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24/08/2016

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Introdução

Márcio Júnior Nunes

Faculdade PitágorasUnidade Divinópolis

Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas

O que é um Sinal? Sinal Unidimensional Sinal Multidimensional

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Nível de líquido

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Eletrocardiograma

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Pressão Arterial

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Índice Ibovespa

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O que é um Sistema?

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Sistema Não existe um propósito único para um

sistema Sistema de reconhecimento automático

de locutor Sistema de comunicação Sistema de controle de velocidade de

motor elétrico

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Transdutor de temperatura

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CLP

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Válvula de Controle

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Filtro Digital de Imagens

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Sinais de tempo contínuo x(t)Sinais de tempo discreto x[k]

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Sinais de tempo discreto x[k] Uniformemente espaçados Deriva do sinal de tempo contínuo através

de amostragem a taxa uniforme

x[n] = x(nT) , n = 0, ±1, ± 2 ...

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Sinais Pares Um sinal de tempo contínuo é um sinal par se

satisfaz:x(t) = x(-t), para todo t

Sinais pares são ditos simétricos em relação ao eixo vertical

Sinais de Ímpares Um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se

satisfaz:x(-t) = -x(t), para todo t

Sinais ímpares são ditos antissimétricos em relação ao eixo vertical

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Decomposição par/ímpar de um sinal geral x(t)

x(t) = xp(t) + xi(t)Fazendo t = -t na expressão acima:

x(-t) = xp(-t) + xi(-t)Utilizando as definições de sinais pares e ímpares e resolvendo para xp e xi:

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As definições de sinais pares/ímpares pressupõem que os sinais têm valores reais. Quando o sinal tem valor complexo, podemos falar em simetria conjugada:

x(-t) = x*(t)

x(t) = a(t)+ jb(t)x*(t) = a(t) – jb(t)Para que x(-t) = x*(t), a parte real deve ser par e a parte imaginária deve ser ímpar

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Exemplo: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar:

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Solução: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar:

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Sinais Periódicos

Contínuo: x(t) = x(t + T) para todo t,em que T é uma constante positiva

Discreto: x[n] = x[n + N] para todo n,sendo o período N dado em núm. de amostras

Se esta condição for satisfeita para T = T0, ela será também para T = 2T0, 3T0, ...

T0 é chamado período fundamental de x(t)

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Sinais Não Periódicos

Qualquer sinal para o qual não haja um valor de Tque satisfaça x(t) = x(t + T) para todo t, em queT é uma constante positiva

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Exercício: Determine a frequência fundamental e a frequência angular do sinal abaixo:

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Sinal DeterminísticoSua descrição física é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica, não havendo incerteza quando ao seu valor em qualquer tempo.

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Sinal AleatóriosSinal cujos valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos por uma descrição probabilística (valor médio ou valor médio quadrático)

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Potência instantânea Sistemas Elétricos: A potência é proporcional à amplitude ao quadrado

do sinal Definimos então a POTÊNCIA INSTANTÂNEA em

termos de um resistor de 1 ohm

Baseando-se nessa convenção, definimos a ENERGIA TOTAL do sinal:

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Potência média ou potência Quando a amplitude do sinal não tende a 0 quando o

tempo tende a ∞, a energia do sinal é infinita

Neste caso, uma medida mais significativa é a potência média do sinal, definida por:

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Sinal de Energia ou Potência? Sinal de Energia sse a energia total do sinal

satisfazer:0 < E < ∞

Sinal de Potência sse a potência média do sinal satisfazer:

0 < P < ∞ As classificações de energia e potência são

mutuamente excludentes

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Exemplo: Calcule a energia total do primeiro sinal e a potência do segundo sinal

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Exercício

Lista de Exercícios 2.0

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Mudança de escala de amplitude x(t) é o sinal de tempo contínuo

y(t) = c x(t) c é o fator de escala y(t) é obtido multiplicando-se x(t) pelo escalar c O mesmo para sinais de tempo

discretoy[n] = c x[n]

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Adição x1(t) e x2(t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela adição é

y(t) = x1(t) + x2(t) De maneira semelhante

y[n] = x1[n] + x2[n]

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Multiplicação x1(t) e x2(t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela multiplicação é

y(t) = x1(t)x2(t) De maneira semelhante

y[n] = x1[n]x2[n]

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Diferenciação x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela diferenciação é

Integração x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela integração é

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Mudança de escala de tempo x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável

independente, tempo t, por um fator a é y(t) = x(at)

a > 1: y(t) é a compressão de x(t) 0 < a < 1: y(t) é a expansão de x(t)

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ExemploEx. 1: x(2t)? Ex.2: z(0.5t)?

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Exemplo - Solução1 - x(2t) 2 – z(0.5t)

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Mudança de escala de tempo x[n] sinal de tempo discreto O sinal y[k] obtido pela mudança de escala da variável

independente, n, por um fator k é y[n] = x[kn], k > 0 e somente k inteiro

Se k>1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[k] são perdidos

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Exemplo k= 2

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Reflexão y(t) denota o sinal observado substituindo-se o tempo

t por –ty(t) = x(-t)

y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude Sinais pares: Como x(-t) = x(t), um sinal par é o mesmo

que sua versão refletida Sinais ímpares: Como x(-t) = -x(t), um sinal ímpar é o

negativo de sua versão refletida O mesmo se aplica aos sinais de tempo discreto

y[n] = x[-n]

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Exemplos

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Sinal Par Sinal Ímpar1) 2)

3)

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Deslocamento no tempo x(t) sinal de tempo contínuo. A versão de x(t)

deslocado no tempo é:y(t) = x(t – t0)

t0 é o deslocamento no tempo t0 > 0 → deslocamento para a direita (atraso) t0 < 0 → deslocamento para a esquerda (avanço) X[n] sinal de tempo discreto. A versão de x[n]

deslocado no tempo é:y[n] = x[n – m]

m deve ser um inteiro, positivo ou negativo

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Exemplo

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Exercício

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Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Suponhamos que y(t) é um sinal contínuo derivado de

outro sinal contínuo x(t) por uma combinação de deslocamento e mudança de escala no tempo:

y(t) = x(at – b) Assim, temos as seguintes condições:

As operações têm uma ordem de execução

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Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo1. Executa-se o deslocamento de tempo em x(t),

gerando um sinal intermediário v(t)

2. Em seguida, a operação de mudança de escala é executada em v(t)

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Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Supondo que, intencionalmente, não seguimos a

ordem de precedência, e executamos a mudança de escala e só então o deslocamento no tempo

Não satisfaz a equação

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Exercício Dado x(t) abaixo, encontre y(t) = x(2- t)

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Exercício


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A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa

Servem como blocos de construção para sinais mais complexos ...

... E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza

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A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa

Servem como blocos de construção para sinais mais complexos ...

... E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza

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Representação tempo contínuox(t) = B e at

B e a são parâmetros reais

B é a amplitude do sinal exponencial em t=0

O parâmetro a identifica dois casos Exponencial crescente para a > 0 Exponencial decrescente para a < 0

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Exemplo

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Representação tempo discretox[n] = B r n

B e r são parâmetros reais

B é a amplitude do sinal exponencial em n=0

O parâmetro r identifica quatro casos

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0 < r < 1 : Exponencial Decrescente r > 1: Exponencial Crescente

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-1 < r < 0 : Exponencial Decrescente (+, -) r < -1: Exponencial Crescente (+, -)

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Conforme vimos na revisão, têm a forma:x(t) = A cos(ωt + φ)

A -> Amplitudeω -> frequência em rad/sφ -> fase ou ângulo de fase

É um sinal periódico:

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A versão de tempo discreto tem a forma:x[n] = A cos(Ωn + φ)

A -> AmplitudeΩ -> frequência em rad/sφ -> fase ou ângulo de fase

Para que um sinal discreto seja periódico:x[n] = x[n + N] para n inteirox[n] = A cos(Ωn + φ) = x[n + N] = A cos(Ωn + ΩN + φ) =

K = algum número inteiro

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Exemplos

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No tempo contínuo, para toda frequência distinta temos um sinal distinto

No tempo discreto, os sinais com frequência Ω0 são idênticos aos sinais com frequência Ω0 + 2π, Ω0 + 4π, ... Etc

Ex: x(t) = cos(πt) e x[n] = cos[πn]

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O sinal senoidal exponencialmente amortecido é resultado da multiplicação do sinal exponencial de tempo contínuo A sen(ωt + φ) pela exponencial e-αt:

Ex:

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A versão de tempo discreto do sinal senoidal exponencialmente amortecido é:

Para que esse sinal decresça com o tempo, o parâmetro r deve estar na faixa 0 < |r| < 1

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Versão de tempo discreto u[n]

Versão de tempo contínuo u(t)

Diz-se que u(t) tem descontinuidade em t = 0, pois se modifica instantaneamente de 0 para 1

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Sinal particularmente simples de se aplicar.Ex:

Como sinal de teste, revela sobre a rapidez do sistema

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Pode ser usado para construir outras formas de ondas descontínuas. Exemplo

Para o pulso mostrado abaixo de amplitudeA e duração 1, expresse x(t) como umaúnica expressão

Se quisermos que um sinal comece em t=0 (valor nulo para t<0) , o que chamamos de sinal causal, basta multiplicá-lo por u(t)

Exemplo O sinal e-at representa uma exponencial com

duração infinita começando em t = -∞.Obtenha a forma causal dessa exponencial.

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Exercícios Um sinal de tempo discreto x[n] é descrito conforme abaixo.

Represente x[n] como a superposição de duas funções degrau u[n]

Descreva o sinal abaixo como função x(t) de uma única expressão

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Também chamada de Delta de Dirac Derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo t No tempo discreto é descrita por δ[n] e definida como:

No tempo contínuo é descrita por δ(t) e definida pelo par:

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A descrição gráfica do impulso δ[n] no tempo discreto é obtida diretamente

A descrição gráfica para o tempo contínuo pode ser vista como o limite de um pulso retangular de área unitária

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Propriedades da função Impulso δ(t) = δ(-t) ou seja, δ(t) é uma função par

, propriedade do peneiramento

, propriedade da mudança de escala de tempo

Prova:

e

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Assim como a função impulso δ(t) é a derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo, pelo mesmo raciocínio, a função rampa com inclinação unitária é a integral da função degrau u(t)

É denotada por r(t) no tempo contínuo ou r[n] no tempo discreto Permite avaliar como um sistema reage a um sinal que cresce

linearmente Definida por

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Um sistema pode ser visto como a interconexão de operações O operador H global denota a ação do sistema (modelo matemático

ou função de transferência). Assim, a aplicação de um sinal de entrada x(t) na entrada produz um sinal de saída descrito por

y(t) = Hx(t) Exemplo: Um sistema discreto cuja saída y[n] é a média dos três

últimos valores da entrada x[n] é:

Se o operador Sk denota um sistema que desloca a entrada x[n] de k unidades de tempo produzindo a saída igual a x[n – k], conforme a figura abaixo, desenvolva um diagrama de blocos para o sistema de médias.

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Descrevem as características do operador H que representa o sistema

Estabilidade Um sistema é do tipo entrada limitada – saída limitada (BIBO –

Bounded Input/ Bounded Output) estável se e somente se toda entrada limitada resultar em uma saída limitada A saída não diverge se a entrada não divergir

Se |x(t)| ≤ Mx ≤ ∞ , então |y(t)| ≤ My ≤ ∞

Mx e My são números positivos finitos

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Sistema Instável

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Exemplos Mostre que o sistema abaixo é BIBO estável

Mostre que o sistema abaixo é instável para r > 1.

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Um sistema é linear se ele satisfaz o princípio da superposição: H a x[n] = a H x[n] = a y[n] H x1[n] + x2[n] = H x1[n] + H x2[n] = y1[n] + y2[n]

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Exemplo O sistema de tempo discreto abaixo é linear?

y[n] = n x[n]

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Exemplo O sistema de tempo contínuo abaixo é linear?

y(t) = x2(t)

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Um sistema é causal se o valor atual da saída depender somente dos valores presentes e/ou passados da entrada.

Exemplo:

Se o sinal de saída depender de valores futuros do sinal de entrada ele é não-causal

Se o sistema não-causal não for de tempo real, ele é realizável Exemplo:

Exercício: O sistema abaixo é causal ou não-causal para k positivo?

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Um sistema possui memória se sua saída depende de valores passados do sinal de entrada (ou sistema dinâmico).

Quanto mais longe se estendem no passado os valores de entrada, maior a memória do sistema.

Um sistema é sem memória se sua saída depende apenas do valor atual da entrada (ou sistema instantâneo).

Exemplo:

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Exercícios Quão longe a memória dos sistemas descritos abaixo se estende no passado?

A relação entrada-saída de um diodo semicondutor é dada abaixo, esse diodo tem memória?

v(t) é a tensão aplicadai(t) é a corrente através do diodoa0, a1, a2,... são constantes

79


Um sistema é dito invariante no tempo se seus parâmetros não mudam com o tempo (permanecem constantes).

Assim, um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada leva a um deslocamento idêntico no sinal de saída

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Caso contrário, o sistema é dito variante no tempo

Exemplo O sistema abaixo é invariante no tempo?

y[n] = rn x[n]

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ExercícioUm termistor tem uma resistência que varia com o tempo devido a mudanças de temperatura. Digamos que R(t) denote a resistência do termistor, expressa como uma função do tempo. Se x(t) é o sinal de entrada que representa a tensão no termistor, e y(t) é o sinal de saída que representa a corrente no termistor, podemos representar a relação entrada-saída como

Mostre que este sistema é variante no tempo.

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Um sistema é dito invertível se a entrada puder ser recuperada da saída do sistema

De maneira formal, a saída do segundo sistema é:H-1y(t) = H-1 Hx(t) = H-1 Hx(t)

Para que a saída se iguale a entrada, devemos ter H-1 H = I

sendo I o operador identidade Cada entrada possui uma única saída associada

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Exemplo: Mostre que o sistema descrito abaixo não é invertível.y(t) = x2(t)

Exercício: Considere o sistema de deslocamento no tempo descrito pela relação de entrada-saída

Em que o operador representa um deslocamento no tempo de t0segundos. Encontre o inverso deste sistema.

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Exercício


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