matemática ii
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETELey de Creación N° 29488
Resolución de Autorización N0 666-2013-CONAFU
= Integral Indefinida
Mg. Roger Díaz Villegas
MATEMÁTICA II
SESIÓN 1
LA ANTIDERIVADA Y LA
INTEGRAL INDEFINIDA
Logros de Aprendizaje
Utiliza diversos métodos para determinar las integrales indefinidas elementales.
Interpreta situaciones inversas de la derivada como integral indefinida.
La antiderivada y la Integral Indefinida
Dada una función ¿Será posible determinar una función cuya derivada sea ?…¿Habrá otra, o será la única?
Recordemos que: es una constante)Así que: Esto arroja un conjunto de respuestas. Esto es:
…
A continuación vamos a enfocarnos en el siguiente problema
general:
Dada una función , tenemos que hallar una función tal que .
Llamaremos a una antiderivada de
El término antiderivada se refiere al hecho de que hallar es el
proceso opuesto a derivar.
La antiderivada y la Integral Indefinida
Ejemplo 1: Dada las siguientes funciones:
Determine la antiderivada de las funciones , y .
Nota: A la expresión se le denomina Antiderivada General.
Ejemplo 2: Compare la gráfica de y la gráfica de la antiderivada
general .
La antiderivada y la Integral Indefinida
Definición 1 (Antiderivada): Sea una función que depende de
Una función es llamada antiderivada de si
La antiderivada y la Integral Indefinida
RESUMEN
La antiderivada y la Integral Indefinida
RESUMEN
La antiderivada y la Integral Indefinida
…
Todas ellas son antiderivadas o primitivas de:
𝑓 (𝑥 )=3 𝑥2
𝑭𝒏 (𝒙 )=𝒙𝟑+𝑪Antiderivada General
El conjunto de todas las antiderivadas ( ) se denomina: la Integral Indefinida de respecto a , denotada por:
CxFdxxf )()(Símbolo de Integral
Función integrando
Diferencial de x
Una antiderivada de f
Constante de integración
La antiderivada y la Integral Indefinida
Definición 2 (Integral Indefinida): Dada una función y una
constante arbitraria C, la expresión
Es llamada Integral Indefinida de
La antiderivada y la Integral Indefinida
Ejemplo. Determine las siguientes integrales indefinidas
f.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. INTEGRAL INDEFINIDA DE POTENCIAS
Ejemplos. Determine las siguientes integrales indefinidas
La antiderivada y la Integral Indefinida
𝒙𝒏𝒅𝒙=𝒙𝒏+𝟏
𝒏+𝟏 +𝑪 ,∀𝐧 ≠−𝟏
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
2. INTEGRAL INDEFINIDA DE
Ejemplos. La integral indefinida de las siguientes funciones es
En general, dada una función , su integral indefinida es: …
La antiderivada y la Integral Indefinida
𝒌 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙=𝒌 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
3. INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplos. La integral indefinida de las siguientes funciones es
La antiderivada y la Integral Indefinida
CUIDADO:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
3. INTEGRAL INDEFINIDA (Aplicación extra - matemático de la
integral indefinida)
Ejemplos. (Crecimiento de un árbol). Un agrónomo descubre que
cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de su altura cambia
a razón de
Si el árbol tenía de altura cuando se plantó ¿cuánto medirá dentro de
27 años?
La antiderivada y la Integral Indefinida
OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
La antiderivada y la Integral Indefinida
4. 5. +c, en general +c
6. , en general
7. en general
8. +C
9. +C
10. + C
11.
OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Ejemplo 1. Determine la antiderivada de las siguientes funcionesa. c.
e.
h.
Ejemplo 2. Determine la siguiente integral indefinida
La antiderivada y la Integral Indefinida
OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Ejemplo 3. Determine las siguientes integrales indefinidas
La antiderivada y la Integral Indefinida
OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
TRABAJO EN GRUPO. Determine las siguientes integrales
indefinidas
La antiderivada y la Integral Indefinida
OTRAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
TRABAJO EN GRUPO. Determine las siguientes integrales
indefinidas
La antiderivada y la Integral Indefinida
Problemas. Obtenga la antiderivada indicada:
1.
2.
3.
4.
5.
La antiderivada y la Integral Indefinida
(𝑥2+4 )5 2𝑥 𝑑𝑥
REGLA GENERAL INTEGRALES
INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1.
2.
3.
4.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
a.
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1. 2.
3. 4.
5.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
b.
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1. 2.
3. 4.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
c. +c
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1.
2.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
d. , e.
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1.
2.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
f. . +C
g. +C
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
h. + C
i. + C
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
1.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
h. + C
i. + C
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
j.
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
k. l.
m.
n.
o.
p.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
Ejemplos. Evalúe las siguientes integrales
indefinidas.
REGLA GENERAL: INTEGRALES INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN
Evaluación. Verifiquemos lo aprendido (objetivos específicos)
1. Evalúe las siguientes integrales
2. (Habilidad para aprender). Un estudiante de la UNDC comienza a estudiar un tema de
Matemática II por primera vez, quizás no sea muy hábil, pero con el tiempo se aproximará a
los límites de su habilidad. Sea T el tiempo necesario (en días) para que el estudiante
aprenda una cantidad L de temas. Se sabe que la razón de cambio del tiempo respecto a la
cantidad de temas es
Donde son constantes positivas. Si para aprender tres temas se necesita un tiempo de días,
¿cuántos días se necesitan para aprender 4 temas?
Integrales inmediatas por sustitución
PRÓXIMAMENTE
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