momento linear e choques

Introdução ao estudo de Choque de Partículas ou Colisões.

“Choques Frontais ou Diretos” e “Choques Oblíquos”.

Observação I ... Sobre Choque Mecânico ou Colisão.

► No esquema da figura acima, pode-se observar que o choque se caracteriza pela troca de fortes forças em “um curto intervalo de tempo”.

Assim, são exemplos de choques ou colisões: 1) “o chute numa bola de futebol”. 2) “o saque no voleibol”. 3) “rebatida em uma bola de beisebol”. 4) “encontro entre duas bolas de bilhar,etc”.

As fases durante o choque: Deformação e Restituição.

Do esquema acima, observa-se que a fase de “deformação” tem início no instante t i em que eles se tocam. Nesta fase, a energia cinética inicial ( ECinicial)

dos corpos converte-se total ou parcialmente, em energia sonora, térmica e potencial elástica. A fase de deformação termina no instante to em que a vrel

entre os corpos se anula.A partir daí tem-se o início da fase “restituição” que termina quando os corpos se separam, isto é, no instante tf quando então a energia cinética final dos corpos torna-se ECfinal , ao terminar a colisão.

“Observação II ... sobre Choque de Partículas” Durante a colisão as partículas vão trocar fortes forças de “ação e reação”, e portanto podemos desprezar as forças externas .Assim, o sistema é Isolado, então :

QANTES = QDEPOIS ► EM QUALQUER COLISÃO.

mA⋅v A+ mB⋅v P=mA⋅vA,+ mB⋅vP

,

Lembrança de Velocidade Relativa Vrel.

◘ Velocidade Relativa de Aproximação vaprox.

◘ Velocidade Relativa de Afastamento vafast.

v RELAPROX=v A−vB

v RELAPROX=(−60 ) −40

v RELAPROX=−100 km /h

∣v RELAPROX

∣=100 km /h.

v RELAFAST=v A−vB

v RELAFAST=+60−40

v RELAFAST=+ 20 km /h .

∣v RELAFAST∣=20 km /h.

Método Prático para se obter o valor em Módulo.

Exercício de Aplicação

» No esquema das figuras, determine as velocidades relativas entre as partículas A e B , isto é, VREL = VA - VB em cada

um dos casos abaixo :

O Coeficiente de Restituição ( e ) Suponha que um carrinho se aproxime frontalmente de uma parede

com velocidade de 10 m/s e, após o choque , retorne se afastando da

parede com velocidade de 6 m/s, conforme o esquema abaixo:

→ Observe que após o choque , o carrinho tem uma restituição de

apenas 60 % do valor absoluto da velocidade relativa que possuía

antes do choque.

Portanto, houve perda de energia cinética nessa colisão.

Coeficiente de Restituição ( e ) É definido como sendo o quociente entre a velocidade IvafastI e

a velocidade IvaproxI.

e=

∣vRELAFAST

∣

∣vRELAPROX∣

Observação :

Em qualquer tipo de colisão, num sistema isolado, a quantidade de

movimento total sempre se conserva, mas a energia cinética total do

sistema pode variar. Essa variação da energia cinética será analisada

na medida em que estudarmos cada um dos tipo de choques.

Assim, as colisões poderão ser de três tipos importantes :

I – Choque Elástico ou Perfeitamente Elástico.

II – Choque Parcialmente Elástico .

III – Choque Inelástico.

“Colisão Elástica” ou Perfeitamente Elástica

Ocorre quando ( e = 1),isto porque na fase de deformação, a energia “cinética” do sistema se transforma apenas em energia “elástica”, daí : VAFAST. = VAPROX .

e = 1

Observação Colisão Elástica ou Perfeitamente Elástica .

Neste tipo de choque, em que não ocorre deformação permanente

dos corpos, além da conservação da quantidade de movimento, há

também a conservação da energia cinética total dos corpos antes e

depois da colisão , e o coeficiente de restituição é unitário : e = 1.

Conceitualmente , é importante lembrar que …..

Em uma colisão elástica, a energia cinética do sistema se conserva .

JoulesEEdepoisantes CC 12

Exercício de Aplicação I No esquema da figura, duas partículas A e B, realizam uma colisão unidimensional. Estão indicados os módulos e os sentidos das velocidades de A e B antes da colisão, que se efetua num plano horizontal sem atrito.

(a) Calcule o coeficiente de restituição e.

