Aula 2 – Sistemas Discretos

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

jmauricio@cear.ufpb.br

www.cear.ufpb.br/juan

1

Universidade Federal da Paraíba – UFPB Centro de Energias Alternativas e Renováveis - CEAR

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – PPGEE

Objetivos

• Objetivo Geral:

Revisão de análise sistemas discretos

Revisão de Conversores A/D

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)

Revisão de análise de sinais periódicos em não periódicos

Teorema da Amostragem e Recuperação do Sinal

Transformada de Fourier

Transformada Discreta da Fourier

2

Sistemas de Controle Discreto

3

( )pG s

( )cG z( )pG s

Ts=1/fs

ZoH

Função de Transf. do Controlador

Sistema de Controle de Temperatura

Interface e D/A

Modulação PWM

Sensor

Atuador

Protocolos, RS232, RS 485, OPC

CLP

Modulação PWM

Sensor

Atuador

Protocolos, RS232, RS 458, OPC

Computador

Sistema de Controle de Temperatura

Interface e D/A

Sinais de Tempo Discreto

6

Tempo Discreto

Tempo Contínuo

x[n]

x(t)

t

n

Conversão Analógico/Digital

A/D

fsampling

#bits

Conversão de Sinais Analógico/Digital

• Componentes de um Conversor A/D

– Amostragem

– Quantização

– Codificação

7

• Amostragem de Sinais – Define-se uma frequencia de amostragem do switch

8

Ts

• Quantizador – O número de níveis de quantização é inversamente proporcional ao

número de bits.

9

Sinal Analógica Sinal Quantizada Erro de Quantização

Vmax

Níveis de Quantização

1,761 6* ( )SQNR Bits dB Relação Sinal a Ruído de Quantização

• Codificação – Codificação binaria dos níveis de quantização

10

Co

dif

icaç

ão

0101

Saída Digital

Taxa de comunicação Serial/Paralelo/Protocolos bps (bit per second)

Protocolos versus Taxa de Comunicação (bps)

11

Exemplo 1

( ) cos(2 ) cos( )

Para uma frequencia de amostragem

[ ] cos(2 ) cos 2

[ ] cos 2

[ ] cos

s

s

s

x t ft t

f

fx n fnT n

f

x n Fn

x n n

Frequencia digitals

fF

f

12

100 1000 /

20

0 :1: ( 1)

[ ] cos(2 )

s

s

Para f Hz f amostras s

N amostras

n N

x n fnT

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n

)

13

20N amostras

W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T

14

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

x(t

)

1sT ms

1000

1

s

s

amostrasf

s

T ms

W s

A janela de tempo de aquisiçãoé

t N T

W st N T

15

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

x(t

)

• Considerando-se que cada amostra tem “B” bits

• A taxa de transferência de dados através de uma comunicação

serial é dada por fsB

• janela de tempo de aquisição: tw

fsB

Sinal Discreta com “N” amostras

Transferência de dados por amostra (bps)

W s

W

s

t N T

tN amostras

T

1 byte = 8 bits 1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes 1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes 1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes

Memória

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)

16

Sistemas Invariantes de Tempo

Deslocamento na saída

Deslocamento na entrada

• Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída

0 0

17

( ) { ( )}y t T x t

0 0( ) { ( )}y t t T x t t

Representação de Sistemas Lineares e Invariantes (SLIT)

• Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes.

• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação.

18

0 0

( ) ( )k kN M

k kk kk k

d y t d x ta b

dt dt

Exemplo – Sistema Mecânico

19

2

2( )

y ym b ky u t

t t

Equação Diferencial

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

0

1

tempo (s)0

tempo (s)

x(t-t0)

x(t)

y(t-t0)

y(t)

É um sistema Invariante no tempo

Exemplo: Motor de Corrente Continua

20

Controle de velocidade para uma ampla faixa

de valores acima e abaixo do valor nominal;

É possível acelerar, frear e reverter o sentido

de rotação de forma rápida;

Não está sujeito à harmônicos e não

possui consumo de potência reativa;

Permite variar a sua velocidade mantendo seu

torque constante;

Possui um alto conjugado de partida, que

também conhecido como torque ou força de

arranque;

Os conversores necessários para o seu

controle são menos volumosos

Possui maior manutenção devido aos desgastes

entre as escovas com o comutador, exceto para os

motores brushless;

Em relação aos motores de indução CA de mesma

potência possuem um preço e tamanho maiores;

Por causa da centelha que ocorre entre suas

escovas e os comutadores, com exceção dos

motores brushless, os motores de corrente contínua

não podem operar em ambientes explosivos.

