a média amplitude total (at) desvio mÉdio (dm)variÂncia (s 2 ou 2 ) desvio padrÃo (s ou...

As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a médiaa média. Consideraremos cinco medidas de dispersão: AMPLITUDE AMPLITUDE TOTAL (AT)TOTAL (AT), DESVIO MÉDIO (DM) DESVIO MÉDIO (DM), VARIÂNCIA (sVARIÂNCIA (s22 ou ou 22)), DESVIO PADRÃO (s ou DESVIO PADRÃO (s ou )) e COEFICIENTE DE VARIAÇÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)(CV).

Na maioria das vezes a utilização das medidas de posição (média, moda, mediana) não é suficiente para sintetizar a informação nele contida, por exemplo, duas amostras podem ter a mesma média, mas uma dispersãodispersão (distância dos valores em relação a médiadistância dos valores em relação a média) absolutamente diferente em relação a essa média.

É a diferença entre o maior e o menor valor observado.

máx mínAT x x

A amplitude é uma medida de dispersão fácil de ser calculada e é certamente a maneira mais natural e comumente utilizada para descrever a variabilidade de dados. Porém sua interpretação depende do número de observações, mas, no seu cálculo não são considerados todas as observações, pois só utilizamos os valores extremos.

Desvio absoluto médio (Dm) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou média ou medianamediana.

ix xDM

n

EXEMPLO 1EXEMPLO 1: Suponha um conjunto de tempo de serviço : Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar o de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar o desvio médio desse conjunto de dados.desvio médio desse conjunto de dados.

Cálculo da média:Cálculo da média: 8,75

39

5

1110873

x

Cálculo do desvio médio:Cálculo do desvio médio:

3 7,8 7 7,8 8 7,8 10 7,8 11 7,8

5DM

4,8 0,8 0,2 2,2 3,2

5DM

4,8 0,8 0,2 2,2 3,2

5DM

11,2

5DM

2,24DM Interpretação: em média, o tempo de serviço em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários de desvia de deste grupo de funcionários de desvia de 2,24 anos em torno dos 7,8 anos do tempo 2,24 anos em torno dos 7,8 anos do tempo médio de serviço (a média).médio de serviço (a média).

Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados devemos levar em conta que devemos levar em conta que cada valor da variável (cada valor da variável (xxii) )

aparece associado a uma frequência (aparece associado a uma frequência (ffii)), e nesse caso, , e nesse caso,

devemos lembrar que o desvio médio vai ficar ponderado devemos lembrar que o desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: dizer: o desvio de cada valor da variável em relação à o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequênciamédia ficará multiplicado por sua respectiva frequência..

.i ix x fDM

n

EXEMPLO 2EXEMPLO 2: Em determinado dia foi registrado o número : Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular o desvio médio.tabela abaixo. Calcular o desvio médio.

Veículos negociados (xi)

Número de vendedores

(fi)

1 1

2 3

3 5

4 1

Total 10

Cálculo da média:Cálculo da média:

1 1 2 3 3 5 4 1 1 6 15 4 262,6

10 10 10x

Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio.ao cálculo do desvio médio.



(fi)xi – média

xi – média . fi

1 1

2 3

3 5

4 1

Total 10


1 1 2 3 3 5 4 1 1 6 15 4 262,6

10 10 10x

Vamos então, preencher estas colunas com os valores Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.devidos.



(fi)xi – média

xi – média . fi

1 1 1,6 1,6

2 3 0,6 1,8

3 5 0,4 2,0

4 1 1,4 1,4

Total 10 4,0 6,8

E por fim, basta calcularmos o desvio médio.E por fim, basta calcularmos o desvio médio.

. 6,8

10

i ix x fDM

n

0,68DM Interpretação: em média, a quantidade de em média, a quantidade de veículos negociados por cada vendedor veículos negociados por cada vendedor possui uma distância de 0,68 em torno dos possui uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média.2,6 veículos comercializados em média.

