Sistemas Lineares e Invariantes:
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
1
Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Definição de Sistemas
2
• Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.}
x(t) y(t)
x[n] y[n]
Sistema no Tempo Contínuo
Sistema no Tempo Discreto
Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo
Contínuo
3
Sistemas Lineares de Tempo Contínuo
• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou
seja, satisfaz as propriedades de:
Aditividade
Homogeneidade.
• O princípio de superposição é a base para o estudo
aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia:
Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem,
etc.
4
Propriedade da Aditividade
5
1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y t T x t
y t y t y t T x t x t
y t T x t
Propriedade da Homogeneidade
6
( ) ( ) ( ) ( )y t T x t ay t T ax t
Determinar se sistema é Linear?
7
2
2( )
y ya b c u t
t t
Aditividade
21 1
12
22 2
22
( )
( )
y ya b c x t
t t
y ya b c x t
t t
21 2 1 2
1 22
( ) ( )2 ( ) ( )
y y y ya b c x t x t
t t
Homogeneidade
2
2
2
2
( )
( ) ( )( )
y ya b c x t
t t
y ya b c x t
t t
2
2
( ) ( )( )
y ya b c x t
t t
É um sistema Não Linear
Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo
Deslocamento na saída
Deslocamento na entrada
• Um sistema é invariante no tempo se para um
deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um
deslocamento no tempo na sinal de saída
0 0
8
( ) { ( )}y t T x t
0 0( ) { ( )}y t t T x t t
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes • Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo
são descritos utilizando equações diferenciais com
coeficientes constantes.
• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante
pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância
no tempo em cada operação.
9
0 0
( ) ( )k kN M
k kk kk k
d y t d x ta b
dt dt
Exemplo – Sistema Mecânico
10
2
2( )
y ym b ky u t
t t
Equação Diferencial
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
x(t-t0)
x(t)
y(t-t0)
y(t)
É um sistema Invariante no tempo
Modelagem do Motor de Corrente Continua
11
Aspectos Construtivos de um Motor CC
12
Aplicações Típicas de Motor CC
• Máquinas de Papel
• Bobinadeiras e desbobinadeiras
• Laminadores
• Máquinas de Impressão
• Extrusoras
• Prensas
• Elevadores
• Movimentação e Elevação de Cargas
• Moinhos de rolos
• Indústria de Borracha
• Mesa de testes de motores
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Modelagem do Motor CC
• A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas
etapas:
Modelagem elétrica;
Modelagem mecânica.
14
Modelagem Elétrica
15
Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da
armadura:
Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão
proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.
Modelagem Elétrica
16
Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com
campo separado.
Modelagem Elétrica
17
Corrente em função da diferença
da tensão terminal aplicada e a
contraforça eletromotriz de
armadura.
Modelagem Elétrica
18
Modelagem Mecânica
19
20
Modelagem Mecânica
21
Modelagem Completa
Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua.
22
Parâmetros para simulação
Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0
23
Resposta ao Degrau e Impulso
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6Impulse Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
System: sys
Time (seconds): 0.33
Amplitude: 1.13
Step Response
Time (seconds)
Sistema de primeira ordem
(aproximadamente)
63%*1,8 = 1,13
Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal)
24
Resposta em Frequência
-30
-20
-10
0
10
Magnitude (
dB
) System: sys
Frequency (rad/s): 0.115
Magnitude (dB): 4.97
System: sys
Frequency (rad/s): 3.07
Magnitude (dB): 1.97
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
w
=-3 dB
Linear Invariante
no Tempo
Não Linear Não Linear Variante no Tempo
Exemplo - Circuito Elétrico
25
( )2 3 ( ) ( )
di ti t v t
dt 2( )
2 3 ( ) ( )di t
i t v tdt
( )2 3 ( ) 4 ( )
di ti t v t
dt
( )2 3 ( ) ( )
di tt i t v t
dt
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui
a base para a análise de sistemas, tais como:
A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma
ponderada de impulsos, é a base para o método de
convolução.
A representação de um sinal x(t) como uma combinação
linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier.
A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada
de exponenciais complexas é a base para as transformadas de
Fourier e de Laplace.