Aplicações Típicas de Motor CC

• Máquinas de Papel

• Bobinadeiras e desbobinadeiras

• Laminadores

• Máquinas de Impressão

• Extrusoras

• Prensas

• Elevadores

• Movimentação e Elevação de Cargas

• Moinhos de rolos

• Indústria de Borracha

• Mesa de testes de motores

21

Modelagem de um Motor CC

22

Modelagem elétrica

Modelagem mecânica

Modelagem Elétrica

23

Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da armadura:

Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.

Modelagem Elétrica

24

Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com campo separado.

Modelagem Elétrica

25

Corrente em função da diferença da tensão terminal aplicada e a contraforça eletromotriz de armadura.

Modelagem Elétrica

26

Modelagem Mecânica

27

28

Modelagem Mecânica

29

Modelagem Completa Elétrica-Mecânica

Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua.

input

output

30

Parâmetros para simulação

Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0

31

Resposta do Modelo do Motor CC a uma entrada Degrau

Tensão +

motor

modelo

Erro do Modelo

32

Tensão

motor

modelo

Constante de Tempo Sistema de primeira ordem (aproximadamente) 63%*1,8 = 1,13

33

Resposta do Modelo do Motor CC a uma entrada Impulso

Tensão

motor

modelo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6Impulse Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal) 0

34

Resposta em Frequência do Modelo do Motor CC

Tensão

motor

modelo

_( )

_ ( )

Velocidade RotaçãoFT f

Tensão Entrada f

Análise da Função de Transferência no domínio da Frequência

Frequência Variável

35

Resposta em Frequência do Motor CC

-30

-20

-10

0

10

Magnitude (

dB

) System: sys

Frequency (rad/s): 0.115

Magnitude (dB): 4.97

System: sys

Frequency (rad/s): 3.07

Magnitude (dB): 1.97

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

w

=-3 dB

2 f

Análise de Sinais e Sistemas Contínuos

Tempo-Frequência

36

Análise de Sinais no Tempo

37

Outliers

Transitórios Média Móvel

Histogramas

• A Serie de Fourier permite descompor um sinal periódico x(t), em um conjunto de ondas sinusoidais com frequências k0 denominados “harmónicos”

38

t (seg)

0

20

30

40

( ) ojk t

k

k

x t a e

Análise na Frequência Sinais Periódicos

• Decomposição da Serie de Fourier

39

2o

o

T

0 0 0 02 2

2 1 0 1 2

( )

( ) ... ...

ojk t

k

k

j t j t j t j t

x t a e

x t a e a e a a e a e

0

1( )

oo

Tjk t

k

o

a x t e dtT

Combinação Linear de Harmónicos

Cálculo de Coeficientes

Sinais Periódicos

0

0

x(t)A

Acos()

T0=2/w

0

• Cada elemento da somatória da Serie de Fourier, define uma harmónica, com frequência ko

• ko define o sentido de giro e a frequência de cada armónica

40

ojk t

ka e

Sinais Periódicos

Decomposição de um sinal e Largura de Banda

• Largura de banda de um sistema pode ser definido como a faixa de valores de frequências em que o sistema responde a sinais de entrada

41

( ) ojk t

k

k

x t a e

t(s)

42

Sinais Não Periódicos

• Para um sinal não periódico x(t):

Pode-se construir um sinal periódico , assumindo-se que x(t) sejá periódico quando To

( )x t

43

• Para To , x(t)

• Para To , o0

• Baseada nestas considerações, a somatória é transformada para uma operação integral, definindo-se a TRANSFORMADA DE FOURIER

1( ) ( )

2

( ) ( )

j t

j t

x t X e d

X x t e dt

( )x t

( ) ojk t

k

k

x t a e

( ) ( )

F

x t X Notação:

Sinais Não Periódicos

Representação de Sistemas usando a Transformada de Fourier

44

( )h t

( )X ( )Y

( )H

Transformada de Fourier

Função de

Transferência

45

( )X ( )Y

( )H

Função de

Transferência

( )( ) ( ) j XX X e

( )( ) ( ) j HH H e

( )( ) ( ) j YY Y e

( )( )

( )

