5.1 Ondas Electromagnéticas5.2 Espectros Atómicos5.3 A Radiação do Corpo Negro e a Teoria de Planck5.4 Efeito Fotoeléctrico e Efeito Compton5.5 Ondas de de Broglie5.6 Ondas ou Partículas?5.7 Princípio da Incerteza de Heisenberg5.8 Uma Interpretação da Mecânica Quântica5.9 Equação de Schrödinger5.10 Partícula num Poço de Potencial Quadrado 5.11 Barreira de Potencial e Tunelamento5.12 Poço de Potencial

Parte da matéria é uma adaptação livre das aulas do Professor Rick Trebino em: www.physics.gatech.edu/frog

Karl Ernst Max Planck (1858-1947) e Albert Einstein (1876-1955)

Capítulo 5

5.1 Ondas Electromagnéticas

• Carga com aceleração linear

Cargas aceleradas emitem luz

Fontes de ondas electromagnéticas

• Radiação sincrotrônica - luz emitida por partículas carregadas e com velocidade, deflectidas por um campo magnético

• Bremsstrahlung - luz emitida quando partículas carregadas colidem com outras partículas carregadas

B

…mas a grande maioria das ondas electromagnéticas no Universo vem

das vibrações moleculares

• Electrões vibram em torno do núcleo

Frequência alta: ~1014 - 1017 Hz

• Os núcleos das moléculas vibram Frequência intermediária: ~1011 - 1013 Hz

• Os núcleos das moléculas rodam

Frequência baixa: ~109 - 1010 Hz

Propagação da onda electromagnética

As ondas electromagnéticas se propagam no vácuo com uma velocidade c

μ0 - permeabilidade no vácuo

ε0 - permitividade no vácuo

Espectro electromagnético

A luz da lâmpada emite radiação. Esta luz atravessa o espectroscópio (prisma) e obtemos o espectro de cores do arco-íris. Este espectro é contínuo

5.2 Espectros Atómicos

São como impressões digitais

O espectro emitido por um elemento químico não é contínuo

Além do espectro de emissão temos também

o espectro de absorção

Série de Balmer

Em1885, Johann Balmer encontrou uma fórmula empírica para determinar o comprimento de onda no visível das linhas espectrais para o átomo de hidrogênio :

(onde k = 3,4,5…)nm

Equação de Rydberg

Outros cientistas descobriam novas linhas de emissão no infravermelho e ultravioleta e a equação para a série de Balmer foi estendida para a equação de Rydberg:

5.3 A Radiação do Corpo Negro e a Teoria de Planck

Um corpo em qualquer temperatura emite energia – a radiação térmica

Corpo negro é um sistema ideal que absorve toda a radiação incidente

Modelo de corpo negro: uma pequena abertura numa cavidade

Qualquer radiação que entra na cavidade será reflectida e absorvida nas paredes internas e acaba por ser totalmente absorvida

Dados experimentais para a distribuição de energia na radiação do corpo negro para três temperaturas. A área sob a curva aumenta com a temperatura.

Lei do deslocamento de Wien

A intensidade espectral é a potência total irradiada por unidade deárea, por unidade de comprimento de onda, para uma dada temperatura

TI ,

Lei de deslocamento de Wien

O pico de distribuição dos comprimentos de onda se desloca para os comprimentos de ondas menores à medida que a temperatura se eleva

O deslocamento obedece à seguinte relação

TI ,

Modelo Clássico

Lei de Stefan-Boltzmann

A potência total da radiação emitida (a área da curva ) aumenta com a temperatura

4AeTI

Para o corpo negro a

emissividade e = 1

TI ,

Catástrofe do ultravioleta

Fórmula Rayleigh-Jeans

Lord Rayleigh usou as teorias clássicas do eletromagnetismo e da termodinâmica para mostrar que a distribuição espectral de um corpo negro deveria ser:

4

2

ckT

I

Para comprimentos de ondas grandes esta equação se ajusta aos resultados experimentais, mas para os comprimentos de onda curtos há uma discordância muito grande entre esta teoria e a experiência. Esta discordância é chamada de catástrofe do ultravioleta.

TI ,

Teoria de Planck

Foi Planck, em 1900 (prémio Nobel em 1918), que resolveu o problema

Ele utilizou a estatística de Boltzmann para obter uma equação teórica que concordava com os resultados experimentais para todos os comprimentos de onda

1

125

2

kThce

hcI

Lei da Radiação de Planck

• Os osciladores (de origem electromagnética) podem ter apenas certas energias discretas:

nhfEn

• Os osciladores podem absorver ou emitir energia em múltiplos discretos de um quantum fundamental de energia dada por:

Planck fez duas modificações na teoria clássica:

onde n é um número inteiro, f é a frequência, e h é chamada de constante de Planck:

34106261.6 h

hfE

5.4 Efeito Fotoeléctrico e Efeito Compton

Métodos de emissão de electrões:

Efeito fotoeléctrico: Uma radiação electromagnética incide sobre o material e transfere energia para os electrões, permitindo que eles escapem do material. Chamamos a estes electrões ejectados de fotoeléctrões

Efeito Fotoeléctrico

Emissão Termiónica: aplicação de calor permite que os electrões ganhem energia suficiente para escapar do material

Emissão Secundária: o electrão do material ganha energia através de transferência de energia num processo de colisão com uma partícula de alta velocidade que incide neste material

Emissão de campo: um campo eléctrico externo intenso arranca o electrão para fora do material

Esquema de um Aparelho para o Efeito Fotoeléctrico

Os electrões são atraídos e colectados pela placa carregada positivamente

Medidor que indica o fluxo de electrões

Bateria

Os electrões são ejectados pela luz

Observações sobre o Efeito Fotoeléctrico

• A energia cinética dos fotoeléctrões é independente da intensidade da luz

• A energia cinética dos fotoeléctrões, para um dado material emissor, depende somente da frequência da luz

Electron kinetic energy

• Existe uma frequência de corte para a luz abaixo da qual nenhum fotoelectrão é ejectado (relacionado à função trabalho do material emissor)

A existência de uma frequência de corte é completamente inexplicável pela teoria clássica

Classicamente, a energia cinética dos fotoelectrões deveria aumentar com a intensidade da luz e não depender da frequência

Mais Observações sobre o Efeito Fotoeléctrico

• Quando fotoelectrões são produzidos, seu número é proporcional a intensidade da luz

A teoria clássica prediz que, para intensidades extremamente baixas da luz, um longo período de tempo deveria se passar antes que qualquer electrão pudesse obter energia suficiente para escapar do foto cátodo. Entretanto, foi observado, que os fotoelectrões eram ejectados quase que imediatamente

• Também, os fotoelectrões são emitidos quase instantaneamente assim que o foto cátodo é iluminado, independente da intensidade da luz

Einstein propõe uma explicação para o efeito fotoeléctrico

Generalizou o conceito da quantização de Planck, e supôs que a luz pode ser considerada como um feixe de quanta. Actualmente chamamos de fotões a esse quanta

Cada fotão tem um quantum de energia

E h

onde é a frequência da luz e h é a constante de Planck

E

Alternadamente

onde

Teoria de Einstein

2

h

Ele

ctro

n ki

neti

c en

ergy

Pela conservação de energia - Energia antes (fotão) = Energia depois (electrão)

onde é a função trabalho do metal (energia potencial a ser superada antes do electrão poder escapar)

21max2 vh m

Aplicamos uma diferença de potencial que cesse a corrente – é o potencial de corte (potencial frenador)

0VV

Pelo teorema trabalho-energia: KW

- trabalho realizado pelo campo eléctrico entre as placas

0máx eVK

0eVW

máxKh ou

Efeito Compton

Os fotões têm energia e momento linear

Quando um fotão penetra na matéria, ele pode interagir com um electrão e ser espalhado. Aplicando a lei da conservação da energia e do momento linear, obtemos:

/ /E hc p h

Deslocamento de Compton:A explicação do Efeito Fotoeléctrico e do Efeito Compton fornece uma forte evidência da natureza quântica da luz

5.5 Ondas de de Broglie

Louis V. de Broglie(1892-1987)

Em 1923 de Broglie postulou que: se os fotões têm características corpusculares e ondulatórias então talvez as outras formas de matéria também tenham essa natureza.

A energia do fotão pode ser escrita como:

ppchE

ou

ph

Então o comprimento de onda da matéria, chamado de comprimento de onda de de Broglie é:

p

h

Max von Laue sugeriu que se os raios X fossem uma forma de radiação electromagnética, deveriam ser observados efeitos de interferência cristais actuam como redes de difracção tridimensional, espalhando as ondas e produzindo efeitos de interferência observáveis.

Espalhamento de Raio X

William Lawrence Bragg interpretou o espalhamento de raios X

sin2dn (n = inteiro)

Experiência de Davisson e Germer

Davisson-Germer obteve a confirmação experimental da natureza ondulatória da partícula, ao medir o comprimento de onda do electrão (descoberta feita acidentalmente)

Em 1927 Davisson-Germer observaram experimentalmente que os electrões eram difractados (como os raios X) em cristais de níquel.

George P. Thomson (1892–1975), observou padrões de difracção de electrões ao passar electrões através das folhas muito finas de ouro

(a)(b)

(c)

(d)

Difracção

a) de um feixe de electrões por uma folha fina de ouro

b) produzida por raio X em óxido de zircónio

c) de neutrões de um reactor nuclear por um monocristal de cloreto de sódio

d) de raio X por um monocristal de cloreto de sódio

Experimento de Fenda Dupla para o Electrão

Em 1961 C. Jönsson em Tübingen, Alemanha, mostrou efeitos de interferência num experimento de fenda dupla, para electrões, construindo fendas muito estreitas e considerando distâncias relativamente grandes entre estas fendas e a tela de observação.

Este experimento demonstrou que tanto a luz (ondas) como os electrões (partículas) têm o mesmo comportamento

Fonte de electrões

Tela

P12

P1

P2

5.6 Ondas ou Partículas?

O resultado de diminuir a intensidade da luz no experimento de duas fendas de Young é projectar na tela alguns fotões. Uma vez que fotões são partículas, cada um pode passar por apenas uma fenda, assim, para intensidades muito baixas, a distribuição dos fotões na tela deveria ser a mesma observada para uma única fenda.

Realmente cada fotão passa através de ambas as fendas!

Você pode dizer através de qual fenda o fotão passou no experimento de fenda dupla de Young?

Quando bloqueamos uma fenda, o padrão de fenda única aparece

Two-slit pattern

One-slit pattern

Para baixas intensidades, o experimento de Young mostra que a luzse propaga como onda e é detectada como partícula

O electrão passa através de qual fenda?

- Ilumine a fenda dupla e observe com um microscópio. Depois que o electrão passa através da fenda, luz é reflectida pela fenda; ao observar a luz, podemos determinar através de qual fenda o electrão passou!

O momento linear do fotão

O momento linear do electrão

para poder distinguir as fendas

A difracção é significativa somente quando a abertura for ~

O momento linear dos fotões usado para determinar através de qual fenda o electrão passou é suficiente para modificar fortemente o momento linear do próprio electrão — mudando a direcção do electrão! A tentativa de identificar através de qual fenda o electrão passou irá modificar o padrão de interferência! Electrões também se propagam como ondas e são detectados como partículas

dph

el

Um electrão interage com as duas fendas simultaneamente

A Partícula Quântica

O reconhecimento da natureza dual, onda e partícula, leva a um novo modelo de simplificação, a partícula quântica

Características de uma partícula ideal - tem tamanho nulo e está localizada no espaço

Observamos que a característica essencial da partícula é a sua localização no espaço. Construímos uma entidade localizada a partir de ondas infinitamente longas

f1

f2

Resultado da combinação de duas ondas ideais com frequências ligeiramente diferentes

Interferência destrutiva

Interferência construtiva

Características de uma onda ideal - única frequência e um comprimento infinito

Se são combinadas muitas ondas, o resultado é um pacote de ondas que representa uma partícula

Pacote de ondas

5.7 Princípio da Incerteza de Heisenberg

Werner Heisenberg (1901-1976)

2

xpx

De acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg (1927), é fisicamente impossível medir a posição exacta e o momento linear exacto de uma partícula

O princípio da incerteza afirma que, se é feita uma medida da posição de uma partícula com uma incerteza

e uma medida simultânea do seu momento, com uma incerteza o produto das duas incertezas nunca pode ser menor do que :

xxp

2/

O acto de fazer uma medida perturba outra medida

Princípio de incerteza para tempo-energia

Podemos violar a conservação da energia por um valor desde que o façamos por um curto intervalo de tempo

E

t

5.8 Uma Interpretação da Mecânica Quântica

A ondulação é a Probabilidade

A amplitude da onda associada à partícula

2)()( xxP

A função de onda determina a probabilidade de encontrar a partícula numa determinada posição no espaço num dado tempo

é a amplitude de probabilidade ou função de onda; é uma variável complexa

2

1

2( )

x

x

x dx2

( ) 1x dx

Como a partícula tem de estar em algum lugar do eixo x, a soma das probabilidades sobre todos os valores de x tem que ser igual a 1

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo

21 xxx

5.9 Equação de Schrödinger

A equação onda de Schrödinger (1926) dependente do tempo para uma partícula de energia E que se move num potencial V é:

1i

txVV ,

A Equação de Schrödinger dependente do tempo é uma equação fundamental da Mecânica Quântica

OBS. A equação de onda para a partícula difere da equação da onda electromagnética ou da equação da onda mecânica:

A equação de Schrödinger tem uma derivada primeira em relação ao tempo enquanto essas equações têm uma derivada segunda em relação ao tempo.

2

2

22

2 ),(1),(

t

txy

vx

txy

2

2

22

2 ),(1),(

t

txB

cx

txB

e

Equação de Schrödinger dependente do tempo

Erwin Schrödinger (1887-1961)

• O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo

Equação de Schrödinger independente do tempo

Substituindo essa solução na equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo

é uma equação tão fundamental em Mecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo

• A dependência com o tempo e com a posição podem ser separados na equação de onda de Schrödinger. Podemos escrever

5.10 Partícula num Poço de Potencial Quadrado

x0 L

Partícula num Poço de Potencial Quadrado Infinito

Partícula confinada numa caixa com paredes rígidas

A partícula foi analisada utilizando a equação de Schrödinger

A energia é quantizada e diferente de zero

É chamado de estado fundamentalquando n = 1

Partícula num Poço de Potencial Quadrado Finito

Supomos E < V0

• A equação de onda é contínua onde as regiões se encontram

• A função de onda não é zero fora da caixa

• A partícula é transmitida através das paredes

A profundidade nas regiões fora da região II

viola as leis da física clássica e é proporcional a constante de Planck

5.11 Barreira de Potencial e Tunelamento

Considere uma partícula com energia E que se aproxima de uma barreira de potencial de altura V0. O potencial em qualquer outro lugar é zero

Primeiro caso - A energia E é maior que a barreira de potencial V0

A partícula pode ser reflectida ou transmitida com a probabilidade

R + T = 1

Segundo caso – A energia E é menor que a barreira de potencial V0.

É uma situação onde classicamente a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira de potencial, e é reflectida pela barreira

Existe uma probabilidade finita de que a partícula possa penetrar a barreira e mesmo, emergir do outro lado!

De acordo com a mecânica quântica, todas as regiões são acessíveis para a partícula independentemente da energia da partícula

Este fenómeno chama-se tunelamento É um fenómeno quântico

Função de onda de Tunelamento

A violação da física clássica é permitida pelo princípio da incerteza

A partícula pode contrariar a física clássica de por um curto período de tempo

E

Et

~

Aplicações do tunelamento

Díodo túnel

Junção

Decaimento alfa

Microscópio de varredura por tunelamento

5.12 Poço de Potencial

Considere uma partícula com energia E que se aproxima de um poço de potencial de profundidade V0

VKE

Energia total da partícula

Na região antes de chegar ao poço

0V KE

Do ponto de vista clássico, na região do poço a partícula aumenta a sua velocidade, porque

0' VKE 0' VEK

De acordo com a mecânica quântica poderá gerar uma reflexão ou transmissão quase puras para certos comprimentos de onda, porque devido as ondas incidentes e reflectidas, pode haver um cancelamento dentro do poço.