apresentacao serie de taylor

8/19/2019 Apresentacao serie de Taylor

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EquipeJoel BarrosJosué Cruz

Luiz EduardoRaimundo NonatoTaiane Gomes

Tiago Rodrigues


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Séries de Taylor


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• Supondo que f seja qualquer funç o

que possa ser representada por umasérie de pot!n"ias#


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$eri%ando a equaç o anterior termo atermo& temos#


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'gora deri%amos a equaç o no%amente#


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$eri%ando a equaç o mais uma %ez& teremos#


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Se "ontinuarmos a deri%ar e su(stituir ) *a&o(teremos#


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+solando o n,ésimo "oefi"iente C n nessaequaç o& o(teremos#


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Se f ti%er uma representaç o -e)pans o.em série de pot!n"ias em a& isto é& se#

Ent o seus "oefi"ientes s o dados pelaf/rmula#


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Su(stituindo essa f/rmula para C n de %olta nasérie& %emos que& se f ti%er uma e)pans o emsérie de pot!n"ias em a& ent o ela de%e ser daseguinte forma#


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• 0ara o "aso espe"ial a * 1& a série de

Ta2lor torna,se#

Esse "aso surge "om frequ!n"ia e l3e foi

dado o nome espe"ial de série de4a"laurin5


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•

Ent o&

• $esse modo que& pelo Teste da Raz o& a série"on%erge para todo )& e o raio de "on%erg!n"iaé R * 75


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So( quais "ir"unst8n"ias uma funç o é

igual 9 soma de sua série de Ta2lor:


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• ;(ser%e que é um polin


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Em geral& f-). é a soma de sua série deTa2lor se#

& onde é denominado restoda série de Ta2lor5


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DESIGUALDADE DE TAYLOR

• Se para & ent o oresto da série de Ta2lor satisfaz adesigualdade#


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• 0ara %er por que isso é %erdadeiro para n

* 6& assumimos que =f>>-).= ? 45• Em parti"ular& temos f>>-). ?45

• 'ssim& para a ? ) ? a @ d & temos#


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$essa forma temos# f>-). A f>-a. ? 4-) A a.

Reorganizando& temos#f>-). ? f>-a. @ 4-) A a.


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Como&

Logo&


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• 'ssim a $esigualdade de Ta2lor& "om a * 1 e& &diz que#


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• Segue do Teorema do Confronto que

para todos os %alores de )5

Logo&

é igual 9 soma de sua série de4a"laurin5


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E)emplo D•

En"ontre a série de 4a"laurin de sen ) edemonstre que ela representa sen ) paratodo ) 5

• f-).* sen) f-1.* 1 • f>-).* "os) f>-1.* 6 • f -).* , sen) f -1.* 1 • f >-).* , "os) f >-1.* ,6 • f -).* sen) f-1.* 1


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• Como as deri%adas se repetem em um

"i"lo de quatro& podemos es"re%er asérie de 4a"laurin da seguinte forma#


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• Como é Fsen ) ou F"os )&sa(emos que para todo )5

• 'ssim podemos tomar 4 * 6 na$esigualdade de Ta2lor#


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• o lado direito dessa desigualdade tende a1 quando n 75→

• $essa forma& =Rn-).= 1 pelo Teorema→

do Confronto5• 'ssim sen ) é igual 9 soma de sua série de

4a"laurin5


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• ' igura mostra o grHfi"o de sen ) "omseus polin


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E)emplo I

En"ontre a série de 4a"laurin de "os )5• 0oder amos pro"eder diretamente "omo

no e)emplo anterior& mas é mais fH"ilderi%ar a série de 4a"laurin de sen)5


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• Como a série de 4a"laurin de sen ) "on%erge para todo ) & a série deri%ada

para "os) tam(ém "on%erge para todo )5


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USOS DAS SÉRIES DE TAYLOR

• Kma raz o pela qual as séries de Ta2lors o importantes é que elas nos permitem

integrar funç es "om as quais n opod amos lidar anteriormente5

•

;utro uso da série de Ta2lor é ilustradono pr/)imo e)emplo5


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E)emplo M•

Cal"ule

Ksando a série de 4a"laurin de e ) & temos#

•

+sso porque as séries de pot!n"ias s ofunç es "ont nuas5


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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE SÉDE POTÊNCIA

• 's séries de pot!n"ias podem ser somadas&multipli"adas& di%ididas ou su(tra das&"omportando,se "omo polin


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E)emplo •

En"ontre os tr!s primeiros termosdiferentes de zero na série de 4a"laurinde#

• Ksando a série de 4a"laurin de e ) esen)& temos#


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• 4ultipli"ando as e)press es e juntandoos termos semel3antes "omo nospolin

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