ad2- gp- gabarito

5/17/2018 AD2- GP- Gabarito - slidepdf.com

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Fundacao Centro de Ciencias e E ducacao Superior a Distancia do Estado do Rio de JaneiroCentro de E ducacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2012.1

Questao 1 [1,0 pt]: AB,BC,CD e DE sao quatro lados consecutivos de um icosagono regular.

Os prolongamentos dos lados AB e DE cortam-se em I . Calcule o angulo B ID.Solucao: Considere AB,BC,CD e DE lados consecutivos de um icosagono regular. Os prolonga-mentos de AB e DE cortam-se em I :

A

B CD

I

E

a

162º

162º

O angulo central e360◦

20= 18◦ e os angulos internos do polıgono regular tem medida

Ai =180◦(20− 2)

20= 9◦

·18 = 162◦

Temos no quadrilatero BIDC , I DC = 180◦ − 162◦ = 18◦ = I BC.D CB = 162◦, entao a = 360◦ − 162◦ = 198◦.Entao 18◦ + 18◦ + D IB + 198◦ = 360◦ ⇒ D IB = 360◦ − 234◦ = 126◦.

Questao 2 [1,0 pt]: Considere 80◦, 70◦ e 150◦ tres angulos de um quadrilatero ABCD. Encontreos angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes dos angulo do quadrilatero ABCD.Solucao: Considerando o quadrilatero ABCD, com angulos A = 80◦, B = 70◦ e C = 150◦.

A

B

C

D

F

G

H

E

80º

70º

150º

60º

105º

110º

75º

70º

30º

40º

40º

35º

30º

75º

Temos que D = 360◦

−(80◦ + 70◦ + 150◦) = 360◦

−300◦ = 60◦.

Procurando os angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes temos:

E = 180◦ − 30◦ − 40◦ = 110◦.

F = 180◦ − 30◦ − 75◦ = 75◦.

G = 180◦ − 75◦ − 35◦ = 70◦.

H = 180◦ − 40◦ − 35◦ = 105◦.

Logo os angulos sao 110◦, 75◦, 70◦ e 105◦, se A = 80◦, B = 70◦ e C = 150◦.



Geometria Plana– Gabarito AD2 2

Considerando o quadrilatero ABCD, com angulos A = 70◦, B = 80◦, C = 150◦ e D = 60◦.

A

B

CD

F

G

H

E80º

70º

150º

60º

75º

65º115º

105º

30º

35º

Procurando os angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes:

E = 180◦

−35◦

−40◦ = 105◦.

F = 180◦ − 30◦ − 35◦ = 115◦.

G = 180◦ − 75◦ − 30◦ = 75◦.

H = 180◦ − 75◦ − 40◦ = 65◦.

Logo os angulos sao 105◦, 115◦, 75◦ e 65◦, se A = 70◦, B = 80◦ e C = 150◦.

Tome o quadrilatero ABCD, com angulos A = 70◦, B = 60◦, C = 80◦ e D = 150◦

A

B

F

G

HE

80º

70º

150º

60º

70º

65º

110º115º

C

D

Procurando os angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes:

E = 180◦ − 35◦ − 30◦ = 115◦.

F = 180◦ − 35◦ − 75◦ = 70◦.

G = 180◦ − 75◦ − 40◦ = 65◦.

H = 180◦

− 40◦

− 30◦

= 110◦

.

Logo os angulos sao 115◦, 70◦, 65◦ e 110◦, se

A = 70◦, B = 60◦, C = 80◦ e D = 150◦.

Questao 3 [1,0 pt]: A, B e C sao tres pontos de uma circunferencia, tais que o angulo A BC = 38◦

e o angulo A

CB = 68◦. P e Q sao os pontos medios respectivos dos arcos

⌢AC e

⌢AB. Calcule a

medida dos angulos B

CP e C

P Q.

Solucao: Considere A, B e C pontos de uma circunferencia, A BC = 38

◦

e A CB = 68

◦

.

38º 68ºO

C

P

AQ

B

38◦ =⌢AC

2⇒

⌢AC = 76◦ e

68◦ =

⌢AB

2⇒

⌢AB= 136◦.

Como P e Q sao os pontos medios dos arcos⌢AC e

⌢AB,

respectivamente, entao

⌢AP =

⌢CP = 38◦ e

⌢AQ=

⌢BQ= 68◦.

Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ




Temos que B CP = B CA + A CP , mas A CP =

⌢AP

2, entao A CP =

38◦

2= 19◦.

Logo B CP = 68◦ + 19◦ = 87◦.

C P Q =

⌢CBQ

2 =

⌢BQ +

⌢CB

2 =

68◦ + (360◦

−76◦

−136◦)

2 =

68◦ + 148◦

2 =

216◦

2 = 108◦

.

Questao 4 [1,0 pt]: Considere A BC = 50◦ e A CB = 70◦ dois angulos de um triangulo ABC .Uma circunferencia exinscrita (leia-se ex - inscrita) a este triangulo tangencia o lado BC em P e os

prolongamentos dos lados AB e AC em Q e R, nesta ordem. Calcule a medida do angulo Q P R.Solucao: Sejam A BC = 50◦ e A CB = 70◦, angulos de ∆ABC . A circunferencia, de centro O,exinscrita a este triangulo tangencia o lado BC em P e os prolongamentos dos lados AB e AC emQ e R, nesta ordem.

A

B

C

P

Q

R

50º

70º

55º

65º

O

Temos que R

CO = B

CO = 55◦ e Q

BO = O

BC = 65◦, circunferencia exinscrita.

∆OQB e retangulo em Q, entao B OQ = 90◦ − 65◦ = 25◦.

∆OP B e retangulo em P , entao P OB = 90◦ − 65◦ = 25◦.

∆OCP e retangulo em P , entao P OC = 90◦ − 55◦ = 35◦.

∆OCR e retangulo em R, entao C OR = 90◦ − 55◦ = 35◦.

Logo

Q P R = 360◦

− (25◦

+ 25◦

+ 35◦

+ 35◦

)2

= 360◦

− 120◦

2= 120◦.

Questao 5 [1,0 pt]: AB e AC sao, respectivamente, lados de um hexagono regular e de umoctogono regular, inscritos em um mesmo circulo. Calcule os angulos do triangulo ABC .Solucao: Temos duas solucoes:

Solucao 1: Supondo C entre A e B:

O

A

BC

⌢AB=

360◦

6

= 60◦ e⌢AC =

360◦

8

= 45◦.

Daı

A BC =

⌢AC

2=

45◦

2= 22◦30′.

B AC =

⌢BC

2=

⌢AB −

⌢AC

2=

60◦ − 45◦

2=

15◦

2= 7◦30′.

B CA =

360◦

−60◦

2 =

300◦

2 = 150◦

.





Solucao 2: Supondo A entre B e C :

O

A

B

CA

BC =

⌢AC

2=

45◦

2= 22◦30′.

B AC =360◦ − (60◦ + 45◦)

2=

360◦ − 105◦

2= 127◦30′.

B CA =

⌢AB

2=

60◦

2= 30◦.

Nao e possıvel B entre A e C , pois sendo A vertice de ambos, AB > AC.

Questao 6 [1,0 pt]: Os lados de um triangulo sao AB = 16 dm, AC = 20 dm, e BC = 25 dm.Pelo ponto D de intersecao da bissetriz do angulo A com o lado BC traca-se a paralela ao lado AC .Calcule as medidas dos segmentos que esta paralela determina ao lado AB.Solucao:Seja o triangulo conforme dados do enunciado.

A B

C

E

D0

16 -

a

2 5 - a

x x

Seja a = BD, entao DC = 25− a.

Temos pelo T.B.I. que

a

16

=25− a

20 ⇒5a = 100

−4a

⇒a =

100

9

.

