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Disciplina: Cálculo I
Prof. Doherty Andrade
2014
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 1 / 84
Orientação
1 Objetivos2 Continuidade3 Funções contínuas em intervalos fechados [a,b]4 Derivada5 Propriedades6 Interpretação da derivada7 Derivada implícita8 Taxas relacionadas9 Máximos e Mínimos
10 Assíntotas11 Esboço de gráfico12 Incrementos, diferenciais e aproximação linear13 Regra de L’Hospital14 Propriedades da funções deriváveis
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 2 / 84
Objetivos
Objetivos
Apresentar os principais resultados das funções contínuas.
Apresentar os principais resultados das funções deriváveis.
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Continuidade
Definiçãoa Seja f : X ⊂ R → R. Dizemos que f é contínua em x0 se:(a) existe f (x0);(b) limx→x0 f (x) = f (x0).
aaqui supõe-se implicitamente que x0 seja um ponto de acumulação de X .
Dizemos que a função f é contínua em X , se f for contínua em todosos pontos de X .
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Continuidade
Outra definição equivalente: dizemos que f é contínua x0 se dadoqualquer ǫ > 0 existe δ > 0 tal que se |x − x0| < δ, então|f (x)− f (x0)| < ǫ.
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Continuidade
• Exemplo
a) Se T : R → R é função afim, isto é, T (x) = ax + b, então é contínuaem R. De fato, o resultado segue da igualdade
|T (x)− T (x0)| = |a(x − x0)| = |a||x − x0|.
b) Dizemos que f : X ⊆ R → R é Lipschitziana se existe K ≥ 0 tal que
|f (x)− f (y)| ≤ K |x − y |,
para todo par x , y ∈ X .Um caso particular importante ocorre quando 0 ≤ K < 1; neste casodizemos que a função é uma contração. Toda função Lipschitziana écontínua.
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Continuidade
Teorema (Construção de funções contínuas)
Sejam f ,g : X ⊂ C → R e x0 ∈ X. Se f e g são contínuas em x0, entãovalem:a) kf é contínua em x0, para todo k ∈ R.b) (f + g) é contínua em x0.c) (f .g) é contínua em x0.
d) Se g(x0) 6= 0, entãofg
é contínua em x0.
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Continuidade
Utilizando o teorema acima podemos concluir que as seguintesfunções são contínuas nos seus respectivos domínios:
1. Função constante: f (x) = c onde c, x ∈ R, c fixo.
2. Função identidade: f (x) = x , z ∈ R.
3. Função translação: f (x) = x + a, a ∈ R fixo e x ∈ R.
4. Função homotetias: f (x) = ax , a > 0 e x ∈ R.
5. Função potência natural f (x) = xn,n ≥ 0 e x ∈ R.
6. Função polinomial f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,aj ∈ R e n ≥ 0 e x ∈ R.
7. Função racional q(x) =anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0,
aj ,bk ∈ R e m,n ≥ 0. Note que o domínio de q(x) é conjuntodos números reais nos quais o denominador não se anula.
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Continuidade
Teorema (Continuidade da função composta)
Sejam X ⊂ R e Y ⊂ R, f : X → R e g : Y → R funções. Suponha quef (X ) ⊂ Y e assim (g ◦ f ) está definida em X. Se f em contínua emx0 ∈ X e g contínua em y0 = f (x0), então (g ◦ f ) é contínua em x0 ∈ X.
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Continuidade
Demonstração: Dado ǫ > 0, devemos provar que existe δ > 0 tal quex ∈ X e |x − x0| < δ implica que
|(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x0)| < ǫ.
Dado ǫ > 0, como g é contínua em y0 = f (x0) existe γ > 0 tal que paray ∈ Y e |y − y0| < γ tem-se
|g(y)− g(y0)| < ǫ.
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Continuidade
Como f é contínua em x0, para γ > 0 dado, existe um δ > 0 tal quepara x ∈ X e |x − x0| < δ tem-se
|f (x)− f (x0)| < γ.
Logo,|(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x0)| < ǫ,
que é o que queríamos. �
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
As funções definidas em intervalos fechados possuem importantespropriedades. Vamos estudar algumas dessas.
TeoremaSeja f : [a,b] → R uma função contínua. Seja (xn) uma sequência queconverge para x0. Então, f (xn) converge para f (x0).
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
TeoremaSeja f : I → R uma função contínua não constante, onde I é umintervalo. Então, J = f (I) é um intervalo.
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
Teorema (Valor extremo)
Seja f : [a,b] → R uma função contínua. Então, existem x0 ∈ [a,b] ex1 ∈ [a,b] tais que
f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1).
Isto é, f assume o seu valor máximo e o seu valor mínimo.
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
Teorema (Teorema do valor intermediário)
Seja f : [a,b] → R contínua tal que f (a)f (b) < 0. Então, existec ∈ (a,b) tal que f (c) = 0.
-1
0
1
2
3
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x
TVI
Figura: Ilustração do Teorema do valor intermediário
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
Seja f : X → X . Se existe c ∈ X tal que f (c) = c dizemos que c é umponto fixo para f .
Teorema
Toda aplicação contínua f : [a,b] → [a,b] tem pelo menos um pontofixo.
Demonstração: Defina a seguinte aplicação g : [a,b] → R dada porg(x) = f (x)− x . Assim g mede a distância orientada entre x e suaimagem f (x). Um ponto fixo de f é um ponto x onde g(x) = 0. Se umdos extremos do intervalo é ponto fixo nada temos a provar. Entãosuponha que nenhum deles seja ponto fixo. Como f (a) e f (b) estão nointervalo [a,b] segue que a < f (a) e f (b) < b e portanto g(a) > 0 eg(b) < 0. Como g é contínua, existe x0 ∈ [a,b] tal que g(x0) = 0 eportanto f (x0) = x0. �
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Funções contínuas em intervalos fechados [a, b]
Exercício: use o teorema do valor intermediário para mostrar que afunção f (x) =
( x2
)2 − sin(x), x em radianos, tem uma raiz.
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Derivada
A derivada de uma função f em um ponto x é dada por
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0,
se este limite existe.Denotamos este limite por f ′(x0). Note que a derivada é o limite davariação média da f .É usual tomar x = x0 + h e reescrever f ′(x0) como
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
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Derivada
Exercício: Calcule a deriva de f (x) = x2 − 5x utilizando a definição.Exercício: Utilizando a definição verifique que a função f (x) = |x | nãotem derivada em x0 = 0.
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Derivada
Observação
Se f é derivável em x0, então f é contínua em x0. De fato,
limx→x0
f (x) = limx→x0
[
f (x)− f (x0)
x − x0(x − x0) + f (x0)
]
= f ′(x0)0 + f (x0).
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Propriedades
Vamos resumir na tabela abaixo as principais regra de derivação.
Função Derivada
y = f + g y ′ = f ′ + g′
y = kf y ′ = kf , k constantey = fg y ′ = f ′g + fg′
y = fg y ′ = f ′g−fg′
g2
y = (f ◦ g)(x) y ′ = f ′(g(x)).g′(x) –regra da cadeia
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Propriedades
Nas tabela a seguir apresentamos as derivadas de algumas funções.
Função Derivada
y = k y ′ = 0y = x y ′ = 1y = xn y ′ = nxn−1
y =√
x y ′ = 12√
xy = ex y = ex
y = ax y = ln(a)ax
y = ln(x) y ′ = 1x
y = loga x y = 1x loga(e)
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Propriedades
Função Derivada
y = cos(x) y ′ = − sin(x)y = sin(x) y ′ = cos(x)y = tan(x) y ′ = sec2(x)y = sec(x) y ′ = sec(x) tan(x)y = cot(x) y ′ = − csc2(x)y = csc(x) y ′ = − csc(x) cot(x)y = arcsin(x) y ′ = 1√
1+x2
y = arccos(x) y ′ = −1√1+x2
y = arctan(x) y ′ = 11+x2
y = sinh(x) = ex−e−x
2 y ′ = cosh(x) = ex+e−x
2
y = cosh(x) = ex+e−x
2 y ′ = sinh(x) = ex−e−x
2
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Interpretação da derivada
A. Inclinação da reta tangente ao gráfico:
Figura: reta tangente
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Interpretação da derivada
A inclinação da reta secante é dada por
tan(α) =f (a + h)− f (a)
h.
Quando h → 0, a secante tende a uma reta tangente ao gráfico noponto (a, f (a)). Assim, obtemos f ′(a) como sendo a inclinação da retatangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)).
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Interpretação da derivada
Exercício: Determine a reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 + 1 noponto P(2,5).
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Interpretação da derivada
B. Taxa de variação: A taxa média de variação de f no intervalo[a,b] é dada por
∆f∆x
=f (b)− f (a)
b − a.
Quando b = a +∆x se aproxima de a, a taxa média se aproxima dataxa instantânea:
lim∆x→0
f (a +∆x)− f (a)∆x
= f ′(a).
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Interpretação da derivada
Outra notação muito comum para a derivada de uma função y devariável x é dy
dx . Assim, y ′ = dydx . Esta notação tem origem na notação
para taxa média. Note que
dydx
= lim∆x→0
∆y∆x
.
Usando esta notação na regra da cadeia, se y = f (x) e x = g(t),então a variação instantânea de y com relação t é dada por
dydt
=dydx
dxdt
.
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Interpretação da derivada
Exemplo: Um objeto em queda livre tem altura dada no instante t porH(t) = −16t2 + 180. Determine a velocidade média durante o primeirosegundo. E entre o segundo e o terceiro segundo?No primeiro segundo, ∆f
∆x = f (1)−f (0)1−0 = −16m/s.
Entre o segundo e o terceiro segundo, ∆f∆x = f (3)−f (2)
3−2 = −80m/s.A velocidade instantânea quando t = 2 é dada por H ′(2): -64m/s.
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Interpretação da derivada
Exemplo: A medida que o sangue se move do coração através dasartérias principais em direção aos capilareas e de volta para as veias,a pressão arterial sistólica cai continuamente. Considere uma pessoacuja pressão arterial é dada por P (em mm de mercúrio), onde
P(t) =25t2 + 125
t2 + 1, t ∈ [0,10].,
em que t é medido em segundo. A que taxa a pressão arterial variaapós 5 segundos do sangue ter saído do coração?A taxa é dada por P ′(5) que é aproximadamente iguala -1,48 mm/seg.
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Derivada implícita
Algumas vezes uma função y(x) é definida implicitamente, como porexemplo, x2 − 2y2 + 4y = 3. Isto é, a função y foi dada satisfazendouma relação de igualdade. Uma maneira de encontrar y ′(x) éescrever y(x) explicitamente como função de x . Mas isto nem sempreé possível. A saída então é derivar implicitamente, é o que vamosmostrar com um exemplo.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 31 / 84
Derivada implícita
x2 − 2y2 + 4y = 3
2x − 4yy ′ + 4y ′ = 0
y ′(4 − 4y) = −2x
y ′ =2x
4y − 4
y ′ =x
2y − 2
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Derivada implícita
Calcule y ′ nos casos :(a) x2 + 4y2 = 4 no ponto (1,1).(b) y3 + y2 − 5y − x2 = 4 no ponto (1,-1).
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Taxas relacionadas
Muitas vezes precisamos calcular a taxa de variação de umaquantidade A. A melhor maneira de fazer isto é encontrar umaequação que relaciona A a uma segunda quantidade B, cuja variaçãoé mais simples de ser calculada. Então derivando ambos os lados daequação é possivel obter a variação procurada.Suponha que y = f (x) e x = g(t). Se as duas variáveis mudam com otempo, as suas taxas estão relacionadas pela regra da cadeia
dydt
=dydx
dxdt
.
Vamos ilustrar com um exemplo.
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Taxas relacionadas
Exemplo: Suponha que y = x2 + 3, sendo x e y uma função de t .
Quando x = 1 edxdt
= 2, determinedydt
.
Pela regra da cadeia,
dydt
=dydx
dxdt
dydt
= 2xdxdt
.
Quando x = 1 edxdt
= 2, temos
dydt
= 2xdxdt
dydt
= 2 × 2 = 4.
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Taxas relacionadas
Exercício: uma pedra é jogada em um lago, gerando ondas circularesconcêntricas. O raio r da ondulação externa aumenta a uma taxaconstante de 1m/s. Quando o raio atingir 4m, a que taxa varia a áreatotal da água perturbada?
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 36 / 84
Taxas relacionadas
Note que a área A está associado ao raio por A = πr2. Assim, temos
dAdt
=dAdr
drdt
dAdt
= 2πrdrdt
.
Quando r = 4 e drdt = 2, temos
dAdt
= 2πrdrdt
dydt
= 8πm/s2.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 37 / 84
Taxas relacionadas
Exercício: Uma escada de 25m está apoiada contra a parede de umacasa. A base da escada está sendo afastada da casa a uma taxa de2m/s. Determine quão rápido o topo da escada escorrega pela parededa casa quando a base está a 7m da parede.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 38 / 84
Taxas relacionadas
Figura: problema da escada
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 39 / 84
Taxas relacionadas
Note que a altura y do topo da escada está associado com a distânciax da base da escada até a parede. Essa relação é dada pelo teoremade Pitágoras:
y =√
252 − x2.
Agora continue.
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Taxas relacionadas
Exercício: Um balão esférico está inflando. O raio do balão cresce auma taxa de 0,2m/seg quando o raio r = 5cm. A que taxa seu volumeV está crescendo neste instante?Note que o volume do balão está associado ao seu raio por V = 4
3πr3.Agora continue.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 41 / 84
Taxas relacionadas
Exercício: Uma mancha de óleo em um lago está cercada por umabarrreira circular flutuante. Á medida que o comprimemto da barreira éencolhido, a área circular diminui por bombeamento. Se a barreiraestá sendo reduzida a uma taxa de 5m/s, a que taxa está diminuindo aárea da mancha, quando a área tiver um diâmetro de 100m?
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Máximos e Mínimos
Seja f : [a,b] → R e c ∈ [a,b]. Se f (c) ≤ f (x) para todo x ∈ [a,b],dizemos que f (c) é o valor mínimo de f em [a,b]. Neste caso dizemostambém que c é um ponto de mínimo.Se f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ [a,b], dizemos que f (c) é o valor máximode f em [a,b]. Neste caso dizemos também que c é um ponto demáximo.Se existe algum intervalo aberto I contendo c tal que f (c) ≤ f (x) paratodo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor mínimo local de f .Do mesmo modo, se existe algum intervalo aberto I contendo c tal quef (c) ≥ f (x) para todo x ∈ I, dizemos que f (c) é o valor máximo localde f .
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Máximos e Mínimos
Figura: max e min locais
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Máximos e Mínimos
TeoremaSeja f derivável em c e definida em um intervalo aberto contendo c.Se f (c) é um valor de máximo local ou um valor de mínimo local paraf , então f ′(c) = 0.
Demonstração: Suponha que f (c) seja um valor de máximo local.Então, temos
f ′(c) = limh→0+
f (c + h)− f (c)h
≤ 0
e
f ′(c) = limh→0−
f (c + h)− f (c)h
≥ 0.
Segue que f ′(c) = 0.Análogo para o caso em que f (c) é um valor de mínimo local. �
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 45 / 84
Máximos e Mínimos
Cuidado: a recíproca do teorema acima não é verdadeira. Porexemplo, função y = x3 tem x0 = 0 tal que f ′(x0) = 0, mas este valornão é nem de máximo e nem de mínimo.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 46 / 84
Máximos e Mínimos
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 47 / 84
Máximos e Mínimos
Definição
Chamamos de ponto crítico ao número c ∈ dom(f ) tal que f ′(c) = 0 ouf ′(c) não existe.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 48 / 84
Máximos e Mínimos
TeoremaSeja f : [a,b] → R derivável e suponha que f (c) seja um valor demáximo ou mínimo de f em [a,b]. Então, ou c é um ponto crítico ouum dos extremos do intervalo.
Demonstração: Se c não é extremo do intervalo, isto é, a ou b, entãof (c) é máximo ou mínimo local. Pelo teorema anterior f ′(c) = 0. �
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 49 / 84
Máximos e Mínimos
Exemplo: Seja f (x) = x(30 − x), x ∈ [0,30]. Como f ′(x) = 30 − 2x ,segue que x0 = 15 é ponto crítico. Como f (0) = 0, f (30) = 0 ef (15) = 135, segue que o valor de máximo absoluto de f em [0,30] é135 e ocorre no ponto x = 15. O valor de mínimo global é 0 e ocorreou no ponto x = 0 ou no ponto x = 30.
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Máximos e Mínimos
Exercício: Determine e classifique os pontos críticos:(a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15, x ∈ [0,3].(b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1, x ∈ [−3,3].
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 51 / 84
Máximos e Mínimos
Exercício: Uma chapa retangular de 5m por 8m deve ser cortado 4quadrados iguais nos cantos para que, dobrando os lados, construiruma caixa sem tampa. Qual o tamanho do lado do quadrado que daráo maior volume?
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 52 / 84
Máximos e Mínimos
Exercício: Um fazendeiro tem 200m de arame para cercar uma árearetangular ao lado de um muro, assim ao lado deste não precisa decerca. Determine as dimensões desse retângulo para ele possua áreamáxima.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 53 / 84
Máximos e Mínimos
Exercício: Um objeto com massa M é arrastado ao londo de umplano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presaao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano, então a itensidadeF da força é dada por
F (θ) =µMg
cos(θ) + µ sin(θ),
onde g é força de gravidade e µ é o coeficiente de atrito. Determine ovalor de θ que minimiza F .
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 54 / 84
Máximos e Mínimos
Definição
Dizemos que uma função é crescente se x < y implicar f (x) < f (y). Édecrescente quando x < y implicar f (x) > f (y).
Teorema
Seja f : [a,b] → R derivável e suponha que f ′(x) > 0 em (a,b). Então,f é crescente.
De fato, como
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
> 0
se h > 0, então f (x + h) > f (x) e portanto f é crescente. Se h < 0,então f (x + h) < f (x) e portanto f é crescente. �
Resultado análogo para função decrescente.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 55 / 84
Máximos e Mínimos
Teorema (Teste da derivada primeira)
Suponha que c seja ponto crítico de uma função contínua f .(a) Se f ′ muda de positiva para negativa em c, então f tem um máximolocal em c.(a) Se f ′ muda de negativa para positiva em c, então f tem um mínimolocal em c.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 56 / 84
Máximos e Mínimos
Figura: Teste da derivada primeira
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 57 / 84
Máximos e Mínimos
Teorema (Teste da derivada segunda)
Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo ponto crítico c. Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f (c) é o valor mínimo de f em I.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f (c) é o valor máximo de f em I.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 58 / 84
Máximos e Mínimos
Teorema (Teste da concavidade)
Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto I.Então:(a) Se f ′′(x) > 0 em I, então f é côncava para cima em cada ponto deI.(a) Se f ′′(x) < 0 em I, então f é côncava para baixo em cada ponto deI.
Chamamos ponto de inflexão de f ao ponto do domínio de f em que ográfico de f muda de concavidade. Alguns autores incluem pontocomo ponto de inflexão os pontos x onde não existe f ′′(x).
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 59 / 84
Máximos e Mínimos
Teorema (Teste do ponto de inflexão)
Suponha que f seja duas vezes derivável em algum intervalo aberto Icontendo c. Então c é um ponto de inflexão se f ′′(x) > 0 em um ladode c e f ′′(x) < 0 do outro lado de c.
Note que em um ponto c de inflexão de f pode ocorrer f ′′(c) = 0 ouf ′′(c) não existe.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 60 / 84
Assíntotas
Se limx→∞ f (x) = L ∈ R ou limx→−∞ f (x) = L ∈ R dizemos que y = Lé uma assíntota horizontal.Se limx→a+ f (x) = ±∞ ou limx→a− f (x) = ±∞R dizemos que x = a éuma assíntota vertical.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 61 / 84
Assíntotas
A função y = x(x−2)2 possui assíntota vertical em x = 2. Possui
assíntota horizontal em y = 0.Existem assíntotas que não são nem horizontais e nem verticais, elassão inclinadas.Dizemos que a reta não vertical y = ax + b é uma assíntota ao gráficod y = f (x) se
limx→∞
(f (x)− ax − b) = 0 ou limx→−∞
(f (x)− ax − b) = 0.
Por exemplo, y = x2+x−1x−1 tem a reta y = x + 2 como assintota.
Prof. Doherty Andrade () Cálculo I 2014 62 / 84
Esboço de gráfico
Para esboçarmos gráfico de uma função podemos seguir o roteiroreunindo informações sobre a função para traçar o gráfico.Roteiro para esboçar gráfico:
1 Determinar o domínio.2 Determinar as interseções com os eixos coordenados.3 Simetria da função, se periódica, par ou ímpar.4 Determinar assintotas horizontais e verticais.5 Determinar os valores máximos e mínimos locais.6 Determinar as regiões de crescimento e decrescimento da função.7 Determinar as regiões de concavidade e pontos de inflexão.8 Esboço da curva.
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Esboço de gráfico
Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x + 4x .
Exercício: Esboce o gráfico de f (x) = x (x − 4)3 .
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Os termos dx e dy apareceram até agora apenas como parte da
notação de derivadadydx
, que não era olhada como um quociente de
dois números.No entanto, é possível dar um significado para dx e para dy . A ideia éolhar para dx e dy como duas novas variáveis. Olhando destamaneira, dx e dy são chamadas de diferenciais.
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Dada uma função diferenciável y = f (x), tomemos dx como umavariável independente e dy como sendo uma nova variáveldependente e relacionada a dx pela equação
dy = f ′(x)dx .
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Muitas vezes precisamos de estimar rapidamente e de modo simplesa variação de y = f (x) que resulta da variação de x . Suponha que xsofreu um incremento ∆x . Assim, x muda para x +∆x . A mudançano valor de y é o incremento ∆y , calculado pela diferença
∆y = f (x +∆x)− f (x).
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Figura: incrementos
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Do gráfico acima vemos que f ′(x) ≈ ∆y∆x . Portanto,
f (x +∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x .
Substituindo x por a na expressão acima temosf (a +∆x) ≈ f (a) + f ′(a)∆x .Se escrevermos ∆x = x − a, e portanto, x = a +∆x , a expressãoacima fica
f (x) ≈ f (a) + f ′(a)(x − a).
O lado direito, L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), é a equação de uma reta quepassa pelo ponto (a, f (a)) e tem inclinação f ′(a), é a reta tangente aográfico da f neste ponto. Esta é uma aproximação linear de f (x) pertodo ponto x = a.
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Exemplo: Determine a aproximação linear da função f (x) =√
1 + xperto do ponto a = 0.Como f ′(x) = 1
2(1 + x)−12 segue que f ′(0) = 1
2 . Assim, como f ′(0) = 12
e f (0) = 1 temos L(x) = 1 + 12(x − 0) = 1 + 1
2x .Quando x está próximo de a = 0, o valor de f (x) é próximo de L(x).Assim, se x = 0.1 (perto de 0), temosf (0.1) =
√1.1 ≈ L(0.1) = 1 + 1
20,1 = 1,05.Mas f (2) =
√3 ≈ L(2) = 1 + 1
22 = 2, um valor muito diferente de√
3.
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Incrementos, diferenciais e aproximação linear
Exemplo: Determine uma aproximação para√
36.1.Vamos usar a função f (x) =
√x e a aproximação de f no ponto
a = 36. Como L(x) = f (a) + f ′(a)(x − a), então
√
36,1 = f (36 + 0,1) ≈ 6 +112
0,1 = 6,00833.
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Regra de L’Hospital
Suponha que f e g sejam diferenciáveis perto de um ponto a, excetopossivelmente no próprio ponto a. Suponha que
limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = 0
oulimx→a
f (x) = ±∞ e limx→a
g(x) = ±∞.
Então,
limx→a
f (x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
,
se o limite do lado direito existir ou for +∞ ou −∞..
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Regra de L’Hospital
Exemplos Calcule os limites abaixo.
a) limx→1
ln xx − 1
.
b) limx→1
ln xx − 1
.
c) limx→0+
x ln x . Sugestão escreva como limx→0+
ln x1x
.
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Propriedades da funções deriváveis
As funções deriváveis em intervalos possuem importantespropriedades que fornecem muitas informações sobre ocomportamento dessas funções.
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Propriedades da funções deriváveis
Teorema (Rolle)
: Seja f : [a,b] → R contínua, tal que f (a) = f (b). Se f é derívalvel em(a,b) então existe um ponto c ∈ (a,b) onde f ′(c) = 0.
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Propriedades da funções deriváveis
Demonstração: Se f (x) = k uma constante f (x) = f (b) em todointervalo [a,b], neste caso sua derivada é indenticamente nula. Se fnão for constante, ela terá que assumir valores maiores e menoresque f (a) = f (b).Se f (x) > f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema de extremo, fassume um valor máximo em algum ponto de [a,b]. Como f (a) = f (b)ela deve assumir esse valor em um número c no intervalo (a,b).Então f tem um máximo local em c e f é diferenciavél no intervalo(a,b). Portanto f ′(c) = 0.Se f (x) < f (a), para algum x em (a,b), pelo Teorema do valorExtremo f tem um valor mínimo em [a,b] e como f (a) = f (b), elaassume esse valor mínimo em um número c em (a,b). Novamentef ′(c) = 0. �
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Propriedades da funções deriváveis
O teorema de Rolle afirma que existe um ponto (c, f (c)) onde a retatangente é horinzontal ao gráfico e portanto f ′(c) = 0. Faça algunsdesenhos para visualizar.
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Propriedades da funções deriváveis
A seguir apresentamos o teorema do valor médio. Podemos usar oteorema de Rolle para demonstrá-lo.O teorema do valor médio apresenta uma explicação para o seguintefato: se a média de velocidade em uma viagem de carro de umacidade a outra é 80 km/h, então em algum momento da viagem ocarro atingiu a velocidade de 80 km/h. Seja S(t) a posição do carro noinstante t (horas). Se a viagem começou em t = a e terminou emt = b, então a velocidade média é
vm =S(b)− S(a)
b − a.
A afirmação de que em algum momento a velocidade foi igual àvelocidade média significa que vm = S′(t0), para algum t0. Isto é,
S′(t0) =S(b)− S(a)
b − a.
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Propriedades da funções deriváveis
O teorema do valor médio estabelece as condições para que aigualdade acima seja verdadeira.
Teorema (valor médio)
Seja f : [a,b] → R uma função que satisfaz a seguintes condições:1o- f é contínua no intervalo fechado [a,b].2o- f é derivável no intervalo aberto (a,b).Então, existe um número c em (a,b) tal que
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
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Propriedades da funções deriváveis
Em outras palavras, existe uma reta tangente ao gráfico que é paralelaà reta secante que une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)).
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Propriedades da funções deriváveis
Notemos que a importância do teorema do valor médio reside no fatode ele nos possibilita obter informações sobre uma função a partir dedados sobre sua derivada.
Corolário
Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b), então f é uma função constante em[a,b].
Demonstração: De fato, como f (x)− f (a) = f ′(c)(x − a), para algumc entre a e x e f ′(c) = 0, segue que f (x) = f (a). Como esta igualdadevale para todo x ∈ (a,b), temos que f (x) = f (a). �
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Propriedades da funções deriváveis
Corolário
Se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a,b), então f e g é diferem por umaconstante.
Demonstração: De fato, tomemos h(x) = f (x)− g(x), x ∈ [a,b].Como h′(x) = para todo x ∈ [a,b], segue que h(x) = k é funçãoconstante. Logo, f (x)− g(x) = k para todo x ∈ [a,b]. �
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Propriedades da funções deriváveis
Demonstração do teorema do valor médio: A demonstração desseteorema consiste de duas etapas:1o- Definir uma função F (x) no intervalo [a,b] que satisfaz àshipoteses do Teorema de Rolle.2o- Aplicar a F (x) o Teorema de Rolle.
Considere a função auxiliar dada por
F (x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)b − a
× (x − a).
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Propriedades da funções deriváveis
Podemos observar facilmente que F (a) = F (b) = 0, além do que F éderivavél nos pontos internos ao intervalo [a,b]. Logo o Teorema deRolle é aplicável a essa função: existe um ponto c, entre a e b tal queF ′(c) = 0. Mas
F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)b − a
,
de sorte que F ′(c) = 0 significa
f ′(c) =f (b)− f (a)
b − a.
Ou ainda f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a). Isso completa a demonstração doTeorema. �
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