graus de

liberdade. Em verde, a curva representa a solução do sistema para quatro graus de liberdade,

onde se acrescenta o modo ξ13 na expansão modal com três graus de liberdade. A cor rosa

ilustra a curva para cinco graus de liberdade, onde é inserido na solução com quatro graus de

liberdade o modo ξ31. E por último, tem-se a curva para seis graus de liberdade, representada

pela cor laranja, que adiciona o modo ξ33 à expansão modal anterior.

Nestes gráficos, o eixo das abscissas representa o deslocamento lateral,

normalizado em relação à espessura da casca, de um ponto posicionado segundo as

coordenadas (x, y) = (L/2, 0), enquanto o eixo das ordenadas corresponde ao parâmetro de

carregamento axial, que está normalizado em relação à carga crítica estática da casca

cilíndrica perfeita dada por (BRUSH; ALMROTH, 1975):

( )2

2

13 υ−=

R

EhPcrit

(3.2)

Observa-se, na Figura 3.1, a convergência da expansão modal para deslocamentos

transversais da ordem de quatro vezes a espessura da casca à medida que se aumenta o

número de modos. O incremento do número de graus de liberdade provoca boa convergência

dos resultados para valores até o mínimo pós-crítico. Já para valores posteriores ao mínimo

pós-crítico, deve-se reter outros modos na solução modal (2.58) (SILVA; GONÇALVES;

DEL PRADO, 2011).

A partir dos gráficos apresentados na Figura 3.1, observa-se que o incremento no

nível da imperfeição geométrica inicial modifica o nível máximo de carregamento

representado pelo ponto Γmáximo. Além disso, a convergência do número de graus de liberdade

se mantém, independente da amplitude da imperfeição geométrica inicial.

Como observado na Figura 3.1, o nível de imperfeição geométrica modifica a

carga máxima suportada pela casca cilíndrica. Sendo assim, a Figura 3.2 ilustra o caminho

pós-crítico da casca cilíndrica, obtido com a solução modal de seis graus de liberdade, para

diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial. Observa-se, neste gráfico, a mudança da

carga máxima, representada pelos pontos A, B, C e D, de acordo com os níveis de imperfeição

0, 0,01, 0,05 e 0,10, respectivamente. Conclui-se que o aumento da imperfeição geométrica


A. F. Brazão

inicial provoca a diminuição da capacidade de carga axial (JAMAL et al., 2002; ZHANG;

HAN, 2007).

(a) Imperfeição geométrica χ11=0.01

(b) Imperfeição geométrica χ11=0.05

(c) Imperfeição geométrica χ11=0.10

Figura 3.1 –Caminho pós-crítico da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões para deslocamentos

laterais e diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial.


A. F. Brazão

A partir da Figura 3.2 é possível construir um gráfico que mostre a variação da

carga axial máxima com a amplitude da imperfeição geométrica inicial. Este gráfico é

denominado curva de sensibilidade. De acordo com a literatura, estruturas do tipo casca são

sensíveis à imperfeição, ou seja, a carga máxima axial diminui com o incremento da

amplitude da imperfeição geométrica inicial.

Figura 3.2 – Caminho pós-crítico para solução modal com seis graus de liberdade para diferentes níveis de

imperfeição.

A Figura 3.3 ilustra a curva de sensibilidade da casca cilíndrica, onde o eixo das

abscissas corresponde à imperfeição geométrica inicial enquanto o eixo das ordenadas

corresponde ao carregamento axial máximo. Observa-se então que, quanto maior a

imperfeição geométrica inicial dada, menor é a carga máxima. Para a casca perfeita, ou seja,

χ11 = 0, o carregamento axial máximo corresponde a 1. Já para a casca imperfeita com uma

imperfeição de 30% da espessura da casca tem-se um decaimento em torno de 20% da carga

crítica em relação à casca perfeita.

Figura 3.3 – Curva de sensibilidade para casca cilíndrica imperfeita axialmente comprimida.


A. F. Brazão

3.2. ANÁLISE DINÂMICA NÃO-LINEAR

Na análise não-linear das vibrações livres da casca cilíndrica utiliza-se um

procedimento semelhante ao desenvolvido na análise estática não linear para verificar a

convergência da solução modal. Para este estudo é necessário conhecer a relação da

freqüência não-linear da casca com sua correspondente amplitude de vibração, denominada

relação freqüência-amplitude. Para isto adota-se uma função harmônica aproximada que

relaciona a variação da amplitude de vibração com o tempo, transformando a análise no

domínio do tempo em uma análise no domínio da freqüência. Sendo assim, os modos da

expansão modal são substituídos segundo a equação (3.2) na equação (2.57), que por sua vez

é substituída no sistema de equações (2.41) que é discretizado utilizando o método de

Galerkin. Na equação (3.3) observa-se que os modos lineares estão associados à funções

harmônicas lineares, enquanto os modos quadráticos estão relacionados à funções harmônicas

quadráticas, e por último, têm-se os modos cúbicos associados às funções harmônicas cúbicas.

As potências das funções harmônicas são definidas pelo método da perturbação

(GONÇALVES; BATISTA, 1988).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )tt

tt

tt

Ω=Ω=

Ω=Ω=

Ω=Ω=

3

3333

2

2222

3131

2

0202

3

13131111

coscos

coscos

coscos

ξξξξ

ξξξξ

ξξξξ

(3.3)

A Figura 3.4 ilustra a relação freqüência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita

para diferentes graus de liberdade e níveis de imperfeição geométrica inicial. Nos gráficos, o

eixo das abscissas corresponde à freqüência normalizada em relação à freqüência natural da

casca cilíndrica perfeita, enquanto o eixo das ordenadas corresponde ao deslocamento lateral

para as coordenadas (x, y) = (L/2, 0) normalizado em relação à espessura. Observa-se então

que, para os modos com quatro, cinco e seis graus de liberdade, suas respectivas curvas são

coincidentes, o que mostra a convergência da resposta com o incremento do número de graus

de liberdade. Já a curva em preto corresponde à solução modal de seis graus de liberdade para

casca perfeita, que tem sua origem em 1. Independente do nível de imperfeição geométrica

inicial, o comportamento não-linear da casca cilíndrica é caracterizado pela perda de rigidez

inicial. Mais adiante, mostrar-se-á a convergência das soluções modais utilizadas a partir dos

planos fase da resposta não-linear da casca cilíndrica. Os pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4a

são escolhidos para ilustrar essa convergência das respostas no plano fase.


A. F. Brazão

Em seguida, para analisar a influência da amplitude da imperfeição geométrica

inicial nas vibrações livres não-lineares da casca cilíndrica, realiza-se o estudo da relação

freqüência-amplitude para uma expansão modal com seis graus de liberdade, variando-se o

nível de imperfeição geométrica inicial, conforme a Figura 3.5. Observa-se então que quanto

maior o nível da imperfeição menor é a freqüência natural da casca (w(L/2, 0) = 0).

(a) Imperfeição geométrica χ11=0.01

(b) Imperfeição geométrica χ11=0.05

(c) Imperfeição geométrica χ11=0.10


A. F. Brazão

Figura 3.4 – Relação frequência-amplitude da casca cilíndrica, considerando diferentes expansões para

deslocamentos laterais e diferentes níveis para a imperfeição geométrica inicial

Figura 3.5 – Relação freqüência-amplitude para diferentes níveis de imperfeição geométrica inicial. Modelo com

seis graus de liberdade.

Para estudar a sensibilidade da frequência natural à imperfeição da casca

cilíndrica imperfeita, analisa-se a Figura 3.6, onde o eixo das abscissas corresponde ao nível

da imperfeição da casca e o eixo das ordenadas à freqüência natural da casca imperfeita

normalizada em relação a frequência natural da casca perfeita. A freqüência natural da casca

imperfeita é obtida a partir da Figura 3.5 para w(L/2, 0) = 0. Observa-se que a freqüência

natural da casca cilíndrica imperfeita decresce conforme o nível de imperfeição geométrica

inicial aumenta.

Figura 3.6 – Curva de sensibilidade da frequência natural para uma casca cilíndrica imperfeita.

Os pontos A, B, C1 e C2 presentes na Figura 3.4a foram escolhidos para ilustrar a

convergência da expansão modal utilizada na análise das vibrações livres não-lineares. A

partir da freqüência correspondente de cada um desses pontos colhem-se na relação


A. F. Brazão

frequência-amplitude (Figura 3.4a) as condições iniciais para uma análise no tempo da

resposta da casca cilíndrica sob vibração livre. Os valores das condições iniciais utilizadas

estão apresentados na Tabela 4.1. Nesta tabela o parâmetro Ω* é a relação entre a frequência

natural não-linear e a frequência natural linear da casca perfeita.

Tabela 4.1 – Condições iniciais dos pontos A, B, C1 e C2 da Figura 3.4

Ponto G.D.L ξ11 ξ02 ξ22 ξ13 ξ31 ξ33

A

(Ω∗ = 0,97)

2 0,08 -0,0004 - - - -

3 0,08 -0,0004 0 - - -

4 0,08 -0,0004 0 0 - -

5 0,08 -0,0004 0 0 0 -

6 0,08 -0,0004 0 0 0 0

B

(Ω∗ = 0,99)

2 0,34 -0,0048 - - - -

3 0,36 -0,0054 -0,001 - - -

4 0,37 -0,0057 -0,0011 -0,0009 - -

5 0,37 -0,0057 -0,0011 -0,0009 0 -

6 0,08 -0,0004 -0,0011 -0,0009 0 0

C1

(Ω∗ = 0,98)

2 1,51 -0,0871 - - - -

3 1,4 -0,0751 -0,0132 - - -

C2

(Ω∗ = 0,98)

4 1,12 -0,0494 -0,0137 -0,023 - -

5 1,12 -0,0494 -0,0138 -0,023 0,0006 -

6 1,12 -0,0494 -0,0138 -0,023 0,0006 -0,0002

Inicialmente, faz-se a análise da resposta no domínio do tempo da casca cilíndrica

imperfeita (χ11 = 0,01) para o ponto A da Figura 3.4a, através do seu plano fase. Para isto,

atribuem-se as condições iniciais relativas a cada grau de liberdade e a cada modelo de

análise, obtendo-se os planos fases da casca cilíndrica imperfeita para cada situação de estudo,

como ilustrado na Figura 3.7a. Observa-se, a partir da Figura 3.4a, que o ponto A está

localizado para um valor de w(L/2, 0)/h próximo de zero. Isto significa que a relação


A. F. Brazão

frequência-amplitude é próxima dos resultados lineares, justificando a convergência de todas

as soluções modais utilizadas, como ilustrado na Figura 3.7a.

(a) Ω∗ = 0,97 (ponto A)

(b) Ω∗ = 0,99 (ponto B)

(c) Ω∗ = 0,98 (pontos C1e C2)

Figura 3.7 –Plano fase para a casca cilíndrica imperfeita (χ11 = 0,01) ao longo da relação frequência-amplitude

para diversas soluções modais.


A. F. Brazão

As Figuras 3.7b,c foram obtidas a partir das condições iniciais dadas pela Tabela

4.1, sendo que a Figura 3.7b refere-se ao ponto B da Figura 3.4a e a Figura 3.7c refere-se aos

pontos C1 e C2 da Figura 3.4a.

(a) Imperfeição geométrica χ11 = 0.01

(b) Imperfeição geométrica χ11 = 0.05

(c) Imperfeição geométrica χ11 = 0.10


A. F. Brazão

Figura 3.8 –Relação freqüência-amplitude considerando diferentes níveis de carregamento axial estático e níveis

de imperfeição geométrica inicial.

Notam-se nas Figuras 3.7b,c que as soluções com 2 e 3 graus de liberdade

apresentam planos fases distintos dos das soluções com 4, 5 e 6 graus de liberdade. Conforme

se caminha sobre as relações frequências-amplitudes da Figura 3.4a, as respostas das soluções

modais com 2 e 3 graus de liberdade divergem das soluções modais com 4, 5 e 6 graus de

liberdade, como ilustrado nas Figuras 3.7b,c. Essa divergência ocorre porque a não-

linearidade da relação frequência-amplitude se dá com a participação dos modos não-lineares

da solução modal, independente do nível de imperfeição geométrica inicial.

