engrenagens cilíndricas de dentes retos

ENGRENAGES CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

NOMENCLATURA

ANÁLISE CINEMÁTICA

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

NOMECLATURA

• P (Pd) = Passo diametral (diametral pitch), em dentes/polegada, usado apenas nos EUA.

• m = módulo em mm, usado no sistema SI ou métrico.

• p (pc) = passo circular em mm (igual ao perímetro do círculo primitivo dividido pelo número de dentes).

NOMENCLATURA

• De modo semelhante o passo de base pb, é definido como um comprimento de arco igual ao perímetro do círculo de base dividido pelo número de dentes N. Pela figura tem-se que:

• rb = r cosø, portanto, tem-se:

• pb = 2π rb /N = 2π r cosø / N = pc cosø

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

• As equações para a distância entre centros C podem ser escritas como sendo:

NOMENCLATURA

• Os dentes de engrenagens em contato podem-se acoplar adequadamente, apenas, se seus passos diametrais ou seus módulos forem iguais. Assim tem-se que:

ENGRENAGENS

• Transmissões simples por volantes de atrito, podem prover uma transmissão de potência suave de cilindro de entrada 1 (motor) para o cilindro de saída ou anular 2 (movido) se não houver deslizamento no ponto de contato P.

ENGRENAGENS

ENGRENAGENS

• Para o caso de nenhum deslizamento, as intensidades da velocidade tangencial são iguais para os dois componentes em contato; assim, tem-se:

ENGRENAGENS

• Se as condições de operação tendem a causar deslizamento, ou se é necessário um movimento em fase preciso entre os eixos de entrada e de saída, pode-se incorporar um série de dentes de engrenamento para assegurar que não ira ocorrer deslizamento.

ENGRENAGENS

ENGRENAGENS

• O formato dos dentes deve ser fabricado cuidadosamente de modo que não interfiram entre si à medida que as engrenagens girem e de modo que a razão de velocidades angulares entre o pinhão e a coroa não aumente nem diminua em qualquer instante à medida que os dentes atravessem sucessivamente o ponto de engrenamento (região de contato entre os dentes).

ENGRENAGENS

• Se estas condições forem alcançadas, diz-se que as engrenagens satisfazem a lei fundamental do engrenamento.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Onde pela figura tem-se:

• C’ → Ponto de contato entre os dentes das engrenagens motora (1) e movida (2);

• C → Ponto de contato entre as circunferências primitivas das duas engrenagens.

• T-T → Reta tangente ao perfil dos dentes no ponto de contato C’.

• N-N → Reta perpendicular a reta T-T passando pelo pontos de contato C’ e C.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Para que a transmissão por engrenagens se efetue com relação de transmissão constante, é necessário que a perpendicular às curvas dos perfis dos dentes em contato, traçada pelo ponto de contato (ponto C’), passe pelo ponto de tangência das circunferências primitivas (ponto C).

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Para que a lei fundamental do engrenamento seja satisfeita, a geometria do perfil do dente de engrenagem deve produzir uma razão de velocidades exatamente constante entre as engrenagens movida e motora em cada posição de contato entre os dentes durante a rotação.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Se um par de dentes de engrenagens acoplado ter perfis que satisfaçam esta exigência, diz-se que são perfis conjungados.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Teoricamente é possível selecionar arbitrariamente qualquer perfil para um dente de engrenagem e, então, encontrar um perfil para ser acoplado a ele que produza ação conjugada.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Os dentes das engrenagens podem ser perfilados com curvas quaisquer que obedeçam à lei fundamental de engrenamento.

• Os perfis que obedecem estas condições são denominados de CONJUGADOS.

• É possível portanto perfilar os dentes das engrenagens conforme uma enorme quantidade de curvas que se correspondem duas a duas.

CURVAS UTILIZADAS

• As duas curvas mais utilizadas na fabricação de engrenagens e que obedecem a lei fundamental do engrenamento são:

• CURVA EVOLVENTE

• CURVA CICLOIDAL

PERFIS NORMALMENTE UTILIZADOS

.

LEI FUNDAMENTAL DO ENGRENAMENTO

• Na prática, contudo, devido à relativa facilidade de fabricação e à baixa sensibilidade às pequenas variações na distância entre centros, o único perfil importante para engrenamentos atualmente é o de uma evolvente de círculo.

CURVA EVOLVENTE

CURVA EVOLVENTE

EVOLVENTE

TAMANHO DO DENTE

• O valor do ângulo de pressão (ø) afeta significativamente a forma do dente de engrenagem, conforme mostrado na figura a seguir.

COMPARAÇÃO DO PERFIL DE DENTES EM FUNÇÃO DE ø

TAMANHO DO DENTE

• Dentes com ø = 25º têm bases mais espessas e

raios de curvaturas maiores na circunferência

primitiva, elevando a capacidade de carga à

flexão, em comparação aos dentes com ø =

20º.

• Dentes com ø = 25º, contudo, tendem a gerar

um maior ruído de operação devido à sua

menor razão de contato.

TAMANHO DO DENTE

• Os sistemas de dentes padronizados

incorporam, normalmente, ângulos de pressão

de 20º e 25º.

• Sistemas de dentes padronizados têm sido

adotados largamente para facilitar a

intercambiabilidade e a disponibilidade.

TAMANHO DO DENTE

• Isto se dá através da especificação de ângulos de pressão selecionado e, em seguida, da definição de adendo, dedendo, profundidade de trabalho, profundidade total, folga mínima na ponta do dente e espessura circular do dente como função do módulo (ou do P).

TAMANHO DO DENTE

• O ângulo mais comumente utilizado é o de 20°, tanto para engrenagens nos EUA como para os do sistema SI; no entanto, um ângulo de pressão de 25° é, também, muito utilizado nos EUA para engrenagens de passo curto (P < 20).

TAMANHO DO DENTE

• As proporções de dentes para engrenagens cilíndricas de dentes retos da AGMA com profundidade total estão especificadas na tabela a seguir, e os tamanhos reais aproximados dos dentes evolventais para estas engrenagens são apresentados na figura a seguir.

TAMANHOS DOS DENTES (AGMA)

TAMANHOS REAIS DO DENTES PARA VÁRIOS P

RELAÇÃO ENTRE MÓDULO (mm) E TAMANHO DE DENTE

TAMANHOS DOS DENTES (AGMA)

RELAÇÕES PARA ENGRENAGENS DE DENTES RETOS

.

TAMANHOS DOS DENTES (AGMA)

RAZÃO DE CONTATO

• Do instante em que um par de dentes de engrenagem entra em contato até que deixem o contato após o movimento de rotação durante o engrenamento, a engrenagem motora transmite força para a engrenagem movida ao longo da linha de ação ab.

RAZÃO DE CONTATO

RAZÃO DE CONTATO

• O contato inicial ocorre em a e o contato final em b. Perfis de dentes traçados a partir desses pontos interceptam o círculo primitivo e A e B, respectivamente.

RAZÃO DE CONTATO

• A distância AP é denominada arco de aproximação qa e a distância PB, arco de afastamentos(recesso) qr. A soma dessas quantidades é o arco de ação qt.

• Ou seja:

qt = qa + qr

RAZÃO DE CONTATO

• Caso qt = pc → Um dente e seu espaço irão

ocupar o arco completo AB → um par de

dentes em contato.

• Caso qt = 1,2 pc → Quando uma par de dentes

está acabando de entrar em contato em a, um

outro par, ainda em contato, não terá ainda

alcançado b. Por um curto período de tempo

haverá dois dentes em contato, um na

vizinhança de A e outro na de B.

