book mat-spfe-2014 8s cp vol1 · dadas a notação científica e o conceito de or-dem de grandeza....
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8a SÉRIE 9oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do ProfessorVolume 1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANOVOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números 10
Situação de Aprendizagem 2 – Números racionais e sua escrita decimal 29
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, Álgebra e Geometria com a reta real 38
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza 50
Situação de Aprendizagem 5 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau 58
Situação de Aprendizagem 6 – Equações de 2o grau na resolução de problemas 87
Situação de Aprendizagem 7 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados e contextos 92
Situação de Aprendizagem 8 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de algumas não proporcionais 99
Orientações para recuperação 107
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 109
Considerações finais 111
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 113
5
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Os temas escolhidos para compor o con-
teúdo disciplinar de cada volume não se afas-
tam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendi-
das referem-se à abordagem de tais conteúdos,
sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal
abordagem, busca-se evidenciar os princípios
norteadores do presente currículo, destacan-
do-se a contextualização dos conteúdos, as
competências pessoais envolvidas, especial-
mente as relacionadas com a leitura e a escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Volumes, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de exten-
sões aproximadamente iguais. De acordo
com o número de aulas disponíveis por se-
mana, o professor explorará cada assunto
com maior ou menor aprofundamento, ou
seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento dos temas. A critério do pro-
fessor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode
ser estendido para mais de uma semana, en-
quanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar
todas as 16 unidades, uma vez que, juntas, com-
põem um panorama do conteúdo do volume e,
muitas vezes, uma das unidades contribui para a
compreensão das outras. Vale insistir que somente
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
o professor, em sua circunstância particular e le-
vando em consideração seu interesse e o dos alu-
nos pelos temas apresentados, pode determinar
adequadamente quanto tempo dedicar a cada
uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica de seu conteú-
do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-
tendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-
tando a ação do professor em sala de aula.
As atividades são independentes e podem ser
exploradas pelo professor com maior ou me-
nor intensidade, segundo seu interesse e o de
sua turma. Naturalmente, em razão das limi-
tações de espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Vo-
lume, sempre que possível, textos, softwares,
sites e vídeos, entre outros materiais, em sin-
tonia com a abordagem proposta, que podem
ser utilizados pelo professor para o enriqueci-
mento de suas aulas.
Compõem o Volume ainda algumas consi-
derações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável
ao desenvolvimento das competências enun-
ciadas no presente volume, em cada Situa ção
de Aprendizagem apresentada.
6
Conteúdos básicos do volume
O tema central deste Volume são os con-
juntos numéricos e suas características e pro-
priedades. Os números constituem um eixo
importante da Matemática e, neste momento,
apresentaremos propostas para que se possa
estudá-los em articulação com outros eixos,
como o da Geometria e da Álgebra. Na 8a série/
9o ano, os alunos devem sistematizar o conhe-
cimento adquirido ao longo do Ensino Fun-
damental, retomando as principais ideias as-
sociadas aos conjuntos numéricos.
Além disso, este Volume também abordará
as equações de 2o grau e a noção de função.
Em relação ao primeiro tema, pretende-se que
os alunos resolvam situações, inclusive geo-
métricas, que possam ser traduzidas por meio
de equações de 2o grau, obtendo as raízes por
diferentes métodos, e discutam o significado
dessas raízes em confronto com a situação
proposta.
Com relação ao assunto funções, o alu-
no poderá apropriar-se dessa noção ao ana-
lisar a natureza da interdependência de duas
grandezas na resolução de problemas em que
elas sejam diretamente proporcionais, inver-
samente proporcionais ou não proporcionais
– iniciando, assim, o estudo das funções afins
e quadrática, que serão posteriormente desen-
volvidas no Ensino Médio. As situações pro-
postas são oportunas para que se expresse a
variação das grandezas envolvidas por meio
de diferentes representações: tabelas, gráficos
e expressões algébricas.
Quanto à resolução da equação quadrá-
tica, sugere-se que sejam enfatizados os pro-
cedimentos que envolvam conhecimentos
sobre fatoração, exponenciação e radiciação,
para resolução tanto de equações quadráticas
como de equações exponenciais, fatoração e
pesquisa das raízes por soma e produto. Nes-
se sentido, também são exploradas equações
exponenciais, quadráticas e de 3o grau. A cha-
mada fórmula de Bhaskara, para as equações
de 2o grau, também deverá ser desenvolvida,
porém é fundamental que os alunos tenham
uma visão mais abrangente dos processos de
resolução, tendo em vista que, no Ensino Mé-
dio, eles precisarão resolver equações de grau
superior a dois.
O foco da Situação de Aprendizagem 1 é a
sistematização dos conjuntos numéricos, dos
naturais aos irracionais. Optamos por tra-
tar desse assunto por meio da exploração da
ideia de conjunto, a qual desempenha papel
importante no campo matemático. Propo-
mos a exploração de alguns problemas envol-
vendo conjuntos que podem ser resolvidos
por meio de diagramas. A noção de inclu-
são, união, interseção, entre outras, aparece
com naturalidade nas atividades propostas.
Em seguida, apresentamos a ampliação dos
conjuntos numéricos, partindo dos naturais
e chegando aos irracionais, enfatizando não
apenas as características de cada conjunto,
mas a possibilidade de realização das quatro
operações sem restrições. Problematizamos,
também, a existência dos segmentos inco-
mensuráveis, que deram origem ao conjunto
dos números irracionais.
7
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Na Situação de Aprendizagem 2, é reto-
mada a ideia da representação dos racionais e
dos irracionais para dar um passo além com a
apresentação de uma nova forma de escrita dos
números reais: as frações contínuas. A represen-
tação dos números reais como frações contínuas
permite trabalhar com a ideia de aproximação
de uma forma mais natural e precisa do que as
representações decimais dos números.
Na Situação de Aprendizagem 3, amplia-
mos a ideia dos conjuntos numéricos traba-
lhados na Situação de Aprendizagem 1, agora
do ponto de vista do “preenchimento” da reta
real. Essa situação constitui um momento im-
portante de articulação entre os eixos da Arit-
mética, da Álgebra e da Geometria, porque
discutiremos números, suas representações
e sua localização na reta real com o uso dos
instrumentos clássicos de desenho, que são a
régua e o compasso.
Na Situação de Aprendizagem 4, são abor-
dadas a notação científica e o conceito de or-
dem de grandeza. Retomando as propriedades
das operações com potências, que foram con-
templadas anteriormente na 7a série/8o ano,
introduzimos formalmente a notação cien-
tífica e apresentamos algumas atividades en-
volvendo a representação e as operações com
números nesse formato. Em seguida, apresen-
tamos uma das ideias mais importantes para o
trabalho com números grandes ou pequenos e
na comparação entre grandezas físicas: a ideia
de ordem de grandeza. A Situação de Apren-
dizagem 5 mostra um possível roteiro para o
desenvolvimento desse trabalho.
A resolução de problemas envolvendo equa-
ções de 2o grau em diferentes contextos faz parte
da Situação de Aprendizagem 6. Além da pro-
posição de problemas, essa unidade tem como
objetivo a apresentação de uma síntese dos di-
versos procedimentos utilizados para a obten-
ção das raízes de uma equação quadrática.
Sugere-se também a apresentação de situa-
ções envolvendo a variação de duas grandezas
em que seja necessária a identificação dessa
variação em relação à proporcionalidade, ou
seja, pretende-se explorar o significado das
expressões “x e y são diretamente proporcio-
nais”, “x e y são inversamente proporcionais”
e “x e y não são proporcionais”, incluindo,
quando for o caso, a tradução desses signifi-
cados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x);
e xy = k, sendo k constante (y é inversamente
proporcional a x).
Às vezes, duas grandezas x e y variam
de tal modo que a proporcionalidade dire-
ta não ocorre entre y e x, mas quando y va-
ria a partir de certo valor h e x. Nesses ca-
sos, temos y hx
– = k ou y – h = kx, ou seja,
y = kx + h (k e h constantes). Portanto y – h é
diretamente proporcional a x. A Situação de
Aprendizagem 7 contempla esses aspectos.
A continuidade desse trabalho ocorre
por meio da exploração de situações-pro-
blema envolvendo a variação de grandezas
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais, sobretudo por meio de suas
representações gráficas.
8
Com relação às funções de 2o grau
y = ax2 + bx + c, as situações apresentadas
pretendem explorar a proporcionalidade entre
uma grandeza e o quadrado da outra. Essas
noções serão exploradas e aprofundadas no
Ensino Médio.
Em seguida, sugere-se a leitura e constru-
ção de gráfico cartesiano que representa a va-
riação de duas grandezas, de modo que uma
seja, por exemplo, diretamente proporcional
ao quadrado da outra. São apresentados tam-
bém problemas em contextos significativos,
que envolvem grandezas cuja variação é ex-
pressa por mais de uma sentença. A Situação
de Aprendizagem 8 contempla aspectos cita-
dos nas Unidades 15 e 16.
Cabe ressaltar que as sugestões de ativida-
des, distribuídas nas oito Situações de Apren-
dizagem, contemplam os principais aspec-
tos dos conteúdos abordados neste volume
e são adequadas para os alunos da 8a série/
9o ano do Ensino Fundamental. Todavia, o
papel do professor é, evidentemente, funda-
mental para a realização desse trabalho nos
seguintes aspectos: ordenação, redução ou
ampliação das atividades sugeridas, seleção
ou elaboração de novos problemas ou exer-
cícios, adequação das propostas ao ritmo de
cada turma.
Convém destacar ainda que as atividades
deste Caderno devem ser consideradas não
como mera lista de exercícios ou problemas cujo
objetivo é o simples uso de técnicas que devem
ser transformadas em rotinas automatizadas;
pelo contrário, as situações propostas têm por fi-
nalidade apresentar contextos para que as noções
estudadas tenham significado para o aluno. Mui-
tas dessas situações podem ser encaradas como
pontos de partida para o estudo de determinada
noção ou propriedade, o que não significa que o
professor não deva propor atividades de síntese
com a finalidade de organizar as conclusões e os
resultados encontrados.
Compõem o Caderno ainda algumas consi-
derações sobre a avaliação, bem como o conteú-
do considerado indispensável ao desenvolvimen-
to das competências enunciadas neste volume.
Sinteticamente, as 16 unidades que devem
ser desenvolvidas são apresentadas a seguir.
9
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Quadro geral de conteúdos do Volume 1 da 8a série/9o ano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Conjuntos e diagramas.
Unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas.
Unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos.
Unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal.
Unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.
Unidade 6 – Representações na reta real.
Unidade 7 – Construções na reta real.
Unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.
Unidade 9 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau.
Unidade 10 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 11 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 12 – Equação de 2o grau: relação entre coeficientes e raízes.
Unidade 13 – Equação de 2o grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara – equa-ções de 2o grau na resolução de problemas.
Unidade 14 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações.
Unidade 15 – Grandezas proporcionais: representações gráficas.
Unidade 16 – Gráficos que representam variação de grandezas não proporcionais.
10
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS E NÚMEROS
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Euler); operações e relações entre conjuntos; classifi-cação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os con-juntos: interseção, união, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Sugestão de estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-
nos tiveram contato com diferentes conjuntos
de números: naturais, frações, decimais, negati-
vos etc. A 8a série/9o ano é o momento ideal para
se fazer uma síntese desses números, retomando
seus significados e organizando uma classifica-
ção. Antes de classificar os conjuntos numéricos,
sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto
e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada
à resolução de problemas e à representação por
diagramas, e menos à linguagem simbólica, que
será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais
importantes na Matemática. A chamada
“Matemática Moderna” pretendeu desenvol-
ver o ensino da Matemática por meio da teoria
dos conjuntos, o que acabou gerando exage-
rada valorização da linguagem simbólica em
detrimento da constituição do pensamento
matemático. Essa iniciativa tornou o ensino da
Matemática extremamente abstrato e distante
da realidade do aluno, fazendo que essa meto-
dologia viesse a ser gradativamente substituída
por outra, mais contextualizada e voltada para
a construção do significado.
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos pas-
sou a ser menos centrado na linguagem for-
mal e mais voltado para o desenvolvimento do
pensamento lógico e a resolução de problemas.
Essa é a perspectiva que queremos desenvol-
ver nesta Situação de Aprendizagem.
11
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Problemas envolvendo conjuntos
1. Considere a seguinte situação:
uma atividade com duas ques-
tões foi aplicada em uma turma
de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20
alunos haviam acertado as duas questões, 35
acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.
a) Os dados do enunciado sugerem que
a soma das partes é maior que o todo:
20 + 35 + 25 = 80 > 40. Como podemos
explicar esse fato?
Isso ocorre porque as informações não são excludentes, ou
seja, os 20 alunos que acertaram as duas questões estão in-
cluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão.
Esse é um típico problema que envolve a
ideia de interseção de conjuntos. Apresente
o problema aos alunos e deixe que eles ten-
tem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos
podem questionar a plausibilidade das infor-
mações numéricas, uma vez que a soma das
partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior
que o todo (40). Como isso é possível?
A ideia é fazer que os alunos percebam que
as informações sobre os resultados obtidos não
são excludentes, isto é, possuem elementos em
comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a
primeira questão estão contemplados, também,
aqueles que acertaram a segunda questão. O mes-
mo raciocínio pode ser aplicado com relação ao
número de alunos que acertaram a segunda ques-
tão, ou seja, o problema adquire novo significado.
Vale chamar a atenção dos alunos para a
importância da interpretação do enunciado.
Dependendo de como forem escritas, algumas
informações podem ter certo grau de ambigui-
dade no seu significado. Afirmar que 35 alunos
acertaram a primeira questão é diferente de
afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a
primeira questão, o que faz toda a diferença, e
não é raro que alguns alunos optem por essa
última interpretação, acarretando a inconsis-
tência das partes serem maiores que o todo.
No caso dessa atividade, o fato de um aluno
poder acertar ambas as questões implica a exis-
tência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles
não são mutuamente exclusivos. Contudo, em
outras situações, a exclusividade dos conjuntos
é subentendida pelo próprio contexto. Por exem-
plo, em uma turma de 40 alunos com 25 homens
e 15 mulheres, não há necessidade de afirmar que
25 dos alunos são exclusivamente homens, pois
não há interseção entre os conjuntos.
b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20
acertaram as duas, quantos alunos acer-
taram apenas a 1a questão?
Acertaram a
1a questão = 35
Acertaram apenas
a 1a questão = 15
Acertaram a 1a e
a 2a questões = 20
35 – 20 = 15 alunos
Dessa forma, o contexto do problema de-
sempenha um papel central na interpretação
do enunciado, pois nem sempre essa distinção
é feita explicitamente. Sugerimos que o profes-
sor apresente aos alunos diferentes situações
para que eles identifiquem se os conjuntos são
mutuamente exclusivos ou não.
12
Voltando à atividade inicial, os alunos po-
dem concluir que, entre os 35 que acertaram
a primeira questão, existem aqueles que acer-
taram somente a primeira questão e aqueles
que acertaram as duas. Como essa informa-
ção foi fornecida pelo problema, conclui-se
que 15 alunos acertaram somente a primeira
questão.
c) E apenas a 2a questão?
Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que
acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença
entre 25 e 20, ou seja, 5.
Acertaram a
2a questão = 25
Acertaram apenas a
2a questão = 5
Acertaram a 1a e a 2a
questões = 20
d) Qual é o percentual de alunos que
acertaram apenas uma questão nesta
atividade?
Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:
percentual de alunos que acertaram apenas a primeira
questão: 15
40 = 0,375 ou 37,5%.
percentual de alunos que acertaram apenas a segunda
questão: 5
40 = 0,125 ou 12,5%.
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma
questão foi de 50%.
Problemas que envolvem relações entre
conjuntos podem ser resolvidos por meio
de diagramas. Para os alunos da 8a série/
9o ano, os diagramas permitem uma visuali-
zação e organização dos dados que podem
ajudar a resolver problemas mais comple-
xos. Assim, sugerimos que o professor apre-
sente esse tipo de representação aos alunos
e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para
representar os conjuntos e suas rela-
ções. Atribui-se ao famoso matemático
suíço Leonhard Euler a ideia de usar
diagramas para representar relações ló-
gicas. O diagrama de Euler nada mais é
do que uma região delimitada do pla-
no, simbolizada por uma figura curva
fechada, que representa um conjunto.
Um conjunto é formado por elementos
que possuem determinada propriedade.
Vejamos um exemplo:
O conjunto das aves inclui animais
que possuem determinadas característi-
cas. Uma delas é o fato de possuir asas. O
beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou
seja, são animais que possuem asas. O ca-
valo, por sua vez, não pertence ao conjun-
to das aves, pois não possui asas. O diagra-
ma a seguir representa essa situação:
Beija-flor
Ave
Águia
TucanoCavalo
13
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2. Com base no texto apresen-
tado na seção Leitura e análise
de texto, represente, por meio
de diagramas, as seguintes situações:
a) Conjunto: Paulistanos
Elementos: André, Luiz e Renata nasce-
ram na cidade de São Paulo. Júlio nas-
ceu em Ribeirão Preto.
André
Paulistanos
Renata
LuizJúlio
b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental
Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estu-
dam na 7a série/8o ano do Ensino Funda-
mental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do
Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo
e Antônio estudam na 2a série do Ensi-
no Médio.
Patrícia
Alunos do Ensino Fundamental
Lucas
RenatoMartaReinaldoAntônio
Rafael
c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos
Elementos: João, Helena Marcus e Alberto
são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem
pelo São Paulo. André e Tomás não tor-
cem para nenhum time.
TomásJoão
Alberto
Marcus
Helena
Alice
Laís
DiegoAndré
corintianos são-paulino
Relações entre conjuntos
Todos os conjuntos exemplificados até este
momento são representados em uma região
delimitada por meio de uma curva fechada,
representando determinado conjunto.
A figura a seguir mostra de forma gené-
rica um conjunto A, constituído de todos os
elementos que possuem determinada pro-
priedade a.
A
x y
Nesse caso, o elemento x possui a proprie-
dade a e, portanto, pertence ao conjunto A. Já
o elemento y, que está fora do diagrama, não
possui a propriedade a e, portanto, não perten-
ce a A.
14
A relação espacial entre as figuras (so-breposição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto A formado pelos elementos que têm a propriedade a e o con-junto B formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:
1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um sub-conjunto de B. Dizemos que A está contido em B, ou seja, A B.
Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número par. O conjunto dos múltiplos de 10 forma um subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos de 10
2. Interseção: algum a é b. Se alguns ele-mentos do conjunto A também per-tencem ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultanea-mente, ou seja, A B.
Exemplo: os diagramas mostram que alguns elementos do conjunto dos números ímpares são primos, por exemplo, 3, 5, 7 etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares Primos
3. União: a ou b. O conjunto da reunião
entre A e B contém todos os elementos
de A e de B, ou seja, A B.
Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e
dos múltiplos de 3. A interseção são os ele-
mentos do conjunto dos múltiplos de 6.
M(2) M(3)
Na união de M(2) e M(3), temos ele-
mentos comuns, que são os múltiplos de
6 – M(6) – e, consequentemente, contem-
plam a indicação apresentada no diagrama.
4. Diferença: algum a não é b. Os ele-
mentos da diferença entre os conjun-
tos A e B são aqueles que pertencem a
A e não pertencem a B, ou seja, A – B.
Exemplo: a figura representa os números
pares que não são primos. Trata-se da dife-
rença entre os conjuntos. Pares – Primos =
= {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares Primos
Aqui na intersecção há apenas um nú-
mero par e primo: 2.
M(2) M(3) = M(6)
15
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
5. Complementar: caso particular da
diferença entre dois conjuntos, quan-
do um deles é subconjunto do outro.
Contém os elementos de A que não
pertencem ao subconjunto B.
CAB = A – B
Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos
de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, o con-
junto complementar dos múltiplos de 10 em re-
lação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...
M(5)
M(10)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum
elemento de um conjunto A pertence
a outro conjunto B, então esses con-
juntos são mutuamente exclusivos. A
interseção entre os dois conjuntos é va-
zia, ou seja, A B = .
Exemplo: os conjuntos dos números pa-
res e dos números ímpares são mutuamente
exclusivos, pois não possuem elemento
em comum.
Pares Ímpares
Para representarmos as relações entre dois
ou mais conjuntos, podemos utilizar um nú-
mero maior de diagramas. Por exemplo:
Animais
MineraisMamíferos
Os diagramas anteriores mostram que o
conjunto dos mamíferos são um subconjunto
do conjunto dos animais e que nenhum ele-
mento do conjunto dos minerais pertence ao
conjunto dos animais. Observando os diagra-
mas, podemos chegar às seguintes conclusões:
todo mamífero pertence ao reino dos
animais.
nem todo animal é mamífero.
nenhum mineral é animal.
3. Assinale o item que melhor re-
presenta os diagramas a seguir:
a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3. I. M(3) – M(2)
II. M(3) M(2)
III. M(2) – M(3)
M(3)2
410
0
14
8
12 15
3
9
6M(2)
16
b) Conjuntos: retângulos e losangos.
I. Retângulos Losangos
II. Losangos Retângulos
III. Losangos Retângulos
Retângulos Losangos
c) Conjuntos: números pares e números
primos.
I. Pares – Primos
II. Pares Primos
III. Pares Primos
24
20
0
8
12
11
3
75
6Pares Primos
d) Conjuntos: números pares e múltiplos
de 10.
I. Pares – M(10)
II. Pares M(10)
III. M(10) Pares
2
4
08
12
2010
Pares
M(10)
e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.
I. C Polígonos RegularesPolígonos
II. Polígonos Polígonos Regulares
III. Polígonos Polígonos Regulares
Polígonos
Polígonos Regulares
Dizemos que um polígono é regular se todos
os lados e ângulos deste, sejam eles internos ou
externos, forem iguais. Além disso, ele também
deve poder ser inscrito em uma circunferência
f) Conjuntos: números pares e ímpares.
I. Pares – Ímpares
II. Pares Ímpares
III. Pares Ímpares
Ímpares2
4
100
8
1211
3
517
9
6Pares
4. Pinte os diagramas que represen-
tam as seguintes operações com
conjuntos:
a) A – B
A B
17
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
b) A B
A B
c) A B
A B
d) CB
A
A
B
Diagramas e lógica
Os diagramas de Euler passaram a ser am-
plamente utilizados para representar conjun-
tos em virtude de sua facilidade de compreen-
são visual. Contudo, ficaram mais conhecidos
como “Diagramas de Venn”, por causa da se-
melhança com o tipo de diagrama criado pelo
filósofo britânico John Venn. Os diagramas
também podem ser usados para representar
argumentações lógicas. Por exemplo:
todos os mineiros são brasileiros.
Pedro é mineiro.
logo, Pedro é brasileiro.
Brasileiros
MineirosPedro
e) A – (B C)
A B
C
f) A – (B C)
A B
C
g) CUA B
U
BA
18
Essa estrutura de argumentação lógi-
ca é denominada silogismo e é composta
por três proposições: duas premissas e
uma conclusão.
Professor, para que os alunos utilizem
diagramas na representação das argumenta-
ções lógicas, propomos a seguinte atividade.
5. Nas figuras seguintes, assinale
o diagrama que melhor repre-
senta os argumentos dados.
a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba
(C) são paranaenses (P).
João nasceu em Curitiba.
Logo, João é paranaense.
I.
C P
João
II.C
P
João
III.P
C
João
Apenas o diagrama III pode representar os argumentos
dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos
os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II repre-
senta o contrário da premissa I, pois indica que todos os
paranaenses são curitibanos.
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.
Um quadrado é um quadrilátero.
Logo, nenhum quadrado possui cinco
lados.
I.
Quadriláteros
Cinco lados
Quadrado
II.
Quadrado
Quadrilátero Cinco lados
Quadrilátero Cinco lados
III.
Quadrado
Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tan-
to o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa.
19
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Uma atividade com duas questões foi apli-
cada em uma turma com 40 alunos. Os re-
sultados indicaram que 20 alunos haviam
acertado as duas questões, 35 acertaram a
1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão
(Conjunto B).
a) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram as duas
questões.
A B
Do total da turma de 40 alunos, uma parte acertou as duas
questões. Assim, há interseção entre os conjuntos dos alu-
nos que acertaram a primeira questão (Conjunto A) e a
segunda (Conjunto B). Para completar o diagrama com as
informações numéricas do problema, podemos iniciar re-
gistrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o
número de alunos que acertaram as duas questões.
A B
20
b) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram apenas a
1a questão.
Em seguida, preenchemos as regiões que representam o
número de alunos que acertaram exclusivamente uma das
questões. O número de alunos que acertou apenas a primei-
ra questão é a diferença entre o número total de alunos (35)
que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas
questões (20), ou seja, 15.
c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.
Todos os tetraedros são pirâmides.
Logo, algumas pirâmides são poliedros
regulares.
Poliedros regulares
Tetraedros Pirâmides
Pirâmides
Tetraedros Poliedros regulares
Poliedros regulares
Pirâmides
Tetraedros
I.
II.
III.
O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O
diagrama I está errado, pois não é verdade que todas as pi-
râmides são poliedros regulares. O diagrama III também está
em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros
regulares são pirâmides.
Problemas, conjuntos e diagramas
6. Vamos retomar o problema inicial desta
Situação de Aprendizagem para resolvê-
-lo por meio de diagramas.
20
Sugerimos que o professor proponha mais
alguns problemas para os alunos, para que
eles se familiarizem com esse tipo de represen-
tação. A seguir, apresentamos um problema
envolvendo mais de dois subconjuntos.
7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para
verificar a audiência de três programas de tele-
visão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevis-
tadas e obtiveram-se os seguintes resultados:
370 famílias assistem ao programa A; 300,
ao programa B e 360, ao programa C. Des-
se total, 100 famílias assistem aos programas
A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos pro-
gramas A e C e 20 famílias assistem aos 3 pro-
gramas. Com base nesses dados, responda:
a) Famílias que assistem a três programas.
Representando as informações dadas no diagrama, obtemos
o seguinte:
Representação da interseção entre os três conjuntos: A B C.
A B
C
20
Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois:
A B, A C e B C.
b) Famílias que assistem a dois programas.
O problema informa que 100 famílias assistem aos programas
A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três
A – B
A B
2015
c) Represente no diagrama a seguir o nú-
mero de alunos que acertaram apenas a
2a questão.
Utilizando o mesmo raciocínio, o resultado corresponde
à diferença entre o total de alunos que acertou a segunda
questão (25) e os que acertaram as duas questões (20),
isto é, 5.
B – A
A B
2015 5
É importante discutir com os alunos que,
nesse caso, a soma dos elementos representa-
dos no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao to-
tal de alunos, 40, o que significa que nenhum
aluno errou as duas questões.
Com a leitura do diagrama preenchido, po-
demos obter as respostas do problema, bas-
tando calcular as porcentagens solicitadas,
como já havia sido feito no início desta Situa-
ção de Aprendizagem.
21
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
programas; portanto, o número de famílias que só assistem
aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.
O mesmo vale para as outras interseções.
A B
C
20
80
10 40
c) Famílias que assistem exclusivamente a
um programa.
Representação do número de pessoas que assistem exclusi-
vamente a cada um dos programas. No caso do programa A,
esse número será a diferença entre o total de pessoas que
assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A B,
A C e A B C.
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra
a figura a seguir:
A B
C
20
80
10
260 160
290
40
d) Famílias que não assistem a nenhum
dos três programas.
Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a
soma das partes corresponde ao total de entrevistados.
Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860.
Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número
de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas, o
que pode ser representado como o conjunto complementar em
relação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama a seguir:
A B
C
T20
80
10
260 160
290340
40
8. Com base no diagrama apresentado na
atividade anterior, responda às seguintes
perguntas:
a) Quantas famílias assistem ao programa
A e não assistem ao programa C?
340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao pro-
grama C: 260 + 80 = 340.
A B
C
T20
80
10
260 160
290340
40
22
b) Quantas famílias assistem aos programas
B e C e não assistem ao programa A?
490 famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao
programa A.
A B
C
80
260 160
290
40
20
10
T340
c) Qual é o programa de maior fidelidade,
ou seja, aquele cujos espectadores so-
mente assistem a ele?
O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores,
contra 260 do A e 160 do B.
A B
C
T20
80
10
260 160
290340
40
9. Resolva o problema a seguir
usando diagramas.
Uma prova com três questões foi aplicada
em uma turma com 60 alunos. Os resultados
obtidos foram os seguintes: 36 alunos acer-
taram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25
acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que
18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16
acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram
a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acerta-
ram as três questões.
Represente na forma de diagrama os con-
juntos descritos anteriormente e responta às
questões seguintes:
U = 60
8
6
12 10
6
3
10
1a2a
3a
5
a) Quantos alunos erraram as três questões?
Apenas 5 alunos erraram as três questões.
b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a
2a questão?
12 + 6 + 10 + 8 + 3 + 10 = 49. 49 alunos acertaram ou a 1ª ou
a 2ª questão.
c) Quantos alunos erraram a 3ª questão?
12 + 8 + 10 + 5 = 35. 35 alunos erraram a 3ª questão.
23
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Desafio!
(Coordenadoria de Admissão aos Cur-
sos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma
pesquisa de mercado sobre o consumo
de três marcas (A, B e C) de um determi-
nado produto apresentou os seguintes
resultados: A (48%); B (45%); C (50%);
A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%);
nenhuma das três, 5%.
(Dica: represente a porcentagem de en-
trevistados que consomem as três mar-
cas por x e construa o diagrama com as
informações dadas.)
U = 100%
18 – x
15 – x
15 + x 2 + x
10 + x
25 – x
x
A
B
C
5%
a) Qual é a porcentagem dos entrevista-
dos que consomem as três marcas?
Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, bas-
ta resolver a seguinte equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100.
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados con-
somem as três marcas.
b) Qual é a porcentagem dos entrevista-
dos que consomem apenas uma das
três marcas?
U = 100%
8%
5%
25% 12%
20%
15%
10%
A
B
C
5%
Os entrevistados que consomem apenas uma das três
marcas são 25% + 12% + 20% = 57%.
Os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos
centrais da Matemática. Aparentemente, a
ideia de número pode parecer simples e na-
tural. Se pensarmos em termos de contagem
de objetos, os números chamados naturais
são suficientes para expressar resultados e
efetuar determinadas operações.
Contudo, ao longo da história, as trans-
formações socioculturais da humanidade
criaram diferentes necessidades de repre-
sentação, implicando a criação de outras
formas de representação numérica: frações,
decimais, números negativos, irracionais e
imaginários. Cada tipo de número criado
pelo homem ampliou não só a capacidade
de representação, mas também as possibili-
dades de solução para diferentes problemas.
Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-
nos tiveram contato com muitas formas de
representação numérica. Com os números
24
naturais, puderam representar quantidades
inteiras, registrar contagens, ordenar objetos
e conjuntos, realizar operações etc. Os núme-
ros racionais aparecem em seguida, primeiro
na forma de fração e, depois, como número
decimal. As frações surgem para representar
quantidades não inteiras, o resultado de medi-
das, a relação entre a parte e o todo de deter-
minado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na
6a série/7o ano, contradizendo a ideia de que os
números só podem representar quantidades ou
medidas. Finalmente, na 8a série/9o ano surgem
os números irracionais, que representam as me-
didas de segmentos incomensuráveis, uma vez
que elas não podem ser representadas na forma
de uma fração entre dois inteiros.
Todo esse universo numérico pode ser or-
ganizado e sistematizado por meio de diagra-
mas que representem as relações de inclusão
e interseção entre os diferentes conjuntos.
Apresentaremos, a seguir, a classificação mais
usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de
vista das características de cada número e das
operações que podem ser realizadas dentro de
cada conjunto.
Conjuntos numéricos e operações: dos naturais aos racionais
No conjunto dos números naturais, sempre
podemos realizar as duas operações funda-
mentais: a adição e a multiplicação, ou seja,
quaisquer que sejam a e b pertencentes ao
conjunto dos naturais, o resultado de a + b
e de a b será também um natural. Dizemos,
então, que o conjunto dos naturais é fechado
para a adição e a multiplicação.
Contudo, o mesmo não ocorre em relação
às operações inversas. No domínio dos na-
turais, nem sempre é possível realizar a sub-
tração ou a divisão entre dois números. Por
exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 2 não é um
número natural. A subtração a – b só pode ser
realizada no conjunto dos números naturais se
a for maior ou igual a b.
A introdução dos números negativos per-
mitiu a ampliação do campo numérico para
incluir a operação de subtração sem restri-
ções. No conjunto dos números inteiros, além
da adição e multiplicação, qualquer subtração
realizada resulta em um número inteiro. Con-
tudo, no domínio dos inteiros, a divisão b a só pode resultar em um inteiro se a for um
fator de b.
Assim, de forma semelhante ao que acon-
teceu com a subtração, a criação dos números
fracionários, na forma b
a (a e b inteiros, com
a ≠ 0), removeu os obstáculos para a operação
de divisão, com exceção da divisão por zero.
Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos
números racionais, que é fechado para a adi-
ção, multiplicação, subtração e divisão.
Assim, a ampliação do campo numérico
dos naturais para os racionais possibilitou a
criação de um conjunto cujos resultados das
quatro operações aritméticas básicas podem
ser obtidos sem restrições.
25
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
d
1
1
d2 = 12 + 12
d2 = 2
Ora, se d for comensurável em relação ao
lado 1, então devem existir dois inteiros a e b,
tais que a
b = d. Logo,
a
b
2
= 2, ou seja, a2
b2 = 2.
Sendo assim, a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores pri-
mos, tais fatores obviamente aparecerão aos
pares já que a2 = a a. O mesmo acontece
com o número b. Se a igualdade anterior
fosse verdadeira, teríamos a a = 2 b b,
ou seja, teríamos uma quantidade ímpar de fatores do lado direito, já que temos
2 b b, e uma quantidade par de fatores do
lado esquerdo da igualdade, a a. Sabemos
que isso não é possível, pois todo número in-
teiro diferente de 0 e de 1 possui uma única
decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma
fração a
b, com a e b inteiros que, elevada ao
quadrado, resulte em 2. Esse resultado, que
nada mais é do que 2 , não é um número
racional. Assim, retomando a perspectiva
da preservação das operações, o conjunto
dos números racionais não é fechado para
a radiciação.
Dos racionais aos irracionais
Como vimos, os números racionais per-mitem expressar o resultado de um proces-so de medida. Se compararmos a magnitude de dois segmentos a e b, podemos obter como resultado um número inteiro, se a for um fator de b, ou seja, b = r a. Caso con-trário, então poderemos dividir a unidade a em n segmentos iguais, cada um de com-
primento an
, de forma que ele caiba um
número inteiro m de vezes no segmento b.
Neste caso, teríamos que b = m
n a.
Quando for possível expressar a medida de
um segmento com base em outro por meio de
uma fração ou um número inteiro, dizemos que
os segmentos são comensuráveis. Em termos prá-
ticos, os números racionais podem expressar a
medida de quaisquer segmentos comensuráveis.
Em termos teóricos, contudo, a questão
deve ser ampliada. Nem toda medida pode
ser expressa na forma de uma razão entre nú-
meros inteiros. A descoberta da existência dos
segmentos incomensuráveis foi um dos fatos
mais surpreendentes da história da Matemá-
tica. Um dos exemplos mais conhecidos de
incomensurabilidade é a medida da diagonal
do quadrado em relação ao lado, que foi atri-
buída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.
Considerando um quadrado de lado uni-
tário, podemos obter a medida da diagonal
aplicando o Teorema de Pitágorasa:
a Professor, caso não tenha ainda apresentado o Teorema de Pitágoras aos seus alunos, este será um bom momento. Aproveite e chame a atenção deles para o fato de que a discussão detalhada do Teorema será feita adiante, em outra Situação de Aprendizagem.
26
A existência de segmentos incomensuráveis
implicou a criação de um conjunto complemen-
tar aos números racionais e que foi denomina-
do irracionais. Entre os números irracionais,
encontram-se as raízes não exatas, como 3 , 5 , 12, 55 etc., e números como Pi ( ) ou
Fi ( ), chamados transcendentais ou trans cen-
dentes (esse conceito será tratado na Situação
de Aprendizagem 3). De modo geral, todos os
irracionais possuem uma representação decimal
infinita e não periódica.
A reunião do conjunto dos números ra-
cionais com o conjunto dos irracionais deu
origem ao conjunto dos números reais. Os
números reais possuem uma propriedade im-
portante, que será amplamente utilizada da-
qui para a frente. Para cada número real, é
possível associar um único ponto de uma reta
numérica. Assim, a reta real constitui um mo-
delo para a representação de todos os núme-
ros reais, sejam eles racionais ou irracionais.
A representação de alguns irracionais será
apresentada nas Situações de Aprendizagem
a seguir.
É importante discutir com os alunos que,
diferentemente do conjunto dos racionais,
os irracionais não são fechados em relação
às operações de adição e multiplicação. Por
exemplo, embora 3 5 seja irracional,
o resultado de 3 3+ ( )– é zero, que é ra-
cional. Do mesmo modo, 3 3 9 3 ,
que também é racional. O conjunto dos ir-
racionais também não é fechado para sub-
tração e para divisão.
Representação dos conjuntos por meio de diagramas
Podemos representar os conjuntos nu-
méricos por meio de diagramas. Como vi-
mos anteriormente, os conjuntos numéricos
foram ampliados dos naturais aos racionais,
introduzindo novos tipos de números (fra-
ções, negativos) de modo a permitir a rea-
lização das quatro operações básicas sem
restrições. Essa ampliação pode ser repre-
sentada pelos seguintes diagramas:
Conjunto dos Naturais (IN)
Fechado para as operações de adição
e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
,
IN
Ampliação dos Naturais para os Inteiros ( )
Introdução dos negativos.
Fechado para adição, multiplicação
e subtração.
–1, –2, –3, ...
, , –
IN
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)
Introdução das frações e dos não inteiros.
Fechado para adição, multiplicação,
subtração e divisão.
27
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
, , – ,
INQ
12
, – 34
,
A introdução dos números irracionais (Ir)
permitiu a ampliação do campo dos racionais
para os números reais (IR), representado pelo
diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os
irracionais são o conjunto complementar aos
racionais em relação aos reais.
IN
Q
IR
r
π
2
53
Com base neste diagrama, podemos escre-
ver as seguintes relações entre os conjuntos
numéricos:
IN Q IR IR = Q r
A seguir, propomos uma atividade para
aprofundar o conhecimento sobre as relações
entre os conjuntos numéricos:
10. Qual diagrama representa
melhor os subconjuntos dos nú-
meros reais? IN – Naturais /
– Inteiros / Q – Racionais / r – Irracionais.
a)
INr
QIR
b)
QIN
IRr
c)
Q
IN
IR
11. Na atividade anterior, destaque com lápis
de cor o conjunto dos números irracionais.
IN
IR
12. Classifique em verdadeira ou falsa as ex-
pressões matemáticas a seguir. Reescreva as
expressões falsas, tornando-as verdadeiras.
28
a) IN
Verdadeira. Os Naturais são um subconjunto dos Inteiros, pois
todo número natural também é inteiro.
b) IN = Q
Falsa. A reunião dos Naturais com os Inteiros é o próprio conjun-
to dos inteiros. =
c) IR – r = Q
Verdadeira. Os Racionais são o complementar dos Irracionais
em relação aos reais.
d) Q = Q
Falsa. A interseção entre Inteiros e Racionais é o próprio conjunto
dos inteiros. Q =
e) Q r = Q
Falsa. Não há interseção entre Racionais e Irracionais, pois são
conjuntos mutuamente exclusivos. Q r =
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos conheçam as princi-
pais características associadas aos conjuntos
numéricos, desde os números naturais até os
reais e que saibam usar diagramas para repre-
sentar situações-problema envolvendo rela-
ções entre as partes e o todo de um conjunto.
Além disso, o aluno deve conhecer o signifi-
cado das principais relações entre conjuntos:
união, interseção, pertinência, inclusão e dife-
rença. Embora o foco na 8a série/9o ano não
seja a formalização da linguagem simbólica
matemática, o que será feito no Ensino Mé-
dio, o aluno deve conhecer o significado dos
principais símbolos ligados às operações entre
conjuntos: , , .
Além das atividades propostas nesta Situa-
ção de Aprendizagem, o professor poderá suge-
rir problemas e exercícios complementares que
estão presentes na maioria dos livros didáticos.
Em relação aos problemas envolvendo conjun-
tos, é importante orientar os alunos em relação
a alguns aspectos, tais como:
ambiguidade no enunciado;
organização das informações;
registro das operações;
representação por meio de diagramas.
Tais aspectos devem ser considerados pelo
professor nas atividades de avaliação.
Em relação aos conjuntos numéricos, desta-
camos dois aspectos importantes. O primeiro é
a ampliação dos conjuntos numéricos dos natu-
rais aos racionais com base nas quatro operações
básicas. E o segundo é a passagem dos racionais
para os irracionais, compondo o conjunto dos
números reais. Esses dois aspectos devem ser bem
trabalhados, pois constituirão uma base para o
prosseguimento dos estudos no Ensino Médio,
principalmente no que se refere às funções.
29
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; rela-cionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e aproximação na representação de números racionais.
Sugestão de estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e anali-sar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2
Números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos na Situação de Aprendiza-
gem 1 da 7a série/8o ano, a representação decimal
de um número racional ou é finita, como no caso
de 4
5 = 0,8, ou infinita e periódica, como no
caso de 7
6 = 1,1666... A seguir apresentare-
mos novos aspectos dessa questão com a reto-
mada da discussão da fração geratriz de uma
dízima periódica.
Recuperando o processo de determina-
ção da geratriz de uma dízima, sugerimos
que a discussão seja iniciada com o seguinte
problema:
1. Responda:
a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,79999…?
5
4
b) Qual é o decimal obtido quando dividi-
mos o numerador pelo denominador na
fração encontrada no item a?
0,8
De acordo com o processo descrito na
7a série/8o ano, escrevemos x = 0,7999... e ini-
ciamos a busca de duas igualdades equivalen-
tes a essa, e que tenham exatamente o mesmo
período, como veremos a seguir:
x = 0,7999... (I)
10x = 7,999... (II)
100x = 79,999... (III)
10 10
10 10
Observe que são necessárias duas multiplica-
ções por 10 para que se descubram duas igualdades
30
com o mesmo período, que são as igualdades indi-
cadas por (II) e (III). Dependendo do período da
dízima investigada, o processo pode exigir mais do
que duas multiplicações por 10; porém o processo
descrito é geral, uma vez que, por ele, sempre será
possível encontrar duas igualdades com números
de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos,
membro a membro, as igualdades de mesmo
período que, no caso do exemplo, são (II) e
(III). Tal subtração tem por objetivo encon-
trar uma igualdade equivalente em que apa-
reça um número inteiro no segundo membro.
Com base nela, basta agora encontrar o valor
de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .
A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica
0,7999… quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração: 4
5 .
Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, po-
demos afirmar que:
Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima perió-
dica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal,
pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre
frações ordinárias.
(III) – (II):
100x – 10x = 79,999... –7,999...
90x = 72
x = 72
90, ou seja, x =
4
5
Trabalhando com outros exemplos, o pro-
fessor poderá elaborar atividades em que os
alunos percebam que, pelo processo descrito,
todo decimal finito poderá ser convertido em
uma dízima periódica cujo período será ou
0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999... etc. Como
veremos a seguir, podemos representar qual-
quer número racional como soma de infinitas
frações decimais.
Professor, é importante deixar claro que,
se todo número racional pode ser escrito
como uma dízima periódica, sempre será
possível representar um racional como a soma
de infinitas frações. No caso dos racionais 4
5 e
7
6, essas somas seriam as seguintes:
31
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
4
5 = 0,8 = 0,7999... =
= 7
10 +
9
100 +
9
1 000 +
9
10 000 + ...
7
6 = 1,1666... =
= 1 + 1
10 +
6
100 +
6
1 000 +
6
10 000 + ...
Você deve ter em mente que a discussão feita
até o momento tem como objetivos:
retomar a discussão de fração geratriz
iniciada na 7a série/8o ano;
reformular definições à luz de maior ri-
gor e generalidade;
recuperar ideias relacionadas com
a estrutura do sistema decimal de
numeração.
2. Encontre frações que mostrem a equiva-
lência entre os seguintes números:
a) 2,5 e 2,4999…
2,5 = 10
25 =
2
5
x = 2,4999… (1)
10x = 24,999… (2)
100x = 249,999… (3)
Fazendo (3) – (2): x = 90
225 =
2
5
b) 1 e 0,999…
x = 0,999…(1)
10x = 9,999…(2)
Fazendo (2) – (1): x = 9
9 = 1
c) 0,32 e 0,31999…
0,32= 100
32 =
25
8
x = 031999… (1)
10x = 3,1999… (2)
100x = 31,999… (3)
1 000x = 319,999… (4)
Fazendo (4) – (3): x = 900
288 =
25
8
3. Analise atentamente os resultados obtidos na
atividade anterior e justifique a seguinte afir-
mação: “Todo número racional pode ser escri-
to como uma dízima periódica”.
Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é
possível escrevê-lo como uma dízima periódica com perío-
do formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais fini-
tos transformados em dízimas:
35,499… = 35,5 -726,999 = -727 0,0070999… = 0,0071
4. Se todo número racional pode ser escrito
como uma dízima periódica, será sempre pos-
sível representar um racional como uma soma
de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos
racionais 4
5 e 7
6, essas somas seriam:
4
5 = 0,8 = 0,7999... = 7
10 + 9
100 + 9
1 000 + 9
10 000 + ...
7
6 = 1,1666... = 1 + 1
10+ 6
100 + 6
1 000 + 6
10 000 + ...
Com base nessa mesma ideia, escreva as fra-
ções a seguir como a soma de infinitas frações:
a) 3
8
8
3 = 0,375 = 0,374999... = 10
3 + 7
100 + 4
1 000 + 9
10 000 + 9
100 000 + ...
b) 7
3
3
7 = 2,333... = 2 + 3
10 + 3
100 + 3
1 000 + ...
32
5. Encontre a fração geratriz de
2,3939… e mostre que ela é diferen-
te da fração geratriz de 2,4. (Suges-tão: encontre as frações geratrizes dos dois
decimais e, em seguida, transforme essas
frações em frações de mesmo denominador
para poder compará-las.)x = 2,3939 (1)
10x = 23,939 (2)
100x = 239,39 (3)
Fazendo (3) – (1): x = 237
99 = 79
33
Por outro lado, 2,4 = 24
10 = 12
5
mmc (5,33) = 165, então:
79
33 = 395
165 e 12
5 = 396
165 .
Logo, 2,3939 ≠ 2,4.
Considerações sobre a avaliação
Uma vez que o professor se decida por traba-
lhar com as frações contínuas no seu curso so-
bre números reais, recomendamos que aproveite
também a oportunidade para explorar o uso da
calculadora em sala de aula. Utilizar a calcula-
dora para calcular a representação decimal de
números racionais e para encontrar aproxima-
ções de raízes pode ser uma interessante porta
de entrada para a expansão do conhecimento
numérico de um aluno de 8a série/9o ano.
Deve-se observar que nas séries/anos an-
teriores já haviam aparecido representantes
numéricos de todos os conjuntos; porém, en-
tendemos que a 8a série/9o ano seja o ambiente
para organizar as informações numéricas, bem
como conceder novos contornos à discussão
feita sem grande aprofundamento sobre núme-
ros racionais e irracionais na 7a série/8o ano.
As avaliações sobre o tema tratado nesta
Situação de Aprendizagem podem ser feitas
por meio de listas de exercícios em que se peça
para o aluno determinar frações geratrizes.
Identificado um interesse sobre o assunto por
parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação
pode ser um trabalho de pesquisa em que os alu-
nos possam se aprofundar no assunto estudado.
Frações contínuas
Professor, caso considere adequado trabalhar
as frações contínuas com seus alunos, sugerimos
a abordagem e atividades apresentadas a seguir.
A fração 4
5 situa-se entre os inteiros 0 e 1.
Dessa forma, podemos escrever 4
5 como 0 +
1
x,
sendo que x > 1. Se 4
5 = 0 +
1
x, então x =
5
4, o
que nos permite escrever, portanto, 45
0154
= + ,
que chamaremos de igualdade (I). Pode-se
repetir o mesmo raciocínio para a fração 5
4.
Sabemos que 5
4 é um número entre 1 e 2 e que,
portanto, pode ser escrito como 1 + 1
y, com
y > 1. Se 5
4 = 1 +
1
y, então y = 4. Segue, por-
33
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
tanto, que 5
4 = 1 +
1
4 , que chamaremos de
igualdade (II). Substituindo (II) em (I) tere-
mos 45
01
114
= ++
, que será a igualdade (III).
Repetindo mais uma vez o mesmo processo
para a fração 1
4, teremos:
1
4 = 0 +
1
w , com
w > 1, o que implica dizer que w = 4, por-
tanto, 1
4 = 0 +
1
4. Note que esta última etapa
dos cálculos não implicou uma representação
diferente para a fração 1
4, o que, em última
análise, quer dizer que o processo está encer-
rado. Na prática isso sempre ocorrerá quando
x, y, w, ... for um número inteiro.
No caso do exemplo analisado, x = 5
4, o que
nos fez calcular y, que por sua vez é igual a
4 Z, encerrando assim o processo em
y. Decorre do processo realizado a se-
guinte igualdade, que chamamos “dese-
volvimento do 4
5 em fração contínua”:
45
01
114
= ++
Pode-se demonstrar que todo número ra-
cional pode ser escrito como fração contínua
por meio de um desenvolvimento finito, como
ocorreu no exemplo anterior.
Observe que o racional 7
6, cuja representa-
ção decimal era explicitamente uma dízima pe-
riódica, também pode ser escrito como fração
contínua por meio de um número finito de pas-
sos. O raciocínio será o mesmo utilizado para 4
5:
(I) 7
6 está entre 1 e 2, portanto,
7
6 = 1 +
1
x,
com x > 1
(II) De 7
6 = 1 +
1
x decorre que x = 6, ou
seja, 7
6 = 1 +
1
6
(III) Como x = 6 Z, o processo está en-
cerrado e a fração contínua do de-
senvolvimento de 7
6 é
7
6 = 1 +
1
6.
Atividade 1
Com relação ao número racional 16
7,
pergunta-se:
a) Utilizando o algoritmo da divisão para
16 ÷ 7, encontraremos um decimal fini-
to ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fa-
zer a conta 16 ÷ 7, irá encontrar como resultado 2,2857142.
Como não identificamos facilmente nessa divisão um perío-
do que se repete, é possível que o aluno responda que o
resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que
se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem 2
“As dízimas periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da
7a série/8o ano. Naquele momento, foi discutido que, ao
realizarmos a divisão entre numerador e denominador de
uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódi-
ca se ao menos um dos fatores do denominador da fração
for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador
da fração 16
7 apresenta fator primo 7, sabemos que a re-
34
presentação decimal decorrente da divisão será uma dízima
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não
foram suficientes para a identificação do período, reco-
mendamos que o professor solicite que os alunos façam a
conta armada até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).
b) Escreva 16
7 como fração contínua.
(I) 16
7 está entre 2 e 3, portanto, 16
7 = 2 + 1
x , com x > 1.
(II) De 16
7 = 2 + 1
x decorre que x = 7
2 , ou
seja, 16
7 = 2 + 1
7
2
.
(III) 7
2 está entre 3 e 4, portanto, 7
2 = 3 + 1
y , com y > 1.
(IV) De 7
2 = 3 + 1
y decorre que y = 2, ou seja, 7
2 = 3 + 1
2 .
(V) Como y = 2 Z, o processo está encerrado e a fração
contínua procurada é
16
7 = 2 + 1
3 + 1
2
A seguir, mais um exercício para reforçar
a ideia do processo.
Atividade 2
Escreva 30
13 como fração contínua.
(I) 30
13 está entre 2 e 3, portanto, 30
13 = 2 + 1
x , com x > 1.
(II) De 30
13 = 2 + 1
x decorre que x =
13
4 , ou
seja, 30
13 = 2 + 1
13
4
.
(III) 13
4 está entre 3 e 4, portanto, 13
4 = 3 + 1
y , com y > 1.
(IV) De 13
4 = 3 + 1
y decorre que y = 4, ou seja, 13
4 = 3 + 1
4 .
(V) Como y = 4 Z, o processo está encerrado e a fração
contínua procurada é
30
13 = 2 + 1
3 + 1
4
.
Em resumo, alguns dos objetivos específi-
cos que o professor poderá levar em conside-
ração se decidir por abordar frações contínuas
para representar números racionais são:
as frações contínuas descrevem um processo
finito (por meio de frações) para a represen-
tação de todo e qualquer número racional.
Sem as frações contínuas, e restritas apenas
à representação decimal dos números racio-
nais, uma dízima periódica só poderá ser re-
presentada como a soma infinita de frações;
as frações contínuas são trabalhadas em
um contexto em que se faz necessária a
retomada de operações e representação
de frações, o que é positivo dentro da
ótica de currículo em espiral;
o estudo das frações contínuas abre
uma interessante perspectiva de inter-
pretação e análise dos números irracio-
nais, como veremos a seguir.
Frações contínuas e os números irracionais
Uma forma muito utilizada de se refe-
rir aos números irracionais é a de que são
os números cuja representação decimal é
infinita e não periódica depois da vírgu-
la. Nesse caso, ao observarmos no visor de
uma calculadora de oito dígitos o resultado
35
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
1,4142135 de 2 , sabemos, de antemão, que
o número indicado é apenas uma aproximação
de 2 , dado que 2 é um número irracional.
Se fosse possível ter uma calculadora que cal-
culasse 2 com infinitas casas, o fato de se
tratar de um número irracional nos dá garan-
tias de que não haverá formação de período
em sua parte decimal.
Se nos referirmos aos números irracio-
nais dessa maneira, após a discussão da re-
presentação dos racionais por frações contí-
nuas, surge quase naturalmente a pergunta:
Existe um processo para a representação
dos irracionais com frações contínuas? Ve-
remos a seguir que, além de existir tal pro-
cesso, surpreendentemente ele nos conduzi-
rá a um tipo de representação periódica e,
portanto, previsível.
A seguir, aplicaremos o mesmo processo
que foi utilizado para a obtenção de frações
contínuas de números racionais para o caso
do número irracional 2 .
I. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 11
= +x
,
com x > 1.
II. De 2 11
= +x
decorre que:
2 11
–x
x1
2 1–
x1
2 1–
2 1
2 1
x = +1 2
Temos, portanto, 2 11
1 2= +
+
III. 1 2 é um número entre 2 e 3,
portanto, 1 2 21
+ = +y
, y > 1.
IV. De 1 + 2 = 2 + 1
y decorre que
y = 1 + 2
e, portanto, temos:
1 2 21
1 2+ = +
+
V. Substituindo no resultado do passo II
o resultado obtido no passo ante-
rior teremos:
2 11
21
1 2
= ++
+
VI. Note que x = y = 1 2. Se fôssemos
continuar o processo, partiríamos de
y e encontraríamos w = +1 2. Na
sequência, partiríamos de w = +1 2
e encontraríamos z = +1 2, e assim
sucessivamente em um processo infi-
nito. Portanto, a fração contínua que
representa 2 será:
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
O processo descrito nos fornece uma su-
cessão de aproximações racionais para 2,
36
bastando para isso parar em algum ponto da
sequência infinita indicada na fração contí-
nua.
1a aproximação: 2 1≈
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
2a aproximação: 232
1 5≈ = ,
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
2 112
< , ou seja, 232
≈
3a aproximação: 275
1 4≈ = ,
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
2 11
212
275
≈ ++
, ,ou seja ≈
4a aproximação: 21712
1 4167,≈ ≈
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
2 11
21
212
21712
++
+
, ,ou seja≈ ≈
5a aproximação: 2 4129
1 4138,≈ ≈
2 11
21
21
21
21
21
= ++
++
++
...
2 11
2 1
2 1
2 12
24129
++
++
, ,ou seja≈ ≈
Pode-se demonstrar que as sucessivas apro-
ximações racionais obtidas de 2 por meio da
sua fração contínua formam uma sequência
convergente em que seus termos são, alterna-
damente, aproximações por falta e por excesso
de 2. A tabela a seguir resume esse conjunto
de informações:
37
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Aproximação de 2
Erro em relação ao
valor de 2
Tipo de aproximação
1a) 11
= 1 0,4142 Falta
2a) 32
= 1,5 0,0858 Excesso
3a) 75
= 1,4 0,0142 Falta
4a) 1712
1,4167 0,0024 Excesso
5a) 4129
1,4138 0,0004 Falta
O processo de determinação das frações con-
tínuas dos números racionais e do número ir-
racional 2 sinaliza para as seguintes evidências,
que podem ser matematicamente demonstradas:
1. Todo número racional pode ser repre-
sentado por uma fração contínua por
meio de um número finito de passos.
2. Todo número irracional do tipo n (com
n natural não quadrado perfeito) pode
ser representado, por um processo infi-
nito de passos, na forma de uma fração
contínua, cuja configuração é periódica.
3. Todo número real pode ser representa-
do por uma fração contínua.
O segundo resultado enunciado é curioso
porque, contrariamente às outras aproximações
de 2, que envolvem infinitas frações não pe-
riódicas, ao ser expressa por uma fração contí-
nua a representação da segunda aproximação
será periódica.
A título de curiosidade, apresentamos a se-
guir a representação com fração contínua de
dois importantes números irracionais, ou seja,
a razão áurea 1 52
e :
1 52
1
11
11
11
11
+=
++
++
...
e
π = 31
71
151
11
2921
11
11
11
21...
Atividade 3
Determine a fração contínua que represen-
ta o número 24.
I) 24 está entre 4 e 5, portanto,
24 = 4 + 1
x , com x > 1.
II) De 24 = 4 + 1
x decorre que:
24 – 4 = 1
x
x = 1
24 – 4
38
x = 1
24 – 4 24 + 4
24 + 4
x = 4 + 24
8
Temos, portanto, 24 = 4 + 1
4 + 24
8
III) 4 + 24
8
é um número entre 1 e 2, portanto,
4 + 24
8
= 1 + 1
y , y > 1.
IV) De 4 + 24
8
= 1 + 1
y , decorre que y = 4 + 24 e,
portanto, temos: 4 + 24
8
= 1 + 1
24 + 4
Substituindo o resultado do passo IV no resultado do passo
II, temos:
24 = 4 + 1
1 + 1
4 + 24
V) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos
4 + 24 = 8 + 1
w , com w > 1.
VI) De 4 + 24 = 8 + 1
w decorre que w = 4 + 24
8 . Como w
repetiu o valor de x, a partir de agora o processo começa a
se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contí-
nua que representa 24 será:
24 = 4 +
1 +
1
1
8 +1
1 +1
8 +1
1 +1
8 +1...
Finalizada esta breve apresentação sobre
o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez,
que o tratamento dado na ampliação desta
Situação de Aprendizagem aos números ra-
cionais e irracionais por meio de frações con-
tínuas consiste em uma alternativa à abor-
dagem tradicional conduzida por boa parte
dos programas curriculares e livros didáticos.
Deve ficar claro que a decisão sobre incorpo-
rar ou não essa abordagem (ou parte dela)
caberá ao professor.
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real; Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com crité-rios preestabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar com base em proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Sugestão de estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos números na reta real.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
39
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3
A reta real
O estudo da reta real na 8a série/9o ano tem
alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-
mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o
conhecimento numérico do aluno, estabeleci-
do ao longo das séries/anos anteriores e orga-
nizado na Situação de Aprendizagem 1 deste
Caderno, pode finalmente ser utilizado para
ampliar o significado do plano cartesiano. O
estudo dos gráficos, domínio importante no
contexto da Matemática, já vem sendo reali-
zado desde a 5a série/6o ano do Ensino Funda-
mental, porém sempre deixando de lado dis-
cussões relacionadas ao “preenchimento” do
plano. Por exemplo: na 6a série/7o ano quando
os pontos (1;1), (1;4) e (5;1) são apresenta-
dos como vértices de um triângulo retângulo
no plano cartesiano, apenas iniciamos uma
discussão que pode e deve ser retomada na
8a série/9o ano com mais rigor e precisão por
meio de discussão da reta real.
A retomada do tema em questão pode ser
feita com o seguinte problema:
Construa no plano cartesiano um triângu-
lo de vértices (1;1), (1;4) e (5;1). Em seguida,
indique alguns pontos ao longo do perímetro
desse triângulo em que ao menos uma de suas
coordenadas não seja inteira.
Fazendo a representação do triângulo no
plano, poderemos investigar a questão com
mais clareza:
0 x
A
B
C1
1 5
4
y
Os segmentos AB, AC e BC são formados
por infinitos pontos, contudo, na 6a série/7o ano
não se discutiam especificamente quais são as
coordenadas desses pontos. Se tal discussão fos-
se conduzida naquela ocasião, certamente pre-
encheríamos os segmentos apenas com pontos
de coordenadas racionais, já que os números ir-
racionais ainda não haviam sido apresentados.
O par ordenado 3
2; 1 seria um exemplo de
ponto pertencente ao segmento AC, com coor-
denada x não inteira, e o par 1; 7
3 um
exemplo de ponto pertencente ao segmento
AB, com coordenada y não inteira.
Se, por opção do professor, o mesmo pro-
blema fosse tratado na 7a série/8o ano, após a
apresentação de alguns números irracionais,
40
poderíamos “preencher” os mesmos segmen-
tos com pontos como 2 1;( ) , que pertencem
a AC, e 1 6;( ) , que pertence a AB. Após o
trabalho feito com o Teorema de Tales na
7a série/8o ano, também poderíamos encon-
trar pontos pertencentes a BC com ambas as
coordenadas não racionais. Por exemplo, de-
terminaremos a seguir a ordenada do ponto
6 ; y( ), pertencente ao segmento BC.
0 x
A
ED
B
C1
1 5
4
y
y
6
Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y
e ED 6 1– . Portanto:
BE
BA =
ED
AC
43
6 14
– –y
y19 3 6
4–
Q.
Assim, o ponto D tem as seguintes coordena-
das não racionais: 619 3 6
4;
– .
Retomando a discussão com os alunos sobre
o número , iniciada na 6a série/7o ano, é possível
indicar que outro exemplo de ponto pertencen-
te ao segmento AC, com abscissa não racional,
corresponderia ao par ordenado ( ; 1).
Essa discussão deve servir para que o pro-
fessor problematize a necessidade de amplia-
ção das ideias relacionadas aos eixos do plano
cartesiano que, a rigor, são eixos de números
reais, apesar de não ter sido definido dessa
maneira até a 7a série/8o ano. Poderíamos di-
zer que, na 6a série/7o ano, a reta numérica es-
tava preenchida apenas com os racionais, na
7a série/8o ano foram incluídos alguns números
irracionais (caso o professor tenha optado por
iniciar a discussão sobre irracionais nessa série/
ano), e na 8a série/9o ano ela será completamen-
te preenchida com os demais irracionais.
Antes da proposta de trabalho com a reta
real, falaremos brevemente sobre a divisão dos
números reais entre algébricos e transcenden-
tes. Embora esse assunto não seja abordado
no Ensino Fundamental; porém não encon-
tramos grandes obstáculos para que ele seja
abordado, especialmente se houver interesse
do professor em tratar o assunto sob o ponto
de vista da história da Matemática. Observe a
seguinte definição:
Um número real é algébrico quando ele é
solução de uma equação algé brica com coefi-
cientes inteiros.
Vejamos alguns exemplos de equações al-
gébricas com coeficientes inteiros, bem como
o respectivo grau da equação:
41
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Equação algébricaGrau da equação
Solução da equação
2x + 8 = 0 1 – 4
– 6x + 4 = 0 123
x2 = 3 2 3
x2 + x – 2 = 0 2 1 ou –2
x3 + x2 – 2x – 2 = 0 3 – 2 , 2 ou –1
Usando a definição de números algébricos
e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
3, – 3 , 3 , 1, –2, – 2 , 2 e –1 são classifi-
cados como algébricos (veja a definição na pá-
gina 40).
Observações:
uma equação do tipo 2 1 0x – não
serviria para classificar o número 2
2como algébrico porque, apesar de a equa-
ção ser algébrica, ela não possui todos os
coeficientes inteiros (o coeficiente de x é
o número irracional 2 ). Para mostrar
que 2
2 é um número algébrico, teríamos
que apresentar, por exemplo, a equação
2x2 – 1 = 0;
equações do tipo x + 1
x + 1 + 2 = 0 e
x x+ + =2 2 0 não são algébricas. Equa-
ções algébricas são do tipo a0xn + a1x
n – 1 +
+ ... + an – 1x + an= 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ...,
an – 1, an, dado seus coeficientes (reais) e n,
o seu grau;
um mesmo número algébrico pode ser
identificado por mais de uma equação
algébrica com coeficientes inteiros, mas
basta apresentar uma única equação
para que ele seja classificado como algé-
brico. Alguns exemplos de equações que
permitem classificar o número 2 como
algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0,
x3 + x2 – 2x – 2 = 0 etc.
O primeiro motivo de estabelecermos essa classificação é o de justificar para o aluno a diferença entre números irracionais como 2 e o . Enquanto 2 é um número irracional algébrico, não há uma equação algébrica com coeficientes inteiros que tenha como solução o número , o que o caracteriza como irracional não algébrico (ou transcendente). Todo número racional é algébrico, mas nem todo nú mero irracio nal é algébrico.
Existem inúmeros exemplos de irracionais transcendentes, porém, até o final do Ensino Fundamental, o aluno terá contato com ape-nas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar matematicamente que são irracionais trans-cendentes números como e 2 2.
A reta real é o conjunto que reúne os números racionais e irracionais ou, em outras palavras, o conjunto que reúne os números algébricos e os números transcendentes. Por fim, afirmaremos que todo número racional é algébrico, nem todo número irracional é algébrico e que todo núme-ro transcendente é irracional.
42
Localização de números na reta real com o uso de régua e compasso
Os gregos antigos interessavam-se por cons-
truções geométricas feitas com o uso de dois
dos instrumentos geométricos mais simples
de todos: a régua sem escala e o compasso.
Outros instrumentos de construção também
eram utilizados na Antiguidade clássica,
porém, acredita-se que o problema de encon-
trar os procedimentos para as construções
geométricas com o uso de apenas esses dois
instrumentos estaria relacionado à busca de
simplicidade e elegância.
Iremos investigar a seguir alguns proce-
dimentos com régua sem escala e compasso
para localizar na reta real a maior quantidade
de números que for possível. Começaremos
nossa discussão apresentando um diagrama
com exemplos de números de cada conjunto
numérico e, em seguida, tentaremos localizar
na reta real (com os instrumentos permitidos)
alguns dos exemplos colocados no diagrama.
0,25
01
32
– 1
– 2
– 3
– 6
2,3666...
π
12
47
13
2
3
23
24
IR –
IN
Construção dos números naturais e dos inteiros negativos
1. Partindo de uma reta orde-
nada com uma marcação para
o zero, estabeleça uma unidade
de medida arbitrária (1u) e, com a ajuda do
compasso, marque alguns números natu-
rais e os inteiros negativos transferindo a
unidade para a reta real.
–3 –2 –1 0 1 2 3 IR
1u
Construção dos racionais não inteiros
Os procedimentos para localização dos
racionais na reta real podem variar muito e
é importante que o professor dê liberdade
para que os alunos pensem sobre suas estra-
tégias de localização antes que seja generali-
zado algum método-padrão. Sugerimos que
se comece com a localização de 1
2, passando
para 0,25 = 1
4, e depois para
1
3. Apresenta-
mos a seguir exemplos de procedimentos
que permitem a construção desses números.
2. Faça a construção do 1
2 na reta real.
(Sugestão: marque com o compasso o nú-
mero 1 e, em seguida, trace a mediatriz do
segmento que liga os números 0 e 1.)
© C
onex
ão E
dito
rial
–
43
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
0 1 IR1
4
1
2
Com as duas construções deve ficar cla-
ro para o aluno que podemos construir
com régua sem escala e compasso qual-
quer número da sequência 1
2, 1
4, 1
8, 1
16, ... .
4. Com base nas atividades anteriores, reflita
sobre como seria possível construir, com
régua sem escala e compasso, o número ra-
cional – 7
8 . Registre suas conclusões.
De forma geral, é simples a construção de qualquer núme-
ro racional cujo denominador seja uma potência de 2. Por
exemplo, se quisermos construir o racional – 7
8, basta traçar
a mediatriz do segmento de extremos em 0 e 1
4, o que
estabelecerá o racional 1
8. Como –
7
8 = (–1) 7
1
8,
com a ajuda do compasso, transferimos a medida 1
8 sete
vezes à esquerda do zero.
5. Siga as orientações seguintes e localize 1
3 na reta real. (Observação: embora seja
1. Marcamos com o compasso o número 1.
2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números
0 e 1.
3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o
número 1
2 .
IR0 1
3. Construa e localize, na reta real, com ré-
gua e compasso, o ponto correspondente
ao número 0,25 = 1
4.
1. Traçamos 1
2 (conforme já foi descrito).
2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números
0 e 1
2 .
3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é
o número 1
4.
44
um pouco trabalhoso, o procedimento de
construção é vantajoso porque constitui
um método geral para a representação de
qualquer racional do tipo 1
q, com q *).
É interessante notar que muitos alunos
tentam localizar 1
3 na reta real repetindo o
procedimento da mediatriz, o que torna o
problema muito complexo. Recomendamos
que o professor permita que os alunos discu-
tam em pequenos grupos o problema da loca-
lização de 1
3 na reta real. É provável que apa-
reçam soluções criativas e diferentes entre os
grupos. Apresentamos a seguir uma solução
do problema que tem a vantagem de se cons-
tituir num método geral para a representação
de qualquer racional do tipo 1
q, com q *.
Construção do 1
3 :
I. Marque D e E nos pontos correspon-
dentes aos números reais 0 e 1 da reta.
II. Trace uma reta qualquer (diferente da
reta real) passando por D, que chama-
remos de reta t.
III. Na reta t, com a ajuda do compasso,
marque três segmentos de mesmo com-
primento a partir do ponto D (na figura
são os segmentos DA, AB e BC). O com-
primento desses segmentos não precisa
ser igual à unidade de medida 1u.
IV. Ligue C com E formando o triân gulo
DCE.
Até essa etapa, sua construção dever ser
semelhante a:
0
D
A
B
C
1
E
t
IR
Note que, se for possível traçar, com régua e
compasso, retas paralelas à reta que passa por E
e C de forma que elas passem pelos pontos B e A,
segundo o Teorema de Tales, a interseção dessas
retas com a reta real ocorrerá nos números 1
3 e
2
3.
Para traçar a paralela s à reta EC, siga estes
passos:
I. A partir de um ponto P de EC, abra o
compasso até B e trace uma semicircun-
ferência de diâmetro XZ .
II. Transfira com o compasso o segmento
XB na semicircunferência para a posi-
ção indicada na figura por ZQ (XB e
ZQ são congruentes).
III. Ligue os pontos B e Q para determinar
a reta s, que será paralela à EC.
IV. Observe que a interseção de s com a reta
real ocorrerá em 2
3. Para traçar
1
3, basta
transferir com o compasso o segmento
de extremos em 2
3 e em 1 para a esquerda
de 2
3 (note que o segmento reproduzi-
do tem medida igual a 1
3 u).
45
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Agora, verifique se a sua construção cor-
responde à figura a seguir:
13
0
D
Q
Z
X
st
PA
B
C
1
E
23
IR
Caso constate alguma diferença entre a sua
construção e a imagem apresentada, tente rever
as etapas indicadas para identificar possíveis
problemas.
O procedimento descrito anteriormente
permite a generalização da construção com
régua sem escala e compasso de qualquer ra-
cional 1
q, com q * e, consequentemente, de
qualquer fração p
q, com p e q *.
6. Construa e localize, na reta real, com
régua e compasso, o ponto correspon-
dente ao número 0,8333... = 5
6 .
0
s t
156
IR
s // t
Localização de números irracionais na reta real com o uso de régua e compasso
7. Uma vez que já conhecemos
um procedimento para localizar
todos os racionais na reta real
com régua e compasso, o próximo passo é in-
vestigar a localização dos números irracio-
nais, por exemplo, a construção de 2
pode ser feita da seguinte forma:
a) Trace uma perpendicular à reta real
passando pelo zero.
b) Marque 1u na reta traçada (P) e tam-
bém na reta real (Q).
c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem me-
dida 2u (pelo Teorema de Pitágoras).
d) Transfira com o compasso o segmento
de extremos P e Q para a reta real e de-
termine 2u sobre ela.
Verifique se sua construção corresponde à
figura a seguir:
2
0 1
1 P
Q
2 IR
Observe que, se utilizarmos um triângulo re-
tângulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será 3 u, o que indica que também é possível cons-
truir 3, ou seja, repetindo esse processo, pode-
-se construir qualquer número irracional do tipo n , com n natural e não quadrado perfeito.
46
interesse e motivação por parte dos alunos
na representação das raízes do tipo np , com
p ≠ 1, sendo uma potência de 2, o professor
já poderá dar início à discussão sobre seme-
lhança de triângulos.
8. Construa 24 com base na propriedade do
triângulo retângulo apresentada a seguir:
B C
A
a
n m
hbc
h2 = m n
a) Analisando a relação anterior, qual será
o valor de h se n = 1 e m = 2?
Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2, teremos h = 2 .
b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?
Se aplicarmos o resultado para n = 1 e m = 2 , obteremos
h = 24 .
c) Qual seria o valor de h se n = 1 e
m = 24 ?
Fazendo agora n = 1 e m = 24 = , encontraremos h = 28 .
d) Repetindo esse procedimento, quais raí-
zes podem ser obtidas?
2n , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1).
Resta investigar qual deve ser o procedi-
mento, com régua e compasso, para a cons-
trução de n. Ilustraremos tal procedimento
para h = 24 .
Frequentemente, os livros de Matemática
apresentam a seguinte construção associada
a uma espiral.
2
17
16
15
1413
12 1110
9
8
7
6
543
11
1
1 1
1
1
1
1
1
111
...
O procedimento descrito generaliza a cons-
trução das raízes quadradas, mas nada revela
sobre a questão das raízes com índices dife-
rentes de 2. A seguir descreveremos um proce-
dimento geral para a construção com régua e
compasso das raízes do tipo np , sendo n na-
tural não quadrado perfeito, e p uma potência
de 2 diferente de 1, ou seja, o método permiti-
rá construir, por exemplo, 2 , 24 , 28 , 216 , ...
Vale lembrar que o método que apresen-
taremos será demonstrado por semelhança
de triângulos, que é um dos temas do vo-
lume 2 da 8a série/9o ano. Caso o professor
opte por discuti-lo neste momento do cur-
so, deverá ter trabalhado antes as relações
métricas no triângulo retângulo. Havendo
47
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Acompanhe os procedimentos ne-
cessários para a construção de 24 ,
com régua sem escala e compasso.
1. Trace com régua e compasso os nú-
meros reais 1 e 1 2.
2. Trace a mediatriz t do segmento de
extremos em 0 e 1 2 para determi-
nar M, ponto médio desse segmento.
2
1 20
1
1 M
t
IR
3. Trace uma semicircunferência de cen-
tro M e raio 1 2
2.
2
1 20
1
1 M
t
IR
4. Trace uma perpendicular à reta real
passando pelo número 1 e, em segui-
da, marque com o ponto P sua inter-
seção com a semicircunferência.
t
2
1 20
1
1 M
P
IR
5. Observe que o segmento de extre-
mos em P e no número 1 tem com-
primento 24 , porque é a altura de
um triângulo retângulo de projeções
ortogonais dos catetos sobre a base
medindo 1 e 2 .
1
h
2
h2 1 2= ⋅
h 24
Este ângulo é reto porque é um ângulo inscrito de um ângulo central de 180°.
O procedimento descrito permite que se
construa qualquer raiz do tipo np , dado
que p é uma potência de 2 diferente de 1, ou
seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.
M 2
48
Os únicos números reais possíveis de ser construídos com régua sem escala e compas-so são os números algébricos de grau 1, 2, 4, 8, 16, ...
Os números algébricos de grau 1 são os
números racionais, e os demais são as raízes
do tipo np , em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ...,
e n natural. Segundo essa evidência, que está
matematicamente demonstrada, números ir-
racionais algébricos como 23 , e números
transcendentes como , não são possíveis de
serem construídos com régua sem escala e
compasso. Tal fato não significa que esses nú-
meros não estejam na reta real.
Tal discussão tem relevância histórica uma vez
que está relacionada a dois antigos problemas clás-
sicos investigados pelos gregos antigos: a da dupli-
cação do cubo e a da quadratura da circunferência.
Acompanhe os problemas a seguir:
A duplicação do cubo: construir com ré-
gua sem escala e compasso a medida x
do lado de um cubo que tenha o dobro do vo-
lume de um cubo de lado 1.
1
x
x
x1
1
V = 1 V' = 2VV' = x3
9. Construa e localize, na reta real,
com régua e compasso, o número 5.
(Use o procedimento da espiral.)
5
3
2
1 1
1
1 1
2
10. Com base no que foi apresentado na seção
Leitura e análise de texto, construa 54 ,
com régua sem escala e compasso. (Use as
relações métricas no triângulo retângulo.)
0 1 1 + 5IR
54
Refletiremos a seguir sobre a construção
com régua e compasso dos demais números
irracionais, como 23 e .
Apesar de não ser objetivo do curso da 8a série/
9o ano, o professor pode discutir com os alunos
a seguinte evidência matemática:
49
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Se V' = 2, então x3 = 2V. Sendo V = 1, então
x3 = 2 e x = 23 . Portanto, o problema se resu-
me na busca de um método para a construção
de 23 com régua e compasso.
A quadratura da circunferência: construir
com régua sem escala e compasso um qua-
drado cuja área seja igual à de um círculo
dado ou, de modo equivalente, construir um
círculo de área igual à de um quadrado dado.
r
A = π r2 x2 = π r2
x
x
Dado um círculo de raio 1, o valor procu-
rado de x é π .
Tanto o problema da duplicação do cubo
como o da quadratura da circunferência não po-
dem ser resolvidos. No primeiro, 23 é um nú-
mero algébrico de grau 3 e, como tal, não se pode
construí-lo com régua e compasso. O segundo,
por sua vez, não é possível de ser construí-
do porque é transcendente. Note que avaliar
a construtibilidade de π se resume a avaliar a
construtibilidade de porque π correspon-
deria à altura h de um triângulo retângulo de
projeções ortogonais dos catetos n = 1 e m = .
Encerrada a discussão desta Situação de
Aprendizagem, vale lembrar que o tema tratado
permite que se retome o estudo do desenho geo-
métrico e que se faça uma aproximação entre os
eixos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria.
Sabemos que a discussão conduzida não é usual-
mente feita no Ensino Fundamental, porém não
existem obstáculos reais para que o assunto seja
tratado, a não ser por uma opção do profes-
sor. Esperamos, contudo, que esta Situação de
Aprendizagem contribua para que se agregue co-
nhecimento aos tópicos similares que constam do
seu planejamento anual da disciplina.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem
não apresentamos sugestões de exercícios
porque toda a discussão feita pode com fa-
cilidade ser transformada em atividades
para o aluno. Por exemplo: uma vez que o
professor tenha mostrado a construção de 1
2,
a construção de 1
4,
1
8,
1
16, ...
pode se transformar
em exercício. Da mesma forma, por meio da
construção de 1
3, a construção de outros
números racionais pode passar a ser um
exercício de sala de aula ou uma atividade
de avaliação. Para os irracionais, se o pro-
fessor optar por trabalhar apenas com as
raí zes quadradas, o exemplo de 2 deve
ser suficiente para que o aluno possa tra-
balhar com qualquer raiz do tipo n , com
n natural e não quadrado perfeito. No caso
das demais raízes, o exemplo de 24 deve
permitir que os alunos resolvam exercícios
com 28 , 216 , 232 , ...
O professor também deve ter clareza de que é
desejável que os alunos possam trabalhar, de pre-
ferência em pequenos grupos, na busca de proces-
sos geométricos que permitam a construção dos
50
Conteúdos e temas: potências de 10; operações com potências; notação científica; ordem de grandeza.
Competências e habilidades: conhecer as propriedades operatórias das potências; escrever um número em notação científica; determinar a ordem de grandeza de um número; resolver pro-blemas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos.
Sugestão de estratégias: revisar as propriedades de operações com potências; resolução de atividades e exercícios.
números solicitados. Uma atividade interessante
que o professor pode propor é a de determinar
procedimentos diferentes de construção com ré-
gua e compasso de um mesmo número.
No que diz respeito à avaliação, o professor
pode explorar a construção geométrica dos nú-
meros, bem como ideias relacionadas à classifi-
cação de números em conjuntos, uma vez que é
possível fazê-la de acordo com novos critérios:
números construíveis (e não construtíveis) com
régua e compasso; números algébricos; e núme-
ros transcendentes.
Uma vez que o tema explorado nesta
Situação de Aprendizagem mantém forte
vínculo com importantes tópicos da histó-
ria antiga da Matemática, o professor pode
solicitar também que os alunos façam uma
pesquisa sobre os problemas clássicos de
construção. Caso se opte por essa forma
de avaliação, sugerimos que a pesquisa não
se restrinja apenas aos aspectos históricos,
mas que se faça também Matemática com
ela, principalmente no que diz respeito às
construções geométricas com régua, com-
passo e outros instrumentos. Por exemplo: o
professor pode pedir que os alunos investi-
guem o problema da trisseção de um ângulo
ou o problema da construção do pentágono
regular, que estão diretamente relacionados
com a discussão de números reais.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E
ORDEM DE GRANDEZA
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
O objetivo principal desta Situação de Apren-
dizagem é o aprofundamento da notação numé-
rica na forma de potências. Na 7a série/8o ano,
já havíamos problematizado o uso das potên-
cias de 10 para representar números muito
grandes ou muito pequenos. Se o professor
achar necessário, poderá fazer uma revisão so-
bre as principais propriedades das operações
com potências.
51
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Nesta Situação de Aprendizagem, vamos
formalizar o conceito de notação científica
e apresentar a noção de ordem de grande-
za. Esses dois conceitos são fundamentais,
não só para a continuidade dos estudos em
Matemática, mas também para as Ciências:
Física, Biologia e Química.
O micro, o macro e as potências de 10
O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de 10 é que
ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito
pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sempre são inteligíveis. Por
exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 0,000000005 cm; uma célula
é formada por cerca de 2 000 000 000 000 átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar tais
informações. Escrevendo os mesmos números como potências de 10, é possível ter uma ideia da
ordem de grandeza deles:
raio do átomo de hidrogênio: 5 10–9 cm;
número de átomos em uma célula: 2 1012.
Um número pode ser escrito como uma potência de 10 de diferentes formas. Para isso,
basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de 10:
1 500 1 = 150 10 = 15 100 = 1,5 1 000 = 0,15 10 000 = ...
Em notação de potência de 10, os mesmos números seriam escritos assim:
1 500 100 = 150 101 = 15 102 = 1,5 103 = 0,15 104 = ...
Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como o produto de uma potência de 10.
Professor, vale lembrar que as potências
de 10 ajudam na compreensão e na compa-
ração de números muito grandes ou muito
pequenos. Contudo, nossa percepção numé-
rica dificilmente consegue dar sentido a esses
números extremos, uma vez que não estamos
acostumados a lidar com tais valores em nos-
so cotidiano. Para se ter uma ideia dessas
magnitudes, pergunte aos alunos quanto tem-
po alguém levaria para contar até um milhão,
na velocidade de um número por segundo.
Muito provavelmente, as estimativas mais ou-
sadas devem se situar perto de algumas horas.
Na realidade, seriam necessários 12 dias para
se contar até um milhão, e cerca de “32 anos”
para um bilhão.
52
Para desenvolver esse conceito, trabalhe com
os alunos a atividade 2 desta Situação de Apren-
dizagem, na qual eles terão de preencher uma
tabela a partir do exemplo dado.
Outro artifício para a comparação e a com-
preensão dos números relativos a algumas medi-
das é a utilização dos prefixos do Sistema Inter-
nacional. Professor, esse assunto será trabalhado
posteriormente, na seção Pesquisa individual.
Escrevendo um número em notação científica
Um número qualquer pode ser escrito em
notação científica se for transformado em um
produto de um número compreendido entre
um e dez (incluindo o 1) por uma potência de
10 de expoente inteiro.
Exemplos:
7 = 7 100
100 = 1 102
1 500 = 1,5 1 000 = 1,5 103
62 300 = 6,23 10 000 = 6,23 104
0,02 = 2 1
100 = 2 10–2
0,00058 = 5,8 1
10 000 = 5,8 10–4
Uma maneira prática de escrever a notação
científica é a seguinte:
Para números maiores que dez:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve “deslocar-se” para a esquerda até encon-
trar a casa da unidade. Esse número será o ex-
poente da potência de 10.
Exemplo:
1 50 000 000 = 1,5 108
8 casas
Note que a vírgula “desloca-se” 8 casas decimais para a esquerda. Portanto, 8 é o expoente da base 10.
Para números menores que 1:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve “deslocar-se” para a direita até encontrar
a casa da unidade. Este número será o expoen-
te negativo da potência de 10.
Exemplo:
0,00081 = 8,1 10–4
4 casas
A vírgula “deslocar-se” 4 casas decimais
para a direita, e –4 é expoente de 10.
O significado da regra prática
É importante comentar com os alunos que,
na verdade, não é a vírgula que se desloca,
mas o algarismo. Quando multiplicamos um
53
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
número por um múltiplo de dez, altera-se o
valor posicional de todos os seus algarismos
para um valor superior, ou seja, à esquerda.
Como a vírgula fica em uma posição fixa, se-
parando a unidade dos décimos, tudo se passa
como ela se deslocasse para a direita. Se mul-
tiplicarmos 2,5 por 10, as duas unidades vi-
ram dezenas, e os cinco décimos viram cinco
unidades, resultando em 25.
Da mesma forma, quando dividimos um nú-
mero por um múltiplo de 10, os algarismos se des-
locam para um valor posicional menor, à direita.
Se dividirmos 25 por 100, as duas dezenas
viram dois décimos, e as cinco unidades, cinco
centésimos, resultando em 0,25. Novamente,
tudo se passa como se a vírgula se deslocasse
para a esquerda.
A seguir, propomos algumas atividades
para a consolidação dos procedimentos de es-
crita na forma de potências de 10 e em notação
científica.
1. Escreva de quatro modos di-
ferentes os números a seguir
como potências de 10.
a) 250 = 25 · 10 = 2,5 · 100 = 0,25 · 1 000 = 2 500 . 0,1
b) 0,004 = 4 · 0,001 = 0,4 · 0,01 = 0,04 · 0,1 = 0,0004 · 10
c) 4,73 = 47,3 · 0,1 = 0,473 · 10 = 473 · 0,01 = 0,0473 · 100
d) 0,125 = 125 · 10–3 = 12,5 · 10–2 = 1,25 · 10–1 = 0,0125 · 101
e) 25 300 = 2 530 · 101 = 253 · 102 = 25,3 · 103 = 253 000 · 10–1
2. Percepção numérica: números muito gran-
des ou muito pequenos costumam fugir à
nossa intuição. Como intuir a magnitude
de um milhão ou de um trilhão? E a mag-
nitude de um bilionésimo? Nesta atividade,
você vai verificar se sua intuição numérica
é capaz de avaliar a magnitude de alguns
números. Para isso, suponha que você te-
nha de estimar o tempo necessário para
contar até determinado número, um núme-
ro por segundo. Por exemplo, para contar
até 100, são necessários 100 segundos, isto
é, 1 minuto e 40 segundos.
Preencha a tabela com base nas instruções
a seguir:
I. observe os números por extenso, apre-sentados na primeira coluna;
II. seguindo o exemplo da segunda colu-na, insira os numerais de acordo com a primeira coluna;
III. na terceira coluna, indique o numeral na forma de potência de 10;
IV. na última coluna, efetue os cálculos necessários para determinar o tempo de contagem, usando uma unidade de medida apropriada (minuto, hora, mês, ano ou século).
54
Nome Número Potência de 10 Tempo de contagem
Um 1 100 1 segundo
Mil 1 000 103 17 minutos
Milhão 1 000 000 106 12 dias
Bilhão 1 000 000 000 109 32 anos
Trilhão 1 000 000 000 000 1012 32 mil anos
Quatrilhão 1 000 000 000 000 000 1015 32 milhões de anos
Quintilhão 1 000 000 000 000 000 000 1018 32 bilhões de anos
Prefixos do Sistema Internacional de Medidas
Os prefixos são usados para facilitar a
medição de algumas grandezas, princi-
palmente nas ciências. Alguns desses pre-
fixos são bem conhecidos, como o quilo
(1 000), que é usado para expressar distân-
cias (quilômetro = 1 000 metros), massa
(quilograma = 1 000 gramas) ou, até mes-
mo, unidades de informação (quilobyte =
= 1 000 bytes). Outros prefixos são menos
conhecidos, como os exemplos a seguir:
um elétron tem 1 femtômetro de exten-
são.
a luz amarela tem comprimento de
onda de 0,5 micrômetro.
uma montanha pode pesar cerca de
100 petagramas.
as informações digitais criadas, cap-
turadas e replicadas no mundo em
2007 equivaleram a 281 exabytes.
Faça uma pesquisa e descubra quais
são os outros prefixos do Sistema Interna-
cional. Preencha a tabela a seguir com o
nome dos prefixos e símbolos correspon-
dentes aos valores em potências de 10.
Prefixo Símbolo Potência de 10atto a 10–18
femto f 10–15
pico p 10–12
nano n 10–9
micro μ 10–6
mili m 10–3
centi c 10–2
Prefixo Símbolo Potência de 10deci d 10–1
quilo k 103
mega M 106
giga G 109
tera T 1012
peta P 1015
exa E 1018
55
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
3. Escreva os números a seguir por
extenso e em notação científica:
Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos),
3,5 10–2
a) 7 300 000 000
Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 109.
b) 2 980 000 000 000 000 000
Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou
2,98 1018.
c) 0,25
Vinte e cinco centésimos ou 2,5 10 –1.
d) 0,0004
Quatro décimos de milésimos ou 4 10 –4 .
e) 0,0000125
Cento e vinte e cinco decimilionésimos: 1,25 10 –5.
4. Transforme os dados numéricos em nota-
ção científica.
a) A população da China é aproximada-
mente igual a 1,3 bilhão de habitantes.
1,3 109.
b) A Bacia Amazônica é formada pelo
Rio Amazonas e seus afluentes, e ocu-
pa uma área de 7 045 000 km2, dos quais
4 750 000 km2 estão em território brasileiro.
7,045 106 km2 e 4,75 106 km2.
c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km/s.
3 105 km/s.
d) A espessura da folha de papel é de apro-
ximadamente 0,0001 m.
10 –4 m.
Operações com potências de 10
Uma das vantagens de expressarmos um nú-
mero na forma de potências de 10 é que as opera-
ções se tornam mais simples. É um bom momen-
to para retomar com os alunos as propriedades
das operações com potências de mesma base:
na multiplicação basta fazer a soma dos
expoentes. 103 108 = 103 + 8 = 1011;
na divisão, efetua-se a subtração dos ex-
poentes. 108 105 = 108 – 5 = 103;
potência de uma potência resulta na multi-plicação dos expoentes. (103)2 = 103 2 = 106;
potências com expoentes racionais: o
denominador do expoente é o índice da
raiz. 325
325 .
Seguem alguns exemplos envolvendo tais
propriedades:
0,0021 30 000 000 =
= (2,1 10–3) (3 107) =
= (2,1 3) (10–3 107) = 6,3 104
350 000 0,02 = (3,5 105) (2 10–2) =
= (3,5 2) (105 10–2) = 1,75 107
(0,005)3 = (5 10–3)3 = 125 10–9 = 1,25 ·
· 102 · 10–9 = 1,25 10–7
250 000 = 2 5 105, ∙ =
= 25 104∙ = 25 104 = 5 1042∙ = 5 102
56
d) 7,54 107 – 3,2 106 =
75,4 106 – 3,2 106 = 72,2 106 = 7,22 107.
7. Escreva as distâncias indicadas
na tabela em notação científica:
PlanetaDistância média
até o Sol (em km)Notação científica
Mercúrio 57 900 000 5,79 107
Vênus 108 200 000 1,082 108
Terra 149 600 000 1,496 108
Marte 227 900 000 2,279 108
Júpiter 778 300 000 7,783 108
Saturno 1 427 000 000 1,427 109
Urano 2 870 000 000 2,87 109
Netuno 4 497 000 000 4,497 109
8. Com base na tabela anterior, considere o se-
guinte problema: em determinado momento,
Sol, Terra e Saturno formam um triângulo re-
tângulo, com o ângulo reto na Terra. Qual é
a distância entre Saturno e a Terra? (Faça um
desenho para representar a situação descrita.)
Podemos resolver esse problema por meio do Teorema de
Pitágoras.
D2Sol-Sat = D2
Sol-Terra + D2Terra-Sat
(1,4 . 109)2 = (1,4 . 108)2 + D2Terra-Sat
Ainda no caso da adição e subtração, pode-
-se recorrer à fatoração, transformando as par-
celas em potências de 10 com mesmo expoente.
a) 6,5 103 + 5,4 103 = (6,5 + 5,4) . 103 =
= 11,9 103 = 1,19 104
b) 4,6 105 – 2,5 103 = 460 103 – 2,5 103 =
= (460 – 2,5) 103 = 457,5 103 =
= 4,575 105
(Observação: Os procedimentos aqui apre-
sentados poderão ser trabalhados de forma
minuciosa de acordo com a preferência do
professor.)
5. Efetue as seguintes opera-
ções usando as propriedades
da potenciação. Dê as respos-
tas em notação científica.
a) 1 200 500 000 = 1,2 103 5 105 = 6 108.
b) 0,00015 0,002 = 1,5 10–4 2 10–3 = 3 10–7.
c) 450 000 ÷ 0,009 = 4,5 105 ÷ 9 10–3 = 0,5 108 = 5 107.
d) (0,0004)4 = (4 10–4)4 = 256 10–16 = 2,56 10–14
6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta
em notação científica.
a) 2,5 105 + 7 103 =
103 (2,5 102 + 7) = 103 (257) = 2,57 105 ou 250 · 103 + 7 · 103 =
= 103 (250 + 7) = 257 · 103 = 2,57 · 105.
b) 2,5 107 – 500 104 =
2,5 107 – 0,5 107 = 2 107.
c) 1,28 108 + 4 105 =
1 280 105 + 4 105 = 1 284 105 = 1,284 108.
57
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Ordem de grandeza
Em muitas situações, quando se trabalha com medidas muito grandes ou muito pequenas,
não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número.
Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de determinado valor. Tal
potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida.
Exemplos:
a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km.
Esse número pode ser escrito como 7,785472 108 km. Como 7 está mais próximo
de 10 do que de 1, é possível arredondá-lo para 10, resultando no produto 10 108.
Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.
b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5, pois escrevendo o número em notação
científica, 3,1 10–5, nota-se que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, arre-
dondando o número para baixo, o resultado será 1 10–5.
Conhecendo a ordem de grandeza de diversas medidas, pode-se facilmente distinguir qual é
a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retomando a tabela
da atividade 7, que informa as distâncias médias dos planetas em relação ao Sol, constata-se que
a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância de Júpiter-Sol é da ordem de
109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproximadamente, dez vezes mais distante
do Sol que a Terra.
9. Dê a ordem de grandeza das
seguintes medidas:
a) População mundial: aproximadamente
6,9 bilhões em 2011.
1010
b) Massa da Terra: 5,9742 1024 kg
1025 kg
c) Massa de um elétron: 9,11 10–28 g
10–27 g
d) Altitude do Everest: 8 848 m
104 m
e) Idade estimada do Universo: 13,7 bilhões
de anos.
1010 anos.
D2Terra-Sat = 1,96 . 1018 – 1,96 . 1016
D2Terra-Sat = 196 . 1016 – 1,96 . 1016
D2Terra-Sat = 194,04 . 1016
D Terra-Sat = 194,04 . 1016 13,9 . 108 = 1,39 . 109
A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente
1 390 000 000 km.
58
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é a de que os alunos tenham
consolidado seus conhecimentos sobre po-
tências e suas operações. Além disso, eles de-
vem saber escrever um número qualquer em
notação científica e realizar operações com
ela. O conhecimento sobre as proprieda-
des das operações com potências também é
fundamental. Outro conceito importante que
deve ser considerado nas avaliações é o de or-
dem de grandeza.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, tanto ao longo
das atividades propostas como ao final de
um ciclo ou bimestre. As atividades propos-
tas nesta Situação de Aprendizagem consti-
tuem exemplos de exercícios que podem ser
utilizados para compor a avaliação, a partir
das expectativas listadas no parágrafo ante-
rior. Além disso, os livros didáticos contêm
uma série de outros exercícios e problemas
que podem complementar o trabalho do
professor na elaboração de fichas de exercí-
cios e provas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES
DE 2o GRAU
Conteúdos e temas: alguns métodos particulares para resolver equações de 2o grau; solução geral de uma equação de 2o grau; desenvolvimento da fórmula de Bhaskara; discussão da solução: número de raízes; relação entre coeficientes e raízes de uma equação.
Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situa-ções e problemas geométricos; expressar situações envolvendo equações de 2o grau na forma algébrica; resolução de equações de 2o grau por diferentes métodos (cálculo mental, fatora-ção e aplicação da fórmula de Bhaskara); utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área e o perímetro de uma figura plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalização e organização de dados a partir de certa propriedade.
Sugestão de estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos; enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.
59
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5
Para a introdução desse tema são sugeridos,
inicialmente, problemas e outros tipos de equa-
ções que podem ser “traduzidos” por meio de
equações de 2o grau, a fim de discutir alguns
modos possíveis de resolvê-las. Antes de in-
troduzir qualquer técnica para a resolução de
uma equação de 2o grau, é importante que os
alunos utilizem seus conhecimentos já construí-
dos para encontrar as raízes de equações ou so-
lucionar o problema em questão. Como alguns
problemas poderão ficar em aberto, este é o
momento propício para iniciar o trabalho com
as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se
a discussão de diversos procedimentos e mé-
todos para resolver equações de 2o grau, antes
do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara.
Para o começo deste trabalho, é conveniente
a proposição de equações do tipo ax2 + c = 0,
com a ≠ 0, uma vez que, para obter suas raízes,
podem ser aplicados os procedimentos utiliza-
dos na resolução de equações de 1o grau e co-
nhecimentos sobre potências de números.
A combinação de elementos algébricos e
geo métricos também é explorada dando sequên-
cia às interpretações dos produtos notáveis tra-
balhados na 7a série/8o ano.
Posteriormente, o professor pode discutir
a seguinte evidência: se o produto de dois nú-
meros reais é zero, necessariamente um desses
números é zero, ou seja: se a b = 0, então
a = 0, ou b = 0 a, b IR. Dessa forma,
os alunos poderão resolver equações do tipo
a(x – x1) (x – x2) = 0 e ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 .
As atividades a seguir sugerem uma sequên-
cia para o desenvolvimento desse trabalho.
1. Os participantes de um festi-
val de música decidiram que, ao
final do evento, fariam uma fes-
ta de encerramento. Nessa festa, cada parti-
cipante daria uma flor de presente a cada
colega que participou do evento. Quantas
flores serão distribuídas se o total de partici-
pantes for igual 5? E se for igual a 6?
E igual a 7?
Se o número de participantes for 5, cada um dará 4 flores
(menos para si mesmo), o que significa um total de 5 4 = 20
flores; utilizando o mesmo raciocínio, com 6 participantes,
o total de flores será 6 5 = 30 flores; e com 7 participantes,
7 6 = 42 flores.
2. Complete a tabela a seguir:
Número de participantes
Número de flores que cada um vai receber
Total de flores
3 2 3 2 = 6
4 3 4 3 = 12
5 4 5 4 = 20
6 5 6 5 = 30
11 10 11 10 = 110
x x – 1 x (x –1)
y + 1 y (y + 1) y
3. Se o total de flores distribuídas na festa for
930, qual será o número de participantes?
a) 29 b) 30 c) 31 d) outro
Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experi-
mentar os valores dados nas alternativas, calculando: 29 28 =
= 812; 30 29 = 870; 31 30 = 930. Logo, a alternativa correta é a c.
60
4. Para responder à questão anterior, um alu-
no de 8a série/9o ano, aplicando seus conhe-
cimentos algébricos, fez a seguinte reflexão:
Escreveu a expressão algé-brica relativa ao problema
x(x – 1) = 930
Aplicou a propriedade distributiva
x2 – x = 930
Deixou todos os termos no primeiro membro da equação, igualando-a
a zero
x2 – x – 930 = 0
Para resolver essa equação, o aluno subs-
tituiu a incógnita x pelos valores das alterna-
tivas e, assim, descobriu a resposta correta.
Use o mesmo procedimento e, em seguida,
compare o resultado com a sua resposta para
a atividade 3.
Substituindo os valores das alternativas na última forma da
equação:
x = 29
292 – 29 – 930 = 0
841 – 29 – 930 = –118 ≠ 0
x = 30
302 – 30 – 930 = 0
900 – 30 – 930 = – 60 ≠ 0
x = 31
312 – 31 – 930 = 0
961 – 31 – 930 = 0
E se as alternativas não tivessem sido dadas,
como você resolveria esse problema?
Nesse caso, os alunos podem levantar uma série de hipó-
teses, por exemplo, a atribuição de vários valores positivos
para x em uma tabela. Embora essa equação possua duas
soluções, uma positiva, 31, e uma negativa, –30, o valor ne-
gativo não faz sentido no problema, sendo, portanto, igno-
rado nos termos da tabela. Mesmo assim, é uma oportuni-
dade para que você inicie uma discussão sobre a análise do
conjunto universo da equação.
A combinação entre a linguagem geométri-
ca e algébrica vem sendo explorada em vários
temas ao longo dos Cadernos. Particularmente
nos volumes 1 e 2 da 7a série/8o ano, ela permi-
tiu a construção de significados nos produtos
notáveis e nos processos de fatoração. O uso
dessa abordagem no trabalho com equações de
2o grau, além de resgatar, do ponto de vista his-
tórico, como os matemáticos resolviam equa-
ções, permite estabelecer novas relações que
envolvem aspectos geométricos e algébricos.
Nas atividades a seguir, propõe-se essa
combinação para abordar vários contextos
em que aparecem equações de 2o grau, passí-
veis de ser resolvidas por conhecimentos que
os alunos já tenham construído por meio da
resolução de equações de 1o grau, processos
de fatoração e propriedades de potências.
5. Traduza as seguintes situações por meio de
uma equação. Em seguida, resolva cada equa-
ção e encontre a resposta para os problemas.
(Dica: desenhe as figuras e represente os la-
dos desconhecidos por uma letra.)
a) A área de um quadrado de lado x é
igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado
desse quadrado?
Indicando a medida do lado do quadrado por x teremos:
61
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Representação geométricaExpressão
algébrica
x
xA = 49 cm2 x2 = 49
A solução dessa equação é bastante simples: basta pensar
qual número elevado ao quadrado resulta em 49, isto é, 7. O
professor pode ressaltar o fato de que 72 = 49 como (– 7)2 =
= 49, ou seja, embora o valor negativo satisfaça a equação,
tratando-se da medida do lado de um quadrado, ele não deve
constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.
b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e
seu lado maior é o dobro do menor. Qual é
a medida do lado maior desse retângulo?
Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:
Representação geométricaExpressão
algébrica
2y
y
2y y = 242
2y2 = 242
Se 2y2= 242, então y2 = 121. Da mesma forma que na atividade
anterior, podemos admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que
(11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da medida do lado de
um retângulo, a equação só permite como solução o valor
de y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 11 = 22 cm.
c) A área de um triângulo retângulo isós-
celes é 18 cm2. Determine as medidas de
seus catetos e de sua hipotenusa.
Professor, neste momento é importante deixar claro aos alu-
nos a definição de um triângulo retângulo isósceles. Indican-
do a medida do cateto por a, teremos:
Representação
geométricaExpressão algébrica
a
a
A = 1
2 base altura
A = 1
2 cateto cateto
A = a a
2 =
a2
2 = 18
Como a2
2 = 18, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo,
os valores 6 e –6 satisfazem a equação, mas somente 6 é so-
lução da equação, pois a medida do lado de um triângulo
deve ser positiva.
Para encontrar a medida da hipotenusa, podemos aplicar o
Teorema de Pitágoras: h2 = 62 + 62; ou seja, h = 6 2 .
Portanto, a resposta dessa atividade será: catetos de medida 6
cm e hipotenusa de medida 6 2 cm. Mais uma vez, despreza-
mos a soluçãonegativa.
d) A área do retângulo representado pela
figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule
seu perímetro.
x+8
x
A área do retângulo será dada pela expressão: x(x + 8) = 65
Essa situação não permite aplicar o mesmo processo quando
a sentença é igualada a zero, pois são infinitos pares de nú-
meros cujo produto é 65. Contudo, podem-se aplicar proce-
dimentos de cálculo mental ou criar uma tabela como esta:
x 1 2 3 4 5
x + 8 9 10 11 12 13
x(x+8) 9 20 33 48 65
62
Assim, chega-se à solução x = 5. Portanto, o perímetro do re-
tângulo, indicado por P = 4x + 16, é 36 cm.
O professor pode propor o desenvolvimento dessa expres-
são, de modo a igualá-la a zero, devendo, para isso, aplicar
a propriedade distributiva e o princípio aditivo: x (x + 8) = 65
x2 + 8x = 65; logo: x2 + 8x – 65 = 0.
Dessa forma, a equação x(x + 8) = 65 é equivalente à equação
x2 + 8x – 65 = 0, o que significa que elas possuem as mesmas
soluções.
Vale observar, contudo, que, nesse formato, o recurso do cál-
culo mental é mais difícil de ser aplicado.
e) Um canteiro na forma de um quadrado
foi reduzido de modo a ser contornado
por uma calçada com 2 m de largura,
conforme a figura a seguir. Com isso, sua
área passou a ser de 144 m2. Qual era a
medida da área original desse canteiro?
