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Prof. Roberto Cristóvão [email protected] Aula 18 Séries de Taylor e de Maclaurin

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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 18

Séries de Taylor e de Maclaurin

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Série de Taylor e de Maclaurin

Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se

então seus coeficientes são dados pela fórmula

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Série de Taylor

Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )

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Série de Maclaurin

Para o caso especial , a série de Taylor torna-se

e recebe o nome especial de série de Maclaurin

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Exemplo 1

Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se entãoAssim para todo Logo a série de Maclaurin é

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Exemplo 1

Fazendo temos

Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é

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Investigação

Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que

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Polinômio de Taylor de grau n

é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são:

é chamado polinômio de Taylor de grau de em

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Ilustração

Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são

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Teste de Comparação no Limite

Graficamente

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Teorema

Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e

para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo

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Exemplo 3

Encontre a série de Taylor de em

Solução:

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Exemplo 4

Encontre a série de Maclaurin para senx.Solução:

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Exemplo 5

Encontre a série de Maclaurin para cosx.Solução:

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Exemplo 6

Encontre a série de Maclaurin para xcosx.Solução:

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Exemplo 7

Represente f (x)=senx como a soma de sua

série de Taylor centrada em /3.

Solução:

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Exemplo 7

Represente f (x)=senx como a soma de sua

série de Taylor centrada em /3.

Solução:

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Exemplo 7

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Gráfico

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Exemplo 8

Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real.Solução:

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Exemplo 8

(Série Binomial)

Converge se .

Notação radicional:

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Série Binomial

Se é um número real e , então

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Exemplo 9

Encontre a série de Maclaurin para afunção

e seu raio de convergência.

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Solução

Série binomial com . Substituindo por :

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Solução

A série converge para , ou seja, .

Portanto o raio de convergência é

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Tabela

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Exemplo 10

Calcule com erro inferior a 0,001.Solução:

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Exemplo

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