(b) Calcule a relação mA / mB

Solução

Considerando as figuras :a) e = ( vB + vA ) : ( μA + μB )

e = ( 6 + 2 ) : ( 5 + 3 ) e = 1 ► elástico

a) Q ANTES = QDEPOIS

mA.μA + mB.μB = mA.vA + mB.vB

mA.5 + mB.(-3) = mA.(-2) + mB.6

7. mA = 9 . mB

mA / mB = 9 / 7

◘ Choque Elástico de Partículas de Mesma Massa.

Do esquema acima:

Por outro lado :

► haverá portanto permuta de

velocidades.

μ A μBv A v B

Qantes=Qdepoism⋅μA+ m⋅μB=m⋅v A+ m⋅v B

v A+ vB=μA+ μB

e=v B−v A

μA−μB

=1⇒ vB−v A=μA−μB

(1 )

( 2 )

Re solvendo : v A=μB . .. . .. .. . e .. .. . .. .. . vB=μA

Exemplos de choques elásticos com permuta de velocidades :

No choque parcialmente elástico ..... 0 < e < 1

Exercício de Aplicação

Nas figuras acima, determine em cada caso,o valor do “coeficiente de restituição” e o “tipo de choque”.

Solução

a) e = IVAFI ׃ IVAPI ► ( 8 – 2) : (8 – 2) ►e = 1 → ( elástico )

(b) e = IVAFI ׃ IVAPI ► ( 4 + 2 ) : ( ׃ ) 2 +8 ►e = 0,6

( parcialmente elástico )

Exercício IIA figura a seguir representa dois carrinhos A e B de massas m e 3m, respectivamente, que percorrem um mesmo trilho reto com velocidades μA = 15 m/s e μB = 5 m/s :

Se o choque mecânico que ocorre entre eles tem coeficiente de restituição 0,2 ,quais serão as velocidades escalares após a colisão ? Resp: vA = .......... e vB = ..........

μ A μB

Solução

QANTES = QDEPOIS e = IVAFI : IVAPI mA.μA + mB.μB = mA.vA + mB.vB 0,2 = (vB – vA) : ( 15 – 5) m . 15 + 3m .5 = m . vA + 3m .vB vB – vA = 2 15 + 15 = vA + 3 vB

vA +3vB = 30

Assim: vA + 3vB = 30 vB - vA = 2

Resolvendo o sistema: vA = 6 m/s e vB = 8 m/s

μ AμB

Exercício III Duas partículas A e B realizam um choque direto. Os valores das velocidades das partículas antes e depois do choque estão representados no esquema dado na figura abaixo:

(a) Determine a velocidade de B imediatamente após o choque.

(b) Qual foi o tipo de choque?

(c) Calcule a energia cinética do sistema , antes do choque e depois do choque.

Solução Da figura dada:

QANTES=QDEPOIS

mA⋅μA+ mB⋅μB=mA⋅vA+ mB⋅vB

2⋅5+ 1⋅2=2⋅3+ 1⋅v B⇒v B=6m /s .

e=∣6−3∣∣5−2∣

e=33

⇒ e=1 . ( elástico )

ECANTES=

2⋅( 52)2

+1⋅( 22 )2

=27 j

ECDEPOIS=

2⋅( 32)2

+1⋅( 62 )2

=27 J

“Colisão Inelástica” ► e = 0

Neste caso,não existirá a fase de restituição, e isto irá

colaborar para o não armazenamento de energia

elástica,por esta razão o nome inelástico . Assim: VREL. AFAST. = 0

μ A μB=0 v

Observe porque e = 0 no Choque Inelástico :

∣v RELAFAST∣=0

∣v RELAPROX∣=∣80+ 60∣=140 km /h .

e

Logo: e=∣vRELAFAST

∣

∣vRELAPROX∣⇒e=

0140

=0

Observação II sobre o Choque Inelástico.

Pelo fato de os corpos permanecerem unidos (juntos) após uma uma colisão totalmente inelástica, não existe a fase de restituição e portanto apenas ocorrerá a fase de deformação .

Por esta razão, teremos neste choque EC depois< EC antes

Exercício de Aplicação 01

Solução

Da figura, vem que:

QANTES=QDEPOIS

m⋅v0+ m⋅0=2m⋅v f ⇒ v f =v0

2Assim :

EC0=

12⋅m⋅v0

2¿⋅¿⋅¿ ECF

=12⋅2m⋅v f

2⇒ECF

=12⋅2m⋅

v02

4Finalmente :

ECF=

12⋅EC0

.⇒Re sp :(d ) .