2 m
144 m2
Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com
a redução de 2 m o lado do quadrado interno medirá (x – 4)m:
x – 4
x
144 m22 2
Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 =
= 144. A solução dessa equação pode ser encontrada por
meio de cálculo mental. Perceba que 144 é o quadrado do
número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16 cm.
Logo, a medida da área original do canteiro era 256 m2.
Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a
144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação.
Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do qua-
drado, a resposta a esse problema será 16 cm.
Por meio de tais situações, que podem com-
plementar outras atividades que o professor já
tenha selecionado para o tratamento desse as-
sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal
das equações de 2o grau. Para isso, sugerimos
que os alunos comparem as equações cons-
truídas e apontem as semelhanças e diferenças
entre elas. Convém que todas estejam na mes-
ma forma, a fim de que o segundo membro da
equação seja igual a zero:
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0
c) a2 = 36 a2 – 36 = 0
d) x(x+8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0
e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0
Quanto às semelhanças, pode-se registrar
o seguinte:
diferentemente das equações de 1o grau,
essas equações possuem um termo cuja
incógnita está elevada ao expoente 2.
Também é possível que algumas das dife-
renças apontadas sejam:
63
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
algumas equações não têm o termo de
grau 1 (x, y, a,...) e outras têm;
apenas os problemas d e e apresentam
uma equação de 2o grau com três termos
no primeiro membro.
Explore essas observações para introduzir
as seguintes noções: forma reduzida da equa-
ção de 2o grau; equação de 2o grau completa;
equação de 2o grau incompleta; coeficientes
e raízes da equação. Ou seja, o momento é
oportuno para apresentar a ideia de equação
de 2o grau de maneira mais formal; por exem-
plo, chama-se equação de 2o grau na incógnita
x toda equação que pode ser escrita na forma:
ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números
reais e a ≠ 0. A consideração de que a ≠ 0 deve
ser satisfeita, pois, caso contrário, a equação
será de 1o grau.
Os exercícios exemplares têm a finalidade
de levar o aluno a perceber que é possível re-
correr aos seus conhecimentos anteriores para
iniciar uma estratégia de resolução de situa-
ções que envolvam equações de 2o grau. Ao
mesmo tempo, a intenção seria provocar uma
“desestabilização”, para que o aluno, em al-
gum momento, perceba a necessidade de um
novo conhecimento que permita encontrar as
respostas procuradas. A fim de estimular as
conjecturas geradas pelos problemas, sugere-
-se a proposta de situações-problema que pos-
sam ser representadas por meio de equações
de 2o grau, cujo desenvolvimento esteja ao al-
cance dos alunos, pela utilização de técnicas já
trabalhadas em séries/anos anteriores. Assim,
o objetivo desta Situação de Aprendizagem é
aplicar técnicas algébricas já aprendidas e de-
senvolver novas abordagens que permitam a
investigação de fatos que podem ser generali-
zados a outras equações.
Um fato interessante é a possibilidade de
resolver outros tipos de equações, como expo-
nenciais, biquadradas ou de outros graus, que,
embora não se apresentem como equações de
2o grau, podem ser transformadas em equa-
ções por procedimentos algébricos. Assim,
equações como + 4 = 9x ou 2x2 = 16, ou, ainda,
x3 – 9x = 0 podem ser tratadas já nesta Situa-
ção de Aprendizagem, possibilitando aplicar
o conhecimento dos alunos em outros tipos de
equações. Cabe lembrar que será muito impor-
tante a atenção do professor para verificar esses
conhecimentos e mobilizá-los na resolução de
equações de 2o grau, o que justifica a atividade
a seguir.
6. Escreva as equações elaboradas
na atividade 5 da seção Você apren-
deu? na tabela a seguir. Depois,
faça as operações algébricas necessárias de
tal modo que o segundo membro da equa-
ção seja igual a zero.
Quais são as principais semelhanças e dife-
renças que podem ser observadas entre as
cinco equações obtidas?
Todas as equações possuem um termo no qual a incógni-
ta está elevada à segunda potência. Além disso, apenas os
problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com
três termos.
64
Item Equação utilizada
Equação transformada
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0
c) a2 = 36 a2 – 36 = 0
d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0
e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0
7. Resolva as equações a seguir
e depois verifique se os valores
encontrados as satisfazem.
a) + 4 = 9x c) x3 – 9x = 0
b) 2x2 = 16 d) x4 – 16 = 0
a) b) 2x2 = 16
Isolar a raizEscrever as potências na mesma
base e comparar os expoentes
x = 9 – 4
x = 5
( x )2 = (5)2
x = 25
2x2 = 24
x2 = 4
x = ± 4
x = ± 2
25 – 2 ou 2
c) x3 – 9x = 0 d) x4 – 16 = 0
Colocar o x em
evidência
Produto notável: produto da
soma pela diferença
x(x2 – 9) = 0
x = 0
ou
x2 – 9 = 0
x = ± 9 = ±3
(x2)2 –(4)2 = 0
(x2 + 4) (x2 – 4) = 0
x2 + 4 = 0 x2 = –4
Não tem solução real ou
x2 – 4 = 0 x2 = 4
x = ± 4 = ±2
0, –3 ou 3 –2 ou 2
+ 4 = 9x
Embora tenhamos exposto uma reso-
lução formal para essas atividades, é pos-
sível que os alunos apresentem estratégias
diferentes incluindo o cálculo mental ou a
substituição por tentativa de valores. Nesse
momento, é importante valorizar as hipóte-
ses de resolução, pois elas representam en-
volvimento com o tema. Esse espaço de hi-
póteses é aquele que garante, muitas vezes,
a atenção do aluno a um procedimento de
cálculo mais formalizado, que será proposto
posteriormente.
Os procedimentos aplicados nesta fase
inicial do trabalho com equações de 2o grau
apontam para aspectos que permitirão a cria-
ção de um método geral de resolução de qual-
quer equação desse tipo.
Entre essas técnicas aprendidas, destaca-
mos os processos de fatoração apresentados
na 7a série/8o ano, particularmente a diferença
entre o quadrado de dois números, que é igual
ao produto da soma pela diferença entre esses
dois números, isto é, a2 – b2 = (a + b) (a – b),
pois se refere a um tipo simples de equação de
2o grau incompleta.
Dessa forma, equações do tipo x2 = 16 po-
dem ser retomadas e resolvidas por meio dos
seguintes passos:
x2 = 16, então, x2 – 16 = 0 logo, x2 – 42 = 0.
Assim, (x + 4) (x – 4) = 0 xx+ 4 = 0
– 4 = 0
do que se conclui que x
x
= – 4
= 4
65
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Esse procedimento, além de confirmar
o cálculo mental (levantando a questão
sobre quais são os números que elevados
ao quadrado resultam em 16), permite que
sintetizemos o processo de resolução ob-
servando que o valor de x é igual a mais
ou menos o valor da raiz quadrada de 16:
x x x2 =16 = ± 16 = ± 4 .
Com essa discussão, o sinal ± deve ser en-
tendido como uma síntese de fatos presentes
na combinação da fatoração:
a2 – b2 = (a + b) (a – b) com a ideia de que se
a b = 0, então a = 0 ou b = 0.
Assim, equações incompletas do tipo:
ax2 + c = 0 podem ser resolvidas com base na
análise do que temos discutido:
o domínio dos princípios multiplicativo
e aditivo da igualdade;
a noção de radiciação.
Desse modo, concluímos que equações
incompletas do tipo: ax2 + c = 0 possuem as
raízes: xca
= ± – .
Sugerimos que os alunos voltem aos
problemas anteriores para obter as raízes
das equações que traduzem as situações
dos problemas. É importante lembrar aos
alunos que a solução negativa de alguns
dos problemas (b, c, d) deve ser despreza-
da, pois, nesse caso, o universo deve ser o
conjunto dos números reais positivos, uma
vez que não faz sentido utilizar um número
negativo ou o zero para indicar a medida do
lado de uma figura.
É importante, agora, que os alunos apliquem
as conclusões aprendidas, pois elas servirão de
modelos para o tratamento das equações de
2o grau dadas em outras formas.
8. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:
a) x2 = 9
–3 ou 3
b) 4x2 – 36 = 0
–3 ou +3
c) 3x2 = 27
–3 ou +3
d) x2 – 4 = 12
–4 ou +4
e) 4x2 – 25 = 05
2 ou –
5
2
f) 52
= 25
2x
2
5 ou –
2
5
g) x2 + 1 = 0
Não há solução real, pois não há número real que, elevado ao
quadrado, seja igual a –1.
h) 4 = x2
–2 ou +2
66
i) –2x2 + 7 = 0
– 7
2 ou 7
2
j) x2 = 00
k) 3x2 = 00
l) x2 + 1 = 10
Explore as estratégias e respostas apresenta-
das pelos alunos, incentivando-os a utilizar seus
conhecimentos sobre radiciação na formulação
de uma justificativa para o fato de não haver raí-
zes reais para a equação apresentada na ativida-
de anterior, item g. Essa discussão poderá auxi-
liar os estudantes, posteriormente, na resolução
de equações completas de 2o grau, com discrimi-
nante negativo, e, além disso, preparar o aluno
para a construção da ideia de número complexo,
que será desenvolvida no Ensino Médio.
Vamos propor mais algumas atividades
cujas soluções estão fundamentadas em outros
aspectos que já podem ser conhecidos pelos alu-
nos, expondo-os de maneira mais formal, como
é o caso de equações formadas por produtos de
binômios de 1o grau iguais a zero, ou outros ca-
sos, representados a seguir: (x – x1) (x – x2) = 0
x – x
x – x
1
2
= 0
ou
= 0
então
x x
ou
x x
1
2
=
=
se ax2 + bx = 0 , então x(ax + b) = 0
x1 = 0, x2 = –ba
;
se ax2 + c = 0, então x = ± –ca
;
9. Se o produto de dois fatores é zero, neces-
sariamente um deles é igual a zero. As-
sim, obtenha as raízes reais das seguintes
equações:
a) (x + 2) (x – 6) = 0
S = {–2, 6}
b) x x3 +2 ∙ – – 12
= 0( ) � �
S = – 2
3
1
2
c) – x2 + 4x = 0S = {0, 4}
-x2 = 4x = 0.
Multiplicando todos os membros da equação por (-1), temos:
x2 - 4x = 0.
Colocando o fator comum em evidência, temos:
x(x - 4) = 0; ou x - 4 = 0 x = 4.
d) x2 + x = 0
S={–1, 0}
e) (x – 3) (2x – 10) = 0
S = {3, 5}
O desenvolvimento dessa atividade au-
xilia o aluno na identificação da fatoração
como ferramenta útil para a resolução de
equações de 2o grau. Assim, o aluno já ini-
cia a resolução de equações completas do
2o grau, representadas na forma fatorada,
o que propicia a aplicação de conhecimen-
tos que o aluno começou a construir na
7a série/8o ano. Essa ideia pode ser amplia-
da por meio da proposição de atividades
como estas.
67
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
10. Obtenha as raízes reais das
equações a seguir:
a) x2 – 9 = 27
–6 ou 6
b) (x + 7) (–x + 11) = 0
–7 ou 11
c) 2x2 + 1 = 0
Não há solução real.
d) 3x2 – 12x = 0
0 ou 4
e) 5x2 – 125 = 0
–5 ou 5
Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau
Para esse trabalho, seria interessante pro-
por aos alunos a resolução da seguinte equa-
ção: (x – 3)2 = 16.
Se houver necessidade, ajude-os com per-
guntas como:
Quais são os números que, elevados ao
quadrado, resultam em 16?
Que números podem ser colocados no
lugar de x para que a equação seja uma
sentença verdadeira?
Caso não haja sugestões, mostre aos alu-
nos que eles poderiam aplicar o método de-
senvolvido anteriormente. Assim:
x
x
x
– 3 =16
– 3 = ± 16
– 3 = ±4
2( )
x = 3 + 4oux = 3 – 4
logo,
x = 7oux = –1
Comprovando a resposta:
(7 – 3)2 = 16 (–1 – 3)2 = 16
42 = 16 (–4)2 = 16
Comente, então, que essa é outra maneira
possível de resolver uma equação de
2o grau. É claro que uma equação nem sempre
é dada na forma fatorada, no entanto, dis-
pomos de vários recursos para transformar
qualquer equação de 2o grau em uma equa-
ção equivalente na forma fatorada. Em his-
tória da Matemática, esse é um contexto bas-
tante rico para o ensino e a aprendizagem da
equação do 2o grau. Um passo nesse sentido
pode ser dado explorando-se o método de-
senvolvido pelo matemático árabe Al-Kho-
warizmi. Seguindo a tradição grega de inter-
pretar geometricamente situações algébricas,
o matemático árabe Al-Khowarizmi, no sé-
culo IX, desenvolveu um método geométrico
para resolução de equações de 2o grau, cujos
passos transformam uma equação desse tipo
68
em um quadrado perfeito. Nesse método, o
lado do quadrado é considerado o valor da
incógnita, sendo, portanto, desprezadas as
soluções negativas. De certa forma, a falta de
significado dos números negativos, nesse mo-
mento, é semelhante ao que os matemáticos
viveram quando enfrentaram situações com
raízes quadradas de números negativos. Na
atividade seguinte, são iniciadas ideias que
vão constituir as bases da demonstração da
fórmula geral para a resolução de qualquer
equação de 2o grau: a fórmula de Bhaskara.
Vamos propor aos alunos a seguinte ativida-
de, que pode ser resolvida seguindo passo a
passo a solução figurativa apresentada por
Al-Khowarizmi:
Considere o seguinte problema:
“A área de um quadrado acrescida de 8
vezes o seu lado é igual a 65. Qual é a medi-
da do lado desse quadrado?”
Na Álgebra moderna, esse problema
pode ser traduzido pela seguinte expressão
algébrica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equa-
ção, podemos obter a solução do problema.
Antigamente, contudo, os matemáticos
não dispunham das mesmas ferramentas
da Álgebra moderna. Usavam, então, ou-
tras estratégias para resolver problemas
desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo
matemático árabe Al-Khowarizmi, que vi-
veu em Bagdá no século IX.
O método desenvolvido por ele compreen-
dia os seguintes passos:
I. As expressões x2 e 8x são interpre-
tadas como as áreas de um quadra-
do e de um retângulo. A solução
do problema é, então, a medida do
lado do quadrado:
x
x x
8
8xx2
x2 + 8x = 65
II. O retângulo é dividido em dois retân-
gulos de mesma área. Logo, a equação
seria interpretada da seguinte maneira:
x2 + 2 4x = 65
x
x x
4 4
4x 4x
mais igual a 65x2
III. Cada retângulo é arranjado de
modo que fiquem justapostos aos
dois lados do quadrado. Com essa
composição, a área da figura conti-
nua sendo 65.
mais igual a 65
69
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
x
x
4
4
4x
4xx2
IV. Para completar o quadrado, acrescen-tava-se um quadrado no canto da fi-gura anterior. A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhe-cido do retângulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo quadrado é 4 4 = 16. Com esse método, “completava-se um quadrado perfeito” de lado x + 4 e com área igual a 65 + 16 = 81.
x
x
4
4
4
44x 16
4xx2
x2 + 2 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81
V. Se a nova área é 81, então a medida do lado do novo quadrado é 81 = 9.
Assim, o lado do quadrado corresponde a x + 4 = 9, portanto, a solução é x = 5.
Na linguagem algébrica moderna, transforma-
mos a equação x2 + 8x = 65 em uma equivalente
(x + 4)2 = 81, o que é possível pela aplicação do mé-
todo de “completamento do quadrado”. Acom-
panhando o desenvolvimento algébrico, observa-
mos que, embora apoiados no processo figurativo,
são encontradas todas as raízes da equação:
x2 + 8x + 16 = 65 + 16
(x + 4)2 = 81
x + 4 = ± 81
x + 4 = ±9 x = +9 – 4
x = – 9 – 4
x = 5
x = –13
Verificando: em (x + 4)2 = 81
(5 + 4)2 = 81 (–13 + 4)2 = 81
92 = 81 (–9)2 = 81
Ou em x2 + 8x = 65
52 + 8 5 = 65 (–13)2 + 8 (–13) = 65
25 + 40 = 65 169 + (–104) = 65
É possível que alguns alunos sugiram que a
equação x2 + 4x = 65 possa ser resolvida colocan-
do-se o fator comum x em evidência, formando,
assim, a seguinte expressão: x(x + 8) = 65.
Então, a aplicação de cálculo mental ou a
construção de tabela é um recurso à solução da
equação. Contudo, vale ressaltar que o método
de “completamento do quadrado” se apresenta
como um método de resolução mais geral.
11. Resolva o problema a seguir
usando o método desenvolvido
por Al-Khowarizmi, apresenta-
do na seção Leitura e análise de texto. Dese-
nhe as figuras e escreva as equações equiva-
lentes a cada etapa no espaço a seguir.
70
“A área de um quadrado acrescida de 12
vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a me-
dida do lado desse quadrado?”
x
x x
12
12xx2
mais
igual
a 13
x2 + 12x = 13
x
x x
6
6x
mais
igual
a 13
6
6x
x2 + 2 6x = 13
6
6
6x
6x
x
x x2
36 6
6
6
6
6x
6x
x
x x2
x2 + 2 6x + 36 = 13 + 36 ou (x + 6)2 = 49
Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado
será x + 6. Assim, x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.
Com esse método, podemos constatar que:
a interpretação geométrica permite tra-
duzir a equação em um formato conhe-
cido. No entanto, somente as soluções
positivas são consideradas, e isso faz
sentido. Na época em que foi desenvol-
vido esse método, as quantidades nega-
tivas ainda não faziam muito sentido;
o procedimento algébrico aplicado ao
novo formato permite a determinação
de todas as soluções da equação, sejam
elas negativas, positivas ou nulas.
Com base nessas constatações, é possível
questionar se na construção de um método de
resolução de uma equação de 2o grau devemos
incorporar o que a abordagem geométrica e
algébrica têm de melhor a oferecer e levar os
alunos a concluir que os limites de uma são
compensados pelos avanços da outra.
A atividade a seguir tem por finalidade a
aplicação desse método algébrico-geométrico.
Um interesse particular nesse método é que ele
servirá de base para a demonstração da fórmula
de Baskhara. Seria interessante se, no desenvol-
vimento das resoluções, o professor chamasse a
atenção dos alunos para o fato de que o valor
acrescido a ambos os termos da equação se re-
fere ao quadrado da metade do coeficiente do
termo em x. Nessa atividade, essa propriedade
é inspirada nos produtos notáveis e, caso os alu-
nos os desconheçam, esses exercícios permitem
a apresentação desse conteúdo no contexto de
resolução de equações de 2o grau, também cha-
madas de equações quadráticas em referência à
regra de “completamento do quadrado”.
12. Encontre as raízes das equações
de 2o grau aplicando o método de
“completamento do quadrado” de-
senvolvido por Al-Khowarizmi:
(Observação: desenhe a figura do quadrado
que representa a solução de cada equação.)
71
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
a) x2 + 20x = 300
xx + 10
x
10
quadrado da metade do coeficiente de x
10100
10x
10x
x2
x2 + 20x + 100 = 300 + 100
(x + 10)2 = 400
x + 10 = ± 400
x = ± 20 – 10
x = – 30 ou x = 10
b) x2 + 5x = 6
x
x + 5
2
xquadrado da metade do coeficiente de x
x25x
2
5
2
5
2
5x
2
25
4
x2 + 5x + 25
4 = 6 + 25
4
x + 5
2
2
= 49
4 x + 5
2 = ± 49
4
x = ± 7
2 – 5
2
x = 1 ou x = –6
c) x2 + 2x + 1 = 0
xx + 1
x
1
quadrado da metade do coeficiente de x
11
x
x
x2
x2 + 2x = – 1
Neste caso, a expressão x2 + 2x + 1 já é um quadrado perfeito:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Logo, a equação dada é equivalente a
(x + 1)2 = 0, ou x + 1 = 0; assim, x = –1. Logo, não há solução,
pois o lado não pode ser negativo.
Observe que, nos itens desta atividade,
embora as soluções negativas não tenham
sentido geométrico, satisfazem as equações
algébricas. Mais uma vez, pode-se destacar o
fato de que, enquanto o método geométrico
permite a escrita da equação na forma fato-
rada conhecida, o método algébrico permite
a determinação de todas as soluções reais da
equação, quando existirem.
As discussões já feitas convergem para a ideia
de que as equações de 2o grau, quando fatoradas
podem ser resolvidas usando os métodos apren-
didos anteriormente. Ou seja, o desenvolvimento
do quadrado da soma e do quadrado da diferen-
ça de dois números e seus respectivos processos
de fatoração ganham nova importância.
(x + a)2 = x2 + 2 ax + a2
(x – a)2 = x2 – 2 ax + a2
72
A seguir são sugeridas duas atividades cujo
objetivo é aprimorar a identificação de trinô-
mios quadrados perfeitos.
13. Quais dos seguintes trinô-
mios referem-se a quadrados
perfeitos? Escreva-os na for-
ma fatorada.
a) x2 + 4x + 4
(x + 2)2
b) x2 – 6x + 9
(x – 3)2
c) 4x2 + 12x + 9
(2x + 3)2
d) 25x2 + 100x + 100
(5x + 10)2
e) x2 – x + 1
Não é um trinômio quadrado perfeito, pois o termo central
não corresponde ao dobro do produto das raízes quadradas
do 1º e do 3º termos.
14. Encontre o termo que falta para que o tri-
nômio seja um quadrado perfeito:
a) x2 + 18x +
92 = 81
b) 9x2 + x + 4
2 3 2 = 12
c) x2 – 20x +
102 = 100
d) 4x2 – x + 49
2 2 7 = 28
e) x2 – 30x + 25
9
Retomando as situações que envolvem a
resolução de equações de 2o grau, observamos
que, algumas vezes, a equação já apresenta
um trinômio quadrado perfeito, como a equa-
ção: x2 + 10x + 25 = 0.
Basta observar, nesse caso, que o termo in-
dependente é igual à metade do coeficiente de x
elevado ao quadrado. Portanto, ele já representa
um quadrado perfeito de lado (x + 5). Então, a
equação x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0 tem como
resposta x = –5.
Outras vezes, é preciso lançar mão de artifí-
cios para que o primeiro membro da equação
se torne um trinômio quadrado perfeito, man-
tendo, assim, a igualdade verdadeira. Neste mo-
mento, cabe analisar alguns exemplos.
I. Resolva a equação 4x2 – 12x + 5 = 0
Podemos escrever a equação na forma: 4x2 – 12x = –5
Dividindo toda a expressão por 4, temos:
x2 – 3x = – 5
4 .
Em seguida, deve-se procurar um número que, acrescentado a ambos os membros da equa-ção, produza no 1o membro um trinômio quadra-do perfeito. Esse número deve ser o quadrado da
metade do termo em x, portanto, 3
2
2
.
73
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
x2 – 3x + 3
2
2
= – 5
4 + 3
2
2
– 3
2
2
= – 5
4 + 9
4
– 3
2
2
= 4
4 isto é; x – 3
2 = ± 1
x – 3
2 = ± 1
Logo:
x = 3
2 + 1 = 5
2
ou
x = 3
2 – 1 = 1
2
II. Resolva a equação 3x2 + 2x – 1 = 0.
Essa equação pode ser escrita assim:
x2 + 2
3 x – 1
3 = 0 ou, ainda, x2 + 2
3 x = 1
3
Em seguida, deve-se procurar um número
que, quando acrescentado a ambos os mem-
bros da equação, produza no 1o membro um
trinômio quadrado perfeito:
x2 + 2
3 x + ... = 1
3 + ...
Para encontrar esse número, vamos dividir
dois terços por 2:
2
3 ÷ 2 = 1
3
Elevando um terço ao quadrado:
1
3
2
= 1
9
Assim, acrescentando um nono aos dois
membros da equação, teremos:
x2 + 2
3 x + 1
9 = 1
3 + 1
9
Assim, podemos fatorar o primeiro
membro, pois ele é um trinômio quadrado
perfeito:
+ 1
3
2
= 4
9 .
Encontrando o valor de x:
x + 1
3 = ± 2
3, logo x1 = – 2
3 – 1
3 = – 3
3= –1
ou x2 = 2
3 – 1
3 = 1
3
Proponha aos alunos que discutam com os
colegas os procedimentos utilizados anterior-
mente e aplique-os na resolução da equação:
x2 – 5x + 6 = 0.
x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 5x = –6
x2 – 5x + 5
2
2
= –6 + 5
2
2
= 1
4
x – 5
2 = ± 1
2 x = 2 ou x = 3 S = {2, 3}
Um produto notável importante a ser aplicado na resolução de equações de 2o grau é o produto de dois binômios com um termo em comum, expressos na forma
74
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + a b. A im-
portância de resgatá-lo, neste momento, se dá
pelo fato de ele permitir a fatoração da equa-
ção quadrática com base na soma e no produ-
to dos termos não comuns, isto é, de a e b. Esse
fato será explorado posteriormente no estudo
das relações entre as raízes da equação e seus
coe ficientes, isto é, se x1 e x2 são raízes de uma
equação de 2o grau na forma ax2 + bx + c = 0,
com a ≠ 0, então – x xba
e x xca1 2 1 2+ = = ⋅ .
Geralmente, essas relações são trabalhadas
após a apresentação da fórmula de Bhaskara.
Contudo, se já forem apresentadas, permi-
tirão uma compreensão prática do produto
notável, o desenvolvimento de competências
relativas ao cálculo mental e a possibilidade
de resolução da equação sem necessidade da
fórmula. Além disso, indicam um movimen-
to de relacionar raízes aos coeficientes, que é
generalizado na fórmula de Bhaskara quando
as raízes se relacionam aos coeficientes da se-
guinte maneira: xb b ac
a– –± 2 4
2. Vale res-
saltar, ainda, que esse procedimento se refere
às relações de Girard para equações polino-
miais de 2o grau que, posteriormente, serão
ampliadas, na 3a série do Ensino Médio, para
outras equações polinomiais.
15. Resolva as seguintes equações de 2º grau.
(Dica: use a forma fatorada do trinômio
quadrado perfeito.)
a) x2 – 6x + 9 = 0
(x – 3)2 = 0
Logo, x = 3.
b) x2 + 12x + 36 = 0
(x + 6)2 = 0
Logo, x = –6.
c) x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)2 = 0
Logo, x = 2.
d) x2 + x + 1
4 = 0
x + 1
2
2
= 0
Logo, x = –1
2 .
Após esse trabalho, pode-se propor aos alunos
o desenvolvimento algébrico de (x + a) (x + b).
Aplicando-se a propriedade distributiva e,
em seguida, colocando-se o fator comum x em
evidência, temos:
(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab
(x + a) (x + b) = x2 +(a + b)x + a b
Do mesmo modo, chegamos à seguinte ex-
pressão: (x – a) (x – b) = x2 – (a + b)x + ab.
Por meio desse resultado geral, será possível:
calcular produtos similares sem o recur-
so da propriedade distributiva:
(x + 3) (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 5 =
= x2 + 8x + 15
(x – 1) (x – 7) = x2 – (1 + 7)x + 1 7 =
= x2 – 8x + 7
75
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
fatorar trinômios em dois binômios
com um termo em comum. Vejamos os
seguintes exemplos:
I) x2 + 7x +12
Para fatorar esse trinômio, podemos fazer
a seguinte pergunta:
Quais são os dois números cujo produto é
12 e a soma é 7?
Observando que o termo independente,
12, é positivo, os dois números possuirão
o mesmo sinal, ou ambos são positivos, ou
ambos são negativos e nenhum deles será
zero, senão o produto seria zero. Estudan-
do os possíveis números positivos, podemos
decompor o 12 da seguinte maneira: 12 1;
2 6 e 3 4. Apresentando tais valores em
uma uma tabela:
Valores 12 2 3Valores 1 6 4Soma 13 8 7
Observa-se que os números serão 3 e 4,
pois sua adição resulta em 7, valor do coefi-
ciente de x.
Portanto, x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4)
II) x2 – 2x – 3
Nesse caso, como o termo independente,
–3, é negativo, os dois números possuirão sinais
diferentes, um positivo e o outro negativo.
Estudando os possíveis números, podemos de-
compor o –3 como: (– 3) 1 ou (– 1) 3. Repre-
sentando tais valores em uma tabela, temos:
Valores –3 –1Valores +1 +3Soma –2 +2
Assim, observamos que os números serão
–3 e 1, pois sua adição resulta em –2, valor
do coeficiente de x.
Portanto, x2 – 2x – 3 = (x + 1) (x – 3)
O professor pode criar outras situações, in-
clusive propondo trinômios quadrados perfei-
tos como x2 + 8x + 16. Ao se pensar em quais se-
riam os números que, somados, resultam em 8, e
cujo produto é 16, parece fácil observar que esses
números são iguais a 4. Portanto, x2 + 8x + 16 =
= (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2.
16. Descubra dois números cuja soma e pro-
duto sejam, respectivamente, iguais a:
a) 7 e 123 e 4, pois 3 + 4 = 7 e 3 4 = 12.
b) 11 e 243 e 8, pois 3 + 8 = 11 e 3 8 = 24.
c) 11 e –12–1 e 12, pois –1 + 12 = 11 e –1 12 = –12.
d) 10 e –24–2 e 12, pois –2 + 12 = 10 e –2 12 = –24.
e) –13 e 40–5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) (–8) = 40.
f) – 6 e – 404 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 (–10) = –40.
76
17. Use a ideia da soma e do produto e fatore
os trinômios de 2o grau, conforme o exem-
plo a seguir:
a) x2 + 17x + 30
I. Descobrir dois números cuja soma seja
17 e cujo produto seja 30: 2 e 15.
II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30:
(x + 2) (x + 15).
III. Verificar se o produto obtido corres-
ponde ao trinômio original: x2 + 15x +
+ 2x + 30 = x2 + 17x + 30.
b) x2 – 12x + 32
(x – 4) (x – 8)
c) x2 – 7x – 60
(x + 5) (x – 12)
d) x2 – 4x – 60
(x – 10) (x + 6)
18. Resolva as equações a seguir usando a fa-
toração de 2o grau (método da soma e do
produto):
a) x2 – 2x – 15 = 0
Fatorando o trinômio, obtemos
(x – 5) (x + 3) = 0
Logo, x = 5 ou x = –3.
b) x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3) (x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.
c) x2 – 12x + 36 = 0
(x – 6) (x – 6) = 0, logo, x = 6.
d) x2 + 5x – 36 = 0
(x + 9) (x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.
e) x2 – 13x + 36 = 0
(x – 4) (x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.
Em casos particulares, como x2 – 9 ou x2 – 4x,
também é possível aplicar o mesmo procedimento.
Na primeira situação, a soma dos números é zero,
o que significa que são números opostos. Como o
produto é –9, os números procurados são –3 e +3.
Trata-se, portanto, da fatoração em (x + 3) (x – 3).
No segundo caso, o produto é zero, ou seja, um
dos fatores é zero. Como a soma é – 4, uma das
parcelas deve ser – 4. Trata-se da fatoração em
(x – 0) (x – 4) = x( x – 4).
Observamos, portanto, que no desenvolvi-
mento desse tema, o processo de fatoração que
envolve o produto de dois binômios com um
termo em comum, que é a variável da expres-
são, engloba os processos de fatoração trata-
dos anteriormente. Para fixar essas ideias, o
professor pode propor aos alunos uma série de
atividades como as que apresentamos a seguir.
Mais adiante, esse processo de fatoração será
aplicado à resolução de equações de 2o grau
que, como dissemos, será o momento de abor-
dar as relações entre a soma e o produto das
raízes e os coeficientes da equação.
19. Ao preparar uma atividade
para seus alunos, um professor
queria escrever uma equação
de 2o grau cujas raízes fossem os números 8
e 9. Ele procedeu da seguinte maneira:
77
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
(x – 8) (x – 9) = 0 é uma equação cujas
raízes são 8 e 9. Aplicando a propriedade
distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 =
0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0.
Assim, o professor obteve uma equação de
2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as
raízes desejadas.
Escreva equações de 2o grau que tenham
como raízes os números a seguir:
a) –5 e 3(x + 5) (x – 3) = 0
x2 + 2x – 15 = 0
b) 4 e 12
(x – 4) (x – 12) = 0
x2 – 16x + 48 = 0
c) –2 e –2,5(x + 2) (x + 2,5) = 0
x2 + 4,5x + 5 = 0
d) – 1
2 e
2
3
x + 1
2 x – 2
3= 0
x2 – 1
6 x – 1
3 = 0
e) 0 e 12(x) (x – 12) = 0
x2 – 12x = 0
f) 5 e –5(x + 5) ( x – 5) = 0
x2 – 25 = 0
Professor, você pode complementar a ex-
plicação com o seguinte problema.
Um aluno da 8a série/9o ano fatorou a ex-
pressão 3x2 – 6x – 24:
I. Colocou o 3 em evidência: 3(x2 – 2x – 8)
II. Fatorou a expressão em x, pensando
em quais são os números cujo produto
é –8 e cuja soma é –2, encontrando que:
x2 – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2).
III. Por fim, escreveu que 3x2 – 6x – 24 =
= 3(x – 4) (x + 2).
Com relação a esse tipo de procedimento,
o professor poderá propor que seus alunos re-
flitam sobre as seguintes questões:
Como podemos verificar se o procedimen-
to aplicado pelo estudante está correto?
Uma das possibilidades é desenvolver o
segundo membro e verificar se a igualdade se
mantém, o que veremos que ocorrerá.
Seguindo esse procedimento, fatore essas expressões:
I) 6y2 – 12y – 144
6(y2 – 2y – 24) = 6(y – 6) (y + 4)
II) 2y2 – 5y + 2
2 y2 – 5
2 y + 1 = 2 y – 1
2 (y – 2)
Professor, sugira, neste momento, algumas
equações de 2o grau para que o aluno aplique
os conhecimentos trabalhados. A ideia cen-
tral é agregar uma série de conhecimentos que
permitam relacionar as raízes da equação com
seus coeficientes, isto é, dada uma equação de
2o grau ax2 + bx+ c = 0, com a ≠ 0 e x1 e x2
suas raízes, temos x xba
e1 2+ = – x xca1 2 = ⋅ .
78
A seguir, sugerimos duas atividades. A primei-
ra tem o objetivo de exercitar o método apren-
dido. A segunda permite a comparação de pro-
cessos diferentes de resolução, explorando a
ideia de que uma expressão pode ter diferentes
expressões equivalentes a ela e pode ser propos-
ta como projeto a ser desenvolvido extrassala.
I) Aplique a fatoração para resolver as
equações a seguir:
x2 –7x + 6 = 0
x2 – 7x + 6 = (x – 6) (x – 1) = 0 S = {1, 6}
2x2 + 3x – 2 = 0
2x2 + 3x – 2 = 2 x2 + 3
2 x – 1 =
= 2 x – 1
2. (x + 2) S = 1
2, – 2
II) Muitos dos processos de resolução de
equações foram aprendidos pela leitura e aná-
lise de antigos manuscritos egípcios, gregos,
hindus e árabes. Imagine que os alunos de sua
8a série/9o ano se proponham deixar para as
turmas futuras um documento que registre e
explique as formas de resolução de equações
de 2o grau. Sugira que assumam essa tarefa
para a equação x2 – 10x + 24 = 0.
É possível que apareçam argumentos re-
lacionados ao método do completamento do
quadrado e à fatoração como um produto de
dois binômios utilizando, inclusive, a forma
figurativa. A seguir, indicamos duas pos síveis
soluções para essa atividade.
1a Solução:
Inicialmente, os alunos fatoraram a equação como um produto de dois binômios com um termo x em comum, observando que –6 – 4 = = –10 e que (–6) · (–4) = 24
x2 – 10x + 24 = 0
(x – 6) (x – 4) = 0
Em seguida, aplicando a ideia de que um dos produtos deve ser zero, chegaram às seguintes expressões:
(x – 6) (x – 4) = 0x – 6 = 0 x – 4 = 0
x = 6 x = 4
E concluíram S = {4, 6}
79
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2a Solução:
Aplicaram o método da completude do quadrado e fatoraram a expressão em um
produto notável. A seguir, aplicaram propriedades algébricas.
x2 – 10x + 24 = 0
x2 – 10x = – 24
x2 – 10x + 25 = –24 +25
(x – 5)2 = 1
x – 5 = ± 1
x – 5 = ±1
Concluíram que: x – 5 = +1 x – 5 = –1
x = 6 x = 4
E deram a solução S = {4, 6}
Professor, você pode utilizar a tabela a se-
guir para retomar as formas fatoradas e as
soluções de equações de 2o grau. Algumas
das equações listadas já foram trabalhadas,
permitindo que os alunos realizem com mais
facilidade o preenchimento da tabela.
Equação Forma fatorada Solução
a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 S={4, – 2}
b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4)2 = 0 S={4}
c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4) (x – 6) = 0 S={4, 6}
d) x2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 S={0, – 2}
e) 6x2 – 12x – 144 = 0 6(x – 6) (x + 4) S={6, – 4}
f) 2x2 – 5x + 2=0 2 – 1
2(x – 2) S = 1
2 , 2
Professor, sugira a construção de uma
nova tabela, como a apresentada a seguir e,
com base nela, proponha aos alunos o le-
vantamento de hipóteses que permitam es-
tabelecer relações entre os valores dos ter-
mos não comuns e as raízes, entre a soma
dos termos e a soma das raízes, entre o
produto dos termos e o produto das raízes
e a relação entre estes e os coeficientes da
equação. Essa análise dos valores da tabela
pode ser considerada uma forma indutiva
de encontrar um método geral de resolução
de equações quadráticas.
Algumas perguntas que podem ser formu-
ladas aos alunos:
80
Que relação existe entre os termos não
comuns da forma fatorada e as raízes?
Justifique.
Que relação existe entre a soma dos termos
não comuns e a soma das raízes? Justifique.
Que relação existe entre o produto dos
termos não comuns e o produto das raí-
zes? Justifique.
Que relação existe entre a soma das raí-
zes e os coeficientes de a e b? Justifique.
Que relação existe entre o produto dos
termos não comuns e os coeficientes de
a e c? Justifique.
Que relação existe entre o produto
das raí zes e os coeficientes de a e c?
Justifique.
EquaçãoForma
fatorada
Termos não
comuns
Raízes da equação
Soma dos
termosnão
comuns
Soma das
raízes
Produto dos
termos não
comuns
Pro-duto das
raízes
a b c
x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) (x+2) = 0 – 4 + 2 +4 – 2 – 2 + 2 – 8 – 8 1 – 2 – 8
x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4) 2 = 0 – 4 – 4 + 4 + 4 – 8 + 8 + 16 + 16 1 – 8 + 16
x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4) (x – 6) = 0 – 4 – 6 + 4 + 6 – 10 10 + 24 + 24 1 – 10 + 24
x2 + 2x = 0 x (x+2) = 0 0 + 2 0 – 2 + 2 – 2 0 0 1 + 2 0
6x2 – 12x –144 = 0 6 (x – 6) (x+4) – 6 4 6 – 4 – 2 + 2 – 24 – 24 6 – 12 – 144
2x2 – 5x + 2 = 0 2 x – 1
2 (x – 2) –
1
2– 2 +
1
2+ 2 –
5
2 5
2+ 1 +1 2 – 5 + 2
Deve-se tomar cuidado quando a equação
possuir uma só raiz, como (x – 4)2 = 0. Nes-
se caso, podemos considerar que a raiz dessa
equação é dupla.
É importante, mais uma vez, que os alu-
nos façam os registros de suas conclusões.
Em tais atividades, é de se esperar que eles
exponham dúvidas e opiniões. Geralmen-
te, o encontro de relações vem acompanha-
do de reflexões, de troca de ideias com o
outro, em duplas ou em grupos maiores. O
que precisa a ser observado é o grau de in-
teresse dos alunos, ainda que acarrete uma
81
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
aparente desorganização da sala. É no mo-
mento de exposição das conclusões indivi-
duais à turma que o professor deve garantir
um nível maior de organização, o que permi-
tirá a compreensão e participação de todos.
Nesta atividade, o professor pode comen-
tar com os alunos que as soluções zeram os
fatores da forma fatorada. Assim, a raiz 4
da equação x2 – 2x – 8 = (x – 4) (x+ 2) = 0
zera o fator (x – 4) e a raiz –2 zera o fator
(x + 2). Ou seja, o sinal das raízes é sempre
oposto ao sinal do termo não comum na for-
ma fatorada. Portanto, o sinal do produto das
raízes é o mesmo do produto dos termos não
comuns, pois, como o sinal de ambos os ter-
mos se opõem (–4 fica +4, +2 fica –2), o sinal
do produto se manterá. Contudo, na adição,
a situação não é a mesma. A soma de – 4 + 2
tem sinal oposto à soma +4 –2. Podemos, as-
sim, concluir que a soma das raízes (x1 + x2)
terá sinal oposto à soma dos termos não co-
muns da forma fatorada (a + b).
Processo de fatoração
Dada a equação x2 + 3x – 40 = 0, temos:
O produto dos termos não comuns: – 40 A soma dos termos não comuns: 3 Os termos não comuns: 8 e –5 Forma fatorada: (x + 8) (x – 5) = 0
Portanto, as raízes serão: –8 e 5. Repare que
o produto entre os termos não comuns coincide
com o produto das raízes (+8) (–5) = (–8) (+5) =
= – 40 e a soma dos termos não comuns tem o sinal
oposto ao da soma das raízes [8+(–5)] = – [5+(–8)].
Professor, caso sinta necessidade de de-
monstrar a generalidade dessa evidência,
pode aplicar em sala de aula o procedi-
mento a seguir. Dada a equação quadrática
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, se a forma fatorada
for a(x – x1) (x – x2), então os termos não comuns
serão –x1 e –x2 e as raízes serão: x1 e x2.
ax2 + bx + c = 0 Fatorando como produto de dois binômios a(x – x1) (x – x2) = 0
Aplicação da distributiva a(x2 – x x2 – x x1 + x1 x2) = 0
Colocando o fator x em evidência a[x2 – (x1 + x2)x + x1 x2] = 0
axa
ba
xca a
2
+ + =0 Dividindo ambos os membros da
equação por a, lembrando que a ≠ 0 x2 – (x1 + x2) x + x1 x2 = 0
x + x+ =ba
ca
2 0Vamos observar os coeficientes dos termos de mesmo grau
x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0
82
Portanto,
– x + x =ba1 2( ) isto é: x + x =
ba1 2 –
e que =ca
x1 · x2
Com base nessas conclusões, o professor
pode sugerir algumas equações de 2o grau
para serem resolvidas pelo método da soma e
do produto das raízes. Muitos livros didáticos
trazem uma lista de exercícios que abordam
esse tema.
Resolvendo sem fatorar
Professor, proponha agora os seguintes pro-
blemas.
III) Peça aos alunos que, com base em suas
conclusões, descubram quais são as raízes das
equações sem fatorá-la:
x2 – 2x – 15 = 0
5 ou –3.
x2 + 7x + 12 = 0
–3 ou –4.
x2 – 12x + 36 = 0
6 (raiz dupla).
IV) Dada uma equação de 2o grau ax2 + bx +
+ c = 0, com raízes x1 e x2, sua fatoração será
a(x – x1) (x – x2).
Determine uma equação de 2o grau com
raízes iguais a –5 e 3.
Uma possível resposta seria:
1(x + 5) (x – 3) = 0 ou x2 + 2x –15 = 0.
O aluno poderá encontrar outras equações de-
pendendo do valor atribuído ao coeficiente a.
Construa uma equação de 2o grau, que
tenha raízes – 1
2 e 2
3.
6x2 – x – 2 = 0 ou x + 12 x – 2
3 = 0.
Do mesmo modo, serão várias equações que
dependem do coeficiente a.
Observe a tabela a seguir e complete as
colunas vazias:
Equação –ba
ca
x1 x2
x2 – 5x + 4 = 0 5 4 1 4
x2 + 3x – 28 = 0 – 3 –28 – 7 4
x2 + 5x + 6 = 0 – 5 6 – 2 – 3
3x2 – 3 = 0 0 – 1 – 1 1
x2 – 4x = 0 4 0 0 4
3x2 – 6x +3 = 0 2 1 1 1
Até o momento, privilegiamos a resolução
de equações de 2o grau pelo método da fato-
ração, que, por sua vez, teve grande apoio na
representação geométrica. O importante, aqui,
é que o aluno pôde construir uma série de ha-
bilidades algébricas e geométricas em vários
assuntos da Matemática.
83
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Relate para a turma que, em meados do
século XII, viveu na Índia um dos maio-
res matemáticos da época, conhecido como
Bhaskara. Em seu tratado mais conhecido,
chamado Lilavati, encontra-se uma série de
estudos sobre equações lineares, quadráticas,
progressões aritméticas e geométricas, entre
outros assuntos matemáticos.
A fórmula que permite a resolução de
uma equação de 2o grau foi batizada com o
nome desse estudioso. Vale ressaltar que sua
demonstração apoia-se em conhecimentos
matemáticos anteriores, como dos babilô-
nios e árabes. Caso seja do interesse do pro-
fessor, há livros de história da Matemática,
como o clássico de Carl Boyer, que apre-
sentam citações sobre Bhaskara e sua obra,
Lilavati. A seguir, trazemos uma demonstra-
ção algébrico-geométrica da fórmula resolu-
tiva, quadrática, ou ainda de Bhaskara, que
permite a obtenção das raízes de uma equação
de 2o grau.
Aqui, aplicaremos o método de Al-
-Khowarizmi, isto é, o método de completar
quadrados a uma equação geral de 2o grau.
Assim, obteremos uma fórmula que servirá
para calcular as raízes de qualquer equação de
2o grau. Considere, inicialmente, a possibilidade
de resolução da equação geral: ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0, a, b e c reais).
A equação geral pode ser escrita da forma:
ax2 + bx = – c.
I. Dada a expressão ax2 + bx = – c, divi-dindo-se todos os termos por a, teremos:
xba
xca
2 + = –
Portanto, vamos interpretar x2 como a
área de um quadrado de lado x e ba
x como
a área de um retângulo de lados x e ba
.
x
x xx2
ba
bxa
II. Dividimos o retângulo em dois retângulos
de áreas iguais e, assim, podemos escrever
a equação na seguinte forma geométrica
x
x xmais bx
2a
bx
2a
b
2a
III. Vamos colocar os dois retângulos ao
longo dos lados dos quadrados e com-
pletar o quadrado com um quadradi-
nho de lados b
2a:
x
x x2
b
2a
b
2a
b
2a
2
84
IV. A área desse novo quadrado é
––c
aba
ac b
a+
+ 2
2
2
24
4
4= e seu lado
mede x + b
2a.
Portanto, podemos escrever a seguinte
equação xba
ac ba
++
24
4
2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=– 2
:
Aplicando as propriedades algébricas, temos:
xba
ac b4a
++
24 2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=±
–
Então, xba
b aca
+ ± 2
42
2 –, logo,
xba
ac2a
––
=2
4±
+b2
, do que se conclui que
os valores de x que satisfazem a equação são
dados pela expressão: xb b ac
a– –± 2 4
2.
Indicando-se as raízes da equação por
x1 e x2 teremos, portanto: xb b ac
a1
2 42
– –+
e xb b ac
a2
2 42
– ––.
Nesse momento, o professor pode propor al-
gumas equações para os alunos resolverem, aten-
to ao fato de que o reconhecimento dos coeficien-
tes é parte essencial da aplicação da fórmula.
20. Resolva as equações a seguir usando a fór-
mula de Bhaskara: xb b ac
a– –± 2 4
2.
Lembre-se de que, para aplicá-la, a equa-
ção deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.
a) x2 + 2x – 3 = 0x = 1 ou x = –3
b) 3x2 + 5x + 2 = 0
x = –1 ou x = – 2
3
c) 7x – x2 – 6 = 0
x = 1 ou x = 6
d) 2x2 + x = 1
x = –1 ou x = + 1
2
e) 3x2 – 2x + 1 = 0
Não tem solução real.
f) 4x2 + 12x + 9 = 0
x = – 3
2
Discussão das raízes
21. Discuta com seus colegas a afirmação a
seguir e registre suas conclusões:
“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac,
uma equação de 2o grau pode admitir duas
raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas
(uma raiz dupla), ou não admitir raízes reais.”
O valor da expressão b² – 4ac é tão importante para a fórmula
que foi denominado discriminante. De fato, seu valor distin-
gue se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes reais
distintas, ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou en-
tão não admitir raízes reais. Ele foi representado por uma letra
grega (delta). Assim, = b2 – 4ac. Como ele é o radicando de
uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes relações:
Δ = 0 Δ > 0 Δ < 0Duas raízes reais
idênticas (uma
raiz dupla).
Duas raízes reais
distintas.
Não admite
raízes reais.
85
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Na sequência, antes de voltarmos à apli-
cação da fórmula de Bhaskara, o profes-
sor pode apresentar aos alunos o seguinte
conjunto de atividades, a fim de estimular a
discussão sobre a importância do discrimi-
nante ( ).
Diante de uma lista de equações de 2o grau
para resolver, um aluno começou calculando o
valor da expressão: b2 – 4ac, para cada equa-
ção, e encontrou os seguintes valores:
1) – 4
2) 36
3) 0
4) 259
5) – 4
6) 81
7) – 64
8) 200
9) 100
Responda e justifique suas respostas.
Quais das equações dadas admitem duas
raízes reais distintas?
2, 4, 6, 8 e 9.
Quais das equações dadas admitem duas
raízes reais idênticas?
Apenas a 3.
Quais das equações dadas não admitem
raízes reais?
1, 5 e 7.
As justificativas passam pelos valores e pe-
los sinais de .
Após essa discussão, o aluno pode ser con-
vidado a resolver outras questões envolvendo
equações de 2o grau, que propiciem a aplica-
ção, ampliação e aprofundamento das noções
desenvolvidas até aqui.
Resolvendo equações de 2o grau
22. Resolva as equações a seguir por
meio de método que julgar mais apro-
priado. Lembre-se de que uma equa-
ção de 2o grau pode ter duas raízes reais distin-
tas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.
a) x2 – 4x + 4 = 0x1 = x2 = 2
b) y2 + y + 1 = 0Não existem raízes reais.
c) x2 = 8x – 15x1 = 3; x2 = 5
d) y + 2y2 = 4y1 = –1 – 33
4 ; y2= –1 + 33
4
23. Justifique o fato de as quatro equações a
seguir terem as mesmas raízes:
–x2 + 2x + 3 = 0; x2 – 2x – 3 = 0; –10x2 +
+ 20x + 30 = 0; – 0,5x2 + x + 1,5 = 0;
Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação
de dois membros por um mesmo número real diferente de
zero. Assim, pelo princípio multiplicativo da igualdade, todas
são equações equivalentes e, por isso, têm as mesmas raízes.
24. Desenvolvendo-se algebrica-
mente as equações a seguir, é
possível obter a equações de
2o grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.
86
a) xx
+=
53
2
x1 = –6; x2 = 1
b) =10
12
x x++
2x +9
x1 = 1; x2 = 4
c) 24– 1
+2– 1
=102x x
x1 = – 9
5 ; x2 = 2
Nesses exemplos não há caso em que uma
raiz determinada pela aplicação da fórmula
de Bhaskara anule o denominador de fração
inicial. Todavia, será importante o professor
discutir esse aspecto com seus alunos e, se
possível, apresentar a eles uma equação que
admita raiz estranha. Nesse caso, sugerimos a
seguinte equação: x – 2x + 1 2
x – 1 = 2x2 + 2
x2 – 1 .
Com a fórmula em mãos, o profes-
sor pode demonstrar, a partir das raízes
xb b ac
ae x
b b ac
a1
2
2
242
4
2=
+=
– –
– – – , a
validade da ideia da soma e do produto das
raízes. Esse fato está disponível na maioria
dos livros didáticos destinados a esse assunto.
Considerações sobre a avaliação
Os objetivos traçados para esta Situação
de Aprendizagem incluem conhecimento de si-
tuações que exigem resolução de equações de
2o grau, a aplicação de conhecimentos matemá-
ticos referentes a outros contextos, como pro-
priedades de potências, métodos de resolução de
equações lineares, construção de tabelas, cálculo
mental e aplicação de processos de fatoração. A
grande ênfase dada às resoluções apoiadas em pro-
cesso de fatoração tornou os produtos notáveis um
conhecimento a ser aprendido e aplicado em no-
vos contextos. Mais uma vez, combinando a abor-
dagem algébrica com a geométrica, resgatamos, de
forma lógica, o processo histórico que envolveu o
tratamento de equações quadráticas. Desse modo,
ao final desta Situação de Aprendizagem é desejá-
vel que os alunos tenham compreendido, além dos
processos de resolução, o movimento conceitual
de resolução desses tipos de equação.
Quando a fórmula de Bhaskara for apresen-
tada, os alunos devem ficar totalmente à von-
tade para escolher o processo de resolução
que preferirem. Contudo, vale a pena o pro-
fessor diversificar os tipos de exercício entre
aqueles que exigem a resolução ou o uso da
fórmula e aqueles em que o cálculo mental e
os processos de fatoração sejam suficientes.
O tema desta Situação de Aprendizagem
pode ser avaliado de forma contínua, acom-
panhando o desenvolvimento pessoal e co-
letivo da turma na resolução das atividades
propostas, individualmente e em grupo. Em
vários momentos, as atividades privilegiaram
a participação e o envolvimento do aluno na
proposta e isso pode ser avaliado pelo professor
por meio de suas observações. Nas avaliações,
o professor pode explorar as ideias funda-
mentais abordadas nos exercícios exemplares,
propondo-lhes alteração nos enunciados ou
em sua forma de apresentação. Vale ressaltar
a importância de que o professor, ao ler aten-
tamente as atividades propostas neste material,
87
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
possa combiná-las com as listas e metodologias
construídas ao longo de sua prática docente.
A próxima Situação de Aprendizagem
tem como foco a aplicação da resolução de
equações em diferentes contextos. Desse
modo, caso fiquem pendentes algumas consi-
derações, o professor poderá desenvolvê-las
posteriormente. Da mesma forma, as ativida-
des seguintes constituirão uma possibilidade
para o professor ampliar sua avaliação sobre
os conhecimentos adquiridos pelos alunos.
Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações de 2o grau.
Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações que envolvem equações de 2o grau; resolver equações de 2o grau em problemas contextualizados.
Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos de aplicações sobre o tema.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6
Os problemas propostos a seguir têm o obje-
tivo de pôr em prática a resolução de equações
de 2o grau em problemas contextua lizados. É
importante lembrar aos alunos que nem sem-
pre é necessário o uso de fórmula para resolver
uma equação desse tipo, mas, quando julgarem
necessário, poderão usá-la livremente.
A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e
XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para a reso-
lução de uma equação de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o
povo hindu em geral deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.
Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e ba-
bilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que esses povos
criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses
modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.
1. Responda às seguintes
questões:
a) O quadrado da oitava parte de um ban-
do de macacos saltitava em um bosque
88
divertindo-se com a brincadeira, en-
quanto os 12 restantes tagarelavam no
alto de uma colina. Quantos macacos
constituem o bando? Se considerarmos x o total do bando, temos que x
8
2
+ 12 = x.
Resolvendo a equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
b) Em ambas as margens de um rio existem
duas palmeiras, uma em frente à outra.
A altura de uma é 30 côvados; a da ou-
tra, 20. A distância entre seus troncos
é de 50 côvados. Na copa de cada pal-
meira está um pássaro. Subitamente os
dois pássaros descobrem um peixe que
aparece na superfície da água. Os pássa-
ros lançam-se sobre ele e o alcançam no
mesmo instante. Qual é distância entre
o tronco da palmeira maior e o peixe?
A situação está ilustrada na figura a seguir:
30
20
50 – xx
Consideremos inicialmente x a distância entre o tronco da pal-
meira maior e o peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo
tempo, devemos considerar que a distância por eles percorrida é
a mesma. Portanto, os dois triân gulos retângulos possuem a mes-
ma medida de hipotenusa. Dessa forma, aplicando o Te orema
de Pitágoras, podemos escrever que 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se can-
celarão, resultando em uma equação de 1o grau de raiz 20. Logo,
o peixe apareceu a 20 côvados da palmeira maior.
c) Adicionei sete vezes o lado de um qua-
drado a onze vezes a sua área e o resul-
tado foi 6,25. Qual é a medida do lado
do quadrado?A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão
11
22 e – 25
22. No entanto, somente a solução positiva tem
significado nesta situação: o lado do quadrado deve ser 0,5.
2. Perguntaram a um professor de Matemática
sobre o número de pessoas que o acompa-
nharam na visita a uma exposição. Como
resposta, o professor criou um problema,
explicando que todas as pessoas que o
acompanharam, ao se encontrarem, cum-
primentaram-se apertando as mãos e, assim,
ele observou 66 cumprimentos. Quantas
pessoas acompanharam o professor?
Geralmente, no início do problema devemos decidir se o
professor será ou não considerado no total de pessoas. No
caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos
entre as pessoas, logo, desconsideramos os referentes a ele.
Para resolver este problema, o aluno deve considerar inicial-
mente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá
é uma unidade a menos que o número total de pessoas. Afi-
nal, uma pessoa não se cumprimenta a si mesma. Indicando
por x o número de pessoas, o número total de cumprimen-
tos será x(x – 1). Em seguida, como o cumprimento do aluno
A ao aluno B é o mesmo cumprimento de B ao aluno A, esse
total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação
x(x – 1)
2 = 66, isto é, x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os
números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado,
podemos concluir que 12 pessoas acompanharam o profes-
sor. Observe a tabela a seguir:
Número de pessoas
1 2 3 4 5 x ...
Número de cumprimentos 0 1 3 6 10
x(x – 1)
2...
© C
onex
ão E
dito
rial
89
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
3. Mostre que não existem dois números
reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu
produto igual a 10.
Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação
x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando,
assim, que não existem dois números reais que satisfazem
as condições do problema.
4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx +
+ 9 = 0, sendo b um número real.
a) Substitua b por 10 e calcule as raízes
da equação.
–9 ou –1
b) Determine um valor de b para o qual
a equação possua duas raízes reais e
iguais (pode-se dizer também uma raiz
real dupla).
–6 ou 6
c) Determine um valor de b para o qual a
equação não possua raízes reais.
Uma possível resposta: b = 5, uma vez que essa questão não
tem uma única resposta e sua discussão permite antecipar a
compreensão de noções importantes relacionadas à função
modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, duran-
te o Ensino Médio.
A seguir, vamos explorar algumas relações,
fatos e propriedades geométricas em que se
aplicam equações de 2o grau.
5. A diagonal de um polígono convexo é o seg-
mento que une dois vértices não consecutivos.
Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C,
D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.
A
C
D
E
FG
Com base nessa definição:
a) Quantas diagonais tem um retângulo?
E um pentágono?
Retângulo: 2 diagonais;
pentágono: 5 diagonais.
b) Complete a tabela apresentada a seguir
Número de lados de um polígono
Número de diagonais de um
polígono
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
... ...
n n(n – 3)
2
c) Qual é o número de diagonais de um
polígono com 15 vértices?
90
d) Sabendo que um polígono tem 44 diago-
nais, quantos lados tem esse polígono?
11 lados
H
B
90
e) Utilizando seus conhecimentos sobre
equações de 2o grau, mostre que não
existe um polígono com exatamente 42
diagonais.
Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes
inteiras positivas.
6. O projeto de um jardim retangu-
lar prevê que se coloquem pedras
ornamentais, formando com o jar-
dim uma área maior, também retangular. Na
figura a seguir, a região cinza representa o
lugar onde as pedras deverão ser colocadas.
x 15 m
6 m
x
Sabendo que a área ocupada pelas pedras é
de 46 m2, calcule a medida x em metros.A figura pode ser dividida conforme indicado a seguir:
x
x + 6
15
6
x
x
Nessa condição, o valor de área dada pode ser aplicado na
seguinte equação: x(x + 6) + 15x = 46
Essa equação apresenta solução x = –23 ou x = 2. A resposta
positiva é a que interessa à situação. Portanto, x = 2.
7. Em uma peça retangular de tecido, par-
cialmente representada na figura a seguir,
o número de fios de linha vermelha excede
o número de fios de linha azul em 5, sendo
que o total de pontos de cruzamento entre
as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800.
Calcule o número de fios de linhas azul e
vermelha usados na confecção desse tecido.
fios de linha vermelha
fios
de li
nha
azul
Se o número de fios azuis for igual a x, o de fios vermelhos será
x + 5. O total de cruzamentos entre os fios, nesse caso, poderá
ser representado pela expressão x (x + 5). Temos a equação: x(x +
+ 5) = 6 800 que apresenta solução x = 80 ou x = –85. Assim, o
número de fios azuis é 80 e o de fios vermelhos é 85.
8. Um vitral retangular colorido de dimensões
2 m por 4 m será emoldurado conforme in-
dica a figura a seguir. Sabendo que a área
total da moldura é 7 m2, calcule a medida x
do lado dos quadrados nos cantos da mol-
dura, tendo em vista que os quatro cantos
da moldura são quadrados idênticos.
xx
x
xx
x
x
x 4 m
2 m
As raízes serão –3,5 e 0,5 m. Portanto, o valor de x será 0,5 m.
91
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Desafio!
9. Com os procedimentos já estudados
para solucionar equações de 2o grau,
você pode resolver também equações
de outros graus. Assim, resolva as se-
guintes expressões algébricas:
a) x3 – 6x = 0
x3 – 6x = 0, logo x(x2 – 6) = 0
Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = ± 6 .
Assim, a equação tem como soluções S = { 0, 6 , – 6 }.
b) x x= – 1+3Inicialmente, vamos isolar a raiz e depois elevar ambos
os membros da equação ao quadrado:
(x – 3)2 = x – 1
x2 – 6x + 9 = x – 1
x2 – 7x + 10 = 0
As soluções serão x = 2 ou x = 5. Contudo, temos que ve-
rificar a validade das soluções.
x = 2 x = 5
2 = 2 – 1 + 3 5 = 5 – 1 + 3
2 = 1 + 3 5 = 4 + 3
2 = 4 falso 5 = 5 (verdadeiro) S = {5}
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, foi pro-
posta aos alunos uma série de atividades que
envolvem equações de 2o grau e sua solução. Mui-
tas delas já apontam para a relação entre duas
grandezas, preparando noções sobre funções,
tema das próximas Situações de Aprendizagem.
É fundamental que o professor observe tanto a
compreensão dos enunciados como os processos
de resolução das equações. Em cada problema,
podem-se recuperar as estratégias aprendidas e
sugerir as formas mais adequadas de resolução.
Uma ideia que o professor pode desenvol-
ver, neste momento, é propor aos alunos a
criação de problemas que envolvam a expres-
são e resolução de uma equação de 2o grau.
Para isso, os alunos podem fazer pesquisas
sobre fenômenos que são modelados por fun-
ções quadráticas. Ao recolher os trabalhos, o
professor pode observar a criatividade com
que foram elaborados os problemas e o rigor
das resoluções. Valorizando a produção dos
alunos, o professor pode discutir uma ou outra
forma mais adequada de apresentar o proble-
ma e a resolução.
92
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL,
SIGNIFICADOS E CONTEXTOS
Conteúdos e temas: grandezas diretamente proporcionais; expressão algébrica da relação de proporcionalidade direta e inversa; noções de funções.
Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade; expressar situações e problemas em linguagem algébrica; aplicar as noções de proporcionalidade em diferentes contextos.
Sugestão de estratégias: proposição de situações-problema envolvendo proporcionalidade.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7
Para as atividades aqui apresentadas, con-
sidera-se a importância do desenvolvimento
do raciocínio proporcional, por meio da ex-
ploração de situações que levem o aluno a ob-
servar a variação entre grandezas, estabelecer
relação entre elas e construir estratégias de so-
lução para resolver problemas que envolvam a
proporcionalidade. Explorada em outros con-
textos, como na ampliação de figuras e na se-
melhança de triângulos, a proporciona lidade
agora está no foco das noções básicas sobre
função, ou seja, pretende-se propor situações
cuja finalidade é o desenvolvimento de ideias
relativas às funções, por meio de situações en-
volvendo a proporcionalidade. Vale lembrar
que o raciocínio proporcional ocupa lugar de
destaque na aprendizagem matemática e, por
essa razão, está presente em várias Situações
de Aprendizagem destes Cadernos.
Para resolver os problemas propostos, os alu-nos deverão identificar a natureza da variação entre duas grandezas, reconhecendo que duas grandezas, x e y, são diretamente proporcionais, quando a razão entre seus valores correspon-
dentes é constante: yx
= constante = k e escrever,
portanto, que y = kx (k é uma constante). Para a resolução de algumas das situações seguintes, deve-se identificar a existência ou não de pro-porcionalidade, traduzindo-a por meio de uma relação algébrica – relação funcional – quando existir. Na caracterização dessa interdepen-dência entre as duas grandezas, devemos iden-tificar a que pode variar livremente, que será a variável independente, daquela que tem seu valor determinado pelo valor da outra, que será a variá vel dependente. Dessa forma, sendo x a va-riável independente, se a cada valor de x corres-ponder um único valor da variável dependente y, diremos então que y varia em função de x.
Também são propostos problemas que tratam de duas grandezas, x e y, que variam
93
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
de tal modo que a proporcionalidade dire-ta ocorre não entre y e x, mas entre quanto y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos y – h = kx, ou seja, y = kx + h (k e h constantes), ou seja, y – h é diretamen-te proporcional a x, uma vez que podemos
escrever y hx
k−
= . Ou seja, estes problemas
têm por finalidade explorar a variação linear
entre duas grandezas e suas aplicações.
Quanto às funções de 2o grau y = ax2 + bx + c,
apresentaremos algumas situações que estabele-
cem a proporcionalidade entre uma grandeza e o
quadrado de outra.
1. Discuta com seus colegas a
seguinte situação: Paulo foi à
feira e encontrou ofertas de
maçãs:
Em sua opinião, a oferta das 10 maçãs
é vantajosa para Paulo? Justifique sua
resposta.
Podemos dizer que o preço de 10 maçãs está relativamente
barato em comparação com o preço de 5. Se o preço fos-
se diretamente proporcional ao número de maçãs, 10 delas
custariam R$ 2,00 e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante
era realmente boa para a compra de 10 maçãs.
2. A tabela a seguir indica como varia a gran-
deza y em função da grandeza x. Analise-a
e, levando em conta os valores apresentados,
diga se as grandezas envolvidas são direta-
mente ou inversamente proporcionais, ou se
não são nem direta nem inversamente pro-
porcionais. Em cada caso, escreva a expres-
são algébrica que relaciona x e y.
a) x 1 2 3 4 5 6 7
y 10 20 30 40 50 60 70
São grandezas proporcionais, pois, quando o valor de uma
grandeza dobra, o valor correspondente à outra também
dobra; quando triplica, o outro também triplica etc. Isto é,
a razão x
y é constante e a sentença que expressa a relação
entre x e y é x
y ou y = 10x.
b) x 1 2 3 4 5 6 10
y 48 24 16 12 9,6 8 4,8
São grandezas inversamente proporcionais, pois, quando o va-
lor de uma grandeza dobra, o valor correspondente à outra se
reduz à metade; quando triplica, o outro se reduz a um terço
etc. A razão x y é constante, e a sentença que expressa a relação
entre x e y é x y = 48 ou y = 48
x.
c) x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 5 7 9 11 13 15
Não são grandezas nem direta nem inversamente propor-
cionais, pois não se observa um mesmo valor nem x
y
para nem para x y. A expressão que relaciona x e y pode ser
y = 2x+1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valo-
res de y são iguais ao dobro dos correspondentes valores de x
acrescidos de 1 unidade).
© C
onex
ão E
dito
rial
94
d) x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 8 18 32 50 72 98
Também não são grandezas nem direta nem inversamente pro-
porcionais, pois não se observa um valor constante nem para
x
y nem para x y. A sentença que relaciona x e y é y = 2x2
(analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são
iguais ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).
3. Refaça a tabela apresentada na
atividade 2, item c da seção Você
aprendeu?, e verifique se há pro-
porcionalidade entre x e y – 1. Justifique
sua resposta.
x 1 2 3 4 5 6 7y 3 5 7 9 11 13 15
y – 1 2 4 6 8 10 12 14
Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos
que a razão y – 1
x é constante. Como y – 1
x = 2, o valor 2
representa a constante de proporcionalidade.
4. Faça a mesma análise com o item d da ativi-
dade 2 apresentado na seção Você aprendeu?,
verificando se há proporcionalidade entre os
valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.
x 1 2 3 4 5 6 7x2 1 4 9 16 25 36 49
y 2 8 18 32 50 72 98
Construindo uma nova tabela, observamos que os valores
de y são diretamente proporcionais ao quadrado de x, isto
é, y
x2
é constante e, como y
x2
= 2, a constante de propor-
cionalidade é 2.
5. Em cada um dos casos apresentados a
seguir, verifique se há ou não propor-
cionalidade direta entre as medidas das
grandezas correspondentes. Se houver,
expresse tal fato algebricamente, indican-
do o valor da constante de proporciona-
lidade, quando possível.
a) A massa m de uma pessoa é diretamente
proporcional a sua idade t?
Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra, digamos,
passa de 2 a 4 anos, não é verdade que sua massa também
dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a mas-
sa de uma pessoa aos quarenta anos...
b) Quando compramos x metros de deter-
minado fio, o preço p a pagar é direta-
mente proporcional a x?
Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 m do fio
pela quantidade x de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 m
de fio. Mas, às vezes, o vendedor pode fazer algum desconto,
se a pessoa comprar uma grande quantidade, e aí a propor-
cionalidade deixa de existir.
c) O preço a ser pago por uma fotocópia é
diretamente proporcional ao número de
cópias?
Sim. De fato, quando o número de cópias dobra, digamos,
passa de 5 a 10, é verdade que o preço a ser pago também
dobra.
d) O perímetro p de um triângulo equilá-
tero é diretamente proporcional ao seu
lado de medida a?
O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou
seja, p é o produto da medida a do lado por 3, ou seja, p = 3a.
Portanto, o perímetro é proporcional à medida do lado do
triângulo equilátero.
95
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
e) A diagonal d de um quadrado é di-
retamente proporcional ao lado a do
quadrado?
a
a
d
Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou
seja, d = 2 a. Isso é pos sível de perceber aplicando-se o
Teorema de Pitágoras.
f) O comprimento C de uma circunferência
é diretamente proporcional a seu raio r?
Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2 .
Ou seja, C
r = 2 e C = 2 r.
g) A área de um círculo é diretamente pro-
porcional à medida do raio? E ao qua-
drado do seu raio?
Como a área de um círculo é dada pela expressão A = .r2,
observamos a seguinte proporcionalidade A
r2 = . Portanto,
a área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu raio.
6. Ao dirigir um automóvel, o
motorista deve estar atento à
distância percorrida pelo auto-
móvel quando o freio é acionado. O código
de segurança nas estradas sugere uma rela-
ção entre a distância de segurança, isto é, a
distância percorrida pelo carro após acio-
nado o sistema de freios e a velocidade do
automóvel no instante da frenagem. A ta-
bela a seguir mostra alguns valores encon-
trados em uma pista de testes:
Velocidade: v (km/h)
0 10 20 30 40 50 100 120
Distância de segurança: d (metros)
0 1 4 9 16 25 100 144
Observando a tabela, concluímos que d = k v2.
a) Qual o valor da constante de proporcio-
nalidade k?
k = d
v2
= 1
102
= 4
202
= 1
100
b) O automóvel encontra um obstáculo a
uma distância de 83 m. Qual deve ser,
aproximadamente, sua velocidade máxima
de modo que ele não atinja o obstáculo?
Aproximadamente 90 km/h.
d= 1
100 v2 83 = 1
100 v2 v = 8 300 v 90km/h
c) Qual a distância de segurança quando a
velocidade do automóvel for v = 80 km/h?
64 m
d= 1
100 802 d = 6 400
100 = 64m
7. Para produzir x unidades de um produto
A, o custo total C é composto de uma par-
cela fixa de mil reais e uma parcela variável,
que é diretamente proporcional a x. O cus-
to total da produção de x produtos é, então,
C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A cons-
tante k representa o aumento no custo total
C quando a quantidade produzida aumen-
ta uma unidade. Dado que, para produzir
100 unidades do produto A, o custo total é igual
a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões:
96
a) Qual o valor de k na expressão
C = 1 000 + kx?
Os valores são x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores
na expressão, chegamos ao valor de k = 5. Isso significa que, a
cada quantidade produzida, o custo total aumenta em 5 reais.
b) Em quanto aumentará o custo total se a
quantidade produzida aumentar de 579
para 580? E de 2 938 para 2 939?
Aumentará, em ambos os casos, 5 reais, pois a variação de
uma unidade produzida.
c) Para qual valor de x o custo variável
será igual ao custo fixo?
x = 200, pois 5 200 = 1 000.
d) O custo total C é diretamente propor-
cional a x?
Não, o custo total C não é diretamente proporcional a x, pois
a razão C
x não é constante. Para x = 1, temos C = 1 005 e,
para x = 2, temos C = 1 010; 1 010
2 ≠
1 005
2, ou seja, C
x
não é constante.
e) A diferença entre o custo total C e o
custo fixo é diretamente proporcional
a x?
Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é direta-
mente proporcional a x, ou seja, o custo variável é diretamen-
te proporcional a x e a constante de proporcionalidade é 5.
O professor, nesse caso, pode sugerir a construção de uma
tabela, como a que é apresentada no item a seguir:
f) De acordo com os dados apresentados
no enunciado do problema, quais valo-
res completam a tabela?
Número de produtos (x)
Custo totalDiferença entre o custo
total e o custo fixo (custo variável)
Razão entre a diferença calculada
e x
1 1 000 + 5 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5
51
= 5
2 1 000 + 5 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10
10
2 = 5
3 1 000 + 5 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15
15
3 = 5
4 1 000 + 5 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20
20
4 = 5
... ... ...
10 1 000 + 5 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50
50
10 = 5
97
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
8. Uma determinada revista estadunidense apre-
sentou duas leis que representam a relação en-
tre o número do sapato (n) e o comprimento
do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as
mulheres, a lei é n = 3c – 22 e para os homens,
é n = 3c – 25. Assim, responda:
a) Qual é o número do sapato de uma mulher
cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E
o de um homem com 16 polegadas?
Números 17 e 23.
b) Se um homem e uma mulher possuem o
pé de mesmo comprimento, qual deles
calçará o sapato de número maior?
A mulher.
c) Existe alguma medida de comprimen-
to de pé que torne o número do sapato
masculino igual ao feminino?
Não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,
observamos que a diferença entre os números dos homens e
das mulheres permanece em três unidades e que cada uma
delas cresce com a mesma variação: 3 por polegadas.
C 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Número (homem) 2 5 8 11 14 17 20 23 26
Número (mulher) 5 8 11 14 17 20 23 26 29
9. Quando mergulhamos no mar, a
pressão aumenta com a profundida-
de. Na superfície do mar, a pressão é
resultante do peso do ar atmosférico e sua
medida é igual a 1 atmosfera. Quando nos
encontramos a uma profundidade x (em me-
tros), a pressão p é uma soma de duas parce-
las: a pressão ao nível do mar mais a pressão
resultante do peso da água, que é diretamen-
te proporcional à profundidade x, ou seja,
p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros e k,
a constante de proporcionali dade). Sabendo
que a cada 10 m que descemos verticalmente
no mar, a pressão aumenta em 1 atmosfera,
responda às questões a seguir:
a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx?
Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade
de 10 m (x = 10), a pressão aumenta de 1 atmosfera. Assim,
a 10 m de profundidade, a pressão será 1 + 1 = 2 atmosferas.
Logo, 2 = 1 + k 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor
poderia ser mais rapidamente calculado dividindo o acrésci-
mo de 1 atmosfera de pressão por 10.
b) Em quanto aumentará a pressão se des-cermos verticalmente mais 1 m na água?
A cada metro que descemos a pressão aumentar de
0,1 atm.
c) À qual profundidade x o valor da pressão triplica em relação ao valor na superfície?
x = 20 m.
d) A pressão p é diretamente proporcional
à profundidade?
Não, pois a razão entre p e h não é constante.
e) A diferença entre a pressão p e a pressão
na superfície é diretamente proporcio-
nal à profundidade?
Sim, pois a razão entre a diferença das pressões (acréscimo
de pressão) e a profundi dade é constante.
98
10. A área A de uma imagem
projetada é dada em função da
distância d entre projetor e a tela.
d = 1d = 2
d = 3
a) Observe a figura e complete a tabela a
seguir, que relaciona a área A da ima-
gem com a distância d do projetor:
Distância (d) 1 2 3 4 5 6 7
Área(A) (u) 1 4 9 16 25 36 49
b) Qual das expressões a seguir representa
relação entre A e d?
A = 2d ( ) A = d + 4 ( )
A = d2 ( ) A = d + 1 ( )
A expressão será A = d2 .
c) A área A da imagem é diretamente pro-
porcional à distância d do projetor? Se sim,
quanto vale a razão de proporcionalidade?
A não é diretamente proporcional a d.
d) A área A da imagem é diretamente pro-
porcional ao quadrado da distância d
ao projetor? Se sim, quanto vale a razão
de proporcionalidade?
A área A é diretamente proporcional à distância d2 e a razão
de proporcionalidade é 1.
11. Em finanças, dois conceitos muito im-
portantes são o da oferta e o da deman-
da ou procura. A função oferta represen-
ta a relação entre o preço (p) necessário
para que um fabricante produza certa
quantidade (n) desses produtos. A fun-
ção demanda representa a relação entre
o preço (p) que os consumidores pagam
pelo produto e a quantidade (n) de pro-
dutos produzidos. Supondo que a fun-
ção oferta para determinada mercadoria
seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais,
responda:
a) Qual o preço a ser oferecido caso a pro-
dução seja de 50 mercadorias?
Atribuindo à variável independente n o valor 50, teremos o
valor de p = 3 502 + 60 50 = 7 500 + 3 000 = 10 500 reais.
b) O que ocorre com o preço à medida que
o número de mercadorias produzidas
aumenta? Podemos dizer que o preço p
é proporcional ao número de mercado-
rias produzidas? Construa uma tabela
para fundamentar suas conclusões e
justifique.
Para construir a tabela, devemos considerar somente valores
naturais para n:
N 0 1 2 3 4 5 6 10 100
P 0 63 132 207 288 375 468 900 36 000
Com base nessa tabela, observamos que, à medida que n
cresce, p também cresce. Contudo, observamos que p não
é diretamente proporcional a n.
© C
onex
ão E
dito
rial
u
99
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, é
fundamental que os alunos reconheçam situa-
ções contextualizadas que podem ser modela-
das por meio de uma expressão que relacione
duas grandezas e que analisem se essa relação é
direta, inversamente proporcional ou nem direta
nem inversamente proporcional. A familiariza-
ção com o conceito de função está associada,
particularmente, às observações das variações
e das relações de interdependência na expressão
algébrica ou na construção de tabelas.
Nesse início, o professor pode observar que
não foi dada muita evidência à linguagem for-
mal para o tratamento de funções. Vale lem-
brar que uma abordagem mais sistematizada
sobre funções é foco do conteúdo da 1a série do
Ensino Médio.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8
Na Situação de Aprendizagem anterior
foram propostas atividades que envolviam
a variação de duas grandezas, que eram di-
retamente proporcionais e as inversamente
proporcionais. Tais relações foram descritas
verbalmente, por meio de tabelas e também
algebricamente.
Uma vez que os gráficos são traçados no
plano cartesiano, é importante que o professor
investigue os conhecimentos prévios dos alunos
referentes a coordenadas, par ordenado, qua-
drantes, eixos e origem do sistema. Caso iden-
tifique dificuldades, o professor pode iniciar seu
trabalho retomando a construção dessas noções
fundamentais. Com base nisso, pode sugerir que
os alunos pesquisem e tragam alguns gráficos
usados em jornais e revistas para a discussão em
Conteúdos e temas: representação gráfica de grandezas direta e inversamente proporcionais e de grandezas que não são proporcionais; representação gráfica de diversos tipos de rela-ção de interdependência linear e não linear; problemas de máximo e mínimo que envolvem funções quadráticas.
Competências e habilidades: compreender situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade; expressar graficamente situações de interdependên-cia entre grandezas.
Sugestão de estratégias: exploração de diversos tipos de interdependência entre grandezas; utili-zação de situações-problema envolvendo construção e análise de gráficos.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS
PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS
100
sala de aula. As análises podem ser feitas com
base em grandezas envolvidas, formas de cresci-
mento ou decrescimento e pontos de máximos e
mínimos. Nas primeiras atividades desta Situa-
ção de Aprendizagem, sugerimos algumas análi-
ses de fenômenos e suas representações gráficas.
O objetivo aqui é explorar a ideia de que um grá-
fico é uma representação da variação entre duas
grandezas. Essa representação, isto é, o gráfico
da função, permitirá o levantamento de muitas
hipóteses, além suscitar diferentes questões.
A proporcionalidade entre grandezas é uma
das formas mais comuns de ocorrências físi-
cas. Como temos demonstrado, são várias as
situações-problema sobre taxas de variações,
como aquelas que encontramos em leis de mo-
vimento e de consumo. A representação geo-
métrica da proporcionalidade direta, isto é, de
expressões na forma algébrica y = mx, consti-
tui uma classe de retas que passam pela origem
do sistema cartesiano. Quando a variação en-
tre as grandezas é dada na forma y = mx + n,
a proporcionalidade agora será entre os valores
de y – n e x. Nesse último caso, o gráfico tam-
bém será uma reta, de mesma declividade m.
Sendo n ≠ 0, o valor de n será aquele a partir
do qual a variação em y é diretamente propor-
cional a x. Geralmente, nas situações contex-
tualizadas, somente o traçado das curvas no
primeiro quadrante tem significado. Contudo,
é importante que o aluno construa os critérios
associados ao domínio da função. Deve-se
estar atento também à escala a ser escolhida,
quando se constroem gráficos.
Nesta Situação de Aprendizagem, são
propostos problemas que tratam de represen-
tações gráficas de grandezas cuja variação é
diretamente proporcional, inversamente pro-
porcional ou não proporcional.
Tais atividades têm por finalidade discutir:
os pontos do gráfico cartesiano que re-
presentam a variação de duas grandezas
diretamente proporcionais (y = mx) per-
tencem a uma reta que passa pelo ponto
(0; 0). Quando a função estiver expressa
na forma y = mx + n, com n ≠ 0, a pro-
porcionalidade se dará entre y – n e x;
x
0 x1 x2 x3 x4 x5
y = mx
n
y = mx + n
y
os pontos do gráfico cartesiano que
representam a variação de duas
grandezas inversamente proporcio-
nais (x y = k) pertencem a uma cur-
va denominada hipérbole;
101
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
1
1
– 1
– 2
2
y
x
– 1– 2– 3– 4
2 3 4
os gráficos de funções quadráticas são
curvas denominadas parábolas e possuem
concavidades para cima ou para baixo e
um ponto de máximo ou de mínimo.
– 1– 2 1
1
2
3
2
x
y
1. Considere as grandezas “distân-
cia de casa” e “tempo decorrido”
nas situações a seguir e indique o
gráfico que melhor corresponde a cada uma.
I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para
ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois
de trocá-lo, ele continuou o trajeto.
Gráfico c
II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas
precisou retornar para pegar sua bolsa.
Em seguida, ela foi ao banco.
Gráfico d
III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumen-
tou cada vez mais sua velocidade para
chegar mais rápido ao seu destino.
Gráfico b
a)distância de casa
tempo
b)
tempo
distância de casa
c)
distância de casa
tempo
102
d)distância de casa
tempo
2. Mediram-se as massas de pequenas amos-
tras de ferro de diversos volumes. A unidade
de medida de massa foi o grama (g) e a de
volume foi expressa em centímetros cú-
bicos (cm3). Com os dados encontrados,
construiu-se o gráfico a seguir:
0 1 2 3 4 5
7,5
15
22,5
37,5
30
massa (gramas)
volume (centímetros cúbicos)
a) Qual é a massa de uma amostra de ferro
cujo volume é 4 cm3?
30 g
b) Qual é o volume de uma amostra de fer-
ro de 15 g de massa?
2 cm3
c) Explique por que as grandezas volume e
a massa de amostras de ferro represen-
tadas no gráfico são grandezas direta-
mente proporcionais.
Por meio da análise do gráfico, podemos verificar que a
amostra de 1 cm3 de ferro tem massa 7,5 gramas. A massa de
2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado,
podemos ler o gráfico a partir do eixo vertical: o volume de
uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é 3 cm3. Esse grá-
fico mostra como varia a massa m (em gramas) de amostras
de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amos-
tras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3
para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15
gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3), a mas-
sa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim,
concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional
ao volume.
d) Qual é a constante de proporcionalidade?
Observando os valores das massas e dos volumes apresen-
tados, verificamos que:
7,5 gramas
1 cm3
= 7,5g/cm3 15 gramas
2 cm3
= 7,5g/cm3
22,5 gramas
3 cm3 = 7,5g/cm3. Portanto, ao variar o volume V
do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a
massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).
e) Escreva a relação entre a massa, m, e o
volume, V, por meio de uma expressão.m
V = 7,5 ou m = 7,5V.
103
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
3. O gráfico a seguir indica a velocidade que
um automóvel precisa alcançar em função
do tempo para percorrer uma distância de
120 km.
60
60
40
302420
120 v (km/h)
1 2 3 4 5 t (h)
a) Com base no gráfico, complete a tabela
a seguir:
t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
v (km/h) 120 80 60 40 30 24 20 15 10
b) Explique por que as grandezas “veloci-
dade” e “tempo” representadas no grá-
fico são inversamente proporcionais.
Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse pro-
blema – a velocidade média e o tempo gasto para se
percorrer a distância dada – não são diretamente pro-
porcionais, mas sim inversamente proporcionais, porque
quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor
correspondente à outra é dividido por 2. Quando um
deles é dividido por 6, o correspondente à outra é multi-
plicado por 6, e assim por diante, ou seja, duas grandezas
x e y são inversamente proporcionais quando os produ-
tos dos valores de uma pelos correspondentes valores da
outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversa-
mente proporcionais são denominados hipérboles.
c) Escreva a expressão que relaciona v e t.v t = 120
4. Analise o gráfico a seguir. Ele
indica o preço em reais de cada ca-
miseta que uma confecção produz
de acordo com o número de camisetas
compradas pelas lojas.
y
100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
(preço em reais por item)
200 300 400 500 600 (quantidade de itens)
O gráfico mostra que, quanto maior for a
quantidade de camisetas compradas, menor
será o preço por unidade. Por exemplo: se
uma loja comprar 100 camisetas, o preço de
cada uma delas será 16 reais; se comprar 200,
o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e
assim por diante. Agora responda:
104
a) As grandezas envolvidas, preço unitário
p e quantidade q, são diretamente ou in-
versamente proporcionais? Explique.
Não, porque a razão p
q não é constante.
b) O que acontece com o preço da camise-
ta quando a quantidade vendida varia
em100 unidades?
O preço varia em 2 reais.
c) Qual seria a diminuição no preço para o
aumento de uma unidade vendida.
O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades
vendidas. Portanto, o preço não se modificou para uma uni-
dade vendida.
d) Com base nessas informações, escreva
uma sentença que relacione o preço p
com a quantidade q.
Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades,
o preço aumenta 2 reais, então, o preço inicial das camisetas
seria 18 reais. Como a cada unidade vendida o preço diminui
0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.
5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela
fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de
caixa para embalá-los, colocando a mesma
quantidade de bombons em cada uma delas.
a) As grandezas “números de bombons” e
“números de caixas” são inversamente
proporcionais? Explique.
Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).
b) Preencha a tabela a seguir:
No de bombons 2 3 4 6 9 12
No de caixas 18 12 9 6 4 3
c) Construa um gráfico que represente a
situação indicada na tabela anterior.
0
6
912
18
36n (bombons)
c (caixas)1 2 3 4 5 6
6. Observe os três retângulos
desenhados e responda às ques-
tões a seguir:
8 cm
3 cm 1 cm10 cm
5 cm
6 cm
III
III
a) Calcule o perímetro e a área de cada um
deles e, em seguida, preencha a tabela:
Retângulo Perímetro (cm) Área (cm2)I 22 24
II 22 10
III 22 30
b) Considere um retângulo de mesmo pe-
rímetro que os anteriores, cujos lados
medem x e y centímetros. Expresse y em
função de x.
2x + 2y = 22, logo y= –x + 11
105
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
c) Complete a tabela a seguir para a função
anterior com valores inteiros de x va-
riando de 0 a 11. Com base nesses dados,
construa o gráfico dessa função.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1–1–1–2
–2
1
9
9
5
5
3
3
11
11
13
13
15
15
17
17
19
19 y
x
207
7
2
2
10
10
12
12
14
14
16
16
18
18
6
6
4
4
8
8
d) Como varia y à medida que o valor de x
aumenta? O gráfico representa uma varia-
ção proporcional entre x e y? Justifique.À medida que o valor de x aumenta, é pos sível observar que
o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As
variáveis y e x não são diretamente proporcionais nem inver-
samente proporcionais, pois não observamos uma constante
no quociente y
x .
e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.
A = x y = x(–x + 11) = –x2 + 11x
f) Preencha a tabela a seguir com os valo-res da área A para x variando de 0 a 11.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0
g) A área de A e é proporcional à medida
de x? Justifique.
A partir da tabela e do gráfico, pode-se observar que os va-
lores de A e x não são nem diretamente nem inversamente
proporcionais.
h) O gráfico a seguir representa a função da
área A de um retângulo em relação a seu
lado de medida x. Com base nele, determi-
ne o valor de x que torna a área máxima.
0 5 6 1110
5,5
x
10
20
30
y
Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a
maior área será obtida para x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa
medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou seja, a
área máxima será a de um quadrado.
7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perí-
metro p e área A.
a) Expresse algebricamente a relação exis-
tente entre os valores de p e de x.
p = 4x
106
b) Expresse algebricamente a relação exis-
tente entre os valores de A e de x.
A = x2
c) Mostre que existe um valor de x para o
qual a área e o perímetro de um quadra-
do são expressos pelo mesmo número.
x2 = 4x, logo, x = 4
d) Esboce no mesmo sistema de coorde-
nadas os gráficos de p e de A em fun-
ção de x e localize o ponto encontrado
no item anterior.
–1
–2
–2–3–4–5–6–7–8–9–10 21
123456789
101112131415161718
3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
8. Um grupo de alunos da 8a série/
9o ano formou uma banda e precisa
determinar o preço x, em reais, do
ingresso para o show de apresentação. Eles
imaginaram que, se o valor do ingresso for
muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se
for muito baixo, não obterão lucro, que se-
ria investido na banda. Com base nos valo-
res cobrados por outras bandas, os alunos
concluíram que o lucro L de cada espetácu-
lo, em re ais, poderia ser dado pela expressão
L = –x2 + 12x – 20. (Observação: L > 0 signi-
fica lucro e L < 0, prejuízo).
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
–1–1
–2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
yx y
2 0
3 7
4 12
5 15
6 16
7 15
8 12
9 7
10 0
Observe o gráfico e a tabela e, em seguida,
responda:
a) Qual será o lucro caso eles decidam co-
brar 4 reais por ingresso?
12 reais.
b) Se o preço do ingresso for superior a 6
reais, podemos afirmar que o grupo terá
prejuízo? Justifique.
Não, o grupo ainda terá lucro. Contudo, quanto mais pró-
ximo de 10 reais, o lucro diminui até que, nesse valor, ficará
zerado, e a partir dele o projeto apresenta prejuízo.
c) Para que intervalo de valores de x o lu-
cro aumenta? E para qual ele diminui?
Até 6 reais ele aumenta. Entre 6 reais e 10 reais ele diminui.
107
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
d) Qual é o valor do ingresso para o
maior lucro possível? Qual o valor do
lucro máximo?
O valor do ingresso para que o lucro seja máximo é 6 reais,
quando o lucro atingirá 16 reais.
e) O que acontece quando o valor dos ingres-
sos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?
Nesses intervalos, o projeto tem prejuízo.
f) O que ocorre com o lucro quando os in-
gressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais?
Com esses valores o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se
que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo
y, que passa pelo ponto máximo da função em x = 6.
Considerações sobre a avaliação
Foram sugeridas algumas atividades que
permitem a construção de noções básicas
sobre funções lineares e quadráticas. Julgan-
do possível, o professor pode aprofundar as
formas gerais de funções cujos gráficos são
retas, como y = mx + n, analisando cresci-
mento, diminuição e coordenadas dos pontos
de intersecção nos eixos. Quanto às funções
quadráticas na forma y = ax2 + bx + c, o pro-
fessor pode discutir os sentidos das concavi-
dades com relação aos sinais do coeficiente
a e também as coordenadas dos pontos que
interceptam os eixos coordenados.
Na Situação de Aprendizagem 1, caso al-
guns alunos demonstrem dificuldade para
compreender o significado dos conjuntos nu-
méricos, recomendamos que se retome um
pouco da história dos números, mostrando
como esse tipo de representação evoluiu ao
longo da história em função das necessidades
do homem: o surgimento dos números natu-
rais como uma forma de representar a conta-
gem de objetos ou de marcar a passagem do
tempo; a necessidade de medida provocando
o surgimento dos números fracionários (ra-
cionais); o desenvolvimento do comércio e das
finanças, que demandou a utilização de núme-
ros negativos para registrar dívidas etc.
Na Situação de Aprendizagem 2, o professor
poderá retomar os temas por meio de lista de
exercícios e, eventualmente, poderá propor que
os alunos façam um trabalho em grupo sobre
frações contínuas e aproximações de irracionais.
A Situação de Aprendizagem 3 permite
que o professor explore a recuperação com
atividades de desenho geométrico, já que par-
te significativa do trabalho nela apresentado
diz respeito às construções geométricas. Nesse
momento, o professor poderá utilizar uma lis-
ta de exercícios e solicitar que o aluno prepare
fichas-resumo com procedimentos elementa-
res de construção, como o traçado da media-
triz de um segmento, o traçado da bissetriz de
um ângulo, construção de polígonos regulares
e, mais diretamente relacionado com a Situa-
ção de Aprendizagem, a construção de alguns
números reais.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
108
Com relação à Situação de Aprendiza-
gem 4, que trata da notação científica, al-
guns alunos poderão encontrar dificuldade
com algumas das operações. Caso isso ocor-
ra, recomendamos que o professor retome os
princípios que fundamentam as propriedades
das operações com potências. Mais do que
enunciar a propriedade, é fundamental que o
professor contextualize e justifique essa pro-
priedade, o que pode ser feito por meio de
exemplos simples, nos quais o aluno possa se
apoiar em seus conhecimentos prévios sobre
multiplicação e potências para compreender o
significado da propriedade. Por exemplo: uma
das propriedades afirma que, no produto de
potências de mesma base, mantém-se a base
e somam-se os expoentes. Podemos visualizar
essa propriedade em um exemplo numérico:
23 25 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 28
3 fatores 2 5 fatores 2
generalizando para os expoentes m e n, temos:
2m 2n = 2 2 2 2 2 2 2 2 =
m fatores n fatores
2 2 2 2 2 ... = 2m + n
m + n fatores
Caso os alunos ainda apresentem duvi-
das quanto aos temas propostos na Situação
de Aprendizagem 5, sugerimos que o profes-
sor identifique se as dificuldades se referem a
pouco conhecimento de processos algébricos
ou geométricos e, ainda, se os produtos notá-
veis foram aplicados corretamente. No último
caso, sugerimos a realização de mais exercí-
cios com o uso do material construído nesta
Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 6, caso o
professor perceba que os alunos enfrentam
dificuldades na compreensão e resolução das
equações trabalhadas, sugerimos a retomada
da fórmula de Bhaskara com atenção à iden-
tificação dos coeficientes e ao valor do discri-
minante. Pode-se também sugerir uma lista de
exercícios para aplicação da fórmula combi-
nada com alguns problemas simples.
Se o professor considerar que os alunos
ainda apresentam um desempenho insatisfa-
tório nos problemas abordados nas Situações
de Aprendizagem 7 e 8, sugerimos que sejam
exploradas outras situações semelhantes às
propostas ali. Muitas vezes, a representação
gráfica tende a ilustrar melhor os conceitos
trabalhados, permitindo ao aluno melhor
compreensão dos conceitos. Cabe ao profes-
sor apresentar a análise gráfica concomitan-
temente ou escolher as estratégias que já vem
adotando, quando tratar do tema.
Há uma série de problemas encontrados
em livros didáticos que permitirão sanar as di-
ficuldades dos alunos em recuperação.
109
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
AABOE, A. Episódios da história antiga da
Matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2000.
ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e às
derivadas. São Paulo: Atual, 1994.
BESKIN, N. Fracções contínuas. Lisboa: Ul-
meiro, 2001.
BOYER, Carl. História da Matemática. São
Paulo: Edgard Blücher, 1996.
Referência na abordagem histórica da
Matemática.
CARACA, Bento de Jesus. Conceitos funda-
mentais da Matemática. São Paulo: Gradiva,
1998.
A obra aborda a construção da Matemá-
tica na perspectiva de um desenvolvimento
lógico-histórico e particularmente rico em
fatos sobre a história e a didática no trato
das funções.
CARNEIRO, J. P. Q. Um processo finito para
a raiz quadrada. Revista do Professor de Ma-
temática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matemática, n. 34, 1997.
CARVALHO, Maria Cecilia Costa e Silva.
Padrões numéricos e funções. São Paulo: Mo-
derna, 1999.
A autora explora uma série de situações
contextualizadas que envolvem tanto as fun-
ções lineares como as quadráticas.
COSTA, R. O que é um número transcenden-
te? Revista do Professor de Matemática, Rio
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemá-
tica, n. 1, 1982.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Mate-
mática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educa-
ção. Coordenadoria de Estudos e Nor mas Pe-
dagógicas. Experiências Matemáticas 5a série.
São Paulo: SE/CENP, 1994.
JAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Revisitan-
do os três problemas clássicos insolúveis da
Antiguidade. Revista do Professor de Matemá-
tica, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, n. 66, 2008.
LIMA, Elon Lages. O que significa a igualda-
de 1/9 = 0,111...? Revista do Professor de Ma-
temática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matemática, n. 2, p. 6-9, 1983.
_____. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM,
2001. (Coleção do Professor de Matemática).
Contém uma abordagem bastante inte-
ressante sobre o estudo de equações, além de
uma pequena lista de situações-problema.
110
MOREIRA, C. G. Frações contínuas, repre-
sentações de números e aproximações. Eu-
reka, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, n. 3, 1998.
NIVEN, I. Números: racionais e irracionais.
Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Mate-
mática, 1984.
PERELMANN, J. Aprenda Álgebra brincan-
do. São Paulo: Hemus, 2001.
SAGAN, C. Bilhões e bilhões: reflexões sobre
vida e morte na virada do milênio. São Paulo:
Companhia. das Letras, 2002.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-
cação. Programa de Educação Continuada
(PEC). Apostila sobre funções. São Paulo: SE/
CENP, 2001.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-
cação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino
de Matemática: 1o grau. 3. ed. São Paulo: SE/
CENP, 1992.
Site
Revista do Professor de Matemática
Publicação da Sociedade Brasileira de Ma-
temática que apresenta artigos muito interes-
santes sobre o aprofundamento de conceitos
matemáticos propondo diferentes estratégias
de ensino.
Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.
Acesso em: 2 set. 2013.
111
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Neste Volume, foram apresentadas diversas
situações com equações de 2o grau e a noção
de função, por meio de problemas envolven-
do proporcionalidade. Foram sugeridas ativi-
dades que propiciam experiências educativas
bastante ricas e consideradas essenciais para
o desenvolvimento de competências relativas
a esse tema.
Convém ressaltar que as expectativas de
aprendizagem para este volume devem envolver
aspectos essenciais dos temas propostos: desen-
volvimento de técnicas para a resolução de equa-
ções de 2o grau e estudo da variação de grandezas
proporcionais ou não proporcionais e construção
e análises de tabelas e gráficos, ou seja, foram con-
siderados apenas os pontos fundamentais, isto é,
aqueles que possibilitam ao aluno ter uma base
para o desenvolvimento de outros temas correla-
tos, que serão desenvolvidos no Ensino Médio, e
para a resolução de problemas.
Mesmo assim, é possível que o professor jul-
gue extenso o que foi previsto para este Volume.
No entanto, consideramos essa extensão “apa-
rente”, pois é necessário compreender que cada
tema é apenas um meio, um instrumento para a
construção das competências básicas de leitura,
escrita, compreensão, argumentação, contextu-
alização e problematização.
A grande preocupação não pode se resu-
mir a “esgotar os conteúdos”, uma vez que tal
CONSIDERAÇÕES FINAIS
esgotamento nunca e possível, na prática, pois
o objetivo principal deve ser oferecer oportuni-
dades para o crescimento pessoal de cada aluno,
por meio de um contato proveitoso com algu-
mas das ideias fundamentais da Matemática.
Na avaliação, sugerimos aos colegas pro-
fessores focar pontos que consideramos fun-
damentais.
empregar uma abordagem qualitativa
(antes de resolver uma equação com
base na relação de coeficientes e raízes
ou procure fatorá-la);
determinar as raízes das equações de
2o grau por meio de fatorações ou pela
fórmula de Baskhara;
resolver problemas que podem ser tradu-
zidos por meio de equações de 2o grau;
identificar grandezas direta ou inver-
samente proporcionais e não propor-
cionais por meio de tabelas, gráficos e
expressões.;
representar no plano cartesiano a inter-
dependência de duas grandezas direta
ou inversamente proporcionais.
Além dessas habilidades específicas, que
estão relacionadas aos conteúdos estudados
neste volume, o professor deverá também ob-
servar as matrizes de avaliações externas e os
respectivos descritores relacionados aos temas
do volume. Resultados de avaliações como
112
Saresp e Prova Brasil, entre outras, podem
fornecer dados importantes sobre dificuldades
apresentadas pelos alunos.
A avaliação deve fornecer informações ao alu-
no sobre seu desenvolvimento a respeito de suas
capacidades em utilizar as noções aprendidas em
situações-problema. Por outro lado, a avaliação
deve fornecer ao professor dados sobre a apren-
dizagem de seus alunos, para a adequação das
situações apresentadas e a proposição de novas.
O professor deve ter clareza sobre os cri-
térios da avaliação e das limitações e pos-
sibilidades dos instrumentos que vão ser
utilizados. Os instrumentos de avaliação
devem também contemplar as explicações,
justificativas e argumentações orais, uma
vez que revelam aspectos do raciocínio que,
muitas vezes, não ficam explícitos nas ava-
liações escritas.
Convém também observar que, além das
provas e dos trabalhos com exercícios – indivi-
duais e em grupo –, os assuntos deste volume
se prestam especialmente à realização de pe-
quenos projetos de pesquisa histórica, como a
forma com que os hindus resolviam determi-
nadas equações de 2o grau. Apresentamos, a
seguir, a grade curricular com os conteúdos de
Matemática de todas as séries/anos do Ensino
Fundamental. Os conteúdos de outros volu-
mes relacionados com os apresentados aqui
estão em destaque.
113
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano
Vol
ume
1
NÚMEROS NATURAIS– Múltiplos e divisores.– Números primos.– Operações básicas.– Introdução às potências.
FRAÇÕES– Representação.– Comparação e
ordenação.– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS– Representação.– Transformação em
fração decimal.– Operações.
SISTEMAS DE MEDIDA– Comprimento, massa e capacidade.– Sistema métrico
decimal.
NÚMEROS NATURAIS– Sistemas de numeração na
Antiguidade.– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS INTEIROS– Representação.– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS– Representação fracionária
e decimal. – Operações com decimais
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS– Ângulos.– Polígonos.– Circunferência.– Simetrias.– Construções geométricas.– Poliedros.
NÚMEROS RACIONAIS– Transformação de
decimais finitos em fração. – Dízimas periódicas e
fração geratriz.
POTENCIAÇÃO– Propriedades para
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– A linguagem das potências.
ÁLGEBRA– Equivalências e
transformações de expressões algébricas.
– Produtos notáveis.– Fatoração algébrica.
NÚMEROS REAIS– Conjuntos numéricos.– Números irracionais.– Potenciação e radiciação
em IR.– Notação científica.
ÁLGEBRA– Equações de 2o grau:
resolução e problemas.– Noções básicas sobre
função; a ideia de interdependência.
– Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.
Vol
ume
2
GEOMETRIA/MEDIDAS– Formas planas e espaciais.– Noção de perímetro e área
de figuras planas.– Cálculo de área
por composição e decomposição.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Leitura e construção de
gráficos e tabelas.– Média aritmética.– Problemas de contagem.
NÚMEROS/PROPORCIONALIDADE– Proporcionalidade direta e inversa.– Razões, proporções,
porcentagem.– Razões constantes na
Geometria: .
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Gráficos de setores.– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA– Uso de letras para
representar um valor desconhecido.
– Conceito de equação.– Resolução de equações.– Equações e problemas.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES– Equações de 1o grau.– Sistemas de equações e
resolução de problemas.– Inequações de 1o grau.– Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS– Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e aplicações.
– Área de polígonos.– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS– Proporcionalidade, noção
de semelhança.– Relações métricas entre
triângulos retângulos.– Razões trigonométricas.– O número π; a
circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.
– Volume e área do cilindro.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
QUADRO DE CONTEÚDOS DO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO
Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.
Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE
CTP, Impressão e acabamentoLog Print Grá ca e Logística S. A.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO
Direção da Área Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no Caderno do Professor para apoiar na identificação das atividades.
São Paulo Estado Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino fundamental anos nais, a série/9o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.
v. 1, 120 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 97 - -7 49- 1-9
1. Ensino fundamental anos nais 2. Matemática . Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Pietropaolo, Ruy César. VIII. Spinelli, Walter. IX. Título.
CDU: 71. : 0 .90
S2 9m
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira
CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .
AUTORES
Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.
Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.
Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Valid
ade: 2014 – 2017
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