Em muitas aplicações práticas, a casca cilíndrica imperfeita encontra-se submetida

a um pré-carregamento axial estático, Γ0. Sendo assim, procura-se observar a influência desse

pré-carregamento na relação frequência-amplitude da casca cilíndrica imperfeita. A Figura 3.8

apresenta a variação do deslocamento lateral segundo as coordenadas (x, y) = (L/2, 0),

normalizado em relação à espessura com o parâmetro de freqüência natural não-linear,

Ω, normalizado em relação a freqüência natural da casca cilíndrica perfeita Ω0P, para valores

crescentes do pré-carregamento estático, Γ0. Para efeito de comparação, apresentam-se, nessas

figuras, a relação frequência-amplitude para a casca cilíndrica imperfeita sem o pré-

carregamento estático, dada pela curva em preto. Esta análise foi feita para a expansão modal

com seis graus de liberdade, segundo a equação (2.57). Observa-se nessas figuras que o

acréscimo do pré-carregamento estático provoca a diminuição da frequência natural da casca

cilíndrica imperfeita, independente do nível de imperfeição geométrica inicial. Nota-se ainda

que o pré-carregamento estático altera a não-linearidade da relação frequência-amplitude

(perda de rigidez), demonstrada pela alteração da curvatura das relações frequência-

amplitude. Esses resultados estão qualitativamente compatíveis com os encontrados na

literatura (DEL PRADO; GONÇALVES; PAIDOUSSIS, 2009).

CAPÍTULO 4

CONCLUSÃO

Este trabalho propôs uma metodologia para obtenção dos campos de

deslocamentos circunferencial e axial em função do campo de deslocamento lateral de uma

casca cilíndrica com imperfeição geométrica inicial. Desta forma, tem-se uma solução mais

precisa quando comparadas com aquelas que utilizam a função de tensão. Esta metodologia,

além da qualidade da solução, permite reduzir de forma significativa o número de incógnitas

do problema, sendo a dimensão final do problema igual ao número de modos utilizados para

descrever o campo de deslocamentos laterais da casca cilíndrica imperfeita. A partir da

análise dos resultados pode-se afirmar que:

♦ a metodologia proposta para a obtenção da expansão modal dos deslocamentos axial

e circunferencial em função do campo de deslocamento transversal, atende as

condições de contorno, de simetria e de continuidade de uma a casca cilíndrica com

imperfeição geométrica inicial;

♦ o modelo com seis graus de liberdade empregado nas análises apresentou

convergência para deslocamentos com grande amplitude, mostrando-se eficiente

para as análises estáticas e dinâmicas;

♦ a influência da imperfeição geométrica na capacidade de carga e na freqüência

natural da casca cilíndrica imperfeita ocorre de forma inversa, ou seja, à medida em

que a amplitude da imperfeição aumenta ocorre a diminuição da capacidade de

carga e da frequência natural;

♦ o pré-carregamento estático tem uma forte influência na relação frequência-

amplitude da casca cilíndrica imperfeita.

Os resultados obtidos com a metodologia proposta estão de acordo com os

observados na literatura sobre o assunto.s

4.1. TRABALHOS FUTUROS

Como continuação natural da análise do comportamentos estático e dinâmico de

cascas cilíndricas imperfeitas, sugere-se:


A. F. Brazão

♦ a análise das vibrações forçadas, com carregamentos axiais e pressões laterais

dependentes do tempo;

♦ a implementação de outros modelos de imperfeição geométrica, tais como:

localizadas e de natureza aleatória;

♦ a análise dos fenômenos dinâmicos não-lineares que podem surgir nos diagramas de

bifurcação, bacias de atração e fatores de integridade da casca imperfeita.

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anÁlise das imperfeiÇÕes geomÉtricas iniciais no ...lise_das_imperfeiÇÕes... · existem...

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