12 Sistemas lineares invariantesno tempo

I

I

2.0 IntroduçãoN';l S~ção 1.6 apr~ntamos e discutimos diversas

propriedades básicas dos sistonas. Duas delas, a invariãn·da no tfJD.PO e a linearidade, tem um papt-I fundamentalna análise dos sinais e sistemas por duas razões princi­pais. A primeira diz respeito ao fato de muitos processosfísicos terem essas propriedades e, por isso. poderem sermodelados como sistemas lineares invariantes no tnDpo

(LIT). Alt:m disso. os sistemas LlT podem ser analisadosde forma detalhada. facilitando a compreensão de suaspropriedades e também fome~ndoum conjunto de fer­

ramentas poderosas que fonnam a base da análise desinais e sistemas.

Um dos objetivos prindpais deste livro é d~nvol­ver uma compreensão dessas propriedades e ferramentase apresentar várias das imponaotes aplicações nas quaisessas ferramentas são usadas. Neste capítulo. começamoso desenvolvimento mostrando e examinando uma re­presentação fundamental e extremamente útil para os

sistemas UT e aprest'otando uma classe importante des­ses sistemas.

Uma das prinàpais razões de os sistemas ur ~rtmpassíveis de análise t o fato de quaJquer sistema desse tipoter a propriedade de superposição descrita oa Seção 1.6.6.

Como consequêoàa. se pudermos representar a enuadade um sistema UI em. termos de uma combinação linear deum conjunto de sinais básicos. eOlão podemos usar a su­perposição para compular a saída do sistema em termosde suas respostas a esses sinais básicos.

Como veremos nas próximas seções. uma das carac­telÍSticas importantes do impulso unitário. tanto de tem­po discreto como de tempo conÚDuo. t o fato de sinaisbastante gerais poderem. ser representados como combi­naçôc:s lineares de impulsos deslocados. Esse fato. junta-

mente com as propriedades de superposição e invariânciano tempo. permite que desenvolvamos uma caracteriza­ção completa de qualquer sistema I.IT em termos de suaresposta a um impulso unitário_ Thl representação. cha­mada soma de: convolução no casa de tempo discreto e:integral de convolução em tempo contínuo, fomece umagrande fadlidade anaUtica para lidar com os sistemas LIT.Dando continuidade: ao nosso desenvolvimento da somade convolução e da integral de convolução. usamos essascaracrerizações para examinar algumas das outras pro­prieaades dos sistemas LIT. Então, consideramos a classe:dos sistemas de tempo contínuo descritos por equaçôesdiferenciais lineares com coeficientes constantes e suacorrespondente de tempo discreto. a classe de sistemasdesaita por equações de diferenças lineares com coeli·dentes constantes. Nos capítulos subseque:ntes. teremasvárias oponunidades de: e:xaminar essas duas classes mui­to importantes de siste:mas. Por fim. estudaremos maisuma vez a função impulso unitário de tempo contínuo e:vários OUUOS sinais reladanados a ela para que possamoscompreender melhor esses sinais idealizados e. especifi­camente. seu uso e interpretação 00 contexto da análisedos sistemas LIT.

2.1 Sistemas L1T de tempo discreto: asoma de convolução

2.1.1 Arepresentação de sinais de tempo discretoem termos de impulsos

A priodpal ideia para a compreensão de como oimpulso unitário de tempo discreto pode ser usado paraformar quaJquer sinal de tempo discreto i: prosar emum sinal de tempo discreto como uma sequência de im­pulsos individuais. Para percd>ermos como esse quadrointuitivo pode ~r tranSformado em uma representação

48 Sinais e sistemas

Portanto, a soma das cinco sequêndas na figura éigual a x[n] para - 2 ~ 11 ~ 2. De modo mais geral, aoincluir impulsos adicionais ponderados e deslocados.podemos escrever

matemática. considere o sinal 4n1 rcpttSentado na Fi·gura 2.1(a). Nas panes restanteS dessa figura, traçamoscinco sequências de impulsos unitários ponderados edeslocados no tempo. nas quais o fator de esela em cadaimpulso é igual ao vaJor de x[11I no instante cspcáfico emque a amostra unitária ocorre. Por aemplo.

x[n]

,

;,,

x[-2] &ln + 21

-,xi-ti r.{n + 11

... . I~'~'~'~'~'~--~• •• -4-3-2 O 1 2 3 4 n

... I• • __o ~.~.~.~.~.~.~ _

-4-3-2-1 O 1 2 3 4 n

(el

(ai

(b)n=-l

n~-l'

n=O

n~O'

n=l

n~1

{x(-IJ,

x(-lJ6[n+ IJ = o,

x(OJ6[n1= {x(O),O,

x(IJ6[n -IJ ~ {X[IJ,o,

-u[nJ~ L:6[n-k).~

x(nJ- ... + x I-3J6 [n +3J +xl-2)6 f. +2J + X [-1}61' + IJ+ x [O) 6[.)+x [116[. -IJ + x [2J 6[. - 2J

.. [3J6[.-3)+... (2.1)

Para qualquer valor de 11, somente um dos termos domembro direito da Equação 2.1 é diferente de zero,e o peso assodado a esse termo é precisamente x(nl.Escrevendo essa soma de forma mais compacta. temos

I•,,

"

1

x(1] &{n-1]

x[2!6{n-21

·... 1. .::~~"J4-3-2 1 O 1 2 3 4 n

· . . . . I~.~.~._--­-4-3-2-1 o 2 3 4

(f)

(di

2

-~.~........~.-'~'''I~3'~''~--4-3-2-1 o , n

(e)

Figura 2.1 Decomposiçllo de um sinal de tempo discreto em umasoma de impulsos ponderados edeslocados.

2.1.2 A resposta ao impulso unitário earepresentação por soma de convolução dossistemas de tempo discreto UT

A importânda da propriedade seletiva das equações2.1 e 2.2 está no fato de que ela rtpr~ta x[n] como

ção por soma dt: convolução para um sistema LIT detempo discreto.

(2.1)-x{nJ~ L: x(kJ61·-kJ-Esta expressão corresponde à representação de uma se·quênda arbitrária como combinação linear dos impulsosunitários deslocados 6[n -kl, em que os pesos nessa com·binação linear são x(k). Como eIemplo. considere x(n] =

u[n], o degrau unitário. Nesse caso. como u[k] = Oparak < Oe u[k] = 1 para k?: O. a Equação 2.2 toma·st:

que é idêntica à expressão deduzida na Seção 1.4. (VerEquação 1.67.)

A Equação 2.2 ~ chamada de propn'~dad~ stl~liva

do impulso unitário de tempo discreto. Como a se­quênda 6[n - kJ é diferente de zero somente quandok = n. o somatório do membro direito da Equação2.2 'vasculha' a sequência de valores x[k] e extrai soomente o valor correspondente a k = n. Na próximasubseção. exploraremos essa representação dos sinaisde tempo discreto para desenvolvermos a representa·

Sistemas lineares invariantes no tel11Xl 49

Portanto, de acordo com a Equação 2.3. se soubermosqual é a resposta de um sistema linear a um conjuntode impulsos unitários deslocados. podemos construir aresposta a uma entrada arbitrária. Na Figura 2.2. temosuma interpretação da Equação 2.3. O sinal xIn] é aplica­do como entrada em um sistema linear cujas respostas

h' l ln], ho("J e hl[n] aos sinais fJ[n +1l, 6[n1 e 6[n - IJ, res­

pectivamente. são mostradas na Figura 2.2(b). Como x{n]pode ~rescrito como uma combinação linear de 5(n + 1].51") e 5(n- 1). a superposição pennitt:-DOS e50"evt:r ares·posta a x[n] como uma combinação linear das respostasaos impulsos individuais deslocados. Os impulsos indivi­duais ponderados e deslocados que constituem x(n} sãoilustrados no lado esquerdo da Figura 2.2(c). enquantoas respostas a esses sinais componentes são representadas

uma superposição de versões ponderadas de um con­junto muito simples de funções elementares. impulsosunitários deslocados ó(n - kl. ~ndo que cada um delesé diferente de zero (com valor I) em um único instantede tempo especificado pelo valor correspondente de k. Aresposta de um sistema linear a x(n] será a superposiçãodas respostas ponderadas do sistema a cada um dessesimpulsos deslocados. Além disso. a propriedade de inva­riânàa no tempo nos diz que as respostas de um sistemainvariante no tempo aos impulsos unitários deslocadosno tempo são simplesmente versões deslocadas no tempodessas respostas. A representação por soma de convolu­ção para os sistemas de tempo discreto que são tanto line­ares qUJ1.nlil invariantes no t~po resulta da junção dessesdois fatos básicos.

De modo mais especifico, considere a resposta deum sistema linear (mas possivelmente variante no tempo)a uma entrada arbitrária x[n). PeIa Equação 2.2, podemosrepresentar a entrada como uma combinação linear deimpulsos unitários deslocados. Considere que h1ln] denQ­te a resposta do sistema linear ao impulso unitário desloca­do fJ {n - k]. Então. a partir da propriedade de superpo·sição para um sistema linear (equações 1.123 e I.l24). aresposta Yln} do sistema linear à entrada x(n) na Equação2_2 r. simplesmente a combinação linear ponderada des­sas respostas básicas. Ou seja. com a entrada x[n} para umsistema linear expresso na forma da Equação 2.2. a saídaYln] pode ser expressa como

Ou seja.lI[n] é a saída do sistema ur quando ó(n] é a en­trada. Então. para um sistema LIT. a Equação 2.3 torna-se

-y[nl ~ E x[k]h[n- k~ (2.6),--

(2.7)

(2.5)

(2.4)

hlnl = h,[nl·

h,[nl =h,[n-kl_

y[nl = xlnl • hlnl·

Note que a Equação 2.6 expressa a resposta de umsistema UT a uma entrada arbitrária em termos da res­posta do sistema ao impulso unitário. Disso. vemos queum sistema UI r. totalmente caracterizado por sua res·posta a um único sinaI. isto é. sua resposta ao impulsounitário.

A interpretação da Equação 2.6 r. semelhante à quedemos para a Equação 2.3. em que. no caso de um sis­tema m. a resposta devida ao impulso xlk1 aplicada noinstante ké x[kJh[n-k]; ou seja, é uma versão poDdcrada

Para facilitar a notação. eliminaremos o subscrito em1Io[n] e definiremos a rnposta ao impulso lmitáriD (ou d mbS·

Ira unitária)

Referim.Q-nos a esse resultado como a soma dt con·volução ou soma dt fUperposição. C a operação no membrodireito da Equação 2.6 é conhedda como a convolução dassequêndas x["} e h[n]. Representaremos simbolicamentea operação da convolução como

no lado direito. Na Figura 2.2(d) • reuatamos a entradadetiva x["I. que é o somatório dos componentes do ladoesquerdo da Figura 2.2(c). e a saída eletivay{nl. que. porsuperposição. é o somatório dos componentes do ladodireito da Figura 2.2(c). Portanto. a resposta no instanten de um sistema linear é simplesmente a superposiçãodas respostas devido ao valor de entrada em cada ins­

tante de tempo.

Em geral as respostas hJn] não prerisam estar re­lacionadas uma à outra para dilerentes valores de k. Noentanto, se o sistema linear também é invariante no ttmpo.então essas respostas aos impulsos unitários deslocadosno tempo são todas versões deslocadas no tempo umasdas ouuas. Espedficamente, como 6[n - k] é uma versãodeslocada no tempo de 6(n}. a resposta ht[n) r. uma ver·são deslocada no tempo de huI"}; isto é,

(2.3)-y(n] ~ E x{k]h,[n~,--

.!

50 Sinais e sistemas

(b)

(e)

o

la)

o

x{-1]&{n+1J

o

xln)

-1o 1

tIoln)

o o

o

Ilt InJ

o

o

o

(d)

4J:] &(n) x(O] halo]

.. .1. ... c:> .. tl.r ..o o lo o

xl'] &[0-1] x11] tI,ln]

...~ ... c:>o " "

y[n]

o o o o

Figura 2.2. Interpretação gráfica da resposta de um sistema linear de tempo discreto conforme representado na Equação 2.3. III,

.1

Sistemas lineares invariantes no tempo 51

2 y(nJ

(2.9)~

y[OI~ L: x[kJh[0-k]=0.5.......,

Ao considerar o deilO da soma de~o em cadaamostra de' saída individual chegamos a outra forma mui·to útil de visualiur o cálculo de: y(n] usando o somatóriode convolução. Em partkuIar. considere o cálculo do valorde saída cm um instank espeá6co n. Uma forma partire­lannenle conveniente de mosoar esse cálculo graficamen­te começa com os dois sinais x[k} e h{n - kJ vistos comofunções de k. Multiplicando essas duas funções, temos asequênriaS(k] = x(k]h(n - k] que, a cada instante k, é tidacomo uma sequência que representa a conttibuição de x[i]

à saída no instante II. Concluímos que a soma de todas asamostras na sequência de S(k] produz o valor de saída noinstanle II selecionado. Ponanro, para caku1annos y(n)parcJ todos os valores de II, prerisamos repetir esse proc:rdi­menro para cada valor de II. Felizmente, mudar o valor de ntem uma interpretação gráfica bastante simples para os doissinais x(k] e h(n - k} como funções de k. Os exemplos se­guintes ilustram isso e o uso do ponto de vista mendonadoanteriormente no cálculo da soma de convolução.

O produto da sequência x[k] com a sequênda h(l - kJ tml.

duas amostras diferentes de zero, que podem ser somadaspara obtennos

=Exemplo 2.2

Consideremos mais uma vez o problema de convoluçãovisto DO Ex~plo 2.1. Asequênda x[kl é mamada na figu­ra 2.4(a), enquanto a sequência h(n - k1, com n lixo e vistacomo uma função de k. é mostrada na Figura 2.4(b) para di­~r505 vaJort:S diferentes de: ". Ao traçarmos essas sequêndas,usamos o fato de que h[n - k) (vista mmo uma função de kmm n lixo) é wna versão deslocada e refietida no tempo daresposta h[k] ao impulso. Em particular, quando k aumenta,o argumento" - k diminui. expliando a nettSSidade de uma~nexão no tempo de h(k]. Sabendo disso, então, para lraÇl.ro sinal h[n - k], precisamos somente detenninar seu valorpara algum valor particular de k. Por exemplo, o argumento n- k será igual a Ono valor k = n. Portanto, se traçarmos osinalh[- k], obtemos o sinal h(n - k] simplesmente deslocando-opara a direita (por n) se n for positivo, ou para a esquerda se"for negativo. Oresultado para nosso extmplo para os valoresde " < O, " = o, I. 2, 3 e II > 3 é ilustrado na Figura 2.4(b).

Ocpois de tJa9U x(k) e h(1I - k] para qualquer valor par.ticuIar de II, multiplicamos esses dois sinais e somamos sobreos valores de: k.. Para Onosso ~xemplo. para 11 < o. vemos, apartir da FIgura 2.4, qu~ .r(kl h(n - kl = Opara todo k, já queos valores cão nulos de x[k) e h(" - k) não se sobl'qlÕem.Consequenttmeme. ytn) =Opara n < O. Para II =O, como oproduro da sequência x{kJ com a sequência h{O - k] toll ape:­nas uma amostra não nula com o valor 0,5, concluímos que

"

"

tl[n]

0.5h[nl

2 ,o

0.5

•

o.•_~._.~LLt_.o-~. _

o 1 2

(b)

(ai

2.'

(e)

~ deslocada (um. 'eco') de h(n). Como antes, a saída totalr. a superposição de todas essas respostas.

FigunI 2.3 la) Resposta ao ~Sll h{n] de um sistema UT e entrada.r [~para osistema; lbl f'eSJXlStls ou 'ecos', O,S.h l~ e 2h ln -11 iKlS valores nãoooIos da entrada x[OI =0,5 ex[l\ z 2; leI respJSta arnp/etlI rilt que éa SlJl'liI

dos ecos em lbl •

•Exel11l'lo 2.1

Considere um sistema ur com resposta ao impulsoh{nJ e entrada x[n]. confoJIDe ilustrado na Figura 2.3(a).Para este caso, como somente x(OJ e xli] são diIertntes dezero, a Equação 2.6 é reduzida a

y(n) ~ x[O]h[n - OJ +x [IJh[n - 1] ~ 0.5h[n]

+ 2h(n - 1]. 12.8)

As stquéodas O.5h(n] e 2h[n - 1] são dois ecos da respostaao impulso. Decessários para a roperposição envolvida nageração de yl"], Esses ecos são mostrados na Figura 2.3(b).Somando os dois ecos para cada valor de n, obtemos y[n].que é mostrado na Figura 2.3{c).

j

52 Sinais e sistemas

~

y[21= ~ xfk]h[2-kl~0.5+2.0=2.5. (2.ll)--

~

y(ll_ ~ xfk]h(l-kl~0.5+2.0=2.5. (2.10)--De maneira wndhantt.

,.

I!I,

~:

r\

O~k$n

caso comráriola'x[k]h[n-kl~ •

O.

xlnl ~ a"u!n1hlnl ~ u[n1

sendo O< (}' < 1. Esses sinais são ilustrados na Figura 2.5.Tambim. para nos ajudar a visualizar e calcular a convo­lução dos sinais, representamos na Figura 2.6 o sinal x[k)seguido por h[-k), h{-l - k] e h[l - k) (ou seja, h[n - klpara n = O. -1 e +lI e, por último, h[n-k) para um valorpositivo arbitrário de " e um valor negativo arbitrário de ri.

A partir dessa figura. notamos que para n < Onão há 50­

brqx>siçio entre as amostras não nuJas em xIkl e h[n - k].Ponanto, para n < 0, x[k} h[n -k] "" Opara lodos os valoresde k, e por isso. a panir da Equação 2.6, vtmos que y{nl =O,n <O. Paran 2: O.

•Exemplo 2.3

Considere uma entradax[nl e uma resposta ao impul­so unitário h[n] dadas por

k

2

10.5,_~._••--l_'-L~.>-••_.~__

o

(a)

y[31= I:xfk]h[3-kl=2.0. (2.l2)--Por fim. para n > 3, O produto x(k] h[n - k) i ttro paralodo k, a partir do que conduímos que nn) "" Opara n > 3.Os valores de saída resuJla.01CS estão cm concordânda comtodos os valores obtidos no liJ:emplo 2.1.

(b)

e usando o rcsuJ.tado do Problema 1.54. podemos ~vtt

Portanto, para n 2: 0,

o sinaly(n) ~ Tq)resentado na Figura 2.7,

!!

,,j

1

o

h{n] .. ulnI

x(n] .. o.'\J(n]

(b)

(a)

[1 a~']y!nl= u[n].l-a

y!nl= ta'•-.. l_a-+l

y[n] = Ler" = para n ~ O. (2.13).t-o 1-o:

Dessa forma, para todo n,

O

Figura 2.5 Sinais IlnI e hlnJ na Exemplo 2.3.

LlJ' h(n-kJ. n<O

• • • •"-2 "-, " o k

'LU I'IO-~

• • •-2 -, o k

'LU h(1-kj

• • •-, o k

'UJ h(2-k]

• • •O , 2 k

'L1J h(3-kj

• • •O , 2 3 k

"n-kj. n>3

UL• • • •O n-2 n-1 " k

Figura 2.4 Interpretação da Equação 2.6 para os sil'\élis hlnl e 11n!na Figura 2.3: {ai sinal xl~ II lbl sinal h[n - ~ (como função de kcnm nfixo) para divllrsos valores de nln< O; 11 .. 0, I, 2, 3; II> 31. Cada um dessessinais é obtido pela reflexão ede:slocamento da IBSPOSUl ao impulso uni­tário hlkl Aresposta rtnl para cada valor de né ohtida multiplicando-slos sinais xlij e hln - ~ em lal e lbl e depois somando os produtos sobretodos os 'l3kres de l OcjlclIlo para essa exemplo é feito detalhadamBO'18 no úemplo 2.2. •

o k

IC)!'(-1-kj

000

-, o k

(d) h[1-k)

la)

Ib)

x(kJ - a"u(kJ

o k

Sistemas lineares invariantes no tempo 53

A operação de convolução é descrita algumas vezesem lermos de um 'desli2amento' da sequênda hln _ iIatravés de x[kI. Por exemplo. suponha que tenhamos cairo­lado y(n] para algum valor particular dt n, digamos, n = no­Ou seja. traçamos o sinal hIno - il. multiplicamos pelosinal xli] e somamos o resultado sobre todos os valoresde t. Para calcular Y(1I'] no próximo valor de n - isto é,Ir = n. + I - preàsamos traçar o sinal h((n. + I) - kJ.No entanLO, podemos falte isso simplesmente tomando osinal h[n. - k] e deslocando-o à direita em uma amostra.Para cada valor sucessivo de n, continuamos tSse proces.so de deslocar h[n - k] uma amostra para a direita, multi­plicando por x[k] e somando o resultado sobre k.•

•Exemplo 2.4

V~amos mais um extmplo. Considerr as duas sequências

01 k

II.x{n]~

O.

le)

o o

0>0

k

e

I,,'h[nJ~ •O.

0:5n56

caso contrário

ln [o_~

JilllI..... . :~Oo o k

Figura 2.6 Interpretaçao gr~fica do cálculo da soma de convolução paraoExemplo 2.3. •

y[o] , (' -.' ") c101,-.

E~ sinais são ilustrados na Figura 2.8 para um valor po_sitivo de a > 1. Para calcular a convolução dos dois sinais,t conveniente considerar ànco inttIValos separados de n.Es~ inlervalos são ilustrados na Figura 2.9.

Intervalo 1. Para n < 0, não há sobreposição entre por.ções não nulas de x[k} e h[n - k]; consequentemenle,Yln] ~ O.

1Figura 2.7 Salda para o EJ:emplo 2.3.

-'- ~------­1-.

o o

1

54 Sinais e sistemas

Intervalo 2:. Para O:5 n :5 4.

[a-'

x[kJh[n-kJ= '0,

O$k$ncaso contrário

[ .-,x[k]h[n-kl= a .

0,

de modo que

In-6)~k~4

caso conaário l

(a) :r.(nj

-2-1 Uill--~._.~.~._.~........ ~~._.~'~'-'~'~'-'---:

0123-45 n

figura 2.a Sinais a serem con....oluldos no Exemplo 2.4.

• •

,

k

k

0<0

h[n-k}

0-.

•J'InJ= E a.....~...

(a) mu .O •

(b)

.••-li' rulll ....01234se7••

(b)

Ponamo,n~ inttrvalo.

Podemos calcular essa soma usando a fórmula da soma finI­ta. Equação 2.13. Esptdficameme, mudando a variável dosomatório na Equação 2.14, de k para r = n - k, obtemos

•J'InJ= I>....·

~

(2.14)le)

~o-~

•• •• •• ~.M.~.~.~•••••~.~.M.M.~.~.~•••••---:-o o k0-.

Intervalo 3. Paca n > 4, mas n - 6:5 O(isto é, 4 < n:5 6).

• 1-a-+1

J'InJ = Ea' =.:..,-;~... l-a

[ -,x[k]h[n-kJ= a ,

0,

O$k$4caso contrário

Id)

~IO-~

4<n0lÕ6

-~.M.~.~...••~.~.~. ~'M'M'~'••••••••~.M.~.M.~.~---;:-O o k0-.

,,

'.~

IJl

k

~o-~

6<n0lÕ10

••••.•••.• ..~.~.M.~.~.~...••••_--:-O o k0-.

r-~ n>lO.................r~ ....a n-6 n

le)

Agira U Interpretação gráfica da corwolução do Exemplo 2.4.

(2.15)

(2.16)

•y[nl = E''''-'·

~

=1 a

Para n>6, mas n-6:5 4 (Isto é, para 6 <n:5 10),Intervalo 4.

Mais uma Vtt,. podemos usar a fóaDuJa da soma ~métricada Equação 2.13 para calcular a Equação 2.15. E.spedfic.a­mente, evidenciando o termo constante a' do somatórioda Equação 2.15, o resultado é

• 1-la-')'y[nl = a'Ela-')' = a'-':-"'-:f-

..... 1-0-1

0--0....'

Ponanto, nesse intervalo,

Sistemas lineares invariantes no tempo 55

Usamos novam~nt~ a Equação 2.13 para ef~tuaI ess~ soma- (a)tório. Fazendo r = i - n +6, obtemos ,

1\ 1 1 LI, 4o , r • • •-2 -, O

x(kl - 2"u[-k]

• k

Intervalo 5. Para 11-6 > 4. ou, ~quivalentem~nt~. II> 10,não há sobreposição ~ntrc as amostras não nulas d~ x[k] eh[n - k], por essa razão, h[n-k]

Y['I = O.

Resumindo. ponanto, temosk

qu~ é represtDtado na Figura 2.1 O.

2

"32O-3 2

(b)

~1 ! 1 j16 8 4..... ; ,

Agura 2.11 lal Sequências x[kl eh[ 11- kJ para o problema de con·volução considerado no Exemplo 2.5; lb) sinal de saida resultante y(Ji

6<n:5.10

10<n

4<n:5.6,

.<0

l-oO.

O.

1- 0"+1

1 oa--o,*1

y!nJ=

YInl Pata c:a1allar a soma infinita na Equação 2.19. podemos usara 16rmll/Q da soma infinita,

~ I2:>'=-. O<rl<l. (2.20)_ l-o

Mudando a variável do somatório na Equação 2.19 de kpara r = - J:. temos

o .,

Figura 2.10 Resultado da ctrMJ!lJjâo do &emplo 2.4.

10 "• t 2'=t(!f= I =2

k-_ ...o 2 1-(1/2) .(2.21)

•Exemplo 2.5

Consid~r~ um sist~ma ur com mtrada x(n} ~ respostaao impulso unitário hl") espedficadas romo se segu~:

As sequ~D(ias xli) ~ h[n - k] estão represmtadas grafia·m~ntr: como funções de k na Figura 2.1I (a). NOle-st que41) é um para i > O ~ h(n - i) é um para i > n. Th01­bt:m obstrvamos que, independentemente do valor d~ II,

a s~quêncta x[klh[n - iI sempre tem amostras não nulasao longo do eiIo k. Quando n 2: O, x[k]h[n - k] tem amos­tras nulas no intervalo k ~ O. Segue-se que. para II 2: 0,

Portanto.y[n] assume o valor constante 2 para n 2: O.

Quando n < 0, x[k]h[n - k) tm1 amostras difert.ntesdezero para k ~ n. Sque·st qut, para n < O.

