universidade federal de uberlÂndia augusto adam … · mediana e a moda, que são medidas de...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
AUGUSTO ADAM JÄGER FERNANDES
AVALIAÇÃO POR MEIO DE DISTRIBUIÇÃO POISSONIANA E GAUSSIANA, DO
DECAIMENTO RADIOATIVO DO AMERÍCIO-241.
UBERLÂNDIA
2009
1
AUGUSTO ADAM JÄGER FERNANDES
AVALIAÇÃO POR MEIO DE DISTRIBUIÇÃO POISSONIANA E GAUSSIANA, DO
DECAIMENTO RADIOATIVO DO AMERÍCIO-241.
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial à obtenção
do título de Bacharel em Física de Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Djalmir Nestor Messias
UBERLÂNDIA
2009
2
AUGUSTO ADAM JÄGER FERNANDES
AVALIAÇÃO POR MEIO DE DISTRIBUIÇÃO POISSONIANA E GAUSSIANA, DO
DECAIMENTO RADIOATIVO DO AMERÍCIO-241.
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial à obtenção
do título de Bacharel em Física de Materiais.
Uberlândia, 08 de julho de 2009
Banca examinadora
________________________________________________
Prof. Dr. Djalmir Nestor Messias – Orientador
________________________________________________ Prof. Dr. Newton Martins Barbosa Neto
________________________________________________ Prof. Dr. José Luis Petricelli Castineira
3
AGRADECIMENTOS
Aos professores do Instituto de Física pelo apoio, motivação e
conhecimento repassado.
Ao meu orientador pela oportunidade e compreensão.
A todos aqueles que me motivaram e contribuíram de alguma
forma neste caminho.
4
RESUMO
Trata-se de trabalho acerca das distribuições de probabilidade de Poisson e Gauss-Laplace,
onde utilizou-se do fenômeno de decaimento radioativo do Amerício-241 para mostrar como
um fenômeno aleatório com características da distribuição Binomial pode ser modelado por
curvas poissoniana e gaussiana. Os dados foram coletados de fonte selada de Amerício-241,
usando um contador Geiger. Também foi elaborado um roteiro para realização do
experimento de decaimento radioativo, em laboratório de física moderna.
Palavras chave: Distribuição probabilística. Poisson. Gauss. Amerício. Decaimento
radioativo. Proteção radioativa.
5
SUMÁRIO:
INTRODUÇÃO.................................................................................................................6
1 – TEORIA......................................................................................................................7
1.1 – MODELOS E ESTATÍSTICA...........................................................................7
1.2 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.......................................................9
1.2.1 – A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.....................................................................12
1.2.2 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON......................................................................17
1.2.3 - DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS(NORMAL).....................................................20
2 – EXPERIMENTO....................................................................................................25
2.1 – DECAIMENTO RADIOATIVO...........................................................................25
2.1.1 –O DECAIMENTO α............................................................................................27
2.2 – O TUBO CONTADOR GEIGER..........................................................................28
2.3 – O AMERÍCIO........................................................................................................30
2.4 – MONTAGEM E PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS..................................32
2.4.1 – MATERIAL UTILIZADO..................................................................................32
2.4.2 – MONTAGEM......................................................................................................32
2.4.3 – DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.................................34
2.4.4 – DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS.....................................38
2.4.5 – COMPARAÇÃO ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES..............................................41
3 – CONCLUSÕES GERAIS..........................................................................................42
APÊNDICE A (ROTEIRO PARA USO EM LABORATÓRIO)...................................43
APÊNDICE B (O USO DAS RADIAÇÕES E A PROTEÇÃO)....................................46
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................50
6
INTRODUÇÃO:
Na Física, tanto em pesquisa quanto no ensino, tem-se a necessidade de analisar
fenômenos da natureza. Desta forma é necessário o uso de modelos matemáticos que emulam,
com um grau aceitável de precisão, o sistema físico em estudo. Estes modelos são baseados
em dados originados da observação do fenômeno e o pesquisador, então, usa de ferramentas,
geralmente matemáticas, para construí-los e validar seu estudo. Dentre os modelos
conhecidos, o uso de distribuições de probabilidade, tem papel fundamental, pois dão
condições de comprovar os resultados experimentais de medidas estatísticas. Como forma de
demonstração experimental, pode-se usar o fenômeno de decaimento radioativo como um
modelo de fenômeno randômico que permite a aplicação das distribuições de probabilidade.
Dado a importância desses conhecimentos para o físico, objetiva-se que esse trabalho
proporcione a reflexão, o aprendizado e estimule a aplicação desses conhecimentos em
estudos subseqüentes.
7
1 – TEORIA:
1.1 – MODELOS E ESTATÍSTICA:
Resolver problemas passa por várias etapas. Essas são determinadas por método
científico, que contêm procedimentos a serem seguidos. Dentro das etapas tem-se a da
formulação de um modelo que reproduza o fenômeno. Um modelo pode ser construído
usando diversas técnicas e ferramentas. Uma dessas, e de grande eficiência, é a estatística,
que trata da coleta, apresentação, e análise de dados, os quais possibilitam a construção de um
modelo estatístico. (MONTGOMERY; RUNGER; 2003).
A estatística ficou cada vez mais importante nos últimos dois séculos, visto que o
estudo científico clássico, determinístico, mostrou-se ineficaz para alguns fenômenos, como
os estados microscópicos da matéria, que por apresentarem aleatoriedade, passaram a ser
estudados, também, por modelos estatísticos.
Em modelos de estatística várias funções podem ser usadas na descrição do
conjunto de dados. Dentre elas tem-se a freqüência relativa e a absoluta. E também a média, a
mediana e a moda, que são medidas de tendência central ou de posição, ou as medidas de
dispersão: variância, desvio-padrão, percentil.
Em situações práticas, esses modelos são aplicados a fenômenos randômicos,
devendo o pesquisador trabalhar com variáveis aleatórias, nas quais sucessivas observações
de um sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado a cada observação.
(MONTGOMERY; RUNGER, 2003). Esses dados (variáveis) devem ser utilizados para
análise do fenômeno.
Na impossibilidade de avaliar todos os dados que se pode obter de um sistema
deve-se trabalhar com estimativas, que são parâmetros de uma população determinados pelos
valores observados numa amostragem. Para estimativas pode-se usar o calculo da
probabilidade, que mostra qual a possibilidade de ocorrência de determinado fenômeno, sendo
um resultado desejável.
Matematicamente ela é igual à relação entre o número de vezes que obtivemos um
resultado dividido pelo número total de dados:
NyN
y iiP
)()( = (1)
8
Esta é uma definição clássica de probabilidade. Outra definição é a chamada
frequentista ou estatística, que considera o limite de freqüências relativas como o valor da
probabilidade.(VUOLO, 1996) Além das análises quantitativas, também usa-se de formas de
apresentação dos dados, com vários métodos, para construção do modelo. Dentre eles o uso
de tabelas de dados e histogramas (ver Tabela 1 e Histograma 1), que são gráficos da
freqüência obtidos de uma tabela, tem grande interesse, pois dão um caráter visual ao
conjunto de dados obtidos. Como exemplo de tabela mostra-se a tabela 1, que são os dados da
distância focal de uma lente convergente, onde devido a erros de medição, resultou numa
grande flutuação estatística nos valores calculados. . (VUOLO; 1996)
204 206 208 210 211 218 219 222 222 223
227 229 230 232 235 235 235 235 237 237
237 237 238 238 239 239 239 239 239 240
240 241 243 244 244 246 246 248 248 249
250 250 253 256 257 257 257 259 259 260
262 265 267 268 269 269 269 273 285 289
Tabela 1 – Distância focal de uma lente convergente, em milímetros, a partir das posições de um objeto
luminoso e imagem correspondente. (VUOLO; 1996)
Nos histogramas os dados podem ser agrupados em colunas segundo valores que
são escritos na abscissa do eixo cartesiano. Assim se temos medidas da distância focal de uma
lente, os valores da medida estarão na abscissa e no eixo das ordenadas estarão a quantidade
de vezes que esta medida foi coletada, que é a frequência.
1
4 5
12
17
108
1 2
02468
101214161820
204 215 226 237 248 259 270 281 292
Distância focal (mm)
Frequência
Histograma 1 - Freqüências de dados da tabela 1:
9
Os histogramas são relacionados a funções matemáticas de distribuição de
probabilidade, que permitem obter resultados, sem a necessidade de analisar todo o conjunto
de dados. Por exemplo: variação do tamanho de uma peça para automóvel. Medir todas as
peças produzidas seria inviável. Desta forma faz-se uma amostragem para estimar os
prováveis erros.