EXERCÍCIO 02

Uma partícula de massa m está com energia cinética de 1200 J quando colide com outra partícula de massa 2m inicialmente em repouso . Sabendo-se que a colisão foi totalmente inelástica, a energia cinética dissipada no ato da interação vale:

(a) 500 J

(b) 800 J

(c) 1000 J

(d) 1200 J

(e) 400 J

Solução

Da figura dada: μ A=v0. . .. .. . e .. .. . .. .. μB=0(inelástico ). . .. .. .v A=vB=v .. .. e . .. .(e=0 ).

Assim : EC=Q2

2m⇒Q=√ 2 . m . EC

Qantes=√ 2⋅mi⋅EC i=√ 2⋅m⋅1200

Qdepois =√ 2⋅m f ¿ECf=√ 2⋅3m⋅EC

f

igualando :2⋅m⋅1200=2⋅3m⋅EC f

⇒3⋅ECf=1200⇒EC

f=400 J .

EDISSIPADA=400−1200=−800 J .⇒Re sp : (b ).

Exercício 03 No gráfico ,estão representados os valores das quantidades de movimento de

duas esferas que colidem frontalmente em um plano horizontal.

Qual das seguintes alternativas expressa uma conclusão correta a partir da

análise do gráfico?

choque parcialmente elástico ( ) choque elástico ( )

Solução

Choque Parcialmente Elástico.

25,08

2

:

231

826

ee

Assim

V

V

AFAST

APROX

REL

REL

Exercício 4

Um saco de areia de massa 5 kg está em repouso, suspenso por um

fio de massa desprezível.Ele é atingido horizontalmente por uma bala

que possui massa de 8g sem atravessá-lo e então sofre uma elevação

de uma altura H = 15 cm em relação à sua posição inicial.

Admitindo-se no local , g = 10 m/s2 , qual deverá ser a velocidade v0

ao atingir o saco de areia?

Solução

Temos então que:

Por outro lado :

m

vMmv

vMmMvm

QQ depoisantes

)(

)(0

0

0

./1084008,0

15,0102)5008,0(

2)(

:

2

)()(2

1

00

0

2

2

smvv

m

HgMmv

doSubstituin

Hgv

HgMmvMm

Exercício 05No gráfico abaixo,estão representadas as velocidades de duas partículas A e B, que se chocam sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Com base no gráfico, determine :

(a) A massa de B,sabendo que a massa de A vale 7 kg.

(b) A força média trocada na ocasião da colisão.

Solução Analisando o gráfico : QANTES = QDEPOIS

mA.μA + mB.μB = mA.vA + mB.vB

7. 8 + mB.(-2) = 7.(0) + mB.5

(2 + 5) .mB = 56 ► mB = 8 kg

I = ΔQB

Fm . Δt = mB.( ΔvB )

Fm .( 9 – 7).10-3 = 8 .( 5 + 2 )

Fm = 28.000 N

Solução

Antes do choque :

Depois do choque:

000

000

0

0

3 DYD

PXP

QQvmQ

QQvmQ

0

20

220

22

20

20

2

222

10

9

)3()(

)()(

vmQ

vmvmQ

vmvmQ

QQQ

f

f

f

yXf ff

Bsp :Re

O esquema da figura abaixo, mostra dois pontos materiais que vão interagir inelasticamente na origem do sistema cartesiano. Pede-se determinar a velocidade v após o choque , indicando a sua direção θ em relação ao eixo dos x.

Antes do choque :

Depois do choque :

smkgQQvmQ

smkgQQvmQ

YBBBB

XAAAA

/1254,2

/55,22

000

000

4,25

12

:

/95,2

)4,22(13

)(:

/13125 222

222

tgQ

Qtg

finalmente

smv

v

vmmQMas

smkgQ

QQQ

f

f

ff

X

Y

BAf

f

YXf

v

Choques com Superfícies Rígidas e Imóveis.

Considere um corpo de massa m, que seja abandonado de uma certa

altura H do solo.Após se chocar com o solo pela primeira vez,o corpo

atinge uma altura máxima h .

Determine o coeficiente de restituição do choque ( e ) em função das

alturas h e H em relação ao solo.