Ao fazermos uma mudança da variávrl 1= -k ~ então m =I + ri, podemos usar novamente a fórmula da soma infinita,Equação 2.20, para calru1ar o somatório na Eqmu;ão 2.22. Oresultado é O seguinte. para PI < o:

(2.22)Y['l= t x(kJh[.-kJ= t 2'.1_... ..........

Y!'l = t(!]' = t(!jO-' = (!j-' t(!J"(2.231,._,,2 _2 2_2

=1:'·2=2'*1.Asequência romplrtay{n) tstá represmtada na Figura 2.11 (b).

•(2.19)

(2.17)(2.18)

x[n] = 2"II(-nJ.

h{n]=u[n].

Y!'I= t x[k]h[.-kJ= t 2'....... ......iI

1

então, como 66à

(t) tem amplitude unitária, temos a ex·pressão

combinação linear de pulsos atrasados, conforme ilustra­donas figuras 2.12(a) a (e). se definimos

6à lt)=[*' 0$t<6, (2.24)

O, caso contrário

56 Sinais e sistemas

Esses aemplos ilustram a utilidade de ~ visualizaro cálculo da soma de convolução graficamente. Note que,além de fornecer uma forma útil de calcular a~ta deum sistema m, a soma de convolução tambtm forneceuma representação extremamente útil dos sistemas LITque nos permite exa.m.ina.r suas propriedades de modo bemdetalhado. Em particular na Seção 2.3, descreveremos al­gumas propriedades da convolução e examinaremos algu­mas propriedades dos sistemas apresentadas no capítul~

anterior para vermos como essas propriedades podem sercaracterizadas para sistemas LIT.

~

;(t)~ I: x(kA)ê.(t-kA)t...-- (2.15)

r!,l

•(II

j

}.2.2 Sistemas UT de tempo contínuo: a

integral de convoluçãoDe modo análogo aos resultados obtidos e discuti·

dos na seção amerior, o objetivo desta seção é obter umacaranerização completa de um sistema ur de tempo con­tínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário. Emtempo discreto, a base para desenvolvermos a soma deconvolução foi a propriedade seletiva do impulso unitá·rio de tempo discreto - ou seja. a representação matemátialde um sinal como superposição de funções de impulsounitário deslocadas e ponderadas. Inruitivamente, por­tanto, podemos pensar o sistema de tempo discreto comoum sistema que responde a uma ~uência de impulsosindividuais. No tempo contínuo, não temos uma sequên­cia discreta de valores de entrada. No entanto, como dis­cutimos na Seção 1.4.2, ~ consideramos o impulso uni­tário como a idealização de um. pulso que é tão cuno quesua duração seja irrelevante para qualquer sistema físicoreal. podemos desenvolver uma representação para sinaisarbitrários de tempo contínuo em tennos desses pulsosidealizados com duração arbitrariamente pequena, ou, demodo equivalente, impulsos. Essa representação é desen­volvida na próxima subseção e, logo em seguida. prosse­guiremos de forma paredda à Seçào 2.1 na dedução da

representação por integral de convolução para sistemasLIT de tempo contínuo.

2.2.1 A representação de sinais de tempo contínuoem tennos de impulsos

Para desenvolver o correspondente de tempocontinuo da propriedade seletiva de tempo discretoda Equação 2.2, começamos considerando uma aprooximação ~em degraus~, x(t), para um sinal de tempocontínuo x(t), conforme ilustrado na Figura 2.12(a). Demaneira semelhante à empregada no caso do lempodiscreto, a aproximação pode ser expressa como uma

(a)

..I·,,~.

-4 04 24 ""(bl

x(-2.6.~IlIt ... 2414 ,.

~-uJJJ

(e)lC(-~Il(t + 4)6

·-TI-00

(d)

-~

D~04

(elX(4)ll...(t-4)4

~~aU

RgI" 2.12 Aproximação em degraus para um sinal de temp)

coolfnuo.

J

•Sistemas lineares invariantes no tern~ 51

Ib)

lal

•

t - à t

f-4--1

m4

1- 4

le)

Embora essa dedução resulte diretamente da Seção 1.4.2.incluímos a demoDSnação dada nas ~quações 2.24 a2.27 para ressaltar as semelhanças com o caso de tempodisa~to e. ~m particular, para enfatizar a interpretaçãoda Equação 2.27 como uma reprtseD.lação do sinal x{t)

como uma 'soma' (mais pred.sammte:. uma int~gral) d~

impulsos deslocados e ponderados.

J:x(T)6(t-r)d-r= J:x(t)6(t--r)dT

= X(I)J:ói'-T)dT ~ xll~

EsjX'dficamente. como ilustrado na Figura 2.l4(b). o si­nal 6(t - T) (visto como uma função de T com r fixo) r:um impulso unitário localizado em T = r. Portanto. comomostra a Figura 2.14(c). o sinalx(T)6(t-T) (mais uma vezvisto como uma função de TI é igual ax(t)6(t-T). ou seja.é um impulso pond~rado em T = t com uma área igual aovalor de x(l). Consequmtem~nte, aintegral desse sinal deT = -- a T = +- é igual a x{t); ou seja,

Figura 2.13 Interpretação gráfica da Equação 2.26.

Como em tempo discr~to, referimo-Dos à Equação 2.27como a propritdadt stftriva do impulso de tempo contí·nua. Notamos que. para o exemplo espeáfico de X(l) =U(l), a Equação 2.27 torna-se

u(r) = J: l.l(T)6(r-T)dT= lootSf,r-T)dT. (2.28)

já que U(T) = Opara T < Oe U(T) = 1 para T > O. A Equa­ção 2.28 é idêntica à Equação 1.75, obtida na Seção1.4.2.

Mais uma vez. a Equação 2.27 d~v~ St:r vista comouma idealização no sentido d~ qu~, para 6 "pequeno o su­fid~nt~#. a aproximação de x(t) na Equação 2.25 é essen·cialm.~nt~ exala para todo propósito prático. A Equação2.27, ponamo, s~pl~smente r~prtsenta uma idealizaçãoda Equação 2.25 ao assuminnos li. como arbitrariamentepequeno. Note·se também que poderiamos obter a Equa­ção 2.27 diretamente usando várias propriedades bási­cas do impulso unitário qu~ obtivm1os na Seção 1.4.2.

x(l) ~J:X(T)/ill - T)dT. (2.27)

Na Figura 2.12 per~btmos que. assim como no caso detempo discreto (Equação 2.2), para qualquer valor de r,somente uma parcela no somatório do membro direito daEquação 2.25 é não nula.

Quando consideramos 6. se aproximando de O. aaproximação x(t) lorna·se cada vez melhor e. no limite.iguala-se a x(1). Portanto,

X(I) ~ lim f: x(kt.)ó.(t - kt.)t..· (2.26).~-

Além disso. quando 6 -. O. o somatório na Equação 2.26aproxima-se de uma integral. Isso pode ser visto consi­derando a interpretação gráfica desta equação, ilustradana Figura 2.13. Uustramos os sinais X(T), 6~(t - 7") e seuproduto. Tambim marcamos uma região sombreada rujaárC'a se aproxima da área sobX(T)Ó",tt - T) quando /1 _ O.

Note-se que a região sombreada tem uma área igual ax(m6), sendo t - 6. <",A < t. Além disso. para esst valorde t. somente a parcela com k = mé não nula no somató·rio da Equação 2.26 e. portanto, o membro direito dessaequação também é igual a x(m6). Consequentemente, apartir da Equação 2.26 ~ do argumento precedent~, te­mos que xlr) é igual ao limite quando li. ..... O da masob x(T)66(l- Tl. Além disso, com base na Equação 1.74.sabemos que o limite quando li. -+ Od~ 6

6(l) é a função

impulso unitário 6(t). Logo.

I,

58 Sinais e sistemas

(b)

1

Em particular. considere a Figura 2.15. que é o corres­pondente ml tempo contínuo da Figura 2.2. Na Figura2.15(a), represcll.amos a entrada X(I) e sua aproximaçãoi(I), enquanto nas figuras 2.15(b) a (d). mostramos asrespostas do sistema a três dos pulsos ponderados na ex­pressão para x(t). Então a saída y(t) correspondente a .i(t)é a superposição de todas as respostas. como indicado naFigura 2.15(e}.

O que falta. pon.a.DlO, é considerar o que aconte­ce quando 6 se toma. arbitrariamente pequeno - isto é,quando li. -t O. Em partirular. usando x(t) conformeexpresso na Equação 2.26. ~t) toma·se uma aproxim.a-

.,

(a)

(e)

(b)

04

,_/1'","" , :,. ,

Figura 2.14 lal Sinal arbitrário xlr); lbl impulso 6( (- ri como fim·ção de rCOOl tfixo: leI produto desses dois sinais.

I

I1

t

y(l)

o

(e)

FigaR 2.15 !IltalpeliiÇão gráica da resposta de um sistema linearde terr\tXl contfnuo confurme expresso nas equações 2.29 e ~.30.

(2.29)j(1) = E X(kA)hM(I~--

W A resposta ao impulso unitário e arepresentação por integral de convolução dossistemas de tempo contínuo UT

Assim como no caso do tempo discreto. a represen­lação obtida na seção anterior mostra-nos uma forma deinterpretar um sinal arbitrário de tempo contínuo comoa superposição de pulsos deslocados e ponderados. Emparticular. a rtprest'Dlação aproximada da Equação 2.25representa o sinal x(l) como um somatório de versõesdeslocadas e ponderadas do sinal de pulso básico 6/1(t).Consequentemente. a resposta }i(I) de um sistema lineara esst sinal será a superposição das respostas àsv~deslocadas e ponderadas de 6

6(1). De maneira mais espe­

áfia. considermlos hu.(t) como a resposta de um. sistemaLIT à enuada 6

6(1- kâ). Assim, partindo da Equação 2.25

e da propriedade de superposição. para os sistemas linea­res de tempo contínuo. vemos que

A interpretação da Equação 2.29 é semelhanteà interpretação da Equação 2.3 para tempo discreto.

ção cada vez melhor d~ x(t) ~, d~ fato, os dois coincidemquando I!J. --. O. Como co~qu~nda. a resposta a x(I),denotada yll) na Equação 2.29, deve convergir para y(t),ar~ à entrada efeti.va x{t), como ilustrado na Figura

2.l5(f). Além disso, como dissemos. para I!J. ·sufid~Dte·mente pequeno·, a duração do pulso 6

6(t-tâ) não ~ sigo

nificativa porque. no que se refere ao sistema. a respostaa esse pulso ~ ~nda1mente a mesma que a resposta aum impulso unitário no mesmo instame de ~empo. Ouseja. como o pulso 66(1 - kA) corresponde a um imopulso unitário deslocado quando !:J. --. O, a resposta Ítu(tia esse pulso unitário toma-se a resposta a um impul·so no limite. Portanto, se h,(t) representa a respostano tempo r a um impulso unitário 6(t - r) localizado notempo r, então - .

y(l) = Iim L x(kL\.)h,., (1)1'.. (2.30)4-0"-<>:1

Quando A --. O, o somatório do membro direito torna­-se uma integral. como pode ser vislo graficamente naFigura 2.16. Espedficamente, nesta figura, o rttângu·lo sombrtado representa uma parct:1a no somatório domembro direito da Equação 2.30 e, quando A ~ O, osomatório aproxima-se da área sob x{r)h,(t) vista comouma função de T. Ponanto,

Sistemas lineares invariantes no tempo 59

associado à resposta h,ll) ao impulso deslocado 6(t - TItambém i X(T)dT.

A Equação 2.31 representa a forma geral da respos·ta dt: um sistema lint:ar de tempo continuo. se, al~m deser linear. o sistt:ma laDlbf:m for invariantt: no tempo, t:n­tão h.(t) -= h.(t - T); isto t, a rt:SpOSt..a de um sistema UTao impulso unitário 6(1 - T), que é deslocado da origemt:m T segundos, é uma versão dt:Slocada semelhante daresposta à função impulso unitário 6(t). Novameme, parafacilitar a notação. eliminamos o subsaito e definimos amposra ao impulso unitário h(l) como

h(l) - h,(I); (>.3')

isto é, h(t) é a resposta a 6(t). Nesse caso, a Equação 2.31toma-se

1Y(1) = r:X(T)h(I- T)dT·1 (>.33)

A Equação 2.33, conhecida como integral de ClJnyofu·

ção ou inttgra[ de JUpuposição, é o cornspondtnte de tem·po contínuo da soma de convolução da Equação 2.6 e!:corresponde à representação de um sistema UT de tempocontínuo em tennos de sua resposta a um impulso unitá·rio. A convolução de dois sinais x{t) e h(t) será represen·tada simbolicamente!: por

(2.31) y(l) = X(I) • h(I). (U4)

A interpretação da Equação 2.31 é análoga à in·terpretação da Equação 2.3. Como mostramos na Seção2.2.1, qualquer entrada x(t) pode ser representada por

x(t) = L:x(T)6(t - r)dr.

Ou seja, podemos intultivam~nte pensar x(t) como umasoma de impulsos deslocados ponderados, em que o pesodo impulso 6(t - T) ~ x(r)dr. Com essa interpretação, aEquação 2.31 representa a superposição das respostaSa. cada uma dessas entradas e, por Iinearidad~, o peso

kd (k+1)â

Figura 2.16 Ilustração gráfica das equações 2.30 e2.31.

Apesar de termos escolhido usar o mesmo símbolo· paradenotar tanto a convolução de tempo discreto como a dete!:mpo contínuo, o cont~xto será geralmente suficienlepara diferenciar os dois casos.

Assim como no tempo discreto, vemos que um sis­tema LIT de tempo contínuo é completamt:ntt: caracteri­zado por sua resposta ao impulso - isto t, por sua res­posta a um único sinal elementar. o impulso unitário 5(t).Na próxima seção, exploramos as implicações des~ fatoenquanto examinamos diversas propriedades da convo­lução e dos sistemas LlT tanto de tempo contínuo comode tempo discreto.

O procedimento para calcular a integral de con­volução i similar ao que usamos para calcular seu cor·respondente de tempo discttto, a soma de convolução.Espedficamente, na Equação 2.33, vemos qUe!:, paraqualquer valor t. a saída y(1) é uma integral ponderada daenuada. em que o peso correspondente a X(T) ( h(1 - r).Para calcular essa int~graI para um valor tspeáfico de t.primeiro obtemos o sinal h(t - r) (considt:rad.o uma fun­ção de r com r fixo) de h(r) por uma refiexão em tomoda origem e um deslocamento para a direita dt: t se t > Oou um deslocamento para a esquerda de Irt se r < O.

60 Sinais e sistemas

Em seguida, multiplicamos os sinais X(T) e h(t - T). e y(t)

é obtido ao integrarmos o produto resultante de T = -- aT = +00. Para ilustrar o cálculo da integral de convolução.vejamos os exemplos seguintes.

•Exemplo 2.6

Seja x(t) a entrada de um sistema Ln' com resposta aoimpulso unitário h(t). com

x(t) = r«u{t). a > O

A partir dessa expressão, podemos calcular y(t) para t > O:

f.' I I'y(t) = e-n- dr =__e-n-o a o

_ 1(1 -"I__ -e .a

Então. para todo t, y(t) é

Iy(t) ~ -(l-,~)u(t),

a

que é ilustrada na Figura 2.18.

O<r<t

caso contrário

h(l) ~ U(I).

Na Figura 2.17, representamos as funções h(1"). x(1") e h{t-1")para um valor negativo de t e para um valor positivo de 1.De acordo com essa figura. perce~os que para t < O, oproduto de x(1") e de h(t - T) é zero e, consequentemente,y(t) é zero. Para t > O,

x(T)h(t -r) = [,-­O,

y(t) = 1 (1- e-III )u(t)•1ã ---------------------

o

Figura 2.18 Resposta do sistema no Exemplo 2.6 com resposta aoimpulso h(t) =u(t} para aentrada x(tl =e....u(tl.

h'l ••Exemplo 2.7

Considere a convolução dos dois sinais a seguir

O<t<2T

caso contrário

O<t<Tcaso contrário'II,.(1)=

O,

h(l) = II'O,

O, 1<0

'r' O<t<T, '

y{t)~ n-tT1 • T<r<2T

-tf+Tt+tTl, 2T<t<3T

O, 3T<t

Assim como 00 Exemplo 2.4 para a convolução de tempo dis·creto, é interessante considerar o cákulo de y(~ em intervalosseparados. Na Figura 2.19. traçamos x(r) e ilumamos h(t - r)em cada um dos intervalos de interesse. Para t < Oe parat> 3T. x(T)h(t-r) = Opara todos os valores de T e, consequen·ttmeote,y(t) = O. Para os outros valores. o produtox(Tjh(t-r)está indicado na Figura 2.20. Então, para esses três intervalos,a integração pode ser feita graficamente, tendo como resultado

,

,

,

o

*1

_----!--'~====-o

h(!:-T)

_-----.JU,------_I<O_o

~Ill---t>O_o

h(t-T)

Figura 2.17 Cálculo da integral de convolução do Exemplo 2.6. que está representado na Figura 2.21.

I

Sistemas liooares invariarrtes no tempo 61

*1 (a)

'b >«>1"'-"

.Lo T O<t<T

O t •

"'--oJ

J\t 1<0(b)

Kfr)"tt--T)

t_Tt~ 1<t<21t O

t - 2TO T •

2T<t<3T

(e)x(T)h(I-")

t~~------' I Ti---------:-.

t-2T

h(t-T)

~t2T O<I<T

----f-h~---------..,..t- 2T

"'-'I

tt,.2T T<t<2T

----fHc-----------:-.t - 21

Figura 2.20 Produto Air} h(l- T} para o Exemplo 2..7 pata asuês faixas de valores de t para o qual este produto é não 0010.(Ver FiQura 2.19.1

2T<t<3T

OT2T3Th(t-T)

_2Tt~0\ ~-----.

t - 2T

Figura 2.21 Sinal y{tl = xUI • h/tI para oExemplo 2.7.

•Exemplo 2.8

Seja Y(I) a convolução dos dois sinais a seguir.

•

t:> 3T

Os sinais"i'T) e h(t -T) são reprc:sc:ntados graficam~tt= comofunc;õt:s de T na Figura 2..22(a). Primriro, obstrvamos queesstS dois sinais te:m rrgióe5 de sobrtpOSição diferentes dezero. independentrmentt do valor de t. Quando t - } ~ o, oproduto de .ltr) e h(l- T) é não nulo para __ <T < t - l, e aintegral de convolução toma-sc

"'-'I

_ 2TlliO I ~----.

t - 2T

x(t) = r'wHl.

h(~~u(t-3).

(2.3,>

(2.36)

Figura l.19 Sinais x{'Tle h(t- TI para diferentes valores de I paraoExemplo 2.7. (2.37)

62 Sinais e sistemas

y[n] ~ I: x[k]h[n - k]~ x[n]' h[n]- (2.3')

•

Conforme já observado, uma consequênda dessasreprtsentaÇÕfs é o fato de as características de um sistemaLIT serem completamente determinadas por sua respostaao impulso. É importante enfatizar que essa propriedadeé válida em geral somente para os sistemas IlT. Em parti­cular, conforme ilusrrado no exemplo a seguir, a respostaao impulso unitário de um sistema não linear não carac­teriza completamente o componamento do sistema.

(a)

o

h(t-1')

130

•

•

y(l) ~r: x(r)h(1 - r)dT ~ X(I) , h(l) (2.40)

(b)

Exemplo 2.9Considere um sistema de tempo discreto com resposta

ao impulso unitário

II.h[n]~

O.n=O,l

caso rontrário(2.41)

o 3

Figure 2.22 Problema de convoluçao considerado no Exemplo 2.B.

Para t - 3 ;:: 0, o produto x(r)h(t - r) é não nulo para -- <r < 0, de modo que a integral de convolução é

Se o sistema é LIT, então a Equação 2.41 determina porcompleto seu comportamento de entrada-saída. Particular­mente, ao substituir a Equação 2.41 na soma de convolução,Equação 2.39, encontramos a seguinte equação txplídtaque descreve como a entrada e a saída desse sistema LITestão reladonadas:

(2.38)Por outro lado. há muitos sistemas não lineares com a mesmaresposta ao impulso 6[n}. isto é. a dada pela Equação 2.41.Por exemplo, os dois sistemas a seguir têm essa propriedade:

f ' "d Iy(t)= e T=-._ 2

O sinal resultante YU) é representado graficamente naFigura 2.22(b). •

y{n} = x(n} +x {n - 1]. (2.42)

Conforme ilustram esses exemplos e aqueles apre­sentados na Seção 2.1, a interpretação gráfica da convo­lução de tempo discreto e de tempo contínuo é de valorconsiderável na visualização do cálculo das somas e dasintegrais de convolução.

2.3 Propriedades dos sistemas linearesinvariantes no tempo

Nas duas seçóes anteriores, desenvolvemos reprt­sentações extremamente importantes dos sistemas LIT detempo discreto e de tempo contínuo em termos de suasrespostas ao impulso unitário. No tempo discreto. a repre­sentação assume a forma da soma de convolução, enquan­to sua correspondente em tempo contínuo é a integral deconvolução, ambas repetidas a seguir por conveniência:

y[n] = (x[n} +x[n-lIlJ•

y[n} = máx (x[n].x[n - 1]).

Consequentemente. se o sistema ~ não linear, tle não écomplttamente caracttrizado pda resposta ao impulso daEquação 2.41. •

oexemplo anterior ilustra o fato de que os sistemasLIT apresentam diversas propriedades que ounos siste­mas não possuem. a começar pelas representações muitoespeciais que eles têm em termos das integrais e da somade convolução. No restante desta seção, exploraremos al­gumas dessas propriedades mais imponantes e básicas.

U1 Apropriedade comutativaUma propriedade básica da convolução em tmipo discre­

to e em tempo continuo é que ela é wna operação amtU1ativtz.

J

Sistemas lineares invariantes no tempo 63

Ou seja. em tempo discreto

e em tempo contínuo(2.47)

y(1)

y:J!l)L-+I h,(1)

X(I) , [h,(I) +h,(I))= x(t) .. h.(t} +x(t) ... hJ(t).

.....-l h,{I)

correspondendo ao membro direito da Equação 2.47. Osistema da Figura 2.23{b) tem saída

y(tl ~ X(I) • h,(~+xll) 'h,(~. (2.40)

o sistema da Figura 2.23(a) tem saída

y(I) = x(11 ' [h,(I) +h,I'IJ. (2.49)

(a)

Y,II) ~ X(I) , h,(11

e em tempo contínuo

Essa propriedade pode ser verificada de forma imediala.

A propriedade distributiva tem uma inteJPretaçãoútil no que se refere às interconexões dos sistemas. Con­sidem: dois sistemas IlT de tempo contínuo em paralelo.como indicado na Figura 2.2J(a). Os sistemas mostrados nodiagrama de blocos são sistemas ur com as respostas aoimpulso unitário indicadas. Essa represenlação gráfica éuma forma particularmente conveniente de mostrarmosos sistemas UT em diagramas de blocos. e ela tambémacentua o fato de que a resposla ao impulso de um siste­ma LIT caracteriza completamente seu comportamento.

Os dois sistemas, com respostas ao impulso hl(t) ehJ(t). têm entradas idênticas, e suas saídas são adiciona­das. Como

(2.45)---x[n] , h[nl = L x[k]h[n - k]~-~-~ L x{n - r]h[r]

X(I) , h[1) ~ h(II' X(I) ~J: h[T)Xlt -T)dT. (2.44)

= h(n]" x(n].

Com essa substituição de variáveis, os papéis de .I(nJ eh(n) são trocados. De acordo com a Equação 2.45, a saídade um sistona IlT com entrada .I[n] e resposla ao im­pulso unitário h[n] é idêntica à saída de um sistema urcom entrada h(nJ e resposta ao impulso unitário x(n].Por exemplo, poderíamos ter caJrulado a convolução noExemplo 2_4 primeiro refletindo e deslocando .I[kl. de­pois multiplicando os sinais x[n - xl e h[kj e. por fim.somando os produtos para todos os valores de k.

De forma semelhante. a Equação 2.44 pode ser ve­rificada por uma mudança de variáveis, e as implicaçõesdesse resullado em tempo contínuo são as mesmas. Asaída de um sistema UT com entrada .I(t) e resposla aoimpulso unitário h(t) é idêntica à saída de um siste­ma ur com entrada h(t) e resposta ao impulso unitá­riox(t). Ponanto, poderíamos ter calculado a convoluçãono Exemplo 2.7 refletindo e deslocando x(t), multipli­cando os sinais x(t - T) e h(T) e integrando no intervalo_00 < 7' < +_. Em casos específicos. uma das duasformas de calcular convoluções, isto é. a Equação 2.39ou a Equação 2.43 em tempo discreto e a Equação 2.40 oua Equação 2.44 em tempo contínuo. pode ser mais fá­cil de visualizar. mas as duas formas sempre multam oamesma resposta.

-x{n)' h[n] ~ h[n]' x{n] = L h[kJxln - k1 (2.43)

----

Essas expressões podem ser verificadas de forma immialapor meio de substituição de variáveis nas equaÇões 2.39 e2.40. Por exemplo, no caso do tempo discreto, tomandor= n- k ou, equivalentemente, k = n - r. a Equação 2.39toma-se

2.3.2 Apropriedade distributivaOutra propriedade básica da convolu~o é aproprie·

dade distributiva. Esped.ficamenle, a convolução é distribu­tiva com relação a adição, de modo que, em tempo discreto

(b)

X(t)--~'''I h,(I) + hz(t) 1--.._y(1)

xtn]' Ih,[n) + h,lnll= x[n] ... hl[n] +x[n] .... hl[n},

Figura 2.23 Interpretação da prolJiedade distributiva da corrroIu-(2.46) ção para uma interconexão paralela de sistemas UI

i~

64 Sinais e sistemas

-32101234567

It!

,j,

'.

.,'I,"

IiI

í.,

•

(2.56)

(2,60) .YlnI = x Inl • h,I"1 • h,lnl

x[nI· (h,I"]· h,[nl) = 1*1· h,I"I)· h,I"J, (2.58)

e em tempo contínuo

2.3J A propriedade associativa

Outra propriedade útil e imponante da convoluçãoé a associilt1vtJ. Ou seja, em tempo discreto

xi'I· [h,I')· h,IIII = Ixl')· h,IIII· h,lt). (2,59)

Essa propriedade ~ demonstrada por manipulações diretasdas somas e integrais envolvidas. Veja o Problema 2.43.

