equilíbrio do corpo rígido etep_aula6

Introdução

Introdução a Mecânica Clássica

O objetivo da mecânica clássica é expor a relação entre o movimento de um

corpo e as forças que agem sobre ele. Podemos descrever a aceleração em

função da força resultante que age sobre um corpo e da massa que ele possui.

Essa força constitui a interação do corpo com sua vizinhança e a massa do corpo

é uma medida da inércia do corpo, isto é, da tendência de o corpo resistir à

aceleração quando uma força age sobre ele.

1ª Lei de Newton

"Um corpo tende a permanecer em repouso ou

em movimento retilíneo e uniforme, quando a

resultante das forças que atuam sobre si for

nula".

Introdução

• Inércia é a propriedade da matéria que faz com que ela resista a qualquer

mudança em seu movimento. Esta propriedade é descrita com precisão na lei

do movimento de Newton.

• A inércia de um objeto diante de uma translação é determinada por sua

massa. Diante de uma rotação, a inércia do objeto é determinada por seu

momento de inércia.

• Se é aplicado um mesmo par de forças (binários) a uma roda com um

momento de inércia pequeno e a uma outra com um momento de inércia

grande, a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais

rapidamente que a da segunda.

• O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da

massa ao seu eixo de rotação.

Introdução

Momento de inércia

O momento de inércia é uma grandeza que está associada a resistência

que um corpo oferece ao se colocar o mesmo em rotação em torno de um eixo

qualquer. Dessa forma relaciona sua massa e como ela está distribuída ao redor

do eixo de rotação. De forma quantitativa é então:

Onde I é o momento de inércia r é a distância do elemento de massa dm ao eixo

de rotação.

𝐼 = 𝑟2 𝑑𝑚

Introdução

Pode-se também definir o momento de inércia de uma superfície ou área. Nesse

caso o nome mais apropriado seria momento de segunda ondem. O nome

momento de inércia é mais apropriado a situação da definição dada

anteriormente com os elementos dm. Comumente em problemas na engenharia,

os dois são chamados de momento de inercia mesmo. A definição quantitativa do

momento de inércia para áreas ou superfícies é:

dAxIdAyI yx

22

Onde 𝑰𝒙 é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação x e y é a

distância do elemento de área dA ao exo x. E 𝑰𝒚 é o momento de inércia em

relação ao eixo de rotação y e x é a distância do elemento de área dA ao eixo y.

Momento de inércia de uma área

Raio de giração

Raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na

qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se

tenha o mesmo momento de inércia.

Momento de inércia de uma área

A

IkAkI x

xxx 2

Momento de inércia de uma área

Momento de inércia de uma área

Teorema dos eixos paralelos

Momento de inércia de uma área por integração

Da mesma maneira que definimos o momento de inércia para o eixo x,

podemos definir o momento de inércia Iy de uma superfície de área A em

relação ao eixo y.

dAxIdAyI yx

22

Momentos axiais de inércia

Momento de inércia de uma área por integração

Calcular o momento de inércia Ix de uma superfície retangular:

dybyIddybdA x

2

h

x bhdybyI0

32

3

1

dAxIdAyI yx

22

3

3

1bhI x

Exemplo

Momento de inércia de uma área

Tabela de momento de inércia

Momento de inércia de uma área

Tabela de momento de inércia

Momento de inércia de uma área

Áreas compostas

A resistência de um perfil duplo T de 380mmx149mm é aumentada prendendo-

se a seu flange superior uma chapa de 150 mm x 20 mm, conforme

esquematizado na figura. Determinar o momento de inércia e o raio de giração

da seção composta em relação a um eixo passando por seu centróide C e

paralelo à chapa.

Exemplo 1

Momento de inércia de uma área

Áreas compostas

Como deseja-se calcular o momento de inércia da peça composta em relação

ao seu centróide, então devemos determinar as coordenadas do centróide da

peça. Para isso identificamos na tabela abaixo a área total da peça.

Exemplo 1: Solução

Momento de inércia de uma área

Áreas compostas

Exemplo 1: Solução

Cálculo do centróide

Momento de inércia de uma área

Áreas compostas

Exemplo 1: Solução

Cálculo do momento de inércia.

Momento de inércia do perfil da viga.

Para o cálculo do momento de inércia do perfil da viga, usaremos o teorema dos

eixos paralelos. Com isso identificamos na tabela de valores das peças o valor

do momento de inércia da viga em relação ao seu centróide.

Momento de inércia de uma área

Áreas compostas

Exemplo 1: Solução

Momento de inércia da chapa.

Momento de inércia

Raio de giração

Exemplo 2

Determinação do momento de inércia

Determine o momento de inércia Ix da superfície sombreada abaixo:

Superfícies compostas

Exemplo 2

Determinação do centróide por integração

Solução:

Exemplo 2

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia

240,0 mm

120,0 mm

Determinação do momento de inércia

𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3= 1

3240 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4

Cálculo do Ix para o semicírculo: Tabela de baricentro

Determinação do momento de inércia

Exemplo 1

mmmmammb

mmmmr

a

8,812,380,1200,120

2,381415,3.3

0,90.4

3

4

Para calcular o momento no eixo x’ , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:

Para calcular o momento no eixo x , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:

Determinação do momento de inércia

Exemplo 1

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2

𝐼𝐴′ = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 25,8 𝑥 106 = 𝐼 𝑥′ + 12,72 𝑥 10

3 38,2 2

𝐼 𝑥′ = 7,2 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2

𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 7,2 𝑥 106 + 12,72 𝑥 103 81,1 2

𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐴 = π𝑟2

2=1

2𝜋 90 𝑚𝑚 2

𝐴 = 12,7 𝑥 103 𝑚𝑚2

Determinação do momento de inércia

Exemplo 1

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4 − 𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 10

6 𝑚𝑚4 = 𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 − 92,3 𝑥 106 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4

Exercício 1

Exercícios

Numa chapa retangular de 500 x 300 mm é cortada uma seção retangular de base

genérica b = 250 mm e altura 120 mm (ver figura). Determine o momento de

inércia e o raio de giração em relação ao eixo x.

Exercício 1

Exercícios

Solução:

150

x

y

250

150

375 x

y

x

y

= -

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia

500 mm

300mm

Determinação do momento de inércia

Exercício 1

𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3= 1

3500 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 3 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4

Solução:

Cálculo do Ix para o retângulo interno: Tabela de Momento de inércia

Determinação do momento de inércia

Exercício 1

250 mm

120 mm

150 mm

𝐼𝑥′ =𝑏ℎ3

12=1

12250 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 36,0 𝑥 106 𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ + 𝐴𝑑2 = 36,0 𝑥 106 + 250 𝑥 120 22,5 𝑥 103 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4

𝐼𝑥 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4

Solução:

Determinação do momento de inércia

Exercício 1

150

x

y

250

150

375 x

y

x

y

= -

Momento de inércia total:

Raio de giração:

𝐼𝑥𝑇 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4 − 711,0 𝑥 109 𝑚𝑚4 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4

𝐼𝑥𝑇 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4

𝑟𝑥 =𝐼𝑥𝑇𝐴𝑡=

3,79 𝑥 109 𝑚𝑚4

12 𝑥 104 𝑚𝑚2 = 177,71 𝑚𝑚

Exercício 2

Exercícios

Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em

relação ao eixo x.