faculdade de engenharia - câmpus de bauru - sumário...slide 3 2.1 sistemas lit de tempo discreto...
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slide 1slide 1
Sumário
• 2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto
• 2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• 2.3 Propriedades dos Sistemas LIT
•
04/04/2014 15:31
slide 2slide 2
2 Introdução
• Muitos processos físicos podem ser modelados como sistemas lineares invariantes no tempo (LIT)
• Os sistemas LIT podem ser analisados de forma detalhada, o que facilita a compreensão de suas propriedades.
• Se pudermos representar a entrada de um sistema LIT em termos de uma combinação linear de um conjunto básico de sinais, então poderemos usar a superposição para computar a saída do sistema em termos de suas respostas a esses sinais.
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2.1 Sistemas LIT de Tempo Discreto
• Desejamos obter uma caracterização completa de um sistema LTI de tempo discreto em termos de sua resposta ao impulso unitário.
04/04/2014 15:31
slide 4slide 4
(continua)Figura 2.1
2.1.1 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos
• Como o impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para formar qualquer sinal de tempo discreto??
• Imaginar um sinal de tempo discreto como uma sequência de impulsos individuais.
04/04/2014 15:31
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(continua)Figura 2.1
2.1.1 A representação de sinais de tempo discreto em termos de impulsos
04/04/2014 15:31
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(continua)Figura 2.1
04/04/2014 15:31
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(continuação)
04/04/2014 15:31
slide 8
[ ] [ 2] [ 2] [ 1] [ 1] [0] [ ]
+ [1] [ 1] [ 2] [ 2]
x n x n x n x n
x n x n
d d d
d d
L
L
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n kd
å
Representação de uma sequência arbitrária como combinação linear de impulsos unitários deslocados
Propriedade Seletiva do Impulso Unitário
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2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto
LIT
• A importância da propriedade seletiva está no fato de que ela representa qualquer sequência x[n] como uma superposição de versões ponderadas de um conjunto muito simples de funções elementares: impulsos unitários ponderados, sendo cada um deles diferente de zero em um único instante de tempo (k).
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2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto
LIT
• A resposta de um sistema linear será a superposição das respostas ponderadas do sistema a cada um desses impulsos deslocados.
• A propriedade de invariância no tempo nos diz que a resposta de um sistema invariante no tempo a um impulso deslocado é, simplesmente, a versão deslocada no tempo da resposta do sistema ao impulso unitário.
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slide 11slide 11
[ ] [ ] [ ]kk
y n x k h n
å
[ ] [ ]kn k h nd ®
[ ] [ ] [ ] [ ]kx k n k x k h nd ®
Sistema Linear
04/04/2014 15:31
slide 12slide 12
(continua)
Figura 2.2
2.1.2 A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução dos sistemas de tempo discreto
LIT
04/04/2014 15:31
slide 13
(continua)
Figura 2.2
[ 1]nd [ ]nd [ 1]nd
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slide 14
(continuação)
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(continuação)
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(continuação)
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(continuação)
04/04/2014 15:31
slide 18slide 18
Sistema Invariante
[ ] [ ]kn k h nd ®
0[ ]] [ ][ h nn h nd ®
0[ ] [ ]kh n h n k
Resposta ao impulso unitário
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kk k
y n x k h n y n x k h n k
Þ å å
04/04/2014 15:31
slide 19slide 19
Soma de Convolução
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
å
[ ] [ ] [ ]y n x n h n *
04/04/2014 15:31
slide 20slide 20
Exemplo 2.1
Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h[n] e entrada x[n] conforme mostrado na Figura 2.3.
Determine a resposta do sistema à entrada x[n]
04/04/2014 15:31
slide 21
04/04/2014 15:31
slide 22
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
å
[ ] [0] [ 0] [1] [ 01] .5 [ ] 2 [ 1]y n x h n x h n h n h n
04/04/2014 15:31
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slide 24slide 24
Exemplo 2.2
Representação gráfica da soma de convolução para o Exemplo 2.1.
04/04/2014 15:31
slide 25
04/04/2014 15:31
slide 26slide 26
Exemplo 2.3
Considere a entrada e a resposta ao impulso unitário de um sistema LTI dadas por:
[ ] [ ] 0 1nx n u na a < <
[ ] [ ]h n u n
Obter a resposta do sistema à entrada x[n].
04/04/2014 15:31
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04/04/2014 15:31
slide 28
(continua)
Figura 2.6
1 ( 0)n n <
04/04/2014 15:31
slide 29
0 [ 0]n y n< ®
0 :n <
[ ] [ ] 0x k h n k
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slide 30
(continuação) 1 ( 0)n n >
04/04/2014 15:31
slide 31
0 [ ] [ ] kk n x k h n k a£ £ ®
0
0 [ ] kn
k
n y n a
> ® å
[ [ ] 0]k n x k h n k> ®
0 :n ³
1
0 ]1
1
[n
n y na
a
> ®
04/04/2014 15:31
slide 32
1
[ ]1
[ ]1
n
u ny na
a
04/04/2014 15:31
slide 33
04/04/2014 15:31
slide 34slide 34
Exemplo 2.4
1 0 4[ ]
0 caso contrário
nx n
£ £ì íî
0 6[ ]
0 caso contrário
n nh n
aì £ £ íî
04/04/2014 15:31
slide 35
04/04/2014 15:31
slide 36
(continua)
Figura 2.9
0[ ] [ ]
0 caso contrário
n k k nx k h n k
a ì £ £ í
î
[ ] [ ] 0x k h n k
04/04/2014 15:31
slide 37
(continuação)
4 0[ ] [ ]
0 caso contrário
n k kx k h n k
a ì £ £ í
î
(n-6) [ ] [ ]
0 caso c
4
ontrário
n k kx k h n k
a ì £ £ í
î
[ ] [ ] 0x k h n k
04/04/2014 15:31
slide 38
1
4 1
4 7
0 0
10 4
1
[ ] 4 61
6 101
0 10
n
n n
n
n
n
y n n
n
n
a
a
a a
a
a a
a
<ìï
ï £ £ï ïï
< £íï
ï < £ï
ï>ïî
04/04/2014 15:31
slide 39slide 39
Exemplo 2.5
[ ] 2 [ ]nx n u n
[ ] [ ]h n u n
04/04/2014 15:31
slide 40
04/04/2014 15:31
slide 41slide 41
2.2 Sistemas LIT de Tempo Contínuo
• Desejamos obter uma caracterização completa de um sistema LTI de tempo contínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário.
04/04/2014 15:31
slide 42slide 42
2.2.1 A representação de sinais de tempo contínuo em termos de impulsos
• Definimos a seguinte função pulso:
1 0
( )
0 caso contrário
ttdD
ì£ < Dï
Díïî
04/04/2014 15:31
slide 43
(continua)
Figura 2.12
• Dado um x(t), podemos considerar uma aproximação em degrau:
ˆ( )x t
04/04/2014 15:31
slide 44
(continua)
Figura 2.12
ˆ( ) pode ser expresso como uma combinação
linear de pulsos ( ) atrasados.
x t
tdD
04/04/2014 15:31
slide 45
(continuação)
04/04/2014 15:31
slide 46
ˆ( ) ( ) ( )k
x t x k t kd
D
D D Då
0( ) lim ( ) ( )
k
x t x k t kd
DD®
D D Då
04/04/2014 15:31
slide 47
04/04/2014 15:31
slide 48slide 48
( ) ( ) ( )x t x t dt d t t
ò
Propriedade Seletiva do Impulso de Tempo Contínuo
04/04/2014 15:31
slide 49
04/04/2014 15:31
slide 50slide 50
(continua)Figura 2.15
2.2.2 Resposta ao impulso unitário e a representação por integral de convolução dos sistemas de tempo contínuo LIT
04/04/2014 15:31
slide 51
(continuação)
04/04/2014 15:31
slide 52
0
ˆ( ) lim ( ) ( )kk
y t x k h t k
DD®
D D Då
( ) ( ) ( )y t x h t dtt t
ò
04/04/2014 15:31
slide 53
04/04/2014 15:31
slide 54
• Se o sistema também for invariante no tempo
0( ) ( )h t h tt t
• Definindo a resposta ao impulso unitário:
0( ) ( )h t h t
( ) ( ) ( )y t x h t dt t t
ò
• Integral de Convolução:
04/04/2014 15:31
slide 55
( ) ( ) ( )y t x t h t *
04/04/2014 15:31
slide 56slide 56
Exemplo 2.6
( ) ( )h t u t
( ) ( ) 0atx t e u t a >
04/04/2014 15:31
slide 57
04/04/2014 15:31