Acerca das possíveis análises, segundo (HELENE; VANIN, 1991) diz-se:
O que governa um histograma (ou coleção de dados que lhe deu origem) é a
probabilidade de um dado estar em um determinado intervalo. Assim, há uma
certa probabilidade de um dado obtido estar em um determinado intervalo do
histograma.
Os histogramas estão, como se observa, associados a probabilidade, pois são
gráficos das freqüências, tendo-se a probabilidade frequentista.
A partir desse tipo de probabilidade constroem-se os modelos de funções de
distribuição de probabilidade, que são modelos estatísticos, divididos entre os de análise
discreta e os de análise contínua. No caso de variáveis aleatórias discretas, a distribuição é de
uma lista de valores possíveis e específicos, como a quantidade de decaimentos de partícula α
num intervalo de tempo (que são números inteiros). Para variáveis aleatórias contínuas os
valores coletados podem ser fracionários e, portanto podem ser encontrados de forma infinita
(inclui todos os valores dos números reais), sendo exemplo a medida de corrente elétrica num
fio de cobre, que pode ter mínimas variações devido ao ambiente.(VUOLO, 1996)
1.2 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE:
Probabilidade, segundo Ferreira (2004), é:
Número positivo e menor que a unidade, que se associa a um evento
aleatório, e que se mede pela freqüência relativa da sua ocorrência numa
longa sucessão de eventos.
A probabilidade trata-se, portanto, de um valor, número positivo, e relaciona-se
com a freqüência relativa de eventos.
10
Aqui eventos são resultados, obtidos repetidamente, de fenômenos. Também
podem ser definidos como conjuntos de valores, sendo especificamente subconjuntos do
espaço amostral, que é o conjunto de todos os valores possíveis de serem coletados, do
fenômeno. (GUERRA; DONAIRE, 1982).
Se a quantidade de eventos de um fenômeno é muito grande, faz-se necessário o
uso de cálculo de freqüência de cada evento, a freqüência relativa, a fim de organizar os
dados.
Considerando m eventos de um processo aleatório y, pode-se ter:
evento y1; evento y2; evento y3 .... evento yi .... evento ym-1 .... evento ym
Sendo que para cada evento pode-se ter um valor N(yi), que é o número de
ocorrências do evento yi, e i é o índice do um evento específico. Então:
∑=
=m
ii
NyN1
)( (2)
Onde N é o número total de ocorrências da amostra.
Pode-se então calcular a freqüência relativa, F(yi), que é a fração da quantidade de
vezes que aparece yi pelo número total de eventos N:
NyN
yF ii
)()( = (3)
Se N → ∞ , a freqüência relativa torna-se um valor mais definido e tem-se:
)()(
lim)(lim yPN
yNyF
ii
i NN==
∞→∞→ (4)
Onde )(yPi
é a probabilidade de ocorrência do evento yi. Sabendo que a
freqüência relativa é uma fração compreendida entre 0 e 1 ou 0≤F(yi)≤ 1, a literatura mostra
que:
∑∑= ∞→∞→= ∞→
===m
i NiN
m
iiN N
NyN
NyF
11
1lim)(1
lim)(lim (5)
11
Logo, de todos os resultados anteriores, resulta que:
∑ ==m
i iyP1
1)( (6)
De (5) e (6) observa-se que a soma das probabilidades para todos os eventos
possíveis é 1. O conjunto das probabilidades P(yi), para todos os valores de i, são valores que
caracterizam a distribuição de probabilidades para a variável y. E em distribuições de
probabilidade chama-se a equação (6) de condição de normalização.
Tem-se uma vasta quantidade de modelos de distribuição de probabilidade. Das
mais conhecidas e utilizadas tem-se: distribuição uniforme discreta, de Bernoulli, binomial,
multinomial, hypergeométrica, de Poisson, normal (gaussiana), retangular, triangular,
lorentziana, de Maxwell-Boltzmann, de Fermi-Dirac, qui-quadrado e outras. (VUOLO, 1996;
MAGALHAES, 2006).
A figura abaixo mostra a apresentação de uma curva de distribuição, neste caso é
um esboço da uma curva de distribuição baseado no histograma (1):
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
182
190
198
206
214
222
230
238
246
254
262
270
278
286
294
Distância focal (mm)
Probabilidade
Gráfico 1 - Distribuição de probabilidade para o caso da tabela 1, onde se tem a média=243,05 e
o desvio padrão=18,58353.
12
1.2.1: A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:
A distribuição binomial é um modelo estatístico com propriedades que são bem
aplicáveis a vários sistemas físicos. Corresponde a experiência aleatória que pode ser repetida
muitas vezes, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada tentativa, sucesso ou
insucesso. Por exemplo: no decaimento radioativo, a partícula pode decair (sucesso) ou não
decair (insucesso), sendo que sucesso ou insucesso são apenas rótulos, não determinando
qualidade de um evento ser melhor que o outro.
Outros exemplos:
Ø Ao jogar-se uma moeda têm-se duas opções de resultado, cara ou coroa.
Existe, portanto, um intervalo bem definido, que é o da jogada da moeda; e
o resultado possível de duas opções, cara ou coroa.
Ø Numa determinada espécie de flores pode-se ter após o desenvolvimento
de uma semente o aparecimento de flor branca ou vermelha.
Ø Num estacionamento pode-se ter para cada vaga a opção ocupada ou a
opção não ocupada.
Ø Num metal pode-se ter, para cada sítio de localização do cristal, um átomo
A ou um átomo B.
Nota-se que são fenômenos onde muitos eventos podem estar associados (um
número N muito grande) e que cada evento, sendo um estado (lugar ou intervalo de tempo),
contém um valor daquilo que aconteceu. Por exemplo: no decaimento radioativo o evento
1200 decaimentos por segundo (1200 #/s) pode ter acontecido 300 vezes, o que implica que
300 é o valor do evento 1200.
Pode-se, portanto, estabelecer um esquema para representar o fenômeno, se ele
estiver de acordo com o formato descrito acima. Um esquema pode ser o de uma seta
apontando para cima ou uma seta apontando para baixo. Por exemplo: no caso de um cristal a
ocupação de um sítio por um átomo A pode ser representado por uma seta para cima e se
ocupado por um átomo B, representado por uma seta para baixo. Assim, uma seqüência de 10
átomos pode ser esquematizada como na figura 1. Nela temos 10 sítios, nos sítios 2, 8, 9 e 10
temos átomos A e nos sítios 1, 3, 4, 5, 6 e 7 temos átomos B.
13
Figura 1 – Representação dos sítios de ocupação de um cristal por átomos A ou B.
Se em vez de átomos cada sítio representar a magnetização dentro de certo
material, seta para cima representaria um momento magnético +m e seta para baixo um
momento magnético –m. Cada seta pode estar orientada para cima ou para baixo com
probabilidade independente das outras setas (ou momentos). Se existir N momentos, então o
número de formas de organizar as N setas para cima ou para baixo, uma a uma é 2N, pois de
acordo com o princípio multiplicativo* cada sítio tem 2 opções. Então 2x2x2x2x....2(N
vezes)=2N. Essa forma de organizar é chamada arranjo.
Exemplo de setas numa tabela:
Sendo três sítios (N=3), há duas possibilidades para cada sítio, uma seta para cima
ou uma seta para baixo. Fazendo uma opção para cada sítio, as possibilidades importando a
ordem, serão os arranjos seguintes, ver figura 2:
3 1 2 7 6 5 4 10 9 8
* Para uma maior explicação do princípio multiplicativo, ver Santos, Mello e Murari (2007).
14
1º arranjo
2º arranjo
3º arranjo
4º arranjo
5º arranjo
6º arranjo
7º arranjo
8º arranjo
Figura 2 – Arranjo de setas para N=3.
Assim têm-se 8=2³ arranjos. Se N momentos magnéticos são considerados como
anteriormente, então são 2N arranjos, cada um tendo um valor total para o momento
magnético total, que será designado pela letra M. O valor M é um valor relacionado à energia
do campo magnético desse sistema. Ele varia de Nm a –Nm sendo a série de possíveis valores:
M = Nm, (N-2)m, (N-4)m, ...., -Nm (7)
Existem N+1 valores de M, o que é bem menor que os arranjos possíveis:
2N>>(N+1). Existem muitos mais estados que valores de momento magnético total, o que
mostra muitos estados tem o mesmo valor de momento magnético M. (KITTEL, 1980)
O exemplo acima, de setas numa tabela, mostra uma ilustração de como fazer as
possíveis combinações de momentos magnéticos para um dado número de sítios. Porém o uso
das setas pode ser facilitado se for usado um esquema algébrico para combiná-las.
15
Usando-se do princípio aditivo*, em um dado sítio genérico (que pode ser
daquele material), pode-se encontrar seta para cima, que no material seria momento
magnético +m ou seta para baixo, que seria momento magnético –m. O sítio será representado
pelos parênteses. Para N=1, onde N é o número de regiões ou sítios, tem-se:
(↑1 + ↓
1) = ↑ + ↓ (8)
ou seja, há duas possibilidades que pode-se obter em cada parênteses (região), sendo ↑ ou ↓.
Se N=2 e usando-se do princípio multiplicativo junto ao aditivo:
(↑1 + ↓
1)(↑
2 + ↓
2) = ↑↑ + ↑↓ + ↓↑ + ↓↓ (9)
Para N=3:
(↑1 + ↓
1)(↑
2 + ↓
2)(↑
3 + ↓
3) =
(10)
= ↑↑↑ + ↑↑↓ + ↑↓↑ + ↑↓↓ + ↓↑↑ + ↓↑↓ + ↓↓↑ + ↓↓↓
Para um valor igual a N:
(↑1 + ↓
1)(↑
2 + ↓
2)(↑
3 + ↓
3) ... (↑
N + ↓
N) =
(11)
= (↑↑↑↑↑↑↓↓↑...↑N) + (↑↑↑↓↓↓↓↓↓...↑
N)+ ... + (↓↓↓↓↓↓↓↓↓...↓
N)
obtendo-se as 2N combinações dos N momentos.
Rearranjando os esquemas para N=2:
(↑ + ↓) 2 = ↑↑ + 2↑↓ + ↓↓ (12)
2N
* Para uma maior explicação do princípio aditivo, ver Santos, Mello e Murari (2007).
16
Para N=3:
(↑ + ↓) 3 = ↑↑↑ + 3↑↑↓ + 3↓↓↑ + ↓↓↓ (13)
Aumentando o valor de N, e aplicando o método da indução a partir de (12) e
(13) chega-se a conclusão que o esquema constitui o modelo da expansão binomial que é:
+−++=+ −− 221 )1()(2
1baNNbNaaba NNNN ∑
=
−
−=+
N
y
yyNN bayyN
Nb
0 !)!(!
K (14)
(KITTEL, 1980)
Então se pode considerar:
yN
t
yNN
yyNN
↓↑↓+↑ ∑=
−
−=
0 !)!(!
)( (15)
O termo !)!(
!yyN
N−
é característico da distribuição binomial.
Ele nos diz quantos arranjos terão N-y setas para cima e y setas para baixo.
Agora suponha que a probabilidade de encontrar um momento magnético para
cima (↑) em um sítio é q. Logo a probabilidade de encontrá-lo para baixo é 1- q = p. Assim, a
probabilidade de encontrar o sistema, com N sítios, num arranjo com N-y ↑ e y ↓ é:
yNyyyN
yyNpppqppppqqqq −−
−−== )1()......)(......( (16)
Evidentemente este arranjo está relacionado a um momento magnético total do
sistema M. Como existem !)!(
!yyN
N−
maneiras diferentes de se obter arranjos equivalentes, a
probabilidade total de encontrar o sistema com momento magnético total M será:
yNyN pp
yyNN
yP −−−
= )1(!)!(
!)( (17)
que é a equação de probabilidade da distribuição binomial, onde N é o número total de
eventos coletados, y o valor do evento específico do qual se está calculando a probabilidade e
17
p a probabilidade deste evento y. Esta equação é válida para qualquer sistema que apresenta
dois estados básicos (↑ e ↓, ligado e desligado, sucesso e insucesso, etc...), sendo de grande
interesse em fenômenos em que ocorram duas alternativas (sucesso e insucesso), como dito
anteriormente.
1.2.2 - DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
A distribuição binomial é importante do ponto de vista conceitual, mas cria muitas
dificuldades de cálculos se N>>1 e p<<1 , que podem se tornar impraticáveis mesmo no caso
da utilização de computadores. Assim, para alguns casos uma aproximação matemática é a
maneira de tornar útil essa teoria. A distribuição de Poisson é obtida a partir desse raciocínio,
aplicado à fórmula (17).
Para chegarmos a esta aproximação iniciaremos à partir da fórmula de Stirling
nnnn −≅ ln!ln para n>>1. ( VUOLO, 1996)
Supondo que N>>1 e p<<q tem-se que NNpy <<== µ . Logo não é possível
usar a aproximação de Stirling em y!. Entretanto, para N! e (N-y)! ela continua válida. Sendo
assim, aplicando o logaritmo natural à )!(
!yN
N−
teremos:
=−−=−
)!ln(!ln)!(
!ln yNN
yNN
=−−−−−−= }{ )()])[ln(()ln( yNyNyNNNN
≅−+−+−−−= yNyNyyNNNNN )ln()ln(ln
yNNy lnln =≅ (18)
Portanto:
yNyN
N=
− )!(!
(19)
18
Aproxima-se agora o termo yNp −− )1( da equação da distribuição binomial (17),
para ∞→N , característica da distribuição de Poisson. Sabendo que a média da amostra
numa distribuição binomial é )( NpNp µµ =⇒= , tem-se: (VUOLO, 1996)
Então:
=−−∞→
yNNN
])(1[lim µ =−−⋅−∞→
yNNNN
])(1[])(1[lim µµ
=−−⋅−=∞→∞→
yNNNNN
])(1[lim])(1[lim µµ
µµ −
∞→=⋅−= eNN
N
*1])(1[lim (20)
Utilizando os resultados (19) e (20) na equação (17):
µ−= epy
NyP y
y
!)(
µ−= ey
NpyP
y
!)(
)( (21)
e sabendo que µ=Np , resulta:
µµ −= ey
yPy
!)(
)( (22)
que é a equação de probabilidade da distribuição de Poisson, sendo µ a média dos valores dos
eventos e y o valor do evento específico do qual se está calculando a probabilidade .
* A passagem assinalada tem o seguinte fundamento: Sabe-se da teoria de limites que:
λλ ex x
N=⋅+
∞→
/1][ )(1lim . Se N
x1
= , e fazendo 0→x , ∞→N e ainda sendo µλ −= ; obtêm-se o
resultado da aproximação do termo yNp −− )1( . (MAGALHAES, 2006)
19
É uma distribuição muito utilizada em experimentos físicos e biológicos, pois são
fenômenos com grande número de eventos, aleatórios e independentes(MAGALHAES, 2006)
e tem a grande vantagem da facilidade de ser calculada, pois depende só do parâmetro µ,
enquanto que a binomial depende de N e p. (VUOLO, 1996).
EXEMPLO:
Suponha um fio de cobre onde ocorram falhas ao longo de seu
comprimento. Neste caso , as falhas seguem a distribuição de Poisson. A média
é de 2,3 falhas por milímetro. Determinar a probabilidade de ocorrer 2 falhas por
milímetro de fio.
Utilizando (22), ter-se-á:
%5,26265,03,2!2
)3,2( 2)2( ==−= eP
Portanto, a probabilidade de se ter 2 falhas por milímetro, é de
26,5%.
Tendo os eventos da amostra N>>1, que é um grande número de repetições, e
p<<1, que é uma probabilidade de ocorrência baixa e bem definida, o fenômeno segue a
distribuição de Poisson. Esse modelo é aplicado para grandes populações de sistemas
idênticos, como átomos, núcleos atômicos, partículas elementares, seres vivos, produtos
industriais, sendo que um exemplo típico é o decaimento radioativo de núcleos atômicos.
(VUOLO, 1996). Então a emissão de partículas radioativas pode ser modelada através da
distribuição de Poisson, com o valor médio µ dependendo da fonte utilizada. (MAGALHAES,
2006) Uma outra vantagem é a distribuição de Poisson se tornar simétrica para valores
elevados de µ. Essa característica permite que a distribuição de Poisson seja uma das
distribuições que pode ser aproximada pela distribuição normal (gaussiana). O gráfico 2 a
seguir, construído com várias curvas, cada uma com um valor médio, mostra esse
comportamento.
