sistemas lineares e invariantes de tempo discreto · para saber se um sistema é linear ou...

Sistemas Lineares e

Invariantes de Tempo Discreto

28

Sistemas Lineares de Tempo Discreto

• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e

implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e

que a equação do sistema envolva apenas operadores

lineares.

• Pode–se utilizar a superposição para um sistema com

condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear.

Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo

entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas

adicionais.

29

Sistemas Lineares de Tempo Discreto

• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida

a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido

apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero

(devido apenas à entrada).

• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas

lineares na presença de condições iniciais distintas de zero.

Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero

obedecem à superposição.

30

Sistemas Invariante de Tempo Discreto

• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da

resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada

x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.

31

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

[ ] sin( . [ ])y n a x n

Deslocamento na saída duas unidades de tempo

Deslocamento na entrada duas unidades de tempo

Exemplo 1

1

1 1

2 1 0

2 2 1 0

Determinar seo sistema é invariante no tempo

[ ] sin( [ ])

SOLUÇÃO:

Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :

[ ] sin( [ ]) (1)

Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :

[ ] sin( [ ]) sin( [ ]) (2)

Para

y n x n

x n

y n x n

x n x n n

y n x n x n n

1

1 1

2 1

um deslocamento da saída [ ]

[ ] sin( [ ]) (3)

Comparando (2) e (3):

[ ] [ ]

Portanto,o sistema é invariante no tiempo

o o

o

y n

y n n x n n

y n y n n

SLIT

Exemplo 2

1

1 1

2 1 0

2 2 1 0

Determinar se osistema é invariante no tempo

[ ] [ ]

SOLUÇÃO:

Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :

[ ] [ ] (1)

Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :

[ ] [ ] [ ] (2)

Para um deslocamento da

y n nx n

x n

y n nx n

x n x n n

y n nx n nx n n

1

1 1

2 1

saída [ ]

[ ] ( ) [ ] (3)

Comparando-se (2) e (3) :

[ ] [ ]

Portanto, o sistema é variante no tempo

o o o

o

y n

y n n n n x n n

y n y n n

SLIT

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes • Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com

equações em diferença que relacionam a entrada e a saída.

34

1 1[ ] [ 1] [ 2] 4 [ ]

6 6y n y n y n x n


Invariantes

• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo

discreto, deve-se considerar que:

Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída

trazem como consequência a não linearidade do sistema.

Um termo constante também torna não linear o sistema.

Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções

explícitas de n tornam o sistema variante no tempo.

As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,

por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no

tempo.

35


Invariantes

36

• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos

de uma somatória de impulsos unitários escalados e

deslocados no tempo.


Invariantes

37

x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +...

x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n k

• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a

um impulso localizado no instante k

• Sendo o sistema invariante no tempo:


Invariantes

T { }[n-k] hk[n] knTnhk

38

knhknTnhk


Invariantes

T { }x[n] y[n]

Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos

k

knkxnx

k

knkxTny

k

knTkxny

39

k

knhkxny

k k

y n x k h n k h k x n k

Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.

Somatoria da Convolução

[ ]* [ ]y n x n h n h n x n

40


Invariantes

Exemplo da Convolução de um SLIT

41

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

Resultado da Convolução

47

( ) ( ) ( )i

y n h i x n i

O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n].

sistemas lineares e invariantes de tempo discreto · para saber se um sistema é linear ou...

Documents