slide 58
0 0
00 ( ) ( )
0 caso contrário
a
t
e tt x h t
t tt t
<ìï
ì < <í> íï
îî
( ) ( ) ( )y t x h t dt t t
ò
( )0
1( ) 1
ta aty t e d e
at t ò
04/04/2014 15:31
slide 59
04/04/2014 15:31
slide 60slide 60
Exemplo 2.7
0 2( )
0 caso contrário
t t Th t
< <ì íî
1 0( )
0 caso contrário
t Tx t
< <ì íî
04/04/2014 15:31
slide 61
04/04/2014 15:31
slide 62
04/04/2014 15:31
slide 63
2
2
2 2
0 0
10
2
1( ) 2
2
1 32 3
2 2
0 3
t
t t T
y t Tt T T t T
t Tt T T t T
t T
<ìïï < <ïï
< <íïï
< <ïï
>î
04/04/2014 15:31
slide 64
04/04/2014 15:31
slide 65slide 65
Exemplo 2.8
( ) ( 3)h t u t
2( ) ( )tx t e u t
04/04/2014 15:31
slide 66
04/04/2014 15:31
slide 67
2
2
33 0 ( ) ( )
0 caso contrário
03 0 ( ) ( )
0 caso contrário
e tt x h t
et x h t
t
t
tt t
tt t
ì ì < < < íï
ï îí
ì < <ï ³ íïîî
( ) ( ) ( )y t x h t dt t t
ò
2( 3)13 0
2( )
13 0
2
te t
y t
t
ì <ïï
íï ³ïî
04/04/2014 15:31
slide 68slide 68
2.3 Propriedades dos Sistemas LIT
04/04/2014 15:31
slide 69slide 69
2.3.1 A Propriedade Comutativa
[ ] [ ] [ ]y n x n h n *
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
å
[ ] [ ] [ ]r
y n x hn r r
å
[ ] [ ] [ ]y n h n x n * ( ) ( ) ( )y t h t x t *
( ) ( ) ( )y t x t h t *
04/04/2014 15:31
slide 70slide 70
2.3.1 A Propriedade Comutativa
• Portanto, a saída de um SLIT com entrada x[n] e resposta ao impulso unitário h[n] é idêntica à saída de um SLIT com entrada h[n] e resposta ao impulso unitário x[n].
04/04/2014 15:31
slide 71slide 71
2.3.2 A Propriedade Distributiva
1 1( ) ( ) ( )y t x t h t *
2 2( ) ( ) ( )y t x t h t *
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t y t y t x t h t x t h t * *
[ ]1 2 )) (( ( )) (h t ht t ty x *
04/04/2014 15:31
slide 72slide 72
2.3.2 A Propriedade Distributiva
04/04/2014 15:31
slide 73slide 73
Exemplo 2.10
• Suponha que y[n] seja a convolução de duas sequências:
1[ ] [ ] 2 [ ]
2
n
nx n u n u næ ö
ç ÷è ø
[ ] [ ]h n u n
[ ] [ ] [ ]y n x n h n *
04/04/2014 15:31
slide 74slide 74
Exemplo 2.10
• Usando a propriedade distributiva da convolução e considerando-se:
1
1[ ] [ ]
2
n
x n u næ ö
ç ÷è ø
( )1 2[ ] [ ] [ ] [ ]y n x n x n h n *
2[ ] 2 [ ]nx n u n
1 1 Exemplo 2.[ ] [ ] [ ] 3y n x n h n * Þ
2 2 Exemplo 2.[ ] [ ] [ ] 5y n x n h n * Þ
04/04/2014 15:31
slide 75slide 75
Exemplo 2.10
1
1[ ] [ ]
2
n
x n u næ ö
ç ÷è ø
04/04/2014 15:31
slide 76slide 76
Exemplo 2.10
2[ ] 2 [ ]nx n u n
04/04/2014 15:31
slide 77slide 77
Exemplo 2.10
04/04/2014 15:31
slide 78slide 78
2.3.3 A Propriedade Associativa
( ) ( ) 21 2 1[ ] [ ] [ ] [] ][ ] [ [ ]h n h n x n h ny n x n h n * ** *
[ ] [ ] 21 2 1( ) ( ) ( ) () )( ) ( ( )h t h t x t h ty t x t h t * ** *
04/04/2014 15:31
slide 79slide 79
2.3.3 A Propriedade Associativa
04/04/2014 15:31
slide 80slide 80
2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória
• Relembrando...– Um SLIT é sem memória se a sua saída em
qualquer instante depende apenas do valor da entrada nesse mesmo instante.
