medidas de tendÊncia central - computacao … · exemplos: média, mediana, moda. medidas de...

39
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Professor Jair Wyzykowski Universidade Estadual de Santa Catarina

Upload: hoangkien

Post on 16-Dec-2018

222 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

MEDIDAS DE TENDÊNCIACENTRAL

Professor Jair Wyzykowski

Universidade Estadual de Santa Catarina

Usuário
Carimbo
Usuário
Carimbo
Page 2: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

INTRODUÇÃO

A concentração de dados em torno de um valor podeser usada para representar todos os dados.Os valores em torno dos quais estão os dados sãochamados medidas de tendência central ou deposição.O termo medida de posição é utilizado para indicar,ao longo de uma escala de medidas, onde a amostraou população está locadaExemplos: Média, mediana, moda.

Page 3: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética

Cada valor da população será referenciado por Xi

(Leia-se X índice i) (X1,X2, ...,Xn).Média da população:

µ =

N∑i=1

Xi

N

Page 4: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética

O mais eficiente, não viesado e consistenteestimador da média populacional é a média amostral

X̄ =

n∑i=1

Xi

n

Para dados agrupados em uma distribuição defreqüência a média é dada por:

X̄ =

k∑i=1

FiX̄i

n

Page 5: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética: Cálculo

Tabela 1. Dados elaborados da produção de grãos emg/planta obtidos numa amostra de n = 20 plantas defeijão da geração F2 do cruzamento das cultivaresFlor de Maio e Carioca.

1,38 4,14 6,23 12,13 17,123,65 4,54 6,79 12,56 19,683,78 5,64 8,21 13,19 21,263,87 5,67 9,79 15,60 24,57

Page 6: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética: Cálculo

Tabela 2. Distribuição de frequência da produção degrãos em g/planta obtidos numa amostra de n = 20plantas de feijão da geração F2 do cruzamento dascultivares Flor de Maio e Carioca.

Classes de pesos X Fi Fri Fpi%-2,49 |– 5,25 1,38 6 0,30 305,25 |– 12,98 9,11 8 0,40 40

12,98 |– 20,71 16,84 4 0,20 2020,71 |– 28,44 24,57 2 0,10 10

Total 1,0 100

Page 7: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética: Cálculo

Por que a diferença?Qual é a estimativa mais precisa?

X̄ =

n∑i=1

Xi

n=

1,38 + ... + 24,5720

=199,8

20= 9,99

X̄ =

k∑i=1

FiX̄i

n=

1,38× 6 + ... + 24,57× 220

=197,66

20= 9,883

Page 8: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética: propriedades e características

1) A soma dos desvios em relação a média é igual azero para qualquer amostra;

n∑i=1

(Xi − X ) = 0

2) A soma dos quadrados dos desvios com relação auma constante arbitrária A qualquer, será um valormínimo se A = X ;

Page 9: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média aritmética

Média Aritmética: propriedades e características

3) A soma ou subtração de uma constante (k) aosdados altera a média de tal forma que a nova médiafica adicionada ou subtraída pela constante;

4) A multiplicação ou divisão por uma constante (k) aosdados altera a média de tal forma que a nova médiafica multiplicada ou dividida pela constante;

5) A média é influenciada por valores extremos.

Page 10: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana

A mediana é definida em um conjunto de dadosordenados como o valor central, ou seja, o valor parao qual há tantas mensurações que o superam,quanto os que são superados por ele.A mediana amostral (md) é o melhor estimador damediana populacional (µd)

Para estimação da mediana é necessário ordenar osdados (dados elaborados).

Page 11: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana

Se n for impar:md = X n+1

2

Se n for par:

md =X n

2+ X n+2

2

2

Page 12: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana: cálculo a partir da tabela de distribuição defrequência

1) Definir a classe mediana: a posição da mediana éencontrada acumulando-se as frequências dasclasses até um valor que seja igual ouimediatamente superior a n/2.

Page 13: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana: cálculo a partir da tabela de distribuição defrequência

2) Encontrar a mediana interpolando os dados:

md = LImd +0,5n − Fc

Fmd× cmd

em que LImd , Fmd e cmd referem-se ao limite inferior,frequencia e amplitude de classe da classe mediana.Fc é a frequência acumulada das classes anterioresà classe mediana.

Page 14: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana: cálculo a partir da tabela de distribuição defrequência

Para os dados da tabela 2

1) Verifica-se que n = 20 e a posição da medianan/2 = 10. Então a classe mediana é a segunda.

2) Cálculo

md =LImd +0,5n − Fc

Fmd× cmd

=5,25 +0,5× 20− 6

8× 7,73 = 9,115

Page 15: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana: propriedades e características

1) A soma dos módulos dos desvios em relação a umaconstante arbitrária A qualquer, será um valormínimo de A = md .

D =n∑

i=1

|Xi − A| = minimo

2) A soma ou subtração de uma constante (k) aosdados altera a mediana de tal forma que a novamediana fica adicionada ou subtraída pela constante;

Page 16: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Mediana

Mediana: propriedades e características

3) A multiplicação dos dados ou divisão por umaconstante (k) altera a mediana de tal forma que anova mediana fica multiplicada ou dividida pelaconstante;

4) A mediana não é influenciada por valores extremos.

Page 17: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Moda

Moda

Conjunto de dados com valor mais frequente.A mo é o melhor estimador da moda populacional µo.para dados qualitativos nominais ou ordinais e paradados quantitativos discretos a definição de moda,valor mais frequente na amostra é usada paraestimação da moda populacional.Podemos ter mais de uma moda ou não ter moda senenhum dado se repete.Para dados quantitativos contínuos a definição demoda como valor mais frequente é inadequada.

Page 18: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Moda

Cálculo da moda para dados quantitativos contínuosem uma tabela de distribuição de frequência

1) Localizar a classe modal: classe em que a modaestá inserida, ou seja, classe onde há a ocorrênciada maior frequência. Se duas classes apresentaremfrequencias iguais então a distribuição é bimodal eassim por diante.

Page 19: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Moda

Cálculo da moda para dados quantitativos contínuosem uma tabela de distribuição de frequência

2) Cálculo:

mo = LImo +41

41 +42× cmo

em que LImo e cmo são o limite inferior e a amplitudeda classe modal, 41 e 42 são as diferenças entre asfrequências da classe modal e da imediatamenteinferior e da classe modal e da imediatamenteposterior respectivamente.

Page 20: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Moda

Cálculo da moda para dados quantitativos contínuosem uma tabela de distribuição de frequência

Para os dados da tabela 2

1)41 = 8− 6 = 2

42 = 8− 4 = 4

2)

mo =LImo +41

41 +42× cmo

=5,25 +2

2 + 4× 7,73 = 7,8267

Page 21: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Moda

Moda: propriedades e características

1) A soma ou subtração de uma constante (k) aosdados altera a moda de tal forma que a nova modafica adicionada ou subtraída pela constante.

2) A multiplicação dos dados ou divisão por umaconstante (k) altera a moda de tal forma que a novamoda fica multiplicada ou dividida pela constante.

Page 22: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Quartil

Quando se divide um conjunto ordenado de dadosem quatro partes iguais, os pontos da divisão sãoconhecidos como quartil.o primeiro quartil, Q1; é o valor que divideaproximadamente, a quarta parte (25%) dasobservações abaixo dele, e os 75% restantes, acimadele.O segundo quartil é exatamente a mediana (Md).O terceiro quartil ou quartil inferior, Q3, temaproximadamente os três quartos (75%) dasobservações debaixo dele.

Page 23: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Quartil

Exemplo. A seguir são apresentadas 20 observações dotempo de falha, em horas de um equipamento: 204 228252 300 324 444 624 720 816 912 1176 1296 1392 14881512 2520 2856 3192 3528 3710

A mediana, já que n = 20 é par é:

Md = Q2 =912 + 1176

2= 1044

Page 24: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Quartil

Primeiro quartil

O primeiro quartil deve ter 25% dos dados abaixo deleou, nesse exemplo, pelo menos 5 observações abaixodele, e 75% dos dados acima dele ou menos de 15 deobservações de seu valor acima dele. A quinta e sextaobservação satisfazem essa definição de modo que Q1 édefinido como a média dessas observações

Q1 =324 + 444

2= 384

Page 25: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Quartil

Terceiro quartil

Deve ter 75% dos dados abaixo dele ou pelo menos 15observações abaixo de seu valor, e 25% dos dadosacima ou pelo menos 5 observações acima dele. Asobservações 15 e 16 satisfazem essa definição. Portanto,

Q3 =1512 + 2520

2= 2016

Page 26: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Percentil

O percentil Pp, é um valor que divide um conjunto deobservações ordenados de forma crescente (oudecrescente) em duas partes, o 100p % dessasobservações com valores inferiores (superiores) aPp, e o 100(1−p)% com valores superioresQ1 = P0,25

Q3 = P0,75

Page 27: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Percentil e quartil

Percentil

O percentil Pp para dados quantitativos contínuosagrupados em TDF é obtido da seguinte forma:

Pp = LIi +np − Fi−1

fi× c, 0 < p < 1

ondei : classe percentil, a classe percentil é o intervalo de classe onde sesupera por primeira vez o (np) dos dados, isto é, Fi > np ou Fri > pLIi : limite inferior da classe percentil.Fi−1: freqüência acumulada absoluta da classe anterior à classepercentil.fi freqüência absoluta da classe percentilc amplitude da classe

Page 28: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média geométrica

Média geométrica

Apropriada para calcular médias de razões, taxas devariações, índices econômicos e taxa de crescimentode microorganismosA média geométrica X G é definida como sendo a raizn-ésima do produto dos n dados amostrais

X G = n√

X1X2...Xn = n

√√√√ n∏i=1

Xi Xi > 0,

∀i = 1,2, ...,n

Page 29: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média geométrica

Média geométrica

A média geométrica X G para dados agupados édefinida como:

X G = exp

{∑ni=1 Fi lnX i

n

}X i > 0,

∀i = 1,2, ..., k

Page 30: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Média harmônica

Média harmônica

É usada para obter médias de razões e em algumastécnicas da estatísticaCálculo da média harmônica

X H =1

1n

∑n1=1

1Xi

=n∑n

1=11Xi

; Xi > 0,∀i = 1,2, ...,n

Para dados agrupados

X H =1

1n

∑n1=1

FiX i

=n∑k

1=1FiX i

; Xi > 0,∀i = 1,2, ..., k

Page 31: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Distribuição simétrica

X = Mo = Md

Page 32: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Distribuição Assimétrica à Esquerda, ou deAssimetria Negativa

X < Md < Mo

Page 33: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Distribuição Assimétrica à Direita, ou de AssimetriaPositiva

Mo < Md < X

Page 34: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Que outras observações podemos fazer acercadestes três gráficos conclusivos?

Quando a distribuição for assimétrica, a Medianaestará sempre entre a Média e a Moda;Só será necessário conhecermos os valores de duasmedidas de tendência central para sabermos se adistribuição é assimétrica positiva ou negativa.

Page 35: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Medida de Assimetria

Coeficiente de Assimetria de Pearson

As =X −Mo

s

a) Se As < 0 a distribuição será Assimétrica Negativa ;b) Se As > 0 a distribuição será Assimétrica Positiva;c) Se As = 0 a distribuição será Simétrica.

Page 36: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Medida de Assimetria

Quando não tivermos condições de calcularmos o desviopadrão

As =Q3 + Q1 − 2Md

Q3 −Q1

a) Se As < 0 a distribuição será Assimétrica Negativa ;b) Se As > 0 a distribuição será Assimétrica Positiva;c) Se As = 0 a distribuição será Simétrica.

Page 37: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Assimetria

Medida de Assimetria

Coeficiente momento de assimetria (α3)

α3 =M3

s3

a) |α3| < 0,2 simetria;b) 0,2 < |α3| < 1,0 assimetria fraca;c) |α3| > 1,0 assimetria forte.

Page 38: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Curtose

Curtose

Mostra até que ponto a curva representativa de umadistribuição é a mais aguda ou a mais achatada doque uma curva normal

1 Curva Mesocúrtica (Normal): É considerada a curvapadrão.

2 Curva Leptocúrtica: Mais alta do que a normal.Apresenta o topo relativamente alto. Os valores seacham mais agrupados em torno da moda.

3 Curva Platicúrtica: Mais baixa do que a normal.Apresenta o topo achatado, significando que váriasclasses apresentam freqüências quase iguais.

Page 39: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - computacao … · Exemplos: Média, mediana, moda. Medidas de tendência central Média aritmética Média Aritmética Cada valor da população será

Medidas de tendência central

Curtose

Curtose

a) Leptocúrtica.b) Mesocúrtica.c) Platicúrtica.