Como consequênda da propriedade associativa. astxpressôa

4 ------------ - - ••

3

y[o]

,• f'

o o o ;-

y,lnl =',1"1 • hln]. (2.57)

A convolução na Equação 2.56 para , 1[11) pode ser obtidaa partir do EIemplo 2.3 (com Q = 1/2), enquanto ' 2[IIJfoi calculado no Ezemplo 2.5. Sua soma é y{n]. exibida naFigura 2.24.

Y(t)=xlt)·h,llI·h,(t) (2.61)

não apresentam ambiguidade. Ou seja, de acordo com asequações 2.58 e 2.59. a ordem de convolução dessessinais não importa.

Uma interpretação dessa propriedade associati­va é ilustrada para os sistemas de tempo discreto nasfiguras 2.251') , Ibl. N. Figura 2.251'),

correspondendo ao membro esquerdo da Equação 2.47.Aplicando a Equação 2.47 à Equação 2.49 e comparandoo resultado com a Equação 2.48, vemos que os sistemasnas figuras 2.21(a) e 2.23(b) são idênticos.

Há uma interpretação idêntica em tempo discre­to, em que cada um dos sinais na Figura 2.23 é subs·tituído por um correspondente de tempo discreto (istoé. X(I). h.(I), hl(I), ,.(1), , 1(t) e 1(1) são substinúdos porX[II]. h1[1I1, h1[1I]. 1.(n), y1[n} e 1(n], respectivamenle).Em suma, portanto, em virtude da propriedade distribu­tiva da convolução, uma combinação paralela de sinemasLIT pode ser substituída por um único sistema LIT cujaresposta ao impulso unitário é a soma das respostas aoimpulso unitário individuais na combinação paralela.

A1~m disso, como consequr:ncia da propriedade dis­tributiva e da propriedade comutativa. temos

Ix,ln +x,IIli • hll) = x,(I) • hln +x, II) • h(I), (2.51)

que simplesmente dizem que a resposta de um sistema IlTà soma de duas entradas deve-ser igual à soma das respos­tas a esses sinais individualmente.

Conforme ilustrado no próximo eIemplo. a pro·priedade distributiva da convolução também pode serusada para dividir uma convolução complicada em váriasconvoluçõe5 simples.

YI"I = Y, 1"1+ Y, InJ, (2.55)

x[n1=ur u(1I]+2"u(-1I]. (2.52)

hl"J = 04nI. (2.53)

Note que a ~qué:nda xIn] i: não nula ao longo de todo oeixo do tempo. O cálculo dUeto de uma convolução dessetipo é um pouco tedioso. Em vez de efetuar o cálculo dire­ta:menle. podemos usar a propriedade distributiva para a­pressar Y[II) como a soma dos resultados de dois problemasde convolução mais simples. Em panicuJar. se considrramosxl [J1] '= (1/2)·u(n] e ~(nl = 2·u[-n]. teremos

Yln] =(x,ln] +x,["1) • hl"l· (2.54)

Usando a proprirdade distributiva da convolução. podt1JlOS

r~vtra Equação 2.54 como

(x1[n] + :e,[nJ] '" h[n] = x1[nl • h[n] +:e, [II] • h[n] (2.s0)

,

sendo

•Exemplo 2.10

Suponha que y[nj seja aconvolução das duas sequências:

,,,1

y[nJ = w[nJ *' h1(n]

= (x[n] *' hJn]) *' hJn].

Na Figura 2.25(b)

y[nl ~ xln] • h[n)

=x[n] *' (h,[n] *' hJnll.

De acordo com a propriedade associativa, a interconexãoem séries dos dois sistemas na Figura 2.25(a). r. equiva­lente ao sistema único na Figura 2.25(b). Isso pode sergeneralizado para uma quantidade arbitrária de sistemasLIT em cascata, e a interpretação análoga e a conclusãotambém são válidas em tempo contínuo.

Usando a propriedade comutativa jlU1tameme coma propriedade associativa, encontramos outra proprieda­de muito imponante dos sistemas lIT. Especificamente,a partir das figuras 2.25(a) e (b), podemos concluir que aresposta ao impulso da cascata de dois sistemas LIT éa convolução de suas respostas individuais ao impulso.Posto que a convolução é comutativa, podemos calcularessa convolução de hl[nj e h1[nj em qualquer ordem.Ponanto, as figuras 2.25(b) e 2.25(c) são equivalentese, com base na propriedade associativa, elas são, por sua

(a)

(b)

Sistemas lineares invariantes no tempo 65

vez, equivalentes ao sistema da Figura 2.25(d), que per­cebemos ser uma combinação em cascata de dois siste­mas, assim como na Figura 2.25(a), mas com a ordem docascateamento invertida. Consequentemente, a resposta

ao impulso unitário de uma cascata de dois sistemas UTnão depende da ordem em que eles são cascateados.Na verdade, isso é válido para um número arbitrário desistemas LIT em cascata: a ordem em que são colocadosem cascata não importa no que diz respeito à resposta aoimpulso geral do sistema. As mesmas conclusões se apli­cam ao tempo contínuo.

É imponame enfatizar que o componamento dossistemas LIT em cascata - e, em particular, o fato de quea resposta geral do sistema não depende da ordem dos sis­tentas em cascata - é espeáfico para sistemas desse tipo.Em contraposição, a ordem dos sistemas não lineares nacascata não pode ser mudada, de modo geral, sem alterar aresposta finaL Por exemplo, se tivermos dois sistemas semmemória, um sendo uma multiplicação por 2 e o outroelevando a entrada ao quadrado e, se multiplicannos pri­meiro e elevarmos ao quadrado em seguida, obteremos

yln] ~ 4<'[nl·

No entanto, se multiplicarmos por 2 depois de elevar aoquadrado, leremos

y[n] ~ 2x'[n).

Portanto, a capacidade de alternar a ordem dos sistemasem uma cascata é caraderística espeáfica dos sistemas LlT.Na verdade. conforme mostrado no Problema 2.5 L prea­samos da linearidade eda invariância no tempo para queessa propriedade seja verdadeira de modo geral.

X1n] .1 h[n]" h,ln]. hin]

(e)

><[01--......\ h[nl"~[nJ.hl[nl

~-•• ~ol

1--...... y[n]

2.3.4 Sistemas UT com e sem memória

Conforme e~cificado na Seção 1.6.1. um sistemaé sem memória se sua saída em qualquer instante depen­de apenas do valor da entrada naquele mesmo instante.Da Equação 2.39, vemos que o único modo de isso serverdadeiro para um sistema LIT de tempo discreto é seh(n] = Opara n :;é O. Nesse caso, a resposta ao impulsotem a forma

h[n] ~ K6[n), (2.62)

(d)

><{ol---<.1 h:!ln] I--.j h,ln] f-_~ol

sendo K= h(O] uma constante, e a soma de convoluçãose reduz à relaçâo

y[nl ~ KX[nJ. (2.63)

j

Figura 2.25 Propriedade associativa da convolução, sua implicaçãoe a propriedade comutativa para a interconexão em séries dos siste­mas UT.

Se um sistema IlT de tempo discreto tem uma resposta aoimpulso h(n] que não é identicamente nula para n:;é O, en­tão o sistema tem memória. Um exemplo de sistema LIT

66 Sinais e sistemas

1;.

"

x[n) = x[n] , 6[n)

para alguma constante K e tem a resposta ao impulso

\

•·<i•j·1,\.'

j,i,(2.67)

f--....~>«I)

h[n) , h,ln) = 6[n].

>«1)--....·1~(b)

De modo semelhante, em tempo discreto, a resposta aoimpulso hj[n] do sistema inverso para um sistema LIT

com resposta ao impulso hln] deve satisfazer

Os dois exemplos a seguir ilustram a inversão e aconstruçâo de um sistema inverso.

Figura 2.26 Conceito de sistema inve~ para sistemas LIT de tem­

po contínuo. Osistema com resposta ao impulso h,(~ é o inverso dosistema com resposta ao impulso h(~se hl~ .. h,llt = ~It.

(a)

(2.64)

(2.•5)h(r) = K6(r).

Ylr) = Kxll).

com memória é o sistema dado pela Equação 2.42. A res·posta ao impulso para~ sistema. dada na Equação 2.41, édifermlt dt ztro para n =: 1.

Tendo como base a Equação 2.40, podemos deduzirpropriedades semelhantes para os sistemas LIT de ltDlpocontínuo com e sem memória. Em c:spedaL um sistemaLIT de tempo continuo é sem memória se h(l) = Oparat ... O, e tal rntema LIT sem memória tem a forma

Note que se K = 1 nas equações 2.62 e 2.65, entãoesses sistemas se tomam sistemas identidades, com a saídaigual à entrada e com a resposta ao impulso unitário igualao impulso unitário. Nesse caso, as fórmulas da soma deconvolução e da integral de convolução implicam

•Exemplo 2.11

Con.s:ldere o sistema UT consistindo de um desloca­mento simples no tempo

x(r) = x(r) '6(r).

que se reduzem às propriedades seletivas dos impulsosunitários em tempo continuo e em tempo discreto:-x[n) = L: xlk J6ln - k) y(l) = x(t - I~). (2.68)

j

z(r - rJ = x(r) '6(r - rJ. (2.70)

Ou seja, a convolução de um. sinal com um impulso desloca­do simplesmente desloca o sinal.

Para recuperar a ennada a partir da saída, isto~. inver·ler o sistema. só precisamos deslocar a saída no sentido roa·

. trário. O sistema com~ dtslocamento de compensação é,portanto, o sistema inverso. Ou seja. se tomamos

Esse sistema ~ um arriUl1.liJJr se to > Oe um aditmtadorse to <O.Por exemplo, se t~ > O, então a saída no tempo t é igual aovalor da entrada no tempo anterior t - lo. St= to = O, o sis­tema na Equação 2.68 ~ o sistema identidade e, portanto,sem memória. Para qualquer outro valor de 1ft esse sistema temmemória, pois responde ao valor da entrada em um instantediferente do instante corrente.

A resposta ao impulso para o sistema pode ser obtidaa panir da Equação 2.68, assumindo-se a entrada igual a6(t), isto ~,

x(t) = I':x(r)6(t - í)dr.

2.3.5 Sistemas lIT invertíveisConsidere um sistema LIT de tempo contínuo com res·

posta ao impulso h(t). Baseado na discussão da Seção 1.6.2,esse sistema é invertível somente se um sistema inversoexiste e que, quando conectado em série com o sistemaoriginal produz uma saída igual à entrada do primeirosistema. Além disso, se um sistema LIT é invefÚveL entãode tem um inverso LIT. (Ver Problema 2.50.) Então, te·mos a situação mostrada na Figura 2.26. Temos um siste­ma com resposta ao impulso lI(t). Osistema inverso, comresposta ao impulso 1I1(t), resulta em "'it) = x(1) - demodo que a interconexão em série da Figura 2.26(a) éidêntica ao sistema identidade na Figura 2.26(b). Como aresposta total ao impulso na Figura 2.26(a) é h(t) * II

I(t),

temos a condição que h.(t) deve satisfazer para que elaseja a resposta ao impulso do sistema inverso, ou seja,

Logo.h(q = 6Ir-rJ. (2.••)

,,

h(r) , h,lr) = 6(r). (2.66)

,,J

j

Sistemas lineares invariantes no tempo fI]

então

Usando a soma ~ convolução. podemos calculn a~desst sistema a uma emrada aIbitrária:

•Exemplo 2.12

Considere um sistema LIT com resposta ao impulso

-y[n]~ E x[klu[n-kl· (2.72)

~-Como u[n-k} é Opara n-k < Oe I para n -k;::' O, a Equação2.72 toma·st

dos valores presentes e passados da entrada do sistema.usando a integral e a soma de convolução. podemos u­ladonar essa proprit:dade a uma propriedade correspon­dente da resposta ao impulso de um. sistema m. Em ou­tras palavras, para que um. sisf:t:ID.a lJT de tempo discretoseja causal, y[rrl não deve dept:nder de x[i] para k > n.Tendo como base a Equação 2.39. vemos que, para queisso ocorra, todos os roefideDles h[n -ii que multiplicamvalores de xtkJ para k > n devt:ID. ser nulos. Sendo assim.isso requer que a resposta ao impulso de um sistema urcausal de tempo discreto satisfaça a condição

00y[nl = Eh[kjx[n - kJ. (2.7')...

De modo semelhante. um sistema UI de tempoconlÍnuo é causal se

h[n] ~ O par.! n < O. (2.77)

De acordo com a Equação 2.77. a resposta ao impulso deum sistema LIT causal deve ser nula antes: que o impulsoocorra, o que t coosisteDle com o conceito intuitivo decausalidade. De modo mais geral como mostra o Pro­blema 1.44, a causalidade de um sistema linear é equi­valente à condição de rtpollSO inicüzl. isto é. se a entradade um sistema causal é Oaté determinado instante. en­tão a saída também deve ser Oaté aquele instante. aim­portante realçar que a equivalênda da causalidade e dacondição de repouso midal aplica-~ ~mente a sistemaslineares. Por exemplo. como disrutido na Srçáo 1.6.6,

o siste:ma y[n] =h[nl + 3 é não linear. No entanto.e:le: é causal e, de: fato, sem mem6ria. Por ouno lado, sex[n] = 0, y[n) = 3 ';It. O, por isso ele não satisfaz a condi­ção de repouso inicial.

Para um sistema LIT causal de tempo discreto, acondição na Equação 2.77 implica que a representaçãoda soma de convolução na Equação 2.39 se toma

y[nJ= t x[k]h[n-k1 (2.78)0-

e a fonna alternativa equivalente. a Equação 2.43, toma-se

(2.71)

(2.73)

h[n) = u{n].

y[nJ~ t x[k]o-

Ou seja. esse sistema, que vimos pela primeira vez na Se­ção 1.6.1 (ver Equação 1.92), é um somador ou acumu­lador que calcula a soma cumulativa de todos os valoresda entrada até o instante pttsente. Como vimos na Seção1.6.2, um sistema desse tipo é invertível. e seu inverso,conforme dado pela Equação 1.99, é

y[n] ~x[nl-x[n-II, (2.74)

que é simplesmente uma operação dt difmnça de primeiraordrnt. Escolhendo x[l1] == 5[1'1], descobrimos que a respostaao impulso do sistema inverso é

h, [nl = 6[nl-6[n-ll. (2.75)

Para verificar que h[n} na Equação 2.71 e h\[nl na Equação2.75 são de fato as respostas ao impulso de sistemas UI quesão inversos um do outro, podemos testar a Equação 2.67por cálculo direto:

h(t) • h. (t) = 6(1 - tol • 6(1 +tJ = 6(t).

Df: modo stmelhante, um d~lXamentono tt:mpo emtempo discreto tem resposta ao impulso unitário 6{n - nJ.de modo que convoluir um sinal com um impulso deslocador o mesmo que deslocu o sinal Além disso. o inverso dosistema ur com resposta ao impulso 6(11 - Prol i o sistema urque desloca o sinal na direção oposta peJa mtsma quantida­de - isto é. o sistema UT com resposta ao impulso 6[n +nJ.

•

,,

I

iI

J

h[nl' h,[n] = u[n]'[6[n]-6[n -IJI= u[n]· 6[n]- u[n]1o 6[n -1]

~ u[n]- u[n -11~6[nJ. (2.76)

•Ui Causalidade dos sistemas LJT

Na 5eção 1.6.3, aprest:ntamos a propriedade de cau­~dade: a saída de um sistema causal dept:nde apenas

h(t) == O para « 0, (2.80)

e, nesse caso. a integral de convolução é dada por

y(l) ~ J~X(T)h(1 - T)dT ~ /,00 h(T).x(1 -T)dT. (2.81)

Tanto o acumulador (h[nJ = lol(nJ) quanto seu in­verso (h[n} = 6[n] - 6(n - II), descritos no Exemplo 2.12,satisfazem. a Equação 2.77 e. portanto. são causais. O des­locamento simples no tempo com resposta ao impulso

68 Sinais a sistemas

h(n = '(1- 1,1 / ",usai paraI, " O(quando o desl<lGlIIlelllOno tempO ~ um atraso), mas é não causal para to < O(nes­se caso, od~ no t.onpo é um adiantamento, de

modo que a saída antecipa valores futuros da. entrada).

Por fim,. apesar de a causalidade ser uma propriedadedos sistemas, da ~ uma terminologia comum para se rde­rir a um sinaL sendo causal se for nulo para n < Oou t < O.A motivação para essa terminologia vem das equaçõesl.TI e 2.80: a causalidade de um sistema ur ~ equivalenteà sua resposta ao impuJso ser um sinal causal.

2.3.1 Estabilidade para sistemas UTLembre-se de que na Seção 1.6.4 falamos que um

sistema ~ estávtl se toda entrada limitada produz uma saí­da limitada. Para determinar as condições sob as quais ossistemas UI são estáveis, considere uma entrada x[n] queé limitada em módulo:

Ponamo. a estabilidade de um sis(~ UI de tempo dis­aeto é completamente equivaleme à Equação 2.86.

No (tmpo conÓlluo, obtemos uma caracterizaçãoanáloga da estabilidade em termos da resposta ao impu!·se de um sistema LIT. Esped.ficam.erue, se lx(t)1 < B paratodo t, então, em analogia com as equações 2.83 a 2.85,

segue-se que

iY(l~ ~ II:h(r)x(l- r1d1

:5 L:lh(r~lx(l- r~dr

:5 BI:Jh(r~dr.

Logo, o sist~ é estável se a resposta ao impulso é abso­lutammlt inttgrávd, isto é, se

,•

1

e em tmlpo continuo,

D

Exemplo 2.13Considere um sistema que apenas desloca a entrada

no tempo - em tempo conúouo ou em tempo discreto. En­tão. em tempo discreto,

Assim como no tempo discreto, se a Equação 2.87 não~ satisfeita. há entradas limitadas que produzem saídasilimitadas; portanto, a estabilidade de um sistema I.n detempo conÚD.uo é equivaleme à Equação 2.87. O uso das

equações: 2.86 e 2.87 para testar a estabilidade ~ ilustrado

nos pr6ximos dois exemplos.

>,

(2.87)

-ly[nll:5 2: Ih(kjlx[n- kj. (2.84)p.-=

De acordo com a Equação 2.82, ~[n - k]1 < B para todosos valores de k e n. Juntamente com a Equação 2.84, essefato implica

Ixtnil < B para todo n. (2.82)

Suponha que essa entrada seja usada para um sistemaLIT com resposta ao impulso unitário h[n). Assim, usan­do a soma de convolução, obtemos uma expressão parao módulo da saída:

I>1nj=~ h[kl>1n-k~. (2.83)

Como o módulo da soma de um. conjunto de números nãoé maior que a soma dos módulos dos números,. segue-se, daEquação 2.83, que

A panir da Equação 2.85, podemos conduir que sea resposta ao impulso é abwlut4mrntt somáwl. isto é, se

então y(n] ~ limitado em módulo e, por isso. o sist~

é estável. Portanto. a Equação 2.86 é uma condiçio su­fidente para garantir a estabilidade de um sistema LITde tempo discrelO. Na verdade, essa condição tambémé uma condição necessária, pois, como mostrado noProblema 2.49, se a Equação 2.86 não for satisfeita, háentradas limitadas que resultam em saídas não limitadas.

!J

conduímos, assim, que os dois sistemas são estávds. Issonão deve sc=r uma novidade, pois, se um sinal é limitado emmódulo. então o será qualquer versão desk>cada no ttmpodaquele sinal.

Agora coosidere o arumuJador desaito DO Exemplo 2.12.Como discutimos na 5eção 1.6.4. este r um !iÍStem.a instávdpois. se aplicarmos uma Oluada constante a um acumula­dor. a saída aWDt=nta sem limite. 'l'amb&J. podWlOS ver queesst sistema é instávd a partir do fato de que sua resposta aoimpulso uln} não é absolutamente somável:

= =2: Iu(nj~ Lu(nJ=="- -

(2.86)

(2.85)-ly(nj:5 B 2: Ih(kj para todo n.---

Sistemas lineares invariantes no tempo 69

e

hlnl = s(nJ - 3[n -I). (2.92)

(2.93)

(2.94)

Ou seja, a resposta ao degrau de um sistema LIT de tfffiPOdiscreto ~ a soma cumulativa de sua resposta ao impulso(Equação 2.91). Inversamente, a resposta ao impulso dewn sistema ur de tempo discreto ~ a diferença de pri.meira ordem de sua resposta ao degrau (Equação 2.92).

De maneira similar, em tempo contínuo, a respostaao degrau de um sistema ur com resposta ao impulsoh(l) 1 dada por ,(~ = .(~ • h(I), que !llmbém 1 igual àresposta de um integrador [com resposta ao impulso u(t)Jà entrada h{t). Ou seja, a resposta ao degrau unitário dewn sistema LIT de tempo contínuo ~ a integral de suaresposta ao impulso, ou

Em todo o livro, usaumos n duas nouções indiadas na Equ~2.94 para I105 referirmos is primmas d~<W. Uuu nChÇioanüos" sai USlIdoI~ dcriVoldu moIls elevada$.

e a panir da Equação 2.93, a resposta ao impulso unitárioé a primeira derivada da resposta ao degrau unitário, I ou

h(1) = ds(1) = "(I).dI

2.4 Sistemas L1T causais descritospor equações diferenciais e dediferenças

Uma classe extremamente importante de sllitemasde tempo contínuo ~ aquela em que a entrada e a saí·da são reladonadas por meio de uma equação difmndallimar com totfidtntrs constantes. Essas equações aparecemna desaição de uma grande variedade de sistemas e defenômenos físicos. Por exemplo, conforme iluslIamos DOCapítulo 1. a resposta do circuito RC na Figura 1.1 e omovimento de um veículo sujeito a entradas de acelera­ção e forças de atrito, como representado na Figura 1.2,podem ser descritos por meio de uma equação diferenciallinear com coefidemes constantes. Equações difercndaissemelhantes surgem na descrição de sistemas mecânicoscontendo forças restauradoras e amonet'ed.oras. em dn~­

tica das reaÇÕC$ quúnicas e cm muitos outros contextos.

PortantO, tanto em tempo contínuo como em tempodiscreto, a resposta ao degrau unitário também pode serusada para caracterizar um sistema LIT, já que podemoscalcular a resposta ao impulso unitário a partir dela. NoProblema 2.45, expressões análogas à soma de convolu­ção e à integral de convolução são obtidas para as repre­sentações de um sistema LIT em termos da sua respostaao degrau unitário.

(2.90)y(l) = J:" x(r)dr.

J':I*~dr= r dr ==Como a rtSpOSla ao impulso não ~ absolutamente integrávelo sistt:ma não é t$távcl. •

2.3J Aresposta ao degrau unitário de um sistema UT

At~ agora, vimos que a rtpresentação de um siste­ma LIT, em função da sua resp&.>ta ao impulso unitário,nos permite obter caracterizações bem explídtas das pro­priedades do sistema. Espeàficamente, como h[nJ ou h(t)determinam completamente o componamento de umsistema m, fomos capazes de reladonar as propriedadesdo sistema, como estabilidade e causalidade, às proprie­dades da resposta ao impulso.

Há outro sinal também usado com bastante frequên·da na descrição do componamento dos sistemas UT: a res­posta ao drgrau unitário, s[n} ou s(r), correspondendo à saídaquandox[n] = u{n) ou x(t) = u(t). Será útiL em cenas oca­siões, fazermos referênda à ~osta ao degrau, por isso éimponante relacioná-Ia à resposta ao impulso. Tendo comobase a representação por soma de convolução, a resposta aodegrau de um sistema LIT de tempo discreto é a convolu­ção do degrau unitário com a resposta ao impulso, ou seja,

s(n] = u[nJ • h[n].

No entanto, pela propriedade comUlativa da convolução,Si"} = h[nj· u[n] e, ponanto, s{n] pode ser visto como aresposta à entrada h[n] do sistema LIT de tempo discretocom resposta ao impulso unitário u[n]. Como vimos noExemplo 2.12, u[n] é a resposta ao impulso unitário doacumulador. Logo,

•srn] = I: h{k~ (2.91)--Tendo como bast: essa equação e o Exemplo 2.12, fica

claro que h[nJ pode su recuperado a partir de s[nJ usan­do a relação

De modo semelhante, considere o integrador, o cor­respondente de tempo contínuo do acumulador:

Este é um sistema instávtl exatamente pela mesma razãodada para o arumu1ador, isto ~, uma entrada constante gerauma saída que acscr sem limite. A ttSp05ta ao impulso parao integrador pode ~r rncontrada ao se supor que x(t) = 5(1),e, nesse caso,

1

70 Sinais e sistemas

Correspondentemente. uma classe imponante de sis­temas de lempo discreto éaquela em que a entrada e a saí­da são reladonadas por uma tquof'fu dt difmnças lintarcomcotfititntts amstantls. Essas equaçOO são usadas para des­cr~r o comportamwto sequenda1 de muitos processosdiferentes. Por exemplo. no Exemplo 1.10. vimos como asequações de difermças aparecem na descrição do aaímu­10 de capital em uma. conta bancária. e. no Exemplo 1.11.vimos como elas podem ser usadas para descrever~simulação digital de um sistema de tempo contínuo des·oito por uma equação diferendal. Equa~ de düerençasrambón surgem com bastante (requ~nda na espedficaçãode sistemas de tempo discreto feitos para realizar opaa­~ espeáficas no sinal de entrada. Por exemplo. o siste­ma que calcula a diferença entre valores de entrada su­cessivos. como na Equação 1.99. e o sistema descrito pelaEquação 1.104. que calcula o valor m~dio da entrada sobreum intervalo. são descritos por equações de diferenças.

Em lodo o livro. haverá muitas ocasiões em queconsideraremos e examinaremos sistemas descritos porequações diferendais e equações de düerenças lin~com coefidentes constantes. Nesta seç1o. examinamosprimeiro esses sistemas para apresentarmos algumasideias básicas envolvidas na solução de equações dife·renciais e de diferenças e para expormos e explorarmosalgumas propriedades dos sistemas descritos por essasequações. Nos capitulos seguintes. desenvolvemos ferra·mentas adiooDais para a a.ná.lise dos sinais e sistemas queajudarão bastante na nossa habilidade em analisar siste­mas descritos por equações desse tipo. bem como na nos·sa compreensão de seu comportamento e características.