RAZÃO DE CONTATO

• Devido à natureza dessa ação entre dentes, na qual um ou dois pares de dentes estão em contato, é conveniente definir o termo razão

de contato mc como:

• mc = qt /pc

ou

• mc = Lab /pb = Lab/pc cos ø

RAZÃO DE CONTATO

• Onde pela figura a seguir Lab é dado por:

Lab = CP + PD

RAZÃO DE CONTATO

RAZÃO DE CONTATO

• Onde pelo triângulos O3BC e O3BP tem-se:

• E pelos triângulos O2AD e O2AP tem-se:

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

• Considerem-se duas engrenagens C1 e C2 de

centro O1 e O2, números de dentes z1 (ou N1) e

z2 (ou N2) e raios r1 e r2.

• Pelo fenômeno da interferência, o diâmetro

externo da engrenagem C2 poderá, no máximo,

ser igual a O2H1.

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

• Da figura tira-se:

• Por outro lado, da figura, tem-se:

• Onde m é o módulo das engrenagens conjugadas; k, uma constante, e α (ou ϕ), ângulo de pressão.

INTERFERÊNCIA

• Pela figura, tem-se:

O2H2 = r2 cosα = (mz2 cosα )/2

• e,

H2H1 = H2I + H1I

• Por outro lado, tem-se:

H2I = r2senα = (mz2 senα)/2

H1I = r1senα = (mz1 senα)/2

INTERFERÊNCIA

• Agrupando-se as expressões, tem-se:

INTERFERÊNCIA

• Desenvolvendo, chega-se a:

• É a cabeça da engrenagem maior que provoca

a interferência, e para uma mesma altura da

cabeça (ha = k.m) o perigo de interferência

cresce com o diâmetro da engrenagem maior.

INTERFERÊNCIA

• Esta equação permite determinar o número

mínimo de dentes de uma engrenagem

evolvente z1 (ou N1) a qual pode engrenar com

outra de z2 (ou N2) dentes; para o sistema

normal ela leva às curvas mostradas na figura a

seguir.

• A zona entre a curva e o eixo das abscissas

deve ser evitada.

NOMOGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

• Haverá um número mínimo de dentes que se conjuga sem interferência com uma cremalheira.

• Esse número é denominado número mínimo de dentes de um sistema.

• Se o número de dentes do pinhão (menor engrenagem) for maior que esse número não haverá necessidade de verificação da interferência.

INTERFERÊNCIA

• Para a cremalheira r2 = ∞ ou z2 = ∞ e portanto

a equação a seguir:

resulta em:

INTERFERÊNCIA

• Observa-se que o aumento do ângulo de

pressão α (ou ϕ) diminui o número mínimo de

dentes, o mesmo ocorrendo com a diminuição

do valor k.

• Daí os dois processos para se obter um menor

número mínimo de dentes: aumentar o ângulo

de pressão ou corrigir a altura da cabeça,

atuando em k.

INTERFERÊNCIA

• Para o perfil evolvente, sistema normalizado, os números mínimos são:

α = 14º ½ → zmin = 32

α = 20º → zmin = 17

INTERFERÊNCIA

• O menor número de dentes em um pinhão e uma coroa cilíndricos de dentes retos, com razão de engrenamento de 1:1 (NG/NP = 1), que pode existir sem interferência é Np. Esse número de dentes para engrenagens cilíndricas de dentes retos é dado por:

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

• O menor pinhão cilíndrico de dentes retos que irá operar com uma cremalheira (NG = ∞), sem interferência, é:

• Para ø = 20°, com dentes de profundidade completa, o menor número de dentes do pinhão é:

INTERFERÊNCIA

• A maior coroa com um pinhão especificado livre de interferência é:

• Para um pinhão de 13 dentes, com ø = 20°, tem-se:

INTERFERÊNCIA

INTERFERÊNCIA

• A interferência pode ser eliminada utilizando-se mais dentes no pinhão. Todavia, se este se destina a transmitir uma dada potência, mais dentes podem ser usados somente com aumento do diâmetro primitivo.

INTERFERÊNCIA

• A interferência também pode ser reduzida mediante a utilização de um ângulo de pressão maior. Isso resulta em um círculo de base menor, de modo que uma parte maior do perfil de dente torna-se evolvente. No entanto isto resulta em um aumento nas forças de atrito e nas cargas nos mancais.