6,2x

.i ix x fDM

n

Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados em Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados em intervalos de classe, devemos levar em conta que intervalos de classe, devemos levar em conta que cada cada valor da variável (valor da variável (xxii) aparece representado sob a forma de ) aparece representado sob a forma de

um intervalo de classe, e este intervalo está associado a um intervalo de classe, e este intervalo está associado a uma frequência (uma frequência (ffii)), e nesse caso, devemos lembrar:, e nesse caso, devemos lembrar:

1. Cada valor da variável ficará representado pelo ponto 1. Cada valor da variável ficará representado pelo ponto médio da classe.médio da classe.2. O desvio médio vai ficar ponderado por essas 2. O desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: frequências, o que em outras palavras quer dizer: o desvio o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequênciamultiplicado por sua respectiva frequência..

EXEMPLO 3EXEMPLO 3: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida : A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular o desvio médio.determinada disciplina. Calcular o desvio médio.

Escores Alunos(fi)

35 45 5

45 55 12

55 65 18

65 75 14

75 85 6

85 95 3

Total 58

Escores Alunos(fi)

35 45 5 40

45 55 12 50

55 65 18 60

65 75 14 70

75 85 6 80

85 95 3 90

Total 58 -

ix

Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe.ponto médio de cada classe.

40 5 50 12 60 18 70 14 80 6 90 3

58x

361062,24

58x

Escores Alunos(fi)

35 45 5

45 55 12

55 65 18

65 75 14

75 85 6

85 95 3

Total 58

ix ix média i ix média f

Agora que sabemos a média, seria prudente Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio.desvio médio.


Escores Alunos(fi)

35 45 5 40 22,24 111,2

45 55 12 50 12,24 146,88

55 65 18 60 2,24 40,32

65 75 14 70 7,76 108,64

75 85 6 80 17,76 106,56

85 95 3 90 27,76 83,28

Total 58 - 90 596,88

ix ix média i ix média f

E por fim, basta calcularmos o desvio médio.E por fim, basta calcularmos o desvio médio.

. 596,88

58

i ix x fDM

n

10,29DM

Interpretação: em média, a em média, a nota de cada aluno teve uma nota de cada aluno teve uma distanciamento de 10,29 distanciamento de 10,29 pontos em torno do pontos em torno do desempenho médio do desempenho médio do grupo.grupo.

24,62x

É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média. Na verdade a variância é a medida que fornece o grau de dispersão, ou variabilidade dos valores do conjunto de observações em torno da média.

Pode ser calculada de duas formas:

POPULACIONALPOPULACIONAL: representada pela letra grega 2.

AMOSTRALAMOSTRAL: representada por s2.

Porém, toda vez que calculamos a variância nos deparamos com um problema: a resposta obtida sempre vai ser fornecida com a unidade elevada ao quadrado (anos2, cm2, etc.).

Para eliminarmos esse quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada do resultado da variânciaextraímos a raiz quadrada do resultado da variância, obtendo assim uma terceira medida de dispersão, o DESVIO PADRÃODESVIO PADRÃO.

Assim como a variância,

o Desvio Padrão pode ser calculado de duas formas:

POPULACIONALPOPULACIONAL: representada pela letra grega

AMOSTRALAMOSTRAL: representada por

Na prática o Desvio Padrão indica um intervalo onde se concentram a maioria dos valores em torno da média. Assim:

•desvio padrão pequeno indica que a maioria dos valores está próximo da média;

•desvio padrão grande indica que a maioria dos valores está distante da média.

2 2s s

Ao contrário da amplitude total, a variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração todos os valores da variável em estudo, que são obtidos a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Isso faz com que eles sejam índices de variabilidade bastante estáveis, e por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

22

2 2 21 iii

xxou x

N N N

2 2

2 2 21

1 1

i i

i

x x xs ou s x

n n n

Populacional:

Amostral:

22

2 2 21 i ii ii i

x fx fou x f

N N N

2 2

2 2 21

1 1

i i i i

i i

x x f x fs ou s x f

n n n

Populacional:

Amostral:

2 2

22 2 1i i i i

i i

x f x fou x f

N N N

2 2

22 2 1

1 1

i i i i

i i

x x f x fs ou s x f

n n n

Populacional:

Amostral:

As variâncias seriam:

S12 = [(3-5)2+ (4-5)2 + (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2]/4 S1

2 =2,5

S22 = [(1-5)2+ (3-5)2+ (5-5)2+ (7-5)2+ (9-5)2]/4 S2

2 =10

A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea.