04/04/2014 15:31
slide 81slide 81
2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória
• Para um SLIT de Tempo Discreto:
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
å
• Assim, a única forma desse sistema ser sem memória é
[ ] 0 para 0h n n ¹
04/04/2014 15:31
slide 82slide 82
2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória
• Portanto, devemos ter:
• Assim:
[ ] [ ]h n K nd
[ ] [ ]y n Kx n
04/04/2014 15:31
slide 83slide 83
2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória
• Para um SLIT de Tempo Contínuo:
• Assim, a única forma desse sistema ser sem memória é
( ) 0 para 0h t t ¹
( ) ( ) ( )y t x h t dt t t
ò
04/04/2014 15:31
slide 84slide 84
2.3.4 Sistemas LIT Com e Sem Memória
• Portanto, devemos ter:
• Assim:
( ) ( )h t K td
( ) ( )y t Kx t
04/04/2014 15:31
slide 85slide 85
2.3.5 Sistemas LIT Invertíveis
• Relembrando...– Um SLIT é invertível se e somente se existir um
sistema inverso que, quando colocado em série com o sistema original, produz uma saída igual à entrada do primeiro sistema.
– Além disso, se um SLIT é invertível, então o seu inverso também é SLIT
04/04/2014 15:31
slide 86slide 86
2.3.5 Sistemas LIT invertíveis
04/04/2014 15:31
slide 87slide 87
2.3.5 Sistemas LIT invertíveis
• Portanto:
1( )( )* ( )h th t td
1[ ][ ]* [ ]h th n td
04/04/2014 15:31
slide 88slide 88
Exemplos
• Os exemplos seguintes ilustram a inversão e a construção de sistemas inversos.
04/04/2014 15:31
slide 89slide 89
Exemplo 2.11
• Considere o SLIT:
0( ) ( )y t x t t
0 atras or0 adt >
0 adiant or0 adt <
04/04/2014 15:31
slide 90slide 90
Exemplo 2.11
Qual a resposta do sistema ao Impulso Unitário?
0( ) ( )y t x t t
0( ) ( )x t x t t®
0(( ) )t ttd d ®
0( ) ( )h t t td
04/04/2014 15:31
slide 91slide 91
Exemplo 2.11
Portanto, para recuperar a entrada a partir da saída, isto é, inverter o sistema, só precisamos deslocar a saída no sentido contrário. Ou seja
1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t h t t t t t td d d* *
1 0( ) ( )h t t td
Note que:
04/04/2014 15:31
slide 92slide 92
Exemplo 2.12
Seja um SLIT com:
[ ] [ ]h n u n
Mostre que a resposta ao impulso do sistema inverso é:
1[ ] [ ] [ 1]h n n nd d
04/04/2014 15:31
slide 93slide 93
Exemplo 2.12
Basta mostrar que:
1[ ] [ ] [ ]h n h n nd*
Vejamos
( )1[ ] [ ] [ ] [ ] [ 1]
[ ] [ ] [ ] [ 1]
[ ] [ 1]
[ ]
h n h n u n n n
u n n u n n
u n u n
n
d d
d d
d
* *
*
04/04/2014 15:31
slide 94slide 94
2.3.6 Causalidade dos SLIT
Relembrando:– Um sistema é causal se sua saída depende apenas
do valor presente e dos valores passados de sua entrada.
Em outras palavras:– y[n] não deve depender de x[k] para k > n!
Porém, sabemos que:
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
å
04/04/2014 15:31
slide 95slide 95
2.3.6 Causalidade dos SLIT
Portanto, para que o SLIT seja causal:
[ ] 0 para h n k k n >
Assim, para que o SLIT seja causal:
[ ] 0 para 0h n n <
“A resposta ao impulso de um sistema causal deve ser nula antes que o impulso ocorra!”
04/04/2014 15:31
slide 96slide 96
2.3.6 Causalidade dos SLIT
A causalidade de um SLIT é equivalente à condição de repouso:
Se a entrada de um SLIT é 0 até determinado instante, a saída também deve ser zero até aquele instante.
04/04/2014 15:31
slide 97slide 97
2.3.6 Causalidade dos SLIT
Portanto, um SLIT causal (de tempo discreto):
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
k
k
j
y n x k h n k
x k h
x j
n k
h nj
å
å
å
n
0
04/04/2014 15:31
slide 98slide 98
2.3.6 Causalidade dos SLIT
De modo semelhante, para um SLIT causal de tempo contínuo:
( ) 0 para 0h t t <
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
t
y t x h t d
x h t d
h x t d
t t t
t t t
x x x
ò
ò
ò
04/04/2014 15:31
slide 99slide 99
2.3.7 Estabilidade para SLIT
Relembrando...– Um sistema é estável se toda entrada limitada
produz uma saída limitada (BIBO)
Supondo[ ] para todo x n B n<
[ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
å
[ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
£ å
04/04/2014 15:31
slide 100slide 100
2.3.7 Estabilidade para SLIT
[ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
£ å
[ ] [ ]k
y n h kB
£ å
Portanto, se a resposta ao impulso for absolutamente somável, então o sistema será estável.
[ ]k
h k
< å
04/04/2014 15:31
slide 101slide 101
2.3.7 Estabilidade para SLIT
Da mesma forma, para um SLIT de tempo discreto, se a resposta ao impulso for absolutamente integrável, então o sistema será estável.
( )h dt t
< ò
04/04/2014 15:31
slide 102slide 102
Exemplo 2.13
• Considere um sistema que apenas desloque a entrada, então:
0[ ] [ ]h n n nd
0( ) ( )h t t td
Mostre que esse sistema é estável.
04/04/2014 15:31
slide 103slide 103
2.3.8 Reposta ao Degrau Unitário de um SLIT
• A resposta ao degrau unitário, s[n] ou s(t), corresponde à saída do sistema quando x[n]=u[n] ou x(t)=u(t).
04/04/2014 15:31
slide 104slide 104
2.3.8 Reposta ao Degrau Unitário de um SLIT
[ ] [ ] [ ]s n u n h n * ( ) ( ) ( )s t u t h t *
[ ] [ ] [ ]k
s n u n k h n
*å
[ ] [ ]n
k
s n h k
å
( ) ( ) ( )s t u t h dt t t
*ò
( ) ( )t
s t h dt t
ò
[ ] [ ] [ 1]h n s n s n ( )
( )ds t
h tdt
04/04/2014 15:31
slide 105slide 105
2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias
• Uma classe muito importante de sistemas de tempo contínuo é aquela em que a entrada e a saída são relacionadas por meio de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes.
• Por outro lado, para sistemas de tempo discreto a entrada e a saída são relacionadas por meio de uma equação de diferenças linear com coeficientes constantes.
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slide 106slide 106
2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias
• Um aspecto importante sobre as equações diferenciais / de diferenças, é que elas fornecem uma especificação implícita do sistema.
• Ou seja, elas descrevem a relação entre a entrada e a saída, em vez de fornecerem uma expressão explícita para a saída do sistema como uma função da entrada.
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slide 107slide 107
2.4 Sistemas LIT Causais Descritos por Equações Diferencias
• Neste curso, vamos nos concentrar, basicamente nas equações diferenciais e de diferenças usadas para descrever SLIT causais (SLITC).
• Neste caso, as condições iniciais de tais equações tomam a forma de condições iniciais de repouso:
– Se x(t) = 0 para t < t0, supomos que y(t) = 0 para
t < t0
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2.4.1 Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes
• Estudar o livro texto das p.70 a 73.
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slide 109slide 109
2.4.2 Equações de Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes
• Estudar o livro texto das p.73 a 74.
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slide 110slide 110
2.4.3 Representação em Diagrama de Blocos de Sistemas de Primeira Ordem Descritos por EDLCC
• Uma propriedade importante dos sistemas descritos por equações diferenciais e de diferenças lineares e de coeficientes constantes e que eles podem ser representados de maneira bem simples e natural em termos de interconexões de operações elementares em diagrama de blocos.
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Sistemas de Tempo Discreto:Três Operações Básicas
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slide 112slide 112
Exemplo 1
• Representar a EDLCC abaixo em diagrama de blocos.
[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n
• Solução:
[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n
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Exemplo 1
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slide 114slide 114
Sistemas de Tempo Contínuo:Três Operações Básicas
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slide 115slide 115
Exemplo 2
• Representar a EDLCC abaixo em diagrama de blocos.
( )( ) ( )
dy tay t bx t
dt
• Solução:( )
( ) ( )dy t
ay t bx tdt
1 ( )( ) ( )
dy t by t x t
a dt a
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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Exemplo 2
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2.5 Funções de Singularidade
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slide 120slide 120
2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado
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slide 121slide 121
(continua)Figura 2.34
2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado
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slide 122slide 122
(continuação)
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slide 123slide 123
(continua)Figura 2.35
2.5.1O impulso unitário como um pulso idealizado
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slide 124slide 124
(continuação)
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slide 125slide 125
2.5.2
Definindo o impulso unitário por meio da convolução
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slide 126slide 126
2.5.2
Definindo o impulso unitário por meio da convolução
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