sistemas lineares e invariantes: tempo contínuo e tempo ... · a partir da soma de uma resposta de...
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Sistemas Lineares e Invariantes:
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
1
Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
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Definição de Sistemas
2
• Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.}
x(t) y(t)
x[n] y[n]
Sistema no Tempo Contínuo
Sistema no Tempo Discreto
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Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo
Contínuo
3
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Sistemas Lineares de Tempo Contínuo
• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou
seja, satisfaz as propriedades de:
Aditividade
Homogeneidade.
• O princípio de superposição é a base para o estudo
aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia:
Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem,
etc.
4
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Propriedade da Aditividade
5
1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y t T x t
y t y t y t T x t x t
y t T x t
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Propriedade da Homogeneidade
6
( ) ( ) ( ) ( )y t T x t ay t T ax t
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Determinar se sistema é Linear?
7
2
2( )
y ya b c u t
t t
Aditividade
21 1
12
22 2
22
( )
( )
y ya b c x t
t t
y ya b c x t
t t
21 2 1 2
1 22
( ) ( )2 ( ) ( )
y y y ya b c x t x t
t t
Homogeneidade
2
2
2
2
( )
( ) ( )( )
y ya b c x t
t t
y ya b c x t
t t
2
2
( ) ( )( )
y ya b c x t
t t
É um sistema Não Linear
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Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo
Deslocamento na saída
Deslocamento na entrada
• Um sistema é invariante no tempo se para um
deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um
deslocamento no tempo na sinal de saída
0 0
8
( ) { ( )}y t T x t
0 0( ) { ( )}y t t T x t t
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes • Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo
são descritos utilizando equações diferenciais com
coeficientes constantes.
• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante
pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância
no tempo em cada operação.
9
0 0
( ) ( )k kN M
k kk kk k
d y t d x ta b
dt dt
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Exemplo – Sistema Mecânico
10
2
2( )
y ym b ky u t
t t
Equação Diferencial
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
x(t-t0)
x(t)
y(t-t0)
y(t)
É um sistema Invariante no tempo
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Modelagem do Motor de Corrente Continua
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Aspectos Construtivos de um Motor CC
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Aplicações Típicas de Motor CC
• Máquinas de Papel
• Bobinadeiras e desbobinadeiras
• Laminadores
• Máquinas de Impressão
• Extrusoras
• Prensas
• Elevadores
• Movimentação e Elevação de Cargas
• Moinhos de rolos
• Indústria de Borracha
• Mesa de testes de motores
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Modelagem do Motor CC
• A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas
etapas:
Modelagem elétrica;
Modelagem mecânica.
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Modelagem Elétrica
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Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da
armadura:
Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão
proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.
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Modelagem Elétrica
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Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com
campo separado.
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Modelagem Elétrica
17
Corrente em função da diferença
da tensão terminal aplicada e a
contraforça eletromotriz de
armadura.
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Modelagem Elétrica
18
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Modelagem Mecânica
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20
Modelagem Mecânica
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21
Modelagem Completa
Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua.
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22
Parâmetros para simulação
Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0
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23
Resposta ao Degrau e Impulso
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6Impulse Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
System: sys
Time (seconds): 0.33
Amplitude: 1.13
Step Response
Time (seconds)
Sistema de primeira ordem
(aproximadamente)
63%*1,8 = 1,13
Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal)
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24
Resposta em Frequência
-30
-20
-10
0
10
Magnitude (
dB
) System: sys
Frequency (rad/s): 0.115
Magnitude (dB): 4.97
System: sys
Frequency (rad/s): 3.07
Magnitude (dB): 1.97
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
w
=-3 dB
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Linear Invariante
no Tempo
Não Linear Não Linear Variante no Tempo
Exemplo - Circuito Elétrico
25
( )2 3 ( ) ( )
di ti t v t
dt 2( )
2 3 ( ) ( )di t
i t v tdt
( )2 3 ( ) 4 ( )
di ti t v t
dt
( )2 3 ( ) ( )
di tt i t v t
dt
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Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui
a base para a análise de sistemas, tais como:
A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma
ponderada de impulsos, é a base para o método de
convolução.