Os desvios padrões seriam:

S = √2,5 = 1,58S = √2,5 = 1,58

S = √10 = 3,16S = √10 = 3,16

EXEMPLO 4EXEMPLO 4: para as amostras : para as amostras 3, 4, 5, 6, 73, 4, 5, 6, 7 e e 1, 3, 5, 7, 91, 3, 5, 7, 9, , calcular a variância e o desvio padrão.calcular a variância e o desvio padrão.

Média = [(0.4)+(1.5)+(2.7)+(3.3)+(5.1)]/20=1,65

DM(x) = [4.(0-1,65) + 5.(1-1,65) + 7.(2-1,65) + 3.(3-1,65) + 1.(5-1,65)]/20 = 0,98

Variância S2 = [4.(-1,65)2 + 5.(-0,65)2 + 7.(0,35)2 + 3.(1,35)2 + 1.(3,35)2]/19 = 1,6

Desvio Padrão: S = √1,6 = 1,26

EXEMPLO 5EXEMPLO 5: : Considerando a Considerando a tabela ao lado, tabela ao lado, calcular: média, calcular: média, desvio médio, desvio médio, variância e variância e desvio padrão.desvio padrão.

EXEMPLO 6EXEMPLO 6: Suponha um conjunto de tempo de serviço : Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar a de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar a variância e o desvio padrão desse conjunto de dados.variância e o desvio padrão desse conjunto de dados.

Cálculo da média:Cálculo da média:3 7 8 10 11 39

7,85 4

x

Cálculo da variância:Cálculo da variância:

2 2 2 2 2

2 3 7,8 7 7,8 8 7,8 10 7,8 11 7,8

5 1S

2 2 2 2 2

2 4,8 0,8 0,2 2,2 3,2

4S

2 38,8

4S

2 29,7S anos

Cálculo do desvio padrão:Cálculo do desvio padrão: 9,7S

3,11S

Interpretação: se calcularmos um intervalo usando um se calcularmos um intervalo usando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos dados.concentração da maioria dos dados.

EXEMPLO 7EXEMPLO 7: Em determinado dia foi registrado o número : Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular a variância e desvio padrão.tabela abaixo. Calcular a variância e desvio padrão.



(fi)

1 1

2 3

3 5

4 1

Total 10




(fi)xi – média)2

xi – média)2. fi

1 1

2 3

3 5

4 1

Total 10


1 1 2 3 3 5 4 1 1 6 15 4 262,6

10 10 10x




(fi)xi – média)2

xi – média)2. fi

1 1 2,56 2,56

2 3 0,36 1,08

3 5 0,16 0,80

4 1 1,96 1,96

Total 10 5,04 6,40

E por fim, basta calcularmos a variância.E por fim, basta calcularmos a variância.

0,71S Interpretação: se calcularmos um intervalo se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da utilizando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da média, encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vend.maioria dos veículos negociados por vend.

6,2x

22

1

i ix x fS

n

2 6,40

9S 2 20,71 .S veíc

0,84S




(fi)xi . fi xi

2. fi

1 1

2 3

3 5

4 1

Total 10


1 1 2 3 3 5 4 1 1 6 15 4 262,6

10 10 10x




(fi)xi . fi xi

2. fi

1 1 1 1

2 3 6 12

3 5 15 45

4 1 4 16

Total 10 26 74

E por fim, basta calcularmos a variância.E por fim, basta calcularmos a variância.

6,2x

2

2 1 26 1 6,474 74 67,6

9 10 9 9S

22 21

1i i

i i

x fS x f

n n

2 20,71 .S veíc

EXEMPLO 8EXEMPLO 8: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida : A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular a variância e o desvio determinada disciplina. Calcular a variância e o desvio padrão.padrão.