2.4.1 Equações diferenciais lineares comcoeficientes constantes

Para introduzir algumas ideias imponantes relado­nadas aos sistemas esped.ficados por equações difertn­dais lineares com coeficientes constantes, considere umaequação diferendai de primeira ordem. como na Equa·ção 1.85. ou seja.

dy(l) +2y(l) = X(I). (2••5)dI

sendo que y(t) r: a saída do sistema e x(t) r: a entrada. Porexemplo. comparando a Equação 2.95 à Equação dife·rendai 1.84 para a velocidade de um veículo sujeito aforças de atrito e aplicadas. vemos que a Equação 2.95corresponderia exatamente a esse sistema se y(t) fosseidentificado com a velocidade do veíru10 v(1). se x(t) fosse aforça aplicada fil) e se os parâmetros na Equação 1.84 fos·sem normalizados em unidades tal que 111m = 2 e 11m = I.

Um aspecto muito imponante sobre as equaÇÓ(:s di­ferenciais como a Equação 2.95 é que elas fornecem umaespedficação implícilQ do sistema. Ou seja. elas descrevema relação entre a entrada e a saída. em vez de uma ex·pressão explídta para a saída do sistema como uma funçãoda entrada. Para obtermos a expressão explídra. de~osresolver a equação diferendaL Para enronuar uma solu­ção. precisamos de mais infonn.aÇ(ks. além da fornecidasomente pela equação diferendal. Por exemplo. para de·terminar a velocidade de um automóvel no fim de umintervalo de dez segundos. quando ele foi submetido auma aceleraçio constante de 1 m/~ por dez segundos.também prerisamos saber com que velocidade o veírulose movia no início do intervalo. Oe modo semelhante. sesabemos que uma fonte de tensão constante de I volt éaplicada ao drcuito RC na Figura 1.1 por dez ~dos,não podemos detenninar qual r: a tensão do capacitor nofinal daquele intervalo sem saber também qual é a tensâoinidaJ do capacitar.

De forma mais geral para resolver uma equaçãodiferendal. devemos espedficar uma ou mais condi­ções auxiliares; depois disso. em prinápio. podemos ob­ter uma expressão explídL1 para a saída em termos daentrada. Em outras palavras. uma equaçâo diferencialcomo a Equaçio 2.95 descreve uma resnição entre a en­trada e a saída de um sistema. mas para descrever o siste·ma completamenle. também precisamos ~d.ficar con­dições auxiliares. Escolhas diferentes para essas condiçõesauxiliares. ponanto, levam a diferentes relações enne aentrada e a saída_ De modo geral. este livro se concentrano uso das equações diferenciais para descrever sistemasLIT causais. e. para tais sistemas, as condições auxiliaresassumem uma foona simples e particular. Para ilustrareste ponto e revelar algumas propriedades básicas dassoluções de equações diferenciais. vejamos a solução daEquação 2.95 para um sinal de entrada espcáfico x(l).l

Nossa discussio sobtt I $OIuçio dali equações difermdais linearescom codldmtes amstlnccs é~. pob partimo5 do prtndpio deque o lellar tem alguma familiaridade com esse tnatcrlal. Para revi.·são. recommdaJno:s alguns tCXCOS" sob~ a JOluçio de equaç6cs difc­rend.m ordinárias. como f:>rdiMry Dif/trmliaJE4uatiDns. ). ed.. de BI·RKHOFP, G.; e ROTA. G. C.(Nova YorIcJohn Wücyand Soas. 1978).

ou ElmtmtIvy~ EJ,1Ultiam. ). ed.. de BOYCE. W. E.; DI·PRIMA. a. c. (Nova Yort:.John 'MJcy md Som. 1977). 'tlImbi!mh:i uma pandc d.ivmldade de talOS qUI: di5cutcmcq~ dik­I'CDCilIs no (OIlteXtO da Ieoria dos circuitos. Vc:c. por exemplo. ikJticC1mlil ThrlPry. de CHUA. L O.; DESCER. C. A.; KUH. E. S. (NOftYofk: Md:iraw-HilI Book Comp;my. 1987). Conforme menciona·do no fextO••prcscnumos llO5 Clpáulos seguintes OUO'OS métodosbastante úteis par1I resolver equaçOes difcrcnd.als lirtc~ que $C­

rão sufldcmcs Jl;IIlI nossos prop6:l:IfDS. Além disso. virios excrádosenvolvendo ;I soluçJo de equaçOes dUerenci.l.is são Induídos flCIS

~ no fun do ap[ruIo.

,,J,•;•i

,í,·

Ii

I

•

i1

Cancelando o fator rl' nos dois membros da Equação 2.100,obtemos

Y,lt) = Ye', (2.99)

sendo Yum número que devemos determinar. Substituindoas tquaÇÕtS 2.96 e 2.99 na Equação 2.95 para t> O. temos

Y(I) ~ y,(t) +Y.II), (2.97)

sendo que a solução particular satisfaz a Equação 2.95 eY.(l)é uma solução da equação diferenda! bomogênea

sendo K um número real.A solução completa para a Equação 2.96 consiste na

soma de uma ~ofu,ão particular. Y,(t), e uma solução homogê­nea. Y_Iil.lsto e,

KA=--.5

uu

Como notado anteriormente, a Equação dilerenda1 2.95não esped.fica. por si. SÓ, unicammte a resposta y(t) à entra­da x(t} na Equação 2.96. Particularmente, a constante Ana Equação 2.106 ainda não foi determinada. Para que ovalor de A seja determinado, precisamos espedficar umacondição auxiliar além da Equação dilerendaI2.95. Comoexplorado no Problema 2.34, escolhas diferentes para acondição auxiliar levam a diferentes soluções y(t} e, con­sequentemente. a relações diferentes entre a enuada e asaída. Conforme indicamos, em quase todo o livro, vamosnos concentrar nas equações difertnciais e de diferençasusadas para descrever sistemas UI causais e, nesse caso, ascondições auxiliares tomam a fOIl1la da condição inicial derepouso. Ou seja, conforme é momado no Problema 1.44,para um sistema UT causal. se x(t) = Opara t < 'O' enlãoy(1} deve ser igual a Opara ,< t•. Da Equação 2.96, v~05que. para nosso exemplo, x(t) = Opara r < Oe, ponanto,a condição de repouso inicial si.&Di6ca que y(t) = Óparat < O. Calculando a Equação 2.106 on 1= Oe mnsiderandoy(O) = 0, temos

Logo, para t > O,

Sistemas lineares irrvariantes no tampo 71

y(1)= ~[t)< _e-21 j, (1.107)

ao passo que para t < O, y(1) = Opor causa da condição dertpouso inidal. Combinando esses dois casos, temos a solu­ção completa

KO=A+-,

5

(2.98)

(2,96)

(2.\01)

(2.100)

3Y+2Y=K,

x(l) ~ K" ulll,

dy(t) +2y(l) = O.di

3Y~+2Yê'=Kr'.

Um método usual para encontrar a solução particularpara um sinal exponencial de entrada como o da Equação2.96 é procurar pela chamada rtspostaforÇ'lda - isto é. umsinal com a IDe5ma forma que a entrada. Com referênciaii Equação 2.95, como xlI) = Kt)J para t> O. admitimos ahipótese de uma solução para r > Oda (orma

•ExempioZ.14

Considttt a solução da Equação 2.95 quando o sinald~ enuada é

it

I

ou

de modo que

KY=S' (2.102)

(2.108)

•Y,(t) = K t ", t>O. (1.103)

5

Para determinar y.(t). supomos uma solução da forma

A panir dessa equação, percebtmos que devemos tomars = -2 e que Acll é uma solução para a Equação 2.98 paraqualquu escolha de A. Fazendo uso desse lato e da Equação2.1 03 na Equação 2.97, obtém-se queasoluçãoda equação di­ferenda! para r > Oé

Y.(I) ~ Al'.

Substiruindo-a na Equação 2.98, chegamos a

As<' + lA" = U(, +2) = O.

(2.104)

(2.105)

(2.106)

o Exemplo 2.14 duada diversos pontos importan­

tes que dizem respeito às equações diferenciais linearescom coeficientes constantes e aos sistemas que elas re·presentam. Primeiro, a~ta a uma entrada.r(t) geral·mrnte consistirá da soma de uma solução particular paraa equação diferendai e uma solução homogêoa - istoé, uma solução da equação diferendai com entrada nula.A solução homogénea costuma ser chamada de rnpostanatural do sistema. As respostas narurais de drcuitos dê­tricos e sistemas mecànicos simples são exploradas nosproblemas 2.61 e 2.62.

No Exemplo 2.14, também vimos que, para dettrmi­nar completamente a tdação entre a entrada e a salda deum sistema desaito por uma equação difermdal como a

1

(2.111)

(2.110)

72 Sinais e sistemas

Equação 2.95. devemos espedficar condições auxiliares.Uma implicação deste fato. ilustrada no Problema 2.34.é que diferentes escolhas das condições auxiliares levama diferentes relações entre a entrada e a saída. Comoilustramos no exemplo. empregaremos amplamente acondição de repouso inidaI para sistemas descritos porequações diferenctais. No enmplo. como a entrada eraO para t < O. a condição de repouso inicial implicou acondição inicial ~O) = O. Como disstmos. e conforme.éilustrado no Problema 2.33. sob a condição de repousoinicial o sistema dtsaito pela Equação 2.95 é LIT e cau­sal.J Por exrmplo. ~multiplicamos a entrada na Equação2.96 por 2. a saída resu!taDle st'ria duas vezes a saída naEquação 2.108.

'é importante ressa1lar que a condição de repousoinirial não especifica uma condição de zao inirial em umponto fixo no tempo. mas ajusta~ ponto no tempo demodo que a resposta seja zero ati qu.t a entrada se tomediferente de zero. Ponanto, se x(t) = Opara t :S to para osistema LIT causal descrito pela Equação 2.95. entãoy(t) =Opara t:S Ir e usaríamos a condição inidaly(to) =Opara obter a saída para I> lo. Como exemplo físico. con­sidere novamente o circuito na Figura 1.1, discutidotambém no Exemplo 1.8. O repouso inicial para esseexemplo corresponde ao prinápio de que, até conectar­mos uma fonte de tensão diferente de zero ao circuito, atensão do capadtor é zero. Logo. se começarmos a usaro drcuito hoje ao meio-dia. a tensão inicial do capao­tor quando conectamos a fonte de tensão ao meio-diaé zero. De maneira semelhante. se começarmos a usar ocircuito ao meio-dia de amanhã. a tensão inicial do capa­citar no momento em que conectarmos a fonte de tensãoao meio-dia de amanhã é nula.

Esse exemplo também nos ajuda a entender por quea condição de repouso inicial toma um sistema descrito poruma equação diferenriallinear com coeficientes constan­tes invariante no tempo. Por exemplo. se execulamos wnexperimeDlo em um drcuito, começando a partir do re­pouso inicial e depois assumindo que os coeficientes R e Cnão mudam ao longo do tempo. esperaIÍarIlOS chegar aosmesmos resultados se fizéssemos o experimemo hoje ouamanhã. Ou seja,. se executarmos experimentos idênticosnos dois dia.s. em que um drcuito começa em seu repouso

Na ~rda<k. como também I. mostrado no Prob~ 2.l4, se aoondiçio ink:ia1 pua I Equaçlo 2.951. diftItntt de zero. O~e­Da resu111.nt( I. linear por Ulaemento. Ou sei.. I resposta gttaIpode SoU visa. dt!o modo semdhantt i FifUnl 1.43. mmo ii su­pcrpo5il;io di rapcma is CXlDdlçOe:s iniciab isolacks (com .. en­trada sendo O) ( ii resposla i cnlndl com COGdiçio iDiciil O. Istoé, ii resposta do sisltDa UT aLUaI descrito pd.a Equaçio 2.95.

inicial ao meio-dia todos os d.i3.5. então esperaríamos terrespostas identicas - isto é. respostas que são simplesmen­te deslocadas 00 tempo por um dia em relaçâo ao outro.

Apesar de termos usado a Equação diferencialde primeira ordem 2.95 como veículo para a discus­são dessas questões. as mesmas ideias se estendem demodo direto para os sistemas descritos por equaçõesdiferenciais de ordem mais elevada. Uma equação dife­rencial linear com coeficientes constantes de H-ésmordem geral é dada por

..ç... d'y(t) = {--b d' x(t) (2.109)LJalt. •.It. LJ It. t't-o ar t-o dt

A ordem refere-se à derivada mais alta da saída y{l) queaparece na equação. No caso de N = O, a Equação 2.109é reduzida para

y(tl=..!..tblt. dtxy)...... d1

Nesse caso, y(t) é uma função explícita da entrada x(l) esuas derivadas. Para N ~ I. a Equação 2.109 descrtve asaída implicitamente em. termos da entrada. Nesse caso,

a análise da equação procede da mesma forma que emnossa discussão acerca da equação difereodai de primeiraordem no Exemplo 2.14. A solução y(l) consiste em duaspartes - uma solução panicular para a Equação 2.109mais uma solução para a equação diferencial homogênea

A d'y(t)_oLat It. - •1<-0 dt

Referimo-nos às soluçôes dessa equação como respostflSnaturais do sistema.

Assim como no caso de primeira ordem. a Equaçãodiferencial 2.109 não define completamente a saída emtennos da entrada, eprecisamos identificarcondiçâes auxi­liares para determinar completamente a relação entrada­-saída do sisU~ma. Mais uma Vet. escolhas diferentes paraessas condições auxiliares resultam. em diferentes rela­ções entrada-saída.. mas. na maioria dos casos, neste livrousaremos a condição de repouso inicial quando lidarmoscom sistemas descritos por equações diferenciais. Ou seja,se x(l) = Opara t:S too supomos que y(t) = Opara t"::; lo e.p<Jnanto. a resposta para t > 'o pode ser calculada a partir

da Equação diferencial 2.109 com as condições inidais

dy(to) dN-1y(toly(ta)=--=···= N I =0. (2.112)

dt dt -

Sob a condição de repouso inicial o sistema descrito pelaEquação 2_109 é LIT e: causal. Dadas 3.5 condições iniciais

..'

j

Sistemas lineares invariantes no tempo 73

2.4.2 Equações de diferenças lineares comcoeficientes constantes

A correspondente de tempo discreto da Equação2.109 é a equação de diferenças linear com coelidentesconstantes de N-ésima ordem

Uma equação desse tipo pode ser resolvida de maDeira

exatamente análoga à empregada para as equações di·ferendais. (Ver Problema 2.32.)4 Espedficamente. a so­lução y[nj pode ser csaita como a soma de wna soluçãopartirular da Equação 2.113 e uma solução da equaçãohomogénea

(2.117)

(2.11»

caso contráriolbo

h{n]= ao'

O.

Ou seja. a Equação 2,1l6 nada é além de uma soma deconvolução. Note-se que a resposta ao impulso para elatem duração finita. isto é. é diferente d~ lUO somentedurante um intervalo de lempo de duração finlta. Porcausa dessa propriedade. o sistema esped.ficado pda Equa·ção 2,116 cosrwna ser chamado de Mtma cmn rt:SpC1SCtJ tJO

impulsa de duraçãa jiniúI (FIR - Finitllmp.JsL Raponst).

Embora não sejam necessárias condições auxiliarespara o caso N = O, tais condições são necessárias para ocaso recursivo ~m que N ~ I. Para ilustrar a solução dessetipo de equação e para compreender um pouco mais o

y(nl~ ~[~lx[n-k~ (2.116)

Esse é o correspondent~ em tempo discreto do sistemad~ t~mpo contínuo dado na Equação 2.110. Aqui, y[n] éuma função explídla dos valores presentes e prévios daentrada. Por essa razâo, a Equaçâo 2.116 costuma ser de·nominada tquafÕD "ãD rtCllrsiva, pois não usamos recur·sivamente valores da saída calculados previam~nte paracalcular o valor presente da saída. Penamo, assim como nocaso do sistema dado na Equação 2,110, nio precisamosde condições auxiliares para detenninar y[n}. Além disso, aEquação 2.116 define um sistema m, ~ por cálrulo direto,obtém-se qu~ a resposta ao impulso desse sistema é

Embora todas ~ssas propriedad~s possam. ser d~·

senvolvidas seguindo uma abordagem que comspondedir~tamenteà nossa discussão das equações diler~nàais,

o caso d~ tempo discr~to oferece um caminho alterna·tivo. Esse caminho origina·se da observação d~ .qu~ aEquação 2.11} pode ser reestruturada na forma

1 [. N Iy(n] ~ - Lb,xln-kJ-LQ.y(n-kJ .ao ""'" .....

A Equação 2.115 ~xpressa de maneira direta a saída notempo" em termos dos valores prévios da entrada e dasaída. A partir ~la, percebemos imediatamente a necessi·dade de condições auxiliares. Para calcularmos y[n}, pred·sarnos conhecer y[n -1],..., y[n - N). Portanto, se tmIOS aentrada para todo ne um conjUDto de condições auxiliarescomo y[ - N),y[ - N+ IJ, ...,y[ - I], a Equação 2.115 podeser resolvida para valores sucessivos de y[nJ.

Uma equação na forma da Equação 2.1H ou daEquação 2,115 é chamada de tqut1fão rtamiva, pois elaespecifica um procedimento recu.rsivo para d~taminar'

mos a saída ~m I~nnos da entrada e de saídas prévias,No caso espeófico de N = O, a Equação 1.115 redU2'se a

(2.114)

(2.llJ)

N

LQ.y(n-kJ=O..~

Pua uma abordagem detalhada dos métodos de rooluçJo deequações de diferenças lineares com coeficienteS constantes. verFi1tiu Di/fuma EqJUltUnrJ. de LEVY. II.; LESSMAN. F. (Nova yon.:Mannillan mc., 1961), ou PitD2 Di/ftrm« EqtIations lUIiIS~(Englewood Clilli; PreDIic:e·HaIl. 1968). de HILDEBRAND. F.B. No CapírulD 6...prt:Stmamos OlllrO mtwdo pM;I reso!v« astoqUaÇÓC'S de diferenças, oqual Úldliu. baswlIe 01 máli5e dos sisle·mas linc.treS innr1anttf no tempo que ~o descritos dtsM rOnI101.

Além disso. indlcamos la leitor os problemas que lidam com Isolução de eqll4lÇÕC$ de diferenças, no 11m deste capítulo.

As soluções dessa equação homogênea são frequent~·

ment~ chamadas d~ respostas naturais do sistema descri·to ptla Equação 2.11}.

Assim como em I~mpo contínuo, a Equação 2.113

não descreve completamente a saída em termos da en­trada. Para isso, devemos especificar algumas condiçõesauxiliares. Como há muitas escolhas possív~is para ascondições inidais qu~ I~vam a dif~reDles relações entrada·-saída. vamos nos conc~ntrar praticam~nte apenas na con·dição de repouso inicial- isto é, se xIn) = Opara " < "rentão yfnJ = Opara ti <"o também. Com o repouso inirialo sistema descrito pela Equação 2.II} é ur e causal.

na Equação 2.112. a saída y(r) pode. em prinápio, srrdrterminada pela solução da equação diferendal da ma­neira usada no Exemplo 2.14 e ilustrada em. diversos pro­blemas DO final do capítulo. No entanto, nos capítulos 4e 9 desenvolvertm05 algumas ferramentas para a análisedos sist~ UT de tempo contínuo que fatilitam signi­ficativamente a solução das equações diferendais e. empartirular. Comecem mélOdos poderosos para a análisee caracr.eriz.ação das propriedades dos siste~ descritospor essas equações.

·I

j

f74 Sinais e sistemas

A Equação 2.118 tambtm pode' ser expressa na forma

comportamento e as propri~des das equações de dife­renças recursivas, vamos e'xaminar um exemplo simples:

destacando o fato ck que precisamos do valor privio da saída.y[n- II. para calcular o valor corrmte. Ponanto, pala rome·çar a recuISão, precisamos de uma condição inidal.

Por aemplo, vamos impor a condição de I'q)OUSO ini·ciaI e considerar a enrrada

Nesse caso. como xln] = Opara n :s: -I, a condição de re­pouso inicial indica que y[n] = Opara n :s: -I. e temos comocondição inicial y[-l] = O. Começando com essa condiçãoinicial podemos encontrar valores ruassivos de y[n] paran ~ Oconfonne se: SC':gUe:

,

I1

(2.126)yln] + 'J'ln -1] ~ bx[nJ.

Conforme indicamos. na maior pane do livro usa­remos as equações de diferenças reorr.sivas no contextode descrição e~ dos sistemas lineares, invariaDtes

no tempo e causais; como coosequmda, a:.ssumittmos acondição de repouso inida! quase sempre. Nos capítulos5 e lO, desenvolveremos ferramentas para a análise desistemas de tempo discreto que nos fomecerão métooosbastante úteis e efidentes para resolver equações de dife­renças lineares com coefidentes constantes e para anali­sar as propriedades dos sistemas que elas descrevem

2.4.3 Representações em diagrama de blocos desistemas de primeira ordem descritos porequações diferenciais e de diferenças

Uma propriedade imponante dos sistemas descritospor equações diferendais e de diferenças lineares com co­efidentes constantes r. que eles podem ser representadasde maneiras bem simples e naturais em termos de in­terconexões das operações elementares em diagramas deblocos. Isso é significativo por uma série de razões. Umadelas é que esse fato fornece uma representação gráficacapaz de ajudar na nossa compreensão do comportamen­to e das propriedades dess~ sistemas. Além disso. essasrepr~ntações podem ter valor considerável para a si­mulação ou implementação dos sistemas. Por exemplo,a representação em diagrama de blocos que apr~nta­

remos Desta seçâo para os sistemas em tempo contínuoé a base das primeiras simulações em computadores ana­lógicos dos sistemas descritos por equações diferendaise também pode ser direlamente transformada em umprograma para a simulação de um sistema desse tipo emum computador digital. Além do mais, a representaçãocorrespondente para as equações -de diferenças de tem­po discreto sugere formas simples e eficazes nas quais ossistemas descritos pelas equações podem ser implementa­dos em hardwtJn digital. Nesta ~o, ilustramos as ideiasbásicas por tr.ís drnas rC'presmtaçOO em diagramas deblocos construindo·as para os sistemas causais de primei­

ra ordem introduzidos nos exemplos l.8 a 1.11. Nos pro­blemas 2.57 a 2.60 e DOS capírulos 9 e la. consideramosos diagramas de blocos para sistemas descritos por outrasequações dilerendais e de diferenças mais complexas.

Começamos com o caso de tempo discreto e, emparticular. com o sistema causal definido pela equação dediferenças de primeira ordem

Para criar uma representação em diagrama de blocos des­se sistema. note Que o ákulo da Equação 2.126 requer

(2.118)

(2.119)

(2.125)

•

(2.121)

(2.120)

(2.121)

(2.122)

x[n) =: K6[n].

h(nJ=[H uln]

1y{n) = x[nl+ - y{n-l).

2

1y(0) ~ x(0)+-y{-I) = K.

2

1 1y(1) = x(1)+-y{0) = -K.

2 2

1 [1]'Y(2)=x[2J+,J'lI)=, K.

y{nJ=x[n)+~y[n-l]=[HK. (2.124)

Comoo sistema espedficado pela Equação 2.118 ea condiçãode repouso inicial é LIT, seu componamento entrada-saídaé totalmente caraaerizado por sua ~posta ao impulso. Es­tabelecendo K = I. vemos que a resposta ao impulso para osistema considerado neste exemplo r.

Note que o sistema ur causal no Exemplo 2.15 temresposta ao impulso de duração infinita. De fato. se N~ 1 naEquação 2.113, de modo que a equação de diferenças sejarccurnva. então, usualmeme, o sistema ln' correspondentea essa equaçio, juntamente com a condição de repouso ini­Cal tem uma~ ao impulso de duração infinita. Taissistemas comumente são chamados de Jistmw amI rtSpOSIJ1. Q/J

impulm '" dur"lÔD infinita (llR-lnfini'" Impulse Respoos<).

•Exemplo 2.15

Considere' a e'quação de' difC'fe'nça

1y[n] --y{n-l) = x[n].

2

Sistemas lineares invariantes rtlt~ 75

três operações básicas: adição, multiplicação por um. cotofidente e atraso (relação entre y[n] e y[n - 1]). Portanto,vamos definir três elementos básicos do diagrama, comoindicado na Figura 2.27. A fim de entendermos como es·ses elementos básicos podem ser usados para representaro sistema causal definido pela Equação 2.126, reescreve­mos a equação na forma que sugere imediatamente umalgorttmo recursivo para computar valores sucessivos dasaída y[nJ:

b~oll";'-+{+)---...,..._.. nol

o

-.'--+.---' no-I)

Figura 2.2B Representação em diagrama de blocos para o sistemacausal de tempo discreto descrito pela Equação 2.126.

Esse algorinno é representado graficamente na Figura2.28. que é um exemplo de sistema com realimentação,posto que a saída é realimentada por um atraso e umamultiplicação por um coefidente e. depois, é adidonada abx[n]. A presença da realimentação é uma consequEndadirtta da natureza rerorsiva da Equação 2.127.

O diagrama de blocos na Figura 2.28 deixa clara an«essidade de memória nesse sistema e a consequen­te exigênda de condições inidais. Especificamente, umatraso corresponde a um elemento de memória, pois oelemento deve armazenar o valor prévio de sua enua­da. Penanto, o valor inida1 desse elemento de memóriaserve como condição inidal net'eSSária para o cálculo re­cursivo representado graficamente na Figura 2.28 e ma­tematicamente na Equação 2.127. Se o sistema descrito

.pela Equação 2.126 está inidalmente em repouso, o valorinidal armazenado no elemento de memória é zero.

Considere em seguida o sistema causal de tempocontínuo descrito por uma equação diferen<ial de pri­meira ordem:

Como primeira tentativa de definir uma representaçãoem diagrama de blocos para esse sistema, vamos nescre­ve·la da seguinte maneira:

O membro direito dessa equação envolve três opera­~ básicas: adição, multiplicação por um coeficiente ediferenciação. Ponanto, se definimos os três elementosbásicos do diagrama indicados na Figura- 2.29, podemosrepresentar a Equação 2.129 como uma interconexãodesses elementos básicos de modo análogo ao usado para

(2.129)

(2.128)d~t) +ay(t) ~ bx(t).