20
0 2 4 6 8 10 120,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
µ = 0,5 µ = 1 µ = 2 µ = 3 µ = 4 µ = 5 µ = 6 µ = 7
Pro
babi
lidad
e
Número de eventos
Gráfico 2 – Série de oito curvas com médias diferentes, mostrando
que com o aumento do valor médio (µ) a curva se desloca para a
direita.
A gráfico 2 mostra também que com o aumento do valor médio, a probabilidade
por evento se torna menor, e que o valor do pico da curva se aproxima do valor médio para os
valores maiores de µ.
1.2.3 - DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS (NORMAL):
A função de distribuição de Gauss também chamada função de Laplace - Gauss
ou função normal de erros tem como parâmetros o valor médio µ e o desvio padrão σ.
(VUOLO, 1996) É utilizada como uma aproximação para várias funções de distribuição,
incluindo a de Poisson.
Esta distribuição pode ser obtida para os casos onde N>>1 e µ>>1 à partir da
distribuição binomial, equação (17). (VUOLO, 1996) Assim, partindo de (17) e usando a
aproximação de Stirling:
21
−−= yyNNyPN lnln)(ln ++−− pyyNyN ln)ln()( )1ln()( pyN −− (23)
Por outro lado, pode-se expandir o termo )(yPN em uma série de Taylor, em torno do ponto Np=µ , que é a média de y:
+= )(ln)(ln µPP NN y +− )(][
)]([lnµy
yd
yd PN ⋅⋅⋅− 22
2
)(][
)]([ln
21
µyyd
yd PN (24)
Fazendo:
2
2
][)]([ln
yyPNA
∂∂
= (25)
então, sabendo que a primeira derivada em torno da média é nula, devido a ser ponto de máximo, de (24) e (25) fica:
20 )(ln)(ln
2
1 µ−+≅ yAy PPN
2)(
0
2
lnln)(lnµ−
+≅yA
N ey PP 2)(
0
2
lnµ−
≅yA
eP (26)
Então, de (26):
2)(
0
2
)(µ−
≅yA
N ey PP (27)
mas a primeira derivada em y, usando (23) é:
+−+−=∂
∂)ln(ln
][)]([ln
yNyy
yPN )1ln(ln pp −− (28)
então , calculando-se a segunda derivada em torno da média yNp ==µ :
22
=−−
+−=∂
∂)1(
11][
)]([ln2
2
yNyyyPN =
−−−
)1(11
pNNp
=−
=)1(
1pNp 2
11σ
−=−Npq
(29)
onde npq=2σ é a variância na distribuição binomial. (VUOLO, 1996) Resulta então, a partir de (25) com (29):
2
1σ
−=A (30)
aí, (27) torna-se:
−−
= 2)(1
0
2
2
)(µ
σy
N ey PP (31)
Calculando agora P0, usa-se do fato que sendo y>>1, ele pode ser tratado como
uma variável contínua. Daí usa-se a condição de normalização abaixo:
1)(0
=∫∞
dyyPN (32)
substituindo (31) em (32):
10
2
)(
0
2
2
=∫∞
−−
dyey
P σµ
(33)
23
Mas, sabe-se, do cálculo integral que:
21
2
=∫
∞
∞−
−
adxe ax π
(34)
(MAGALHAES, 2006) obtêm-se da integral em (33):
σπ 202
1=P (35)
então (27) torna-se:
−−
≅2
2
2
)(
22
1)( σ
µ
πσ
y
N eyP (36)
ou 2
21
2
1)(
−−
≅ σµ
πσ
y
N eyP (37)
que é a equação de probabilidade de Gauss-Laplace, sendo µ a média dos valores dos eventos,
σ o desvio padrão dos dados, e y o valor do evento específico do qual se está calculando a
probabilidade
Faz-se agora uma apresentação gráfica do que a distribuição de Gauss produz ao
se variar seus parâmetros, a média (µ) e o desvio padrão (σ).
O gráfico 3 mostra a média fixa em duzentos e o desvio padrão variando.
Observa-se a simetria da curva em torno da média. Nota-se que o pico das curvas é na média e
o desvio padrão influencia na altura do pico e na largura, estando o valor dos dois ligados
(proporcionais) de forma que a área sob a curva se mantenha normalizada. O achatamento na
curva indica menor probabilidade para cada evento, quando o desvio padrão cresce.
24
185 190 195 200 205 210 2150,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Pro
babi
lidad
e
Número de eventos
µ = 200; σ = 0,5 µ = 200; σ = 1 µ = 200; σ = 2 µ = 200; σ = 3
Gráfico 3 – Mostra o comportamento da curva de Gauss ao se manter a média
(µ) fixa em duzentos, e variando o desvio padrão (σ).
O gráfico 4 mostra curvas para uma média variando e desvio padrão fixo. O valor
das probabilidades ficou constante (altura dos pontos da curva), e a média coincide com o
pico. A curva é deslocada para a direita, para os valores crescentes da média, que se altera
conforme muda o valor dos eventos. A distribuição dos eventos é igual entre as curvas, já que
os formatos permanecem iguais.
198 201 204 2070,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Pro
babi
lidad
e
Número de eventos
µ = 200; σ = 0,5 µ = 201; σ = 0,5 µ = 202; σ = 0,5 µ = 203; σ = 0,5
Gráfico 4 – Mostra o comportamento da curva de Gauss ao se variar a média
(µ), e manter fixo o desvio padrão (σ).
Número de eventos
25
2 – EXPERIMENTO :
Neste trabalho foram estudadas as distribuições de probabilidade de Poisson e
Gauss. Para isto foi analisado, experimentalmente, o comportamento do decaimento
radioativo do elemento amerício-241. Entretanto, antes de descrever os experimentos
realizados faremos uma pequena introdução ao fenômeno estudado, ao elemento e ao
equipamento principal utilizado nos experimentos.
2.1 – DECAIMENTO RADIOATIVO:
O decaimento radioativo ocorre sem vínculo com o ambiente ou entre os
componentes do sistema. Desta forma ele é bem adequado ao modelo de distribuição
binomial, pela característica de independência dos eventos e por em cada evento acontecer um
fenômeno de sucesso (decaimento) ou insucesso (não decaimento) do núcleo radioativo.
Esse fenômeno acontece em substâncias naturais instáveis que emitem partículas
ou radiação a partir de seus núcleos atômicos porque esses não estão em um estado cuja
energia é a mais baixa. Sofrem, então, transformações espontâneas, resultando em outros
elementos químicos, ou são induzidos a reações nucleares, como em aceleradores de
partículas. (EISBERG; RESNICK, 1994) Nas transformações podem ocorrer a emissão β, que
é um elétron ou um pósitron emitido devido a reações no núcleo, emissão α, que é um núcleo
de hélio, e γ, que é a emissão espontânea de fótons de alta energia pelo núcleo por ocasião de
uma transição entre um estado excitado para um estado de energia inferior. (MAYER-
KUCKUK, 1993)
Para entender melhor o processo de decaimento é necessário conhecer o núcleo
atômico. O núcleo atômico é formado de prótons e nêutrons, chamados de núcleons. Quando
se trata das propriedades nucleares das substâncias e não da sua estrutura atômica , chama-se
estas espécies de nuclídeos.(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2007) Um exemplo de
nuclídeo é o ouro-197, com massa atômica igual a 197, sendo o número atômico Z=79 (do
ouro), mas com 118 neutrons. O ouro tem 32 isótopos com apenas um estável. Os instáveis
são radioativos (radionuclídeos). Uma lista completa de nuclídeos é fornecida pela carta de
nuclídeos, que funciona como uma tabela periódica, porém de formato diferente e contendo os
26
isótopos estáveis e instáveis de cada elemento, podendo ainda conter os tipos de decaimento,
e energias mais importantes das partículas emitidas. (MAYER-KUCKUK, 1993).
A estabilidade de um núcleo é devido ao equilíbrio de forças entre prótons e
neutrons, sendo essa força de origem nuclear. Sem o equilíbrio de forças tem-se um núcleo
instável e a emissão de partículas ou radiação pode ocorrer. A emissão ou decaimento
radioativo é um indicativo de que as leis físicas dos átomos são estatísticas, pois não é
possível determinar o momento que um núcleo irá decair. Mas é possível relacionar uma taxa
de decaimento com o número de núcleos da amostra. Essa taxa é chamada de atividade A:
(MAYER-KUCKUK, 1993).
Ndt
dNA ⋅=−= λ (38)
sendo λ uma constante, chamada de desintegração ou decaimento. Da equação (38), e usando
a técnica de separação de variáveis, obtêm-se:
teNN
⋅−=
λ0 (39)
onde N0 é o número de núcleos radioativos no instante t = 0 e N é o número de núcleos
restantes, não decaídos. Esta equação é considerada a fórmula do decaimento radioativo. De
(38) e (39) obtêm-se:
teA
teNA ⋅−
=⋅−
=λλ
λ 00 (40)
Essa fórmula é considerada alternativa a Lei do Decaimento radioativo. Observa-
se que é uma equação pertencente ao conjunto de equações exponenciais. Dessa forma, trata-
se de um fenômeno que pode ser modelado por distribuições de probabilidade do modelo de
dispersão exponencial, que inclui a distribuição binomial, a de Poisson e a de Gauss.
(LINDSEY, 2000)
27
2.1.1 - O DECAIMENTO α:
A partícula α é um núcleo de Hélio, descoberto como tal em 1908 por Rutherford.
É o único tipo de decaimento radioativo espontâneo que emite partículas pesadas, excetuando-
se a fissão. (TAUHATA; ALMEIDA, 1984) É fenômeno em que um núcleo instável
transforma-se em outro através da emissão de um núcleo de Hélio. Pode ser esquematizado da
seguinte forma:
HeYX A
Z
A
Z
4
2
4
2+⇒ −
−
onde Z é o número atômico, A é o número de massa, X e Y simbolizam espécies nucleares
diferentes.
O decaimento α ocorre, em geral, em núcleos de número atômico maior que Z=82.
Ocorre espontaneamente, pois é favorecido por questões de energia, já que a energia do
núcleo de origem é maior que do núcleo final somado ao da partícula formada (lembrar que o
estado de menor energia é o mais estável). (EISBERG; RESNICK, 1994)
28
2.2 – O TUBO CONTADOR GEIGER:
Detectores são dispositivos que transformam um sinal não diretamente acessível
ao experimentador (ondas sonoras ou eletromagnéticas, variações de temperatura, etc) em um
sinal de comportamento análogo ao anterior, mas facilmente interpretável (geralmente tensões
elétricas).
Os detectores usados hoje, para detecção de partículas ou fótons, são baseados na
interação destes com átomos ou moléculas do detector. Os diferentes tipos de interação e os
tipos de amplificação do sinal de detecção é o que distingue os tipos de detectores. Eles
podem ser classificados da seguinte forma:
Ø Instrumentos de ionização gasosa, como o contador Geiger e o aparelho de
Lauritsen.
Ø Contadores de cintilação.
Ø Detectores de estado sólido.
Ø Contadores de Cherenkov.
(MELISSINOS, 1966)
O tubo contador Geiger-Mueller (Figura 3), usado neste trabalho, é um
equipamento utilizado para detecção de partículas (α, β, e raios γ), emitidas por núcleos
atômicos (PRESTON, 1985). Ele é constituído de um cilindro de metal oco, com um fio
metálico no seu longo eixo, e um orifício que deixa entrar as partículas. O cilindro e o fio
estão conectados a uma tensão elétrica. O cilindro é preenchido com um gás adequado, como
o argônio que será o meio de condução elétrica. Se uma partícula emitida por uma amostra
entrar no tubo, pelo orifício, ionizará o gás. Os íons e elétrons produzidos são acelerados para
o fio e para o cilindro. Essa ionização produz ionizações secundárias que resultam num pulso
de voltagem no circuito ligado ao sistema. O pulso de voltagem é amplificado e registrado,
sendo esta a forma de contar a partícula. As paredes do cilindro estão ligadas a um eletrodo
negativo, e a voltagem positiva é aplicada ao fio central. Sob influência do campo elétrico os
elétrons são coletados no centro enquanto os íons positivos se movem nas paredes. Para
detecção é necessário coletar as cargas antes que elas se recombinem no gás, o que é função
da pressão do gás e da voltagem aplicada. Sendo a voltagem suficientemente alta os elétrons
ganham energia para colidir com outros átomos do gás multiplicando as cargas livres
originadas pela passagem da partícula. Neste contexto, o contador do tipo Geiger é aquele que
29
funciona numa faixa de voltagem acima de 750 V até um entorno de 1000V onde a detecção
de partículas α ou β se torna similar. O que não ocorre em voltagens mais baixas.
(MELISSINOS, 1966) A detecção pode ser prejudicada pelo tempo que o sistema necessita
para detectar a partícula, que é o tempo de entrada no sistema mais o tempo de ionização e o
de registro do pulso. Somente após este tempo é que outra partícula pode ser detectada. Ele é
chamado “dead time” (tempo morto) do tubo e fica em torno de 2 x 10-4s. Essa é uma
desvantagem do contador Geiger, pois pode haver uma perda de informação. Esta necessidade
de desionização para haver nova detecção pode ser solucionada com a introdução de um
sistema de abaixamento da voltagem no circuito externo, ou pela adição de uma impureza no
gás (álcool por exemplo) ou ambos os métodos usados juntos. A eficiência do Contador
Geiger é de 90% ou mais para partículas e de cerca de 1 a 2% para fótons. Porém devido a
simplicidade e eficiência ele tem largo uso em detecção de radiação nuclear. (MELISSINOS,
1966)
Figura 3 – Esquema de um tubo contador Geiger.
30
2.3-O AMERÍCIO:
O amerício é um elemento químico sintético da série dos actinídios, de número
atômico Z=95, sendo que os actinídeos são formados por 15 elementos começando pelo
actínio Z=89, passando pelo urânio Z=92 e plutônio Z=94, indo até o laurêncio Z=103; onde
todos são elementos radioativos. São conhecidos 15 isótopos e isômeros do amerício, com o
Am-243 tendo a maior meia-vida entre eles. É um metal prateado, dúctil e não magnético,
com ponto de fusão 1176 ºC, e ponto de ebulição em 2011ºC. Os isótopos Am-241 e Am-243
tem decaimento nuclear alfa que produz o netúnio Z=239 e posteriormente o urânio Z=235,
que é um isótopo do urânio de ocorrência natural. O decaimento do Am-241 pode formar o
netúnio Z=237, e neste caso existe a produção de fóton de raio gama. É usado em detectores
de fumaça, em pára-raios, como fonte de neutrons para algumas formas de testes em
equipamentos, como medidor na industria, e aplicações experimentais como fonte radioativa.
(ATSDR, 2009) A exposição externa ao amerício não é considerada danosa levado em
consideração o tipo principal de emissão (α). A exposição interna, que ocorre devido a
inalação, ingestão ou penetração pela pele pode ser deletéria, estima-se, de acordo com a
quantidade de atividade absorvida. Não há, no entanto, relato de morte ou grande dano
orgânico devido a acidentes ou exposição externa ao amerício. (ATSDR, 2009)
Características do amerício-241 (material utilizado neste trabalho):
Ø Meia vida: 432,2 anos.
Ø Forma de decaimento: alfa (α) e gama (γ).
Ø Energia: alfa = 5,49MeV, gama = 0,059MeV.
Ø Atividade: 70 kBq =1,89µCi (baixo risco).
Ø Taxa de exposição à 10cm: 24,5nSv/h.
Ø Espessura de chumbo necessária para reduzir a exposição de um fator de
10 é 0,03mm.
Ø Constante de exposição gama = 35*10-11 Sv-cm2 / Bq.h .
31
Riscos:
O Am-241 é altamente tóxico. O principal perigo devido ao Am-241
é a sua incorporação, por inalação ou ingestão.
Ø Limite anual de ingestão é = 0,035 µCi.
Ø Limite anual de inalação é = 0,00054 µCi.
Problemas e precauções gerais:
Ø Trabalhar em capelas com exaustão.
Ø Utilizar sempre luvas no manuseio do Am-241, para evitar contaminação
das mãos. Trocar as luvas constantemente.
Ø Monitorar sempre as áreas de trabalho após a conclusão do mesmo.
Ø Sinalizar, com símbolo indicativo de presença de radiação, a embalagem
contendo o Am-241.
Ø Guardar a embalagem, contendo o Am-241, em local de acesso restrito e
protegido.
Ø Permitir o manuseio do Am-241 só por pessoas autorizadas.
(WAKABAYASHI, 2009)
32
2.4-MONTAGEM E PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS:
Serão apresentados a seguir o material utilizado nos experimentos, o
procedimento empregado em cada medida e finalmente a análise dos dados obtidos.
2.4.1-MATERIAL UTILIZADO:
Ø Tubo contador Geiger.
Ø Cabo para conexão do contador com unidade Cobra.
Ø Suportes para o tubo contador e fonte de amerício.
Ø Cabos para conexão com a fonte elétrica.
Ø Transformador 110-240 para 12 V.
Ø Trilho para montagem dos suportes.
Ø Fonte de amerício-241.
Ø Unidade Cobra.
Ø Modulo do tubo contador.
Ø Cabo PC COBRA para coletar dados da unidade Cobra.
Ø Fonte de energia elétrica com estabilizador.
Ø Software Measure de coleta de dados.
Ø Software Origin 7.5 para análise dos dados.
2.4.2-MONTAGEM:
Ø A montagem do experimento foi feita conforme o esquema e figuras (4 a 6) a seguir,
conectando-se os cabos aos sistemas integrantes.
Ø Foi utilizada uma fonte selada de amerício.
Ø Após a montagem do sistema passou-se ao procedimento específico para observação
das distribuições de Poisson e de Gauss.
33
Figura 4 - Módulo do contador. Figura 5 - do tubo do contador com fonte de amerício e
suportes
Figura 6 - Montagem mostrando o modulo do contador acoplado a unidade cobra, cabo ligando ao tubo contador
tipo A . Fonte de amerício montada em suporte com abertura direcionada ao tubo contador.
34
2.4.3-DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
Para este experimento foram utilizados 5 taxas de decaimento: 10imp/s, 20imp/s,
50imp/s, 100imp/s e 200imp/s (onde imp=impulsos). Estas taxas foram obtidas aproximando
ou afastando a fonte radioativa do tubo detector. Uma vez obtida a taxa desejada, foram então
medidos o número de impulsos em função do tempo, para um intervalo total de
aproximadamente 100s. Este intervalo foi subdividido em janelas de 0,1s, onde se fez a
contagem do número de impulsos em cada janela. Estatisticamente cada janela é um evento
onde pode acontecer y decaimentos. Assim estamos lidando com ≅N 1000 eventos, ou seja,
N>>1. Além disso, como o número de impulsos (portanto o decaimento) é pequeno dentro de
cada janela de tempo, teremos p<<1. Sob estas condições espera-se obter uma distribuição de
probabilidades de decaimentos que segue a estatística Poissoniana.
A seguir mostraremos os detalhes das medidas e a análise de dados.
Inicialmente para cada amostra foi construído um histograma das contagens de impulsos por
intervalo (freqüência de impulsos/intervalo), que mostra quantas vezes ocorreu cada evento.
Também foram construídas as curvas de comparação estatística para cada caso onde se faz a
comprovação teórica de que os dados experimentais estão ajustados com as distribuições de
probabilidade de Poisson e Gauss, consequentemente, sendo de acordo com a distribuição
binomial.
Os dados após coletados são gerados num gráfico de impulsos por tempo
como mostrado no gráfico 5.
0 20 40 60 80 100 120-1
0
1
2
3
4
5
6
Impu
lsos
Tempo (s) Gráfico 5 - Número de impulsos registrados em função do tempo de amostragem
para taxa de emissão de 10 imp/s.
35
Com esses dados gerou-se o histograma 2 pela contagem do número de impulsos
de um intervalo o que determina a freqüência de intervalos. Para construção deste histograma
o tempo total de amostragem foi subdividido em intervalos de 0,1s onde foi contado o número
de impulsos, como pode ser visto no destaque.
0 1 2 3 4 5 60
50
100
150
200
250
300
350
30,0 30,2 30,4 30,6 30,8 31,0-1
0
1
2
3
Impu
lsos
Tempo (s)
10 imp/s
Fre
quên
cia
de a
pare
cim
ento
Impulsos
Histograma 2 - Freqüências dos impulsos da amostra 10imp/s com destaque do
intervalo de 30,0 a 31,0 s .
Como o tempo total é em torno de 100 s, o número de intervalos será de
aproximadamente 1000. O histograma 2 apresenta então a freqüência de aparecimento de
impulsos dentro deste universo de 1000 intervalos.
A partir destes dados construiu-se um gráfico de pontos de probabilidade,
calculada pelos valores da freqüência, dividindo esses valores de aparecimento pelo número
total de intervalos estudados.
Para distribuição de Poisson usou-se uma análise numérica através do software
Origin, onde nesta parte foi necessário a programação da equação de Poisson , descrita em
(41).
fat = exp(gammaln(x+1));
y = (mi^x)/fat*exp(-mi); (41)
36
Feito as interações, a curva está aplicada no gráfico, mostrando o melhor ajuste.
Para a amostra 10imp/s chegou-se ao ajuste mostrado no gráfico 6.
0 1 2 3 4 5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
10 imp/sµ = 1.10 ± 0.01
Pro
babi
lidad
e
Impulsos
Gráfico 6 – Curva de ajuste de Poisson aplicada aos dados da amostra 10imp/s,
mostrando probabilidade/impulsos (pontos), com valor da média µ obtida, no
destaque.
A probabilidade de aparecimento de cada número de impulsos foi então obtida do
histograma. Como pode ser visto no gráfico 6, os pontos experimentais obtidos são bem
ajustados com a distribuição de probabilidade Poissoniana. Do ajuste dos dados experimentais
foi obtido então o valor médio da probabilidade como µ =(1,1 ±0,01) impulsos. Note que,
como esperado, o valor médio difere do valor de pico da distribuição devido à assimetria da
mesma.
A seguir, nos gráficos 7 e 8 estão os resultados para as demais taxas de
decaimento: 20 imp/s, 50 imp/s, 100 imp/s e 200 imp/s com o eixo vertical esquerdo
referindo-se ao histograma enquanto o eixo vertical direito refere-se à probabilidade e à curva
de ajuste, e ainda mostra-se as médias obtidas na análise, no destaque.
37
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
50
100
150
200
250
Fre
quên
cia
de a
pare
cim
ento
Impulsos
Pro
babi
lidad
e 20 imp/sµ = 2.12 ± 0.02
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0 2 4 6 8 100
50
100
150
200
250
Fre
quên
cia
Impulsos
Pro
babi
lidad
e
50 imp/s µ = 3.64 ± 0.04
Gráfico 7 – Resultados para as amostras 20imp/s, 50imp/s, mostrando histograma de freqüência,
curva de ajuste para as amostras e médias obtidas no destaque.
0,00
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
20
40
60
80
100
120
140
Fre
quên
cia
Impulsos
Pro
babi
lidad
e
100 imp/sµ = 7.84 ± 0.05
0,00
0,03
0,06
0,09
0,12
5 10 15 20 25 30 350
20
40
60
80
100
120
Fre
quên
cia
Impulsos
Pro
babi
lidad
e
200 imp/sµ = 20.0 ± 0.2
Gráfico 8 – Resultados para as amostras 100imp/s e 200imp/s, mostrando histograma de
freqüência, curva de ajuste para as amostras e médias obtidas no destaque.
Desta forma, observa-se que aumentando o tamanho da amostra, obtido devido a
diminuição da distância entre fonte e detector, os resultados mostram o deslocamento da
curva para a direita e uma distribuição mais simétrica das freqüências em torno do pico do
ajuste. A média aumenta e seu valor tende ao valor de pico.
38
2.4.4-DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS:
Não somente a distribuição de Poisson, mas também a distribuição Gaussiana é
muito adequada para aproximar a distribuição de pulsos. Pode desta forma, ser usada para
avaliação de um emissor de radiação. A premissa para isso é a existência de um grande
número de pulsos (elevada ocorrência do decaimento). Para isso o experimento foi montado
como na parte do experimento de Poisson, e a fonte de radiação aproximada do contador, pois
desta forma aumenta-se a possibilidade de coleta das partículas α, atingindo-se uma contagem
considerada elevada.
Aqui o tempo total durante o qual o contador Geiger registrará os impulsos, será
da ordem de ~1000s, ou seja, N>>1. Além disso, como a taxa de impulsos que chegam ao
detector é alta, espera-se que µ>>1. Sob estas condições a probabilidade de encontrar y
decaimentos (impulsos), dentro da janela de observação, deve obedecer à estatística
Gaussiana. O propósito desta parte do experimento é confirmar o fato de ser possível o uso da
distribuição normal para este tipo de fenômeno, mostrando que a distribuição de impulsos
pode, estatisticamente, ser aproximado pela distribuição Gaussiana.
A seguir mostram-se os detalhes das medidas e a análise dos dados
experimentais.