Escores Alunos(fi)

35 45 5

45 55 12

55 65 18

65 75 14

75 85 6

85 95 3

Total 58

Escores Alunos(fi)

35 45 5 40

45 55 12 50

55 65 18 60

65 75 14 70

75 85 6 80

85 95 3 90

Total 58 -

ix


40 5 50 12 60 18 70 14 80 6 90 3

58x

361062,24

58x

Escores Alunos(fi)

35 45 5 40

45 55 12 50

55 65 18 60

65 75 14 70

75 85 6 80

85 95 3 90

Total 58 -

ix 2ix média 2i ix média f



Escores Alunos(fi)

35 45 5 40 495 2473

45 55 12 50 150 1798

55 65 18 60 5 90

65 75 14 70 60 843

75 85 6 80 315 1893

85 95 3 90 771 2312

Total 58 - - 9409

ix

24,62x

2ix média 2i ix média f

2 9409

57S

22

1

i ix x fS

n

2 2165,1 .S pts

165,1S Interpretação: se calcularmos um intervalo se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..pontuação..

12,85S

Escores Alunos(fi)

35 45 5 40

45 55 12 50

55 65 18 60

65 75 14 70

75 85 6 80

85 95 3 90

Total 58 -

ix


40 5 50 12 60 18 70 14 80 6 90 3

58x

361062,24

58x

Escores Alunos(fi)

35 45 5 40

45 55 12 50

55 65 18 60

65 75 14 70

75 85 6 80

85 95 3 90

Total 58 -

ix i ix f2

i ix f



Escores Alunos(fi)

35 45 5 40 200 8000

45 55 12 50 600 30000

55 65 18 60 1080 64800

65 75 14 70 980 68600

75 85 6 80 480 38400

85 95 3 90 270 24300

Total 58 - 3610 234100

ix

24,62x

i ix f2

i ix f

2

2 1 3610 1 9507,62234100 234199 224691,38

57 58 57 57S

222 1

1

i i

i i

x fS x f

n n

2 2165,1 .S pts

165,1S Interpretação: se calcularmos um intervalo se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..pontuação..

12,85S

Trata-se de uma média relativa à dispersão, útil para comparação e observação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas.

É dada por:

Na prática podemos classificar uma distribuição quanto a dispersão da seguinte maneira:

DISPERSÃO BAIXADISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15%

DISPERSÃO MÉDIADISPERSÃO MÉDIA: 15% ≤ CV ≤ 30%

DISPERSÃO ALTADISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30%

100 100s

CV ou CVx

Grupo A R$ 150 R$ 5Grupo B R$ 50 R$ 3

EXEMPLO 9EXEMPLO 9: para os salários de dois grupos de operários : para os salários de dois grupos de operários abaixo, compare os respectivos coeficientes de variação.abaixo, compare os respectivos coeficientes de variação.

Para calcularmos o coeficiente de Para calcularmos o coeficiente de variação, basta dividirmos o desvio variação, basta dividirmos o desvio padrão pela média e multiplicarmos o padrão pela média e multiplicarmos o resultado por 100.resultado por 100.

100CV

Grupo A:Grupo A:5100 3,33%

150CV

Grupo B:Grupo B:3100 6,0%

50CV

Interpretação: O O salário do grupo B salário do grupo B apresenta maior apresenta maior dispersão relativa que dispersão relativa que o salário do grupo A.o salário do grupo A.

EXEMPLO 10:EXEMPLO 10: Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de cereal tem conteúdo médio de 278 g com um desvio cereal tem conteúdo médio de 278 g com um desvio padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vendidas por um padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vendidas por um preço médio de 1,20 u.m. com um desvio padrão de 0,09 preço médio de 1,20 u.m. com um desvio padrão de 0,09 u.m., podemos concluir que os pesos são relativamente u.m., podemos concluir que os pesos são relativamente mais homogêneos do que os preços?mais homogêneos do que os preços?

Grupo A:Grupo A:9,64

100 3,46%278pesoCV

Grupo B:Grupo B:0,09

100 7,5%1,20preçoCV

Interpretação: os preços apresentam maior dispersão os preços apresentam maior dispersão relativa que os pesos, ou seja, os pesos são mais relativa que os pesos, ou seja, os pesos são mais homogêneos que os preços.homogêneos que os preços.

a média amplitude total (at) desvio mÉdio (dm)variÂncia (s 2 ou 2 ) desvio padrÃo (s ou...

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