YH

X

Función de Transferencia

Magnitude da Transformada de Fourier

46

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j H j X

j H j X

Y H e X e

Y H X e e

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

YH Y H X

X

| ( ) | | ( ) || ( ) |Y H X

( ) ( ) ( )Y H X

Magnitude e Fase do sinal de saída do Sistema

Fase da Transformada de Fourier

Exemplo: Resposta em Frequência de um Circuito RC

• Circuito RC Resposta em Frequência

47

1/ 1 1( )

1/ 1 1

j CH

R j C RCj j

1

j C

RC Constante de tempo

Função de Transferência

48

1

j C

1/ 1 1( )

1/ 1 1

j CH

R j c Rcj j

0.1 1( ) | ( ) | 0.995 20 | ( ) | 0.04

0.1 1

1 1( ) | ( ) | 0.7071 20 | ( ) | 3

1 1

10 1( ) | ( ) | 0.0995 20 | ( ) | 20

10 1

H H Log H dbj

H H Log H dbj

H H Log H dbj

Exemplo: Resposta em Frequência de um Circuito RC

Magnitude e Fase do Sistema

49 Prof. Juan Mauricio

Teorema da Amostragem e Reconstrução de Sinais

50

51

Sinal no tempo continuo

Função de amostragem

Sinal amostrado no tempo discreto

2s

T

Amostragem (Sampling)

1sf

T

• O sinal amostrado pode ser representado como um trem de impulsos ponderados com período T

52

( )p

n

x t x nT t nT

Amostragem (Sampling)

• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:

Com frequência máxima de M

53

Análise da Amostragem na Frequência

• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado na frequência é equivalente a replicar o espectro original em múltiplos da frequência de amostragem s

54

Análise da Amostragem na Frequência

1( )X

T

1( )sX

T

1( 2 )sX

T

• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado por Xp()

55

( )p

n

x t x nT t nT

Sequência Amostrada no Tempo

Sequência Amostrada na Frequência

Análise da Amostragem na Frequência

1

( )p s

k

X X kT

1( )X

T

1( )sX

T

1( 2 )sX

T

56

2

M s M

M s

M=Freq. Máxima

s=Freq. Amostragem

Condição para que não haja superposição de espectros

57

Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.

( )( ) | ( ) | jH H e

Filtro Passa-Baixa

58

1c

RC

H(): Função de transferência do sistema c : Frequência de corte

59

Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos

A recuperação do espectro original X() pode ser realizada utilizando um filtro passa-baixa com frequência de corte:

2

Sc

Transf. Inversa de

Fourier

60

• Se:

“Efeito Aliasing”

• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()

2

s M M

s M

Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)

61

• Define-se o Teorema da Amostragem:

– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.

– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:

22 :s M scom

T

12 :s M sf f com f

T

Teorema da Amostragem

62

• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.

Teorema da Amostragem

63

Reconstrução de Sinais

• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperação do sinal analogico a partir das amostras do sinal.

• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.

64

Reconstrução de Sinais

• fs≥2fmax

A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por

2

s

c

fB f

Recuperação do espectro do sinal original

65

Reconstrução de Sinais

• fs<2fmax

Perda da informação do sinal original Espectro original recortado

66

Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Transformada de Fourier em Tempo Discreto

• Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L:

67

2, 0,..., 1

kk L

L

[ ] ( )Fx n X

1

0

( ) [ ] , 0,1,2,...., 1L

j n

n

X x n e k L

68

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital

69

Exemplo 1: fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

70

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1 N-1

DFT

Exemplo de avaliação da DFT

L = 5 k = 0,1,2,3,4

71

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ]

21 (2 / 5) [ ]

5

42 (4 / 5) [ ]

5

63 (6 / 5) [ ]

5

84 (8 / 5) [ ]

5

n

j n

n

j n

n

j n

n

j n

n

k X x n

k X x n e

k X x n e

k X x n e

k X x n e

2, 0,..., 1

kk L

L

Módulo e Fase da DFT

72

0

1

2

3

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ] (0)

21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)

5

42 (4 / 5) [ ] (4 / 5)

5

63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)

5

84 (8 / 5) [ ] (

5

j

n

jj n

n

jj n

n

jj n

n

j n

n

k X x n X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X

48 / 5)j

e

• A resolução da frequência digital é dada como:

73

0

1

2

3

4

0 0 (0)

21 (2 / 5)

5

42 (4 / 5)

5

63 (6 / 5)

5

84 (8 / 5)

5

j

j

j

j

j

k X e

k X e

k X e

k X e

k X e

0

2

L

Resolução da Frequência Digital

Resolução

Definição da Transformada de Fourier Discreta

• A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:

• A DFT inversa é definido por

74

2, 0,..., 1

kk N

N

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N

j n

n

X x n e k N

1

0

1[ ] ( ) , 0,1,2,..., 1

Nj n

k

x n X e n NN

[ ] ( )Fx n X Notação:

Propriedades da DFT • Linearidade

• Deslocamento no tempo

75

1 1

Fx n X

2 2

Fx n X 1 2 1 2

Fax n bx n aX bX

0

0

j nFx n n e X

• Deslocamento na frequência

• Convolução

76

0j n F

oe x n X

h[n]x[n] y[n]

Fy n x n h n Y X H

k

y n x n h n x k h n k

Propriedades da DFT

Exemplo 2

77

• Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft)

• Frequência do sinal f= 50Hz

• Frequência de amostragem fs=1000Hz

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1señal

Tamanho do sinal L = 20 amostras

Exemplo 2

78

• Incrementando 100 zeros

0 20 40 60 80 100 120-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1señal+ruido

20 amostras

100 zeros

O novo tamanho do sinal é N = 120 amostras

Exemplo 2

79

• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

rad/s

|DF

T|

199

0

( ) [ ] , 0,1,2,....,199j n

n

X x n e k

0

2 20.052 /

120rad seg

N

Resolução:

Exemplo 2

80

• Transformação de escala (rad) x (Hz)

2 1000

. 1000( )

2 2

s

s

A Transformada de Fourier Discreta é Períodica

f

f

ff Hz

Exemplo 2

81

• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta (escala em Hz)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12

Hertz

|DF

T|

Frequência do sinal f=50Hz

Exemplo 2

82

• Simetria da Transformada de Fourier Discreta

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

2

4

6

8

10

12

Hertz

|DF

T|

Simetria

Considerações na Avaliação da DFT

83

• A adição de zeros não proporciona nenhuma informação adicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n].

• Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar a DFT de N pontos, se obtém uma melhor representação gráfica, devido principalmente à melhora na resolução da DFT.

Exemplo 2

• Simetria e Periodicidade

Propriedades da DFT

84

85

Propriedades da DFT

86

Propriedades da DFT

• Simetria

• Período igual a 2*

87 0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FF

T|

Espectro de x(n)

2

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

DFT

N=100 fs=10 kHz fo = 1 kHz

Exemplo 3

Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz

88

2 fs

Omega f(Hz)

( )2

sff Hz

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

omega (rad)

|FF

T|

Espectro de x(n)

2

Realizando a Transformação

89

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

fs/2 fsfo

Simetria com respeito a fs/2 Período igual a fs A Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]

BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]]

DFT de um sinal ruído branco Gaussiano

• Valor médio = 0

• Desvio padrão = 0.1

90

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

5

10

15

20

25

30

35

40

r = 0 + 0.1*randn(1,1000); figure,hist(r,100)

A DFT do ruído branco Gaussiano

91

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

DFT do ruído

DFT de 2 sinais sinusoidais

• fs = 10 kHz (Frequência de amostragem)

• Frequência dos sinais f0=1 kHz e f1=3 kHz

92

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

Que acontece se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ?

• Por exemplo, para fo = 1000 Hz e f1 = 6000 Hz

• Sendo que a largura de banda vá de [0, 5000]Hz, o espectro do sinal de 6000 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4000 Hz. Por tanto, tem-se um espectro de frequência errado.

93

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

10

20

30

40

50

60

f(Hz)

|FF

T|

Espectro de x(n)

fo Simetria de fo f1

Simetria de f1

Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], deve-se colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais de entrada.

fc=fs/2

Filtro Passa Baixo

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

twindow

t

x(t)

A/D

n

x(n)

0 1 n 0 1 N-1

DFT

94

• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n]

por uma janela w[n]:

[ ] [ ] [ ]wh n h n w n

( ) ( ) ( )wH F H F W F

95

Multiplicação em

tempo discreto

Convolução na

Frequência

Análise em Frequencia usando Janelas

• Características das Funções que caracterizam Janelas

96

M n M

[ ] 1w n

[ ] 1n

w nM

[ ] 0.5 0.5cosn

w nM

[ ] 0.54 0.46cosn

w nM

2[ ] 0.42 0.5cos 0.08cos

n nw n

M M

JANELAS

Boxcar

Blackman

Barlett

Hanning

Hamming

Análise em Frequencia usando Janelas