8a SÉRIE 9oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do ProfessorVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO PROFESSOR

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

8a SÉRIE/9o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Senhoras e senhores docentes,

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-

radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que

permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula

de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com

os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-

dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação

— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste

programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização

dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações

de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca

por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-

tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades

ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,

dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade

da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas

aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam

a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-

ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a

diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.

Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu

trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar

e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.

Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.

Bom trabalho!

Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo

SUMÁRIO

Orientação geral sobre os Cadernos 5

Situações de Aprendizagem 10

Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números 10

Situação de Aprendizagem 2 – Números racionais e sua escrita decimal 29

Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, Álgebra e Geometria com a reta real 38

Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza 50

Situação de Aprendizagem 5 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau 58

Situação de Aprendizagem 6 – Equações de 2o grau na resolução de problemas 87

Situação de Aprendizagem 7 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados e contextos 92

Situação de Aprendizagem 8 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de algumas não proporcionais 99

Orientações para recuperação 107

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 109

Considerações finais 111

Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 113

5

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Os temas escolhidos para compor o con-

teúdo disciplinar de cada volume não se afas-

tam, de maneira geral, do que é usualmente

ensinado nas escolas, ou do que é apresentado

pelos livros didáticos. As inovações pretendi-

das referem-se à abordagem de tais conteúdos,

sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal

abordagem, busca-se evidenciar os princípios

norteadores do presente currículo, destacan-

do-se a contextualização dos conteúdos, as

competências pessoais envolvidas, especial-

mente as relacionadas com a leitura e a escrita

matemática, bem como os elementos culturais

internos e externos à Matemática.

Em todos os Volumes, os conteúdos es-

tão organizados em 16 unidades de exten-

sões aproximadamente iguais. De acordo

com o número de aulas disponíveis por se-

mana, o professor explorará cada assunto

com maior ou menor aprofundamento, ou

seja, escolherá uma escala adequada para

o tratamento dos temas. A critério do pro-

fessor, em cada situação específica, o tema

correspondente a uma das unidades pode

ser estendido para mais de uma semana, en-

quanto o de outra unidade pode ser tratado

de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contemplar

todas as 16 unidades, uma vez que, juntas, com-

põem um panorama do conteúdo do volume e,

muitas vezes, uma das unidades contribui para a

compreensão das outras. Vale insistir que somente

ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS

o professor, em sua circunstância particular e le-

vando em consideração seu interesse e o dos alu-

nos pelos temas apresentados, pode determinar

adequadamente quanto tempo dedicar a cada

uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,

além de uma visão panorâmica de seu conteú-

do, oito Situações de Aprendizagem, que pre-

tendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-

tando a ação do professor em sala de aula.

As atividades são independentes e podem ser

exploradas pelo professor com maior ou me-

nor intensidade, segundo seu interesse e o de

sua turma. Naturalmente, em razão das limi-

tações de espaço dos Cadernos, nem todas as

unidades foram contempladas com Situações

de Aprendizagem, mas a expectativa é de que

a abordagem dos temas seja explicitada nas

atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Vo-

lume, sempre que possível, textos, softwares,

sites e vídeos, entre outros materiais, em sin-

tonia com a abordagem proposta, que podem

ser utilizados pelo professor para o enriqueci-

mento de suas aulas.

Compõem o Volume ainda algumas consi-

derações sobre a avaliação a ser realizada, bem

como o conteúdo considerado indispensável

ao desenvolvimento das competências enun-

ciadas no presente volume, em cada Situa ção

de Aprendizagem apresentada.

6

Conteúdos básicos do volume

O tema central deste Volume são os con-

juntos numéricos e suas características e pro-

priedades. Os números constituem um eixo

importante da Matemática e, neste momento,

apresentaremos propostas para que se possa

estudá-los em articulação com outros eixos,

como o da Geometria e da Álgebra. Na 8a série/

9o ano, os alunos devem sistematizar o conhe-

cimento adquirido ao longo do Ensino Fun-

damental, retomando as principais ideias as-

sociadas aos conjuntos numéricos.

Além disso, este Volume também abordará

as equações de 2o grau e a noção de função.

Em relação ao primeiro tema, pretende-se que

os alunos resolvam situações, inclusive geo-

métricas, que possam ser traduzidas por meio

de equações de 2o grau, obtendo as raízes por

diferentes métodos, e discutam o significado

dessas raízes em confronto com a situação

proposta.

Com relação ao assunto funções, o alu-

no poderá apropriar-se dessa noção ao ana-

lisar a natureza da interdependência de duas

grandezas na resolução de problemas em que

elas sejam diretamente proporcionais, inver-

samente proporcionais ou não proporcionais

– iniciando, assim, o estudo das funções afins

e quadrática, que serão posteriormente desen-

volvidas no Ensino Médio. As situações pro-

postas são oportunas para que se expresse a

variação das grandezas envolvidas por meio

de diferentes representações: tabelas, gráficos

e expressões algébricas.

Quanto à resolução da equação quadrá-

tica, sugere-se que sejam enfatizados os pro-

cedimentos que envolvam conhecimentos

sobre fatoração, exponenciação e radiciação,

para resolução tanto de equações quadráticas

como de equações exponenciais, fatoração e

pesquisa das raízes por soma e produto. Nes-

se sentido, também são exploradas equações

exponenciais, quadráticas e de 3o grau. A cha-

mada fórmula de Bhaskara, para as equações

de 2o grau, também deverá ser desenvolvida,

porém é fundamental que os alunos tenham

uma visão mais abrangente dos processos de

resolução, tendo em vista que, no Ensino Mé-

dio, eles precisarão resolver equações de grau

superior a dois.

O foco da Situação de Aprendizagem 1 é a

sistematização dos conjuntos numéricos, dos

naturais aos irracionais. Optamos por tra-

tar desse assunto por meio da exploração da

ideia de conjunto, a qual desempenha papel

importante no campo matemático. Propo-

mos a exploração de alguns problemas envol-

vendo conjuntos que podem ser resolvidos

por meio de diagramas. A noção de inclu-

são, união, interseção, entre outras, aparece

com naturalidade nas atividades propostas.

Em seguida, apresentamos a ampliação dos

conjuntos numéricos, partindo dos naturais

e chegando aos irracionais, enfatizando não

apenas as características de cada conjunto,

mas a possibilidade de realização das quatro

operações sem restrições. Problematizamos,

também, a existência dos segmentos inco-

mensuráveis, que deram origem ao conjunto

dos números irracionais.

7

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Na Situação de Aprendizagem 2, é reto-

mada a ideia da representação dos racionais e

dos irracionais para dar um passo além com a

apresentação de uma nova forma de escrita dos

números reais: as frações contínuas. A represen-

tação dos números reais como frações contínuas

permite trabalhar com a ideia de aproximação

de uma forma mais natural e precisa do que as

representações decimais dos números.

Na Situação de Aprendizagem 3, amplia-

mos a ideia dos conjuntos numéricos traba-

lhados na Situação de Aprendizagem 1, agora

do ponto de vista do “preenchimento” da reta

real. Essa situação constitui um momento im-

portante de articulação entre os eixos da Arit-

mética, da Álgebra e da Geometria, porque

discutiremos números, suas representações

e sua localização na reta real com o uso dos

instrumentos clássicos de desenho, que são a

régua e o compasso.

Na Situação de Aprendizagem 4, são abor-

dadas a notação científica e o conceito de or-

dem de grandeza. Retomando as propriedades

das operações com potências, que foram con-

templadas anteriormente na 7a série/8o ano,

introduzimos formalmente a notação cien-

tífica e apresentamos algumas atividades en-

volvendo a representação e as operações com

números nesse formato. Em seguida, apresen-

tamos uma das ideias mais importantes para o

trabalho com números grandes ou pequenos e

na comparação entre grandezas físicas: a ideia

de ordem de grandeza. A Situação de Apren-

dizagem 5 mostra um possível roteiro para o

desenvolvimento desse trabalho.

A resolução de problemas envolvendo equa-

ções de 2o grau em diferentes contextos faz parte

da Situação de Aprendizagem 6. Além da pro-

posição de problemas, essa unidade tem como

objetivo a apresentação de uma síntese dos di-

versos procedimentos utilizados para a obten-

ção das raízes de uma equação quadrática.

Sugere-se também a apresentação de situa-

ções envolvendo a variação de duas grandezas

em que seja necessária a identificação dessa

variação em relação à proporcionalidade, ou

seja, pretende-se explorar o significado das

expressões “x e y são diretamente proporcio-

nais”, “x e y são inversamente proporcionais”

e “x e y não são proporcionais”, incluindo,

quando for o caso, a tradução desses signifi-

cados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x);

e xy = k, sendo k constante (y é inversamente

proporcional a x).

Às vezes, duas grandezas x e y variam

de tal modo que a proporcionalidade dire-

ta não ocorre entre y e x, mas quando y va-

ria a partir de certo valor h e x. Nesses ca-

sos, temos y hx

 –  = k ou y – h = kx, ou seja,

y = kx + h (k e h constantes). Portanto y – h é

diretamente proporcional a x. A Situação de

Aprendizagem 7 contempla esses aspectos.

A continuidade desse trabalho ocorre

por meio da exploração de situações-pro-

blema envolvendo a variação de grandezas

diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais, sobretudo por meio de suas

representações gráficas.

8

Com relação às funções de 2o grau

y = ax2 + bx + c, as situações apresentadas

pretendem explorar a proporcionalidade entre

uma grandeza e o quadrado da outra. Essas

noções serão exploradas e aprofundadas no

Ensino Médio.

Em seguida, sugere-se a leitura e constru-

ção de gráfico cartesiano que representa a va-

riação de duas grandezas, de modo que uma

seja, por exemplo, diretamente proporcional

ao quadrado da outra. São apresentados tam-

bém problemas em contextos significativos,

que envolvem grandezas cuja variação é ex-

pressa por mais de uma sentença. A Situação

de Aprendizagem 8 contempla aspectos cita-

dos nas Unidades 15 e 16.

Cabe ressaltar que as sugestões de ativida-

des, distribuídas nas oito Situações de Apren-

dizagem, contemplam os principais aspec-

tos dos conteúdos abordados neste volume

e são adequadas para os alunos da 8a série/

9o ano do Ensino Fundamental. Todavia, o

papel do professor é, evidentemente, funda-

mental para a realização desse trabalho nos

seguintes aspectos: ordenação, redução ou

ampliação das atividades sugeridas, seleção

ou elaboração de novos problemas ou exer-

cícios, adequação das propostas ao ritmo de

cada turma.

Convém destacar ainda que as atividades

deste Caderno devem ser consideradas não

como mera lista de exercícios ou problemas cujo

objetivo é o simples uso de técnicas que devem

ser transformadas em rotinas automatizadas;

pelo contrário, as situações propostas têm por fi-

nalidade apresentar contextos para que as noções

estudadas tenham significado para o aluno. Mui-

tas dessas situações podem ser encaradas como

pontos de partida para o estudo de determinada

noção ou propriedade, o que não significa que o

professor não deva propor atividades de síntese

com a finalidade de organizar as conclusões e os

resultados encontrados.

Compõem o Caderno ainda algumas consi-

derações sobre a avaliação, bem como o conteú-

do considerado indispensável ao desenvolvimen-

to das competências enunciadas neste volume.

Sinteticamente, as 16 unidades que devem

ser desenvolvidas são apresentadas a seguir.

9

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Quadro geral de conteúdos do Volume 1 da 8a série/9o ano do Ensino Fundamental

Unidade 1 – Conjuntos e diagramas.

Unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas.

Unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos.

Unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal.

Unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.

Unidade 6 – Representações na reta real.

Unidade 7 – Construções na reta real.

Unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.

Unidade 9 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau.

Unidade 10 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.

Unidade 11 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.

Unidade 12 – Equação de 2o grau: relação entre coeficientes e raízes.

Unidade 13 – Equação de 2o grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara – equa-ções de 2o grau na resolução de problemas.

Unidade 14 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações.

Unidade 15 – Grandezas proporcionais: representações gráficas.

Unidade 16 – Gráficos que representam variação de grandezas não proporcionais.

10

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS E NÚMEROS

Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Euler); operações e relações entre conjuntos; classifi-cação dos conjuntos numéricos.

Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os con-juntos: interseção, união, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.

Sugestão de estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-

nos tiveram contato com diferentes conjuntos

de números: naturais, frações, decimais, negati-

vos etc. A 8a série/9o ano é o momento ideal para

se fazer uma síntese desses números, retomando

seus significados e organizando uma classifica-

ção. Antes de classificar os conjuntos numéricos,

sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto

e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada

à resolução de problemas e à representação por

diagramas, e menos à linguagem simbólica, que

será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.

A ideia de conjunto é uma das mais

importantes na Matemática. A chamada

“Matemática Moderna” pretendeu desenvol-

ver o ensino da Matemática por meio da teoria

dos conjuntos, o que acabou gerando exage-

rada valorização da linguagem simbólica em

detrimento da constituição do pensamento

matemático. Essa iniciativa tornou o ensino da

Matemática extremamente abstrato e distante

da realidade do aluno, fazendo que essa meto-

dologia viesse a ser gradativamente substituída

por outra, mais contextualizada e voltada para

a construção do significado.

Nesse sentido, o estudo dos conjuntos pas-

sou a ser menos centrado na linguagem for-

mal e mais voltado para o desenvolvimento do

pensamento lógico e a resolução de problemas.

Essa é a perspectiva que queremos desenvol-

ver nesta Situação de Aprendizagem.

11

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Problemas envolvendo conjuntos

1. Considere a seguinte situação:

uma atividade com duas ques-

tões foi aplicada em uma turma

de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20

alunos haviam acertado as duas questões, 35

acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.

a) Os dados do enunciado sugerem que

a soma das partes é maior que o todo:

20 + 35 + 25 = 80 > 40. Como podemos

explicar esse fato?

Isso ocorre porque as informações não são excludentes, ou

seja, os 20 alunos que acertaram as duas questões estão in-

cluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão.

Esse é um típico problema que envolve a

ideia de interseção de conjuntos. Apresente

o problema aos alunos e deixe que eles ten-

tem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos

podem questionar a plausibilidade das infor-

mações numéricas, uma vez que a soma das

partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior

que o todo (40). Como isso é possível?

A ideia é fazer que os alunos percebam que

as informações sobre os resultados obtidos não

são excludentes, isto é, possuem elementos em

comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a

primeira questão estão contemplados, também,

aqueles que acertaram a segunda questão. O mes-

mo raciocínio pode ser aplicado com relação ao

número de alunos que acertaram a segunda ques-

tão, ou seja, o problema adquire novo significado.

Vale chamar a atenção dos alunos para a

importância da interpretação do enunciado.

Dependendo de como forem escritas, algumas

informações podem ter certo grau de ambigui-

dade no seu significado. Afirmar que 35 alunos

acertaram a primeira questão é diferente de

afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a

primeira questão, o que faz toda a diferença, e

não é raro que alguns alunos optem por essa

última interpretação, acarretando a inconsis-

tência das partes serem maiores que o todo.

No caso dessa atividade, o fato de um aluno

poder acertar ambas as questões implica a exis-

tência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles

não são mutuamente exclusivos. Contudo, em

outras situações, a exclusividade dos conjuntos

é subentendida pelo próprio contexto. Por exem-

plo, em uma turma de 40 alunos com 25 homens

e 15 mulheres, não há necessidade de afirmar que

25 dos alunos são exclusivamente homens, pois

não há interseção entre os conjuntos.

b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20

acertaram as duas, quantos alunos acer-

taram apenas a 1a questão?

Acertaram a

1a questão = 35

Acertaram apenas

a 1a questão = 15

Acertaram a 1a e

a 2a questões = 20

35 – 20 = 15 alunos

Dessa forma, o contexto do problema de-

sempenha um papel central na interpretação

do enunciado, pois nem sempre essa distinção

é feita explicitamente. Sugerimos que o profes-

sor apresente aos alunos diferentes situações

para que eles identifiquem se os conjuntos são

mutuamente exclusivos ou não.

12

Voltando à atividade inicial, os alunos po-

dem concluir que, entre os 35 que acertaram

a primeira questão, existem aqueles que acer-

taram somente a primeira questão e aqueles

que acertaram as duas. Como essa informa-

ção foi fornecida pelo problema, conclui-se

que 15 alunos acertaram somente a primeira

questão.

c) E apenas a 2a questão?

Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que

acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença

entre 25 e 20, ou seja, 5.

Acertaram a

2a questão = 25

Acertaram apenas a

2a questão = 5

Acertaram a 1a e a 2a

questões = 20

d) Qual é o percentual de alunos que

acertaram apenas uma questão nesta

atividade?

Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:

percentual de alunos que acertaram apenas a primeira

questão: 15

40 = 0,375 ou 37,5%.

percentual de alunos que acertaram apenas a segunda

questão: 5

40 = 0,125 ou 12,5%.

Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma

questão foi de 50%.

Problemas que envolvem relações entre

conjuntos podem ser resolvidos por meio

de diagramas. Para os alunos da 8a série/

9o ano, os diagramas permitem uma visuali-

zação e organização dos dados que podem

ajudar a resolver problemas mais comple-

xos. Assim, sugerimos que o professor apre-

sente esse tipo de representação aos alunos

e seu significado.

Conjuntos e diagramas

Os diagramas podem ser usados para

representar os conjuntos e suas rela-

ções. Atribui-se ao famoso matemático

suíço Leonhard Euler a ideia de usar

diagramas para representar relações ló-

gicas. O diagrama de Euler nada mais é

do que uma região delimitada do pla-

no, simbolizada por uma figura curva

fechada, que representa um conjunto.

Um conjunto é formado por elementos

que possuem determinada propriedade.

Vejamos um exemplo:

O conjunto das aves inclui animais

que possuem determinadas característi-

cas. Uma delas é o fato de possuir asas. O

beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou

seja, são animais que possuem asas. O ca-

valo, por sua vez, não pertence ao conjun-

to das aves, pois não possui asas. O diagra-

ma a seguir representa essa situação:

Beija-flor

Ave

Águia

TucanoCavalo

13

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

2. Com base no texto apresen-

tado na seção Leitura e análise

de texto, represente, por meio

de diagramas, as seguintes situações:

a) Conjunto: Paulistanos

Elementos: André, Luiz e Renata nasce-

ram na cidade de São Paulo. Júlio nas-

ceu em Ribeirão Preto.

André

Paulistanos

Renata

LuizJúlio

b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental

Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estu-

dam na 7a série/8o ano do Ensino Funda-

mental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do

Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo

e Antônio estudam na 2a série do Ensi-

no Médio.

Patrícia

Alunos do Ensino Fundamental

Lucas

RenatoMartaReinaldoAntônio

Rafael

c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos

Elementos: João, Helena Marcus e Alberto

são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem

pelo São Paulo. André e Tomás não tor-

cem para nenhum time.

TomásJoão

Alberto

Marcus

Helena

Alice

Laís

DiegoAndré

corintianos são-paulino

Relações entre conjuntos

Todos os conjuntos exemplificados até este

momento são representados em uma região

delimitada por meio de uma curva fechada,

representando determinado conjunto.

A figura a seguir mostra de forma gené-

rica um conjunto A, constituído de todos os

elementos que possuem determinada pro-

priedade a.

A

x y

Nesse caso, o elemento x possui a proprie-

dade a e, portanto, pertence ao conjunto A. Já

o elemento y, que está fora do diagrama, não

possui a propriedade a e, portanto, não perten-

ce a A.

14

A relação espacial entre as figuras (so-breposição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto A formado pelos elementos que têm a propriedade a e o con-junto B formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados:

1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um sub-conjunto de B. Dizemos que A está contido em B, ou seja, A B.

Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número par. O conjunto dos múltiplos de 10 forma um subconjunto do conjunto dos números pares.

Pares

Múltiplos de 10

2. Interseção: algum a é b. Se alguns ele-mentos do conjunto A também per-tencem ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultanea-mente, ou seja, A B.

Exemplo: os diagramas mostram que alguns elementos do conjunto dos números ímpares são primos, por exemplo, 3, 5, 7 etc. O 9 é ímpar, mas não é primo.

Ímpares Primos

3. União: a ou b. O conjunto da reunião

entre A e B contém todos os elementos

de A e de B, ou seja, A B.

Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e

dos múltiplos de 3. A interseção são os ele-

mentos do conjunto dos múltiplos de 6.

M(2) M(3)

Na união de M(2) e M(3), temos ele-

mentos comuns, que são os múltiplos de

6 – M(6) – e, consequentemente, contem-

plam a indicação apresentada no diagrama.

4. Diferença: algum a não é b. Os ele-

mentos da diferença entre os conjun-

tos A e B são aqueles que pertencem a

A e não pertencem a B, ou seja, A – B.

Exemplo: a figura representa os números

pares que não são primos. Trata-se da dife-

rença entre os conjuntos. Pares – Primos =

= {0, 4, 6, 8, 10, ...}.

Pares Primos

Aqui na intersecção há apenas um nú-

mero par e primo: 2.

M(2) M(3) = M(6)

15

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

5. Complementar: caso particular da

diferença entre dois conjuntos, quan-

do um deles é subconjunto do outro.

Contém os elementos de A que não

pertencem ao subconjunto B.

CAB = A – B

Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos

de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, o con-

junto complementar dos múltiplos de 10 em re-

lação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...

M(5)

M(10)

6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum

elemento de um conjunto A pertence

a outro conjunto B, então esses con-

juntos são mutuamente exclusivos. A

interseção entre os dois conjuntos é va-

zia, ou seja, A B = .

Exemplo: os conjuntos dos números pa-

res e dos números ímpares são mutuamente

exclusivos, pois não possuem elemento

em comum.

Pares Ímpares

Para representarmos as relações entre dois

ou mais conjuntos, podemos utilizar um nú-

mero maior de diagramas. Por exemplo:

Animais

MineraisMamíferos

Os diagramas anteriores mostram que o

conjunto dos mamíferos são um subconjunto

do conjunto dos animais e que nenhum ele-

mento do conjunto dos minerais pertence ao

conjunto dos animais. Observando os diagra-

mas, podemos chegar às seguintes conclusões:

todo mamífero pertence ao reino dos

animais.

nem todo animal é mamífero.

nenhum mineral é animal.

3. Assinale o item que melhor re-

presenta os diagramas a seguir:

a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3. I. M(3) – M(2)

II. M(3) M(2)

III. M(2) – M(3)

M(3)2

410

0

14

8

12 15

3

9

6M(2)

16

b) Conjuntos: retângulos e losangos.

I. Retângulos Losangos

II. Losangos Retângulos

III. Losangos Retângulos

Retângulos Losangos

c) Conjuntos: números pares e números

primos.

I. Pares – Primos

II. Pares Primos

III. Pares Primos

24

20

0

8

12

11

3

75

6Pares Primos

d) Conjuntos: números pares e múltiplos

de 10.

I. Pares – M(10)

II. Pares M(10)

III. M(10) Pares

2

4

08

12

2010

Pares

M(10)

e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.

I. C Polígonos RegularesPolígonos

II. Polígonos Polígonos Regulares

III. Polígonos Polígonos Regulares

Polígonos

Polígonos Regulares

Dizemos que um polígono é regular se todos

os lados e ângulos deste, sejam eles internos ou

externos, forem iguais. Além disso, ele também

deve poder ser inscrito em uma circunferência

f) Conjuntos: números pares e ímpares.

I. Pares – Ímpares

II. Pares Ímpares

III. Pares Ímpares

Ímpares2

4

100

8

1211

3

517

9

6Pares

4. Pinte os diagramas que represen-

tam as seguintes operações com

conjuntos:

a) A – B

A B

17

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

b) A B

A B

c) A B

A B

d) CB

A

A

B

Diagramas e lógica

Os diagramas de Euler passaram a ser am-

plamente utilizados para representar conjun-

tos em virtude de sua facilidade de compreen-

são visual. Contudo, ficaram mais conhecidos

como “Diagramas de Venn”, por causa da se-

melhança com o tipo de diagrama criado pelo

filósofo britânico John Venn. Os diagramas

também podem ser usados para representar

argumentações lógicas. Por exemplo:

todos os mineiros são brasileiros.

Pedro é mineiro.

logo, Pedro é brasileiro.

Brasileiros

MineirosPedro

e) A – (B C)

A B

C

f) A – (B C)

A B

C

g) CUA B

U

BA

18

Essa estrutura de argumentação lógi-

ca é denominada silogismo e é composta

por três proposições: duas premissas e

uma conclusão.

Professor, para que os alunos utilizem

diagramas na representação das argumenta-

ções lógicas, propomos a seguinte atividade.

5. Nas figuras seguintes, assinale

o diagrama que melhor repre-

senta os argumentos dados.

a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba

(C) são paranaenses (P).

João nasceu em Curitiba.

Logo, João é paranaense.

I.

C P

João

II.C

P

João

III.P

C

João

Apenas o diagrama III pode representar os argumentos

dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos

os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II repre-

senta o contrário da premissa I, pois indica que todos os

paranaenses são curitibanos.

b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.

Um quadrado é um quadrilátero.

Logo, nenhum quadrado possui cinco

lados.

I.

Quadriláteros

Cinco lados

Quadrado

II.

Quadrado

Quadrilátero Cinco lados

Quadrilátero Cinco lados

III.

Quadrado

Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tan-

to o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa.

19

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Uma atividade com duas questões foi apli-

cada em uma turma com 40 alunos. Os re-

sultados indicaram que 20 alunos haviam

acertado as duas questões, 35 acertaram a

1a questão (Conjunto A) e 25, a 2a questão

(Conjunto B).

a) Represente no diagrama a seguir o nú-

mero de alunos que acertaram as duas

questões.

A B

Do total da turma de 40 alunos, uma parte acertou as duas

questões. Assim, há interseção entre os conjuntos dos alu-

nos que acertaram a primeira questão (Conjunto A) e a

segunda (Conjunto B). Para completar o diagrama com as

informações numéricas do problema, podemos iniciar re-

gistrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o

número de alunos que acertaram as duas questões.

A B

20

b) Represente no diagrama a seguir o nú-

mero de alunos que acertaram apenas a

1a questão.

Em seguida, preenchemos as regiões que representam o

número de alunos que acertaram exclusivamente uma das

questões. O número de alunos que acertou apenas a primei-

ra questão é a diferença entre o número total de alunos (35)

que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas

questões (20), ou seja, 15.

c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.

Todos os tetraedros são pirâmides.

Logo, algumas pirâmides são poliedros

regulares.

Poliedros regulares

Tetraedros Pirâmides

Pirâmides

Tetraedros Poliedros regulares

Poliedros regulares

Pirâmides

Tetraedros

I.

II.

III.

O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O

diagrama I está errado, pois não é verdade que todas as pi-

râmides são poliedros regulares. O diagrama III também está

em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros

regulares são pirâmides.

Problemas, conjuntos e diagramas

6. Vamos retomar o problema inicial desta

Situação de Aprendizagem para resolvê-

-lo por meio de diagramas.

20

Sugerimos que o professor proponha mais

alguns problemas para os alunos, para que

eles se familiarizem com esse tipo de represen-

tação. A seguir, apresentamos um problema

envolvendo mais de dois subconjuntos.

7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para

verificar a audiência de três programas de tele-

visão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevis-

tadas e obtiveram-se os seguintes resultados:

370 famílias assistem ao programa A; 300,

ao programa B e 360, ao programa C. Des-

se total, 100 famílias assistem aos programas

A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos pro-

gramas A e C e 20 famílias assistem aos 3 pro-

gramas. Com base nesses dados, responda:

a) Famílias que assistem a três programas.

Representando as informações dadas no diagrama, obtemos

o seguinte:

Representação da interseção entre os três conjuntos: A B C.

A B

C

20

Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois:

A B, A C e B C.

b) Famílias que assistem a dois programas.

O problema informa que 100 famílias assistem aos programas

A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três

A – B

A B

2015

c) Represente no diagrama a seguir o nú-

mero de alunos que acertaram apenas a

2a questão.

Utilizando o mesmo raciocínio, o resultado corresponde

à diferença entre o total de alunos que acertou a segunda

questão (25) e os que acertaram as duas questões (20),

isto é, 5.

B – A

A B

2015 5

É importante discutir com os alunos que,

nesse caso, a soma dos elementos representa-

dos no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao to-

tal de alunos, 40, o que significa que nenhum

aluno errou as duas questões.

Com a leitura do diagrama preenchido, po-

demos obter as respostas do problema, bas-

tando calcular as porcentagens solicitadas,

como já havia sido feito no início desta Situa-

ção de Aprendizagem.

21

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

programas; portanto, o número de famílias que só assistem

aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.

O mesmo vale para as outras interseções.

A B

C

20

80

10 40

c) Famílias que assistem exclusivamente a

um programa.

Representação do número de pessoas que assistem exclusi-

vamente a cada um dos programas. No caso do programa A,

esse número será a diferença entre o total de pessoas que

assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A B,

A C e A B C.

A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260

O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra

a figura a seguir:

A B

C

20

80

10

260 160

290

40

d) Famílias que não assistem a nenhum

dos três programas.

Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a

soma das partes corresponde ao total de entrevistados.

Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860.

Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de

entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número

de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas, o

que pode ser representado como o conjunto complementar em

relação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama a seguir:

A B

C

T20

80

10

260 160

290340

40

8. Com base no diagrama apresentado na

atividade anterior, responda às seguintes

perguntas:

a) Quantas famílias assistem ao programa

A e não assistem ao programa C?

340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao pro-

grama C: 260 + 80 = 340.

A B

C

T20

80

10

260 160

290340

40

22

b) Quantas famílias assistem aos programas

B e C e não assistem ao programa A?

490 famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao

programa A.

A B

C

80

260 160

290

40

20

10

T340

c) Qual é o programa de maior fidelidade,

ou seja, aquele cujos espectadores so-

mente assistem a ele?

O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores,

contra 260 do A e 160 do B.

A B

C

T20

80

10

260 160

290340

40

9. Resolva o problema a seguir

usando diagramas.

Uma prova com três questões foi aplicada

em uma turma com 60 alunos. Os resultados

obtidos foram os seguintes: 36 alunos acer-

taram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25

acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que

18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16

acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram

a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acerta-

ram as três questões.

Represente na forma de diagrama os con-

juntos descritos anteriormente e responta às

questões seguintes:

U = 60

8

6

12 10

6

3

10

1a2a

3a

5

a) Quantos alunos erraram as três questões?

Apenas 5 alunos erraram as três questões.

b) Quantos alunos acertaram a 1a ou a

2a questão?

12 + 6 + 10 + 8 + 3 + 10 = 49. 49 alunos acertaram ou a 1ª ou

a 2ª questão.

c) Quantos alunos erraram a 3ª questão?

12 + 8 + 10 + 5 = 35. 35 alunos erraram a 3ª questão.

23

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Desafio!

(Coordenadoria de Admissão aos Cur-

sos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma

pesquisa de mercado sobre o consumo

de três marcas (A, B e C) de um determi-

nado produto apresentou os seguintes

resultados: A (48%); B (45%); C (50%);

A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%);

nenhuma das três, 5%.

(Dica: represente a porcentagem de en-

trevistados que consomem as três mar-

cas por x e construa o diagrama com as

informações dadas.)

U = 100%

18 – x

15 – x

15 + x 2 + x

10 + x

25 – x

x

A

B

C

5%

a) Qual é a porcentagem dos entrevista-

dos que consomem as três marcas?

Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, bas-

ta resolver a seguinte equação:

15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100.

Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados con-

somem as três marcas.

b) Qual é a porcentagem dos entrevista-

dos que consomem apenas uma das

três marcas?

U = 100%

8%

5%

25% 12%

20%

15%

10%

A

B

C

5%

Os entrevistados que consomem apenas uma das três

marcas são 25% + 12% + 20% = 57%.

Os conjuntos numéricos

Os números constituem um dos eixos

centrais da Matemática. Aparentemente, a

ideia de número pode parecer simples e na-

tural. Se pensarmos em termos de contagem

de objetos, os números chamados naturais

são suficientes para expressar resultados e

efetuar determinadas operações.

Contudo, ao longo da história, as trans-

formações socioculturais da humanidade

criaram diferentes necessidades de repre-

sentação, implicando a criação de outras

formas de representação numérica: frações,

decimais, números negativos, irracionais e

imaginários. Cada tipo de número criado

pelo homem ampliou não só a capacidade

de representação, mas também as possibili-

dades de solução para diferentes problemas.

Ao longo do Ensino Fundamental, os alu-

nos tiveram contato com muitas formas de

representação numérica. Com os números

24

naturais, puderam representar quantidades

inteiras, registrar contagens, ordenar objetos

e conjuntos, realizar operações etc. Os núme-

ros racionais aparecem em seguida, primeiro

na forma de fração e, depois, como número

decimal. As frações surgem para representar

quantidades não inteiras, o resultado de medi-

das, a relação entre a parte e o todo de deter-

minado objeto ou conjunto.

Os números negativos são estudados na

6a série/7o ano, contradizendo a ideia de que os

números só podem representar quantidades ou

medidas. Finalmente, na 8a série/9o ano surgem

os números irracionais, que representam as me-

didas de segmentos incomensuráveis, uma vez

que elas não podem ser representadas na forma

de uma fração entre dois inteiros.

Todo esse universo numérico pode ser or-

ganizado e sistematizado por meio de diagra-

mas que representem as relações de inclusão

e interseção entre os diferentes conjuntos.

Apresentaremos, a seguir, a classificação mais

usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de

vista das características de cada número e das

operações que podem ser realizadas dentro de

cada conjunto.

Conjuntos numéricos e operações: dos naturais aos racionais

No conjunto dos números naturais, sempre

podemos realizar as duas operações funda-

mentais: a adição e a multiplicação, ou seja,

quaisquer que sejam a e b pertencentes ao

conjunto dos naturais, o resultado de a + b

e de a b será também um natural. Dizemos,

então, que o conjunto dos naturais é fechado

para a adição e a multiplicação.

Contudo, o mesmo não ocorre em relação

às operações inversas. No domínio dos na-

turais, nem sempre é possível realizar a sub-

tração ou a divisão entre dois números. Por

exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 2 não é um

número natural. A subtração a – b só pode ser

realizada no conjunto dos números naturais se

a for maior ou igual a b.

A introdução dos números negativos per-

mitiu a ampliação do campo numérico para

incluir a operação de subtração sem restri-

ções. No conjunto dos números inteiros, além

da adição e multiplicação, qualquer subtração

realizada resulta em um número inteiro. Con-

tudo, no domínio dos inteiros, a divisão b a só pode resultar em um inteiro se a for um

fator de b.

Assim, de forma semelhante ao que acon-

teceu com a subtração, a criação dos números

fracionários, na forma b

a (a e b inteiros, com

a ≠ 0), removeu os obstáculos para a operação

de divisão, com exceção da divisão por zero.

Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos

números racionais, que é fechado para a adi-

ção, multiplicação, subtração e divisão.

Assim, a ampliação do campo numérico

dos naturais para os racionais possibilitou a

criação de um conjunto cujos resultados das

quatro operações aritméticas básicas podem

ser obtidos sem restrições.

25

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

d

1

1

d2 = 12 + 12

d2 = 2

Ora, se d for comensurável em relação ao

lado 1, então devem existir dois inteiros a e b,

tais que a

b = d. Logo,

a

b

2

= 2, ou seja, a2

b2 = 2.

Sendo assim, a2 = 2 . b2.

Decompondo o número a em fatores pri-

mos, tais fatores obviamente aparecerão aos

pares já que a2 = a a. O mesmo acontece

com o número b. Se a igualdade anterior

fosse verdadeira, teríamos a a = 2 b b,

ou seja, teríamos uma quantidade ímpar de fatores do lado direito, já que temos

2 b b, e uma quantidade par de fatores do

lado esquerdo da igualdade, a a. Sabemos

que isso não é possível, pois todo número in-

teiro diferente de 0 e de 1 possui uma única

decomposição em fatores primos.

Consequentemente, não existe nenhuma

fração a

b, com a e b inteiros que, elevada ao

quadrado, resulte em 2. Esse resultado, que

nada mais é do que 2 , não é um número

racional. Assim, retomando a perspectiva

da preservação das operações, o conjunto

dos números racionais não é fechado para

a radiciação.

Dos racionais aos irracionais

Como vimos, os números racionais per-mitem expressar o resultado de um proces-so de medida. Se compararmos a magnitude de dois segmentos a e b, podemos obter como resultado um número inteiro, se a for um fator de b, ou seja, b = r a. Caso con-trário, então poderemos dividir a unidade a em n segmentos iguais, cada um de com-

primento an

, de forma que ele caiba um

número inteiro m de vezes no segmento b.

Neste caso, teríamos que b = m

n a.

Quando for possível expressar a medida de

um segmento com base em outro por meio de

uma fração ou um número inteiro, dizemos que

os segmentos são comensuráveis. Em termos prá-

ticos, os números racionais podem expressar a

medida de quaisquer segmentos comensuráveis.

Em termos teóricos, contudo, a questão

deve ser ampliada. Nem toda medida pode

ser expressa na forma de uma razão entre nú-

meros inteiros. A descoberta da existência dos

segmentos incomensuráveis foi um dos fatos

mais surpreendentes da história da Matemá-

tica. Um dos exemplos mais conhecidos de

incomensurabilidade é a medida da diagonal

do quadrado em relação ao lado, que foi atri-

buída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.

Considerando um quadrado de lado uni-

tário, podemos obter a medida da diagonal

aplicando o Teorema de Pitágorasa:

a Professor, caso não tenha ainda apresentado o Teorema de Pitágoras aos seus alunos, este será um bom momento. Aproveite e chame a atenção deles para o fato de que a discussão detalhada do Teorema será feita adiante, em outra Situação de Aprendizagem.

26

A existência de segmentos incomensuráveis

implicou a criação de um conjunto complemen-

tar aos números racionais e que foi denomina-

do irracionais. Entre os números irracionais,

encontram-se as raízes não exatas, como 3 , 5 , 12, 55 etc., e números como Pi ( ) ou

Fi ( ), chamados transcendentais ou trans cen-

dentes (esse conceito será tratado na Situação

de Aprendizagem 3). De modo geral, todos os

irracionais possuem uma representação decimal

infinita e não periódica.

A reunião do conjunto dos números ra-

cionais com o conjunto dos irracionais deu

origem ao conjunto dos números reais. Os

números reais possuem uma propriedade im-

portante, que será amplamente utilizada da-

qui para a frente. Para cada número real, é

possível associar um único ponto de uma reta

numérica. Assim, a reta real constitui um mo-

delo para a representação de todos os núme-

ros reais, sejam eles racionais ou irracionais.

A representação de alguns irracionais será

apresentada nas Situações de Aprendizagem

a seguir.

É importante discutir com os alunos que,

diferentemente do conjunto dos racionais,

os irracionais não são fechados em relação

às operações de adição e multiplicação. Por

exemplo, embora 3 5 seja irracional,

o resultado de 3 3+ ( )– é zero, que é ra-

cional. Do mesmo modo, 3 3 9 3 ,

que também é racional. O conjunto dos ir-

racionais também não é fechado para sub-

tração e para divisão.

Representação dos conjuntos por meio de diagramas

Podemos representar os conjuntos nu-

méricos por meio de diagramas. Como vi-

mos anteriormente, os conjuntos numéricos

foram ampliados dos naturais aos racionais,

introduzindo novos tipos de números (fra-

ções, negativos) de modo a permitir a rea-

lização das quatro operações básicas sem

restrições. Essa ampliação pode ser repre-

sentada pelos seguintes diagramas:

Conjunto dos Naturais (IN)

Fechado para as operações de adição

e multiplicação.

0, 1, 2, 3, ...

,

IN

Ampliação dos Naturais para os Inteiros ( )

Introdução dos negativos.

Fechado para adição, multiplicação

e subtração.

–1, –2, –3, ...

, , –

IN

Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)

Introdução das frações e dos não inteiros.

Fechado para adição, multiplicação,

subtração e divisão.

27

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

, , – ,

INQ

12

, – 34

,

A introdução dos números irracionais (Ir)

permitiu a ampliação do campo dos racionais

para os números reais (IR), representado pelo

diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os

irracionais são o conjunto complementar aos

racionais em relação aos reais.

IN

Q

IR

r

π

2

53

Com base neste diagrama, podemos escre-

ver as seguintes relações entre os conjuntos

numéricos:

IN Q IR IR = Q r

A seguir, propomos uma atividade para

aprofundar o conhecimento sobre as relações

entre os conjuntos numéricos:

10. Qual diagrama representa

melhor os subconjuntos dos nú-

meros reais? IN – Naturais /

– Inteiros / Q – Racionais / r – Irracionais.

a)

INr

QIR

b)

QIN

IRr

c)

Q

IN

IR

11. Na atividade anterior, destaque com lápis

de cor o conjunto dos números irracionais.

IN

IR

12. Classifique em verdadeira ou falsa as ex-

pressões matemáticas a seguir. Reescreva as

expressões falsas, tornando-as verdadeiras.

28

a) IN

Verdadeira. Os Naturais são um subconjunto dos Inteiros, pois

todo número natural também é inteiro.

b) IN = Q

Falsa. A reunião dos Naturais com os Inteiros é o próprio conjun-

to dos inteiros. =

c) IR – r = Q

Verdadeira. Os Racionais são o complementar dos Irracionais

em relação aos reais.

d) Q = Q

Falsa. A interseção entre Inteiros e Racionais é o próprio conjunto

dos inteiros. Q =

e) Q r = Q

Falsa. Não há interseção entre Racionais e Irracionais, pois são

conjuntos mutuamente exclusivos. Q r =

Considerações sobre a avaliação

Ao final desta Situação de Aprendizagem,

espera-se que os alunos conheçam as princi-

pais características associadas aos conjuntos

numéricos, desde os números naturais até os

reais e que saibam usar diagramas para repre-

sentar situações-problema envolvendo rela-

ções entre as partes e o todo de um conjunto.

Além disso, o aluno deve conhecer o signifi-

cado das principais relações entre conjuntos:

união, interseção, pertinência, inclusão e dife-

rença. Embora o foco na 8a série/9o ano não

seja a formalização da linguagem simbólica

matemática, o que será feito no Ensino Mé-

dio, o aluno deve conhecer o significado dos

principais símbolos ligados às operações entre

conjuntos: , , .

Além das atividades propostas nesta Situa-

ção de Aprendizagem, o professor poderá suge-

rir problemas e exercícios complementares que

estão presentes na maioria dos livros didáticos.

Em relação aos problemas envolvendo conjun-

tos, é importante orientar os alunos em relação

a alguns aspectos, tais como:

ambiguidade no enunciado;

organização das informações;

registro das operações;

representação por meio de diagramas.

Tais aspectos devem ser considerados pelo

professor nas atividades de avaliação.

Em relação aos conjuntos numéricos, desta-

camos dois aspectos importantes. O primeiro é

a ampliação dos conjuntos numéricos dos natu-

rais aos racionais com base nas quatro operações

básicas. E o segundo é a passagem dos racionais

para os irracionais, compondo o conjunto dos

números reais. Esses dois aspectos devem ser bem

trabalhados, pois constituirão uma base para o

prosseguimento dos estudos no Ensino Médio,

principalmente no que se refere às funções.

29

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números racionais e irracionais.

Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; rela-cionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e aproximação na representação de números racionais.

Sugestão de estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e anali-sar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2

Números racionais e sua escrita decimal

Conforme vimos na Situação de Aprendiza-

gem 1 da 7a série/8o ano, a representação decimal

de um número racional ou é finita, como no caso

de 4

5 = 0,8, ou infinita e periódica, como no

caso de 7

6 = 1,1666... A seguir apresentare-

mos novos aspectos dessa questão com a reto-

mada da discussão da fração geratriz de uma

dízima periódica.

Recuperando o processo de determina-

ção da geratriz de uma dízima, sugerimos

que a discussão seja iniciada com o seguinte

problema:

1. Responda:

a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,79999…?

5

4

b) Qual é o decimal obtido quando dividi-

mos o numerador pelo denominador na

fração encontrada no item a?

0,8

De acordo com o processo descrito na

7a série/8o ano, escrevemos x = 0,7999... e ini-

ciamos a busca de duas igualdades equivalen-

tes a essa, e que tenham exatamente o mesmo

período, como veremos a seguir:

x = 0,7999... (I)

10x = 7,999... (II)

100x = 79,999... (III)

10 10

10 10

Observe que são necessárias duas multiplica-

ções por 10 para que se descubram duas igualdades

30

com o mesmo período, que são as igualdades indi-

cadas por (II) e (III). Dependendo do período da

dízima investigada, o processo pode exigir mais do

que duas multiplicações por 10; porém o processo

descrito é geral, uma vez que, por ele, sempre será

possível encontrar duas igualdades com números

de mesmo período.

O passo seguinte consiste em subtrairmos,

membro a membro, as igualdades de mesmo

período que, no caso do exemplo, são (II) e

(III). Tal subtração tem por objetivo encon-

trar uma igualdade equivalente em que apa-

reça um número inteiro no segundo membro.

Com base nela, basta agora encontrar o valor

de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .

A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica

0,7999… quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração: 4

5 .

Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, po-

demos afirmar que:

Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.

Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima perió-

dica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal,

pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre

frações ordinárias.

(III) – (II):

100x – 10x = 79,999... –7,999...

90x = 72

x = 72

90, ou seja, x =

4

5

Trabalhando com outros exemplos, o pro-

fessor poderá elaborar atividades em que os

alunos percebam que, pelo processo descrito,

todo decimal finito poderá ser convertido em

uma dízima periódica cujo período será ou

0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999... etc. Como

veremos a seguir, podemos representar qual-

quer número racional como soma de infinitas

frações decimais.

Professor, é importante deixar claro que,

se todo número racional pode ser escrito

como uma dízima periódica, sempre será

possível representar um racional como a soma

de infinitas frações. No caso dos racionais 4

5 e

7

6, essas somas seriam as seguintes:

31

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

4

5 = 0,8 = 0,7999... =

= 7

10 +

9

100 +

9

1 000 +

9

10 000 + ...

7

6 = 1,1666... =

= 1 + 1

10 +

6

100 +

6

1 000 +

6

10 000 + ...

Você deve ter em mente que a discussão feita

até o momento tem como objetivos:

retomar a discussão de fração geratriz

iniciada na 7a série/8o ano;

reformular definições à luz de maior ri-

gor e generalidade;

recuperar ideias relacionadas com

a estrutura do sistema decimal de

numeração.

2. Encontre frações que mostrem a equiva-

lência entre os seguintes números:

a) 2,5 e 2,4999…

2,5 = 10

25 =

2

5

x = 2,4999… (1)

10x = 24,999… (2)

100x = 249,999… (3)

Fazendo (3) – (2): x = 90

225 =

2

5

b) 1 e 0,999…

x = 0,999…(1)

10x = 9,999…(2)

Fazendo (2) – (1): x = 9

9 = 1

c) 0,32 e 0,31999…

0,32= 100

32 =

25

8

x = 031999… (1)

10x = 3,1999… (2)

100x = 31,999… (3)

1 000x = 319,999… (4)

Fazendo (4) – (3): x = 900

288 =

25

8

3. Analise atentamente os resultados obtidos na

atividade anterior e justifique a seguinte afir-

mação: “Todo número racional pode ser escri-

to como uma dízima periódica”.

Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é

possível escrevê-lo como uma dízima periódica com perío-

do formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais fini-

tos transformados em dízimas:

35,499… = 35,5 -726,999 = -727 0,0070999… = 0,0071

4. Se todo número racional pode ser escrito

como uma dízima periódica, será sempre pos-

sível representar um racional como uma soma

de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos

racionais 4

5 e 7

6, essas somas seriam:

4

5 = 0,8 = 0,7999... = 7

10 + 9

100 + 9

1 000 + 9

10 000 + ...

7

6 = 1,1666... = 1 + 1

10+ 6

100 + 6

1 000 + 6

10 000 + ...

Com base nessa mesma ideia, escreva as fra-

ções a seguir como a soma de infinitas frações:

a) 3

8

8

3 = 0,375 = 0,374999... = 10

3 + 7

100 + 4

1 000 + 9

10 000 + 9

100 000 + ...

b) 7

3

3

7 = 2,333... = 2 + 3

10 + 3

100 + 3

1 000 + ...

32

5. Encontre a fração geratriz de

2,3939… e mostre que ela é diferen-

te da fração geratriz de 2,4. (Suges-tão: encontre as frações geratrizes dos dois

decimais e, em seguida, transforme essas

frações em frações de mesmo denominador

para poder compará-las.)x = 2,3939 (1)

10x = 23,939 (2)

100x = 239,39 (3)

Fazendo (3) – (1): x = 237

99 = 79

33

Por outro lado, 2,4 = 24

10 = 12

5

mmc (5,33) = 165, então:

79

33 = 395

165 e 12

5 = 396

165 .

Logo, 2,3939 ≠ 2,4.

Considerações sobre a avaliação

Uma vez que o professor se decida por traba-

lhar com as frações contínuas no seu curso so-

bre números reais, recomendamos que aproveite

também a oportunidade para explorar o uso da

calculadora em sala de aula. Utilizar a calcula-

dora para calcular a representação decimal de

números racionais e para encontrar aproxima-

ções de raízes pode ser uma interessante porta

de entrada para a expansão do conhecimento

numérico de um aluno de 8a série/9o ano.

Deve-se observar que nas séries/anos an-

teriores já haviam aparecido representantes

numéricos de todos os conjuntos; porém, en-

tendemos que a 8a série/9o ano seja o ambiente

para organizar as informações numéricas, bem

como conceder novos contornos à discussão

feita sem grande aprofundamento sobre núme-

ros racionais e irracionais na 7a série/8o ano.

As avaliações sobre o tema tratado nesta

Situação de Aprendizagem podem ser feitas

por meio de listas de exercícios em que se peça

para o aluno determinar frações geratrizes.

Identificado um interesse sobre o assunto por

parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação

pode ser um trabalho de pesquisa em que os alu-

nos possam se aprofundar no assunto estudado.

Frações contínuas

Professor, caso considere adequado trabalhar

as frações contínuas com seus alunos, sugerimos

a abordagem e atividades apresentadas a seguir.

A fração 4

5 situa-se entre os inteiros 0 e 1.

Dessa forma, podemos escrever 4

5 como 0 +

1

x,

sendo que x > 1. Se 4

5 = 0 +

1

x, então x =

5

4, o

que nos permite escrever, portanto, 45

0154

= + ,

que chamaremos de igualdade (I). Pode-se

repetir o mesmo raciocínio para a fração 5

4.

Sabemos que 5

4 é um número entre 1 e 2 e que,

portanto, pode ser escrito como 1 + 1

y, com

y > 1. Se 5

4 = 1 +

1

y, então y = 4. Segue, por-

33

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

tanto, que 5

4 = 1 +

1

4 , que chamaremos de

igualdade (II). Substituindo (II) em (I) tere-

mos 45

01

114

= ++

, que será a igualdade (III).

Repetindo mais uma vez o mesmo processo

para a fração 1

4, teremos:

1

4 = 0 +

1

w , com

w > 1, o que implica dizer que w = 4, por-

tanto, 1

4 = 0 +

1

4. Note que esta última etapa

dos cálculos não implicou uma representação

diferente para a fração 1

4, o que, em última

análise, quer dizer que o processo está encer-

rado. Na prática isso sempre ocorrerá quando

x, y, w, ... for um número inteiro.

No caso do exemplo analisado, x = 5

4, o que

nos fez calcular y, que por sua vez é igual a

4 Z, encerrando assim o processo em

y. Decorre do processo realizado a se-

guinte igualdade, que chamamos “dese-

volvimento do 4

5 em fração contínua”:

45

01

114

= ++

Pode-se demonstrar que todo número ra-

cional pode ser escrito como fração contínua

por meio de um desenvolvimento finito, como

ocorreu no exemplo anterior.

Observe que o racional 7

6, cuja representa-

ção decimal era explicitamente uma dízima pe-

riódica, também pode ser escrito como fração

contínua por meio de um número finito de pas-

sos. O raciocínio será o mesmo utilizado para 4

5:

(I) 7

6 está entre 1 e 2, portanto,

7

6 = 1 +

1

x,

com x > 1

(II) De 7

6 = 1 +

1

x decorre que x = 6, ou

seja, 7

6 = 1 +

1

6

(III) Como x = 6 Z, o processo está en-

cerrado e a fração contínua do de-

senvolvimento de 7

6 é

7

6 = 1 +

1

6.

Atividade 1

Com relação ao número racional 16

7,

pergunta-se:

a) Utilizando o algoritmo da divisão para

16 ÷ 7, encontraremos um decimal fini-

to ou uma dízima periódica?

Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fa-

zer a conta 16 ÷ 7, irá encontrar como resultado 2,2857142.

Como não identificamos facilmente nessa divisão um perío-

do que se repete, é possível que o aluno responda que o

resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que

se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem 2

“As dízimas periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da

7a série/8o ano. Naquele momento, foi discutido que, ao

realizarmos a divisão entre numerador e denominador de

uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódi-

ca se ao menos um dos fatores do denominador da fração

for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador

da fração 16

7 apresenta fator primo 7, sabemos que a re-

34

presentação decimal decorrente da divisão será uma dízima

periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não

foram suficientes para a identificação do período, reco-

mendamos que o professor solicite que os alunos façam a

conta armada até que identifiquem com clareza o período

(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).

b) Escreva 16

7 como fração contínua.

(I) 16

7 está entre 2 e 3, portanto, 16

7 = 2 + 1

x , com x > 1.

(II) De 16

7 = 2 + 1

x decorre que x = 7

2 , ou

seja, 16

7 = 2 + 1

7

2

.

(III) 7

2 está entre 3 e 4, portanto, 7

2 = 3 + 1

y , com y > 1.

(IV) De 7

2 = 3 + 1

y decorre que y = 2, ou seja, 7

2 = 3 + 1

2 .

(V) Como y = 2 Z, o processo está encerrado e a fração

contínua procurada é

16

7 = 2 + 1

3 + 1

2

A seguir, mais um exercício para reforçar

a ideia do processo.

Atividade 2

Escreva 30

13 como fração contínua.

(I) 30

13 está entre 2 e 3, portanto, 30

13 = 2 + 1

x , com x > 1.

(II) De 30

13 = 2 + 1

x decorre que x =

13

4 , ou

seja, 30

13 = 2 + 1

13

4

.

(III) 13

4 está entre 3 e 4, portanto, 13

4 = 3 + 1

y , com y > 1.

(IV) De 13

4 = 3 + 1

y decorre que y = 4, ou seja, 13

4 = 3 + 1

4 .

(V) Como y = 4 Z, o processo está encerrado e a fração

contínua procurada é

30

13 = 2 + 1

3 + 1

4

.

Em resumo, alguns dos objetivos específi-

cos que o professor poderá levar em conside-

ração se decidir por abordar frações contínuas

para representar números racionais são:

as frações contínuas descrevem um processo

finito (por meio de frações) para a represen-

tação de todo e qualquer número racional.

Sem as frações contínuas, e restritas apenas

à representação decimal dos números racio-

nais, uma dízima periódica só poderá ser re-

presentada como a soma infinita de frações;

as frações contínuas são trabalhadas em

um contexto em que se faz necessária a

retomada de operações e representação

de frações, o que é positivo dentro da

ótica de currículo em espiral;

o estudo das frações contínuas abre

uma interessante perspectiva de inter-

pretação e análise dos números irracio-

nais, como veremos a seguir.

Frações contínuas e os números irracionais

Uma forma muito utilizada de se refe-

rir aos números irracionais é a de que são

os números cuja representação decimal é

infinita e não periódica depois da vírgu-

la. Nesse caso, ao observarmos no visor de

uma calculadora de oito dígitos o resultado

35

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

1,4142135 de 2 , sabemos, de antemão, que

o número indicado é apenas uma aproximação

de 2 , dado que 2 é um número irracional.

Se fosse possível ter uma calculadora que cal-

culasse 2 com infinitas casas, o fato de se

tratar de um número irracional nos dá garan-

tias de que não haverá formação de período

em sua parte decimal.

Se nos referirmos aos números irracio-

nais dessa maneira, após a discussão da re-

presentação dos racionais por frações contí-

nuas, surge quase naturalmente a pergunta:

Existe um processo para a representação

dos irracionais com frações contínuas? Ve-

remos a seguir que, além de existir tal pro-

cesso, surpreendentemente ele nos conduzi-

rá a um tipo de representação periódica e,

portanto, previsível.

A seguir, aplicaremos o mesmo processo

que foi utilizado para a obtenção de frações

contínuas de números racionais para o caso

do número irracional 2 .

I. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 11

= +x

,

com x > 1.

II. De 2 11

= +x

decorre que:

2 11

–x

x1

2 1–

x1

2 1–

2 1

2 1

x = +1 2

Temos, portanto, 2 11

1 2= +

+

III. 1 2 é um número entre 2 e 3,

portanto, 1 2 21

+ = +y

, y > 1.

IV. De 1 + 2 = 2 + 1

y decorre que

y = 1 + 2

e, portanto, temos:

1 2 21

1 2+ = +

+

V. Substituindo no resultado do passo II

o resultado obtido no passo ante-

rior teremos:

2 11

21

1 2

= ++

+

VI. Note que x = y = 1 2. Se fôssemos

continuar o processo, partiríamos de

y e encontraríamos w = +1 2. Na

sequência, partiríamos de w = +1 2

e encontraríamos z = +1 2, e assim

sucessivamente em um processo infi-

nito. Portanto, a fração contínua que

representa 2 será:

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

O processo descrito nos fornece uma su-

cessão de aproximações racionais para 2,

36

bastando para isso parar em algum ponto da

sequência infinita indicada na fração contí-

nua.

1a aproximação: 2 1≈

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

2a aproximação: 232

1 5≈ = ,

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

2 112

< , ou seja, 232

≈

3a aproximação: 275

1 4≈ = ,

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

2 11

212

275

≈ ++

, ,ou seja ≈

4a aproximação: 21712

1 4167,≈ ≈

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

2 11

21

212

21712

++

+

, ,ou seja≈ ≈

5a aproximação: 2 4129

1 4138,≈ ≈

2 11

21

21

21

21

21

= ++

++

++

...

2 11

2 1

2 1

2 12

24129

++

++

, ,ou seja≈ ≈

Pode-se demonstrar que as sucessivas apro-

ximações racionais obtidas de 2 por meio da

sua fração contínua formam uma sequência

convergente em que seus termos são, alterna-

damente, aproximações por falta e por excesso

de 2. A tabela a seguir resume esse conjunto

de informações:

37

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Aproximação de 2

Erro em relação ao

valor de 2

Tipo de aproximação

1a) 11

= 1 0,4142 Falta

2a) 32

= 1,5 0,0858 Excesso

3a) 75

= 1,4 0,0142 Falta

4a) 1712

1,4167 0,0024 Excesso

5a) 4129

1,4138 0,0004 Falta

O processo de determinação das frações con-

tínuas dos números racionais e do número ir-

racional 2 sinaliza para as seguintes evidências,

que podem ser matematicamente demonstradas:

1. Todo número racional pode ser repre-

sentado por uma fração contínua por

meio de um número finito de passos.

2. Todo número irracional do tipo n (com

n natural não quadrado perfeito) pode

ser representado, por um processo infi-

nito de passos, na forma de uma fração

contínua, cuja configuração é periódica.

3. Todo número real pode ser representa-

do por uma fração contínua.

O segundo resultado enunciado é curioso

porque, contrariamente às outras aproximações

de 2, que envolvem infinitas frações não pe-

riódicas, ao ser expressa por uma fração contí-

nua a representação da segunda aproximação

será periódica.

A título de curiosidade, apresentamos a se-

guir a representação com fração contínua de

dois importantes números irracionais, ou seja,

a razão áurea 1 52

e :

1 52

1

11

11

11

11

+=

++

++

...

e

π = 31

71

151

11

2921

11

11

11

21...

Atividade 3

Determine a fração contínua que represen-

ta o número 24.

I) 24 está entre 4 e 5, portanto,

24 = 4 + 1

x , com x > 1.

II) De 24 = 4 + 1

x decorre que:

24 – 4 = 1

x

x = 1

24 – 4

38

x = 1

24 – 4 24 + 4

24 + 4

x = 4 + 24

8

Temos, portanto, 24 = 4 + 1

4 + 24

8

III) 4 + 24

8

é um número entre 1 e 2, portanto,

4 + 24

8

= 1 + 1

y , y > 1.

IV) De 4 + 24

8

= 1 + 1

y , decorre que y = 4 + 24 e,

portanto, temos: 4 + 24

8

= 1 + 1

24 + 4

Substituindo o resultado do passo IV no resultado do passo

II, temos:

24 = 4 + 1

1 + 1

4 + 24

V) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos

4 + 24 = 8 + 1

w , com w > 1.

VI) De 4 + 24 = 8 + 1

w decorre que w = 4 + 24

8 . Como w

repetiu o valor de x, a partir de agora o processo começa a

se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contí-

nua que representa 24 será:

24 = 4 +

1 +

1

1

8 +1

1 +1

8 +1

1 +1

8 +1...

Finalizada esta breve apresentação sobre

o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez,

que o tratamento dado na ampliação desta

Situação de Aprendizagem aos números ra-

cionais e irracionais por meio de frações con-

tínuas consiste em uma alternativa à abor-

dagem tradicional conduzida por boa parte

dos programas curriculares e livros didáticos.

Deve ficar claro que a decisão sobre incorpo-

rar ou não essa abordagem (ou parte dela)

caberá ao professor.

Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real; Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.

Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com crité-rios preestabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar com base em proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.

Sugestão de estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos números na reta real.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL

39

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3

A reta real

O estudo da reta real na 8a série/9o ano tem

alguns objetivos muito bem definidos. Inicial-

mente, ele justifica-se pelo fato de que todo o

conhecimento numérico do aluno, estabeleci-

do ao longo das séries/anos anteriores e orga-

nizado na Situação de Aprendizagem 1 deste

Caderno, pode finalmente ser utilizado para

ampliar o significado do plano cartesiano. O

estudo dos gráficos, domínio importante no

contexto da Matemática, já vem sendo reali-

zado desde a 5a série/6o ano do Ensino Funda-

mental, porém sempre deixando de lado dis-

cussões relacionadas ao “preenchimento” do

plano. Por exemplo: na 6a série/7o ano quando

os pontos (1;1), (1;4) e (5;1) são apresenta-

dos como vértices de um triângulo retângulo

no plano cartesiano, apenas iniciamos uma

discussão que pode e deve ser retomada na

8a série/9o ano com mais rigor e precisão por

meio de discussão da reta real.

A retomada do tema em questão pode ser

feita com o seguinte problema:

Construa no plano cartesiano um triângu-

lo de vértices (1;1), (1;4) e (5;1). Em seguida,

indique alguns pontos ao longo do perímetro

desse triângulo em que ao menos uma de suas

coordenadas não seja inteira.

Fazendo a representação do triângulo no

plano, poderemos investigar a questão com

mais clareza:

0 x

A

B

C1

1 5

4

y

Os segmentos AB, AC e BC são formados

por infinitos pontos, contudo, na 6a série/7o ano

não se discutiam especificamente quais são as

coordenadas desses pontos. Se tal discussão fos-

se conduzida naquela ocasião, certamente pre-

encheríamos os segmentos apenas com pontos

de coordenadas racionais, já que os números ir-

racionais ainda não haviam sido apresentados.

O par ordenado 3

2; 1 seria um exemplo de

ponto pertencente ao segmento AC, com coor-

denada x não inteira, e o par 1; 7

3 um

exemplo de ponto pertencente ao segmento

AB, com coordenada y não inteira.

Se, por opção do professor, o mesmo pro-

blema fosse tratado na 7a série/8o ano, após a

apresentação de alguns números irracionais,

40

poderíamos “preencher” os mesmos segmen-

tos com pontos como 2 1;( ) , que pertencem

a AC, e 1 6;( ) , que pertence a AB. Após o

trabalho feito com o Teorema de Tales na

7a série/8o ano, também poderíamos encon-

trar pontos pertencentes a BC com ambas as

coordenadas não racionais. Por exemplo, de-

terminaremos a seguir a ordenada do ponto

6 ; y( ), pertencente ao segmento BC.

0 x

A

ED

B

C1

1 5

4

y

y

6

Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y

e ED 6 1– . Portanto:

BE

BA =

ED

AC

43

6 14

– –y

y19 3 6

4–

Q.

Assim, o ponto D tem as seguintes coordena-

das não racionais: 619 3 6

4;

– .

Retomando a discussão com os alunos sobre

o número , iniciada na 6a série/7o ano, é possível

indicar que outro exemplo de ponto pertencen-

te ao segmento AC, com abscissa não racional,

corresponderia ao par ordenado ( ; 1).

Essa discussão deve servir para que o pro-

fessor problematize a necessidade de amplia-

ção das ideias relacionadas aos eixos do plano

cartesiano que, a rigor, são eixos de números

reais, apesar de não ter sido definido dessa

maneira até a 7a série/8o ano. Poderíamos di-

zer que, na 6a série/7o ano, a reta numérica es-

tava preenchida apenas com os racionais, na

7a série/8o ano foram incluídos alguns números

irracionais (caso o professor tenha optado por

iniciar a discussão sobre irracionais nessa série/

ano), e na 8a série/9o ano ela será completamen-

te preenchida com os demais irracionais.

Antes da proposta de trabalho com a reta

real, falaremos brevemente sobre a divisão dos

números reais entre algébricos e transcenden-

tes. Embora esse assunto não seja abordado

no Ensino Fundamental; porém não encon-

tramos grandes obstáculos para que ele seja

abordado, especialmente se houver interesse

do professor em tratar o assunto sob o ponto

de vista da história da Matemática. Observe a

seguinte definição:

Um número real é algébrico quando ele é

solução de uma equação algé brica com coefi-

cientes inteiros.

Vejamos alguns exemplos de equações al-

gébricas com coeficientes inteiros, bem como

o respectivo grau da equação:

41

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Equação algébricaGrau da equação

Solução da equação

2x + 8 = 0 1 – 4

– 6x + 4 = 0 123

x2 = 3 2 3

x2 + x – 2 = 0 2 1 ou –2

x3 + x2 – 2x – 2 = 0 3 – 2 , 2 ou –1

Usando a definição de números algébricos

e a tabela, podemos dizer que os números – 4,

2

3, – 3 , 3 , 1, –2, – 2 , 2 e –1 são classifi-

cados como algébricos (veja a definição na pá-

gina 40).

Observações:

uma equação do tipo 2 1 0x – não

serviria para classificar o número 2

2como algébrico porque, apesar de a equa-

ção ser algébrica, ela não possui todos os

coeficientes inteiros (o coeficiente de x é

o número irracional 2 ). Para mostrar

que 2

2 é um número algébrico, teríamos

que apresentar, por exemplo, a equação

2x2 – 1 = 0;

equações do tipo x + 1

x + 1 + 2 = 0 e

x x+ + =2 2 0 não são algébricas. Equa-

ções algébricas são do tipo a0xn + a1x

n – 1 +

+ ... + an – 1x + an= 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ...,

an – 1, an, dado seus coeficientes (reais) e n,

o seu grau;

um mesmo número algébrico pode ser

identificado por mais de uma equação

algébrica com coeficientes inteiros, mas

basta apresentar uma única equação

para que ele seja classificado como algé-

brico. Alguns exemplos de equações que

permitem classificar o número 2 como

algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0,

x3 + x2 – 2x – 2 = 0 etc.

O primeiro motivo de estabelecermos essa classificação é o de justificar para o aluno a diferença entre números irracionais como 2 e o . Enquanto 2 é um número irracional algébrico, não há uma equação algébrica com coeficientes inteiros que tenha como solução o número , o que o caracteriza como irracional não algébrico (ou transcendente). Todo número racional é algébrico, mas nem todo nú mero irracio nal é algébrico.

Existem inúmeros exemplos de irracionais transcendentes, porém, até o final do Ensino Fundamental, o aluno terá contato com ape-nas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar matematicamente que são irracionais trans-cendentes números como e 2 2.

A reta real é o conjunto que reúne os números racionais e irracionais ou, em outras palavras, o conjunto que reúne os números algébricos e os números transcendentes. Por fim, afirmaremos que todo número racional é algébrico, nem todo número irracional é algébrico e que todo núme-ro transcendente é irracional.

42

Localização de números na reta real com o uso de régua e compasso

Os gregos antigos interessavam-se por cons-

truções geométricas feitas com o uso de dois

dos instrumentos geométricos mais simples

de todos: a régua sem escala e o compasso.

Outros instrumentos de construção também

eram utilizados na Antiguidade clássica,

porém, acredita-se que o problema de encon-

trar os procedimentos para as construções

geométricas com o uso de apenas esses dois

instrumentos estaria relacionado à busca de

simplicidade e elegância.

Iremos investigar a seguir alguns proce-

dimentos com régua sem escala e compasso

para localizar na reta real a maior quantidade

de números que for possível. Começaremos

nossa discussão apresentando um diagrama

com exemplos de números de cada conjunto

numérico e, em seguida, tentaremos localizar

na reta real (com os instrumentos permitidos)

alguns dos exemplos colocados no diagrama.

0,25

01

32

– 1

– 2

– 3

– 6

2,3666...

π

12

47

13

2

3

23

24

IR –

IN

Construção dos números naturais e dos inteiros negativos

1. Partindo de uma reta orde-

nada com uma marcação para

o zero, estabeleça uma unidade

de medida arbitrária (1u) e, com a ajuda do

compasso, marque alguns números natu-

rais e os inteiros negativos transferindo a

unidade para a reta real.

–3 –2 –1 0 1 2 3 IR

1u

Construção dos racionais não inteiros

Os procedimentos para localização dos

racionais na reta real podem variar muito e

é importante que o professor dê liberdade

para que os alunos pensem sobre suas estra-

tégias de localização antes que seja generali-

zado algum método-padrão. Sugerimos que

se comece com a localização de 1

2, passando

para 0,25 = 1

4, e depois para

1

3. Apresenta-

mos a seguir exemplos de procedimentos

que permitem a construção desses números.

2. Faça a construção do 1

2 na reta real.

(Sugestão: marque com o compasso o nú-

mero 1 e, em seguida, trace a mediatriz do

segmento que liga os números 0 e 1.)

© C

onex

ão E

dito

rial

–

43

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

0 1 IR1

4

1

2

Com as duas construções deve ficar cla-

ro para o aluno que podemos construir

com régua sem escala e compasso qual-

quer número da sequência 1

2, 1

4, 1

8, 1

16, ... .

4. Com base nas atividades anteriores, reflita

sobre como seria possível construir, com

régua sem escala e compasso, o número ra-

cional – 7

8 . Registre suas conclusões.

De forma geral, é simples a construção de qualquer núme-

ro racional cujo denominador seja uma potência de 2. Por

exemplo, se quisermos construir o racional – 7

8, basta traçar

a mediatriz do segmento de extremos em 0 e 1

4, o que

estabelecerá o racional 1

8. Como –

7

8 = (–1) 7

1

8,

com a ajuda do compasso, transferimos a medida 1

8 sete

vezes à esquerda do zero.

5. Siga as orientações seguintes e localize 1

3 na reta real. (Observação: embora seja

1. Marcamos com o compasso o número 1.

2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números

0 e 1.

3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o

número 1

2 .

IR0 1

3. Construa e localize, na reta real, com ré-

gua e compasso, o ponto correspondente

ao número 0,25 = 1

4.

1. Traçamos 1

2 (conforme já foi descrito).

2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números

0 e 1

2 .

3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é

o número 1

4.

44

um pouco trabalhoso, o procedimento de

construção é vantajoso porque constitui

um método geral para a representação de

qualquer racional do tipo 1

q, com q *).

É interessante notar que muitos alunos

tentam localizar 1

3 na reta real repetindo o

procedimento da mediatriz, o que torna o

problema muito complexo. Recomendamos

que o professor permita que os alunos discu-

tam em pequenos grupos o problema da loca-

lização de 1

3 na reta real. É provável que apa-

reçam soluções criativas e diferentes entre os

grupos. Apresentamos a seguir uma solução

do problema que tem a vantagem de se cons-

tituir num método geral para a representação

de qualquer racional do tipo 1

q, com q *.

Construção do 1

3 :

I. Marque D e E nos pontos correspon-

dentes aos números reais 0 e 1 da reta.

II. Trace uma reta qualquer (diferente da

reta real) passando por D, que chama-

remos de reta t.

III. Na reta t, com a ajuda do compasso,

marque três segmentos de mesmo com-

primento a partir do ponto D (na figura

são os segmentos DA, AB e BC). O com-

primento desses segmentos não precisa

ser igual à unidade de medida 1u.

IV. Ligue C com E formando o triân gulo

DCE.

Até essa etapa, sua construção dever ser

semelhante a:

0

D

A

B

C

1

E

t

IR

Note que, se for possível traçar, com régua e

compasso, retas paralelas à reta que passa por E

e C de forma que elas passem pelos pontos B e A,

segundo o Teorema de Tales, a interseção dessas

retas com a reta real ocorrerá nos números 1

3 e

2

3.

Para traçar a paralela s à reta EC, siga estes

passos:

I. A partir de um ponto P de EC, abra o

compasso até B e trace uma semicircun-

ferência de diâmetro XZ .

II. Transfira com o compasso o segmento

XB na semicircunferência para a posi-

ção indicada na figura por ZQ (XB e

ZQ são congruentes).

III. Ligue os pontos B e Q para determinar

a reta s, que será paralela à EC.

IV. Observe que a interseção de s com a reta

real ocorrerá em 2

3. Para traçar

1

3, basta

transferir com o compasso o segmento

de extremos em 2

3 e em 1 para a esquerda

de 2

3 (note que o segmento reproduzi-

do tem medida igual a 1

3 u).

45

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Agora, verifique se a sua construção cor-

responde à figura a seguir:

13

0

D

Q

Z

X

st

PA

B

C

1

E

23

IR

Caso constate alguma diferença entre a sua

construção e a imagem apresentada, tente rever

as etapas indicadas para identificar possíveis

problemas.

O procedimento descrito anteriormente

permite a generalização da construção com

régua sem escala e compasso de qualquer ra-

cional 1

q, com q * e, consequentemente, de

qualquer fração p

q, com p e q *.

6. Construa e localize, na reta real, com

régua e compasso, o ponto correspon-

dente ao número 0,8333... = 5

6 .

0

s t

156

IR

s // t

Localização de números irracionais na reta real com o uso de régua e compasso

7. Uma vez que já conhecemos

um procedimento para localizar

todos os racionais na reta real

com régua e compasso, o próximo passo é in-

vestigar a localização dos números irracio-

nais, por exemplo, a construção de 2

pode ser feita da seguinte forma:

a) Trace uma perpendicular à reta real

passando pelo zero.

b) Marque 1u na reta traçada (P) e tam-

bém na reta real (Q).

c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem me-

dida 2u (pelo Teorema de Pitágoras).

d) Transfira com o compasso o segmento

de extremos P e Q para a reta real e de-

termine 2u sobre ela.

Verifique se sua construção corresponde à

figura a seguir:

2

0 1

1 P

Q

2 IR

Observe que, se utilizarmos um triângulo re-

tângulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será 3 u, o que indica que também é possível cons-

truir 3, ou seja, repetindo esse processo, pode-

-se construir qualquer número irracional do tipo n , com n natural e não quadrado perfeito.

46

interesse e motivação por parte dos alunos

na representação das raízes do tipo np , com

p ≠ 1, sendo uma potência de 2, o professor

já poderá dar início à discussão sobre seme-

lhança de triângulos.

8. Construa 24 com base na propriedade do

triângulo retângulo apresentada a seguir:

B C

A

a

n m

hbc

h2 = m n

a) Analisando a relação anterior, qual será

o valor de h se n = 1 e m = 2?

Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2, teremos h = 2 .

b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?

Se aplicarmos o resultado para n = 1 e m = 2 , obteremos

h = 24 .

c) Qual seria o valor de h se n = 1 e

m = 24 ?

Fazendo agora n = 1 e m = 24 = , encontraremos h = 28 .

d) Repetindo esse procedimento, quais raí-

zes podem ser obtidas?

2n , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1).

Resta investigar qual deve ser o procedi-

mento, com régua e compasso, para a cons-

trução de n. Ilustraremos tal procedimento

para h = 24 .

Frequentemente, os livros de Matemática

apresentam a seguinte construção associada

a uma espiral.

2

17

16

15

1413

12 1110

9

8

7

6

543

11

1

1 1

1

1

1

1

1

111

...

O procedimento descrito generaliza a cons-

trução das raízes quadradas, mas nada revela

sobre a questão das raízes com índices dife-

rentes de 2. A seguir descreveremos um proce-

dimento geral para a construção com régua e

compasso das raízes do tipo np , sendo n na-

tural não quadrado perfeito, e p uma potência

de 2 diferente de 1, ou seja, o método permiti-

rá construir, por exemplo, 2 , 24 , 28 , 216 , ...

Vale lembrar que o método que apresen-

taremos será demonstrado por semelhança

de triângulos, que é um dos temas do vo-

lume 2 da 8a série/9o ano. Caso o professor

opte por discuti-lo neste momento do cur-

so, deverá ter trabalhado antes as relações

métricas no triângulo retângulo. Havendo

47

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Acompanhe os procedimentos ne-

cessários para a construção de 24 ,

com régua sem escala e compasso.

1. Trace com régua e compasso os nú-

meros reais 1 e 1 2.

2. Trace a mediatriz t do segmento de

extremos em 0 e 1 2 para determi-

nar M, ponto médio desse segmento.

2

1 20

1

1 M

t

IR

3. Trace uma semicircunferência de cen-

tro M e raio 1 2

2.

2

1 20

1

1 M

t

IR

4. Trace uma perpendicular à reta real

passando pelo número 1 e, em segui-

da, marque com o ponto P sua inter-

seção com a semicircunferência.

t

2

1 20

1

1 M

P

IR

5. Observe que o segmento de extre-

mos em P e no número 1 tem com-

primento 24 , porque é a altura de

um triângulo retângulo de projeções

ortogonais dos catetos sobre a base

medindo 1 e 2 .

1

h

2

h2 1 2= ⋅

h 24

Este ângulo é reto porque é um ângulo inscrito de um ângulo central de 180°.

O procedimento descrito permite que se

construa qualquer raiz do tipo np , dado

que p é uma potência de 2 diferente de 1, ou

seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.

M 2

48

Os únicos números reais possíveis de ser construídos com régua sem escala e compas-so são os números algébricos de grau 1, 2, 4, 8, 16, ...

Os números algébricos de grau 1 são os

números racionais, e os demais são as raízes

do tipo np , em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ...,

e n natural. Segundo essa evidência, que está

matematicamente demonstrada, números ir-

racionais algébricos como 23 , e números

transcendentes como , não são possíveis de

serem construídos com régua sem escala e

compasso. Tal fato não significa que esses nú-

meros não estejam na reta real.

Tal discussão tem relevância histórica uma vez

que está relacionada a dois antigos problemas clás-

sicos investigados pelos gregos antigos: a da dupli-

cação do cubo e a da quadratura da circunferência.

Acompanhe os problemas a seguir:

A duplicação do cubo: construir com ré-

gua sem escala e compasso a medida x

do lado de um cubo que tenha o dobro do vo-

lume de um cubo de lado 1.

1

x

x

x1

1

V = 1 V' = 2VV' = x3

9. Construa e localize, na reta real,

com régua e compasso, o número 5.

(Use o procedimento da espiral.)

5

3

2

1 1

1

1 1

2

10. Com base no que foi apresentado na seção

Leitura e análise de texto, construa 54 ,

com régua sem escala e compasso. (Use as

relações métricas no triângulo retângulo.)

0 1 1 + 5IR

54

Refletiremos a seguir sobre a construção

com régua e compasso dos demais números

irracionais, como 23 e .

Apesar de não ser objetivo do curso da 8a série/

9o ano, o professor pode discutir com os alunos

a seguinte evidência matemática:

49

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Se V' = 2, então x3 = 2V. Sendo V = 1, então

x3 = 2 e x = 23 . Portanto, o problema se resu-

me na busca de um método para a construção

de 23 com régua e compasso.

A quadratura da circunferência: construir

com régua sem escala e compasso um qua-

drado cuja área seja igual à de um círculo

dado ou, de modo equivalente, construir um

círculo de área igual à de um quadrado dado.

r

A = π r2 x2 = π r2

x

x

Dado um círculo de raio 1, o valor procu-

rado de x é π .

Tanto o problema da duplicação do cubo

como o da quadratura da circunferência não po-

dem ser resolvidos. No primeiro, 23 é um nú-

mero algébrico de grau 3 e, como tal, não se pode

construí-lo com régua e compasso. O segundo,

por sua vez, não é possível de ser construí-

do porque é transcendente. Note que avaliar

a construtibilidade de π se resume a avaliar a

construtibilidade de porque π correspon-

deria à altura h de um triângulo retângulo de

projeções ortogonais dos catetos n = 1 e m = .

Encerrada a discussão desta Situação de

Aprendizagem, vale lembrar que o tema tratado

permite que se retome o estudo do desenho geo-

métrico e que se faça uma aproximação entre os

eixos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria.

Sabemos que a discussão conduzida não é usual-

mente feita no Ensino Fundamental, porém não

existem obstáculos reais para que o assunto seja

tratado, a não ser por uma opção do profes-

sor. Esperamos, contudo, que esta Situação de

Aprendizagem contribua para que se agregue co-

nhecimento aos tópicos similares que constam do

seu planejamento anual da disciplina.

Considerações sobre a avaliação

Nesta Situação de Aprendizagem

não apresentamos sugestões de exercícios

porque toda a discussão feita pode com fa-

cilidade ser transformada em atividades

para o aluno. Por exemplo: uma vez que o

professor tenha mostrado a construção de 1

2,

a construção de 1

4,

1

8,

1

16, ...

pode se transformar

em exercício. Da mesma forma, por meio da

construção de 1

3, a construção de outros

números racionais pode passar a ser um

exercício de sala de aula ou uma atividade

de avaliação. Para os irracionais, se o pro-

fessor optar por trabalhar apenas com as

raí zes quadradas, o exemplo de 2 deve

ser suficiente para que o aluno possa tra-

balhar com qualquer raiz do tipo n , com

n natural e não quadrado perfeito. No caso

das demais raízes, o exemplo de 24 deve

permitir que os alunos resolvam exercícios

com 28 , 216 , 232 , ...

O professor também deve ter clareza de que é

desejável que os alunos possam trabalhar, de pre-

ferência em pequenos grupos, na busca de proces-

sos geométricos que permitam a construção dos

50

Conteúdos e temas: potências de 10; operações com potências; notação científica; ordem de grandeza.

Competências e habilidades: conhecer as propriedades operatórias das potências; escrever um número em notação científica; determinar a ordem de grandeza de um número; resolver pro-blemas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos.

Sugestão de estratégias: revisar as propriedades de operações com potências; resolução de atividades e exercícios.

números solicitados. Uma atividade interessante

que o professor pode propor é a de determinar

procedimentos diferentes de construção com ré-

gua e compasso de um mesmo número.

No que diz respeito à avaliação, o professor

pode explorar a construção geométrica dos nú-

meros, bem como ideias relacionadas à classifi-

cação de números em conjuntos, uma vez que é

possível fazê-la de acordo com novos critérios:

números construíveis (e não construtíveis) com

régua e compasso; números algébricos; e núme-

ros transcendentes.

Uma vez que o tema explorado nesta

Situação de Aprendizagem mantém forte

vínculo com importantes tópicos da histó-

ria antiga da Matemática, o professor pode

solicitar também que os alunos façam uma

pesquisa sobre os problemas clássicos de

construção. Caso se opte por essa forma

de avaliação, sugerimos que a pesquisa não

se restrinja apenas aos aspectos históricos,

mas que se faça também Matemática com

ela, principalmente no que diz respeito às

construções geométricas com régua, com-

passo e outros instrumentos. Por exemplo: o

professor pode pedir que os alunos investi-

guem o problema da trisseção de um ângulo

ou o problema da construção do pentágono

regular, que estão diretamente relacionados

com a discussão de números reais.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E

ORDEM DE GRANDEZA

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4

O objetivo principal desta Situação de Apren-

dizagem é o aprofundamento da notação numé-

rica na forma de potências. Na 7a série/8o ano,

já havíamos problematizado o uso das potên-

cias de 10 para representar números muito

grandes ou muito pequenos. Se o professor

achar necessário, poderá fazer uma revisão so-

bre as principais propriedades das operações

com potências.

51

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Nesta Situação de Aprendizagem, vamos

formalizar o conceito de notação científica

e apresentar a noção de ordem de grande-

za. Esses dois conceitos são fundamentais,

não só para a continuidade dos estudos em

Matemática, mas também para as Ciências:

Física, Biologia e Química.

O micro, o macro e as potências de 10

O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de 10 é que

ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito

pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sempre são inteligíveis. Por

exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 0,000000005 cm; uma célula

é formada por cerca de 2 000 000 000 000 átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar tais

informações. Escrevendo os mesmos números como potências de 10, é possível ter uma ideia da

ordem de grandeza deles:

raio do átomo de hidrogênio: 5 10–9 cm;

número de átomos em uma célula: 2 1012.

Um número pode ser escrito como uma potência de 10 de diferentes formas. Para isso,

basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de 10:

1 500 1 = 150 10 = 15 100 = 1,5 1 000 = 0,15 10 000 = ...

Em notação de potência de 10, os mesmos números seriam escritos assim:

1 500 100 = 150 101 = 15 102 = 1,5 103 = 0,15 104 = ...

Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como o produto de uma potência de 10.

Professor, vale lembrar que as potências

de 10 ajudam na compreensão e na compa-

ração de números muito grandes ou muito

pequenos. Contudo, nossa percepção numé-

rica dificilmente consegue dar sentido a esses

números extremos, uma vez que não estamos

acostumados a lidar com tais valores em nos-

so cotidiano. Para se ter uma ideia dessas

magnitudes, pergunte aos alunos quanto tem-

po alguém levaria para contar até um milhão,

na velocidade de um número por segundo.

Muito provavelmente, as estimativas mais ou-

sadas devem se situar perto de algumas horas.

Na realidade, seriam necessários 12 dias para

se contar até um milhão, e cerca de “32 anos”

para um bilhão.

52

Para desenvolver esse conceito, trabalhe com

os alunos a atividade 2 desta Situação de Apren-

dizagem, na qual eles terão de preencher uma

tabela a partir do exemplo dado.

Outro artifício para a comparação e a com-

preensão dos números relativos a algumas medi-

das é a utilização dos prefixos do Sistema Inter-

nacional. Professor, esse assunto será trabalhado

posteriormente, na seção Pesquisa individual.

Escrevendo um número em notação científica

Um número qualquer pode ser escrito em

notação científica se for transformado em um

produto de um número compreendido entre

um e dez (incluindo o 1) por uma potência de

10 de expoente inteiro.

Exemplos:

7 = 7 100

100 = 1 102

1 500 = 1,5 1 000 = 1,5 103

62 300 = 6,23 10 000 = 6,23 104

0,02 = 2 1

100 = 2 10–2

0,00058 = 5,8 1

10 000 = 5,8 10–4

Uma maneira prática de escrever a notação

científica é a seguinte:

Para números maiores que dez:

Conta-se o número de casas que a vírgula

deve “deslocar-se” para a esquerda até encon-

trar a casa da unidade. Esse número será o ex-

poente da potência de 10.

Exemplo:

1 50 000 000 = 1,5 108

8 casas

Note que a vírgula “desloca-se” 8 casas decimais para a esquerda. Portanto, 8 é o expoente da base 10.

Para números menores que 1:

Conta-se o número de casas que a vírgula

deve “deslocar-se” para a direita até encontrar

a casa da unidade. Este número será o expoen-

te negativo da potência de 10.

Exemplo:

0,00081 = 8,1 10–4

4 casas

A vírgula “deslocar-se” 4 casas decimais

para a direita, e –4 é expoente de 10.

O significado da regra prática

É importante comentar com os alunos que,

na verdade, não é a vírgula que se desloca,

mas o algarismo. Quando multiplicamos um

53

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

número por um múltiplo de dez, altera-se o

valor posicional de todos os seus algarismos

para um valor superior, ou seja, à esquerda.

Como a vírgula fica em uma posição fixa, se-

parando a unidade dos décimos, tudo se passa

como ela se deslocasse para a direita. Se mul-

tiplicarmos 2,5 por 10, as duas unidades vi-

ram dezenas, e os cinco décimos viram cinco

unidades, resultando em 25.

Da mesma forma, quando dividimos um nú-

mero por um múltiplo de 10, os algarismos se des-

locam para um valor posicional menor, à direita.

Se dividirmos 25 por 100, as duas dezenas

viram dois décimos, e as cinco unidades, cinco

centésimos, resultando em 0,25. Novamente,

tudo se passa como se a vírgula se deslocasse

para a esquerda.

A seguir, propomos algumas atividades

para a consolidação dos procedimentos de es-

crita na forma de potências de 10 e em notação

científica.

1. Escreva de quatro modos di-

ferentes os números a seguir

como potências de 10.

a) 250 = 25 · 10 = 2,5 · 100 = 0,25 · 1 000 = 2 500 . 0,1

b) 0,004 = 4 · 0,001 = 0,4 · 0,01 = 0,04 · 0,1 = 0,0004 · 10

c) 4,73 = 47,3 · 0,1 = 0,473 · 10 = 473 · 0,01 = 0,0473 · 100

d) 0,125 = 125 · 10–3 = 12,5 · 10–2 = 1,25 · 10–1 = 0,0125 · 101

e) 25 300 = 2 530 · 101 = 253 · 102 = 25,3 · 103 = 253 000 · 10–1

2. Percepção numérica: números muito gran-

des ou muito pequenos costumam fugir à

nossa intuição. Como intuir a magnitude

de um milhão ou de um trilhão? E a mag-

nitude de um bilionésimo? Nesta atividade,

você vai verificar se sua intuição numérica

é capaz de avaliar a magnitude de alguns

números. Para isso, suponha que você te-

nha de estimar o tempo necessário para

contar até determinado número, um núme-

ro por segundo. Por exemplo, para contar

até 100, são necessários 100 segundos, isto

é, 1 minuto e 40 segundos.

Preencha a tabela com base nas instruções

a seguir:

I. observe os números por extenso, apre-sentados na primeira coluna;

II. seguindo o exemplo da segunda colu-na, insira os numerais de acordo com a primeira coluna;

III. na terceira coluna, indique o numeral na forma de potência de 10;

IV. na última coluna, efetue os cálculos necessários para determinar o tempo de contagem, usando uma unidade de medida apropriada (minuto, hora, mês, ano ou século).

54

Nome Número Potência de 10 Tempo de contagem

Um 1 100 1 segundo

Mil 1 000 103 17 minutos

Milhão 1 000 000 106 12 dias

Bilhão 1 000 000 000 109 32 anos

Trilhão 1 000 000 000 000 1012 32 mil anos

Quatrilhão 1 000 000 000 000 000 1015 32 milhões de anos

Quintilhão 1 000 000 000 000 000 000 1018 32 bilhões de anos

Prefixos do Sistema Internacional de Medidas

Os prefixos são usados para facilitar a

medição de algumas grandezas, princi-

palmente nas ciências. Alguns desses pre-

fixos são bem conhecidos, como o quilo

(1 000), que é usado para expressar distân-

cias (quilômetro = 1 000 metros), massa

(quilograma = 1 000 gramas) ou, até mes-

mo, unidades de informação (quilobyte =

= 1 000 bytes). Outros prefixos são menos

conhecidos, como os exemplos a seguir:

um elétron tem 1 femtômetro de exten-

são.

a luz amarela tem comprimento de

onda de 0,5 micrômetro.

uma montanha pode pesar cerca de

100 petagramas.

as informações digitais criadas, cap-

turadas e replicadas no mundo em

2007 equivaleram a 281 exabytes.

Faça uma pesquisa e descubra quais

são os outros prefixos do Sistema Interna-

cional. Preencha a tabela a seguir com o

nome dos prefixos e símbolos correspon-

dentes aos valores em potências de 10.

Prefixo Símbolo Potência de 10atto a 10–18

femto f 10–15

pico p 10–12

nano n 10–9

micro μ 10–6

mili m 10–3

centi c 10–2

Prefixo Símbolo Potência de 10deci d 10–1

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

exa E 1018

55

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

3. Escreva os números a seguir por

extenso e em notação científica:

Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos),

3,5 10–2

a) 7 300 000 000

Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 109.

b) 2 980 000 000 000 000 000

Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou

2,98 1018.

c) 0,25

Vinte e cinco centésimos ou 2,5 10 –1.

d) 0,0004

Quatro décimos de milésimos ou 4 10 –4 .

e) 0,0000125

Cento e vinte e cinco decimilionésimos: 1,25 10 –5.

4. Transforme os dados numéricos em nota-

ção científica.

a) A população da China é aproximada-

mente igual a 1,3 bilhão de habitantes.

1,3 109.

b) A Bacia Amazônica é formada pelo

Rio Amazonas e seus afluentes, e ocu-

pa uma área de 7 045 000 km2, dos quais

4 750 000 km2 estão em território brasileiro.

7,045 106 km2 e 4,75 106 km2.

c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km/s.

3 105 km/s.

d) A espessura da folha de papel é de apro-

ximadamente 0,0001 m.

10 –4 m.

Operações com potências de 10

Uma das vantagens de expressarmos um nú-

mero na forma de potências de 10 é que as opera-

ções se tornam mais simples. É um bom momen-

to para retomar com os alunos as propriedades

das operações com potências de mesma base:

na multiplicação basta fazer a soma dos

expoentes. 103 108 = 103 + 8 = 1011;

na divisão, efetua-se a subtração dos ex-

poentes. 108 105 = 108 – 5 = 103;

potência de uma potência resulta na multi-plicação dos expoentes. (103)2 = 103 2 = 106;

potências com expoentes racionais: o

denominador do expoente é o índice da

raiz. 325

325 .

Seguem alguns exemplos envolvendo tais

propriedades:

0,0021 30 000 000 =

= (2,1 10–3) (3 107) =

= (2,1 3) (10–3 107) = 6,3 104

350 000 0,02 = (3,5 105) (2 10–2) =

= (3,5 2) (105 10–2) = 1,75 107

(0,005)3 = (5 10–3)3 = 125 10–9 = 1,25 ·

· 102 · 10–9 = 1,25 10–7

250 000 = 2 5 105, ∙ =

= 25 104∙ = 25 104 = 5 1042∙ = 5 102

56

d) 7,54 107 – 3,2 106 =

75,4 106 – 3,2 106 = 72,2 106 = 7,22 107.

7. Escreva as distâncias indicadas

na tabela em notação científica:

PlanetaDistância média

até o Sol (em km)Notação científica

Mercúrio 57 900 000 5,79 107

Vênus 108 200 000 1,082 108

Terra 149 600 000 1,496 108

Marte 227 900 000 2,279 108

Júpiter 778 300 000 7,783 108

Saturno 1 427 000 000 1,427 109

Urano 2 870 000 000 2,87 109

Netuno 4 497 000 000 4,497 109

8. Com base na tabela anterior, considere o se-

guinte problema: em determinado momento,

Sol, Terra e Saturno formam um triângulo re-

tângulo, com o ângulo reto na Terra. Qual é

a distância entre Saturno e a Terra? (Faça um

desenho para representar a situação descrita.)

Podemos resolver esse problema por meio do Teorema de

Pitágoras.

D2Sol-Sat = D2

Sol-Terra + D2Terra-Sat

(1,4 . 109)2 = (1,4 . 108)2 + D2Terra-Sat

Ainda no caso da adição e subtração, pode-

-se recorrer à fatoração, transformando as par-

celas em potências de 10 com mesmo expoente.

a) 6,5 103 + 5,4 103 = (6,5 + 5,4) . 103 =

= 11,9 103 = 1,19 104

b) 4,6 105 – 2,5 103 = 460 103 – 2,5 103 =

= (460 – 2,5) 103 = 457,5 103 =

= 4,575 105

(Observação: Os procedimentos aqui apre-

sentados poderão ser trabalhados de forma

minuciosa de acordo com a preferência do

professor.)

5. Efetue as seguintes opera-

ções usando as propriedades

da potenciação. Dê as respos-

tas em notação científica.

a) 1 200 500 000 = 1,2 103 5 105 = 6 108.

b) 0,00015 0,002 = 1,5 10–4 2 10–3 = 3 10–7.

c) 450 000 ÷ 0,009 = 4,5 105 ÷ 9 10–3 = 0,5 108 = 5 107.

d) (0,0004)4 = (4 10–4)4 = 256 10–16 = 2,56 10–14

6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta

em notação científica.

a) 2,5 105 + 7 103 =

103 (2,5 102 + 7) = 103 (257) = 2,57 105 ou 250 · 103 + 7 · 103 =

= 103 (250 + 7) = 257 · 103 = 2,57 · 105.

b) 2,5 107 – 500 104 =

2,5 107 – 0,5 107 = 2 107.

c) 1,28 108 + 4 105 =

1 280 105 + 4 105 = 1 284 105 = 1,284 108.

57

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Ordem de grandeza

Em muitas situações, quando se trabalha com medidas muito grandes ou muito pequenas,

não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número.

Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de determinado valor. Tal

potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida.

Exemplos:

a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km.

Esse número pode ser escrito como 7,785472 108 km. Como 7 está mais próximo

de 10 do que de 1, é possível arredondá-lo para 10, resultando no produto 10 108.

Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.

b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5, pois escrevendo o número em notação

científica, 3,1 10–5, nota-se que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, arre-

dondando o número para baixo, o resultado será 1 10–5.

Conhecendo a ordem de grandeza de diversas medidas, pode-se facilmente distinguir qual é

a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retomando a tabela

da atividade 7, que informa as distâncias médias dos planetas em relação ao Sol, constata-se que

a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância de Júpiter-Sol é da ordem de

109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproximadamente, dez vezes mais distante

do Sol que a Terra.

9. Dê a ordem de grandeza das

seguintes medidas:

a) População mundial: aproximadamente

6,9 bilhões em 2011.

1010

b) Massa da Terra: 5,9742 1024 kg

1025 kg

c) Massa de um elétron: 9,11 10–28 g

10–27 g

d) Altitude do Everest: 8 848 m

104 m

e) Idade estimada do Universo: 13,7 bilhões

de anos.

1010 anos.

D2Terra-Sat = 1,96 . 1018 – 1,96 . 1016

D2Terra-Sat = 196 . 1016 – 1,96 . 1016

D2Terra-Sat = 194,04 . 1016

D Terra-Sat = 194,04 . 1016 13,9 . 108 = 1,39 . 109

A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente

1 390 000 000 km.

58

Considerações sobre a avaliação

Ao final desta Situação de Aprendizagem,

a expectativa é a de que os alunos tenham

consolidado seus conhecimentos sobre po-

tências e suas operações. Além disso, eles de-

vem saber escrever um número qualquer em

notação científica e realizar operações com

ela. O conhecimento sobre as proprieda-

des das operações com potências também é

fundamental. Outro conceito importante que

deve ser considerado nas avaliações é o de or-

dem de grandeza.

A avaliação do aprendizado dos alunos

deve ser feita continuamente, tanto ao longo

das atividades propostas como ao final de

um ciclo ou bimestre. As atividades propos-

tas nesta Situação de Aprendizagem consti-

tuem exemplos de exercícios que podem ser

utilizados para compor a avaliação, a partir

das expectativas listadas no parágrafo ante-

rior. Além disso, os livros didáticos contêm

uma série de outros exercícios e problemas

que podem complementar o trabalho do

professor na elaboração de fichas de exercí-

cios e provas.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES

DE 2o GRAU

Conteúdos e temas: alguns métodos particulares para resolver equações de 2o grau; solução geral de uma equação de 2o grau; desenvolvimento da fórmula de Bhaskara; discussão da solução: número de raízes; relação entre coeficientes e raízes de uma equação.

Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situa-ções e problemas geométricos; expressar situações envolvendo equações de 2o grau na forma algébrica; resolução de equações de 2o grau por diferentes métodos (cálculo mental, fatora-ção e aplicação da fórmula de Bhaskara); utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área e o perímetro de uma figura plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalização e organização de dados a partir de certa propriedade.

Sugestão de estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos; enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.

59

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5

Para a introdução desse tema são sugeridos,

inicialmente, problemas e outros tipos de equa-

ções que podem ser “traduzidos” por meio de

equações de 2o grau, a fim de discutir alguns

modos possíveis de resolvê-las. Antes de in-

troduzir qualquer técnica para a resolução de

uma equação de 2o grau, é importante que os

alunos utilizem seus conhecimentos já construí-

dos para encontrar as raízes de equações ou so-

lucionar o problema em questão. Como alguns

problemas poderão ficar em aberto, este é o

momento propício para iniciar o trabalho com

as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se

a discussão de diversos procedimentos e mé-

todos para resolver equações de 2o grau, antes

do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara.

Para o começo deste trabalho, é conveniente

a proposição de equações do tipo ax2 + c = 0,

com a ≠ 0, uma vez que, para obter suas raízes,

podem ser aplicados os procedimentos utiliza-

dos na resolução de equações de 1o grau e co-

nhecimentos sobre potências de números.

A combinação de elementos algébricos e

geo métricos também é explorada dando sequên-

cia às interpretações dos produtos notáveis tra-

balhados na 7a série/8o ano.

Posteriormente, o professor pode discutir

a seguinte evidência: se o produto de dois nú-

meros reais é zero, necessariamente um desses

números é zero, ou seja: se a b = 0, então

a = 0, ou b = 0 a, b IR. Dessa forma,

os alunos poderão resolver equações do tipo

a(x – x1) (x – x2) = 0 e ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 .

As atividades a seguir sugerem uma sequên-

cia para o desenvolvimento desse trabalho.

1. Os participantes de um festi-

val de música decidiram que, ao

final do evento, fariam uma fes-

ta de encerramento. Nessa festa, cada parti-

cipante daria uma flor de presente a cada

colega que participou do evento. Quantas

flores serão distribuídas se o total de partici-

pantes for igual 5? E se for igual a 6?

E igual a 7?

Se o número de participantes for 5, cada um dará 4 flores

(menos para si mesmo), o que significa um total de 5 4 = 20

flores; utilizando o mesmo raciocínio, com 6 participantes,

o total de flores será 6 5 = 30 flores; e com 7 participantes,

7 6 = 42 flores.

2. Complete a tabela a seguir:

Número de participantes

Número de flores que cada um vai receber

Total de flores

3 2 3 2 = 6

4 3 4 3 = 12

5 4 5 4 = 20

6 5 6 5 = 30

11 10 11 10 = 110

x x – 1 x (x –1)

y + 1 y (y + 1) y

3. Se o total de flores distribuídas na festa for

930, qual será o número de participantes?

a) 29 b) 30 c) 31 d) outro

Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experi-

mentar os valores dados nas alternativas, calculando: 29 28 =

= 812; 30 29 = 870; 31 30 = 930. Logo, a alternativa correta é a c.

60

4. Para responder à questão anterior, um alu-

no de 8a série/9o ano, aplicando seus conhe-

cimentos algébricos, fez a seguinte reflexão:

Escreveu a expressão algé-brica relativa ao problema

x(x – 1) = 930

Aplicou a propriedade distributiva

x2 – x = 930

Deixou todos os termos no primeiro membro da equação, igualando-a

a zero

x2 – x – 930 = 0

Para resolver essa equação, o aluno subs-

tituiu a incógnita x pelos valores das alterna-

tivas e, assim, descobriu a resposta correta.

Use o mesmo procedimento e, em seguida,

compare o resultado com a sua resposta para

a atividade 3.

Substituindo os valores das alternativas na última forma da

equação:

x = 29

292 – 29 – 930 = 0

841 – 29 – 930 = –118 ≠ 0

x = 30

302 – 30 – 930 = 0

900 – 30 – 930 = – 60 ≠ 0

x = 31

312 – 31 – 930 = 0

961 – 31 – 930 = 0

E se as alternativas não tivessem sido dadas,

como você resolveria esse problema?

Nesse caso, os alunos podem levantar uma série de hipó-

teses, por exemplo, a atribuição de vários valores positivos

para x em uma tabela. Embora essa equação possua duas

soluções, uma positiva, 31, e uma negativa, –30, o valor ne-

gativo não faz sentido no problema, sendo, portanto, igno-

rado nos termos da tabela. Mesmo assim, é uma oportuni-

dade para que você inicie uma discussão sobre a análise do

conjunto universo da equação.

A combinação entre a linguagem geométri-

ca e algébrica vem sendo explorada em vários

temas ao longo dos Cadernos. Particularmente

nos volumes 1 e 2 da 7a série/8o ano, ela permi-

tiu a construção de significados nos produtos

notáveis e nos processos de fatoração. O uso

dessa abordagem no trabalho com equações de

2o grau, além de resgatar, do ponto de vista his-

tórico, como os matemáticos resolviam equa-

ções, permite estabelecer novas relações que

envolvem aspectos geométricos e algébricos.

Nas atividades a seguir, propõe-se essa

combinação para abordar vários contextos

em que aparecem equações de 2o grau, passí-

veis de ser resolvidas por conhecimentos que

os alunos já tenham construído por meio da

resolução de equações de 1o grau, processos

de fatoração e propriedades de potências.

5. Traduza as seguintes situações por meio de

uma equação. Em seguida, resolva cada equa-

ção e encontre a resposta para os problemas.

(Dica: desenhe as figuras e represente os la-

dos desconhecidos por uma letra.)

a) A área de um quadrado de lado x é

igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado

desse quadrado?

Indicando a medida do lado do quadrado por x teremos:

61

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Representação geométricaExpressão

algébrica

x

xA = 49 cm2 x2 = 49

A solução dessa equação é bastante simples: basta pensar

qual número elevado ao quadrado resulta em 49, isto é, 7. O

professor pode ressaltar o fato de que 72 = 49 como (– 7)2 =

= 49, ou seja, embora o valor negativo satisfaça a equação,

tratando-se da medida do lado de um quadrado, ele não deve

constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.

b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e

seu lado maior é o dobro do menor. Qual é

a medida do lado maior desse retângulo?

Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:

Representação geométricaExpressão

algébrica

2y

y

2y y = 242

2y2 = 242

Se 2y2= 242, então y2 = 121. Da mesma forma que na atividade

anterior, podemos admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que

(11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da medida do lado de

um retângulo, a equação só permite como solução o valor

de y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 11 = 22 cm.

c) A área de um triângulo retângulo isós-

celes é 18 cm2. Determine as medidas de

seus catetos e de sua hipotenusa.

Professor, neste momento é importante deixar claro aos alu-

nos a definição de um triângulo retângulo isósceles. Indican-

do a medida do cateto por a, teremos:

Representação

geométricaExpressão algébrica

a

a

A = 1

2 base altura

A = 1

2 cateto cateto

A = a a

2 =

a2

2 = 18

Como a2

2 = 18, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo,

os valores 6 e –6 satisfazem a equação, mas somente 6 é so-

lução da equação, pois a medida do lado de um triângulo

deve ser positiva.

Para encontrar a medida da hipotenusa, podemos aplicar o

Teorema de Pitágoras: h2 = 62 + 62; ou seja, h = 6 2 .

Portanto, a resposta dessa atividade será: catetos de medida 6

cm e hipotenusa de medida 6 2 cm. Mais uma vez, despreza-

mos a soluçãonegativa.

d) A área do retângulo representado pela

figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule

seu perímetro.

x+8

x

A área do retângulo será dada pela expressão: x(x + 8) = 65

Essa situação não permite aplicar o mesmo processo quando

a sentença é igualada a zero, pois são infinitos pares de nú-

meros cujo produto é 65. Contudo, podem-se aplicar proce-

dimentos de cálculo mental ou criar uma tabela como esta:

x 1 2 3 4 5

x + 8 9 10 11 12 13

x(x+8) 9 20 33 48 65

62

Assim, chega-se à solução x = 5. Portanto, o perímetro do re-

tângulo, indicado por P = 4x + 16, é 36 cm.

O professor pode propor o desenvolvimento dessa expres-

são, de modo a igualá-la a zero, devendo, para isso, aplicar

a propriedade distributiva e o princípio aditivo: x (x + 8) = 65

x2 + 8x = 65; logo: x2 + 8x – 65 = 0.

Dessa forma, a equação x(x + 8) = 65 é equivalente à equação

x2 + 8x – 65 = 0, o que significa que elas possuem as mesmas

soluções.

Vale observar, contudo, que, nesse formato, o recurso do cál-

culo mental é mais difícil de ser aplicado.

e) Um canteiro na forma de um quadrado

foi reduzido de modo a ser contornado

por uma calçada com 2 m de largura,

conforme a figura a seguir. Com isso, sua

área passou a ser de 144 m2. Qual era a

medida da área original desse canteiro?

2 m

144 m2

Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com

a redução de 2 m o lado do quadrado interno medirá (x – 4)m:

x – 4

x

144 m22 2

Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 =

= 144. A solução dessa equação pode ser encontrada por

meio de cálculo mental. Perceba que 144 é o quadrado do

número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16 cm.

Logo, a medida da área original do canteiro era 256 m2.

Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a

144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação.

Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do qua-

drado, a resposta a esse problema será 16 cm.

Por meio de tais situações, que podem com-

plementar outras atividades que o professor já

tenha selecionado para o tratamento desse as-

sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal

das equações de 2o grau. Para isso, sugerimos

que os alunos comparem as equações cons-

truídas e apontem as semelhanças e diferenças

entre elas. Convém que todas estejam na mes-

ma forma, a fim de que o segundo membro da

equação seja igual a zero:

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0

c) a2 = 36 a2 – 36 = 0

d) x(x+8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0

e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0

Quanto às semelhanças, pode-se registrar

o seguinte:

diferentemente das equações de 1o grau,

essas equações possuem um termo cuja

incógnita está elevada ao expoente 2.

Também é possível que algumas das dife-

renças apontadas sejam:

63

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

algumas equações não têm o termo de

grau 1 (x, y, a,...) e outras têm;

apenas os problemas d e e apresentam

uma equação de 2o grau com três termos

no primeiro membro.

Explore essas observações para introduzir

as seguintes noções: forma reduzida da equa-

ção de 2o grau; equação de 2o grau completa;

equação de 2o grau incompleta; coeficientes

e raízes da equação. Ou seja, o momento é

oportuno para apresentar a ideia de equação

de 2o grau de maneira mais formal; por exem-

plo, chama-se equação de 2o grau na incógnita

x toda equação que pode ser escrita na forma:

ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números

reais e a ≠ 0. A consideração de que a ≠ 0 deve

ser satisfeita, pois, caso contrário, a equação

será de 1o grau.

Os exercícios exemplares têm a finalidade

de levar o aluno a perceber que é possível re-

correr aos seus conhecimentos anteriores para

iniciar uma estratégia de resolução de situa-

ções que envolvam equações de 2o grau. Ao

mesmo tempo, a intenção seria provocar uma

“desestabilização”, para que o aluno, em al-

gum momento, perceba a necessidade de um

novo conhecimento que permita encontrar as

respostas procuradas. A fim de estimular as

conjecturas geradas pelos problemas, sugere-

-se a proposta de situações-problema que pos-

sam ser representadas por meio de equações

de 2o grau, cujo desenvolvimento esteja ao al-

cance dos alunos, pela utilização de técnicas já

trabalhadas em séries/anos anteriores. Assim,

o objetivo desta Situação de Aprendizagem é

aplicar técnicas algébricas já aprendidas e de-

senvolver novas abordagens que permitam a

investigação de fatos que podem ser generali-

zados a outras equações.

Um fato interessante é a possibilidade de

resolver outros tipos de equações, como expo-

nenciais, biquadradas ou de outros graus, que,

embora não se apresentem como equações de

2o grau, podem ser transformadas em equa-

ções por procedimentos algébricos. Assim,

equações como + 4 = 9x ou 2x2 = 16, ou, ainda,

x3 – 9x = 0 podem ser tratadas já nesta Situa-

ção de Aprendizagem, possibilitando aplicar

o conhecimento dos alunos em outros tipos de

equações. Cabe lembrar que será muito impor-

tante a atenção do professor para verificar esses

conhecimentos e mobilizá-los na resolução de

equações de 2o grau, o que justifica a atividade

a seguir.

6. Escreva as equações elaboradas

na atividade 5 da seção Você apren-

deu? na tabela a seguir. Depois,

faça as operações algébricas necessárias de

tal modo que o segundo membro da equa-

ção seja igual a zero.

Quais são as principais semelhanças e dife-

renças que podem ser observadas entre as

cinco equações obtidas?

Todas as equações possuem um termo no qual a incógni-

ta está elevada à segunda potência. Além disso, apenas os

problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com

três termos.

64

Item Equação utilizada

Equação transformada

a) x2 = 49 x2 – 49 = 0

b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0

c) a2 = 36 a2 – 36 = 0

d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0

e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0

7. Resolva as equações a seguir

e depois verifique se os valores

encontrados as satisfazem.

a) + 4 = 9x c) x3 – 9x = 0

b) 2x2 = 16 d) x4 – 16 = 0

a) b) 2x2 = 16

Isolar a raizEscrever as potências na mesma

base e comparar os expoentes

x = 9 – 4

x = 5

( x )2 = (5)2

x = 25

2x2 = 24

x2 = 4

x = ± 4

x = ± 2

25 – 2 ou 2

c) x3 – 9x = 0 d) x4 – 16 = 0

Colocar o x em

evidência

Produto notável: produto da

soma pela diferença

x(x2 – 9) = 0

x = 0

ou

x2 – 9 = 0

x = ± 9 = ±3

(x2)2 –(4)2 = 0

(x2 + 4) (x2 – 4) = 0

x2 + 4 = 0 x2 = –4

Não tem solução real ou

x2 – 4 = 0 x2 = 4

x = ± 4 = ±2

0, –3 ou 3 –2 ou 2

+ 4 = 9x

Embora tenhamos exposto uma reso-

lução formal para essas atividades, é pos-

sível que os alunos apresentem estratégias

diferentes incluindo o cálculo mental ou a

substituição por tentativa de valores. Nesse

momento, é importante valorizar as hipóte-

ses de resolução, pois elas representam en-

volvimento com o tema. Esse espaço de hi-

póteses é aquele que garante, muitas vezes,

a atenção do aluno a um procedimento de

cálculo mais formalizado, que será proposto

posteriormente.

Os procedimentos aplicados nesta fase

inicial do trabalho com equações de 2o grau

apontam para aspectos que permitirão a cria-

ção de um método geral de resolução de qual-

quer equação desse tipo.

Entre essas técnicas aprendidas, destaca-

mos os processos de fatoração apresentados

na 7a série/8o ano, particularmente a diferença

entre o quadrado de dois números, que é igual

ao produto da soma pela diferença entre esses

dois números, isto é, a2 – b2 = (a + b) (a – b),

pois se refere a um tipo simples de equação de

2o grau incompleta.

Dessa forma, equações do tipo x2 = 16 po-

dem ser retomadas e resolvidas por meio dos

seguintes passos:

x2 = 16, então, x2 – 16 = 0 logo, x2 – 42 = 0.

Assim, (x + 4) (x – 4) = 0 xx+ 4 = 0

– 4 = 0

do que se conclui que x

x

= – 4

= 4

65

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Esse procedimento, além de confirmar

o cálculo mental (levantando a questão

sobre quais são os números que elevados

ao quadrado resultam em 16), permite que

sintetizemos o processo de resolução ob-

servando que o valor de x é igual a mais

ou menos o valor da raiz quadrada de 16:

x x x2 =16    = ± 16   = ± 4 .

Com essa discussão, o sinal ± deve ser en-

tendido como uma síntese de fatos presentes

na combinação da fatoração:

a2 – b2 = (a + b) (a – b) com a ideia de que se

a b = 0, então a = 0 ou b = 0.

Assim, equações incompletas do tipo:

ax2 + c = 0 podem ser resolvidas com base na

análise do que temos discutido:

o domínio dos princípios multiplicativo

e aditivo da igualdade;

a noção de radiciação.

Desse modo, concluímos que equações

incompletas do tipo: ax2 + c = 0 possuem as

raízes: xca

= ± – .

Sugerimos que os alunos voltem aos

problemas anteriores para obter as raízes

das equações que traduzem as situações

dos problemas. É importante lembrar aos

alunos que a solução negativa de alguns

dos problemas (b, c, d) deve ser despreza-

da, pois, nesse caso, o universo deve ser o

conjunto dos números reais positivos, uma

vez que não faz sentido utilizar um número

negativo ou o zero para indicar a medida do

lado de uma figura.

É importante, agora, que os alunos apliquem

as conclusões aprendidas, pois elas servirão de

modelos para o tratamento das equações de

2o grau dadas em outras formas.

8. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:

a) x2 = 9

–3 ou 3

b) 4x2 – 36 = 0

–3 ou +3

c) 3x2 = 27

–3 ou +3

d) x2 – 4 = 12

–4 ou +4

e) 4x2 – 25 = 05

2 ou –

5

2

f) 52

 = 25

2x

2

5 ou –

2

5

g) x2 + 1 = 0

Não há solução real, pois não há número real que, elevado ao

quadrado, seja igual a –1.

h) 4 = x2

–2 ou +2

66

i) –2x2 + 7 = 0

– 7

2 ou 7

2

j) x2 = 00

k) 3x2 = 00

l) x2 + 1 = 10

Explore as estratégias e respostas apresenta-

das pelos alunos, incentivando-os a utilizar seus

conhecimentos sobre radiciação na formulação

de uma justificativa para o fato de não haver raí-

zes reais para a equação apresentada na ativida-

de anterior, item g. Essa discussão poderá auxi-

liar os estudantes, posteriormente, na resolução

de equações completas de 2o grau, com discrimi-

nante negativo, e, além disso, preparar o aluno

para a construção da ideia de número complexo,

que será desenvolvida no Ensino Médio.

Vamos propor mais algumas atividades

cujas soluções estão fundamentadas em outros

aspectos que já podem ser conhecidos pelos alu-

nos, expondo-os de maneira mais formal, como

é o caso de equações formadas por produtos de

binômios de 1o grau iguais a zero, ou outros ca-

sos, representados a seguir: (x – x1) (x – x2) = 0

x – x

x – x

1

2

= 0

ou

= 0

então

x x

ou

x x

1

2

=

=

  

se ax2 + bx = 0 , então x(ax + b) = 0

x1 = 0, x2 = –ba

;

se ax2 + c = 0, então x = ± –ca

;

9. Se o produto de dois fatores é zero, neces-

sariamente um deles é igual a zero. As-

sim, obtenha as raízes reais das seguintes

equações:

a) (x + 2) (x – 6) = 0

S = {–2, 6}

b) x x3 +2 ∙ –  – 12

= 0( ) � �

S = – 2

3

1

2

c) – x2 + 4x = 0S = {0, 4}

-x2 = 4x = 0.

Multiplicando todos os membros da equação por (-1), temos:

x2 - 4x = 0.

Colocando o fator comum em evidência, temos:

x(x - 4) = 0; ou x - 4 = 0 x = 4.

d) x2 + x = 0

S={–1, 0}

e) (x – 3) (2x – 10) = 0

S = {3, 5}

O desenvolvimento dessa atividade au-

xilia o aluno na identificação da fatoração

como ferramenta útil para a resolução de

equações de 2o grau. Assim, o aluno já ini-

cia a resolução de equações completas do

2o grau, representadas na forma fatorada,

o que propicia a aplicação de conhecimen-

tos que o aluno começou a construir na

7a série/8o ano. Essa ideia pode ser amplia-

da por meio da proposição de atividades

como estas.

67

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

10. Obtenha as raízes reais das

equações a seguir:

a) x2 – 9 = 27

–6 ou 6

b) (x + 7) (–x + 11) = 0

–7 ou 11

c) 2x2 + 1 = 0

Não há solução real.

d) 3x2 – 12x = 0

0 ou 4

e) 5x2 – 125 = 0

–5 ou 5

Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau

Para esse trabalho, seria interessante pro-

por aos alunos a resolução da seguinte equa-

ção: (x – 3)2 = 16.

Se houver necessidade, ajude-os com per-

guntas como:

Quais são os números que, elevados ao

quadrado, resultam em 16?

Que números podem ser colocados no

lugar de x para que a equação seja uma

sentença verdadeira?

Caso não haja sugestões, mostre aos alu-

nos que eles poderiam aplicar o método de-

senvolvido anteriormente. Assim:

x

x

x

– 3 =16

– 3 = ± 16

– 3 = ±4

2( )

x = 3 + 4oux = 3 – 4

logo,

x = 7oux = –1

Comprovando a resposta:

(7 – 3)2 = 16 (–1 – 3)2 = 16

42 = 16 (–4)2 = 16

Comente, então, que essa é outra maneira

possível de resolver uma equação de

2o grau. É claro que uma equação nem sempre

é dada na forma fatorada, no entanto, dis-

pomos de vários recursos para transformar

qualquer equação de 2o grau em uma equa-

ção equivalente na forma fatorada. Em his-

tória da Matemática, esse é um contexto bas-

tante rico para o ensino e a aprendizagem da

equação do 2o grau. Um passo nesse sentido

pode ser dado explorando-se o método de-

senvolvido pelo matemático árabe Al-Kho-

warizmi. Seguindo a tradição grega de inter-

pretar geometricamente situações algébricas,

o matemático árabe Al-Khowarizmi, no sé-

culo IX, desenvolveu um método geométrico

para resolução de equações de 2o grau, cujos

passos transformam uma equação desse tipo

68

em um quadrado perfeito. Nesse método, o

lado do quadrado é considerado o valor da

incógnita, sendo, portanto, desprezadas as

soluções negativas. De certa forma, a falta de

significado dos números negativos, nesse mo-

mento, é semelhante ao que os matemáticos

viveram quando enfrentaram situações com

raízes quadradas de números negativos. Na

atividade seguinte, são iniciadas ideias que

vão constituir as bases da demonstração da

fórmula geral para a resolução de qualquer

equação de 2o grau: a fórmula de Bhaskara.

Vamos propor aos alunos a seguinte ativida-

de, que pode ser resolvida seguindo passo a

passo a solução figurativa apresentada por

Al-Khowarizmi:

Considere o seguinte problema:

“A área de um quadrado acrescida de 8

vezes o seu lado é igual a 65. Qual é a medi-

da do lado desse quadrado?”

Na Álgebra moderna, esse problema

pode ser traduzido pela seguinte expressão

algébrica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equa-

ção, podemos obter a solução do problema.

Antigamente, contudo, os matemáticos

não dispunham das mesmas ferramentas

da Álgebra moderna. Usavam, então, ou-

tras estratégias para resolver problemas

desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo

matemático árabe Al-Khowarizmi, que vi-

veu em Bagdá no século IX.

O método desenvolvido por ele compreen-

dia os seguintes passos:

I. As expressões x2 e 8x são interpre-

tadas como as áreas de um quadra-

do e de um retângulo. A solução

do problema é, então, a medida do

lado do quadrado:

x

x x

8

8xx2

x2 + 8x = 65

II. O retângulo é dividido em dois retân-

gulos de mesma área. Logo, a equação

seria interpretada da seguinte maneira:

x2 + 2 4x = 65

x

x x

4 4

4x 4x

mais igual a 65x2

III. Cada retângulo é arranjado de

modo que fiquem justapostos aos

dois lados do quadrado. Com essa

composição, a área da figura conti-

nua sendo 65.

mais igual a 65

69

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

x

x

4

4

4x

4xx2

IV. Para completar o quadrado, acrescen-tava-se um quadrado no canto da fi-gura anterior. A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhe-cido do retângulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo quadrado é 4 4 = 16. Com esse método, “completava-se um quadrado perfeito” de lado x + 4 e com área igual a 65 + 16 = 81.

x

x

4

4

4

44x 16

4xx2

x2 + 2 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81

V. Se a nova área é 81, então a medida do lado do novo quadrado é 81 = 9.

Assim, o lado do quadrado corresponde a x + 4 = 9, portanto, a solução é x = 5.

Na linguagem algébrica moderna, transforma-

mos a equação x2 + 8x = 65 em uma equivalente

(x + 4)2 = 81, o que é possível pela aplicação do mé-

todo de “completamento do quadrado”. Acom-

panhando o desenvolvimento algébrico, observa-

mos que, embora apoiados no processo figurativo,

são encontradas todas as raízes da equação:

x2 + 8x + 16 = 65 + 16

(x + 4)2 = 81

x + 4 = ± 81

x + 4 = ±9 x = +9 – 4

x = – 9 – 4

x = 5

x = –13

Verificando: em (x + 4)2 = 81

(5 + 4)2 = 81 (–13 + 4)2 = 81

92 = 81 (–9)2 = 81

Ou em x2 + 8x = 65

52 + 8 5 = 65 (–13)2 + 8 (–13) = 65

25 + 40 = 65 169 + (–104) = 65

É possível que alguns alunos sugiram que a

equação x2 + 4x = 65 possa ser resolvida colocan-

do-se o fator comum x em evidência, formando,

assim, a seguinte expressão: x(x + 8) = 65.

Então, a aplicação de cálculo mental ou a

construção de tabela é um recurso à solução da

equação. Contudo, vale ressaltar que o método

de “completamento do quadrado” se apresenta

como um método de resolução mais geral.

11. Resolva o problema a seguir

usando o método desenvolvido

por Al-Khowarizmi, apresenta-

do na seção Leitura e análise de texto. Dese-

nhe as figuras e escreva as equações equiva-

lentes a cada etapa no espaço a seguir.

70

“A área de um quadrado acrescida de 12

vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a me-

dida do lado desse quadrado?”

x

x x

12

12xx2

mais

igual

a 13

x2 + 12x = 13

x

x x

6

6x

mais

igual

a 13

6

6x

x2 + 2 6x = 13

6

6

6x

6x

x

x x2

36 6

6

6

6

6x

6x

x

x x2

x2 + 2 6x + 36 = 13 + 36 ou (x + 6)2 = 49

Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado

será x + 6. Assim, x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.

Com esse método, podemos constatar que:

a interpretação geométrica permite tra-

duzir a equação em um formato conhe-

cido. No entanto, somente as soluções

positivas são consideradas, e isso faz

sentido. Na época em que foi desenvol-

vido esse método, as quantidades nega-

tivas ainda não faziam muito sentido;

o procedimento algébrico aplicado ao

novo formato permite a determinação

de todas as soluções da equação, sejam

elas negativas, positivas ou nulas.

Com base nessas constatações, é possível

questionar se na construção de um método de

resolução de uma equação de 2o grau devemos

incorporar o que a abordagem geométrica e

algébrica têm de melhor a oferecer e levar os

alunos a concluir que os limites de uma são

compensados pelos avanços da outra.

A atividade a seguir tem por finalidade a

aplicação desse método algébrico-geométrico.

Um interesse particular nesse método é que ele

servirá de base para a demonstração da fórmula

de Baskhara. Seria interessante se, no desenvol-

vimento das resoluções, o professor chamasse a

atenção dos alunos para o fato de que o valor

acrescido a ambos os termos da equação se re-

fere ao quadrado da metade do coeficiente do

termo em x. Nessa atividade, essa propriedade

é inspirada nos produtos notáveis e, caso os alu-

nos os desconheçam, esses exercícios permitem

a apresentação desse conteúdo no contexto de

resolução de equações de 2o grau, também cha-

madas de equações quadráticas em referência à

regra de “completamento do quadrado”.

12. Encontre as raízes das equações

de 2o grau aplicando o método de

“completamento do quadrado” de-

senvolvido por Al-Khowarizmi:

(Observação: desenhe a figura do quadrado

que representa a solução de cada equação.)

71

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

a) x2 + 20x = 300

xx + 10

x

10

quadrado da metade do coeficiente de x

10100

10x

10x

x2

x2 + 20x + 100 = 300 + 100

(x + 10)2 = 400

x + 10 = ± 400

x = ± 20 – 10

x = – 30 ou x = 10

b) x2 + 5x = 6

x

x + 5

2

xquadrado da metade do coeficiente de x

x25x

2

5

2

5

2

5x

2

25

4

x2 + 5x + 25

4 = 6 + 25

4

x + 5

2

2

= 49

4 x + 5

2 = ± 49

4

x = ± 7

2 – 5

2

x = 1 ou x = –6

c) x2 + 2x + 1 = 0

xx + 1

x

1

quadrado da metade do coeficiente de x

11

x

x

x2

x2 + 2x = – 1

Neste caso, a expressão x2 + 2x + 1 já é um quadrado perfeito:

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Logo, a equação dada é equivalente a

(x + 1)2 = 0, ou x + 1 = 0; assim, x = –1. Logo, não há solução,

pois o lado não pode ser negativo.

Observe que, nos itens desta atividade,

embora as soluções negativas não tenham

sentido geométrico, satisfazem as equações

algébricas. Mais uma vez, pode-se destacar o

fato de que, enquanto o método geométrico

permite a escrita da equação na forma fato-

rada conhecida, o método algébrico permite

a determinação de todas as soluções reais da

equação, quando existirem.

As discussões já feitas convergem para a ideia

de que as equações de 2o grau, quando fatoradas

podem ser resolvidas usando os métodos apren-

didos anteriormente. Ou seja, o desenvolvimento

do quadrado da soma e do quadrado da diferen-

ça de dois números e seus respectivos processos

de fatoração ganham nova importância.

(x + a)2 = x2 + 2 ax + a2

(x – a)2 = x2 – 2 ax + a2

72

A seguir são sugeridas duas atividades cujo

objetivo é aprimorar a identificação de trinô-

mios quadrados perfeitos.

13. Quais dos seguintes trinô-

mios referem-se a quadrados

perfeitos? Escreva-os na for-

ma fatorada.

a) x2 + 4x + 4

(x + 2)2

b) x2 – 6x + 9

(x – 3)2

c) 4x2 + 12x + 9

(2x + 3)2

d) 25x2 + 100x + 100

(5x + 10)2

e) x2 – x + 1

Não é um trinômio quadrado perfeito, pois o termo central

não corresponde ao dobro do produto das raízes quadradas

do 1º e do 3º termos.

14. Encontre o termo que falta para que o tri-

nômio seja um quadrado perfeito:

a) x2 + 18x +

92 = 81

b) 9x2 + x + 4

2 3 2 = 12

c) x2 – 20x +

102 = 100

d) 4x2 – x + 49

2 2 7 = 28

e) x2 – 30x + 25

9

Retomando as situações que envolvem a

resolução de equações de 2o grau, observamos

que, algumas vezes, a equação já apresenta

um trinômio quadrado perfeito, como a equa-

ção: x2 + 10x + 25 = 0.

Basta observar, nesse caso, que o termo in-

dependente é igual à metade do coeficiente de x

elevado ao quadrado. Portanto, ele já representa

um quadrado perfeito de lado (x + 5). Então, a

equação x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0 tem como

resposta x = –5.

Outras vezes, é preciso lançar mão de artifí-

cios para que o primeiro membro da equação

se torne um trinômio quadrado perfeito, man-

tendo, assim, a igualdade verdadeira. Neste mo-

mento, cabe analisar alguns exemplos.

I. Resolva a equação 4x2 – 12x + 5 = 0

Podemos escrever a equação na forma: 4x2 – 12x = –5

Dividindo toda a expressão por 4, temos:

x2 – 3x = – 5

4 .

Em seguida, deve-se procurar um número que, acrescentado a ambos os membros da equa-ção, produza no 1o membro um trinômio quadra-do perfeito. Esse número deve ser o quadrado da

metade do termo em x, portanto, 3

2

2

.

73

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

x2 – 3x + 3

2

2

= – 5

4 + 3

2

2

– 3

2

2

= – 5

4 + 9

4

– 3

2

2

= 4

4 isto é; x – 3

2 = ± 1

x – 3

2 = ± 1

Logo:

x = 3

2 + 1 = 5

2

ou

x = 3

2 – 1 = 1

2

II. Resolva a equação 3x2 + 2x – 1 = 0.

Essa equação pode ser escrita assim:

x2 + 2

3 x – 1

3 = 0 ou, ainda, x2 + 2

3 x = 1

3

Em seguida, deve-se procurar um número

que, quando acrescentado a ambos os mem-

bros da equação, produza no 1o membro um

trinômio quadrado perfeito:

x2 + 2

3 x + ... = 1

3 + ...

Para encontrar esse número, vamos dividir

dois terços por 2:

2

3 ÷ 2 = 1

3

Elevando um terço ao quadrado:

1

3

2

= 1

9

Assim, acrescentando um nono aos dois

membros da equação, teremos:

x2 + 2

3 x + 1

9 = 1

3 + 1

9

Assim, podemos fatorar o primeiro

membro, pois ele é um trinômio quadrado

perfeito:

+ 1

3

2

= 4

9 .

Encontrando o valor de x:

x + 1

3 = ± 2

3, logo x1 = – 2

3 – 1

3 = – 3

3= –1

ou x2 = 2

3 – 1

3 = 1

3

Proponha aos alunos que discutam com os

colegas os procedimentos utilizados anterior-

mente e aplique-os na resolução da equação:

x2 – 5x + 6 = 0.

x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 5x = –6

x2 – 5x + 5

2

2

= –6 + 5

2

2

= 1

4

x – 5

2 = ± 1

2 x = 2 ou x = 3 S = {2, 3}

Um produto notável importante a ser aplicado na resolução de equações de 2o grau é o produto de dois binômios com um termo em comum, expressos na forma

74

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + a b. A im-

portância de resgatá-lo, neste momento, se dá

pelo fato de ele permitir a fatoração da equa-

ção quadrática com base na soma e no produ-

to dos termos não comuns, isto é, de a e b. Esse

fato será explorado posteriormente no estudo

das relações entre as raízes da equação e seus

coe ficientes, isto é, se x1 e x2 são raízes de uma

equação de 2o grau na forma ax2 + bx + c = 0,

com a ≠ 0, então –  x xba

e x xca1 2 1 2+ = =   ⋅  .

Geralmente, essas relações são trabalhadas

após a apresentação da fórmula de Bhaskara.

Contudo, se já forem apresentadas, permi-

tirão uma compreensão prática do produto

notável, o desenvolvimento de competências

relativas ao cálculo mental e a possibilidade

de resolução da equação sem necessidade da

fórmula. Além disso, indicam um movimen-

to de relacionar raízes aos coeficientes, que é

generalizado na fórmula de Bhaskara quando

as raízes se relacionam aos coeficientes da se-

guinte maneira: xb b ac

a– –± 2 4

2. Vale res-

saltar, ainda, que esse procedimento se refere

às relações de Girard para equações polino-

miais de 2o grau que, posteriormente, serão

ampliadas, na 3a série do Ensino Médio, para

outras equações polinomiais.

15. Resolva as seguintes equações de 2º grau.

(Dica: use a forma fatorada do trinômio

quadrado perfeito.)

a) x2 – 6x + 9 = 0

(x – 3)2 = 0

Logo, x = 3.

b) x2 + 12x + 36 = 0

(x + 6)2 = 0

Logo, x = –6.

c) x2 – 4x + 4 = 0

(x – 2)2 = 0

Logo, x = 2.

d) x2 + x + 1

4 = 0

x + 1

2

2

= 0

Logo, x = –1

2 .

Após esse trabalho, pode-se propor aos alunos

o desenvolvimento algébrico de (x + a) (x + b).

Aplicando-se a propriedade distributiva e,

em seguida, colocando-se o fator comum x em

evidência, temos:

(x + a) (x + b) = x2 + bx + ax + ab

(x + a) (x + b) = x2 +(a + b)x + a b

Do mesmo modo, chegamos à seguinte ex-

pressão: (x – a) (x – b) = x2 – (a + b)x + ab.

Por meio desse resultado geral, será possível:

calcular produtos similares sem o recur-

so da propriedade distributiva:

(x + 3) (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 5 =

= x2 + 8x + 15

(x – 1) (x – 7) = x2 – (1 + 7)x + 1 7 =

= x2 – 8x + 7

75

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

fatorar trinômios em dois binômios

com um termo em comum. Vejamos os

seguintes exemplos:

I) x2 + 7x +12

Para fatorar esse trinômio, podemos fazer

a seguinte pergunta:

Quais são os dois números cujo produto é

12 e a soma é 7?

Observando que o termo independente,

12, é positivo, os dois números possuirão

o mesmo sinal, ou ambos são positivos, ou

ambos são negativos e nenhum deles será

zero, senão o produto seria zero. Estudan-

do os possíveis números positivos, podemos

decompor o 12 da seguinte maneira: 12 1;

2 6 e 3 4. Apresentando tais valores em

uma uma tabela:

Valores 12 2 3Valores 1 6 4Soma 13 8 7

Observa-se que os números serão 3 e 4,

pois sua adição resulta em 7, valor do coefi-

ciente de x.

Portanto, x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4)

II) x2 – 2x – 3

Nesse caso, como o termo independente,

–3, é negativo, os dois números possuirão sinais

diferentes, um positivo e o outro negativo.

Estudando os possíveis números, podemos de-

compor o –3 como: (– 3) 1 ou (– 1) 3. Repre-

sentando tais valores em uma tabela, temos:

Valores –3 –1Valores +1 +3Soma –2 +2

Assim, observamos que os números serão

–3 e 1, pois sua adição resulta em –2, valor

do coeficiente de x.

Portanto, x2 – 2x – 3 = (x + 1) (x – 3)

O professor pode criar outras situações, in-

clusive propondo trinômios quadrados perfei-

tos como x2 + 8x + 16. Ao se pensar em quais se-

riam os números que, somados, resultam em 8, e

cujo produto é 16, parece fácil observar que esses

números são iguais a 4. Portanto, x2 + 8x + 16 =

= (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2.

16. Descubra dois números cuja soma e pro-

duto sejam, respectivamente, iguais a:

a) 7 e 123 e 4, pois 3 + 4 = 7 e 3 4 = 12.

b) 11 e 243 e 8, pois 3 + 8 = 11 e 3 8 = 24.

c) 11 e –12–1 e 12, pois –1 + 12 = 11 e –1 12 = –12.

d) 10 e –24–2 e 12, pois –2 + 12 = 10 e –2 12 = –24.

e) –13 e 40–5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) (–8) = 40.

f) – 6 e – 404 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 (–10) = –40.

76

17. Use a ideia da soma e do produto e fatore

os trinômios de 2o grau, conforme o exem-

plo a seguir:

a) x2 + 17x + 30

I. Descobrir dois números cuja soma seja

17 e cujo produto seja 30: 2 e 15.

II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30:

(x + 2) (x + 15).

III. Verificar se o produto obtido corres-

ponde ao trinômio original: x2 + 15x +

+ 2x + 30 = x2 + 17x + 30.

b) x2 – 12x + 32

(x – 4) (x – 8)

c) x2 – 7x – 60

(x + 5) (x – 12)

d) x2 – 4x – 60

(x – 10) (x + 6)

18. Resolva as equações a seguir usando a fa-

toração de 2o grau (método da soma e do

produto):

a) x2 – 2x – 15 = 0

Fatorando o trinômio, obtemos

(x – 5) (x + 3) = 0

Logo, x = 5 ou x = –3.

b) x2 + 7x + 12 = 0

(x + 3) (x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.

c) x2 – 12x + 36 = 0

(x – 6) (x – 6) = 0, logo, x = 6.

d) x2 + 5x – 36 = 0

(x + 9) (x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.

e) x2 – 13x + 36 = 0

(x – 4) (x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.

Em casos particulares, como x2 – 9 ou x2 – 4x,

também é possível aplicar o mesmo procedimento.

Na primeira situação, a soma dos números é zero,

o que significa que são números opostos. Como o

produto é –9, os números procurados são –3 e +3.

Trata-se, portanto, da fatoração em (x + 3) (x – 3).

No segundo caso, o produto é zero, ou seja, um

dos fatores é zero. Como a soma é – 4, uma das

parcelas deve ser – 4. Trata-se da fatoração em

(x – 0) (x – 4) = x( x – 4).

Observamos, portanto, que no desenvolvi-

mento desse tema, o processo de fatoração que

envolve o produto de dois binômios com um

termo em comum, que é a variável da expres-

são, engloba os processos de fatoração trata-

dos anteriormente. Para fixar essas ideias, o

professor pode propor aos alunos uma série de

atividades como as que apresentamos a seguir.

Mais adiante, esse processo de fatoração será

aplicado à resolução de equações de 2o grau

que, como dissemos, será o momento de abor-

dar as relações entre a soma e o produto das

raízes e os coeficientes da equação.

19. Ao preparar uma atividade

para seus alunos, um professor

queria escrever uma equação

de 2o grau cujas raízes fossem os números 8

e 9. Ele procedeu da seguinte maneira:

77

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

(x – 8) (x – 9) = 0 é uma equação cujas

raízes são 8 e 9. Aplicando a propriedade

distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 =

0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0.

Assim, o professor obteve uma equação de

2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as

raízes desejadas.

Escreva equações de 2o grau que tenham

como raízes os números a seguir:

a) –5 e 3(x + 5) (x – 3) = 0

x2 + 2x – 15 = 0

b) 4 e 12

(x – 4) (x – 12) = 0

x2 – 16x + 48 = 0

c) –2 e –2,5(x + 2) (x + 2,5) = 0

x2 + 4,5x + 5 = 0

d) – 1

2 e

2

3

x + 1

2 x – 2

3= 0

x2 – 1

6 x – 1

3 = 0

e) 0 e 12(x) (x – 12) = 0

x2 – 12x = 0

f) 5 e –5(x + 5) ( x – 5) = 0

x2 – 25 = 0

Professor, você pode complementar a ex-

plicação com o seguinte problema.

Um aluno da 8a série/9o ano fatorou a ex-

pressão 3x2 – 6x – 24:

I. Colocou o 3 em evidência: 3(x2 – 2x – 8)

II. Fatorou a expressão em x, pensando

em quais são os números cujo produto

é –8 e cuja soma é –2, encontrando que:

x2 – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2).

III. Por fim, escreveu que 3x2 – 6x – 24 =

= 3(x – 4) (x + 2).

Com relação a esse tipo de procedimento,

o professor poderá propor que seus alunos re-

flitam sobre as seguintes questões:

Como podemos verificar se o procedimen-

to aplicado pelo estudante está correto?

Uma das possibilidades é desenvolver o

segundo membro e verificar se a igualdade se

mantém, o que veremos que ocorrerá.

Seguindo esse procedimento, fatore essas expressões:

I) 6y2 – 12y – 144

6(y2 – 2y – 24) = 6(y – 6) (y + 4)

II) 2y2 – 5y + 2

2 y2 – 5

2 y + 1 = 2 y – 1

2 (y – 2)

Professor, sugira, neste momento, algumas

equações de 2o grau para que o aluno aplique

os conhecimentos trabalhados. A ideia cen-

tral é agregar uma série de conhecimentos que

permitam relacionar as raízes da equação com

seus coeficientes, isto é, dada uma equação de

2o grau ax2 + bx+ c = 0, com a ≠ 0 e x1 e x2

suas raízes, temos x xba

e1 2+ = –    x xca1 2 = ⋅  .

78

A seguir, sugerimos duas atividades. A primei-

ra tem o objetivo de exercitar o método apren-

dido. A segunda permite a comparação de pro-

cessos diferentes de resolução, explorando a

ideia de que uma expressão pode ter diferentes

expressões equivalentes a ela e pode ser propos-

ta como projeto a ser desenvolvido extrassala.

I) Aplique a fatoração para resolver as

equações a seguir:

x2 –7x + 6 = 0

x2 – 7x + 6 = (x – 6) (x – 1) = 0 S = {1, 6}

2x2 + 3x – 2 = 0

2x2 + 3x – 2 = 2 x2 + 3

2 x – 1 =

= 2 x – 1

2. (x + 2) S = 1

2, – 2

II) Muitos dos processos de resolução de

equações foram aprendidos pela leitura e aná-

lise de antigos manuscritos egípcios, gregos,

hindus e árabes. Imagine que os alunos de sua

8a série/9o ano se proponham deixar para as

turmas futuras um documento que registre e

explique as formas de resolução de equações

de 2o grau. Sugira que assumam essa tarefa

para a equação x2 – 10x + 24 = 0.

É possível que apareçam argumentos re-

lacionados ao método do completamento do

quadrado e à fatoração como um produto de

dois binômios utilizando, inclusive, a forma

figurativa. A seguir, indicamos duas pos síveis

soluções para essa atividade.

1a Solução:

Inicialmente, os alunos fatoraram a equação como um produto de dois binômios com um termo x em comum, observando que –6 – 4 = = –10 e que (–6) · (–4) = 24

x2 – 10x + 24 = 0

(x – 6) (x – 4) = 0

Em seguida, aplicando a ideia de que um dos produtos deve ser zero, chegaram às seguintes expressões:

(x – 6) (x – 4) = 0x – 6 = 0 x – 4 = 0

x = 6 x = 4

E concluíram S = {4, 6}

79

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

2a Solução:

Aplicaram o método da completude do quadrado e fatoraram a expressão em um

produto notável. A seguir, aplicaram propriedades algébricas.

x2 – 10x + 24 = 0

x2 – 10x = – 24

x2 – 10x + 25 = –24 +25

(x – 5)2 = 1

x – 5 = ± 1

x – 5 = ±1

Concluíram que: x – 5 = +1 x – 5 = –1

x = 6 x = 4

E deram a solução S = {4, 6}

Professor, você pode utilizar a tabela a se-

guir para retomar as formas fatoradas e as

soluções de equações de 2o grau. Algumas

das equações listadas já foram trabalhadas,

permitindo que os alunos realizem com mais

facilidade o preenchimento da tabela.

Equação Forma fatorada Solução

a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 S={4, – 2}

b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4)2 = 0 S={4}

c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4) (x – 6) = 0 S={4, 6}

d) x2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 S={0, – 2}

e) 6x2 – 12x – 144 = 0 6(x – 6) (x + 4) S={6, – 4}

f) 2x2 – 5x + 2=0 2 – 1

2(x – 2) S = 1

2 , 2

Professor, sugira a construção de uma

nova tabela, como a apresentada a seguir e,

com base nela, proponha aos alunos o le-

vantamento de hipóteses que permitam es-

tabelecer relações entre os valores dos ter-

mos não comuns e as raízes, entre a soma

dos termos e a soma das raízes, entre o

produto dos termos e o produto das raízes

e a relação entre estes e os coeficientes da

equação. Essa análise dos valores da tabela

pode ser considerada uma forma indutiva

de encontrar um método geral de resolução

de equações quadráticas.

Algumas perguntas que podem ser formu-

ladas aos alunos:

80

Que relação existe entre os termos não

comuns da forma fatorada e as raízes?

Justifique.

Que relação existe entre a soma dos termos

não comuns e a soma das raízes? Justifique.

Que relação existe entre o produto dos

termos não comuns e o produto das raí-

zes? Justifique.

Que relação existe entre a soma das raí-

zes e os coeficientes de a e b? Justifique.

Que relação existe entre o produto dos

termos não comuns e os coeficientes de

a e c? Justifique.

Que relação existe entre o produto

das raí zes e os coeficientes de a e c?

Justifique.

EquaçãoForma

fatorada

Termos não

comuns

Raízes da equação

Soma dos

termosnão

comuns

Soma das

raízes

Produto dos

termos não

comuns

Pro-duto das

raízes

a b c

x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) (x+2) = 0 – 4 + 2 +4 – 2 – 2 + 2 – 8 – 8 1 – 2 – 8

x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4) 2 = 0 – 4 – 4 + 4 + 4 – 8 + 8 + 16 + 16 1 – 8 + 16

x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4) (x – 6) = 0 – 4 – 6 + 4 + 6 – 10 10 + 24 + 24 1 – 10 + 24

x2 + 2x = 0 x (x+2) = 0 0 + 2 0 – 2 + 2 – 2 0 0 1 + 2 0

6x2 – 12x –144 = 0 6 (x – 6) (x+4) – 6 4 6 – 4 – 2 + 2 – 24 – 24 6 – 12 – 144

2x2 – 5x + 2 = 0 2 x – 1

2 (x – 2) –

1

2– 2 +

1

2+ 2 –

5

2 5

2+ 1 +1 2 – 5 + 2

Deve-se tomar cuidado quando a equação

possuir uma só raiz, como (x – 4)2 = 0. Nes-

se caso, podemos considerar que a raiz dessa

equação é dupla.

É importante, mais uma vez, que os alu-

nos façam os registros de suas conclusões.

Em tais atividades, é de se esperar que eles

exponham dúvidas e opiniões. Geralmen-

te, o encontro de relações vem acompanha-

do de reflexões, de troca de ideias com o

outro, em duplas ou em grupos maiores. O

que precisa a ser observado é o grau de in-

teresse dos alunos, ainda que acarrete uma

81

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

aparente desorganização da sala. É no mo-

mento de exposição das conclusões indivi-

duais à turma que o professor deve garantir

um nível maior de organização, o que permi-

tirá a compreensão e participação de todos.

Nesta atividade, o professor pode comen-

tar com os alunos que as soluções zeram os

fatores da forma fatorada. Assim, a raiz 4

da equação x2 – 2x – 8 = (x – 4) (x+ 2) = 0

zera o fator (x – 4) e a raiz –2 zera o fator

(x + 2). Ou seja, o sinal das raízes é sempre

oposto ao sinal do termo não comum na for-

ma fatorada. Portanto, o sinal do produto das

raízes é o mesmo do produto dos termos não

comuns, pois, como o sinal de ambos os ter-

mos se opõem (–4 fica +4, +2 fica –2), o sinal

do produto se manterá. Contudo, na adição,

a situação não é a mesma. A soma de – 4 + 2

tem sinal oposto à soma +4 –2. Podemos, as-

sim, concluir que a soma das raízes (x1 + x2)

terá sinal oposto à soma dos termos não co-

muns da forma fatorada (a + b).

Processo de fatoração

Dada a equação x2 + 3x – 40 = 0, temos:

O produto dos termos não comuns: – 40 A soma dos termos não comuns: 3 Os termos não comuns: 8 e –5 Forma fatorada: (x + 8) (x – 5) = 0

Portanto, as raízes serão: –8 e 5. Repare que

o produto entre os termos não comuns coincide

com o produto das raízes (+8) (–5) = (–8) (+5) =

= – 40 e a soma dos termos não comuns tem o sinal

oposto ao da soma das raízes [8+(–5)] = – [5+(–8)].

Professor, caso sinta necessidade de de-

monstrar a generalidade dessa evidência,

pode aplicar em sala de aula o procedi-

mento a seguir. Dada a equação quadrática

ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, se a forma fatorada

for a(x – x1) (x – x2), então os termos não comuns

serão –x1 e –x2 e as raízes serão: x1 e x2.

ax2 + bx + c = 0 Fatorando como produto de dois binômios a(x – x1) (x – x2) = 0

Aplicação da distributiva a(x2 – x x2 – x x1 + x1 x2) = 0

Colocando o fator x em evidência a[x2 – (x1 + x2)x + x1 x2] = 0

axa

ba

xca a

2

+ + =0 Dividindo ambos os membros da

equação por a, lembrando que a ≠ 0 x2 – (x1 + x2) x + x1 x2 = 0

x + x+ =ba

ca

2 0Vamos observar os coeficientes dos termos de mesmo grau

x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0

82

Portanto,

– x + x =ba1 2( ) isto é: x + x =

ba1 2 –

e que =ca

x1 · x2

Com base nessas conclusões, o professor

pode sugerir algumas equações de 2o grau

para serem resolvidas pelo método da soma e

do produto das raízes. Muitos livros didáticos

trazem uma lista de exercícios que abordam

esse tema.

Resolvendo sem fatorar

Professor, proponha agora os seguintes pro-

blemas.

III) Peça aos alunos que, com base em suas

conclusões, descubram quais são as raízes das

equações sem fatorá-la:

x2 – 2x – 15 = 0

5 ou –3.

x2 + 7x + 12 = 0

–3 ou –4.

x2 – 12x + 36 = 0

6 (raiz dupla).

IV) Dada uma equação de 2o grau ax2 + bx +

+ c = 0, com raízes x1 e x2, sua fatoração será

a(x – x1) (x – x2).

Determine uma equação de 2o grau com

raízes iguais a –5 e 3.

Uma possível resposta seria:

1(x + 5) (x – 3) = 0 ou x2 + 2x –15 = 0.

O aluno poderá encontrar outras equações de-

pendendo do valor atribuído ao coeficiente a.

Construa uma equação de 2o grau, que

tenha raízes – 1

2 e 2

3.

6x2 – x – 2 = 0 ou x + 12 x – 2

3 = 0.

Do mesmo modo, serão várias equações que

dependem do coeficiente a.

Observe a tabela a seguir e complete as

colunas vazias:

Equação –ba

ca

x1 x2

x2 – 5x + 4 = 0 5 4 1 4

x2 + 3x – 28 = 0 – 3 –28 – 7 4

x2 + 5x + 6 = 0 – 5 6 – 2 – 3

3x2 – 3 = 0 0 – 1 – 1 1

x2 – 4x = 0 4 0 0 4

3x2 – 6x +3 = 0 2 1 1 1

Até o momento, privilegiamos a resolução

de equações de 2o grau pelo método da fato-

ração, que, por sua vez, teve grande apoio na

representação geométrica. O importante, aqui,

é que o aluno pôde construir uma série de ha-

bilidades algébricas e geométricas em vários

assuntos da Matemática.

83

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Relate para a turma que, em meados do

século XII, viveu na Índia um dos maio-

res matemáticos da época, conhecido como

Bhaskara. Em seu tratado mais conhecido,

chamado Lilavati, encontra-se uma série de

estudos sobre equações lineares, quadráticas,

progressões aritméticas e geométricas, entre

outros assuntos matemáticos.

A fórmula que permite a resolução de

uma equação de 2o grau foi batizada com o

nome desse estudioso. Vale ressaltar que sua

demonstração apoia-se em conhecimentos

matemáticos anteriores, como dos babilô-

nios e árabes. Caso seja do interesse do pro-

fessor, há livros de história da Matemática,

como o clássico de Carl Boyer, que apre-

sentam citações sobre Bhaskara e sua obra,

Lilavati. A seguir, trazemos uma demonstra-

ção algébrico-geométrica da fórmula resolu-

tiva, quadrática, ou ainda de Bhaskara, que

permite a obtenção das raízes de uma equação

de 2o grau.

Aqui, aplicaremos o método de Al-

-Khowarizmi, isto é, o método de completar

quadrados a uma equação geral de 2o grau.

Assim, obteremos uma fórmula que servirá

para calcular as raízes de qualquer equação de

2o grau. Considere, inicialmente, a possibilidade

de resolução da equação geral: ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0, a, b e c reais).

A equação geral pode ser escrita da forma:

ax2 + bx = – c.

I. Dada a expressão ax2 + bx = – c, divi-dindo-se todos os termos por a, teremos:

xba

xca

2 + = –

Portanto, vamos interpretar x2 como a

área de um quadrado de lado x e ba

x como

a área de um retângulo de lados x e ba

.

x

x xx2

ba

bxa

II. Dividimos o retângulo em dois retângulos

de áreas iguais e, assim, podemos escrever

a equação na seguinte forma geométrica

x

x xmais bx

2a

bx

2a

b

2a

III. Vamos colocar os dois retângulos ao

longo dos lados dos quadrados e com-

pletar o quadrado com um quadradi-

nho de lados b

2a:

x

x x2

b

2a

b

2a

b

2a

2

84

IV. A área desse novo quadrado é

––c

aba

ac b

a+

 + 2

2

2

24

4

4= e seu lado

mede x + b

2a.

Portanto, podemos escrever a seguinte

equação xba

ac ba

++

24

4

2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=–  2

:

Aplicando as propriedades algébricas, temos:

xba

ac b4a

++

24 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=±

– 

Então, xba

b aca

+ ± 2

42

2 –, logo,

xba

ac2a

   ––

=2

4± 

+b2

, do que se conclui que

os valores de x que satisfazem a equação são

dados pela expressão: xb b ac

a– –± 2 4

2.

Indicando-se as raízes da equação por

x1 e x2 teremos, portanto: xb b ac

a1

2 42

– –+

e xb b ac

a2

2 42

– ––.

Nesse momento, o professor pode propor al-

gumas equações para os alunos resolverem, aten-

to ao fato de que o reconhecimento dos coeficien-

tes é parte essencial da aplicação da fórmula.

20. Resolva as equações a seguir usando a fór-

mula de Bhaskara: xb b ac

a– –± 2 4

2.

Lembre-se de que, para aplicá-la, a equa-

ção deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.

a) x2 + 2x – 3 = 0x = 1 ou x = –3

b) 3x2 + 5x + 2 = 0

x = –1 ou x = – 2

3

c) 7x – x2 – 6 = 0

x = 1 ou x = 6

d) 2x2 + x = 1

x = –1 ou x = + 1

2

e) 3x2 – 2x + 1 = 0

Não tem solução real.

f) 4x2 + 12x + 9 = 0

x = – 3

2

Discussão das raízes

21. Discuta com seus colegas a afirmação a

seguir e registre suas conclusões:

“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac,

uma equação de 2o grau pode admitir duas

raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas

(uma raiz dupla), ou não admitir raízes reais.”

O valor da expressão b² – 4ac é tão importante para a fórmula

que foi denominado discriminante. De fato, seu valor distin-

gue se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes reais

distintas, ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou en-

tão não admitir raízes reais. Ele foi representado por uma letra

grega (delta). Assim, = b2 – 4ac. Como ele é o radicando de

uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes relações:

Δ = 0 Δ > 0 Δ < 0Duas raízes reais

idênticas (uma

raiz dupla).

Duas raízes reais

distintas.

Não admite

raízes reais.

85

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Na sequência, antes de voltarmos à apli-

cação da fórmula de Bhaskara, o profes-

sor pode apresentar aos alunos o seguinte

conjunto de atividades, a fim de estimular a

discussão sobre a importância do discrimi-

nante ( ).

Diante de uma lista de equações de 2o grau

para resolver, um aluno começou calculando o

valor da expressão: b2 – 4ac, para cada equa-

ção, e encontrou os seguintes valores:

1) – 4

2) 36

3) 0

4) 259

5) – 4

6) 81

7) – 64

8) 200

9) 100

Responda e justifique suas respostas.

Quais das equações dadas admitem duas

raízes reais distintas?

2, 4, 6, 8 e 9.

Quais das equações dadas admitem duas

raízes reais idênticas?

Apenas a 3.

Quais das equações dadas não admitem

raízes reais?

1, 5 e 7.

As justificativas passam pelos valores e pe-

los sinais de .

Após essa discussão, o aluno pode ser con-

vidado a resolver outras questões envolvendo

equações de 2o grau, que propiciem a aplica-

ção, ampliação e aprofundamento das noções

desenvolvidas até aqui.

Resolvendo equações de 2o grau

22. Resolva as equações a seguir por

meio de método que julgar mais apro-

priado. Lembre-se de que uma equa-

ção de 2o grau pode ter duas raízes reais distin-

tas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.

a) x2 – 4x + 4 = 0x1 = x2 = 2

b) y2 + y + 1 = 0Não existem raízes reais.

c) x2 = 8x – 15x1 = 3; x2 = 5

d) y + 2y2 = 4y1 = –1 – 33

4 ; y2= –1 + 33

4

23. Justifique o fato de as quatro equações a

seguir terem as mesmas raízes:

–x2 + 2x + 3 = 0; x2 – 2x – 3 = 0; –10x2 +

+ 20x + 30 = 0; – 0,5x2 + x + 1,5 = 0;

Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação

de dois membros por um mesmo número real diferente de

zero. Assim, pelo princípio multiplicativo da igualdade, todas

são equações equivalentes e, por isso, têm as mesmas raízes.

24. Desenvolvendo-se algebrica-

mente as equações a seguir, é

possível obter a equações de

2o grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.

86

a) xx

+=

53

2

x1 = –6; x2 = 1

b) =10

12

x x++

2x +9

x1 = 1; x2 = 4

c) 24– 1

+2– 1

=102x x

x1 = – 9

5 ; x2 = 2

Nesses exemplos não há caso em que uma

raiz determinada pela aplicação da fórmula

de Bhaskara anule o denominador de fração

inicial. Todavia, será importante o professor

discutir esse aspecto com seus alunos e, se

possível, apresentar a eles uma equação que

admita raiz estranha. Nesse caso, sugerimos a

seguinte equação: x – 2x + 1 2

x – 1 = 2x2 + 2

x2 – 1 .

Com a fórmula em mãos, o profes-

sor pode demonstrar, a partir das raízes

xb b ac

ae x

b b ac

a1

2

2

242

4

2=

+=

–  – 

–  – – , a

validade da ideia da soma e do produto das

raízes. Esse fato está disponível na maioria

dos livros didáticos destinados a esse assunto.

Considerações sobre a avaliação

Os objetivos traçados para esta Situação

de Aprendizagem incluem conhecimento de si-

tuações que exigem resolução de equações de

2o grau, a aplicação de conhecimentos matemá-

ticos referentes a outros contextos, como pro-

priedades de potências, métodos de resolução de

equações lineares, construção de tabelas, cálculo

mental e aplicação de processos de fatoração. A

grande ênfase dada às resoluções apoiadas em pro-

cesso de fatoração tornou os produtos notáveis um

conhecimento a ser aprendido e aplicado em no-

vos contextos. Mais uma vez, combinando a abor-

dagem algébrica com a geométrica, resgatamos, de

forma lógica, o processo histórico que envolveu o

tratamento de equações quadráticas. Desse modo,

ao final desta Situação de Aprendizagem é desejá-

vel que os alunos tenham compreendido, além dos

processos de resolução, o movimento conceitual

de resolução desses tipos de equação.

Quando a fórmula de Bhaskara for apresen-

tada, os alunos devem ficar totalmente à von-

tade para escolher o processo de resolução

que preferirem. Contudo, vale a pena o pro-

fessor diversificar os tipos de exercício entre

aqueles que exigem a resolução ou o uso da

fórmula e aqueles em que o cálculo mental e

os processos de fatoração sejam suficientes.

O tema desta Situação de Aprendizagem

pode ser avaliado de forma contínua, acom-

panhando o desenvolvimento pessoal e co-

letivo da turma na resolução das atividades

propostas, individualmente e em grupo. Em

vários momentos, as atividades privilegiaram

a participação e o envolvimento do aluno na

proposta e isso pode ser avaliado pelo professor

por meio de suas observações. Nas avaliações,

o professor pode explorar as ideias funda-

mentais abordadas nos exercícios exemplares,

propondo-lhes alteração nos enunciados ou

em sua forma de apresentação. Vale ressaltar

a importância de que o professor, ao ler aten-

tamente as atividades propostas neste material,

87

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

possa combiná-las com as listas e metodologias

construídas ao longo de sua prática docente.

A próxima Situação de Aprendizagem

tem como foco a aplicação da resolução de

equações em diferentes contextos. Desse

modo, caso fiquem pendentes algumas consi-

derações, o professor poderá desenvolvê-las

posteriormente. Da mesma forma, as ativida-

des seguintes constituirão uma possibilidade

para o professor ampliar sua avaliação sobre

os conhecimentos adquiridos pelos alunos.

Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações de 2o grau.

Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações que envolvem equações de 2o grau; resolver equações de 2o grau em problemas contextualizados.

Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos de aplicações sobre o tema.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6

Os problemas propostos a seguir têm o obje-

tivo de pôr em prática a resolução de equações

de 2o grau em problemas contextua lizados. É

importante lembrar aos alunos que nem sem-

pre é necessário o uso de fórmula para resolver

uma equação desse tipo, mas, quando julgarem

necessário, poderão usá-la livremente.

A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e

XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para a reso-

lução de uma equação de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o

povo hindu em geral deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.

Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e ba-

bilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que esses povos

criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses

modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.

1. Responda às seguintes

questões:

a) O quadrado da oitava parte de um ban-

do de macacos saltitava em um bosque

88

divertindo-se com a brincadeira, en-

quanto os 12 restantes tagarelavam no

alto de uma colina. Quantos macacos

constituem o bando? Se considerarmos x o total do bando, temos que x

8

2

+ 12 = x.

Resolvendo a equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.

b) Em ambas as margens de um rio existem

duas palmeiras, uma em frente à outra.

A altura de uma é 30 côvados; a da ou-

tra, 20. A distância entre seus troncos

é de 50 côvados. Na copa de cada pal-

meira está um pássaro. Subitamente os

dois pássaros descobrem um peixe que

aparece na superfície da água. Os pássa-

ros lançam-se sobre ele e o alcançam no

mesmo instante. Qual é distância entre

o tronco da palmeira maior e o peixe?

A situação está ilustrada na figura a seguir:

30

20

50 – xx

Consideremos inicialmente x a distância entre o tronco da pal-

meira maior e o peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo

tempo, devemos considerar que a distância por eles percorrida é

a mesma. Portanto, os dois triân gulos retângulos possuem a mes-

ma medida de hipotenusa. Dessa forma, aplicando o Te orema

de Pitágoras, podemos escrever que 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.

Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se can-

celarão, resultando em uma equação de 1o grau de raiz 20. Logo,

o peixe apareceu a 20 côvados da palmeira maior.

c) Adicionei sete vezes o lado de um qua-

drado a onze vezes a sua área e o resul-

tado foi 6,25. Qual é a medida do lado

do quadrado?A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão

11

22 e – 25

22. No entanto, somente a solução positiva tem

significado nesta situação: o lado do quadrado deve ser 0,5.

2. Perguntaram a um professor de Matemática

sobre o número de pessoas que o acompa-

nharam na visita a uma exposição. Como

resposta, o professor criou um problema,

explicando que todas as pessoas que o

acompanharam, ao se encontrarem, cum-

primentaram-se apertando as mãos e, assim,

ele observou 66 cumprimentos. Quantas

pessoas acompanharam o professor?

Geralmente, no início do problema devemos decidir se o

professor será ou não considerado no total de pessoas. No

caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos

entre as pessoas, logo, desconsideramos os referentes a ele.

Para resolver este problema, o aluno deve considerar inicial-

mente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá

é uma unidade a menos que o número total de pessoas. Afi-

nal, uma pessoa não se cumprimenta a si mesma. Indicando

por x o número de pessoas, o número total de cumprimen-

tos será x(x – 1). Em seguida, como o cumprimento do aluno

A ao aluno B é o mesmo cumprimento de B ao aluno A, esse

total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação

x(x – 1)

2 = 66, isto é, x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os

números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado,

podemos concluir que 12 pessoas acompanharam o profes-

sor. Observe a tabela a seguir:

Número de pessoas

1 2 3 4 5 x ...

Número de cumprimentos 0 1 3 6 10

x(x – 1)

2...

© C

onex

ão E

dito

rial

89

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

3. Mostre que não existem dois números

reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu

produto igual a 10.

Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação

x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando,

assim, que não existem dois números reais que satisfazem

as condições do problema.

4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx +

+ 9 = 0, sendo b um número real.

a) Substitua b por 10 e calcule as raízes

da equação.

–9 ou –1

b) Determine um valor de b para o qual

a equação possua duas raízes reais e

iguais (pode-se dizer também uma raiz

real dupla).

–6 ou 6

c) Determine um valor de b para o qual a

equação não possua raízes reais.

Uma possível resposta: b = 5, uma vez que essa questão não

tem uma única resposta e sua discussão permite antecipar a

compreensão de noções importantes relacionadas à função

modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, duran-

te o Ensino Médio.

A seguir, vamos explorar algumas relações,

fatos e propriedades geométricas em que se

aplicam equações de 2o grau.

5. A diagonal de um polígono convexo é o seg-

mento que une dois vértices não consecutivos.

Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C,

D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.

A

C

D

E

FG

Com base nessa definição:

a) Quantas diagonais tem um retângulo?

E um pentágono?

Retângulo: 2 diagonais;

pentágono: 5 diagonais.

b) Complete a tabela apresentada a seguir

Número de lados de um polígono

Número de diagonais de um

polígono

3 0

4 2

5 5

6 9

7 14

... ...

n n(n – 3)

2

c) Qual é o número de diagonais de um

polígono com 15 vértices?

90

d) Sabendo que um polígono tem 44 diago-

nais, quantos lados tem esse polígono?

11 lados

H

B

90

e) Utilizando seus conhecimentos sobre

equações de 2o grau, mostre que não

existe um polígono com exatamente 42

diagonais.

Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes

inteiras positivas.

6. O projeto de um jardim retangu-

lar prevê que se coloquem pedras

ornamentais, formando com o jar-

dim uma área maior, também retangular. Na

figura a seguir, a região cinza representa o

lugar onde as pedras deverão ser colocadas.

x 15 m

6 m

x

Sabendo que a área ocupada pelas pedras é

de 46 m2, calcule a medida x em metros.A figura pode ser dividida conforme indicado a seguir:

x

x + 6

15

6

x

x

Nessa condição, o valor de área dada pode ser aplicado na

seguinte equação: x(x + 6) + 15x = 46

Essa equação apresenta solução x = –23 ou x = 2. A resposta

positiva é a que interessa à situação. Portanto, x = 2.

7. Em uma peça retangular de tecido, par-

cialmente representada na figura a seguir,

o número de fios de linha vermelha excede

o número de fios de linha azul em 5, sendo

que o total de pontos de cruzamento entre

as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800.

Calcule o número de fios de linhas azul e

vermelha usados na confecção desse tecido.

fios de linha vermelha

fios

de li

nha

azul

Se o número de fios azuis for igual a x, o de fios vermelhos será

x + 5. O total de cruzamentos entre os fios, nesse caso, poderá

ser representado pela expressão x (x + 5). Temos a equação: x(x +

+ 5) = 6 800 que apresenta solução x = 80 ou x = –85. Assim, o

número de fios azuis é 80 e o de fios vermelhos é 85.

8. Um vitral retangular colorido de dimensões

2 m por 4 m será emoldurado conforme in-

dica a figura a seguir. Sabendo que a área

total da moldura é 7 m2, calcule a medida x

do lado dos quadrados nos cantos da mol-

dura, tendo em vista que os quatro cantos

da moldura são quadrados idênticos.

xx

x

xx

x

x

x 4 m

2 m

As raízes serão –3,5 e 0,5 m. Portanto, o valor de x será 0,5 m.

91

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Desafio!

9. Com os procedimentos já estudados

para solucionar equações de 2o grau,

você pode resolver também equações

de outros graus. Assim, resolva as se-

guintes expressões algébricas:

a) x3 – 6x = 0

x3 – 6x = 0, logo x(x2 – 6) = 0

Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = ± 6 .

Assim, a equação tem como soluções S = { 0, 6 , – 6 }.

b) x x= – 1+3Inicialmente, vamos isolar a raiz e depois elevar ambos

os membros da equação ao quadrado:

(x – 3)2 = x – 1

x2 – 6x + 9 = x – 1

x2 – 7x + 10 = 0

As soluções serão x = 2 ou x = 5. Contudo, temos que ve-

rificar a validade das soluções.

x = 2 x = 5

2 = 2 – 1 + 3 5 = 5 – 1 + 3

2 = 1 + 3 5 = 4 + 3

2 = 4 falso 5 = 5 (verdadeiro) S = {5}

Considerações sobre a avaliação

Nesta Situação de Aprendizagem, foi pro-

posta aos alunos uma série de atividades que

envolvem equações de 2o grau e sua solução. Mui-

tas delas já apontam para a relação entre duas

grandezas, preparando noções sobre funções,

tema das próximas Situações de Aprendizagem.

É fundamental que o professor observe tanto a

compreensão dos enunciados como os processos

de resolução das equações. Em cada problema,

podem-se recuperar as estratégias aprendidas e

sugerir as formas mais adequadas de resolução.

Uma ideia que o professor pode desenvol-

ver, neste momento, é propor aos alunos a

criação de problemas que envolvam a expres-

são e resolução de uma equação de 2o grau.

Para isso, os alunos podem fazer pesquisas

sobre fenômenos que são modelados por fun-

ções quadráticas. Ao recolher os trabalhos, o

professor pode observar a criatividade com

que foram elaborados os problemas e o rigor

das resoluções. Valorizando a produção dos

alunos, o professor pode discutir uma ou outra

forma mais adequada de apresentar o proble-

ma e a resolução.

92

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL,

SIGNIFICADOS E CONTEXTOS

Conteúdos e temas: grandezas diretamente proporcionais; expressão algébrica da relação de proporcionalidade direta e inversa; noções de funções.

Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade; expressar situações e problemas em linguagem algébrica; aplicar as noções de proporcionalidade em diferentes contextos.

Sugestão de estratégias: proposição de situações-problema envolvendo proporcionalidade.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7

Para as atividades aqui apresentadas, con-

sidera-se a importância do desenvolvimento

do raciocínio proporcional, por meio da ex-

ploração de situações que levem o aluno a ob-

servar a variação entre grandezas, estabelecer

relação entre elas e construir estratégias de so-

lução para resolver problemas que envolvam a

proporcionalidade. Explorada em outros con-

textos, como na ampliação de figuras e na se-

melhança de triângulos, a proporciona lidade

agora está no foco das noções básicas sobre

função, ou seja, pretende-se propor situações

cuja finalidade é o desenvolvimento de ideias

relativas às funções, por meio de situações en-

volvendo a proporcionalidade. Vale lembrar

que o raciocínio proporcional ocupa lugar de

destaque na aprendizagem matemática e, por

essa razão, está presente em várias Situações

de Aprendizagem destes Cadernos.

Para resolver os problemas propostos, os alu-nos deverão identificar a natureza da variação entre duas grandezas, reconhecendo que duas grandezas, x e y, são diretamente proporcionais, quando a razão entre seus valores correspon-

dentes é constante: yx

= constante = k e escrever,

portanto, que y = kx (k é uma constante). Para a resolução de algumas das situações seguintes, deve-se identificar a existência ou não de pro-porcionalidade, traduzindo-a por meio de uma relação algébrica – relação funcional – quando existir. Na caracterização dessa interdepen-dência entre as duas grandezas, devemos iden-tificar a que pode variar livremente, que será a variável independente, daquela que tem seu valor determinado pelo valor da outra, que será a variá vel dependente. Dessa forma, sendo x a va-riável independente, se a cada valor de x corres-ponder um único valor da variável dependente y, diremos então que y varia em função de x.

Também são propostos problemas que tratam de duas grandezas, x e y, que variam

93

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

de tal modo que a proporcionalidade dire-ta ocorre não entre y e x, mas entre quanto y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos y – h = kx, ou seja, y = kx + h (k e h constantes), ou seja, y – h é diretamen-te proporcional a x, uma vez que podemos

escrever y hx

k−

= . Ou seja, estes problemas

têm por finalidade explorar a variação linear

entre duas grandezas e suas aplicações.

Quanto às funções de 2o grau y = ax2 + bx + c,

apresentaremos algumas situações que estabele-

cem a proporcionalidade entre uma grandeza e o

quadrado de outra.

1. Discuta com seus colegas a

seguinte situação: Paulo foi à

feira e encontrou ofertas de

maçãs:

Em sua opinião, a oferta das 10 maçãs

é vantajosa para Paulo? Justifique sua

resposta.

Podemos dizer que o preço de 10 maçãs está relativamente

barato em comparação com o preço de 5. Se o preço fos-

se diretamente proporcional ao número de maçãs, 10 delas

custariam R$ 2,00 e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante

era realmente boa para a compra de 10 maçãs.

2. A tabela a seguir indica como varia a gran-

deza y em função da grandeza x. Analise-a

e, levando em conta os valores apresentados,

diga se as grandezas envolvidas são direta-

mente ou inversamente proporcionais, ou se

não são nem direta nem inversamente pro-

porcionais. Em cada caso, escreva a expres-

são algébrica que relaciona x e y.

a) x 1 2 3 4 5 6 7

y 10 20 30 40 50 60 70

São grandezas proporcionais, pois, quando o valor de uma

grandeza dobra, o valor correspondente à outra também

dobra; quando triplica, o outro também triplica etc. Isto é,

a razão x

y é constante e a sentença que expressa a relação

entre x e y é x

y ou y = 10x.

b) x 1 2 3 4 5 6 10

y 48 24 16 12 9,6 8 4,8

São grandezas inversamente proporcionais, pois, quando o va-

lor de uma grandeza dobra, o valor correspondente à outra se

reduz à metade; quando triplica, o outro se reduz a um terço

etc. A razão x y é constante, e a sentença que expressa a relação

entre x e y é x y = 48 ou y = 48

x.

c) x 1 2 3 4 5 6 7

y 3 5 7 9 11 13 15

Não são grandezas nem direta nem inversamente propor-

cionais, pois não se observa um mesmo valor nem x

y

para nem para x y. A expressão que relaciona x e y pode ser

y = 2x+1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valo-

res de y são iguais ao dobro dos correspondentes valores de x

acrescidos de 1 unidade).

© C

onex

ão E

dito

rial

94

d) x 1 2 3 4 5 6 7

y 2 8 18 32 50 72 98

Também não são grandezas nem direta nem inversamente pro-

porcionais, pois não se observa um valor constante nem para

x

y nem para x y. A sentença que relaciona x e y é y = 2x2

(analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são

iguais ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).

3. Refaça a tabela apresentada na

atividade 2, item c da seção Você

aprendeu?, e verifique se há pro-

porcionalidade entre x e y – 1. Justifique

sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7y 3 5 7 9 11 13 15

y – 1 2 4 6 8 10 12 14

Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos

que a razão y – 1

x é constante. Como y – 1

x = 2, o valor 2

representa a constante de proporcionalidade.

4. Faça a mesma análise com o item d da ativi-

dade 2 apresentado na seção Você aprendeu?,

verificando se há proporcionalidade entre os

valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.

x 1 2 3 4 5 6 7x2 1 4 9 16 25 36 49

y 2 8 18 32 50 72 98

Construindo uma nova tabela, observamos que os valores

de y são diretamente proporcionais ao quadrado de x, isto

é, y

x2

é constante e, como y

x2

= 2, a constante de propor-

cionalidade é 2.

5. Em cada um dos casos apresentados a

seguir, verifique se há ou não propor-

cionalidade direta entre as medidas das

grandezas correspondentes. Se houver,

expresse tal fato algebricamente, indican-

do o valor da constante de proporciona-

lidade, quando possível.

a) A massa m de uma pessoa é diretamente

proporcional a sua idade t?

Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra, digamos,

passa de 2 a 4 anos, não é verdade que sua massa também

dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a mas-

sa de uma pessoa aos quarenta anos...

b) Quando compramos x metros de deter-

minado fio, o preço p a pagar é direta-

mente proporcional a x?

Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 m do fio

pela quantidade x de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 m

de fio. Mas, às vezes, o vendedor pode fazer algum desconto,

se a pessoa comprar uma grande quantidade, e aí a propor-

cionalidade deixa de existir.

c) O preço a ser pago por uma fotocópia é

diretamente proporcional ao número de

cópias?

Sim. De fato, quando o número de cópias dobra, digamos,

passa de 5 a 10, é verdade que o preço a ser pago também

dobra.

d) O perímetro p de um triângulo equilá-

tero é diretamente proporcional ao seu

lado de medida a?

O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou

seja, p é o produto da medida a do lado por 3, ou seja, p = 3a.

Portanto, o perímetro é proporcional à medida do lado do

triângulo equilátero.

95

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

e) A diagonal d de um quadrado é di-

retamente proporcional ao lado a do

quadrado?

a

a

d

Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou

seja, d = 2 a. Isso é pos sível de perceber aplicando-se o

Teorema de Pitágoras.

f) O comprimento C de uma circunferência

é diretamente proporcional a seu raio r?

Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2 .

Ou seja, C

r = 2 e C = 2 r.

g) A área de um círculo é diretamente pro-

porcional à medida do raio? E ao qua-

drado do seu raio?

Como a área de um círculo é dada pela expressão A = .r2,

observamos a seguinte proporcionalidade A

r2 = . Portanto,

a área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu raio.

6. Ao dirigir um automóvel, o

motorista deve estar atento à

distância percorrida pelo auto-

móvel quando o freio é acionado. O código

de segurança nas estradas sugere uma rela-

ção entre a distância de segurança, isto é, a

distância percorrida pelo carro após acio-

nado o sistema de freios e a velocidade do

automóvel no instante da frenagem. A ta-

bela a seguir mostra alguns valores encon-

trados em uma pista de testes:

Velocidade: v (km/h)

0 10 20 30 40 50 100 120

Distância de segurança: d (metros)

0 1 4 9 16 25 100 144

Observando a tabela, concluímos que d = k v2.

a) Qual o valor da constante de proporcio-

nalidade k?

k = d

v2

= 1

102

= 4

202

= 1

100

b) O automóvel encontra um obstáculo a

uma distância de 83 m. Qual deve ser,

aproximadamente, sua velocidade máxima

de modo que ele não atinja o obstáculo?

Aproximadamente 90 km/h.

d= 1

100 v2 83 = 1

100 v2 v = 8 300 v 90km/h

c) Qual a distância de segurança quando a

velocidade do automóvel for v = 80 km/h?

64 m

d= 1

100 802 d = 6 400

100 = 64m

7. Para produzir x unidades de um produto

A, o custo total C é composto de uma par-

cela fixa de mil reais e uma parcela variável,

que é diretamente proporcional a x. O cus-

to total da produção de x produtos é, então,

C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A cons-

tante k representa o aumento no custo total

C quando a quantidade produzida aumen-

ta uma unidade. Dado que, para produzir

100 unidades do produto A, o custo total é igual

a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões:

96

a) Qual o valor de k na expressão

C = 1 000 + kx?

Os valores são x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores

na expressão, chegamos ao valor de k = 5. Isso significa que, a

cada quantidade produzida, o custo total aumenta em 5 reais.

b) Em quanto aumentará o custo total se a

quantidade produzida aumentar de 579

para 580? E de 2 938 para 2 939?

Aumentará, em ambos os casos, 5 reais, pois a variação de

uma unidade produzida.

c) Para qual valor de x o custo variável

será igual ao custo fixo?

x = 200, pois 5 200 = 1 000.

d) O custo total C é diretamente propor-

cional a x?

Não, o custo total C não é diretamente proporcional a x, pois

a razão C

x não é constante. Para x = 1, temos C = 1 005 e,

para x = 2, temos C = 1 010; 1 010

2 ≠

1 005

2, ou seja, C

x

não é constante.

e) A diferença entre o custo total C e o

custo fixo é diretamente proporcional

a x?

Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é direta-

mente proporcional a x, ou seja, o custo variável é diretamen-

te proporcional a x e a constante de proporcionalidade é 5.

O professor, nesse caso, pode sugerir a construção de uma

tabela, como a que é apresentada no item a seguir:

f) De acordo com os dados apresentados

no enunciado do problema, quais valo-

res completam a tabela?

Número de produtos (x)

Custo totalDiferença entre o custo

total e o custo fixo (custo variável)

Razão entre a diferença calculada

e x

1 1 000 + 5 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5

51

= 5

2 1 000 + 5 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10

10

2 = 5

3 1 000 + 5 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15

15

3 = 5

4 1 000 + 5 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20

20

4 = 5

... ... ...

10 1 000 + 5 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50

50

10 = 5

97

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

8. Uma determinada revista estadunidense apre-

sentou duas leis que representam a relação en-

tre o número do sapato (n) e o comprimento

do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as

mulheres, a lei é n = 3c – 22 e para os homens,

é n = 3c – 25. Assim, responda:

a) Qual é o número do sapato de uma mulher

cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E

o de um homem com 16 polegadas?

Números 17 e 23.

b) Se um homem e uma mulher possuem o

pé de mesmo comprimento, qual deles

calçará o sapato de número maior?

A mulher.

c) Existe alguma medida de comprimen-

to de pé que torne o número do sapato

masculino igual ao feminino?

Não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,

observamos que a diferença entre os números dos homens e

das mulheres permanece em três unidades e que cada uma

delas cresce com a mesma variação: 3 por polegadas.

C 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Número (homem) 2 5 8 11 14 17 20 23 26

Número (mulher) 5 8 11 14 17 20 23 26 29

9. Quando mergulhamos no mar, a

pressão aumenta com a profundida-

de. Na superfície do mar, a pressão é

resultante do peso do ar atmosférico e sua

medida é igual a 1 atmosfera. Quando nos

encontramos a uma profundidade x (em me-

tros), a pressão p é uma soma de duas parce-

las: a pressão ao nível do mar mais a pressão

resultante do peso da água, que é diretamen-

te proporcional à profundidade x, ou seja,

p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros e k,

a constante de proporcionali dade). Sabendo

que a cada 10 m que descemos verticalmente

no mar, a pressão aumenta em 1 atmosfera,

responda às questões a seguir:

a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx?

Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade

de 10 m (x = 10), a pressão aumenta de 1 atmosfera. Assim,

a 10 m de profundidade, a pressão será 1 + 1 = 2 atmosferas.

Logo, 2 = 1 + k 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor

poderia ser mais rapidamente calculado dividindo o acrésci-

mo de 1 atmosfera de pressão por 10.

b) Em quanto aumentará a pressão se des-cermos verticalmente mais 1 m na água?

A cada metro que descemos a pressão aumentar de

0,1 atm.

c) À qual profundidade x o valor da pressão triplica em relação ao valor na superfície?

x = 20 m.

d) A pressão p é diretamente proporcional

à profundidade?

Não, pois a razão entre p e h não é constante.

e) A diferença entre a pressão p e a pressão

na superfície é diretamente proporcio-

nal à profundidade?

Sim, pois a razão entre a diferença das pressões (acréscimo

de pressão) e a profundi dade é constante.

98

10. A área A de uma imagem

projetada é dada em função da

distância d entre projetor e a tela.

d = 1d = 2

d = 3

a) Observe a figura e complete a tabela a

seguir, que relaciona a área A da ima-

gem com a distância d do projetor:

Distância (d) 1 2 3 4 5 6 7

Área(A) (u) 1 4 9 16 25 36 49

b) Qual das expressões a seguir representa

relação entre A e d?

A = 2d ( ) A = d + 4 ( )

A = d2 ( ) A = d + 1 ( )

A expressão será A = d2 .

c) A área A da imagem é diretamente pro-

porcional à distância d do projetor? Se sim,

quanto vale a razão de proporcionalidade?

A não é diretamente proporcional a d.

d) A área A da imagem é diretamente pro-

porcional ao quadrado da distância d

ao projetor? Se sim, quanto vale a razão

de proporcionalidade?

A área A é diretamente proporcional à distância d2 e a razão

de proporcionalidade é 1.

11. Em finanças, dois conceitos muito im-

portantes são o da oferta e o da deman-

da ou procura. A função oferta represen-

ta a relação entre o preço (p) necessário

para que um fabricante produza certa

quantidade (n) desses produtos. A fun-

ção demanda representa a relação entre

o preço (p) que os consumidores pagam

pelo produto e a quantidade (n) de pro-

dutos produzidos. Supondo que a fun-

ção oferta para determinada mercadoria

seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais,

responda:

a) Qual o preço a ser oferecido caso a pro-

dução seja de 50 mercadorias?

Atribuindo à variável independente n o valor 50, teremos o

valor de p = 3 502 + 60 50 = 7 500 + 3 000 = 10 500 reais.

b) O que ocorre com o preço à medida que

o número de mercadorias produzidas

aumenta? Podemos dizer que o preço p

é proporcional ao número de mercado-

rias produzidas? Construa uma tabela

para fundamentar suas conclusões e

justifique.

Para construir a tabela, devemos considerar somente valores

naturais para n:

N 0 1 2 3 4 5 6 10 100

P 0 63 132 207 288 375 468 900 36 000

Com base nessa tabela, observamos que, à medida que n

cresce, p também cresce. Contudo, observamos que p não

é diretamente proporcional a n.

© C

onex

ão E

dito

rial

u

99

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Considerações sobre a avaliação

Ao final desta Situação de Aprendizagem, é

fundamental que os alunos reconheçam situa-

ções contextualizadas que podem ser modela-

das por meio de uma expressão que relacione

duas grandezas e que analisem se essa relação é

direta, inversamente proporcional ou nem direta

nem inversamente proporcional. A familiariza-

ção com o conceito de função está associada,

particularmente, às observações das variações

e das relações de interdependência na expressão

algébrica ou na construção de tabelas.

Nesse início, o professor pode observar que

não foi dada muita evidência à linguagem for-

mal para o tratamento de funções. Vale lem-

brar que uma abordagem mais sistematizada

sobre funções é foco do conteúdo da 1a série do

Ensino Médio.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8

Na Situação de Aprendizagem anterior

foram propostas atividades que envolviam

a variação de duas grandezas, que eram di-

retamente proporcionais e as inversamente

proporcionais. Tais relações foram descritas

verbalmente, por meio de tabelas e também

algebricamente.

Uma vez que os gráficos são traçados no

plano cartesiano, é importante que o professor

investigue os conhecimentos prévios dos alunos

referentes a coordenadas, par ordenado, qua-

drantes, eixos e origem do sistema. Caso iden-

tifique dificuldades, o professor pode iniciar seu

trabalho retomando a construção dessas noções

fundamentais. Com base nisso, pode sugerir que

os alunos pesquisem e tragam alguns gráficos

usados em jornais e revistas para a discussão em

Conteúdos e temas: representação gráfica de grandezas direta e inversamente proporcionais e de grandezas que não são proporcionais; representação gráfica de diversos tipos de rela-ção de interdependência linear e não linear; problemas de máximo e mínimo que envolvem funções quadráticas.

Competências e habilidades: compreender situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade; expressar graficamente situações de interdependên-cia entre grandezas.

Sugestão de estratégias: exploração de diversos tipos de interdependência entre grandezas; utili-zação de situações-problema envolvendo construção e análise de gráficos.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS

PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS

100

sala de aula. As análises podem ser feitas com

base em grandezas envolvidas, formas de cresci-

mento ou decrescimento e pontos de máximos e

mínimos. Nas primeiras atividades desta Situa-

ção de Aprendizagem, sugerimos algumas análi-

ses de fenômenos e suas representações gráficas.

O objetivo aqui é explorar a ideia de que um grá-

fico é uma representação da variação entre duas

grandezas. Essa representação, isto é, o gráfico

da função, permitirá o levantamento de muitas

hipóteses, além suscitar diferentes questões.

A proporcionalidade entre grandezas é uma

das formas mais comuns de ocorrências físi-

cas. Como temos demonstrado, são várias as

situações-problema sobre taxas de variações,

como aquelas que encontramos em leis de mo-

vimento e de consumo. A representação geo-

métrica da proporcionalidade direta, isto é, de

expressões na forma algébrica y = mx, consti-

tui uma classe de retas que passam pela origem

do sistema cartesiano. Quando a variação en-

tre as grandezas é dada na forma y = mx + n,

a proporcionalidade agora será entre os valores

de y – n e x. Nesse último caso, o gráfico tam-

bém será uma reta, de mesma declividade m.

Sendo n ≠ 0, o valor de n será aquele a partir

do qual a variação em y é diretamente propor-

cional a x. Geralmente, nas situações contex-

tualizadas, somente o traçado das curvas no

primeiro quadrante tem significado. Contudo,

é importante que o aluno construa os critérios

associados ao domínio da função. Deve-se

estar atento também à escala a ser escolhida,

quando se constroem gráficos.

Nesta Situação de Aprendizagem, são

propostos problemas que tratam de represen-

tações gráficas de grandezas cuja variação é

diretamente proporcional, inversamente pro-

porcional ou não proporcional.

Tais atividades têm por finalidade discutir:

os pontos do gráfico cartesiano que re-

presentam a variação de duas grandezas

diretamente proporcionais (y = mx) per-

tencem a uma reta que passa pelo ponto

(0; 0). Quando a função estiver expressa

na forma y = mx + n, com n ≠ 0, a pro-

porcionalidade se dará entre y – n e x;

x

0 x1 x2 x3 x4 x5

y = mx

n

y = mx + n

y

os pontos do gráfico cartesiano que

representam a variação de duas

grandezas inversamente proporcio-

nais (x y = k) pertencem a uma cur-

va denominada hipérbole;

101

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

1

1

– 1

– 2

2

y

x

– 1– 2– 3– 4

2 3 4

os gráficos de funções quadráticas são

curvas denominadas parábolas e possuem

concavidades para cima ou para baixo e

um ponto de máximo ou de mínimo.

– 1– 2 1

1

2

3

2

x

y

1. Considere as grandezas “distân-

cia de casa” e “tempo decorrido”

nas situações a seguir e indique o

gráfico que melhor corresponde a cada uma.

I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para

ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois

de trocá-lo, ele continuou o trajeto.

Gráfico c

II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas

precisou retornar para pegar sua bolsa.

Em seguida, ela foi ao banco.

Gráfico d

III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumen-

tou cada vez mais sua velocidade para

chegar mais rápido ao seu destino.

Gráfico b

a)distância de casa

tempo

b)

tempo

distância de casa

c)

distância de casa

tempo

102

d)distância de casa

tempo

2. Mediram-se as massas de pequenas amos-

tras de ferro de diversos volumes. A unidade

de medida de massa foi o grama (g) e a de

volume foi expressa em centímetros cú-

bicos (cm3). Com os dados encontrados,

construiu-se o gráfico a seguir:

0 1 2 3 4 5

7,5

15

22,5

37,5

30

massa (gramas)

volume (centímetros cúbicos)

a) Qual é a massa de uma amostra de ferro

cujo volume é 4 cm3?

30 g

b) Qual é o volume de uma amostra de fer-

ro de 15 g de massa?

2 cm3

c) Explique por que as grandezas volume e

a massa de amostras de ferro represen-

tadas no gráfico são grandezas direta-

mente proporcionais.

Por meio da análise do gráfico, podemos verificar que a

amostra de 1 cm3 de ferro tem massa 7,5 gramas. A massa de

2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado,

podemos ler o gráfico a partir do eixo vertical: o volume de

uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é 3 cm3. Esse grá-

fico mostra como varia a massa m (em gramas) de amostras

de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amos-

tras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3

para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15

gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3), a mas-

sa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim,

concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional

ao volume.

d) Qual é a constante de proporcionalidade?

Observando os valores das massas e dos volumes apresen-

tados, verificamos que:

7,5 gramas

1 cm3

= 7,5g/cm3 15 gramas

2 cm3

= 7,5g/cm3

22,5 gramas

3 cm3 = 7,5g/cm3. Portanto, ao variar o volume V

do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a

massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).

e) Escreva a relação entre a massa, m, e o

volume, V, por meio de uma expressão.m

V = 7,5 ou m = 7,5V.

103

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

3. O gráfico a seguir indica a velocidade que

um automóvel precisa alcançar em função

do tempo para percorrer uma distância de

120 km.

60

60

40

302420

120 v (km/h)

1 2 3 4 5 t (h)

a) Com base no gráfico, complete a tabela

a seguir:

t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12

v (km/h) 120 80 60 40 30 24 20 15 10

b) Explique por que as grandezas “veloci-

dade” e “tempo” representadas no grá-

fico são inversamente proporcionais.

Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse pro-

blema – a velocidade média e o tempo gasto para se

percorrer a distância dada – não são diretamente pro-

porcionais, mas sim inversamente proporcionais, porque

quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor

correspondente à outra é dividido por 2. Quando um

deles é dividido por 6, o correspondente à outra é multi-

plicado por 6, e assim por diante, ou seja, duas grandezas

x e y são inversamente proporcionais quando os produ-

tos dos valores de uma pelos correspondentes valores da

outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversa-

mente proporcionais são denominados hipérboles.

c) Escreva a expressão que relaciona v e t.v t = 120

4. Analise o gráfico a seguir. Ele

indica o preço em reais de cada ca-

miseta que uma confecção produz

de acordo com o número de camisetas

compradas pelas lojas.

y

100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

(preço em reais por item)

200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O gráfico mostra que, quanto maior for a

quantidade de camisetas compradas, menor

será o preço por unidade. Por exemplo: se

uma loja comprar 100 camisetas, o preço de

cada uma delas será 16 reais; se comprar 200,

o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e

assim por diante. Agora responda:

104

a) As grandezas envolvidas, preço unitário

p e quantidade q, são diretamente ou in-

versamente proporcionais? Explique.

Não, porque a razão p

q não é constante.

b) O que acontece com o preço da camise-

ta quando a quantidade vendida varia

em100 unidades?

O preço varia em 2 reais.

c) Qual seria a diminuição no preço para o

aumento de uma unidade vendida.

O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades

vendidas. Portanto, o preço não se modificou para uma uni-

dade vendida.

d) Com base nessas informações, escreva

uma sentença que relacione o preço p

com a quantidade q.

Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades,

o preço aumenta 2 reais, então, o preço inicial das camisetas

seria 18 reais. Como a cada unidade vendida o preço diminui

0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.

5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela

fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de

caixa para embalá-los, colocando a mesma

quantidade de bombons em cada uma delas.

a) As grandezas “números de bombons” e

“números de caixas” são inversamente

proporcionais? Explique.

Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).

b) Preencha a tabela a seguir:

No de bombons 2 3 4 6 9 12

No de caixas 18 12 9 6 4 3

c) Construa um gráfico que represente a

situação indicada na tabela anterior.

0

6

912

18

36n (bombons)

c (caixas)1 2 3 4 5 6

6. Observe os três retângulos

desenhados e responda às ques-

tões a seguir:

8 cm

3 cm 1 cm10 cm

5 cm

6 cm

III

III

a) Calcule o perímetro e a área de cada um

deles e, em seguida, preencha a tabela:

Retângulo Perímetro (cm) Área (cm2)I 22 24

II 22 10

III 22 30

b) Considere um retângulo de mesmo pe-

rímetro que os anteriores, cujos lados

medem x e y centímetros. Expresse y em

função de x.

2x + 2y = 22, logo y= –x + 11

105

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

c) Complete a tabela a seguir para a função

anterior com valores inteiros de x va-

riando de 0 a 11. Com base nesses dados,

construa o gráfico dessa função.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1–1–1–2

–2

1

9

9

5

5

3

3

11

11

13

13

15

15

17

17

19

19 y

x

207

7

2

2

10

10

12

12

14

14

16

16

18

18

6

6

4

4

8

8

d) Como varia y à medida que o valor de x

aumenta? O gráfico representa uma varia-

ção proporcional entre x e y? Justifique.À medida que o valor de x aumenta, é pos sível observar que

o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As

variáveis y e x não são diretamente proporcionais nem inver-

samente proporcionais, pois não observamos uma constante

no quociente y

x .

e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x.

A = x y = x(–x + 11) = –x2 + 11x

f) Preencha a tabela a seguir com os valo-res da área A para x variando de 0 a 11.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0

g) A área de A e é proporcional à medida

de x? Justifique.

A partir da tabela e do gráfico, pode-se observar que os va-

lores de A e x não são nem diretamente nem inversamente

proporcionais.

h) O gráfico a seguir representa a função da

área A de um retângulo em relação a seu

lado de medida x. Com base nele, determi-

ne o valor de x que torna a área máxima.

0 5 6 1110

5,5

x

10

20

30

y

Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a

maior área será obtida para x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa

medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou seja, a

área máxima será a de um quadrado.

7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perí-

metro p e área A.

a) Expresse algebricamente a relação exis-

tente entre os valores de p e de x.

p = 4x

106

b) Expresse algebricamente a relação exis-

tente entre os valores de A e de x.

A = x2

c) Mostre que existe um valor de x para o

qual a área e o perímetro de um quadra-

do são expressos pelo mesmo número.

x2 = 4x, logo, x = 4

d) Esboce no mesmo sistema de coorde-

nadas os gráficos de p e de A em fun-

ção de x e localize o ponto encontrado

no item anterior.

–1

–2

–2–3–4–5–6–7–8–9–10 21

123456789

101112131415161718

3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

8. Um grupo de alunos da 8a série/

9o ano formou uma banda e precisa

determinar o preço x, em reais, do

ingresso para o show de apresentação. Eles

imaginaram que, se o valor do ingresso for

muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se

for muito baixo, não obterão lucro, que se-

ria investido na banda. Com base nos valo-

res cobrados por outras bandas, os alunos

concluíram que o lucro L de cada espetácu-

lo, em re ais, poderia ser dado pela expressão

L = –x2 + 12x – 20. (Observação: L > 0 signi-

fica lucro e L < 0, prejuízo).

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

–1–1

–2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

yx y

2 0

3 7

4 12

5 15

6 16

7 15

8 12

9 7

10 0

Observe o gráfico e a tabela e, em seguida,

responda:

a) Qual será o lucro caso eles decidam co-

brar 4 reais por ingresso?

12 reais.

b) Se o preço do ingresso for superior a 6

reais, podemos afirmar que o grupo terá

prejuízo? Justifique.

Não, o grupo ainda terá lucro. Contudo, quanto mais pró-

ximo de 10 reais, o lucro diminui até que, nesse valor, ficará

zerado, e a partir dele o projeto apresenta prejuízo.

c) Para que intervalo de valores de x o lu-

cro aumenta? E para qual ele diminui?

Até 6 reais ele aumenta. Entre 6 reais e 10 reais ele diminui.

107

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

d) Qual é o valor do ingresso para o

maior lucro possível? Qual o valor do

lucro máximo?

O valor do ingresso para que o lucro seja máximo é 6 reais,

quando o lucro atingirá 16 reais.

e) O que acontece quando o valor dos ingres-

sos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?

Nesses intervalos, o projeto tem prejuízo.

f) O que ocorre com o lucro quando os in-

gressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais?

Com esses valores o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se

que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo

y, que passa pelo ponto máximo da função em x = 6.

Considerações sobre a avaliação

Foram sugeridas algumas atividades que

permitem a construção de noções básicas

sobre funções lineares e quadráticas. Julgan-

do possível, o professor pode aprofundar as

formas gerais de funções cujos gráficos são

retas, como y = mx + n, analisando cresci-

mento, diminuição e coordenadas dos pontos

de intersecção nos eixos. Quanto às funções

quadráticas na forma y = ax2 + bx + c, o pro-

fessor pode discutir os sentidos das concavi-

dades com relação aos sinais do coeficiente

a e também as coordenadas dos pontos que

interceptam os eixos coordenados.

Na Situação de Aprendizagem 1, caso al-

guns alunos demonstrem dificuldade para

compreender o significado dos conjuntos nu-

méricos, recomendamos que se retome um

pouco da história dos números, mostrando

como esse tipo de representação evoluiu ao

longo da história em função das necessidades

do homem: o surgimento dos números natu-

rais como uma forma de representar a conta-

gem de objetos ou de marcar a passagem do

tempo; a necessidade de medida provocando

o surgimento dos números fracionários (ra-

cionais); o desenvolvimento do comércio e das

finanças, que demandou a utilização de núme-

ros negativos para registrar dívidas etc.

Na Situação de Aprendizagem 2, o professor

poderá retomar os temas por meio de lista de

exercícios e, eventualmente, poderá propor que

os alunos façam um trabalho em grupo sobre

frações contínuas e aproximações de irracionais.

A Situação de Aprendizagem 3 permite

que o professor explore a recuperação com

atividades de desenho geométrico, já que par-

te significativa do trabalho nela apresentado

diz respeito às construções geométricas. Nesse

momento, o professor poderá utilizar uma lis-

ta de exercícios e solicitar que o aluno prepare

fichas-resumo com procedimentos elementa-

res de construção, como o traçado da media-

triz de um segmento, o traçado da bissetriz de

um ângulo, construção de polígonos regulares

e, mais diretamente relacionado com a Situa-

ção de Aprendizagem, a construção de alguns

números reais.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO

108

Com relação à Situação de Aprendiza-

gem 4, que trata da notação científica, al-

guns alunos poderão encontrar dificuldade

com algumas das operações. Caso isso ocor-

ra, recomendamos que o professor retome os

princípios que fundamentam as propriedades

das operações com potências. Mais do que

enunciar a propriedade, é fundamental que o

professor contextualize e justifique essa pro-

priedade, o que pode ser feito por meio de

exemplos simples, nos quais o aluno possa se

apoiar em seus conhecimentos prévios sobre

multiplicação e potências para compreender o

significado da propriedade. Por exemplo: uma

das propriedades afirma que, no produto de

potências de mesma base, mantém-se a base

e somam-se os expoentes. Podemos visualizar

essa propriedade em um exemplo numérico:

23 25 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 28

3 fatores 2 5 fatores 2

generalizando para os expoentes m e n, temos:

2m 2n = 2 2 2 2 2 2 2 2 =

m fatores n fatores

2 2 2 2 2 ... = 2m + n

m + n fatores

Caso os alunos ainda apresentem duvi-

das quanto aos temas propostos na Situação

de Aprendizagem 5, sugerimos que o profes-

sor identifique se as dificuldades se referem a

pouco conhecimento de processos algébricos

ou geométricos e, ainda, se os produtos notá-

veis foram aplicados corretamente. No último

caso, sugerimos a realização de mais exercí-

cios com o uso do material construído nesta

Situação de Aprendizagem.

Na Situação de Aprendizagem 6, caso o

professor perceba que os alunos enfrentam

dificuldades na compreensão e resolução das

equações trabalhadas, sugerimos a retomada

da fórmula de Bhaskara com atenção à iden-

tificação dos coeficientes e ao valor do discri-

minante. Pode-se também sugerir uma lista de

exercícios para aplicação da fórmula combi-

nada com alguns problemas simples.

Se o professor considerar que os alunos

ainda apresentam um desempenho insatisfa-

tório nos problemas abordados nas Situações

de Aprendizagem 7 e 8, sugerimos que sejam

exploradas outras situações semelhantes às

propostas ali. Muitas vezes, a representação

gráfica tende a ilustrar melhor os conceitos

trabalhados, permitindo ao aluno melhor

compreensão dos conceitos. Cabe ao profes-

sor apresentar a análise gráfica concomitan-

temente ou escolher as estratégias que já vem

adotando, quando tratar do tema.

Há uma série de problemas encontrados

em livros didáticos que permitirão sanar as di-

ficuldades dos alunos em recuperação.

109

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA

AABOE, A. Episódios da história antiga da

Matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática, 2000.

ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e às

derivadas. São Paulo: Atual, 1994.

BESKIN, N. Fracções contínuas. Lisboa: Ul-

meiro, 2001.

BOYER, Carl. História da Matemática. São

Paulo: Edgard Blücher, 1996.

Referência na abordagem histórica da

Matemática.

CARACA, Bento de Jesus. Conceitos funda-

mentais da Matemática. São Paulo: Gradiva,

1998.

A obra aborda a construção da Matemá-

tica na perspectiva de um desenvolvimento

lógico-histórico e particularmente rico em

fatos sobre a história e a didática no trato

das funções.

CARNEIRO, J. P. Q. Um processo finito para

a raiz quadrada. Revista do Professor de Ma-

temática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira

de Matemática, n. 34, 1997.

CARVALHO, Maria Cecilia Costa e Silva.

Padrões numéricos e funções. São Paulo: Mo-

derna, 1999.

A autora explora uma série de situações

contextualizadas que envolvem tanto as fun-

ções lineares como as quadráticas.

COSTA, R. O que é um número transcenden-

te? Revista do Professor de Matemática, Rio

de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemá-

tica, n. 1, 1982.

COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Mate-

mática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educa-

ção. Coordenadoria de Estudos e Nor mas Pe-

dagógicas. Experiências Matemáticas 5a série.

São Paulo: SE/CENP, 1994.

JAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Revisitan-

do os três problemas clássicos insolúveis da

Antiguidade. Revista do Professor de Matemá-

tica, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Matemática, n. 66, 2008.

LIMA, Elon Lages. O que significa a igualda-

de 1/9 = 0,111...? Revista do Professor de Ma-

temática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira

de Matemática, n. 2, p. 6-9, 1983.

_____. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM,

2001. (Coleção do Professor de Matemática).

Contém uma abordagem bastante inte-

ressante sobre o estudo de equações, além de

uma pequena lista de situações-problema.

110

MOREIRA, C. G. Frações contínuas, repre-

sentações de números e aproximações. Eu-

reka, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Matemática, n. 3, 1998.

NIVEN, I. Números: racionais e irracionais.

Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Mate-

mática, 1984.

PERELMANN, J. Aprenda Álgebra brincan-

do. São Paulo: Hemus, 2001.

SAGAN, C. Bilhões e bilhões: reflexões sobre

vida e morte na virada do milênio. São Paulo:

Companhia. das Letras, 2002.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-

cação. Programa de Educação Continuada

(PEC). Apostila sobre funções. São Paulo: SE/

CENP, 2001.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu-

cação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino

de Matemática: 1o grau. 3. ed. São Paulo: SE/

CENP, 1992.

Site

Revista do Professor de Matemática

Publicação da Sociedade Brasileira de Ma-

temática que apresenta artigos muito interes-

santes sobre o aprofundamento de conceitos

matemáticos propondo diferentes estratégias

de ensino.

Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.

Acesso em: 2 set. 2013.

111

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

Neste Volume, foram apresentadas diversas

situações com equações de 2o grau e a noção

de função, por meio de problemas envolven-

do proporcionalidade. Foram sugeridas ativi-

dades que propiciam experiências educativas

bastante ricas e consideradas essenciais para

o desenvolvimento de competências relativas

a esse tema.

Convém ressaltar que as expectativas de

aprendizagem para este volume devem envolver

aspectos essenciais dos temas propostos: desen-

volvimento de técnicas para a resolução de equa-

ções de 2o grau e estudo da variação de grandezas

proporcionais ou não proporcionais e construção

e análises de tabelas e gráficos, ou seja, foram con-

siderados apenas os pontos fundamentais, isto é,

aqueles que possibilitam ao aluno ter uma base

para o desenvolvimento de outros temas correla-

tos, que serão desenvolvidos no Ensino Médio, e

para a resolução de problemas.

Mesmo assim, é possível que o professor jul-

gue extenso o que foi previsto para este Volume.

No entanto, consideramos essa extensão “apa-

rente”, pois é necessário compreender que cada

tema é apenas um meio, um instrumento para a

construção das competências básicas de leitura,

escrita, compreensão, argumentação, contextu-

alização e problematização.

A grande preocupação não pode se resu-

mir a “esgotar os conteúdos”, uma vez que tal

CONSIDERAÇÕES FINAIS

esgotamento nunca e possível, na prática, pois

o objetivo principal deve ser oferecer oportuni-

dades para o crescimento pessoal de cada aluno,

por meio de um contato proveitoso com algu-

mas das ideias fundamentais da Matemática.

Na avaliação, sugerimos aos colegas pro-

fessores focar pontos que consideramos fun-

damentais.

empregar uma abordagem qualitativa

(antes de resolver uma equação com

base na relação de coeficientes e raízes

ou procure fatorá-la);

determinar as raízes das equações de

2o grau por meio de fatorações ou pela

fórmula de Baskhara;

resolver problemas que podem ser tradu-

zidos por meio de equações de 2o grau;

identificar grandezas direta ou inver-

samente proporcionais e não propor-

cionais por meio de tabelas, gráficos e

expressões.;

representar no plano cartesiano a inter-

dependência de duas grandezas direta

ou inversamente proporcionais.

Além dessas habilidades específicas, que

estão relacionadas aos conteúdos estudados

neste volume, o professor deverá também ob-

servar as matrizes de avaliações externas e os

respectivos descritores relacionados aos temas

do volume. Resultados de avaliações como

112

Saresp e Prova Brasil, entre outras, podem

fornecer dados importantes sobre dificuldades

apresentadas pelos alunos.

A avaliação deve fornecer informações ao alu-

no sobre seu desenvolvimento a respeito de suas

capacidades em utilizar as noções aprendidas em

situações-problema. Por outro lado, a avaliação

deve fornecer ao professor dados sobre a apren-

dizagem de seus alunos, para a adequação das

situações apresentadas e a proposição de novas.

O professor deve ter clareza sobre os cri-

térios da avaliação e das limitações e pos-

sibilidades dos instrumentos que vão ser

utilizados. Os instrumentos de avaliação

devem também contemplar as explicações,

justificativas e argumentações orais, uma

vez que revelam aspectos do raciocínio que,

muitas vezes, não ficam explícitos nas ava-

liações escritas.

Convém também observar que, além das

provas e dos trabalhos com exercícios – indivi-

duais e em grupo –, os assuntos deste volume

se prestam especialmente à realização de pe-

quenos projetos de pesquisa histórica, como a

forma com que os hindus resolviam determi-

nadas equações de 2o grau. Apresentamos, a

seguir, a grade curricular com os conteúdos de

Matemática de todas as séries/anos do Ensino

Fundamental. Os conteúdos de outros volu-

mes relacionados com os apresentados aqui

estão em destaque.

113

Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1

5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano

Vol

ume

1

NÚMEROS NATURAIS– Múltiplos e divisores.– Números primos.– Operações básicas.– Introdução às potências.

FRAÇÕES– Representação.– Comparação e

ordenação.– Operações.

NÚMEROS DECIMAIS– Representação.– Transformação em

fração decimal.– Operações.

SISTEMAS DE MEDIDA– Comprimento, massa e capacidade.– Sistema métrico

decimal.

NÚMEROS NATURAIS– Sistemas de numeração na

Antiguidade.– O sistema posicional decimal.

NÚMEROS INTEIROS– Representação.– Operações.

NÚMEROS RACIONAIS– Representação fracionária

e decimal. – Operações com decimais

e frações.

GEOMETRIA/MEDIDAS– Ângulos.– Polígonos.– Circunferência.– Simetrias.– Construções geométricas.– Poliedros.

NÚMEROS RACIONAIS– Transformação de

decimais finitos em fração. – Dízimas periódicas e

fração geratriz.

POTENCIAÇÃO– Propriedades para

expoentes inteiros.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– A linguagem das potências.

ÁLGEBRA– Equivalências e

transformações de expressões algébricas.

– Produtos notáveis.– Fatoração algébrica.

NÚMEROS REAIS– Conjuntos numéricos.– Números irracionais.– Potenciação e radiciação

em IR.– Notação científica.

ÁLGEBRA– Equações de 2o grau:

resolução e problemas.– Noções básicas sobre

função; a ideia de interdependência.

– Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

Vol

ume

2

GEOMETRIA/MEDIDAS– Formas planas e espaciais.– Noção de perímetro e área

de figuras planas.– Cálculo de área

por composição e decomposição.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Leitura e construção de

gráficos e tabelas.– Média aritmética.– Problemas de contagem.

NÚMEROS/PROPORCIONALIDADE– Proporcionalidade direta e inversa.– Razões, proporções,

porcentagem.– Razões constantes na

Geometria: .

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Gráficos de setores.– Noções de probabilidade.

ÁLGEBRA– Uso de letras para

representar um valor desconhecido.

– Conceito de equação.– Resolução de equações.– Equações e problemas.

ÁLGEBRA/EQUAÇÕES– Equações de 1o grau.– Sistemas de equações e

resolução de problemas.– Inequações de 1o grau.– Sistemas de coordenadas

(plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS– Teorema de Tales e

Pitágoras: apresentação e aplicações.

– Área de polígonos.– Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS– Proporcionalidade, noção

de semelhança.– Relações métricas entre

triângulos retângulos.– Razões trigonométricas.– O número π; a

circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.

– Volume e área do cilindro.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Contagem indireta e

probabilidade.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.

QUADRO DE CONTEÚDOS DO

ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoLog Print Grá ca e Logística S. A.

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís

Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu

Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e

Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva,

Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e

Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza

Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,

Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina

Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza

Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo

Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene

Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta

Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,

Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso

Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,

João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,

Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida

Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria

Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo

Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,

Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,

Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,

Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo

de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,

Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell

Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e

Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse

Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe

Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa

Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda

Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de

Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.

* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no Caderno do Professor para apoiar na identificação das atividades.

São Paulo Estado Secretaria da Educação.

Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino fundamental anos nais, a série/9o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.

v. 1, 120 p.

Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.

ISBN 97 - -7 49- 1-9

1. Ensino fundamental anos nais 2. Matemática . Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Pietropaolo, Ruy César. VIII. Spinelli, Walter. IX. Título.

CDU: 71. : 0 .90

S2 9m

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Valid

ade: 2014 – 2017