A representação de um sinal x(t) como uma combinação
linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier.
A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada
de exponenciais complexas é a base para as transformadas de
Fourier e de Laplace.
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Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo
podem ser analisados através de equações diferenciais.
• Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas
usando superposição mesmo tendo condições iniciais
diferentes de zero.
• A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem
do sistema, a formulação das equações diferenciais e a
avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa.
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Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo Discreto
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Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e
implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e
que a equação do sistema envolva apenas operadores
lineares.
• Pode–se utilizar a superposição para um sistema com
condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear.
Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo
entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas
adicionais.
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Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida
a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido
apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero
(devido apenas à entrada).
• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas
lineares na presença de condições iniciais distintas de zero.
Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero
obedecem à superposição.
30
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Sistemas Invariante de Tempo Discreto
• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da
resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada
x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.
31
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
[ ] sin( . [ ])y n a x n
Deslocamento na saída duas unidades de tempo
Deslocamento na entrada duas unidades de tempo
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Exemplo 1
1
1 1
2 1 0
2 2 1 0
Determinar seo sistema é invariante no tempo
[ ] sin( [ ])
SOLUÇÃO:
Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :
[ ] sin( [ ]) (1)
Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :
[ ] sin( [ ]) sin( [ ]) (2)
Para
y n x n
x n
y n x n
x n x n n
y n x n x n n
1
1 1
2 1
um deslocamento da saída [ ]
[ ] sin( [ ]) (3)
Comparando (2) e (3):
[ ] [ ]
Portanto,o sistema é invariante no tiempo
o o
o
y n
y n n x n n
y n y n n
SLIT
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Exemplo 2
1
1 1
2 1 0
2 2 1 0
Determinar se osistema é invariante no tempo
[ ] [ ]
SOLUÇÃO:
Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :
[ ] [ ] (1)
Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :
[ ] [ ] [ ] (2)
Para um deslocamento da
y n nx n
x n
y n nx n
x n x n n
y n nx n nx n n
1
1 1
2 1
saída [ ]
[ ] ( ) [ ] (3)
Comparando-se (2) e (3) :
[ ] [ ]
Portanto, o sistema é variante no tempo
o o o
o
y n
y n n n n x n n
y n y n n
SLIT
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes • Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com
equações em diferença que relacionam a entrada e a saída.
34
1 1[ ] [ 1] [ 2] 4 [ ]
6 6y n y n y n x n
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo
discreto, deve-se considerar que:
Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída
trazem como consequência a não linearidade do sistema.
Um termo constante também torna não linear o sistema.
Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções
explícitas de n tornam o sistema variante no tempo.
As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,
por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no
tempo.
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
36
• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos
de uma somatória de impulsos unitários escalados e
deslocados no tempo.
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
37
x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +...
x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
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• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a
um impulso localizado no instante k
• Sendo o sistema invariante no tempo:
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
T { }[n-k] hk[n] knTnhk
38
knhknTnhk
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Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
T { }x[n] y[n]
Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos
k
knkxnx
k
knkxTny
k
knTkxny
39
k
knhkxny
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k k
y n x k h n k h k x n k
Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.
Somatoria da Convolução
[ ]* [ ]y n x n h n h n x n
40
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
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Exemplo da Convolução de um SLIT
41
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
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Resultado da Convolução
47
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n].
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Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A representação de um sinal x[n] como uma soma
ponderada de impulsos deslocados, é a base para o
método de convolução discreta.
• A representação de um sinal x[n] como uma combinação
linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base
da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a
transformada z.
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Causalidade de um Sistema LIT
• A saída de um sistema causal somente depende dos valores
atuais e passados da entrada .
• Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve
depender de x[k], para k>n:
então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para
k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0
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[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
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Causalidade de um Sistema LIT
• Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0:
• Ou de forma equivalente:
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[ ] [ ] [ ]n
k
y n x k h n k
0
[ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
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Sistemas Lineares e Invariantes:
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
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Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica