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Coerência EspacialAula do curso de Ótica 2007/2

IF-UFRJ

ResumoO que é coerência?Tipos de coerência espacialCoerência espacial entre duas fontes independentesTeorema de van Cittert-ZernikeInterferômetro de Handury Borwn-TwissEspectroscopia por transformada de Fourier

O que é coerência (espacial)?Vimos na última aula que a intensidade em um ponto sobre o qual incidem dois campos é dada por

Isso nos levou a definir

como uma medida de coerência entre os dois campos, de forma que

onde

Tipos de coerência espacialConsidere a fonte pontual, quase monocromática S

P1 e P3 estão na mesma direção da fonte, diferindo apenas na distância a S. E1 e E3 medem a coerência longitudinal do campo.

Se r13>>r0, haverá pouca ou nenhuma coerência espacial

P1 e P2 estão a mesma distância de S. E1 e E2 medem a coerência transversa do campo.

Para fonte pontual, E1 e E2 dependerão do tempo da mesma forma e portanto serão completamente coerentes.

Coerência parcial ocorrerá para fontes extensas.

S

P1

P2

P3

Considere agora as fontes pontuais idênticas Sa e Sb, quase monocromáticas, cujas fases variam aleatoriamente e independentemente

Os campos em P1 e P2 são

O grau complexo de coerência é dado por

Coerência entre duas fontes independentes

Sa

P1

Sb

P2

Coerência entre duas fontes independentes

Repetindo

Se escrevermos os campos como

SaP1

Sb

P2

Fase aleatóriaEvolução temporalAmplitude no momento da emissão

Considerando o tempo para propagação dos campos de suas respectivas fontes

Coerência entre duas fontes independentes

A função pode ser escrita como

E cada termo da função de correlação de 1a ordem fica

Na aula passada calculamos essas médias. Agora o Tempo de atraso inclui a diferença de caminho.

Coerência entre duas fontes independentes

Juntando estes resultados, podemos escrever o grau complexo de coerência como

onde é a função de auto-correlação,

e

Finalmente,

Teorema de Van Cittert-ZernikeVamos agora calcular a função de correlação mútua e o grau complexo de coerência entre P1 e P2 iluminados por uma fonte extensa σ.

Por simplicidade faremos algumas aproximações- Fonte quase-monocromática- Fonte plana, paralela ao plano de observação- Meio homogêneo entre a fonte e a tela- As dimensões de σ são muito menores que a distânciaentre fonte e tela- Ângulos entre R e linhas típicas Ri pequenos

Teorema de Van Cittert-ZernikeImagine a fonte dividida em elementos dσ1,dσ2,..., centrados em S1,S2,... Os sinais analíticos em P1 e P2 serão dados por:

e

A função de correlação mútua será:

Como os elementos dσm são mutuamente incoerentes (estatisticamente independentes)

Teremos então, correlação entre campos emitidos pelo mesmoelemento da fonte

Teorema de Van Cittert-ZernikeO campo emitido na fonte dσm é caracterizado por uma amplitude |Am(t)| e fase arg|Am(t)|. Assim,

e

Então,

Lembrando que estamos considerando campos estacionários, podemos fazer uma mudança de variáveis de forma que

Teorema de Van Cittert-ZernikeSe Rm2-Rm1 for pequeno comparado ao comprimento de coerência da luz, podemos descartar o termo de retardamento em Am*

Assim,

Perceba que estamos somando os termos de intensidade de cada elemento dσm, propagados até os

pontos P1 e P2.

Teorema de Van Cittert-ZernikeAssumindo que o número de elementos da fonte é muito grande, podemos estender a equação acima para o contínuo.Definindo I(S) como a intensidade do campo por unidade de área da fonte,

A função de correlação mútua será

E o grau complexo de coerência mútua

Teorema de Van Cittert-ZernikeDe acordo com a expressão que encontramos, o grau complexo de coerência mútua, que descreve a correlação entre excitações nos pontos P1 e P2, num plano iluminado por uma fonte extensa, quase monocromática É IGUAL Aamplitude complexa no ponto P1, dada por uma abertura de difração, de formato igual a fonte, na qual incide uma onda esférica proveniente de P2.

Teorema de Van Cittert-Zernike

Interferômetro de Michelson para interferometria estelar

Fazendo interferência da luz proveniente de uma estrela, através de um arranjo tipo Michelson, vimos que podemos determinar o diâmetro angular da estrela.Pequenos diâmetros necessitam espaçamento muito grande entre os braços.Para tais espaçamentos diversos efeitos podem estragar a medida (i.e. movimento dos braços, turbulência atmosférica)

Interferômetro Hanbury Brown-TwissDe acordo com o teorema de van Cittert-Zernike, o valor de μ(P1,P2) para pontos muito distantes é proporcional a transformada de Fourier da distribuição de intensidade na fonte.Então medindo μ(P1,P2) obtemos informação sobre o diâmetro angular da fonte.Em 1956, Brown e Twiss fizeram medidas de correlação de segunda ordem da estrela Siriuspara determinar seu diâmetro angular.

Neste arranjo, apenas as correntesinterferem, não os feixes incidentesEfeitos indesejáveis tem efeitomuito pequeno.

Interferômetro Hanbury Brown-TwissComo exemplo, vamos agora utilizar o teorema de vanCittert-Zernike para estudar o efeito de Brown-Twiss.Lembrando,

Vamos considerar o limite assintótico em que kr1→ ∞ e kr2→ ∞, então

Na chamada zona distante,o teorema toma a forma

Interferômetro Hanbury Brown-TwissComo no momento estamos interessados em interferometria estelar, podemos tomar a fonte como incoerente, quase monocromática, circular, de raio a, centrada na origem e de intensidade uniforme.Para maior simplicidade, P1 e P2 serão considerados a mesma distância da fonte e pertos da direção normal.Assim,

A integral no denominador é facilmente feita e valeA integral no numerador é conhecida da teoria de difração, no limite de Fraunhofer, para uma abertura circular. Temos,

onde

Interferômetro Hanbury Brown-TwissO comportamento do grau complexo de coerência mútua, para este caso, é

Espectroscopia por transf. de FourierVamos voltar ao interferômetro de Michelson para estudar o espectro de luz não monocromática.Considere uma fonte de luz, com composição espectral dada por G(k) (por conveniência vamos usar k e não ω).

A intensidade no detector, para luz monocromática é

onde

Para esta montagem, k1=k2 e adiferença de fase será dada peladiferença de caminho ótico.

Espectroscopia por transf. de FourierAssim, a intensidade no detector será

No caso não monocromático, devemos fazer uma soma sobre o espectro completo G(k).

Reescrevendo

Espectroscopia por transf. de FourierVamos agora analisar o segundo termo

Temos

Espectroscopia por transf. de FourierVamos agora analisar o segundo termo

Finalmente

Definindo a função intensidade W(x)

Temos

G(k) e W(x) formam um par de transformadas de Fourier