26
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo
podem ser analisados através de equações diferenciais.
• Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas
usando superposição mesmo tendo condições iniciais
diferentes de zero.
• A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem
do sistema, a formulação das equações diferenciais e a
avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa.
27
Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo Discreto
28
Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e
implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e
que a equação do sistema envolva apenas operadores
lineares.
• Pode–se utilizar a superposição para um sistema com
condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear.
Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo
entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas
adicionais.
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Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida
a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido
apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero
(devido apenas à entrada).
• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas
lineares na presença de condições iniciais distintas de zero.
Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero
obedecem à superposição.
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Sistemas Invariante de Tempo Discreto
• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da
resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada
x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.
31
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
2
4
6
8
10
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1
-0.5
0
0.5
1
n
[ ] sin( . [ ])y n a x n
Deslocamento na saída duas unidades de tempo
Deslocamento na entrada duas unidades de tempo
Exemplo 1
1
1 1
2 1 0
2 2 1 0
Determinar seo sistema é invariante no tempo
[ ] sin( [ ])
SOLUÇÃO:
Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :
[ ] sin( [ ]) (1)
Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :
[ ] sin( [ ]) sin( [ ]) (2)
Para
y n x n
x n
y n x n
x n x n n
y n x n x n n
1
1 1
2 1
um deslocamento da saída [ ]
[ ] sin( [ ]) (3)
Comparando (2) e (3):
[ ] [ ]
Portanto,o sistema é invariante no tiempo
o o
o
y n
y n n x n n
y n y n n
SLIT
Exemplo 2
1
1 1
2 1 0
2 2 1 0
Determinar se osistema é invariante no tempo
[ ] [ ]
SOLUÇÃO:
Para uma entrada [ ] a saída do sistema é :
[ ] [ ] (1)
Considerando-se uma entrada [ ] [ ], a saída é :
[ ] [ ] [ ] (2)
Para um deslocamento da
y n nx n
x n
y n nx n
x n x n n
y n nx n nx n n
1
1 1
2 1
saída [ ]
[ ] ( ) [ ] (3)
Comparando-se (2) e (3) :
[ ] [ ]
Portanto, o sistema é variante no tempo
o o o
o
y n
y n n n n x n n
y n y n n
SLIT
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes • Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com
equações em diferença que relacionam a entrada e a saída.
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1 1[ ] [ 1] [ 2] 4 [ ]
6 6y n y n y n x n
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo
discreto, deve-se considerar que:
Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída
trazem como consequência a não linearidade do sistema.
Um termo constante também torna não linear o sistema.
Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções
explícitas de n tornam o sistema variante no tempo.
As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,
por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no
tempo.
35
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
36
• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos
de uma somatória de impulsos unitários escalados e
deslocados no tempo.
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
37
x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +...
x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...
[ ] [ ] [ ]k
x n x k n k
• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a
um impulso localizado no instante k
• Sendo o sistema invariante no tempo:
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
T { }[n-k] hk[n] knTnhk
38
knhknTnhk
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
T { }x[n] y[n]
Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos
k
knkxnx
k
knkxTny
k
knTkxny
39
k
knhkxny
k k
y n x k h n k h k x n k
Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.
Somatoria da Convolução
[ ]* [ ]y n x n h n h n x n
40
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
Exemplo da Convolução de um SLIT
41
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
42
43
44
45
46
Resultado da Convolução
47
( ) ( ) ( )i
y n h i x n i
O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n].
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A representação de um sinal x[n] como uma soma
ponderada de impulsos deslocados, é a base para o
método de convolução discreta.
• A representação de um sinal x[n] como uma combinação
linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base
da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a
transformada z.
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Causalidade de um Sistema LIT
• A saída de um sistema causal somente depende dos valores
atuais e passados da entrada .
• Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve
depender de x[k], para k>n:
então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para
k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0
49
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k
Causalidade de um Sistema LIT
• Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0:
• Ou de forma equivalente:
50
[ ] [ ] [ ]n
k
y n x k h n k
0
[ ] [ ] [ ]k
y n h k x n k
Sistemas Lineares e Invariantes:
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
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Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica