GRÁFICAS POLARES ROSAS POLARES...................................................................................................................................... 2

r = a sen(5θ); a > 0 .................................................................................................................................................................. 2

r = a cos(2θ); a > 0 .................................................................................................................................................................. 3

CARACOL CARDOIDE ............................................................................................................................... 4

r = a(1 + cosθ) ; a > 0 ........................................................................................................................................................... 4

r = a(1 − sen θ); a > 0 ...................................................................................................................... 5

LEMNISCATAS ......................................................................................................................................... 6

r = a ± bsen θ; a, b > 0 ........................................................................................................................................................... 6

r = a ± bcosθ ; a, b > 0 .................................................................................................................... 7

r2 = a2 sen(2θ); a > 0 .......................................................................................................................8

r2 = a2 cos(2θ); a > 0 .......................................................................................................................9

ESPIRALES............................................................................................................................................. 10

r = θ .............................................................................................................................................................................................. 10

r = eθ .............................................................................................................................................. 11

CONCOIDES .......................................................................................................................................... 12

r2 − 2r = sen(2θ) .................................................................................................................................................................... 12

r2 − 2r = cos(θ/2) .................................................................................................................................................................. 12

r = |asen(2θ)|; a > 0 ............................................................................................................................................................. 13

r = −3cos(2θ); θ ∈ [0; π] ................................................................................................................................................... 13

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 14

WEBGRAFÍA.......................................................................................................................................... 14

2

GRÁFICAS POLARES

ROSAS POLARES:

I. 𝐫 = 𝐚 𝐬𝐞𝐧(𝟓𝛉); 𝐚 > 𝟎

Para poder analizar asumimos que a = 1

r = sen(5θ)

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ sen(5θ) ≤ 1 r(máx) = 1

−1 ≤ r ≤ 1 r(mín) = −1

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 0; θ =π

2→ r = 1 ; θ = π → r = 0; θ =

3π

2→ r = 0

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por

− r.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = sen(5θ)

θ = k (π

5) ; k ∈ Z

Analizamos para θ ∈ [0; 2π]

θ = 0 ; π/5; 2π/5 ; 3π/5 ; 4π/5 ; π;6π

5; 7π/5; 8π/5; 9π/5; 2π

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/25

2π/25

π

10 3π

/25 4π/25

9π

10

π/5

6π/25

7π/25

13π

10

8π/25

9π/25

2π/5

r 0 0,6 0,95 1 0,95 0,6 1 0 -0,6

-0,95

1 -0,95

-0,6

0

3

II. 𝐫 = 𝐚 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛉); 𝐚 > 𝟎

Asumiendo que a = 1

r = cos(2θ)

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ cos(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1

−1 ≤ r ≤ 1 r(mín) = −1

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 1; θ =π

2→ r = −1 ; θ = π → r = 1; θ =

3π

2→ r = −1

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Existe simetría con el eje normal Y y el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por− θ y r por − r.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = cos(2θ)

θ = k (π

4) ; k ∈ Z

Analizamos para θ ∈ [0; 2π]

θ = 0 ; π/4; π/2 ; 3π/4 ; π

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/4 π/2 3π/4 π

r 1 0 1 0 1

4

CARACOL CARDIODE:

III. 𝐫 = 𝐚(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉) ; 𝐚 > 𝟎

Asumiendo que a = 1

r = 1 + cosθ

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 r(máx) = 2

0 ≤ r ≤ 2 r(mín) = 0

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 2; θ =π

2→ r = 1 ; θ = π → r = 0; θ =

3π

2→ r = 1

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Solo existe simetría con el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = 1 + cos(θ) → cos(θ) = −1

θ = π;

Por lo tanto, la recta θ = π es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π

r 2 1 + (

√3

2)

3

2 1 1 −

1

2 1 − (

√3

2)

0

Cuando θ aumenta de 0 a π, cosθ disminuye de 1 a − 1, y r = 1 + cosθ disminuye desde 2 hasta 0.

5

IV. 𝐫 = 𝐚(𝟏 − 𝐬𝐞𝐧 𝛉); 𝐚 > 𝟎

Asumiendo que a = 1

r = 1 − sen(θ)

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 r(máx) = 2

0 ≤ r ≤ 2 r(mín) = 0

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 1; θ =π

2→ r = 0 ; θ = π → r = 1; θ =

3π

2→ r = 2

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por

− r.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = 1 − sen(θ) → sen(θ) = 1

θ = (π

2) ;

Por lo tanto, la recta θ =π

2 es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π

r 1 1 − (1

2) 1 − (

√3

2)

0 1 − (

√3

2) 1 − (

1

2) 0

6

LEMNISCATAS:

V. 𝐫 = 𝐚 ± 𝐛𝐬𝐞𝐧 𝛉; 𝐚, 𝐛 > 𝟎

Asumiendo que a = 1; b = 2

r = 1 + 2sen θ

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 r(máx) = 3

−1 ≤ r ≤ 3 r(mín) = −1

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 1; θ =π

2→ r = 3 ; θ = π → r = 1; θ =

3π

2→ r = −1

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por

− r.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = 1 + 2sen(θ) → sen(θ) = −1/2

θ = (7π

6) ; (

11π

6)

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/6 π/2 5π/6 π 7π/6 3π/2

r 1 2 3 2 1 0 −1

Gráfica 1: r = 1 + 2senθ Gráfica 2: r = 1 − 2senθ

7

VI. 𝐫 = 𝐚 ± 𝐛𝐜𝐨𝐬 𝛉 ; 𝐚, 𝐛 > 𝟎

Asumiendo que a = 1; b = 2. Analizamos:

r = 1 + 2cos θ

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 r(máx) = 3

−1 ≤ r ≤ 3 r(mín) = −1

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 2; θ =π

2→ r = 1 ; θ = π → r = −1; θ =

3π

2→ r = 1

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

Solo existe simetría con el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ .

Rectas tangentes al polo:

Si r = 0 → 0 = 1 + 2cos(θ) → cos(θ) = −1/2

θ = (2π

3) ; (

4π

3)

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ 0 π/3 π/2 2π

3

π 4π/3 3π/2 5π

3

r 2 2 1 0 -1 0 1 2

Gráfica 1: r = 1 + 2cosθ Gráfica 2: r = 1 − 2cosθ

8

VII. 𝐫𝟐 = 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝛉); 𝐚 > 𝟎

Asumiendo que a = 1

r = √sen(2θ)

𝐄𝐱𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧

0 ≤ sen(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1

0 ≤ r ≤ 1 r(mín) = 0

∴ r es finito

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐩𝐭𝐨𝐬:

θ = 0 → r = 0; θ =π

2→ r = 0 ; θ = π → r = 0; θ =

3π

2→ r = 0

𝐒𝐢𝐦𝐞𝐭𝐫í𝐚𝐬:

No existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación varía al reemplazar θ por − θ y r por− r y tampoco con el eje polar X pues varía al reemplazar θ por − θ.

𝐑𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚𝐥 𝐩𝐨𝐥𝐨:

Si r = 0 → 0 = √sen(2θ) → sen(2θ) = 0

θ = 0;π

2; π;

3π

2; 2π; …

𝐓𝐚𝐛𝐮𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

θ −3π/4 −5π/9 0 π/8 π

4 π/2 7π/16 π

r 1 0,34 0 1/√24

1 0 −1/√24

0

9

VIII. r2 = a2 cos(2θ) ; a > 0

Asumiendo que a = 1

r = √cos(2θ)

Extensión

0 ≤ cos(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1

0 ≤ r ≤ 1 r(mín) = 0

∴ r es finito

Interceptos:

θ = 0 → r = 1; θ =π

2→ r ∄ ; θ = π → r = 0; θ =

3π

2→ r ∄

Simetrías:

Existe simetría con el eje normal Y,pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por− r y tampoco con el eje polar X pues no varía al reemplazar θ por − θ.

Rectas tangentes al polo:

Si r = 0 → 0 = √cos(2θ) → cos(2θ) = 0

θ =π

4;

3π

4

Tabulación:

θ −π −π/4 0 π/4 π

4 π/8

r 1 0,34 1 0 1 0,84

10

ESPIRALES:

IX. r = θ

Extensión

−∞ ≤ θ ≤ ∞ ∴ r es infinito

−∞ ≤ r ≤ ∞

Interceptos:

θ = 0 → r = 0; θ =π

2→ r =

π

2 ; θ = π → r = π; θ =

3π

2→ r =

3π

2

Simetrías:

Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar

θ por − θ y r por − r.

Rectas tangentes al polo:

Si r = 0 → 0 = θ

Por lo tanto, la recta θ = 0 es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.

Tabulación:

θ −2π −π 0 π/4 3π/4 π 2π

r −2π −π 0 π/4 3π/4 π 2π

11

X. r = eθ

Extensión

e = valor entero positivo ≈ 2,72

0 < eθ ≤ ∞ ; 0 < 𝑟 ≤ ∞

Además limθ→−∞

eθ = 0 ∴ r es infinito

Interceptos:

θ = 0 → r = 1; θ =π

2→ r ≈ 4,8 ; θ = π → r ≈ 23,18; θ =

3π

2→ r = 111,65

Simetrías:

No existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación varía al reemplazar θ por − θ y r por− r. Ni con el eje polar X pues varía al reemplazar θ por − θ .

Rectas tangentes al polo:

Si r = 0 → 0 = eθ

No existe θ que haga eθ = 0. Por lo tanto no existen rectas tangentes al polo.

Tabulación:

θ −π π

2 π 3π

2 2π

r e−π ≈ 0,043 eπ

2 ≈ 4,8 eπ ≈23,18

e3π

2 ≈

4,8

e2π ≈ 111,2

12

CONCOIDES:

XI. r2 − 2r = sen(2θ)

r = 1 + √sen(2θ) + 1

r = 1 − √sen(2θ) + 1

XII. r2 − 2r = cos(θ/2)

r = 1 + √cos(θ/2) + 1

13

r = 1 − √cos(θ/2) + 1

XIII. r = |asen(2θ)|; a > 0

XIV. r = −3cos(2θ); θ ∈ [0; π]

14

BIBLIOGRAFÍA:

A. VENERO B. “Análisis Matemático 2”

L. HOSTETLER EDWARDS “Cálculo 2”. Edit. Mc Graw Hill

M. VILLENA MUÑOZ “Coordenadas Polares”

WEBGRAFÍA:

http://www.itsbasicas.com/silvia/vectorial/Gr%E1ficas%20de%20ecuaciones%20polares-zill-material%20de%20apoyo.pdf

http://www.monografias.com/trabajos89/grafica-ecuacion-polar-rosa/grafica-ecuacion-polar-rosa.shtml