I dy(t) by(t)~---+-x(t).

a dr a

(2.127)y(n] ~ -<lJ'(n - I] +b*].

(b)

(a)

(a)><,(lI

"~ --~.~éf-~'" Xl(t) +~

(b)

•~ol ---_.~.--- "'01

•x(tl---.....---~~

J

(e)

401 --'''GI--~'''X[n-l1

Aguo W EJemernos basicos para a representação em dialJamade blocos do sistema causal desoito pela Equação 2.126: tal 001 $0­

rnador; lbl multiplicação por um coeficiente; lei 001 aua$O unitário.

(e)

Agura 2.29 Um possível l)1J1lO de elementos básicos para a re­~ntação em diagrama de blocus do sistema de tempo mntflllXldescrito pela EQuação 2.128: tal um $Ornador; lb) mult~tr:ação j:U umcoeficiente; {el 001 diferenciador.

76 Sinais e sistemas

e depois integrando de __ até t. Especificamente. se as­sumimos que no sistema descrito pela Equação 2.130 ovalor deY(-1 é nulo. então a integral de dy(l)ldt a partirde __ até t é precisamente y(l). Como ronsequênda,. che·gamos à equação

o sistema de tempo discreto representado anteriormente.resultando no diagrama de blocos da Figura 2.30.

Embora a Figura 2.30 St'ja uma repreSt'ntação vá­lida do sistema causal descrito pela Equação 2.128. elanão é a representação usada mais frequentemente oua que leva diretamente a implementações práticas. poisos diferenciadores são difíceis de implementar e extre­mamente sensíveis a erros e ruído. Uma implementaçãoalternativa que é usada de modo muito mais amplo podeSt'r obtida primeiro reescrevendo-se a Equaçâo 2.128 daseguinte forma:

"

j,..i,\

J,

,

,.

direta em implementações analógicas. e. de fatO, essa é abase tanto dos primeiros romputadores analógicos comodos sistemas de computação analógicos modernos. Note­-se que, em tempo contínuo. éo integrador que represmtao ele.menlo de armau.namenlO de memória do sislema.lsso~ ser diretamente visualizado se determinarmos aintegral da Equação 2.130 a partir de um ponto finito notempo til' resultando na expressão

-,

Figara 2.32 Representação em diagrama de blocos do sistema dasequaçaes 2.128 e 2.131 us<!ndo somadores, multiplicações por coefi-cientes e integradores. --

'N b +l--+lJ }--,-.-

(2.130)dy(t) = bx(t) _ ay(t)dr

o

-1/a dy(t)dt

,j"

i,

::i,,,

i,,

,I

!"

)

i

2.5 Funções de singularidadeNesta stÇão. examinaremos a função impulso unitá·

rio de tempo contínuo para compreendermos um poucomais desse importante sinal idealizado e apresentannosum conjunlO de sinais relacionados conheddos coleti­vamente como funfÕtS d.t singularidmk. Na Seçâo 1.4.2sugerimos que um impulso unilário de tempo conIÍnuopoderia ser visto como a Idealização de um pulso que é·su1identernente curto· de modo que sua forma e du­ração não rêm consequência prática - isto é. no que serefere a qualquer sistema UT panicular, toda a área sobo pulso pode ser int~retada como se tivesse sido ins·tantaneamente aplicada. Nesta seção. dare:mos. primei·

y(t)~ y(t,) +J'lbX(T)-aY(T)!dT, (2.Bl),A Equação 2.132 deixa claro o fato de que .a esped.6caçãode y(1) requer uma condição inicial ou seja. o valor deY(lo)' é preâsamenle esse valor que o integrador anDaZe­

na no tempo to'

Apesar de termos ilustrado as construções dediagrama de blocos somente para as equações de di­ferença e diferendais mais simples de primeira ar·dem. esses diagramas de blocos também podem sercriados para sistemas de ordem mais alta. propor·donando tanto uma intuição enriquecedora comopossíveis implementações desses sistemas. Exem·pIos de diagramas de blocos para sistemas de ordemmais alta podem ser vistos nos problemas 2.58 e 2.60.

(2.131)y(t)~ r.Jbx(7)-aY(7)!dT,

figUtl 2.31 Representação em diagrama de blocos para o sistemanas eqJações 2..128 e 2.129 USélflOO sanadores. roottiplicações Pllfcoeficientes ediferenciadores.

'N ,rrlJL--l'_~._ ..... *>dT

bt,>«l) +}----r---;~

Ntssa forma. nosso sistema pode ser implementado rom ouso do somador e do multiplicador por coeficiente romoindicado na Figura 2.29. juntamente com um inkgrador.conforme definido na Figura 2.31. A Figura 2.32 é umarepresentação em diagrama de blocos para esse sistemausando esses três elementos.

Como os integradores podem ser implementadosimediatamente usando-se amplificadores operadonais,reprtS('ntaçôr$ romo a da Figura 2.32 resultam de forma

I

, Sistemas lineares invaiantes fIO tempo n

para qualquer sinal x(t). Ponamo, se supusermos quex{t) = 6(t), teremos

2.5.1 Oimpulso unitário como um pulso idealizadoDa propriedade seletiva. Equação 2.27. o impulso

unitário 6(t) é a resposta ao impulso do sisttma identida­de. Ou seja.

(2.137)dy(t) +20)'(1) ~ X(l).dI

Como pock ser visto na figura, precisamos de um. valor me­nor de.l1 nesse caso para que as respostas sejam indistinguí­veis umas das outras e da resposta ao Impulso h{tl =rDIl(t)par.t o sistema. Portanto, apesar de o que designamos por .l1sufidenlemente pequeno· ser diferente para esses dois sis­temas. podemos encontrar valores de 11 sufidcntementepequenos para ambos. O impulso unitário, então, é a idea­lização de um pulso curto cuja duração é sufidentementecurta para rodos os sistemas.

1

•

Nos capítulos" e 9, descrevemos rnandras multo mais slmptes dede:ltrminar .II rc:sposI.lI .110 lmpulso dos slslWW UI causais descri­tos pai"~ difermcWs lineares com coefidente:'S CO!lSUI11eS.

•

Figura 2.33 Sioal '41t! definido na Equação 2.135.

o 2A

•Exemplo 2.16

Considere o sistema 1JT descrito pela equação dife­rendal de primeira ordem

dy(1) +2y(t)~ X(l). (2.136)dr

junwnentt com a condiçio de repouso inicial A Figura 2.34(veja p. 78) retrata a resposta. desse sistema a ó4 (t), ra(l),ra(r)· óa(t) e r4 (t) '* T4 (t) para diversos valores de!:l. Para!:lsufidentem.cnte grande, as~ a esses sinais de entradadiferem percrptivtbnente. No entanto, para 11 Suficimlmlell­te pequeno. as respostas são tssenda1mente indistinguív~,

de modo que lodos os sinais de entrada ·se comportanJ· damesma maneira. Além do mais, como sugerido pela figura, aforma limite de todas as três respostas t prerisamente r l'Il(I).

Como o limite de cada um desses sinais quando 6 -+ Oéo impulso unitário, concluímos que rlfu(t) é a resposta aoimpulso para esse sistema.'

:é de extrema importância ressaltar que o que queremosdizer com .!:l suficientemente pequeno· depende do sistemaUI' particular para o qual os pulsos prettdenres são aplicados.Por exemplo, na Figura 2.35 (veja p. 79). ilustramos as respos­tas a esses pulsos para difemltes valores de b. para o sislemaUI causal descrito pela equação diferencial de primeira ordem

(2.135)

(2.B4)

(2.m)

6(1) = 6(1) • 6(1).

X(I) ~ X(I) • 6(1),

Assim, r",(t) r: como está mostrado na Figura 2.33. 5( qui­sermos interpretar 6(~ como o limite quando a -+ ode 6",(t),então, em vinude da Equação 2.134, o limite quando!::J. -+ Opara r~(tl deve ser um impulso unitário. De ma­neira semelhante, podemos afirmar que os 1imi~ quando!::J. -+ Ode r~(t) • r~(t) ou r~(t) '* 6~ (t) devem ser impulsosunitários, e assim por diante. Portanto, percebemos que,por coertnda, se definimos o impulso unitário como aforma limite de algum sinal. então há um número ilimi­tado de sinais que parecem diferentes, sendo que todos secomportam como um impulso no lintite.

As palavras-chave do parágrafo anterior sâo·comportam-se como um impulso·, e, como indicado,o que queremos dizer com isso r. que a resposta de umsistema LIT a todos esses sinais r. essendalmente idên­tica, já que o pulso é ·sufidentemenle curto·, isto r:,a é ·sufidentemente pequeno·. O exemplo a seguirilustra essa ideia:

A Equação 2.134 é uma propriedade básica do impulsounitário. e também tem uma implicação significativapara nossa imerpretação do impulso unitário como umpulso idealizado. Por exemplo. assim como na Seção1.4.2, vamos supor que 6(1) seja a forma limite de umpulso retangular. De modo mais espeáfico, seja 6",(t) opulso retangular definido na Figura L34, e suponha­mos que

ro, um exemplo concreto do que isso significa e, depois,usaremos a intupretação incorporada dentro do exemplopara mostrar que o segredo do uso de impulsos unitáriose outras funções de singularidade está na espedficação decomo os sistemas lIT respondem a esses sinais idealiza·dos. ou seja. os sinais são. em essênda, definidos em ter·mos do modo como se comportam em convolução comoutros sinais.

I

1

,,~

,I

...

78 Sinais e sistemas

,.)~.'.,.'..1

,,

o~oL---~:,~~õ::::;';;!'!'!!~2-Respostas a xtt) - r,,(t)

1 6.-0.0025

(b)

o0t-----~1.::~~~""'~2Respostas a xm - 5,,(t)

(a)

,••.'.1,.;••<,.~•I

:1,.,.1,,,tf

j,!J

(

.!I"

I!'I1

21Respostas a x{t) - r,,(I).r,,(t)

4=0,0025

O,,

(d)

O~

(e)1

1 2Respostas a K(t) - 5,,(t)"r,,(t)

O~0------+--=:::::::::::="2

O,,

(e)

Rgura 2.34 Interpretação de um mpulso unitário como idealização de um pulso cuja duração é ~suficientemente curta" de modo Que, 00 Quese refere à resposta de um sistema UT aesse pulso. opulso pode ser visto COl'lV) terJ:io sido aplicado instantaneamente: lal~ do sistemaUT causal descritas pela Equação 2.136 ti entrada 6,,(11 para t1 = 0.25. 0,1 e 0.0025: (bl~ O:l mesmo sistema a '6111 para os mesmosvalores de t1: (cl respostas a 6,,111- 'tlltl: (di respostas a '"lr,- ',,{tI; (el resposta ao inpulso hltl = e-l'u(t) para o sistema. Note que. parat1 = 0,25, há diferenças natáYeis entre as respo!tas aesses diferentes sinais: no entanto, confonne t1 se toma ml!l'lOl', as diferenças diminuem,o todas as respostas convergem para aresposta ao impulso mostrada em (el.

Sistemas lineares ioval'iantes no tempo 79

I1

i,i,,

(ai

(e)

00

-O,OCXl25

0,1Respostas a x(l) - &,,(t)

0,2

(b)

(d)

00 0,2

0,1Respostas a x(t) = 5..(I:)orjl(t)

(el1

00 0,1 0,2

Figur.2.3S Encontrar um valor de 6. que seja ·suficientemente pequeno· depende do sistema ln qual estamos aplican:lo as entJadas: tallespustas do sistema UT causal descritn pela Equação 2.137 ti entrada ó",ltl para li. _ 0,025, 0.01 e O,OOJ2S: (bl respostas a r",It1; lei respostasa 661tl* '4,ltl: ld) respostas a '41" • '6(tl: leI resposta ao impulso hltl = r"ultl para osistema.~ essas respostaS às da Fig,tra 2.34.pefmbemos que é preciso usar lITl valor menor de.o. nesse caso Mltes que a ooraçãel ea forma do pulso não temam conseqoêrcia.

2.5.2 Definindo o impulso unitário por meio daconvolução

Como ilustra o exemplo anterior. para um 6. sufi­cientemente pequeno, os sinais 6.6.(t), 'to(t), ,,,,(I). óll.(tj e'4(t)· '4(t) agem todos como impulsos quando apücadosa um sistema m. Na verdade. há muitos outrOS sinaispara os quais isso também é verdadeiro. O que esse fatosugere é que deveríamos pensar um impulso unitário

em termOS da foona romo um sistema ur responde a ele.Embora geralmente uma função ou sinal seja definido pelaquantidade que asswne em cada valor da variável inde­pendente. a importância básica do impulso unitário não éo quanto de vale em cada valor de t, mas o que ele faz naconvolução. Portanto, do ponto de vista da análise dos sisotemas Uneam, devemos alternativamente drfinir o impu.lsounitário como um sinal que, quando aplicado a um sistema

80 Sillais e sistemas

,",

,"".,.

,,

•".,

(2.142)

(2.140)

(2.143)

(2.144)

)'(1)= dx(ndt

JWIt) = flO)6(1).

~I) ~ x(t)" ",(I).

que é uma propriedade que deduzimos por meios alter·nativos na S~ão 1.4.2. (Ver Equação 1.76).

6(1) dada na Equação 2.138 será aquela à qual nos referi·ft:mos com mais frt:quênda. No t:Dtanto, a Equação 2.139é útil para determinarmos algumas das propriedades doimpulso unitário. Por exemplo. considt:re o sinal f{t)ó(t),

sendo quef(t) é outro sinal. Então, da Equação 2.139,

r:g{T)f(T)Ii(T)dT ~ g(O)[(O).

Comparando as t:quaÇÕt:S 2.140 e 2.141, notamos qut: osdois sinaisl1t)6(t) ef{O)ó(t).st: comportam de modo idênticoquando são multiplicados por qualquer sinaIg(t) e depoisintt:grados de _ a +-. Consequentementt:, usando essaforma da definição opcadonal dos sinais, conduimos que

A resposta ao impulso unitário desse sistt:ma é a derivadado impulso unitário, qut: é chamada daubltt II.nitán·o ul(I).Tt:ndo como base a representação da convolução para sis­temas ur, temos

2.5.3 Doublets unitários e outras funções desingularidadeO impulso unitário faz parte de uma classe de sinais

cooherida como funções dt singll.lIlridadt, sendo que cadauma pode str definida operadonalmente em termos deseu comportamento na convolução. Considt:rt: o sistemaUT para o qual a saída é a derivada da eonada. isto é,

r: g{T)[(O)li(T)dT ~ g(O)[(O).

Por outro lado, se consideramos O sinalj{O)ó(t), VmlOS que

(2.138)x(t) ~ x(t) "I(t).

I ~ X(I) ~ x(t) " é(1) = 1(1)" x(t)

= J:6(T)x(r-T)dT = J:6(T}dT,

qut:, para r = O, resulta

g(O) ~r:g(T)Ii(T)dT. (2.139)

Portanto. a definição operadona! de ó(t) dada pela Equa­ção 2.138 implica a Equação 2.139. Por ouuo lado,a Equação 2.139 implica a Equação 2.138. Para verifi­cannos, seja x(t) um dado sinal fixamos um tt:mpo t edt:.li.ni.m.os

para qualqut:r x(t). Nt:sst: sentido, sinais como 66,(t), '",(t)t:tc., que correspondt:m a pulsos cunos com duração cadavez menor t:nquanto 6 - O. componam·se como umimpulso unitário no limitt: por qut:. se substituímos 6(t)por quaisqut:r desSt:S sinais, então a Equação 2.138 é sa·tisfrita no limitt:.

Todas as propriedadt:s do impulso unitário dt: qut:predsamos podt:nl St:I obtidas a partir da de{rnit;âo oprraciona/dada pela Equação 2.138. Por t:xt:mplo, se x(t) = 1 paratodo t, então

dt: modo que o impulso unitário tt:m área unitária.

Às vezes ~ útil usarmos ouua definição opc:racio­nal completamentt: t:quivalentt: para 6(t). Para chegarnt:ssa forma altt:mativa, tomamos um sinal arbitráriog(t), t:spt:lhamos para obtt:r g(-t) e depois t:fetuamos aconvolução com 6(t). usando a Equação 2.138, obtemos

m, gere a resposta ao impulso. Ou seja, definimos 6(t)como o sinal para o qual

í,

I!

III

ii.

(2.145)

(2.146)

Da Equação 2.144, vemos qut:

d'X(I) d [dx(t)]--~- - =x(t)"U,(WU,(I)

dt 2 dt dt '

para qualquer sinal x(1). Assim como a Equação 2.138serve como definição operadonal dt: ó(t), tomartmos aEquação 2.144 como a dt:finição operacional de II.

I(t). Da

mesma forma, podemos dt:finir 1I.1(t), a segunda dt:rivadadt: 6(t), como a resposta ao impulso de um. sistema urqut: retoma a segunda derivada da entrada. isto é,

d 2x(r)-,-= x(t)" 14:2(r).

dt

g(T) ~ x(t - T).

Assim. usando a Equação 2.139. tt:mos

x(t) ~ g(O)- r:g(T)I(T)dT ~r:X(I - T)Ii(T)dT.

qut: é exatammtt: a Equação 2.138. Logo, a Equação 2.139é uma definição o~racion.al t:quivalente do impulso uni·tário, ou St:'ja. o impulso unitário é o sinal que, quan·do multiplicado por um sinal g(1) t: depois intt:grado de- a +-, produz o valor g(O).

Como nos preocuparemos prindpalmentt: com ossistemas Ln' t:, por isso, com a convolução, a descrição de

••,Sistemas lineares invariantes no tempo 81

e portanto.

Dt modo geral u.(!), k > O. é a derivada k-ésima de ó(t)e, portanto. é a resposta ao impulso de um sistema queretoma a k·ésima derivada da entrada. Já que esse sistemapode ser obtido como a cascata de k diferendadores, temos

de modo que o doubkt unitário tem área nula. Além disso,fazendo a convolução do sinalS(- t) com "I(t). obtemos

r:: alr -1)",lr)dr ~ a(-I) o ",I')

= da~~') = -a'(-I).

(2.154)

(2.IS3)

U~2(t) = u(t) Ir u(t)= f~oau(r)dr.

u(t) = J~oa6(r)dr. (2.1.52)

~ também temos a seguint~ definição operadonal de U(I):

x(t)'" U(I) = J~cox(r)dr.

•

Como W(f) é igual a Opara I < Oe igual a 1 para t > 0,scgue's~ qu~

,.._.1•

Logo,

Da mesma forma. podemos definir o sistema queconsist~ ~m uma cascata de dois integradores. Sua res·posta ao impulso é d~notada por 11._1(1). que é simples·m~nt~ a convolução de u(t). a resposta ao impulso d~ umintegrador. consigo mesma:

x(1)- dO. (I) ~ x(I)-xll-lo) _ dxll), (2.ISI)di Ó. dt

sendo que a aproximação se toma mais pr~cisa à me­dida que 6. --+ O. Comparando a Equação 2.151 com aEquação 2.144, vemos que d6tto(t)/dt de fato se compenacomo um dowbltt unitário à m~dida que 6. -+ O.

Além das funções de singularidade que são derivadasd~ difermtes ordens do impulso unitário. talnbém podmlOSdefinir os sinais qu~ Iqlresmta.rD integrais sucmivas dafunção impulso unitário. Como vimos no Exemplo 213. odegrau unitário é a resposta ao impulso de um integrador.

y(1) ~ f.:(T)dT.

Cons~quent~menle.usando o fato de que x{/) • 6(t - tol= x(t- foI (ver Equação 2.70). obtemos

figura 2.315 Derivada d6.ll.IO/drdo pulso n1tangular mo óttolo datl!Jllr3 1.34.

(2.149)

(2.148)

(2.147)

-a'(O) = r:: aITIu,(T)dT.

que, para t = 0, resulta

De maneira análoga. podemos obler propriedades rela·donadas a ul(t) e funções de singularidade de ordemmais elevada. Diversas dessas propriedades são conside­radas no Problema 2.69.

Assim como acontece com o impulso unitário. cadauma dessas funções de singularidade pode' ser infonnal­m~Dt~ r~ladonada a pulsos curtos. Por ~x~mplo. comoo doubltt unitário é formalment~ a d~rivada do impulsounitário. podtmOS ~Dtend~r o dowblrl como a idealiza­ção da derivada d~ um pulso amo com ár~a unitária.A título d~ ilustração. considr:re o pulso curto 6.ll.(t) naFigura 1.34. Esse pulso se oompona como um impulsoquando 6. -+ O. Consequ~ntemen{e. podtmOS esperarque sua d~rivada se compon~ como um dowbltt quando6. -+ O. Conform~ v~rificado no Problema 2.72, dé.ll.(t)/dlé como representado na Figura 2.36: consiste ~m umimpulso unitário em I = Ocom área +116., s~guido deum impulso unitário d~ ár~a -116. ~m I = 6.. isto é.

",I') ~ ~,II) o ... o '" II).

k. vézes

Assim como o impulso unitário. cada uma dessasfunções de singularidade tem propriedades que podemStf deduzidas de sua definição operacional. Por exemplo.S( considerarmos o sinal constante x(t) = 1, obttmos

O~ dx(l) ~ xl') o ",(I)dI

= J:u)(r)x(r-T)dT=J: ~(T}dT.

,r

ti,,

,r,l

Il,

dO.(I) ~ 1.(0(1) _ 0(1 _ lo)).dI lo

(2.IS0) (2,IS5)

J

(2.158)

82 Sinais e sistemas

~ sinal chamado d~ funfio rampa unitáritl. é ~xibido

na Figura 2.37. Além disso. podtm.os obt~r uma definiçãoo~radonal para o comportam~nto de u_J(I) ~m convolu­ção usando as ~quações 2.153 e 2.154:

x(t)· u_2(t) = x(r)· U(I)· u(r)

=[LX(U)du)'"(r)

~f ..lL x{q)du)dT. (2.156)

De man~ira análoga. pod~mos d~finir integrais d~

ordem mais ~Ievada de 6(t) como as respostas ao impulsodas cascatas d~ integradores:

/ock(r) = !4t) • .. ··u(t~ = I:'"U-(t_I)(T) dT. (2.157)

k~

A convolução d~ x(t) com u.)(t). u....{l) •... g~ra integraisd~ ordem correspondenttment~ mais altas de x(l). Alim.disso. note-~ qu~ as integrais na Equação 2.157 podemser calruladas diretamenle (ver Problema 2.73). como foifeito na Equação 2.155. para obter

(*-1

"_.(1) ~ (k -1)1 "(I).

Portanto, diferentemente das derivadas de 6(t). as int~·

grais sucmivas do impulso unitário são funções que p0­

dem ~r definidas para cada valor de t (Equação 2.158).

assim como por ~u componam~nto ~m convolução.

Em algWlS momentos será útil usarmos uma notaçãoalternativa para 6(1) e U(I).

integradores. Além. do mais. como um diferenciador é osistema inverso de um- integrador,

u(t) , ul{t) = 6(t).

ou. em nossa notação alternativa.

u.l(rl' ",(r) = "g(t). (2.161)

De modo mais abrangente. das equações 2.148. 2.157 e2.161, vemos qu~ para qua.isqu~rnúmeros inteiros k e r,

ut(r) .. 1I,(t) = u.....(t). (2.162)

Se k e r são positivos, a Equação 2.162 estabelece queuma cascata de k diferendadores seguida de mais r dife­rendadores gera uma saída que é a (k + rl-ésima deriva­da da entrada. Da mesma maneira. se k é negativo e r énegativo, temos uma cascata de Ikl integradores seguidade ounas lri integradores. Além disso. ~ k é negativo e ré positivo. temos uma cascata dt lkI integradores ~guidade rdiferenciadom, e o sistema como um todo equivalea uma cascata d~ ~ +ri integradores se k + r < O. umacascata de k + r integradores se k + r > O ou O sistemaid~ntidade se k + r = o. Logo. ao definirmos as funções desingularidade em termos do seu componamento em con·volução. obtemos uma caracterização que nos permitemanipulá-Ias com relativa fadlidade e inttrpretá-Ias dire·taIDente em termos de sua tmponânda para os sistemasUI. Como essa é nossa prindpal preocupação neste livro.a d~finição o~radonal para as funções de singularida­d~ que apresentamos nesta seção st.rá su6dente paranossos propósitos. '

2.6 Resumo

I

{.,"-,,,,'fti,1

'11jI·,,

-1

figura 2.37 FlIllÇão rampa lJ'Iit1ria.

--,

Com essa notação. "I(t) para k > O denota a respostaao impulso de uma cascata de k diferendadores. ua(t)é a fespJSta ao impulso do sist~ma identidade e. parak < O. ut(t) é a resposta ao impulso de uma cascata de 1M

ó(r) = ",(r).

"(tI = ".,(1).

(2.159)

(2.160)

Neste capítulo. desenvolvemos r~presentações im·ponantes para os sistemas UI, tanto de tempo discretocomo de tempo contínuo. Em t~po discreto, obtivemosuma representação dos sinais como somas ponderadas deimpulsos unitários deslocados. que depois foram usadospara chegarmos à representação da soma de convolu*ção para a resposta de um sistema ur de tempo discreto.Em tempo contínuo, deduzimos uma representação aná­loga dos sinais de tempo contínuo como integrais ponde­radas de impulsos unitários deslocados, os quais foramutilizados para chegarmos à representação da integral deconvolução para sistemas LIT de tempo contínuo. Essas

COnforme mendo~ DO Capftlllo I. iI5 funçaes de sineu1arl·di.de fonm eSl\u:LIlIãs:. fundo no ampo da matemitic.a sob DO­

.mei a1t~tiyosde fim#ts,mnaJivNJJu e uoriJl dIu distTilmiÇju. A

.bocdi.gc.m que tomamos Desta ~o f rcollroente bem pfÓxlmada rigOlOSill .bordolg=l usada nas rricrênriól' que fornecemos nanou 3 da seçJo 1.4.

r

I1

Sistemas lineares invariantes 00 tempo 83

2.3 Considere uma entrada xln] e uma resposra ao impulsounitário h[n] dadas por

x(nl=[f wjn-2~h[n)= u[n+ 2].

Determine e represtnle graficamente a saída y[n] =

x[n) * h[n).

2.4 Calcule e represente graficamente y{n) = .x[n] • h[n),sendo que

Expresse Ae Bem termos de nde modo que a stguinte equa­ção seja válida:

\1"1....*_1 A < k< B

h[n-k]= 2 ' - - •

O, caso antrário

3'5:n:58

caso coorrário'

4'5: n S IS.

caso conlI'ário

(1.

x(n]=O,

(1.

hln]=O,

(b) >'2{n] = x[n +2J * h[n]

(e) y1[n] = .x{n]* h[n + 2)

2.2 Considere o sinal

h(n]=(~rllu{n+3]-U[n-lOlJ.

representações são exuemamente imponantes. pois nospermitem calcular a resposta de um sistema Ln' para umaentrada arbitrária em termos da resposta do sistema a umimpulso unitário. Além disso. na Seçâo 2.3, a integral ea soma de convolução deram-Dos um meio de analisaras propriedades dos sistemas LIT e, particularmente. ummeio de reladonar as propriedades dos sistemas LIT. in­cluindo a causalidade e a estabilidade. às propriedadescomspondentes da resposta ao impulso uni~o. Alémdisso, na Seção 2.5, desenvolvemos uma interpretaçãodo impulso unitário de tempo contínuo e outras funções desingularidade reladonadas em telIDos de seu compor·t.amento em convolução. Tal interpretação é particular­mente útil na análise dos sistemas UI.

Uma classe importantt: de sistemas de tempo contÍ­nuo consiste naqueles sistemas descritos pelas equa~diferenciais lineares com roefidentes constantes. De modosemelhame. em tempo discreto. as equaÇÕtS de dífermçaslineares com coefidentes constantes têm um papel igual­mente importante. Na Seção 2.4, examinamos exemplossimples de equações difert'Ddais e de diferenças e discuti.­mos algumas das propriedades dos sistemas descritos poresses tipos de equações. Espedalmente, sistemas descritospor equações de diferenças lineares com COC'ficientes cons­tantes e equações diferenciais lineares com coeficientesconstantes juntamente com a condição de repouso inicialsão causais e m. Nos próximos capitulos, desenvolvere­mos ferramentas adidonais que factlitam amplamentenossa capacidade de analisar sistemas desse tipo.

;

Ii

II

.x{nJ=ur u{-n-I} e h(n]=u[n-I).

em que N $. 9 é um número inteiro. Determine o valor de Ndado quey[nI = xln) * h[n} e

y[4] = 5, y[14] = O.

2.6 Calcule e represente gra.6.camc=nte a convoluçãoYIn] =xln) * h(n), sc:ndo que

\

II,

Capítulo 2- ProblemasA primeira seção de problemas penence à catego­

ria básica, e as respostas são fornecidas no final do livro.As três seções posteriores contêm problemas que per­tencem. respectivamente. às categorias básica, avançadae de extensão.

Os problemas de extensão trazem aplicações.conceitos ou métodos düerentes dos apresentados notextO.

Problemas básicos com respostas2.1 Sejam

2.S Sejam

(1.

x{n] =O,

OSn:59

caso connário (',e h{n}=O,

O$.n$.N

caso contrário

x[n] =6[n] + 26 [n - 1] -.I[n - 3J

h[n] = 26[n +1] +26[n-1].

Calcule e represente graficamente cada uma das convoluçãesasegurr

(a) y1[nl =.x{n) * h[n)

2.7 Um sistema linear Stem a rdação~

Yln)= 2: x(kJ9[n-2k]..-entre sua entrada x[n) e sua saída y{n}, sendo 9[n] =u(nl- u[n - 4].

(a) Dttennine y{nJ quandoxln) = 6[n -II.

(b) Dttenniney(n) quando xln) = 6[n - 2].

84 Sinais e sistemas

2.9 Seja

h(nl=[H u[n)

1

j<'

A tquação de dif~reflças qu~ relaciona x[1I1 ey(n} ~:

1w[n] = -w[n-I}+x[nl;

2

(a) Iktennin~ a e fI(b) Encontre a~ ao impulso da conexão em

cascata de SI e s)'

S~: !Ir causal.

y(nl ~ ay(n-IJ+pw{nl.

2.IS Qual(is) das respostas ao impulso a seguir COIfespon·d~(m) a sist~mas UT ~stável{tis)?

(a) ~[n] = nrosltn)ufll)

(b) I<,(n) =3'u[-n + 1012.16 Det~~ st cada uma das a.firma~ a seguir é ver­

dadrira ou falsa:

(a) Se x(n] ::::: Opara n < NI ~ h[nl = Opara n < N'l'então x(nJ * h[n] = Opara n <NI +N1•

(b) S~y[nl :::::xIn] * h[n}. entãoy[n-l] :::::x(n-l) *h[.- 1).

(e) S<y(tl =x(Q 'h(Q, ..tão y(-t) = x(-<) • h(-<).

(d) se.r(t)::: Opara. t > rI ~ h(t) = opara t> rJ' en1âox(t) * h(ll = opara r> TI +T

1·

2.17 Considere um sist~ma llT cuja entrada x(1) e saída y(t)stjam reladooadas pela equação dif~rendal

.!.y(t)+4y(11 ~ X(I). (p2.17-1)dI

O sistema tamb6:n satisfaz a condição <k ttpOUSO inidal.

(a) & x(1) ::::: r/-I+ljlIU(r). qual ~ y(t)?

(b) Not~ que ffi.e(x(tll satisfará a Equação P2.17-1 comffi-e{)l(t)). Determine a saída y(t) do sist~ma LIT se

x(11 ~ "ros(3t)u(~.

:Z.13 Consid~n: um sistema LIT causal cuja entradaxIn} ~ saí­da y(nJ K'jam relacionadas pda tquaçáo de dife-ença

1y[n) = - y{n-l]+x[n].

4

Determine y(n} se xIn] = 6[n - li.2.19 Considere a cascata dos dois sisl~mas a seguir. SI e S1'

como rtprtSOltado na Figura P2.19:

I 3y(n) ~ --y(n -2)+-y(n -11+ x(n).

8 4

'101-l s, 1w[o) -I s, • yto)

fituu P1.1!

T<AA<'T<B.

B<T

O$t$1

caso contrário

~ qu~ h(1) :::x(rJo). O< a 5: l.(a) Ddam.in~ ~esboce y(1) = x(1) * h(I).

(b) se dy(t)ldr cont~m som~nt~ três dtscontinuidades.qual ~ o valor d~ 01

2.11 Sejam

x(~ ~ U(I- 31- U(I- 5) e h(t) ~ r'u(I).

(a) caIroleY(Q~X(Q·hIQ.

(b) caIrole ,(Q ~ (<Ú{II/dt) • h(Q.

(c) Como S(r) ffiá reladonado com y(1)?

2.12 S~ja

(a) Encontre o iDttiroA talqu~h(n)-Ah[n-l) = 6[nJ.

(b) Usando o rtsU1tado do it~m (a). det~rmin~ a res­posta ao impulsos[n] de um sistema LIT Sl qu~ é osistema inverso d~ SI'

2.14 Qual(is) das CtspOStaS ao impulso a seguir correspon­d~lm) a sistemas ur estáv~l (Os)?

(a) h,(~ = """""(Q(b) I<,(t) = "ros(21lu(l)

2.10 Suponha qu~

11,

xlt)~O,

~

y(tl~,-'u(I)' L: Ó(I-3k)'-'

h(l) ~ t"u(- I +4) +r"w(t- 5).

D~t~rmin~ A ~ B d~ tal modo qu~

lt+ I. O$:c.~ 1

x(t)= 2-t. l<t$2

O. caso conttário

h(l) ~ Ó(I +2) +Ult +I).

(c) Sé LIT?

(d) D~t~nnin~Yln] quandox[n)::: u[n].

2.8 Dd~rmine ~ trace a convolução dos dois sinais a seguir.

Mostr~ qu~ y(1) = Ar para o :5 t < 3 ~ deteonin~ o valor d~ A.

2.13 Considere um sistema d~ tempo discreto SI com res·posta ao impulso

Sistemas lineares invariantes no tem~ 85

2.23 sqa h{t) o pulso trlangularmostrado na Figura P2.23(a)t ~ja x(t) o tron dt impulsos rtp~tado na FiguraP2.23(b). Ou S(ja.

"1Il

Figura P2.22'

- r- r--

2

-,,

1

•,inclinação: li

b

321123

- '--1 L- -

le)

(b)

~nl

2.20 calcule as seguintes integrais:

(a) J:u.,lllcosllldl

(b) I;sen(2trlló(I+3jdt

(c) J~5~(I-T)COS(21fT)d'T

Problemas básicos2.21 CalruJc a convolução y{n) = xtn1 * h[nl para 05 seguin­

tes patts de sinais:

x[n] = allu(n1!(a) a. oe fJh[n] ~ p"u(n]

(b) xln] = hln] = "'.(n]

(c) x{n)=(-t)"u{n-4]

h(nJ= 4 11 11[2-nJ

(d) xln] e hln] como repmentados na Figura Pl.21.

xln]

... .'1ll11 ... ..-1 o 1 2 3 4 5 n

0123456789mn~~~~~ n

Figura P2.21 Determint t tsboce y(t) '" xlt) • h(t) para OS seguintesvalores dt 1':

2.22 Para cada um dos pares dt lunções a squir. use a in·tegral de convolução para encontrar a resposta y(e) dosistema UT com resposta ao impulso h(t) para a colJa­da x(t). Esboce seus resultados.

(a) x(t) = t-'"U(t)!<calcule quando o: $ (Jh(t) = t-Ilru(t) e quando Q = (J).

(a) r""4

(b) T= 2

(c) T'" 3fl

(d) T= I

(b) xtn = '(1) - 2.(1- 21 H(t- 5)

h(n = ...(1-1)

(c) x(t) e h(l) como mostrados na Figura P2.22(a).

(d) x(!) e h(t) como mostrados na Figura Pl.22(b).

(e) x(t) e h(t) como mostrados na FLgUl3 P2.22(c).

<a)

-1

• (a) ""l(b)

1

-2T -T o T 2T 3T

2

,

J

86 Sinais e sistemas

2.24 Considere a interconexão em ca5cata dos três sistemasLIT. ilustrada na Figura P2.24(a). A resposta ao impul­so h,[n] t

hJ[nJ = "[IIJ - 11[11- 2].

e a resposta ao impulso global ~ mostrada na FiguraP2.24(b).

(a)

(c) Calcule a convoluçàoxl[n] * .1)[nJ.

(d) Convolua o resultado do i~ (c) com x,(n) paracalrular y[n}.

Z.:z7 Ddinimos a área sob um. sinal de tmlpo contínuo v(t)como

A.. = r:\I(t)dt.

Demonsttt que se y(t) = x(r) * h(t). então

2.25 Seja o sinal

y[nj ~ x[n) • h[nj.

em que

A,= A.,A•.

2.l8 A seguit tc=mos respostas ao impulso de sistemas ur detempo discrtto. Determine st cada um. dos sistemas ~

causal e/ou estávd. Justifique suas~.(a) hlnl = Il)"u[n)

(b) h(n] = IO.81"'[n+21

(e) hlnJ~lt)"u[-nl

(d) h(n) = (5)".[3-n]

(e) h(n]=(-t)"u[nI+O.OI)"u[n-lj

(~ h(nl~(-t)"u[nJ+II.OI)"u[I-n]

(g) h[nJ=nW*u[n-l)

2.29 A seguir. temos respostas ao impulso dt sistemas LIT detempo contínuo. Determine se cada um dos sistemas ~

causal e/ou estável. Justifique ruas respostas.

(a) h(t) = t 4Iu(t - 2)

(b) hlt) ~'~'13-~

(c) lI(t) = t -Jlu(t + 50)

(d) h(~=""I-l-~

(e) h(1) =,-<11(~ hlt) = t"'"I~

(g) h(t) = (2C _ t-'-lOOIIlOO)U(t)

2.30 Considere a equação de düerenças de primeira ordem

y[nl

Figura P2.l4

h:!(nl

ill11011

•• •1 1

•••• , t ••• ••-10123.567 n

(a) Encontre a resposta ao impulso III[nJ.

(b) Enoontte a rc:sposr.a do sistema global para a enuada

x[n] ~ 6[nj-6[n - I).

,

(b)

(a) Determine y[nJ scn usar a propriedade distributivada convolução.

(b) Dt:termioe y(n] llSIZnIitJ a propriedade distributivada convolução.

2.26 Considere o cálculo de

y(n) = xlln] • xl(n] * x)(n}.

sendo XliII) = (0.5)*u[n). ~[II] = 1'[11 + 3] e ~[nJ =6(n)-6[n-I).

(a) Calcule a convoluçãoxl[n] * ~[1I1.

(b) Convolua o resultado do item. (a) com AlIn] paracalcular y(n).

y(nl + 2y[n- I) ~ xlnj.

Assumindo a condição de repouso inicial (isto é. se x[n] =Opara " < "II" então y[n] =Opara n <no)' encontre aresposta ao impulso de um sistema ruja entrada e saídasejam rdadonadas por essa equação de difermçu.. Voeipode resolver o probletna rea.rranjando a-t:quação de di­fertDÇ1 de forma a expressar y[nJ em fun~o dey(n -IJe X(II} e gerando os valores de y(O). y[+I]. y(+2J ....nessa ordem.

2.Jl Considert o sistema LIT inicialmente em repouso edescrito pela equação de difermça

y[n) +2y[n - IJ ~ x[n) +"[n - 21.

Encontte a resposta desse sistema à entrada representa­da na Figura P2.31 resolvendo a equação de diferençasrecursivamentc=.

Sistemas lineares invariantes no tempo 87

FigunI P2.31

<l"1

I1u2 2

•••••11 11• ••••

-2-101234 n

l.l] Considere a equação de dilerenças

Iy[nl-2y(n-ll~x(nl. (1'1.32-1)

e suponha que

x(nJ=[H .[nJ. (1'2.32-')

Assuma que a solução y[n] consiste na soma de uma so­lução particular l,!n] para a Equação P2.32·1 e umasolução homogênea Y~lnl satisfazendo a equação

y,ll) =OJ,(I) +1Jy,(I).

Com isso. podemos conduir que o sistema em conside·ração t linear.

(b) (i) Detennine a saída do sistema YI(I) quando a

entrada t xl(t) = Kr'u(t).

(il) Il<t.nnin.. salda do sistoma y,ll) quando aentrada t ~(t) = Kr"- nu(t -1). Mostre quey1{t)=Y,(I-1).

(ili) Agora suponha que x. (t) ~ja um sinaJ ar·bitrário de modo que Xl (l) = Opara I < to'Supondo que ,.(r) seja a saída do sistemapara a entrada xl(t) e 'l(/) seja a saída paraK1(1) = .11(1 -1). mostre que

yl(l) =Y,(I-71·

Com isso, podemos concluir que o sistema sob consi­deração é invartante no tempo. Juntamente com o re·sultado obtido no item (al. concluímos que o sistemadado é UI Como esse sistema satisfaz a condição derepouso inicial. ele tambtm ~ causal.

2.34 A suposição de repouso iniáal corresponde a umacondição auxiliar de valor zero sendo imposta em umtempo determinado de acordo com o sinal de entrada.Neste problema. mostramos que se a condição auxiliarusada é não nula ou se t~ é smtpre aplicada tIO umtempo lixo (indq>e.ndentemente do sinal de entrada).o sistema correspondente não pode ser m. Considereum sistema cuja entrada x(t) e a saída y(t) satisfaçam aEquação diferenàal de primeira ordem P2. 33·1.

(a) Dada a condição auxiliar y(1) = 1. use um contra·exemplo para mostraI que o sistema é não lineM.

(b) Dada a oondição auxiliar y(l) = I, use um contra­exemplo para mostrar que o sisttma não é inva·riante no tempo.

o sistema também satisfaz a condição de repouso inkial

(a) (I) Detennine a saída do sistmla 1\(r) quando aentrada t x\ lt) = net)o

(il) ""amin. a saíd;o do sistoma y,(I) quando a..nada / x,(l) ~ t"vlq·

(ill) Il<tamin. a salda do sistoma y,(I) quando aenuada é xlltl = on(l) +~(t). Saldo o~ f3 números reais. MostIt que Yl(t) = O)'.(t)+1Jy,lq.

(Iv) Agora considere .1.(1) e ~(t) como sinais arbi­trários tais que

XIII) = 0, para I < II'

.11(1) = 0, para I < Ir

Supondo que yl(l) seja a saída do sistema para a entradaxl(tl. yl(l) seja a saída do sistema para a entrada xI(t) e'1(ll seja a saída do sistema paraxpl = ar,(l) +px)(r).moStre que

(1".33-1)dy(1) +2Y(I)~ X(I).dI

para ri ~ O. Para calcular a constante doconbccidaA. precisamos tSpteificar um valor para Yln) paraalgum n ~ O. Ust a condição de repouso inicial eas equaÇÕ($ P2.)2·1 e P2.32-2 para determinar,{O]. Apartir desse valor. determine a CODStante A.O resultado desse cáIrolo rtsUlta na solução paraa Equação de diferenças P23.2-1 sob a condiçãode repouso inidal quando a enrrada t dada ptlaEquação P2.32-2.

2.33 Considere um sistema cuja entrada xli) e a saída y(r)satisfaçam a equação diferenda.1 de primeira ordem

IJ.{nJ-l" )1.(1'1-1]= O.

(a) Verifique que a solução homogmea i: dada por

y.[n)=AH(b) Vamos obter uma solução particular 1,[nJ tal que

y [nl-.!.y [n-ll~[.!.ruln]., 2' 3

Assumindo quey [n)ltm a forma B(1/3)- para n ~O, e iJls(rindo~ expressão na equação de dife­renças dada anteriormente. determine o valor de B.

(c) Suponha que o sistema ur descrito peja EquaçãoP2.32·J e inidalmente em repouso tenha comoentrada o sinal e~dficado pela Equação P2.32·2.Como x(n] = Opara n < 0, temos y[n] = Oparan < O. AIi:m disso. a partir dos itens (aj e (bl. te·mos quey[n] i: da forma

y(nl~A[H+B(H·

j

88 Sinais e sistemaS

(c) Dada a condição awiliar y(11 = lo mostre que osistema é linear por lnaoIlmlO.

(d) Dada a condição auxiliar y(l) = O, mostrt que osistc:na é linear, mas não é Invariante no tmIpO.

(e) Dada a rondiçãoauxiliary(O) +y(4) =0, mostre queo sistema é linear, mas não é invarianu: no ttmpo.

2.35 No problema anu:rtor, vimos que a aplicação de umacondição auxiliar em um instante fixo (independente­mente do sinal de entrada) leva o sistema correspon­dente a ser não invariante no tcmpo. Neste problcma.exploramos o efeito das condições auxiliares fixas nacausalidade de um sistema. Considert um sistema cujaentradax(t) ea saíday(t) satisfaçam a Equação difeKD­da! de primeira ordem P2.)3-l. Suponha que a rondi­ção auxiliar associada com a equação difuend.al stjay(O) = O. Determine a saída do siswna para cada umadas duas mtradas a squir.

(a) XIII) = O, para tOOo t

l0, t<-1(b) xl(t) =

I, r>-1

Observe que seyl(t) é a saída para a ennadax](r) ey)(1)é a saída para a entrada ~(t), então yl(t) eYI(t) não sãoid~nticas para t < -I, mesmo que xl(r) e xl(t) se­jil:m idênticas para r < -I. Use essa observação comoa base de um argummto para conduir que o sistemadado é não causal.

2.36 Considere um sistema de tm1po discreto cuja entradax{n} e a saíday[n] sejam relacionadas por

y[n) ~ HlY[n-ll+ x[n).

(a) Mostre que se esse sistema satisfaz a condição derepouso inidal (isto é, se x[n) = Opara n < no' en­tão y{n] =Opara n < no)' então ele é linear e inva­riante no tempo.

(b) Mostre que se CSSt: sistema não satisfazacondiçãodertpouso inicial mas. em vudisso. obedece" condi­çãoau:riliary(OI =0, ele é nâocausal [Dica: Use ummétodosemelhante ..oaplicado no Problema 235.J

2.37 Consickre um sistema cuja entrada e saída estejam rt­lacionadas pela Equação difO"Oldal de primeira ordemP2.H-l. Suponha que o sistema satisfaça a condição derepouso final listo ~ se X(~ = Opara t > r.. enfio y(t) = Opara r > tol. Mostrt que esse sistema é não causal [Dica:Considere duas entradas para o mtema.xt(t) = Oe~(t) =r{u(t) - u(t - I)), que resulta nas saídas Y1(t) e Y2(t). res­pectivamente. Então, mostre: que yl(t) =Y)ft) para t< O.)

238 Esboce representações em diagrama de blocos para ossi.stemas UT causais descritos pelas seguintes equaçõesde difermças:

(a) rln] = b(n - IJ +t x{nl

(b) y[nl=b[n-ll+x[n-l]

2.39 Esboce representações em diagrama de blocos para ossistemas ur causais descritos pclas seguintes equaçõesdiferendai.s:

(a) y(~ ~ - (t)dy(~ldl +....(~(b) dy{~/dl+3y(/) =x(~

Problemas avançados2.40 (a) Considere um sistema LIT com entrada e saída re­

laàonadas por meio da equação

y(t)= J~t-(H"Ix(T-2)dT.

Qual t a resposta. ao impulso h(t) para esse sistema?

(b) Iktermine a resposta do sistema quando a entradax(t) é a mostrada na Figura P2.40.

,qt)

dl--,----1 ,---,

Figura PZ.40

2.41 Considert o sinal

x[n] = a"u(n).

(a) ~osina1glnl~x[n)-axtn-l).

(b) Use o rtSUitado do item (a) juntamente com aspropriedades de convolução para detenninar umasequ~nàa h{nJ de modo que

x[n]'h(n1=[H ("["+21-"[n-211·

2.42 Suponha que o sin.al

x(t) = u(1 + 0,5) - u{t- 0.5)

~ja convoluído com o sinal

(I) Determine o valor de loJ. que garante que

y(O) ~ O,

.sendo y(~ ~ x(~ • h(I).

(b) A resposta do item anterior túnica?

2.43 Uma das propriedades importantes da convolução, tan­to de tempo discreto quando de tempo contínuo, é apropriedade assodativa. Neste problema, vamos verifi·car e ilustrar essa propriedade.

(a) Prove a igualdade

)x(~ • h(~I' g(l) = x(I) • [h(/) • g{/11 (P2.<3-1)

Sistemas lineares invariantes no tempo 89

mostrando que os dois membros da EquaçãoP2.43-1 são iguais a

L:J_:x(T}h(u}9(t-r-cr)dTdCT.

(b) Considere dois sistemas LIT com respostas à amos­tra unitária hl[nj eh

1[nj. como mostrado na Figura

P2.43(a). Esses dois sistemas são cascateados con·fonne a FIgura P2.43(b). Sejax{n} = u[n].

Determine a saíday[n]. (DiC4: O uso das proprie­dades assodativa e comutativa da convoluçãopode fad.litar bastante nessa solução.)

l.44 (a) Se

x(t) "" O.ltI > TI'

e

h(t) = O, ltl > T2,

,,"2[n1"" u[nj +} u[n-1]

1 "1[nJ - (- ~ fu[nl

..... ~"';:;-4"'-'-'-'--------,,

6 1

h~l

-2 -1

então

x{t) * h(t) = O. Itl > T)

para algum número positivo T). Expresse TJ

emtennos de TI e T2.

(b) Um sistema IlT de tempo discreto tem entradax[n], resposta ao impulso h(nJ e saída y[n]. Se sa­bemos que h[n) é nulo em qualquer ponto fora dointervalo No ~ n ~ Nl e xIn} é nula em qualquerponto fora do intervalo N

1'5 n '5 Ny então a saída

y[n) é obrigatoriamente nula em qualquer ponto,exceto em algum intervalo N. ~ n $" N,.

(i) Determine N. e N, em função de NO' NI' N1

e N1•

(ü) Se o ;"te<vaIo N. ~ " 5 N, tem a>mprimen­to Mil N1 :5 II :5 N) tem comprimento M% eN. :5 II ~ N, tem comprimemo M" expresseM, em tennos de M

ke M%.

(c) Considere um sistema UT com a propriedade deque se a entrada x[n] = Opara todo n ~ la, entãoa saída y[nI = Opara todo n ? 15. Que condiçãoh[n) a resposta ao impulso do sistema h{lI] devesatisfazer para que isso seja verdade?

(d) Considere um sistema IlT com resposta ao impul­so representada na Figura P2.44. Sobre que inter­valo devemos conhecer x(t) para determinar y(D)?

"o 1 2 3 ..

Figura P2.43

1

~"l

(i) Calcule y[nJ. Para isso, calcule primeiro w[n]= x[n}" hl(n) e depoisy[n] = w[n] .. h

1[n]. ou

seja.y[n] = (x[n]' h,ln]]" h1[nI.

(li) Agora. encontre y[n). primeiro convoluindoh,(n) e h1ln] para obter g[n] = h,[nj· h1[n] edepois convoluindo x[n} com 9[n] para obtery[n] =x[n]" [h1[n]" h1[njJ.

As respostas para (i) e (ü) devem ser idênticas.ilustrando a propriedade associativa da con·volução de tempo discreto.

(c) Considere a cascata de dois sistemas lJT como naFlgUra P2.43(b). sendo que, neste caso,

Ib)

la)

Figura P2.44

J

e sendo a entrada

x[n) "" 6[n] - aó[n - I].

2.4' (a) Mostre que se a resposta de um sistema Ln' a x{r) éa saída y(t), enlão a resposta do sistema a

x'(I)~ '"'I')dI

é y'(t). Resolva esse problema de três formas dife­rentes:

,f

90 Sinais e sistemas

xj~ ~ y(t)

t2

Figura P2.41

o

~~t) __3y(t)+t-2'u(t),

determine a resposta ao impulso h(t) de S.

2.'7 5(ja um determinado sistmIa linear invariantC' notempo com~ ao impulso h,(I). TC'mos a infor­mação de que quando a entrada ~ x.(t). a saída é '0(/).esboçada na Figura Pl.47. ~ dado o seguinte conjuntode sistemas lineares invariantes no tempo com respos­tas ao impulso indicadas:

EntrDJ/4 x(t) Reposta ao impulse h(t)

(a) x(t) ~ 2x,(~ h(n ~ h,(~

(b) x(~ ~ 'o(~ - X,(/- 2) h(~ ~ h.(~

(e) x(t) ~ X,(/- 2) h(~ ~ h,(1 + I)

(dI x(~ = 'oH) h(l) = h,(I)

(e) x(t) = 'oH) h(l) =h,(-I)

(n X(I) = x;(~ h(t) ~ h;(~

[Aqui. x~{tl e h ~(tl denotam as primeiras derivadas dexo(t) e h.(t)•.respectivamente.]