Como DE//AC , pelo teorema de Tales, temos que

a

x=

25− a

16− x⇒ x

(25− 100

9

)=

100

9· (16− x)

⇒ x

(125

9

)=

100(16 − x)

9⇒ 125x = 1600− 100x

⇒ 225x = 1600 ⇒ x = 649

.

Daı as medidas pedidas sao: x =64

9dm e 16− x = 16− 64

9=

80

9dm.

Questao 7 [1,0 pt]: ABCD e um paralelogramo e P e um ponto do lado AB tal que a razaoP A

P B=

4

3. A reta

←→DP intercepta a diagonal AC em M o prolongamento do lado CB em N . Calcule

as razoesBN

CN e

CM

MA.

Solucao:Seja ABCD um paralelogramo conforme enunciado.





A B

CD

M

P

N

Seja P o ponto do lado AB, tal queP A

P B=

4

3(1)

De (1) temosP A + P B

P B =

4 + 3

3 ⇒P B

AB =

3

7 (2)

∆DCN ∼ ∆P BN pois PB//DC , entao:

BN

CN =

P N

DN =

P B

DC ⇒ BN

CN =

P B

AB

De (2) temos que:BN

CN =

3

7.

De (1) temosP A + P B

P A =

4 + 3

4 ⇒P A

AB =

4

7 (3)

∆AMP ∼ ∆MCD, pois

A P M = C DM (alternos internos)

P AM = D CM (alternos internos)

⇒ AP

DC =

AM

MC (4)

Como AB = DC , de (4) temosCM

MA=

7

4

Questao 8 [1,0 pt]: AB = 2 cm, AC = 3 cm sao os catetos de um triangulo retangulo ABC .

Calcule o raio da circunferencia que passa pelo vertice C e e tangente ao cateto AB em B.Solucao: Seja ∆ABC retangulo com catetos AB = 2 cm, AC = 3 cm, a circunferencia de raio Rque passa por C e e tangente ao cateto AB em B.

O

A

B

CD

R

R

2

R 3 - R

∆ODC e retangulo, entao

22 + (3 −R)2 = R2 ⇒ 4 + 9 − 6R + R2 = R2

⇒ 6R = 13 ⇒ R =13

6.





Questao 9 [1,0 pt]: Mostre que os extremos de um segmento sao equidistantes de qualquer retaque passa pelo ponto medio desse segmento.Solucao: Seja o segmento AB, considere M o ponto medio de AB.

r

BM

A'

B'

A

Considere r uma reta que passsa por M , A′ e B′ os

pes das perpendiculares a r que passa por A e B, respectivamente.

∆AA′M ≡ ∆BB ′M , pois AM = MB e A′ MA = B′ MB,

angulos opostos pelo vertice. (Caso particular de congruencia

no triangulo retangulo).

Como A′

MA = B′

MB, entao AA′ = BB ′. Daı os extremos do segmento AB sao equidistantes de r.

Questao 10 [1,0 pt]: Um quadrado tem 2 cm de lado, com centro em dois vertices opostos e raioigual a metade da diagonal descrevem-se os arcos AB e CD. Calcule a area da superfıcie sombreada.

A

B

D

C

Solucao: Temos que a area da superfıcie do quadrado e 22 = 4 cm2.

A

B

D

C

S1

S2

S3

S4

2

22 -

A metade da diagonal do quadrado e:2√

2

2=√

2 cm.

Considere as areas S 1, S 2, S 3 e S 4. A area pedida e:

A p = 4− (S 1 + S 2 + S 3 + S 4) (1)

S 1 = S 2, que e a quarta parte da area de uma circulo, logo

S 1 + S 2 =π(√

2)2

2=

π · 2

2= π cm2.

S 3 = S 4, area de triangulo retangulo isosceles.

Logo S 3 + S 4 = 2 ·

(2−√

2) · (2−√

2)

2

= 4− 4

√2 + 2 = 6 − 4

√2 cm2.

Entao a area pedida e: A p = 4− π − 6 + 4√2 = −2− π + 4√2 cm2.


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