valor esperado e variância
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-
Valor esperado e Varincia
Prof. Carlos Amorim
-
Valor esperado (Esperana Matemtica)
O valor esperado, , de uma varivelaleatria discreta definido como:
)(XE
X
=n
xpxXE )()( =
=i
ii xpxXE1
)()(
onde, nxxx ,...,, 21 : valores possveis de X.
)()( ii xXPxp ==
-
Valor esperado
a mesma mdia que aprendemos anteriormente?
Notas de 100 alunos:4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,02,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,0
Como podemos encontrar a mdia?
- Somar todos os nmeros e dividir por 100: 92,2100
292=
- Multiplicar cada nmero pela quantidade de vezes que elese repete, somar os resultados e dividir por 100:
-
Valor esperado
128324 =105353 =54272 =551 =010 =
2920554105128 =++++
92,2100
292=
010 = 100
x )(xp
4
3
2
1
0
0,32
0,35
0,27
0,05
0,01
)(xxp
1,28
1,05
0,54
0,05
0,00
00,005,054,005,128,1)( ++++=XE
92,2)( =XE
uma mdia ponderada dos diferentesvalores de X com pesos dados pelasrespectivas probabilidades.
)(XE
-
Valor esperado Ex:
Experimento: lanamento de um dado;
X: nmero de pontos obtidos.
?)( =XE ?)( =XE
x )(xp1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11)( +++++=XE
5,3)( =XE
no o resultado que podemos esperar quando Xfor observada uma nica vez.
)( XE
a mdia aritmtica dos resultados quando X forobservada um grande nmero de vezes.
)(XE
-
Valor esperado
O valor esperado, , de uma varivelaleatria contnua definido como:
)(XE
X
+
= dxxxfXE )()( +
= dxxxfXE )()(
onde, )(xf : a funo de densidade de probabilidade.
-
Valor esperado
Ex:=)(xf
,2x
0, para outros valores de .
10
-
Valor esperado
Ex2: (relgio eltrico)
=)(xf
0
-
Valor esperado de uma funo de uma varivel aleatria
a) Caso discreto:
n
XSeja uma varivel aleatria e seja ).(XHY =
=
==n
i
ii xpxHxHEYE1
)()()]([][
b) Caso contnuo:
+
== dxxfxHxHEYE )()()]([][
-
Valor esperado de uma funo de uma varivel aleatria
a) Caso discreto:
Ex:
X 0 1 2
p(xi) 1/4 2/4 1/4
12)( += xxH
?)]([ =xHE
=
+=+=3
1
)()12(]12[)]([i
ii xpxxExHE
b) Caso contnuo:
==1
0
22 22]2[)]([ xdxxxExHE
?)]([ =xHE
34
15
4
23
4
11 =++=
=)(xf,2x
0, para outros valores de .
10
-
Propriedades do Valor esperado
Seja uma varivel aleatria e uma constante.
;
;
X C
CCE =)(
)()( XECCXE = ;
;
Se ento ;
k funes de , ento
)()( XECCXE =
bXaY += )()( XbEaYE +=
CXECXE = )()(
:)(),...,(),( 21 XHXHXH K X
)]([...)]([)]([)](...)()([ 2121 XHEXHEXHEXHXHXHE KK +++=+++
-
Propriedades do Valor esperado
Ex:
x p(x)
1
2
4
13
2
12
4
11)( ++=XE 2=
2
3
x+3 p(x)
4
5
6
CXECXE +=+ )()( 532 =+=
4
16
2
15
4
14)3( ++=+XE 5=
-
Propriedades do Valor esperado
Ex:
x p(x)
1
2
4
13
2
12
4
11)( ++=XE 2=
2
3
2x p(x)
2
4
6
)()( XECCXE = 422 ==
4
16
2
14
4
12)2( ++=XE 4=
-
Propriedades do Valor esperado
Ex:
x p(x)
1
2
4
13
2
12
4
11)( ++=XE 2=
2
3
2x+1 p(x)
3
5
7
1)(2)12( +=+ XEXE 5122 =+=
4
17
2
15
4
13)12( ++=+XE 5=
-
Propriedades do Valor esperado
Ex:
=)(xf,2x
0, para outros valores de .
10
-
Varincia
a) Caso discreto:
n
2)]([)( XEXEXV =
=
=n
i
ii xpXExXV1
2 )()]([][
b) Caso contnuo:
+
= dxxfxExXV )()]([][ 2
-
Varincia Ex:
x p(x) 2)( =XE =n
ii xpXExXV2 )()]([][
a) Caso discreto:
x p(x)
1
2
3
2)( =XE
=
=3
1
2 )()2()(i
ii xpxXV
=
=i
ii xpXExXV1
)()]([][
2
1
4
110
4
11 =++=
-
Varincia Ex:
=)(xf,2x 10
-
Varincia
Teorema:
)()()( 22 XEXEXV =
Demonstrao:2)]([)( XEXEXV =
Demonstrao:
)]()(2[ 22 XEXXEXE +=
)]([)](2[)( 22 XEEXXEEXE +=
)()()(2)( 22 XEXEXEXE +=
)()(2)( 222 XEXEXE +=
)()( 22 XEXE =
-
Varincia Ex:
x p(x) 2)( =XE
a) Caso discreto:
x p(x)
1
2
3
2)( =XE
=
=3
1
2 )()2()(i
ii xpxXV 2
1
4
110
4
11 =++=
)()()( 22 XEXEXV =
=
=3
1
22 )()(i
i xipxXE2
9
2
52
4
19
2
14
4
11 =+=++=
2
12
2
9 2 ==
-
Varincia Ex:
=)(xf,2x 10
-
Propriedades da Varincia
Seja uma varivel aleatria e uma constante.
;
;
X C
0)( =CV
)()( 2 XVCCXV = ;
)()( 2 XVCCXV =
).()( XVCXV =
-
Propriedades da Varincia
Ex:
x p(x)
1
2 1
)( =XV
2)( =XE
2
3 2
)( =XV
x+3 p(x)
4
5
6
=+ )3(XV
2
1
4
1)56(
2
1)55(
4
1)54()3( 222 =++=+XV
2
1)( =XV
5)3( =+XE
-
Propriedades da Varincia
Ex:
x p(x)
1
2
2)( =XE
2
1)( =XV2
3
2x p(x)
2
4
6
)2( XV 22
14 ==
4)2( =XE
2)( =XV
)(22 XV=
24
1)46(
2
1)44(
4
1)42()2( 222 =++=XV
-
Questo
1. Uma moeda perfeita lanada 3 vezes. SejaY o nmero de caras obtidas.
Y p(y)
0 1/8
Calcule o valor esperado e a varincia.
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8