prof. roberto cristóvão robertocristovao@gmail.com aula 18 séries de taylor e de maclaurin

Prof. Roberto Cristóvãorobertocristovao@gmail.comAula 18

Séries de Taylor e de Maclaurin

Série de Taylor e de Maclaurin

Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se

então seus coeficientes são dados pela fórmula

Série de Taylor

Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )

Série de Maclaurin

Para o caso especial , a série de Taylor torna-se

e recebe o nome especial de série de Maclaurin

Exemplo 1

Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se entãoAssim para todo Logo a série de Maclaurin é

Exemplo 1

Fazendo temos

Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é

Investigação

Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que

Polinômio de Taylor de grau n

é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são:

é chamado polinômio de Taylor de grau de em

Ilustração

Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são

Teste de Comparação no Limite

Graficamente

Teorema

Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e

para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo

Exemplo 3

Encontre a série de Taylor de em

Solução:

Exemplo 4

Encontre a série de Maclaurin para senx.Solução:

Exemplo 5

Encontre a série de Maclaurin para cosx.Solução:

Exemplo 6

Encontre a série de Maclaurin para xcosx.Solução:

Exemplo 7

Represente f (x)=senx como a soma de sua

série de Taylor centrada em /3.

Solução:

Exemplo 7

Represente f (x)=senx como a soma de sua

série de Taylor centrada em /3.

Solução:

Exemplo 7

Gráfico

Exemplo 8

Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real.Solução:

Exemplo 8

(Série Binomial)

Converge se .

Notação radicional:

Série Binomial

Se é um número real e , então

Exemplo 9

Encontre a série de Maclaurin para afunção

e seu raio de convergência.

Solução

Série binomial com . Substituindo por :

Solução

A série converge para , ou seja, .

Portanto o raio de convergência é

Tabela

Exemplo 10

Calcule com erro inferior a 0,001.Solução:

Exemplo