,

Em cada um desses casos, defina se temos ounão inIormação sufictente para determinar a saída y(t)quando a entrada é x(t) e o sistema lem resposta aoimpulso h(t). Se for possível determinar y(t). apresen­te uma representação gráfica precisa dela com vaJoresnuméricos daramentt indicados no gráfico_

2.48 Determine st cada uma das dedaIações a seguir. rda­uvas aos sistemas m. t, vtrdadeira ou falsa. Justifiquesuas respostas.(a) Se h(/) é a resposta ao impulso de um sistema LIT

e st h(t) ~ pertódica e não nula. o sistema é instável.(b) Oinverso de um sistema UT causaléscmprecausaJ.(c) Se lh[nJI :s; K para cada n, sendo K um nÚInC'ro

dado. C'ntão o sistema ur que tem h[n] como [O.

posta ao impulso é estável.

(d) Se um sistema LIT de tmepo discrtto tem uma res·pana ao impulso h(n] de duração finita. o sistemaé estável.

(e) Se um sistema UT ~ causai. ele ~ estável.(I) A cascata de um sistema LIT não causal com um

causaI é necessariamente não causal.

(P2,<s--2)

(PUS-I)

x(r)= f': X'(T)u(t-T)dT.

Mostre também que

(e) Use a Equação P2.4S-1 para detenni.naI a respostade um sistema LIT com resposta ao degrau

(Dica: Essas demonsrraçõts saem facilmente usando­se diagramas dt blocos. como em (fu) do item (a) elevando-se em conta o fato de que ul(t)" U~l(t) = 6(t).]

(e) Um sistema LIT tem a resposta y(t) = sen wrI para aenuada x(t) ::E t-~u(t). Use o resultado do item (a)como ajuda para determinar a resposta ao impulsod~sistcma.

(d) Seja s(t) a~ ao degrau unitário de um siste­ma de temlKJ conÓDUO. Use o item (b) para dedu­zir que a resposta y(t) à entrada x(t) t

y(t) = J:x'(r)s(t-T)dr.

(I) 1(1) ~x(t)· h'(~

(U) y(t)~(L~ X(T)d+ h'(I)~

J:"[X'(T). h(T)] dT ~ X'(I).[J:" h(T)dT)]

Figura P2.45

(b) Ikmonstrt a validade das squintes rda~:

(i) ~IaJllCDte. toldo roIDO base as proprio:i.lOOde linearidade e lnvariânàa no tempo. e ofato de que

(li) Düerenciando a inttgral de convolução.

(iii) Examinando o sistema na figura P2.4S.

x'(t)- hm xjt)-xjt- h)~ h

s(t) =(c"- 2cll + i)u(t)

à rntrada x(r) = (,"(t).

(I) Seja s[n] a resposta ao degrau unitário de um siste­ma Ln' de tempo disaeto. Quais são as conespon­dmtes em tempo discreto das equações P2AS-Ie P2.45·2?

2.46 Considere um sistema LIT Se wn sinalx(t) =2rJtu(t- I).Se

Sistemas lineares invariantes 1'10 tempo 91

z[nl =' nw[n).

Mostrt que a propriedade comutativa não é válida paraesses dois sislemas caku1ando as rtSpOSW ao impul·so das combinações em cascata mostradas nas figurasP251(a) e (b). respectivamente.

2.51 No teno, vimos que a relação entrada-saída global dacascata de dois sistemas LIT não depende da ordemem que é montada a cascata. Tal fato, conhed.do comopropriedade comutativa, depende tanto da linearidadecomo da invariânda do tempo dos dois sistemas. Nesteprobltma. üustramos esst: ponto.

(a) Considere dois sistemas de tempo dismto A e B,sendo o sistema A ur com~ à amostraunitária h(n) =' (1I2)·w[nJ. O sistema B, por outrolado, ~ linear, mas variante no tempo. Especifica­mente, se aentrada do sistema Bé w[n], sua saída é

y[ojSistema,t---<-i...~'A B

(ai

~oj

então o sistema ur com resposta ao impulso h[n] éestável. Isso significa que esta é uma condição sufidmupara a estabilidade. Neste problema, mostraremos queela também é uma condição MZSSIÍrfa. Considere: umsistema ur com resposta ao impulso h(n) e que não éabsolutamente somáveJ. ou seja,

(g) Um sist~ de tem{X) contínuo é estável se e so­mente se sua~ ao degrau s(t) é absolutamen­te integrável- isto é, se e somente se

(h) Um sist~ de tem{X) discreto é causal se e somen­te se sua~ ao degrau s[n] é zero para n < O.

1.49 No texto, mostramos que se h(n) é absolutamente so­mávd isto ~ se

s{1'l]:=[-j--~a.+_a_{n+l)a"lu[nJ.(0-111 (a-I) (a-I)

h[n) =' (n + l}o"u[n).

sendo Iol < L Mostre que a n:sposta ao degrau dessesistema é

(b) Su{X)nha que o sistema Bseja substituído nos doissistemas interconectados da Figura P2.5\ pdo sis­tema com a seguinte relação entre sua entradawInl e saída l[n]:

Repita os cálrulos feitos no item (a) desta questão.

2.52 Considere um sistema ur de tempo discreto com res­posta à amostra unitária

(a) Su{X)nha que a entrada desst: sistema é

[

O. se h(-n] ~°x[n]= h[-n] h(- J O'

I;.se n=

h[-nJI

Esse sinal de entrada represenla uma entrada limitada?Se sim. qual é o menor número B tal que

~(n]l :5 B para todo n?

(b) Calrule a saída em n := Opala essa escolha espe­áfica de entrada. O resultado prova o argumentode que a somabilidade absoluta é uma condiçãonecessária para a estabilidade?

(c) Da mesma foona, mostre que um sistema UT detempo contínuo é estável se e somente se a respos­ta ao impulso é absoluwnente integrável.

2.50 Considere a cascata dos. dois sistemas representados naFigura P2.50. Sabemos que o primeiro sistema. Á, é lIT.sabemos também que o segundo sistema. B, é o inversodo $\stema A. Suponhamos que y1(t) represente a res­posta do sistema A para xl(t), e que y1(t) represente aresposta do sistema A para Xl(t).

(hJ

11(0)-- ........ .......r-B A

Figura P2.S1

z(nj "'" w(n) +2.

Figura P2.5O

(a) Qual ê a resposta do sistema B à entrada 4}'l(tl +byl(t), sendo ae b constantes?

(b) Qual é a resposta do sistema Bà entrada,Mt- T)?

(Dica: lnnbre-se de que

~ d ~+l

L;lk+I)a' ~-L;a'.)l-o da_

2.53 (a) Considere a equação diferencial homogênea

~ diy(t)L;a, ----:;- = O. (P2.5H)~ d,

92 Sinais e sistemas

o polinómio p(z) pode str Calorado da seguinteforma:

Ust ose fato para mostIar que se 0, = 2. ouão ramoAt; como 8nZ;-' são solll~ da Equação P2.54-I.sendo A e B constantes arbitrárias complexas. Demodo mais geral pode·st usar o mesmo procedi­roemo para mosuar que st 0j > I, então

p(z) = aO(z-zl)'"l. .. · (z-z)-'.

sendo Zl' ••.• z, caízes distinlas de p(l).

Mostre que se y[n] = nz.... l. então

t;ai;nn-kl= d~Z)r"+(n-N)p(z)r"-I.

(P2.54-3)N

p(z) =Eai;zN-t' =o.-

então Ar; r. uma solução da Equação P2.54-1, sen­do A uma constante arbitrária.

(b) Parser mais convenimte no momento tzabalharmoscom polinõmios que tml somente polêndas não ne­gativas de r. considert a equação obtida multiplican­do-st os dois lados da Equação P2.54-2 por t':

(pl.53-1)

", +"J + ... +",=N.

De modo ~raL se", > I. então não só A~ é umasolução da Equação P2.53-1. mas tambén AI~,

sendo i um número inteiro maior ou igual a zeroe menor ou igual a (1, - 1. Para üusuar este fatO,

mostre que se ", = 2. eneão AtéI r. uma soluçãoda Equação P253-1. [Dica: Mosue que se Sé umnúmero complexo arbiuálio. eneão

Mostre que st sl1 é uma solução da equação

então Ar'" é uma solução da Equação P2.53-1.sendo A uma constanle arbitrária complexa.

(b) O polinômio p(s) na Equação P2.53-2 pode str fa­locado em termos de suas raízes SI..... s, como

p(s) '"' a,,(s - S.I·I(S - sJ)·J ... (s - $).'.

sendo SI as soluções distintas da Equação P2.53-2 e(f, suas mldtiplit:id4dt:s - isto é. o número dt vezesque cada raiz aparece como soluçio da equação.Note que

""d'(A~') .~.... • dP('1 •L.. t '"'Y\SfK +..... t ._ dr dr

Logo, a soluçâo mais geral da Equação P2.53-1 é

tr:A/t'l.;-/ ;..o

sendo Afconsrames aIbitrárias mmplaas.

(c) Resolva as equações diferendais homogéneas a st­

guir com as condições auxiliares especificadas:

(i) "'''11 +3~+2y(t) =0. y(O) = O, y'(O) = 2

(ü) ~" +3~+2y(t) = O. y(O) = I, y'(O)=-1

(ili) ,S? +3~+2y{t)= O. y(O)=O, y'(O) =0

(Iv) "1." +2-'P+y(t) ~ O, y(0) ~ I, y'(O) ~ 1

(v) ~!tll + ot',S'I_!Ifl- y(t)= O. y(O) = I.

y'(O) = I, y"(O) =-2

(vi) a".s" +2~+5y(t)=0, Y(O) = 1. y'(O) = 1

2.54 (a) Considere a equação de diferenças homogéneas

(P2.54-1)

nlA rT/(n-r)l

~ wnasol~da Equação P254-1 para r::; O. I, ..~01- J.7

(c) Resolva as equações diferenciais homogéneas a se­guir com as condições auxiliares especificadas:(i) y(nJ+h1n- l l+h'1n- 2j=O:

y{OJ~I,y(-IJ~-6

(li) yln] - 2Yln - I] +Yln - 2J ~ O; y[O] ~ I,y[IJ = O

(ili) y{n] - 2)1n - IJ +}{n - ~ ~ O; YIOJ ~ I,y(lO) = 21

(1..) Yl"1-~y{rr-1J+h'ln-2J=0;

)'(0)=0. y(-IJ= I

2.55 No texto. descrtvemos wn mr.todo para resolver equa­ções de diferenças lineares com coc:fi.denles constan­tes. e ouO"O mr.tod.o para resolvê-Ias foi Uustrado noProblema 2.30. se a suposição de repouso inicial é feitade modo que o sistema desairo pe.la equação de dlfe·rt'IlÇiS ~a ur e causal. então. a prindpio. podonosdeterminar a resposta ao impulso unitário h(nJ usandoqualquer um dos procedimentos. No Capírulo 5, des­crevemos ouo"o método que nos permite determinarh[n] de wn.a forma mais c:Iegante. Neste problema.. des·

MOStre que sr lo r. uma solução da equação

(P2,54-2) • AquL usamos i tlOQçio fawml- Isto ê. kl .. k(k - l)(k - Z)...(2)II), sendo 01 definido como I.

Sistemas lineares invariantes no tempo 93

~ wtn] - jw[n-1]- xlnl 1"'1 Y[olrin]- w(nl + 2w(n-1] .:.:.+

x[n] %[n]y[n]- htn-1]- zln] ~...:.,; z(n]- x[n] + 2x(n-l] ~

ettVetnos. a.ind.a. outro método. que mostra basicamen­te que h[n] pode ser determinada resoIvendo-se a equa­ção bomogênea com as condições iniciais apropriadas.

(a) Considere o sistema inidalmente em r(()Ouso edesaito pela equação

Assumindo que x[n] = 6[n}. quem éy[O]? Qual equa·ção hln] satisfaz para n ~ 1. e com qual condição au­xiliar? Resolva esta equação para obter uma expressãoem fonna fechada para h(nj.

(b) Considere o sistema ur a~ inidalmente emrepouso e desaito pela equação de diferenças

Il'lnJ-,l'ln-1J - x[nJ+ 2.<{n-ll· (P2.SH)

Esse sisto:na é representado na Figura P2.55(a) comouma cascata de dois sisttmas ur que estão iDkialmmteem repouso. Por mota das propriedades dos sistemas utpodtmos reverter a ordem dos sistemas na cascata paraobter uma representação alternativa do mesmo sistemaglobal comonne ilustrado na Figwa P2.55(b). Tendo emvista este fato. use o resultado do item. (a) para deter­minar a resposta ao impulso para o sistema desailO naEquação P2SS-2.

(e) Considere novamente o sistema do item (a), comh[lI) representando sua resposta ao impulso. Mos­tre. verificando que a Equação P2.S5-3 satisfaz aEquação de diferença P2.55-1, que a respostaY[II}a uma entrada arlJitrária .1[11] é. na nrdade. dada~la soma de convolução

nea e as condições iniciais que a resposta ao impulsodo sistema deve satisfazer.

Considere agora o sistema ur causal descritopela equação de diferença

• •La.l'ln-kJ- Lb.xIn-kl (P2.SS-S)~ ~

Expresse a resposta ao impulso desse sistema em ter·mos da respona ao impulso do sistema ur descritopela Equação P2.55·4.

(e) Há um método alternativo para determinara resposta ao impulso do sistema LIT descritopela Equação P2.S5-S. Especificamente, dada acondição de repouso inicial, isto r, Desse caso,y[-H] = y[-N + 1J = ... ~ y[-II ~ o. '''''.."Equação P2.S5-5 rerursivamente quando .1[1:11 =6[n) para determinar y[O), .... y(M}. Que equaçõesh[n) satisfaz para n ~ M! Quais são as condiçõesiniciais apropriadas para essa equação?

(I) Usando qualquer um dos métodos desaitos nosi~(d) e (el, encontre as respostas ao impulso dos sis­temas LIT causais descritos pelas seguintes equações:

(i) y[n] - y[n- 21 =x[n]

(ii) Y[I:I] -y(n-2] :::x[n] +h[n-l]

(lli) y(n]- y[n - 2J ::: 2x(n) - 3.1(1:1- 4)

(iv) l'lnJ -(,/i12) l'ln -I)+t l'ln - 21 ~ xIn)1..56 Neste problema vamos considetar um procedimento

que Eo equivalente de tempo conlÍDuo da técnica de­sm.vol.vida no Problema 2.55. Novamentt, vutmos queo problema de se determinar a~ ao impulso h(~

para t >Opara um sistema LIT iniciab:oente em repousoe descrito por uma equaçio diferencial linear com coefi­cientes constantes se rtduz ao problema de St resolver aequação homogênea com condições iniciais apropriadas.(a) Considere osistema LIT inicialmente em repouso e

descrito pela equação diferencial

dy(t) +2y(/) = xiI). (P2.S6-I)d/

Suponha que x(t) ::: 45(1). Para determinar o valorde y(t) ÊmtdiJJtlJmrntt dtpOis da aplicação· do impulsounitário. considere a integração da Equação P2.56·1de t = O- a l ::: ()+ (isto é, de ·imediatamente antes"até Mimediatamenle depois"' da aplicação do impulso) .Com isso, chegamos a

(P2.SS-J)

(p2.S5-1)

..-

Il'lnJ - -l'ln -IJ~ x[nJ.

2

-l'lnJ- L h[n-m)x[ml

(b)

(a)

Figura P2.55

(d) Considere o sistema LIT inicialmente em repouso edescrito pela equação de diferenças

(P2.SS....)

Assumindo que Qo ~ O, quem é y[O) se x[n] ::: 45[11)?Usando o resultado, tspeCifique a equação bomogê·

y(O+)- }'(o-)+2f: y('T)d'T =

r"Jcr 6('T)d'T=1. (P2.56-2)

Como o sistema está inidalmente em repouso e .1(1) ::: Opara l <O, y(O'") = O. Para satisfazer a Equação P2.5Ó-2,devemos ter y(O+)::: I. Logo, comox(t)::: Opara t > 0,a resposta ao impulso de nosso sistema é a solução daequação diferencial homogénea

(P2.56-6)

94 Sinais e sistemas

com ronctição inicial

y(O+)::: L

Resolva essa equação diferencial para obter a respostaao impulso h(t) para o sistema. confira seu rt'SUltadomostrando que

)'(1) = r: h(t - T~T)dT

satisfaz a Equação P2.56·} para qualquer entrada .r(t).

(b) Para generalizar o argumemo antertor, considereum sistema ur inidaImente em lepouso e descritopela equação ctiferendal

N d~nt)L;a,-,-:::xft), (P2.56-3)_ dI

com x(t) ::: 6(1). Assuma a conctição de repousoiniàal que, como x(1) ::: Opara r < O, implica

d dN- 1

y{0-) ~ 2(0-)_ ... - ---.-f10-)- o. (P2.s....)dt dt -

Aplique a integral em ambos 05 membros da Equa­ção P2.56·3 de r = O- a t = 0+ e use a EquaçãoP2.56-4 e um argwnento semelhante ao usado noitem (a) para mostrar que a equação resultante isatisfeita com

(P2.56-Sa)

,

dN

-

J

YW') = _I . (P2.56-sb)dt li

-l aN

Co~uentemente. a resposta ao impulso dosistema para t > Opode ser obtida resolvendo-sea equação homogênea

N d~nt)L;a.-,-~O_ dI

com as condições inidais dadas pelas equaçõesP2.56-5.

(c) Considere agora o sistema DT causal descriw pelaequação diferendal

~ d'y{l) _ ~b d'X(I)LJQk k LJ k ••k·_ dr w ar

Exprme a rtSpOSta ao impulso desse sistema~ função da resposta ao impulso do sistema doitem lb). (Dial: Ex.unine a Figura P2.56.)

Agun P2.56

(d) Aplique os procedimenlos descritos nos itens (b) e(cl para encontrar as respostas ao impulso para ossistenlaS ur iniàalmente cm repouso e descritospelas seguintes equações diferenda.is:

(I) "''''1 +3~+2y(t)= x(t)

(ü) "';'1+2~+2y(t)=x(t)

(e) Use os resultados de (b) e (c) para deduzir que,se M ~ N na Equação P2.56·6, então as respostasao impulso h(t) conterão termos de singularidadeconcentrados em t = O. Em panicular. h(t) amteráum termo da forma

H-H

EQ,",(tl.-cm que a, são constantes, e ",(t) são as funçõesde singularidade definidas na Seção 2.5.

(f) Enconcre as respostas ao impulso dos sistemas LITcausais descritos pelas seguintes equações diferen­dais:

(i) ~+2y(t)=3~+X(I)

(U) ....s·,+5~+6y(t)=

3~+2~+4~+3xlt).. .. .1.57 Considere um sistema UI causal S cuja entrada xIn) e

saída nnJ são relacionadas pela equação de diferenças

y[n] = -01ln - I] +b,r[n] +blx[n - IJ.

(a) Verifique que Spode ser considerado uma conexãoem cascata de dois sistemas ur causais SI e 51 coma seguinte relação entrada·saída:

SI: Ylln] = b....l[n) +b,xJ[n - 11.

5J :YJ[n] ::: - ayJ[n - II +X][n).

(b) Esquematize uma repr~tação em diagrama deblocos de SI'

(c) Esquematize uma represeolação em diagrama deblocos de Sr

(d) Esquematize uma representação em diagrama deblocos de S como uma conexão em cascata da re­presentação em diagrama de blocos de S, seguidada rep~tação em diagrama de blocos de Sr

(e) Esquematize uma representação em diagrama deblocos de S como uma mnerio em cascata da re·presentação em diagrama de blocos de SJ seguidada representação em diagrama de blocos de SI'

•.!

!I

i

;1I.J!.

.1

J

(f) Mostre que os dois elementos de atraso uni[áriona rtpresentação em diagrama de blocos de Sob­tidos no it~ (e) pod~ ser reduzidos a wn únicod~ento de atraso unitário. O diagrama de blocosresultante é chamado realização na FI1r1rUl Dirtta IIde S, enquanto os diagramas de blocos obtidos nositms (d) e (e) são coohe<idos como reali:za~ naFofmQ Dirtt4 I de S.

1.58 Considere um sistema LIT causal Scuja entrada x(n} e asarda y{n] sejam relacionadaspela equaçãode diferenças

2y[n]- y[n - II +y(n - l] = x(n]- 5x[n - 4].

(a) Verifique que Spode ser ronsiderado uma conexãotlD cascata de dois rlstemas ur causais SI e Sl comas seguintes relações entrada-saída:

SI: 2YI[nl = xl[n] - 5x1[n - 4],

I ISl : YJ[nl ='2yJ[n-I]-'2yl[n -31+ xl[nl.

(b) Esboce uma representação em ctiagrama de blocosde SI'

(e) Esboct uma representação em diagrama de blocosde SI'

(d) Esboce uma representação em diagrama de blocosde S como uma conexão~ cascata da repInellta­ção em diagrama de blocos de 5. seguida da reprt­sentação em diagrama de blocos de 51'

(e) Esboce uma representação emdiagrama de blocosde Scomo uma conexão em cascata da representa­ção em diagrama de blocos de S2 seguida da repre­sentação em diagrama de blocos de SI'

(f) Mostre que os quatro elementos de atraso na re­presentação em diagrama de blocos de 5 obtidos noitem (e) podem ser reduzidos a três. O diagramade blocos resultanle é chamado de reaIização naForma DirtIa II de S, enquanto os diagramas de blo­cos obtidos nos itens (di e (e) são conhecidos comorealizações na Forma DirttLll de S.

1.59 Considere um sistema ur causal 5 cuja entrada x(t) e asaída y(r) sejam relacionadas pela equação diferencial

dy(t) Itc!t)a, --+aoy(t)= boxtl)+bl--.

dr dI

(a) Mostrt que

y(t)= AJ~y(r)dr+&(t)+CJ~x(r)dr.

e expresse as constantes A. B e C em função dasconstant~ a" a•• boe b•.

(b) Mosut que 5 pode ser considerado uma conexãoem cascata dos dois sistmw LIT causais a seguir:

SI : y,(I) = &.(I)+CJ'- x("T)dr.

Sistemas lineares invariantes nD tempo 95

(c) Esboce uma repr~tação em diagrama de blocosde S•.

(d) Esboce uma represmtação em diagrama de blocosd~5r

(e) Esboce uma represtntaçio em diagrama de blocosde 5 como uma ronCIão em cascata da repre5(Dta­ção em diagrama de blocos de S. squida da reprt­smtação em diagrama. de blocos de 51'

(f) Esboce uma represmtação em diagrama de blocosde Scomo uma con~xão em cascata da reprt'SeDta­ção em. diagrama de bloms de 5

lseguida da reprt­

smtação em diagrama de blocos de SI'(g) Mostre que os dois integradores na resposta dada

no item (I) podem str raiuzidos-a um. Odiagramade blocos r~ultante r chamado realização na Fqr­ma DirttIJ II de 5, enquanto os diagramas de blocosobtidos nos itens (~) t (f) são conbeddos como rea­lizações na Fomuz Dirtta I de 5.

1:.60 Considere um sistema UT causal Scuja enuada XCI) ~ asaída y(1) sejam. rd.adonadas pda equação diferendal

d J y(1) dY(I) dx(t) d~X(I)a,-,-+a, --+aoW) = box(t)+h. --+b, -,-o

dI dt dI dI

(a) Mostre qUt

y{t) - AL*)dT+ BL(J':'Y{a)dU)dT+0:(1)+ DJ'- x(r)dr +EJ~..,(J:'x(a)da)dT.

e expresse as constantes A, B, C, D e E em termDSdas constantes aO' ai' azo b(f bl t b1,

(b) Mostr~ que S podt ser considerado uma conexãoem cascata dos dois sistemas ur causais a seguir.

SI :YI(t) =OrI(I)+ DJ'- x](r)dT +EJ'-(J: xl{a)da)dT'

SJ :Y1(1) = AJ~,./J(T)dr +BJ'-(J:YJ(a)da)dT+ x1(t).

(c) Esboce uma representação tm diagrama dt blocosde Sr

(d) Esboce uma representação em diagrama de blocosd~ Sr

(e) Esboce uma representação em diagrama de blocosde 5 como uma ronwo em cascala da rep~ta·ção em diagrama de blocos de SI seguida da Iq)re­sentação em diagrama de blocos de SZ'

(I) Esboce uma representação em diagrama de blocosdt S como uma conexão em cascata da repre:stD.-

96 Sinais e sistemas

ração ~m diagrama d~ blocos d~ Sl squida da r~­

prtstntação ~m diagrama d~ blocos d~ SI.

(g) Mostre qu~ os quatro integradora na rtSpOSta dadano item (r) podl"JI1 Stt ttduzidos a dois. O diagramad~ blocos mullant~ é chamado r~a.lização na Por- (c)mJl. DirtttJ 11 d~ S, enquanto os diagramas de blocosobtidos nos itens (c) c (n são conhecidos como rea­lizaçôcs na FormJl Dima [de s.

(c) No circuitO mostrado na Figun P2.61 (rI, x(1) ~

a tmsão d~ enttada. A tensão y(r) no c:apadtor tconsiderada. como a saída do sistema.

A-2n l-lH

1

'1=C -lF

Problemas de extensão2..61 (a) No circuito mostrado na Figura P2.61(a). x(1) ~

a tensão ~ entIada. A lmSão y(t) no capadtoré considerada como a saída do sistema.

(i) Dt:tennin~ a equação difaend.al rdacionan·doz(~'y(~.

(ü) Mosttt que a solução homogmea da equa·ção difaendal do itl"JI1 (i) tml a formaKI~ + K1,j-'I· ~que os valores d~WI~Wl·

(üi) M..", qu,. ",mo, teosão , , ,orr,m, .ãor~ais. então a resposta natural do sistema ésenoidaL

(a)L= lH

~CP'--------'-----..

Figura P2.61a

(b) No arcuito mostrado na Figura P2.61(bl, x(t) é at~nsão d~ ~ntrada. A tensão y(t) qu~ passa pelocapacitor ~ consid~rada como a saída do sistema.

