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Método do Ponto Fixo

Cálculo Numérico

Prof. Wellington D. Previero

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto Fixo

Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intevalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0. O Método do Ponto Fixo consiste em escrever f(x) = 0 em uma equação equivalente a x = g(x) e a partir de uma aproximação inicial xo gerar a sequência {xk} de aproximações para a raiz através da relação xk+1=g(xk).

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoUm função g(x) que satisfaz a condição

f(x)=0 ↔ x=g(x)

é chamada de função iteração.

Observe que se f()=0, então = g().

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto Fixo

Exercício 1: Determine algumas funções de iteração para a equação x2+x-6=0.

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoSuponha que g(x) é uma função iteração da equação f(x) = 0. Então a raíz da equação f(x) = 0 equivale a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x com a curva y = g(x).

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f(x)=x2+x-6

y=x

g(x)=6-x2

Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoAproximações: Dado uma aproximação inicial x0, as aproximações da raiz são geradas pela relação xn+1=g(xn).

Interpretação Geométrica das Aproximações: Dada a função iteração e a aproximação inicial x0, vamos verificar como são geradas as aproximações da raiz .

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto Fixo

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x0

y=g(x)

y=x

Método do Ponto FixoMétodo do Ponto Fixo

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x0

y=g(x)

y=x

Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoExercício 2: Considere as funções iterativas obtidas no exercício 1. Verifique geometricamente a convergência (ou não) das aproximações da raiz de f(x)=x2+x-6 através da relação xn+1=g(xn) e x0=1.

a) g(x)=6/(x+1)

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b)

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xxg 6)(

Método do Ponto FixoMétodo do Ponto Fixo

c) g(x)=6-x2

considere x0=1,5

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoExercício 3: Através das funções iterações obtidas no exercício 2, obtenha numericamente a aproximação da raiz de f(x)=x2+x-6 através da relação xn+1=g(xn) e x0=1. Faça 5 iterações.

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoTeorema: Sejam uma raiz da equação f(x)=0 isolada num intervalo I e g(x) uma função iteração. Se

a) g(x) e g’(x) são contínuas em I;

b) | g’(x) | ≤ M < 1, para todo x em I e

c) x0 I

então a sequência {xn} gerada pelo processo iterativo xn+1=g(xn) converge para .

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Método do Ponto FixoMétodo do Ponto FixoObservações:

a)Convergência rápida.

b)Necessidade de que a função de iteração satisfaça a condição de convergência.

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