trigonometria no triângulo retângulo. relacionando lados e ângulos a trigonometria tem sua...
Post on 07-Apr-2016
270 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Relacionando lados e ângulos
A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.
a hipotenusa BC = a
A
B
C
a
b
c
o cateto AC = b o cateto AB = c
A = 90º B + C = 90º
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c a2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa =sen ⍺ = c
a
cateto adjacente a ⍺hipotenusa =cos ⍺ = b
a
Relacionando lados e ângulos
A
B
C
a
b
c a2 = b2 + c2
⍺
cateto oposto a ⍺ =tg ⍺ = cbcateto adjacente a ⍺
os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.
12 16
A
BC
Teorema de Pitágoras
BC2 = AB2 + AC2
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144x2 = 400x = 20
20
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a Bhipotenusa
sen B = = 1220
= 35
= 0,6
cateto adjac. a Bhipotenusa
cos B = = 1620
= 45
= 0,8
12 16
A
BC20
Exemplos
O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.
cateto oposto a Bcateto adjac. a B
tg B = = 1216
= 34
= 0,75
12 16
A
BC20
Exemplos
Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
5 cm16
6 cmx
y
tg y = 65
= 1,2 ⇒ y ≈ 50º
x + y = 90º
⇒ x ≈ 40º
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺hipotenusa =cosec ⍺ = a
c
cateto adjacente a ⍺hipotenusa
=sec ⍺ = ab
= 1sen ⍺
= 1cos ⍺
Outras razões trigonométricas
A
B
C
a
b
c
⍺
cateto oposto a ⍺ =cotg ⍺ = bc
cateto adjacente a ⍺= 1
tg ⍺
Ângulos complementares
A
B
C
5
4
3
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ = 34
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = 35 cos ⍺ = 4
5
tg = 43sen = 4
5 cos = 35
Ângulos complementares
A
B
C
a
b
c
⍺ + = 90º
⍺
tg ⍺ = 1tg
⇒Os ângulos ⍺ e são complementares
sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen
sec ⍺ = cosec cosec ⍺ = sec cotg ⍺ = tg
1 cm
2 cmt
Exemplo
No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½ II. sec t = √52
III. tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III
Exemplos
A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.
x16
y30º
sen 30º = x12
12 cm
⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
cos 30º = y12
⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
Exemplos
Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.
30ºAB
C
D
xy
z 2 cm60º
Identidades trigonométricas
Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:
Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.
Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
b2 + c2 = a2 (: a2)
b2
a2+ c2
a2= a2
a2
ba
+ ca = 1
2 2
sen ⍺
+ cos ⍺ = 12 2 ⇒ sen2 x + cos2 x = 1
b/ac/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
sen ⍺cos ⍺
= = ba
. ac
= bc
= tg ⍺
tg x = sen xcos x
c/ab/a
Identidades trigonométricas
A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.
A
C
B
a
c
b
⍺
cos ⍺sen ⍺
= = ca
. ab
= cb
= cotg ⍺
cotg x = cos xsen x
Identidades trigonométricas - Resumo
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x = sen xcos x
3) cotg x = cos xsen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)= 1tg x
4) sec x = 1cos x
5) cosec x = 1sen x
(cos x ≠ 0)
(sen x ≠ 0)
Exemplos
Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x = 1cos x
⇒ sec2 x = 1cos2 x
⇒ sec2 x = sen2 x + cos2 xcos2 x
⇒ sec2 x = sen2 xcos2 x
+ cos2 xcos2 x
⇒ sec2 x = tg2 x + 1
Exemplos
Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x = 1sen x
⇒ cosec2 x = 1sen2 x
⇒ cosec2 x = sen2 x + cos2 xsen2 x
⇒ cosec2 x = sen2 xsen2 x
+ cos2 xsen2 x
⇒ sec2 x = 1 + cotg2 x
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒ 35
+2
cos2 x = 1
⇒ 925
+ cos2 x = 1
⇒ 925–cos2 x = 1 = 25 – 9
25⇒ cos x =
= 1625
± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x = sen xcos x
=
3545
= 34
cotg x = 1tg x
= 134
= 43
Exemplos
Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x = 1cos x
= 145
= 54
cosec x = 1sen x
= 135
= 53
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
E1 =sen xcos x + cos x
sen x –1
cos x1
sen x.
E1 =sen2 x
sen x . cos x+ cos2 x – 1 = sen x . cos x
1 – 1 = 0
cos xsen x
1cos x
1sen2 x
Exemplos
Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =cotg x . sec x
cosec2 x
E2 =cotg x . sec x
cosec2 x =.
=
1sen x
1sen2 x
E2 =1
sen x. sen2 x
1= sen x
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
O grau como unidade de medida
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o80o90o100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o 270o 280o 290o300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
1º = 360 1
O grau como unidade de medida
Exemplos Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a
circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C
D
E F
AB = 360º6
= 60º
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e = 120º
Exemplos A circunferência da figura tem 12 m de raio.
Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente.
A
BO 2 m
12 m
Arco(em graus)
2 m
⍺ = 360 . 2
24
Arco(em metros)
360º 24 m⍺
= 30º C = 2rC = 2..12C = 24
O radiano como unidade de medida
A
R
O R
RB
Comprimento do arco (AB) = R
⇓m(AB) = 1 radiano
⇓ = m(AB) = 1 rad
Exemplo
A
R
O R
1,5RBComprimento do arco (AB) = 1,5 R
⇓m(AB) = 1,5 rad
⇓ = m(AB) = 1,5 rad
= m(AB) = comprimentoR
9 cm
Exemplos
B
10,8 cm
A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.
O
A =
comprimentoR
= 10,8 cm9 cm = 1,2 rad
4 cm
Exemplos
B
30º
O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.
O
Aângulo
x
x = 2 .4.30360
comprimento
360º 2 R30º
2 3= ≈ 2, 1 cm
R
Exemplos
B
40 cm
Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.
O
A
R
= comprimentoR
5 = 40 cmR
5R = 40
⇒ R = 8 cm
Arcos especiais
00oArco nulo
/290ºArco de ¼ de volta
180ºArco de meia-volta
2360ºArco completo
Medida em radianos
Medida em graus
Represen-tação
O
O
O
O
Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a rad
top related