ANÁLISE CINÉTICA

• NOTAÇÃO

• O numeral 1 identifica a estrutura de máquina.

• O numeral 2 designa a engrenagem de entrada e, a partir daí, numera-se as engrenagens, sucessivamente, como 3, 4, etc., até chegar-se à última engrenagem do trem.

ANÁLISE CINÉTICA

• As letras minúsculas do alfabeto a, b, c, etc., designarão cada eixo do trem.

Definida esta notação tem-se como exemplo que:

• F23 = Força exercida pela engrenagem 2 sobre a engrenagem 3;

• F2a = Força exercida pelo engrenagem 2 sobre o eixo a;

ANÁLISE CINÉTICA

• Faz-se também necessário utilizar sobrescritos para indicar direções.

• As coordenadas de direção serão designadas por x, y e z, e as direções radial e tangencial pelos sobrescritos r e t.

• Por exemplo: • Ft

43 = Componente tangencial da força da engrenagem 4 contra a engrenagem 3;

• Fr2a = Componente radial da força exercida pela

engrenagem 2 sobre o eixo a;

ANÁLISE CINÉTICA

• A figura (a) mostra um pinhão montado sobre o eixo a, girando, em sentido horário, a n2 rpm, enquanto aciona uma engrenagem sobre o eixo b a n3 rpm.

ANÁLISE CINÉTICA

• Na figura (b) o pinhão 2 foi separado a coroa 3 e do eixo, e o efeito dessas interações foi substituído por forças . Fa2 e Ta2 representam a força e o torque, respectivamente, exercidos pelo eixo a contra o pinhão 2. Já F32 é a força exercida pela engrenagem 3 contra o pinhão 2. Da mesma forma obtém-se o diagrama de corpo livre mostrado na figura (c).

ANÁLISE CINÉTICA

• Na figura abaixo o diagrama de corpo livre do pinhão foi redesenhado e as forças foram relacionadas em termos de componentes radial e tangencial.

ANÁLISE CINÉTICA

ANÁLISE CINÉTICA

• Defini-se agora que:

Wt = Ft32

Que é a carga transmitida. Essa carga tangencial é realmente a componente útil, uma vez que a componente radial Fr

32 não serve a nenhum propósito.

• O torque aplicado (T) e a carga transmitida (Wt ) estão relacionados pela equação:

na qual utilizou-se T = Ta2 e d= d2 para obter uma relação geral.

ANÁLISE CINÉTICA

• Designando a velocidade tangencial na circunferência primitiva por V, em que em pés/minuto, a potência H

(hp) poderá ser calculada a partir da equação, onde Wt esta lbf:

ANÁLISE CINÉTICA

• A equação correspondente no Sistema Internacional (SI) é:

H = T.ω = (dWt/2)(2πn/60) → Wt = 60H/πdn

ou Wt = H/V uma vez que V = πdn/60

Onde: H →w; d → m; Wt → N e n → rpm

Também tem-se a relação:

T = 30H/πn = 9,55 H/n (N.m) onde H → w ou

T = 9.550 H/n (N.m) onde H → kW e n → rpm.

ANÁLISE CINÉTICA

• Ou ainda:

EXERCÍCIO 13.28

• O eixo a na figura recebe uma potência de 75 kW a 1000 rpm em sentido anti-horário. As engrenagens têm um módulo igual a 5 mm e um ângulo de pressão de 20°. A engrenagem 3 roda livre. Pede-se:

a) Encontre a força F3b.

b) Encontre o torque T4c.

EXERCÍCIO 13.28

.

EXERCÍCIO 13.28

.

EXERCÍCIO 13.28

EXEMPLO 13-6

• O pinhão 2 na figura a seguir gira a 1.750 rpm e transmite 2,5 kW à engrenagem intermediária 3. Os dentes são cortados segundo o sistema de 20º de profundidade completa e têm modulo de 2,5 mm. Desenhe um diagrama de corpo livre da engrenagem 3 e calcule e mostre todas as forças que atuam sobre a mesma.

EXEMPLO 13-6