Solução

O coeficiente é dado por:

Por outro lado:

antes: depois: substituindo vem :

antes

depois

APROX

AFAST

V

V

V

Ve

Hgv

vmHgm

EE

antes

antes

CP BA

2

2

1 2

hgv

hgmvm

EE

depois

depois

PC DC

2

2

1 2

H

he

Hg

hge

2

2

A

B C

D

Solução

Da figura :

./1410.8,9.22 smvgHv antesantes

./2,11141,01,052,2 smvv

vmvmQ

depoisdepois

antesdepois

.8,014

2,11

0

0

e

v

v

v

ve

antes

depois

antes

depois

Na figura dada abaixo, temos uma massa M = 132 kg que se encontra em repouso, presa a uma mola de constante elástica k = 1,6 . 104 N/m e que pode se deslocar sem atrito sobre a mesa em que está apoiada. Atira-se uma bala na horizontal de massa m = 12 g e com velocidade v0 = 200 m/s,

que atinge o bloco e nele ficando incrustada. Nestas condições, determine a máxima deformação sofrida pela mola.

Solução

Da figura :

Após a incrustação e até a deformação máxima da mola,teremos:

vdepois v final =0

Qantes=Qdepois

m⋅v0+ 0=(m+ M )⋅vdepois

12⋅200+ 0=(12+ 132)⋅vdepois

vdepois=16 ,7 m /s .

12⋅(m+ M )⋅vdepois

2 =12⋅k⋅x2

12⋅144⋅(16 ,7)2=

12⋅1,6⋅104⋅x2⇒ x=0, 05 m⇒ x=5 cm .

Uma esfera M é abandonada, a partir do repouso, no ponto A de um plano inclinado, sem atrito,conforme a figura abaixo. Atinge o plano horizontal, perfeitamente liso,com velocidade de 4 m/s, chocando-se com frontalmente com a esfera N , que está inicialmente parada e que tem massa duas vezes maior que M. Considerando g = 10 m/s2 e o choque elástico,pede-se determinar a altura h do ponto A em relação ao plano horizontal e a velocidade de N após o choque.

EA = Eantes do choque m.g.h = ½ .m.μM

2

μM2 = 2.g.h

42 = 2.10.h ► h = 0,8 m

(μM – μN) . e = ( vN – vM) (4 – 0) .1 = ( vN – vM) ► vM = (vN – 4)

Finalmente:

mM.μM + mN.μN = mM.(vM) + mN.vN

m . 4 + m . 0 = m.(vN – 4) + 2m.vN

4 = (vN – 4) + 2.vN ► vN = 8 / 3 m/s

Na figura abaixo, temos um plano horizontal sem atrito e um bloco B , em repouso, que possui a forma de um prisma triangular. Uma pequena esfera A é abandonada do repouso, da posição indicada na figura, e ,após ocorrer uma queda livre, colide elasticamente com o prisma. Despreze o efeito do ar e adote g = 10 m/s2.

Sabe-se que imediatamente à colisão, a esfera A tem velocidade horizontal. A massa do prisma B é o dobro da massa da esfera A . Nestas condições, a velocidade adquirida pelo prisma B, após a colisão terá valor:

(a) 2 m/s (b) 4 m/s (c) 8 m/s (d) 16 m/s (e) 1 m/s

Solução

Da figura ao lado:

QBDEPOIS=QA

DEPOIS

2⋅m⋅v B=m⋅v A⇒ v A=2⋅vB

Assim :m⋅g⋅H =ECB

+ ECA

m⋅g⋅H =12⋅2m⋅vB

2+12⋅m⋅vA

2

Substituindo .. .. . ( I ) . .em . . ( II ) . . vem :

2⋅vB2+ 4⋅v B

2=2⋅10⋅1 ; 2

6⋅vB2=24⇒ vB=2m / s .

( I )

( II )

A esfera de aço acima, tem massa m e colide comum bloco de aço após percorrer a distância h . A colisão é totalmente elástica, ocorre durante t segundos e a esfera é refletida na direção horizontal pelo bloco que se apoia rigidamente no solo. Nestas condições, determine o módulo da força resultante F que atua sobre a esfera na colisão.

Solução

v

vv

F

ghmQ

ghmQ

Assim

ghv

vmhgm

EE

DEPOIS

ANTES

CPOTINICIAL

2

2

:

2

2

1 2

ghmQ 2

Q

t

ghmF

QtF

Finalmente

2

: