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Medidas de centralidade

Medidas de Centralidade

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

28 de marco de 2018Londrina

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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade

Introducao

Sao utilizadas para sintetizar, em um unico numero, o conjuntode dados observados da variavel em estudo;

Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posicao(ou localizacao) central:

Media;

Mediana;

Moda.

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Media aritmetica simples

A medida mais utilizada para descrever resumidamente um con-junto de dados, tabelados ou nao, e a media aritmetica sim-ples.

Definicao

Soma das observacoes dividida pelo numero delas:

µ =

∑Ni=1 yiN

(Media Populacional)

y =

∑ni=1 yin

(Media Amostral)

em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo, N e n e otamanho da populacao e da amostra, respectivamente.

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Exemplo 1

As taxas de juros recebidas por uma amostra de 10 acoes durantecerto perıodo foram (medidas em porcentagem):

2,59 2,64 2,60 2,62 2,572,55 2,61 2,50 2,63 2,64

Qual e a taxa de juros media nesse perıodo?

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Media aritmetica ponderada

Definicao

A media aritmetica e considerada ponderada se os valores observadostiverem pesos diferentes:

y =

∑ni=1 yipi∑ni=1 pi

em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo e pi e seu res-pectivo peso.

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Exemplo 2

Do plano de ensino da disciplina Estatıstica Economica A aplicadaa Ciencias Economicas, tem-se que os pesos das avaliacoes P1, P2,P3, P4 e T sao p1 = 2, p2 = 2, p3 = 2, p4 = 2 e pT = 1,respectivamente. Suponhamos que um aluno tire as notas: P1 = 8,P2 = 5, P3 = 6 e T = 7, qual a nota mınima que precisa na P4

para ser aprovado na disciplina?

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Media para dados agrupados

Definicao

A media aritmetica para dados agrupados nada mais e que umamedia ponderada:

y =

∑ki=1 yini∑ki=1 ni

em que yi e o valor medio da i-esima classe e ni e a frequenciaabsoluta da i-esima classe.

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Exemplo 3

Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:

Tabela 1: Distribuicao de frequencias do tempo, em minutos, queusuarios de Internet gastaram na rede durante sua mais recente sessao.

Tempo ni fi7 ` 20,2 8 0,16

20,2 ` 33,4 11 0,2233,4 ` 46,6 13 0,2646,6 ` 59,8 9 0,1859,8 ` 73,0 4 0,0873,0 ` 86,2 5 0,10

TOTAL 50 1,000

Qual e o tempo medio gasto na internet por esses usuarios?

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Exemplo 4


Tabela 2: Distribuicao de frequencias do numero de filhos das famıliasde um bairro de uma cidade qualquer.

no de filhos ni fi0 5 0,16671 7 0,23332 11 0,36673 6 0,20004 1 0,0333

TOTAL 30 1,0000

Qual o numero medio de filhos das famılias desse bairro?

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Mediana

E uma quantidade que, como a media, tambem procura carac-terizar o centro da distribuicao de frequencias;

E a medida que ocupa a posicao central do conjunto de dados,ou seja, 50% das observacoes estao a cima da mediana e 50%estao a baixo.;

Para determinar a mediana e preciso ordenar os dados e emseguida verificar se o n e par ou ımpar.

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Se n ımpar

Definicao

Md = y( n+12 )

em que y( n+12

) e o valor do elemento que se encontra na posicaon+12 .

Exemplo 5

Consideremos os seguintes dados que se referem aos salariosiniciais, em reais, pagos para uma amostra de 11 economistas:

2350,00 2450,00 2550,00 2380,00 2555,00 2210,002390,00 2630,00 2440,00 2420,00 2380,00.

Calcule o valor mediano do salario da amostra de economistas.11 / 26



Se n e par

Definicao

Md =y( n

2 ) + y( n2+1)

2

em que y( n2) e y( n

2+1) sao os valores dos elementos que se

encontram nas posicoes n2 e n

2 + 1.

Exemplo 6

Se retirarmos a primeira observacao dos dados anteriores, temos:

2450,00 2550,00 2380,00 2555,00 2210,00 2390,002630,00 2440,00 2420,00 2380,00.

Calcule o novo valor mediano do salario.

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Mediana para dados agrupados

Definicao

A mediana, para dados agrupados em classes, e dada por:

Md = Li +

(n2 − Fi−1

)ni

ac

em que Li e o limite inferior da classe mediana; ac e a amplitudedo intervalo da classe mediana; Fi−1 e a frequencia acumuladaanterior a classe mediana; ni e a frequencia absoluta da classemediana.

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Exemplo 7



Tempo ni Fi

7 ` 20,2 8 820,2 ` 33,4 11 1933,4 ` 46,6 13 3246,6 ` 59,8 9 4159,8 ` 73,0 4 4573,0 ` 86,2 5 50

TOTAL 50 -

Qual e o tempo mediano gasto na internet por esses usuarios?

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Exemplo 8



no de filhos ni Fi

0 5 51 7 122 11 233 6 294 1 30

TOTAL 30 -

Qual o numero mediano de filhos das famılias desse bairro?

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Moda

Definicao

A moda, Mo , e definida como o valor mais frequente do conjuntode valores observados.

A moda pode ser obtida para variaveis qualitativas.

Um conjunto de dados pode ser:

amodal (nenhuma moda);

unimodal (uma moda);

bimodal (duas modas);

multimodal (tres ou mais modas);

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Exemplo 9

O conjunto de numeros 1, 2, 3, 4, 5 nao tem moda (amodal).

Exemplo 10

Consideremos as alturas, em cm, de uma amostra de dez alunos docurso de Ciencias Economicas:

165 171 173 173 178178 178 178 179 182

Temos que a altura modal e 178cm (Mo = 178).

Exemplo 11

O conjunto de numeros 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 tem duas modas (bimodal),Mo = 2 e Mo = 3 .

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Moda para dados agrupados

Para dados agrupados em classes, pode-se utilizar um dos se-guintes metodos:

Moda bruta

E o ponto medio da classe modal (aquela que apresenta maiorfrequencia), ou seja:

Li + Ls2

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Metodo Czuber

Mo = Li +

(δ1

δ1 + δ2

)ac

em que Li e o limite inferior da classe modal; ac e a amplitude daclasse modal; δ1 e a diferenca entre a frequencia absoluta da classemodal e a anterior imediata; δ2 e a diferenca entre a frequenciaabsoluta da classe modal e a posterior imediata.

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Exemplo 12



Tempo ni fi pi7 ` 20,2 8 0,16 16

20,2 ` 33,4 11 0,22 2233,4 ` 46,6 13 0,26 2646,6 ` 59,8 9 0,18 1859,8 ` 73,0 4 0,08 873,0 ` 86,2 5 0,10 10

TOTAL 50 1,000 100

Qual e o tempo modal gasto na internet por esses usuarios?Obs: Calcular pelos dois metodos.

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Exemplo 13



no de filhos ni fi pi0 5 0,1667 16,671 7 0,2333 23,332 11 0,3667 36,673 6 0,2000 20,004 1 0,0333 3,33

TOTAL 30 1,0000 100,00

Qual o numero modal de filhos das famılias desse bairro?

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Exemplo 14


Tabela 7: Distribuicao de frequencias da cor favorita.

cor ni fi piAmarelo 3 0,1000 10,00

Azul 11 0,3667 36,67Laranja 1 0,0333 3,33Marrom 1 0,0333 3,33

Preto 5 0,1667 16,67Roxo 1 0,0333 3,33Verde 4 0,1333 13,33

Vermelho 4 0,1333 13,33

TOTAL 30 1,0000 100,00

Qual a cor favorita para o conjunto de dados?

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EXERCICIO

Tabela 8: Distribuicao de frequencias do peso, em kg, de criancas de umquarteirao de um bairro qualquer.

Pesos ni fi pi58,0 ` 63,5 3 0,1875 18,7563,5 ` 69,0 7 0,4375 43,7569,0 ` 74,5 5 0,3125 31,2574,5 ` 80,0 1 0,0625 6,25

TOTAL 16 1,0000 100,00

Calcule a media, a mediana e a moda para o conjunto de dados databela de distribuicao de frequencias acima.

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Media

E vista como ponto de equilıbrio dos dados;

Utilizada quando a distribuicao dos dados e pelo menos apro-ximadamente simetrica;

Utilizada ser for necessario obter posteriormente outros parametrosque podem depender da media, como por exemplo a variancia,o desvio padrao, etc.

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Mediana

E vista como ponto medio dos dados;

Utilizada quando ha valores extremos;

Utilizada quando deseja-se conhecer o ponto central da distri-buicao;

Utilizada quando a distribuicao dos dados e muito assimetrica.

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Moda

E vista como ponto de maxima frequencia dos dados;

Utilizada quando a medida de interesse e o ponto mais tıpicoou popular dos dados;

Utilizada quando precisa-se apenas de uma rapida ideia sobrea tendencia central dos dados.

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