microeconomia a iii prof. edson domingues aula 10 teoria dos jogos – estratégias mistas

Microeconomia A III

Prof. Edson Domingues

Aula 10Teoria dos Jogos – Estratégias Mistas

Referências VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro:

Elsevier, 2003. (tradução da sexta edição americana) – cap 28

e 29.

PINDYCK, R. S., RUBINFELD, D.L. Microeconomia. São

Paulo: Prentice Hall, 2002. (quinta edição). cap. 13

FIANI, R. Teoria dos Jogos: para cursos de administração e

economia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.

BERNI, D. A. Teoria dos Jogos: jogos de estratégia, estratégia

decisória, teoria da decisão. Rio de Janeiro: Reichmann e

Affonso Ed., 2004.

Estratégias Puras B

A

Existe algum equilíbrio de Nash emestratégia pura?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

(U,L) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.

(D,R) é um equilíbrio de Nash?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.(D,R) é um equilíbrio de Nash? Não.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias PurasB

A

Jogo não possui equilíbrio de Nash deEstratégia pura. Apesar disso, o jogo possuium equilíbrio de Nash, mas de estratégiasmistas.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

Estratégias Mistas

Ao invés de jogar puramente U ou D, Jogador A seleciona uma distribuição de probabilidade (U,1-U), significando que com probabilidade U o Jogador A jogará U e com probabilidade 1-U jogará D.

Jogador A está misturando suas estratégias puras U e D.

A distribuição de probabilidade (U,1-U) é a estratégia mista do Jogador A.

Estratégias Mistas

Similarmente, Jogador B seleciona uma distribuição de probabilidade (L,1-L), significando que com probabilidade L o Jogador B jogará L e com probabilidade 1-L jogará R.

Jogador B está misturando suas estratégias puras L e R.

A distribuição de probabilidade (L,1-L) é a estratégia mista do Jogador B.

Estratégias Mistas

A

Este jogo não possui um equilíbrio de Nash de estratégia pura mas tem um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Como se calcula?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U

D

L R

B

Estratégias Mistas

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

B

Estratégias Mistas

A

Se B joga L, seu retorno esperado é

2 5 1 U U ( )

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

B

Estratégias Mistas

A

Se B joga L, seu retorno esperado é

Se B joga R, seu retorno esperado é2 5 1 U U ( ).

4 2 1 U U ( ).

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

B

Estratégias Mistas

Player A

2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Se entãoB só jogaria L. Mas não existe equilíbrio deNash no qual B joga apenas L.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

Player B

Estratégias Mistas

A

2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Se então

B só jogaria R. Mas não existe equilíbrio deNash no qual B joga apenas R.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferente entre jogar L ouR; i.e.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferenta entre jogar L ouR; i.e. 2 5 1 4 2 1

3 5

U U U U

U

( ) ( )

/ .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,U

D,1-U

L,L R,1-L

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Bdeve estar indiferenta entre jogar L ouR; i.e. 2 5 1 4 2 1

3 5

U U U U

U

( ) ( )

/ .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L,L R,1-L

53

52

B

Estratégias Mistas

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Se A joga U seu retorno esperado é

.)1(01 LLL

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Se A joga U seu retorno esperado é

Se A joga D seu retorno esperado é

).1(3)1(30 LLL

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

.)1(01 LLL

B

Estratégias Mistas

L L 3 1( )Se então A jogaria apenas U.

Mas não existe equilíbrio deNash no qual A joga apenas U.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Se

Mas não existe equilíbrio deNash no qual A joga apenas D.

L L 3 1( ) então A jogaria apenas D.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L 3 1( )

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,L R,1-L

U,

D,

53

52

B

Estratégias Mistas

A

Então, para que exista eq. de Nash , Adeve estar indiferente entre jogar U ouD; i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L, R,

U,

D,

53

52

43

41

B

Estratégias Mistas

B

A

Então o único equilíbrio de Nash é o jogador A jogando a estratégia mista (3/5, 2/5) e o jogador B com a estratégia mista (3/4, 1/4).

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

53

52

L, R,43

41

Estratégias Mistas

B

A

Os retornos serão (1, 2) com probabilidade35

34

920

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R,43

41

53

52

9/20

Estratégias Mistas

B

A

Os retornos serão (0, 4) com probabilidade35

14

320

(0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20

Estratégias Mistas

Player B

Player A

Os retornos serão (0, 5) com probabilidade25

34

620

(0,4)

(0,5)

U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20

6/20(3,2)

Estratégias MistasB

A

Os retornos serão (3, 2) com probabilidade25

14

220

(0,4)U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Estratégias Mistas

B

A

(0,4)U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Estratégias MistasB

A

O retorno esperado de eq de Nash para A é

1920

03

200

620

32

2034

.

(0,4)U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Estratégias MistasB

A

O retorno esperado de eq de Nash para A é

1920

03

200

620

32

2034

.

O retorno esperado de eq de Nash para B é

2920

43

205

620

22

20165

.

(0,4)U,

D,

L, R,43

41

53

52

(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20

Quantos equilíbrios de Nash?

Um jogo com número finito de jogadores, cada um com um número finito de estratégias puras, possui pelo menos um equilíbrio de Nash.

Portanto se o jogo não possui equilíbrio de Nash de estratégia pura, então ele deve ter pelo menos um equilíbrio de Nash de estratégia mista.

Estratégias Mistas – Jogos de Competição

Chutador

Competição: retornos opostos em cada combinação.Retornos representam pontos do Chutador, e respectiva perda para o Goleiro.Chance de gol é melhor com escolhas opostas.Chance de defesa é melhor com escolhas (E,E) ou (D,D).Chutador é melhor com a esquerda, para escolhas (E,E) ou (D,D).

(50,-50) (80,-80)

(90,-90) (20,-20)

E

D

E D

Goleiro

Estratégias Mistas – Jogos de Competição

Chutador

Não há equilíbrio de Nash em estratégias puras. Há equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Qual a razão para os jogadores adotarem estas estratégias?

(50,-50) (80,-80)

(90,-90) (20,-20)

E

D

E D

Goleiro

Estratégias Mistas – Jogos de Competição

Chutador

Para que exista eq. de Nash , Goleirodeve estar indiferente entre E ou D; i.e.

7,0

)1(2080)1(9050

U

UUUU

(50,-50) (80,-80)

(90,-90) (20,-20)

E,U

D,1-U

E,L D,1-L

Goleiro

Chutador

Para que exista eq. de Nash , Chutadordeve estar indiferente entre E ou D; i.e.

6,0

)1(2090)1(8050

L

LLLL

(50,-50) (80,-80)

(90,-90) (20,-20)

E,U

D,1-U

E,L D,1-L

Goleiro

Estratégias Mistas – Jogos de Competição

Chutador(50,-50) (80,-80)

(90,-90) (20,-20)

E (

D (0,3)

E ( D (0,4)

GoleiroEstratégias Mistas – Jogos de Competição

O retorno esperado de eq de Nash para Chutador é

.622012,09018,08028,05042,0

O retorno esperado de eq de Nash para Goleiro é

.622012,09018,08028,05042,0

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta (Varian (2003), Capítulo 29.2*)

O retorno esperado de Coluna é

)1).(1(2. lccl

A variação do retorno esperado de Coluna é:

clcclcl )23(22*Tradução da 6a. edição americana

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

A variação do retorno esperado

é positiva quando 3l>2 e negativa quando 3l<2.Ganho de Coluna aumentará sempre que l>2/3 e reduzirá quando l<2/3. Portanto, Coluna aumentará c quando l>2/3, e diminuirá c quando l<2/3. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

cl )23(

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

A variação do retorno esperado

Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.

Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.

Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

cl )23(

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.

Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.

Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

2/31l

c1

Melhor respostade Coluna

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

O retorno esperado de Linha é

clclclclcl .1..2)1).(1(..2

A variação do retorno esperado de linha é:

lcclllc )13(...2

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

A variação do retorno esperado

é positiva quando 3c>1 e negativa quando 3c<1.Ganho de linha aumentará sempre que c>1/3 e reduzirá quando c<1/3. Portanto, linha aumentará l quando c>1/3, e diminuirá l quando c<1/3. Quando c=1/3, linha está indiferente.

lcclllc )13(...2

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

A variação do retorno esperado

Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.

Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.

Quando c=1/3, linha está indiferente.

lcclllc )13(...2

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.

Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.

Quando c=1/3, linha está indiferente.

1/3

Melhor respostade Linha

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

1/3

Melhor respostade Coluna

Melhor respostade Linha

Quantos equilíbrios de Nash?

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

Intersecções são equilíbrios de Nash.Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras e um com estratégias mistas.

1/3

Melhor respostade Coluna

Melhor respostade Linha

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

Intersecções são equilíbrios de Nash.Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras (N1 e N2) e um com estratégias mistas (M).

1/3

Melhor respostade Coluna

Melhor respostade Linha

N1

N2

M

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

1/3

Melhor respostade Coluna

Melhor respostade Linha

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

N1

M

N2

O retorno esperado de Coluna é

3

2)

3

21).(

3

11(2

3

2.

3

1COLRE

O retorno esperado de Linha é clclclRELINHA .1..2

No equilíbrio de estratégia mista (M):

3

2

3

1.

3

2

3

1

3

21

3

1.

3

2.2 LINHARE

)1).(1(2. lcclRECOL

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

2/31l

c1

1/3

Melhor respostade Coluna

Melhor respostade Linha

Linha(2, 1) (0,0)

(0,0) (1,2)

E (l)

D (1-l)

E (c D (1-c)

Coluna

N1

M

N2

Retornos

Esperados Equilíbrios de Nash

N1 N2 M

Linha 1 2 2/3

Coluna 2 1 2/3

N1

N2

Estratégias Mistas

B

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U (c)

D (1-c)

L(l) R (1-l)

Construa as curvas de melhor resposta e encontreos equilíbrios de Nash.

Estratégias Mistas

O retorno esperado de B é

4523

42232342)23)(1(

442)225)(1(

)1).(1(2))(1(4)1)((5.2

lccl

lcclcllclc

lclcllc

lcclclcl

A variação do retorno esperado de Coluna é:

lc )53(

B

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U (c)

D (1-c)

L(l) R (1-l)

Estratégias Mistas

A variação do retorno esperado de B é:

05

3053 se

15

3053 se

)53(

lcc

lcclc

B

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U (c)

D (1-c)

L(l) R (1-l)

Estratégias Mistas

O retorno esperado de A é

3334

)1(3)1).(1(3.

)1).(1(3))(1(0)1)((0.1

cllc

lccllclccl

lcclclcl

A variação do retorno esperado de A é:

cl )34(

B

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U (c)

D (1-c)

L(l) R (1-l)

Estratégias Mistas

A variação do retorno esperado de A é:

04

3034 se

14

3034 se

)34(

cll

cllcl

B

A(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U (c)

D (1-c)

L(l) R (1-l)

Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta

3/5 c

l

3/4

05

3

15

3

lc

lcB

04

3

14

3

cl

clA

B

A

(l,c)=(0,0)

1

1

(l,c)=(3/4, 3/5)