O gráfico 9 mostra como os dados foram gerados pelo software de coleta
measure. Ele exibe os impulsos/tempo com intervalos de 1s onde se contou os impulsos em
cada intervalo.
0 200 400 600 800 1000900
950
1000
1050
1100
1150
Impu
lsos
Tempo (s)
Gráfico 9 - Número de impulsos registrados em função do tempo de
amostragem para taxa de emissão de 1000 imp/s.
39
Nota-se que o gráfico 9, visualmente, está num intervalo em torno de 1050
impulsos. Mostra que apesar da tentativa de obter uma amostra em torno de 1000 impulsos/s,
isto não foi obtido. Não há interferência nos objetivos porque para as condições impostas,
uma amostra maior é também eficiente.
Abaixo, gráfico 10, mostra-se um intervalo em destaque a partir do gráfico 6,
onde se observa em detalhe os impulsos descritos em cada intervalo.
400 402 404 406 408 4101000
1020
1040
1060
1080
1100
Impu
lsos
Tempo (s)
Gráfico 10 - Impulsos por tempo da amostra 1000imp/s, destacando o tempo entre
400 a 410s com intervalos de 1s, mostrando pontos que marcam o número de
impulsos contados no intervalo.
Feito as contagens se construiu o histograma para os dados 1000imp/s e um
gráfico de pontos para probabilidade por impulsos onde se ajustou uma curva de comparação
baseada na análise numérica de Gauss do software Origin.
A curva de ajuste mostra simetria e uma média localizada em torno do pico, o
que nos comprova que um aumento do tamanho da amostragem, conseguida pela proximidade
da fonte ao detector e aumento do intervalo (de 0,1s para 1s), produz uma distribuição de
ajustável com a distribuição de Gauss. Observar gráficos 11 e 12 a seguir.
Também é observado que a probabilidade está distribuída pelos eventos, e é
baixa para cada um deles.
40
930 960 990 1020 1050 1080 111002468
101214161820
Fre
quên
cia
Impulsos
1000 imp/s
Gráfico 11 - Histograma da amostra 1000imp/s, mostrando freqüência por
impulsos.
920 960 1000 1040 1080 1120
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020µ = 1038 ± 1σ = 62 ± 2
Pro
babi
lidad
e
Impulsos
Gráfico 12 - Ajuste de Gauss para a amostra 1000imp/s com os pontos mostrando
probabilidade/impulsos, com valor da média µ obtida, no destaque.
41
2.4.5 – COMPARAÇÃO ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES:
Finalmente, é possível também fazer uma comparação direta entre estas duas
distribuições. Para isto usa-se o caso onde a taxa de decaimento é de 100imp/s.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
Gaussianaµ = 7.60 ± 0.09σ = 5.6 ± 0.1
Poissonµ = 7.84 ± 0.05
Pro
babi
lidad
e
Impulsos
Gráfico 13 – Curvas de ajuste de Gauss e Poisson na amostra
100imp/s (nos pontos), mostrando valor de probabilidade por
impulsos.
Note que a curva de distribuição Gaussiana e Poissoniana ajustam razoavelmente bem
os dados experimentais neste caso. A diferença entre os valores encontrados para µ é de
apenas 3%. Este fato confirma a previsão de que para N>>1 a distribuição Poissoniana pode
ser aproximada por uma distribuição Gaussiana.
42
3 - CONCLUSÕES GERAIS:
Foram estudados neste trabalho os modelos matemáticos estatísticos de Poisson e
Gauss usados no tratamento de dados experimentais. Com a utilização do fenômeno de
decaimento radioativo do amerício-241 foram ajustadas as condições do experimento que
mostrou acordo com a distribuição de probabilidade de Poisson para N>>1 e p<<1 e com a
de Gauss para N>>1 e µ>>1.
Dos dados coletados foram obtidos os melhores valores médios (µ) através do
ajuste de curvas usando o software Origin. Foi observada a mudança na simetria da curva de
distribuição de Poisson conforme se aumenta o número médio de eventos, mostrando uma
aproximação ao formato da curva gaussiana.
Finalizando foi elaborado um roteiro para uso no laboratório de física moderna,
constando no apêndice A e um guia de cuidados para o trabalho com radiação, no apêndice B.
43
APÊNDICE (A):
ROTEIRO PARA USO EM LABORATÓRIO:
Após a montagem dos equipamentos, conforme descrito no desenvolvimento
deste trabalho, segue:
(A-1) - DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:
Ø Ligue o software measure.
Ø Verifique se na opção <Gauge> está assinalado o experimento <Cobra3
Radioactivity>.
Ø Selecione na opção <File> <New measurement>.
Ø Aguarde o tempo estabelecido pelo sistema e clique em <Continue>.
Ø Aparecendo a janela mostrada na figura 7, opte pelo intervalo 0,1s de acordo com as
opções mostradas.
FIGURA 7 – Janela do software measure onde é feita
as opções de intervalo de tempo (time interval) e
modo de coleta de dados (x data).
Ø Clique em <Continue>.
Ø Aparecendo a janela que mostra a contagem de pulsos pelo tempo, passe ao próximo
passo (na janela estará aparecendo 0,00 #/s se não houver radiação de fundo).
44
Ø Retire a proteção da fonte de amerício-241(use luvas);
Ø Ajuste a distância da fonte ao contador até obter 10 impulsos por segundo (10#/s), que
é uma baixa taxa de contagem de pulsos.
Ø Obtido o valor desejado (o valor fica oscilando) clique, na janela inferior, em <Start>,
para iniciar a contagem.
Ø Obtenha uma amostragem em torno de ≅N 1000, o que é obtido para um tempo em
torno de 100s ao se usar o intervalo de 0,1s.
Ø Verifique os resultados obtidos no programa measure.
Ø Clique em <File> e <Save measurement> para salvar os dados.
As medidas são mostradas num gráfico para uso em uma análise preliminar.
Repita o experimento para valores de 20, 50, 100 e 200 pulsos por segundo, com amostragem
≅N 1000. De posse dos dados salvos faz-se a transferência de dados do measure para um
software de análise de dados (clique em <Measurement> e <Export data> para efetuar esse
trabalho ). Use um software de estatística como o Origin, ou Excel, para análise dos dados.
Passe para o experimento de determinação da distribuição de Gauss.
(A-2) - DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS:
Ø Ligue o software measure.
Ø Selecione na opção <File> <New measurement>.
Ø Aguarde o tempo estabelecido pelo sistema, e clique em <Continue>.
Ø Mude o tempo do intervalo de 0,1s para 1s na janela do programa (figura 7).
Ø Clique em <Continue>.
Ø Aparecendo a janela que mostra a contagem de pulsos por segundo, passe ao próximo
passo.
Ø Ajuste a distância da fonte ao contador até obter 1000 impulsos por segundo(1000#/s).
Ø Obtido o valor desejado (o valor fica oscilando) clique, na janela inferior, em <Start>
para iniciar a contagem.
Ø Obtenha uma amostra em torno de ≅N 1000, o que é obtido para o intervalo de 1s
num tempo aproximado de 17 minutos.
Ø Verifique os resultados obtidos no programa measure.
Ø Clique em <File> e <Save measurement> para salvar os dados.
45
As medidas são mostradas num gráfico para uso em uma análise preliminar. De
posse dos dados salvos faz-se a transferência de dados do measure para um software de
análise de dados (clique em <Measurement> e <Export data> para efetuar esse trabalho ). Use
um software de estatística como o Origin, ou Excel, para análise dos dados.
46
APÊNDICE (B):
O USO DAS RADIAÇÕES E A PROTEÇÃO:
O objetivo da proteção radiológica é defender o homem dos produtos das
radiações ionizantes naturais e artificiais. (TAUHATA; ALMEIDA, 1984)
A exposição que é devida a fontes de radiação dispersas no meio ambiente, podem
ser de partículas α, β, neutrons, x ou γ, sendo que as emissões x e γ constituem o maior
problema, já que podem penetrar com facilidade o tecido humano. As partículas α
provenientes de emissores α-puros não constituem perigo nas irradiações, já que são
rapidamente absorvidas pelo ar, o mesmo não ocorrendo com os β-puros.
Os fatores a serem considerados em exposição são: tempo, distância e blindagem.
Deve-se tomar contato o mínimo de tempo necessário com a fonte radioativa, pois a dose
absorvida é proporcional a taxa de dose. A distância é também importante, já que a
intensidade de radiação decresce com o quadrado deste fator. A blindagem adequada ao
material em utilização é o melhor meio de evitar o recebimento dos agentes ionizantes, pois
existem materiais que podem os absorver por completo se respeitado a espessura indicada.
A exposição pode acontecer de forma interna quando há entrada de material
radioativo no corpo humano, seja por inalação, ingestão ou pela pele, onde acontece
principalmente por feridas.(ATSDR, 2009)
Para as radiações x e γ (fótons de alta energia), usa-se de blindagem e distância
como métodos proteção de pessoas e seres vivos em geral. A intensidade desses raios reduz-
se com o inverso do quadrado da distância. A blindagem tem eficiência porque muitos
materiais são capazes de absorver fótons de alta energia. Essa eficiência é definida pelo valor
da camada hemirredutora ou HVL (“half value layer”), que é equivalente à espessura do
material que é capaz de reduzir à metade a taxa de exposição a uma dada radiação. A taxa de
exposição (E) após a radiação atravessar determinada blindagem é proporcional a exposição
inicial (E0), a espessura (x) do absorvedor, e ao valor HVL do material de blindagem.
Então Garcia (2002), define:
)2ln(
0HVLxeEE −⋅=
47
A proteção contra as radiações α e β exige métodos de mais fácil execução devido
ao pequeno poder de penetração desses raios, se comparados aos fótons de alta energia.
Geralmente roupas protegem contra essas radiações, mas as mãos e o rosto devem merecer
atenção devida a sua exposição. Indica-se o uso de luvas plásticas para as mãos e capacetes ou
máscaras adequadas para proteção do rosto.
Os ambientes que contem material radioativo devem ser sinalizados com o
símbolo universal de advertência (Figura 8), usado para indicar a presença deste material.
Áreas capazes de irradiar pessoas com uma taxa de dose maior que 0,05mSv/h devem ser
assinalados com frases de alerta , tais como “Perigo! Material radioativo”, e o acesso a esses
locais deve ser restrito aos usuários autorizados pelo responsável do local.
Figura 8 – Exemplos do símbolo a ser fixado em
ambiente que contenha ou em que se trabalhe com
material radioativo.
As fontes radioativas podem ser classificadas em fontes seladas ou fechadas e
fontes não-seladas ou abertas. As seladas são aquelas em que a radiação emitida pelo
radionuclídeo pode ser utilizada, mas não o elemento radioativo. São exemplos as bombas de
Cs-137, Co-60, e fontes usadas em laboratório de pesquisa, como a fonte selada de Am-241.
Essas devem ser inspecionadas a cada 6 meses, envolvendo-se a fonte com papel absorvente
de radiação que definirá se houve vazamento.
Fontes externas de grande atividade são monitoradas por monitores de ambiente
(Geiger-Müller ou câmaras de ionização) ligados a alarmes sonoro e luminoso. Para casos de
menor atividade são usados monitores portáteis. Dosímetros de bolso tipo caneta ou filme
sensível a raios X, beta e gama podem ser usados pelas pessoas que estejam manipulando
substâncias radioativas a fim de controlar o risco de dose absorvida. Fontes internas são
48
detectadas através de exame dos líquidos orgânicos, como urina, saliva, secreções nasais e
traqueo-pulmonares. (TAUHATA; ALMEIDA, 1984)
REGRAS GERAIS DE SEGURANÇA EM TRABALHOS COM RADIONUCLÍDEOS:
Adaptado de Garcia (2002) e Tauhata (1984)
Ø lembrar que um laboratório organizado minimiza riscos;
Ø lembrar sempre dos princípios básicos de radioproteção: TEMPO,
DISTÂNCIA e BLINDAGEM.
Ø não fazer experimento com radionuclídeo até que todas as etapas tenham
sido testadas e treinadas usando-se uma substância que não seja radioativa;
Ø usar blindagens próximo das fontes;
Ø somente manusear material radioativo que tenha as menores atividades
radioativas (toxidez, meias-vidas, etc...);
Ø fazer medidas dos níveis de radiação antes, durante e após realizar
trabalhos;
Ø manusear material radioativo em ambiente adequado: capelas, caixas secas,
caixas com luvas;
Ø utilizar EPI (equipamento de proteção individual), como luvas, pipetas,
aventais, gorros, máscaras, todos adequados ao trabalho que está sendo
realizado;
Ø isolar e sinalizar o local de trabalho;
Ø comunicar imediatamente ao responsável, qualquer anormalidade ocorrida
nas atividades de trabalho;
Ø não permitir que pessoas não autorizadas manipulem o equipamento de
radioemissão ou a substância radioativa;
Ø cumprir os regulamentos, normas e instruções de radioproteção;
Ø manter os responsáveis informados sobre os trabalhos efetuados com o
material radioativo;
Ø não manipular radionuclídeos quando se tem ferimentos/cortes;
Ø identificar os locais que guardam material radioativo, com o símbolo
universal que sinaliza a presença de radiação, bem como a indicação da
data de produção, do tipo e da atividade da amostra radioativa estocada;
49
Ø manipular com cautela os instrumentos cortantes ou perfurantes;
Ø manipular com cautela os solventes orgânicos, pois geralmente eles
facilitam a penetração de alguns elementos através da pele e alguns podem
produzir lesões da superfície cutânea;
Ø lavar mãos e unhas após o trabalho, com água e sabão.
50
BIBLIOGRAFIA:
ATSDR – Agency for toxic substances and disease registry. Toxilogical profile for
Americium. 2004. USA. Disponível em: < http: //www.atsdr.cdc.gov/toxprofiles/tp156.html
>. Acesso em: 17 maio 2009.
EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. Rio de Janeiro: Campus, 1994. 928p.
FERREIRA, A. B. H. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 3ª ed. Curitiba:
Positivo, 2004. 2120p.
GARCIA, E. A. C. Biofísica. São Paulo: Editora Sarvier, 2002. 387p.
GNEDENKO, B. V. A teoria da probabilidade. Rio de Janeiro: Ed. Ciência Moderna Ltda,
2008. 692p.
GUERRA, M. J. & DONAIRE, D. Estatística indutiva: teoria e aplicações. 2ª ed. São Paulo:
LCTE, 1982. 311p.
HELENE, O. A. M.; VANIN, V. R. Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental.
2ª ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1991. 105p.
HALLIDAY, D. ; RESNICK R. ; WALKER, J. Fundamentos de Física. 7ª ed. Rio de Janeiro,
RJ: LTC, c2007. 407p
KITTEL, C. Thermal physics. USA: Freeman and Company, c1980. 475p.
LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. Rio de Janeiro: Campus, 2005. 476p.
LIMA, W. J. Desenvolvimento de experimentos e material didático para práticas de física
moderna. Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso) – Instituto de Física – Universidade
Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2008.
51
LINDSEY, J. K. Applying Generalized Linear Models. New York, USA: Springer, c1997.
243p.
MARUMO, J. T. Avaliação da contaminação provocada por pára-raios radioativos de
Amerício-241 descartados em lixões. Tese (Doutorado em Ciências – Área de Tecnologia
Nuclear) - IPEN (Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares), São Paulo, 2006.
MAYER-KUCKUK, T. Física Nuclear. 4ª ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, c1993.
481p.
MELISSINOS, A. C. Experiments in Modern Physics. San Diego, Califórnia: Academic
Press, c1966. 559p.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER G. C. Estatística aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 2ª ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2003. 463p.
MAGALHAES, M. N. Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2ª ed. São Paulo: Edusp, 2006.
411p.
PRESTON, D. W. Experiments in Physics. United States of América: John Wiley & Sons,
c1985. 272p.
SANTOS, J. P.O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à análise Combinatória. Rio
de Janeiro: Ed. Ciência Moderna Ltda, 2007. 390p.
SANTOS, M. M. Desenvolvimento de experimentos e material didático para práticas de física
moderna envolvendo raios-x. Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso) – Instituto de
Física – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2008.
TAUHATA, L.; ALMEIDA, E. S. Radiações Nucleares: Usos e Cuidados. 2ª ed. Rio de
Janeiro: Gráfica do CNEN, 1984. 80p.
TRIOLA, M. F. Introdução a estatística. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, c1999. 410p.
52
VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2ª ed. São Paulo, SP: Blucher, 1996. 249p.
WAKABAYASHI, T. Informações sobre segurança radiológica do nuclídeo Am-241[
mensagem pessoal ]. Mensagem recebida por <[email protected] > em 18 abril 2008.