>ti} +

Figura Pl.61c

(i) Detc:nnin~a equaçào dif~r~ndal relacionan·do x(r) ~ y(r).

(ü) Mostr~ que a solu91o homogênea da equa·ção dif~renda1 do item (i) tem a formar'{KlrP' +A;cP'} e espcdfique o valor de Q.

(üi) M..", qu,. ,orno, te"';O , , ",mote .ãoreais, a resposta natural do sistema é uma se·noide decrescente.

2.62 (a) No sistema meclni.co mostrado na Figura P2.62(al,a força xlt) aplicada à massa representa a entrada.enquanto o deslocamentO y(t) da massa representaa saída. Dttt:rmine a equação dUacncial rtlaàcJ.nando ztt) t: y(t). Mostre que a resposta naturald~ sist~ma é. pt:riódica.

(b) Considere a Figura P2.62(bl, em qut: a força x(1) ta enlI3da ea velocidade y(t) t a saída. A massa docano é. m. enquanto o coeficit:llte de atrito dné.ticoé p. Mostrt: qu~ a resposta natural desse: sistemadt:SQ"evt: com o tempo.

(c) No sistt:ma mecânico moslI3do na Figura P2.62(r).a força x(t) aplicada à massa representa a entrada..t:nquanto o deslocam~ntoY(I) da massa rtprt:St:ntaa saída.

(b)

A-tO

=1=C -lF

Figura P2.61b

(i) D~lennin~ a ~quac;ão difcrend.al reladonan·doz(l) 'y(~.

(ü) Mostr' qu, , """"" oatural desse "",toatem a forma K~ c especifique o valor d~ Q.

(a)

Sistemas lineares invariantes no tempo 97

(b) com condição inicial

m", 1.()OO kg

p=O,l N-!lmy[OJ = SI00.000.

em que 1 ~ uma constanu. Deurmine 7.

(b) RtsOlva a equação de difcnnças do it~ (a) paradeterminar

Figura P2.6Z

(el

(1'2.64-1)~

h(l)= L:h.Ó(I-kT).M

rlnJ para n ~ O.

(Dica: A solução particular da Equação P2.6J-} ~

uma constante Y. Encontre o valor de Ye expres­se y(n] para n ~ Ocomo a soma das soluções ho­mogénea e da particular. Determine a constantedcsconbedda na solução homogénea calculandodirewnente y[l] da Equação P2.63-1 e compa­rando-a com a sua solução.)

(c) se a hipoteca for retirada ~ 30 anos depois de360 pagamentos mmsais de D dólares. detmnineo valor apropriado de D_

(d) Qual ~ o pagamento tolal. pata o banco dcpois deum pt:riodo de 30 anos?

(e) Por que os bancos famn empréstimos?

2.64 um uso importantelios sistemas inversos má nas sirua­ções on que quertm05 remover distorçõo; de algumtipo. Om bom u-emplo disso é o problema de removtrecos em sinais acústicos. Por exemplo, se um audit6­rio tem um eco perceptíveL t:ntão um impulso acústicoinicial será seguido por ver5ÔCS atenuadas do som cmintervalos regularmente espaçados. Consequentemen·te. um. modelo usado com frequênda para esse fenô­meno é um !iistt:ma UT com resposta ao impulso con­sistindo de um trem de impulsos. isto é,

y(~ • g(~ ~ xjlJ.

Aqui. os ews OCOIft:rn em intervalos de T segun­dos, e h~ representa o fator de ganho do k-~simo

eco resultante de um impulso acústico inidaL

(a) Suponha que 1(1) represente o sinal acústico ori·ginal (a música produzida por uma orquestra, porexemplo) e que y(t) = x(t) lo h(t) i o sinal real ouvi­do se nenhum tipo de processo é feito para remo­ver os ecos. Para remover a distorção introduzidapelos ecos, suponha que wn microfone seja usadopara perceber y(t) f que o sinal resultantf Sfja con­vertido tm um sinal elioico. Tambim usafonosy(r) para rcprC5Cnw esse sinal pois ele diz respeitoao equivalente flttrico do sinal acústico, e pode­mos ir de um ao outro via sistt:mas de conversãodeuoacústicos.

É importante notar que o sistema com~ta aoimpulso dado pt:1a Equa~o P2.M-I ~ invertívelPortanto. podfrnOS encontrar um sistema LIT comresposta ao impulso g(t) de modo que

(P1.63-1)y[n]-1Y[n-Il=-D n~l,

(i) Determine a equação diferencial relacionan­do x(t) ey(t).

(ü) Mostrt que a solução homogênea da equa­ção diferenriaI do item (i) tem a formaC"'[Kl + !Scl) e especifique o valor de a.

(ili) Mostre que, como a força e o deslocamentosão obrigatoriamente reais, então a respostanatural do sistema é uma senoide decrescente.

2.63 Uma hipoteca de S 100.000 deve ser retirada por paga·mentos mensais iguais de Ddólares. Os juros. compos·tos mensalmente, são robrados a uma taxa de 12% aoano sobre o saldo devedor; por exemplo. depois do pri­meiro mês. o total do débito é igual a

$ 100.000+(O~~2}S l00.COO = $ 101.000.

O problema é determinar D de modo que. depois deum tempo espeáfico, a hipoteca seja paga integral­mente. deixando um balanço final nulo.

(a) Para ~Iver o problema. seja J(n] o saldo dendordepois do n·tsi.mo pagammlo mensaL Suponhaque o montante é emprestado no mês Oe OS paga­mentos mensais começam no m~ l. Mostre queYln] satisfaz a equação de diferenças

K - Constante da mola '" 2NfmK m-Massa_1 kg

b - Constant8 de amortecimento "" 2 N-s/m

j

98 Sinais e sistemas

e então. ao prottSSarDlOS o sinal el~nico y(t) dei!.(modo e depois conveI1~·lo de volta para um sinaJ.cústico. co~os remover os ecos d(SClgra·dáveis.

A r(SJKJSla ao impulso ntt'CSSária slt) também ~

um mm de impulsos:

Iktmnine as (QuaÇÕ(S algébricas que a S(Qu&ldi!S. d(V( satisfaz(r e resolva e;sas equaÇÕ(S para S~

SI e Sl Wl termos de 11••(b) Suponha que~ = 1, h l = Y.t e hl = Opcua lOdo i ~ 2.

Qual ~ a s(r) Deite caso?(c) Um bom modelo para a geração de «os ~ ilustrado

na Figura P2.64. Assim. cada eco sucessivo repre­senta uma versão realimentada de y(r). atrasadapor r ~dos e pond(t3.da por Q. TIpicamente.O< Q < 1já que «OS su~vossão atenuados.

(1) Qual ~ a rt$pOSLl ao impulso dc:sse sisto:na?(Assuma o repouso inidal isto i, y(t) = Opcua r< Ose x(t) = Opara t <O.)

(U) Mostre que o sistema ~ (Slável se O< Q < Ie instável se Q > I.

+

• """"T

Figura P2.64

(lli) Qual é S(t) neite caso? Construa uma reali­zação do sistema inverso usando somadores.multiplicadores por escalas e e!em(1)1OS dealraso de T segundos.

(d) Embora tenhamos pautado a discussão anteriorWl termos de sistemas de tempo contfnuo porcausa da aplicação que temos considerado. as mes·mas ideias gerais são válidas em tempo discreto.Ou seja. o sistema ur com~.o impulso

é mvertÍVd e tem oomo seu inV(t'SO um siskmaLIT com resposta ao impulso

Não ~ difíàl verificar que a sequência S. satisfaz asmesmas equações algébricas que no item (a).

Considere agora o sistema Ln' de tempo discretocom resposta ao impulso

~ sistml.a não é inven:ívd. EnCOnIrt duas mtra­das que produzam a mesma saída.

2.65 No Problema l.45. introduzimos e examinamos algu­mas das propritdades básicas das funções de correJa­ção para sinais de tempo conlÍnuo. A corresponden1ede tempo discreto da função de correlação tWl essen­dalmente as mesmas propriedades que as funções detempo contínuo. e as duas são extremamente impor­tantes em muitas aplicações (confonne discutido nosproblemas 2.66 e 2.67). Neste problema. apresentamosa função de correlação de tempo discreto e exam.iDa­mos várias de suas propriedades.

sejam X[IIJ e y[n] dois sinais de ttmpa discretocom valores reais. As ftl1lfW dt autoarrnÚIÇiio ;..JnJ e4'"ln] de x[n1 e y(n), respectivamente. são definidaspelas expressões

-q>.[n]~ l: x[m+n]x(m]--q>.[n]~ l: y{m+n]y(m>-

e as fw1f{Õt$ dt com. atlla4JJ são dadas por

-q>.[n]~ l: x[m+n]y[m]-e

-q>.[n]~ l: y[m+n]x[ml.-Assim como em tempo contínuo. essas funçõestem determinadas propriedades de 5imetria. Espe­áficamrntr. f ..[nJ e 9.,[nJ sâo funções pan:s. en­quanto ;..,[nJ = 4t,..r- n).

(a) Calcule as sequenrias de autocorrdação para ossinais x\[n], A)[n}. ~[nl c x.[n] representados narlgUtil P2.65.

(b) Calcule as sequências dr correlação cruzada

4'q;(n). j -,e j, ij = l. 2, 3. 4.

paraxj(nJ, i = 1,2.3,4. como mostrados na FiguraP2.65.

(c) Suponhamos que x[1I} seja a entrada de um siste­ma LIT com resposta à amOStra unilária h[n) e quea saída correspondente sejay(n}. Encontre expres-

\

\..ii

sões para ~",.rn] e, (n] em.ltrmos de f ..(n] e Ir(n].Mostre como ~4'("rt: ~.("] podem ser vistos comoa saída dt: sistt:mas ur lendo como t:ntrada ; ..(n].(Faça isso opttificando aplicilamenlt a rtSpOSta

ao impulso dt: cada um dos dois sislcnas.)

(d) Suponhamos qut: h[n] = Xl ("I na Figura P2.65. t:suponhamos qut: y[n] seja a saída do sistema llTcom resposta aO impulso h[n} quando a entradax["ltarobtm é igual a Xl ln}. Calc.ult: "q(n] t: !fi.[nlusando os multados do item (e).

_~._._._.~111t . ~ ~o 1 2 3

Sistemas lineares invariantes no tempo 99

(e) Qual t o valor de

Y,(I) = X,(I) * "'j(t). j:<: j

no ÍIlStaDle t = 4 para ~ j = 1. 2, 3?

Osislmla com resposta ao impulso hj(tl (CIHlOOidocomojiltroawdD para osinalx;(t) porque a mpostaao impulso é ajustada a .1j(/) para produzir o máxi·mo sinal de: saída. No próximo problema, relacio­namos o conceito dt: filtro casado ao mnctito defunção de comlação para sinais de tempo conlÍDuo.

'Ifio \ ~[nl_._.~.~.~.~ . ...-, ,-1 -1

-1

"""

1~ 3LJ t

j

.. :UI'. .. ~~I-1 O 1 n

~Inl

~.~.~._.~._._'l~._._.~.r...o 5 "

fillUIlI P2.6S

2.66 St:jam hl(t), 1I

1(t) t: h)(t), como rt:prt:sentados na Figura

P2.66, respostas ao impulso de três sistemas m. Essestrês sinais são conhecidos como [un{õts dr Wa/sh e sãode imponância prática considt:rável porque podem serfacilmente gerados por ciroJilo lógico digital e porquea multiplicação por cada um deles pode ser implemen·tada de foana simples por uma chavt ck invenão depolaridade.

(a) Determine e esboct uma escolh.apara~{t), umsioalde tempo contínuo mm as seguintes propriedades:

(I) XI (I) t real.

(U) x.(1) = Opara I < O.(iii) Ix.(1)1 $ I para 1~ O.

(iv) J1(1) =xl(l) • 111(1) t o maior possívd em t =4.

(b) Repita o item (a) para ~(t) e x)(t) fazendo ,J(I) =

xl(t) * Irl(t) e yl(t) =x)(t) * Ir)(t) o maior possíveleml=4.

1 2 3 " t-,

h,(ll

,>- n2 3 , I

-,

Figura P2.66

2.67 A fu1l{do dt aJrrtlação cru.zatlJ1 entre dois sinais reais detempo contínuo X(I) e y(l) (

~ (1)=j+- x(t+r)y(T)dr. (P2.67-1). -AJímfQq dt autoalrrt/ação de um sinal X(I) ( obtida fa·zendo y(1) =x(I) na Equação P2.67·1

rp (1)=j- x(t + r)x(r)dr.. -(a) cakule a função de autocorrdação para cada um

dos dois sinais x,(t) e ~(/) representados na FiguraP2.67(a).

{b} Stja x(t) um dado sina.I e considere que.r(t) temduraçio finita - isto (, qut: x(!) = Opara I < Oet> T. Encontre a resposta ao impulso de um siste·ma ur de modo que rP.(t -7) seja a saída quandox{t) for a entrada.

100 Sinais e sistemas

(a) x,('t)

o 2

, ~

~, 2 13' 5 l:.J7 t-,

(b) "oltl

2 3 I'-,

2

-,

Figura PZ.61

(c) O sist~ma obtido no item (b) ~ um filtro auado parao sinal x(r). O falo de qu~ essa definição d~ filtrocasado ~ Idêntica à dada no Problema 2.66 podeser visto ~Io seguinte:Sejax(t) como no itml (b). c c:oosidcrequey(1) comoa resposta a x(t) de um sistema ur mm ttSpOSta aoimpulso r~ h(l). Considere que h(t) = Opara t < O~ para r > T. Mostre que a escolha para h(t) qu~

maximi7.l y(T). submetida à restrição

J:~ h1(t)dr = M, um nÚIDeropositivo fixo, (P2.67-2)

é um escalar múltiplo da r~sposta ao impulso de­terminada no it~m (b). [DiCd: A desigualdade deSchwaru estabelece que

para quaisque'r dois sinais .,(1) e' v(t). Use-a panI

obter um limite' paray(T).J

(d) A restrição dada pda Equação P2.67-2 simplC'S­mente fornece uma ponderação para a resposta aoimpulso, já que M apenas muda o multiplicadorescalar mendonado no item (c). 'Portanto, per­cebf:mos que a escolha panio.darllara h(t) nosii~ns (h) e (e) é casada ao slnalx(t) para produ­zir máxima saída. Essa propriedade é de extremaimponânda em diversas aplicações. conformemostraremos agora.

Em problemas de comunicação, frequtnte­mclle destja-se transmitir wna de um pequenonúmero de possfvcis inlOmlaÇÕeS. Por exemplo. seuma mensagem complexa r rodiJicada em uma se­quênda de dígitos binários,. podemos imaginar ummrOlla que transmite a Informação bit por bit. En­tão. cada hit pode ser transmitido mviando um si­nal. digamos. ~(t), se o bit é um O. ou um sinal diIe­rente. xl(t). se 1é o que devt ser comUDicado. Nessecaso, o sisttma r~ceptor desses sinais deve ser capazde reconhecer se xo(!) ou xl{t) foi recebido. O quefazsenlido. Intuitivamente. ~ ter dois sistemas no rt·

etptor. um sintonizado a xo(t) e OUtrO &Xl(t). StOcIoque par 'sintonizado' designamos que omttma gerawna saída grande depois qU~ o sinal ao qual de estásintonizado é teCC'bido. A propriedade de produziruma saída grande quando um si.oaI panirolar r te­ctbido é aatamente a propriedade do filtro casado.

Na prática. scnpre há distorção e interferênda noprocesso de traDsInissão e recepção. Consequen­temente. queremos maximizar a difermyl en~ aresposta de' um filoo casado à enrrada para a qualele está casado e a resposta do filtro a um drn; ou­tros sinais que pcxlem ser transmitidos. Para ilus­trar esse ponto. considere 05 dois sinais xo(t) e xI(tlrepresentados na Figura P2.67(b). Seja Lo o filtrocasado para xo(1) e LI o filtro casado para Xl (t).

(i) Esboce as~ de Lo para ~(t) e x,(t).FaÇl o mesmo para LI'

(ü) Compare os valores dessas respostas em t = 4.Como Voct poderia. modificar x.(t) para queo rectpter tenha um trabalho ainda mais fá­cil de distinguir entre ~(t) e x1(t). fazendo asrespostas de Lo para x,(r) e L, para x.(t) StteDl

ambas zero em t = 4?

2.68 Outra aplicação Da qual os filtros casados e as funçõesde corrrlação têm papel fundamental são os sistemas deradar. O prinópio básico do radar é que um pulsodetromagnético transmitido para um alvo será refle­tido pelo alvo e. depois. retomará ao emissor com umatraso propordonal à distânda do alvo. Teoricamen­te. o sinal recebido será simplesmente uma versãodeslocada e possivelmente atenuada do sinal originaltransmitido.

1

:,

"j•!

i,II

\IIj

Stja que pI!) Opulso original emitido. Mosttt que

~,,(O) = ~~,,(l).

Ou seja. 4>",(0) é o maior valor assumido por4>..(l). Useessa equação para dedu:2ir que. se a onda que voltapara o emissor é

x(t) = op(t - rol.

sendo Q uma constante positiva. então

Sistemas lineares invariantes no tempo 10'1

2.70 Fazendo uma analogia com as funções de singularidadede tempo contínuo. podemos definirum conjunto de si­

nais de tempo discreto. Especificamente. conside~ que

/l_.ln] = /l(n].

"oln} = 61nl.

e

1I[[n] = 6[n} - 61n - lJ.

e defina

e

Note que

(Diar: Use a desigualdade de Schwanz..)

Ponamo. o modo de fundonamento dos sistemas sim­ples de localização por radar t baseado no uso de umfiltro casado para a onda rransmitida p(t1 e no registrodo tempo CD que a saída desse sistema alamça seu va­lormáximo.

2.69 Na Seçâo 2.5. caracterizamos o doubfet unitário pormeio da equação

para qualquer sinal x(t). A partir dessa equação. obti-remos a ~lação e

u!(n) = .&'tI"]. u.[n] • ... UolI[n~. k > O.-Il~(n] = ~_Ilnl */l_l[n] •.. .• u_I[n1, k <O.

w~

x(n].6[n] = x(n].~

x[n]*u[nJ= E x[m1-

Mu.l~ = JlOlu,(~ - flO)6CO,

mostrando que as duas funções têm as mesmas de·fi.rtiçôes operacionais.

(e) Qual ~ o valor de

J:x(r)u1('T)dr?

(a) Demonstre que a Equação P269-2 é uma~equivak:ntt de /lI(I) mostrando que a Equação P2.69-2implica a Equação P2.69-1. fDk.a: Fixe t e defina osinalg(-r) =x(t-r).J

Dessa fonDa, vemos que caracterizar o impulso uni­tário ou doubfet unitário pelo modo como se compor­ta em convolução t o mesmo que caracterizar comoele se comporta em Integração quando multiplicadopor um!iinal arbitrário 9(1). Na verdade. como indi­cado na seção 2.5. a equivalênda dessas defini~opuacionais éválida para todos os sinais e, cm parti­cuIM; P'" todas as funçii<s de singularidade.

(b) Seja.f(l) um dado sinal. Demonstre que

f: g(T)u,(TldT = -g'IO; (P2.6~2)x[n] , /lI ln} = x[n)- x(n - I].

(a) Calcule

(b) Mostre que

x[n]/l[[nj =x[O]/l[[n)- [xli] -x[OlJ6[n - 11

=x[1]u,(nl-(x[1]-x(OJl6(nl·

(c) Esboct os sinais /ll{n) e u)ln).

(d) Esboct /l.)n) e u_lln).

(e) Mostr~ qu~. ~m geral, pat1 k > O.

(-I)"klu.[n]~ [u[nJ-u[n-k-IJI. (P2.70-1)

n!(k n)!

(Dica: Use indução. Partindo de (e), fia rndente que/ll[n) satisfaz a Equação n.7O-1 para k = 2 e 3. De­pois, assumindo que a Equaçào n.70-1 t satisfcitapor /lt{n}, escreva /l.. l[n) em termos de ut[n) e mos­tte que a equação tan'IOOn é satisfeita por w~. I[n}.)

(f) Mostre que. de modo geraL para k > O.

Encontre uma -:xp~o para Jtt)uJ{t} análoga à-:xpressão do item (b) para .f(t)ul(t).

In+k-IIIu_,[n) = n!(k -1)1 u{n}. (n.70-2)

102 Sinais e sistemas

(Dic.:l: Novaml:ntl:. ust a indução. Notl: qUI:

"_IHII(nj- "_lhll[n-lj ="_t[n]. (P2.~)

Então. assumindo que a Equação P2.70-2 ~ váli­da para "-.l[n). WI: a Equação P2.70-3 para mos­trar que a Equação P2.70-2 também. é válida para"-{t+I)[n].)

Z.71 Nl:St1: capíndo. usamos diversas propritdadl:S I: idriasqUI: facilitam bastante a análise dos sistmw m. Dentttelas. há duas qUI: queremos aamina:r um pouco mais afundo. Como veremos. em alguns casos mwto l:SlX=dais.dl:ve·~ tl:r andado ao usar essas propril:dades. que paraos outros casos podem SB aplicadas sem problemas.(a) Uma das propriedades básicas I: mais imponantes

da convolução (tanto dI: tempo oontínuo quantodI: tempo discmo) é a associativa. Ou seja. ~ x(1).h(l) I: 9(1) são três sinais. I:ntão

X(I) * 19(1) *h(lll = (X(I) *9(tl! *h(t) (p.z.71-1)~ [X(I) • h(11J • 9(1).

Essa relação ~ válida desde que as três expInSÕeS.sejam~ definidas e linitas. Como costuma SB O

caso na prátia. usaremos de modo ~ral a proprie­dade associativa sem romentírios ou suposições.No entanto. há alguns casos em que ela ruiD~ apli­ca. Por aemplo. considere o sistema rl:presentadona Figura P2.71, com 1I:(l) ="l(t) eg(t) ="(I). Cal·cule a resposta desse sistl:ma à entrada

X(I) = 1 para todo I.

Figl,. P2.11

Faça isso dos tr€s modos sugeridos pda EquaçãoP2.7l-l e pela figura:

(1) Primeiro. convolua as duasr~ ao im­pulso e depois convolua o resultado COm x(l).

(U) Prim,iro. ronvolua X(~ rom .,10 , d""convolua o resultado com "(I).

(lll) Primriro. convolua x(t) com 11(1) e depoisconvelua o resultado com "\(t).

(b) Repita os passos de (a) para

X(/) = r

h(l) ~ '-'.I~,

9(1) ~ .,(~ +6(1).

(c) Faça o mesmo para

h[nJ~lH u[n],

1sln) = 6[nJ-,6[n -I].

Assim. em geral a propriedade assodativa da con·volução ~ válida se e somente se as três expressõesna Equação P2.71-1 Gurem sentido (isto é, se I:somente se suas interpretaçõc=s referentes aos sis­temas LIT são significativas). Por e:xemplo, no item(a). diferenciar uma constante e: depois definir suaintl:gral faz sentido. mas o processo de definir aintegral da constante a partir ck: t = -_ I: dqcisdifuenciar não faz sentido, e é someme nesse casoque a propriedade: assodativa perde a validade.

A qul:Stào que envolve os sistemas Inversos eaádiretamcote relacionada à discussão anterior. Con­sidere o sistema IlT com resposta ao impulso h(t)="(t)o Como vimos em (a). há entradas - es·perificamente. x(1) = constante difuente de Zl:ro- para as quais a saída desse sistm..a t. infinita 1:,portanto. não faz sentido consid~ a questão dainversão de tais saídas para se recuperar a entrada.No entanto. se nos limitamos às coU"adas que gl:­ram saídas finitas. isto ~. entradas que satisfazem

(P2.71-2)

então o sisttma i inv~vd. e o sistema ur comttSpOSta ao impulso "'11r) é seu invCISO.

(d) Mame qUI: o sistema ur com resposta ao impulso"1(ll MO é invertível. (Dior. Encontrl: duas entra­das diferentes que produum uma saída zero paratodo tempo.) Contudo, mostre que o sistema é iD·vertívd se nos limitarmos às entradas que sarisCa·tem a Equação P2.71·2. [Dica: No Problema 1.44mostramos que um sistema UT é invenívd se DI:·nhuma entrada exccto x(1) = Ogera uma saída que:é zero para todo tempo. Há duas entradas x(1) quesatisfazem. a Equação P2.71·21: que gl:ram respos­tas iguais a zero quando convoluídas com "I(/)?]

O que ilustramos neste problema é o seguinte:

,

.,

'j

JI

,J.,

I

\

IIii

,

j

(1) S~ x(t), h(/) tg(/) são três sinais, e se x(t) *O(t),x(t) * h(t) e h(t) *9(1) são rodos definidos e fi­nitos, então a propriedade associativa, Equa­ção P2.71-1, é válida.

(2) Seja h(t) a resposta ao impulso de- wn sIs·tema LIT. e suponhamos que a resposta aoimpulso 9(t) de um segundo s~ma tenha apropriedade

h(l) , 9(11 = 6(11. (p2.71-3)

Logo. de (1). paTa todas as entradas x(t) paraas quaisx(t) *h(t) ex(/) *9(t) são definidas ededuração finita, as duas cascatas de sistemas re­presentadas na Figura P2.71 agem como o sisotema identidade e, portanto, os dois sistemasIIT podem ser considerados inversos um doauuo. Por exemplo. seh(t) = u(!) C9(t) = ul(t).então. desde que nos limitemos às entradasque satisfazem a Equação P2.71·2, podemosconsiderar esses dois sistemas como inversos.

Sistemas lineares invariantes no tempo 103

Portanto, vemos que a propriedade associativa daEquação P2.71-1 e a definição dos inversos llT confor­me foi dada na Equação P2.71·3 são válidas. desde quetodas as convoluções envolvidas sejam finitas. Comoeste é certamente o caso em qualquer problema práti­co, usaremos em geral essas propriedades sem romenotários ou ressalvas, Vale notar que, embora tenhamospautado a maior pane de nossa discussão em termosde sinais e sistemas de tempo contínuo, as mesmasressalvas podem ser feitas em tempo discreto [como éevidente a partir de (c)).

2.72 Suponhamos que ê..,,(t) represente o pulso retangularde altura '* para O< t ~ 6.. Verifique que

d I-6.(t)~ -[6(1)-6(1 -6)].dI 6

2.73 Mostre por indução que

r'U ,dt) = --u(t) para k = 1,2,3...- (k-l)!