Sistemas Lineares e Invariantes

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

jmauricio@cear.ufpb.br

www.cear.ufpb.br/juan

1

Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Sistemas Lineares de Tempo Contínuo

• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou

seja, satisfaz as propriedades de:

Aditividade e Homogeneidade.

2

Sistema no Tempo Contínuo

1 1

2 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t T x t

y t T x t

y t y t y t T x t x t

( ) ( )

( ) ( )

y t T x t

ay t T ax t

Determinar se sistema é Linear?

3

2

2( )

y ya b c u t

t t

Aditividade

2

1 1

12

2

2 2

22

( )

( )

y ya b c x t

t t

y ya b c x t

t t

2

1 2 1 2

1 22

( ) ( )2 ( ) ( )

y y y ya b c x t x t

t t

Homogeneidade

2

2

2

2

( )

( ) ( )( )

y ya b c x t

t t

y ya b c x t

t t

2

2

( ) ( )( )

y ya b c x t

t t

É um sistema Não Linear

Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo

Deslocamento na saída

Deslocamento na entrada

• Um sistema é invariante no tempo se para um

deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um

deslocamento no tempo na sinal de saída

0 0

4

( ) { ( )}y t T x t

0 0( ) { ( )}y t t T x t t

Modelagem do Motor de Corrente Continua

5

Aspectos Construtivos de um Motor CC

6

Aplicações Típicas de Motor CC

• Máquinas de Papel

• Bobinadeiras e desbobinadeiras

• Laminadores

• Máquinas de Impressão

• Extrusoras

• Prensas

• Elevadores

• Movimentação e Elevação de Cargas

• Moinhos de rolos

• Indústria de Borracha

• Mesa de testes de motores

7

Modelagem do Motor CC

• A modelagem do motor de corrente contínua envolve duas

etapas:

Modelagem elétrica;

Modelagem mecânica.

8

Modelagem Elétrica

9

Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da

armadura:

A velocidade do motor pode ser controlada pela tensão Vta ou a corrente de armadura Ia

10

Parâmetros para simulação

Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0

11

Resposta ao Degrau e Impulso

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6Impulse Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

System: sys

Time (seconds): 0.33

Amplitude: 1.13

Step Response

Time (seconds)

Sistema de primeira ordem

(aproximadamente)

63%*1,8 = 1,13

Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal)

12

Resposta em Frequência do Sistema

-30

-20

-10

0

10

Magnitude (

dB

) System: sys

Frequency (rad/s): 0.115

Magnitude (dB): 4.97

System: sys

Frequency (rad/s): 3.07

Magnitude (dB): 1.97

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

w

=-3 dB

Sistemas Invariante de Tempo Discreto

• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da

resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada

x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-1

-0.5

0

0.5

1

n

[ ] sin( . [ ])y n a x n

Deslocamento na saída duas unidades de tempo

Deslocamento na entrada duas unidades de tempo

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes • Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com

equações em diferença que relacionam a entrada e a saída.

14

1 1[ ] [ 1] [ 2] 4 [ ]

6 6y n y n y n x n

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo

discreto, deve-se considerar que:

Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída

trazem como consequência a não linearidade do sistema.

Um termo constante também torna não linear o sistema.

Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções

explícitas de n tornam o sistema variante no tempo.

As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,

por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no

tempo.

15

• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a

um impulso localizado no instante k

• Sendo o sistema invariante no tempo:

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

T { }[n-k] hk[n] knTnhk

16

knhknTnhk

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

T { }x[n] y[n]

Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos

k

knkxnx

k

knkxTny

k

knTkxny

17

k

knhkxny

k k

y n x k h n k h k x n k

Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução.

Somatoria da Convolução

[ ]* [ ]y n x n h n h n x n

18

Representação de Sistemas Lineares e

Invariantes

Características de Sistemas Lineares e

Invariantes

• A representação de um sinal x[n] como uma soma

ponderada de impulsos deslocados, é a base para o

método de convolução discreta.

• A representação de um sinal x[n] como uma combinação

linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base

da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a

transformada z.

19

20

Transformada de Fourier

Discreta (DFT)

Transformada de Fourier em

Tempo Discreto • Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L:

21

2, 0,..., 1

kk L

L

[ ] ( )F

x n X

1

0

( ) [ ] , 0,1,2,...., 1L

j n

n

X x n e k L

22

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital

23

Exemplo 1: fs = 10k Amostras/s Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1

N = número de amostras

N-1

24

1

0

( ) [ ] ,

20,1,2,...., 1,

Nj n

n

X x n e

kk N

N

fs = 10k amostras/s Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms

twindow

t

x(t)

A/D

fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem

n

x(n)

0 1 n

x(n)

0 1 N-1

DFT

Exemplo de avaliação da DFT

L = 5 k = 0,1,2,3,4

25

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ]

21 (2 / 5) [ ]

5

42 (4 / 5) [ ]

5

63 (6 / 5) [ ]

5

84 (8 / 5) [ ]

5

n

j n

n

j n

n

j n

n

j n

n

k X x n

k X x n e

k X x n e

k X x n e

k X x n e

2, 0,..., 1

kk L

L

Módulo e Fase da DFT

26

0

1

2

3

4

0

42 /5

0

44 /5

0

46 /5

0

48 /5

0

0 0 (0) [ ] (0)

21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)

5

42 (4 / 5) [ ] (4 / 5)

5

63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)

5

84 (8 / 5) [ ] (

5

j

n

jj n

n

jj n

n

jj n

n

j n

n

k X x n X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X e

k X x n e X

48 / 5)j

e

• A resolução da frequência digital é dada como:

27

0

1

2

3

4

0 0 (0)

21 (2 / 5)

5

42 (4 / 5)

5

63 (6 / 5)

5

84 (8 / 5)

5

j

j

j

j

j

k X e

k X e

k X e

k X e

k X e

0

2

L

Resolução da Frequência Digital

Resolução

Definição da Transformada de

Fourier Discreta • A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:

• A DFT inversa é definido por

28

2, 0,..., 1

kk N

N

1

0

( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N

j n

n

X x n e k N

1

0

1[ ] ( ) , 0,1,2,..., 1

Nj n

k

x n X e n NN

[ ] ( )F

x n X Notação:

Atividade

• Realizar o estudo:

Sistemas variantes no tempo – características

Sistemas não lineares – características

A DFT para sinais estacionários e não estacionários

Potência de um sinal discreto

Energia de um sinal discreto – teoremas

Relação Sinal a Ruído (SNR)

Frequência de amostragem vs SNR

SNR vs # bits de aquisição

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