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ONDAS E PARTÍCULAS Luz Onda (interferência final do século XIX) versus partícula (efeito fotoelétrico virada do século XIX para XX) Possui caráter dual sob determinadas condições sua característica ondulatória deve ser considerada; sob outras condições seu comportamento corpuscular deve ser considerado Matéria Também deve apresentar caráter dual! Louis de Broglie (1924) característica dual onda/partícula para a matéria caráter ondulatório dos elétrons prêmio Nobel em 1929 acompanhando os elétrons deve existir uma onda que guia, ou pilota cada elétron através do espaço

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ONDAS E PARTÍCULAS

Luz

Onda (interferência – final do século XIX) versus partícula (efeito fotoelétrico –virada do século XIX para XX)

Possui caráter dual

sob determinadas condições sua característica ondulatória deve ser considerada;

sob outras condições seu comportamento corpuscular deve ser considerado

Matéria

Também deve apresentar caráter dual!

Louis de Broglie (1924)

característica dual onda/partícula para a matéria

caráter ondulatório dos elétrons – prêmio Nobel em 1929

acompanhando os elétrons deve existir uma onda que guia, ou pilota cada elétron através do espaço

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“Por um lado, a teoria quântica da luz não pode ser considerada satisfatória, pois ela define a energia do corpúsculo de luz pela equação E = h, que contém a frequência . Dessa forma, uma teoria puramente corpuscular nada contém que nos possibilite definir a frequência ; somos compelidos, no caso da luz, a introduzir simultaneamente a idéia de corpúsculo e de periodicidade.

Por outro lado, a determinação do movimento estável dos elétrons no átomo introduz o conceito de inteiros, e, até o momento, os únicos fenômenos envolvendo inteiros na física são a interferência e os modos normais de vibração.

Tal fato sugeriu-me a idéia de que também os elétrons não podem ser considerados apenas como corpúsculos, mas que uma periodicidadedeve ser associada a eles.”

de Broglie, fala ao receber o prêmio Nobel em 1929.

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Segundo de Broglie, o comportamento dual também se aplica à matéria

Fóton: tem associado a ele uma onda luminosa, que governa seu movimento

Matéria: tem associada a ela uma onda de matéria, que governa seu movimento

Comprimento de onda de de Broglie

Para a luz vale:

Portanto, por analogia, para a matéria deve valer:

⇒𝑝 = 𝑚𝑐 =𝑚𝑐2

𝑐=

𝐸

𝑐=

𝑕𝜈

𝑐=

𝑕

𝜆 𝜆 =

𝑕

𝑝

𝜆 =𝑕

𝑝=

𝑕

𝑚𝑣 𝜆 =

𝑕

𝑚𝑣 ⇒ relação de de Broglie

SIMETRIA DA NATUREZA

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Matéria e radiação

Energia:

Momento:

Exemplo

Bola de beisebol

m = 1 kg

v = 10 m/s

Elétron

E = 100 eV

Comportamento ondulatório do elétron pode ser detectado;Comportamento ondulatório da bola de beisebol não pode ser detectado!!!

𝐸 = 𝑕𝜈

𝑝 = 𝑕/𝜆

⇒ = 6,6 .10-25 Å

⇒ = 1,2 Å

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Primeira confirmação (teórica) para a hipótese de de Broglie

Estados estacionários do modelo de Bohr para o átomo

raios das possíveis órbitas eletrônicas estáveis do elétron são dados pela equação de quantização

(postulado de Bohr)

portanto

usando a relação de de Broglie encontramos

ou seja, em um átomo somente serão permitidas as trajetórias eletrônicas estáveis cujo perímetro for um múltiplo do comprimento de onda associado ao elétron

⇒ Concordância entre a relação de de Broglie e o postulado de Bohr (concordância entre teorias)

⇒ Falta base experimental

𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛𝑕

2𝜋= 𝑛ℏ

2𝜋𝑟 = 𝑛𝑕

𝑚𝑣

2𝜋𝑟 = 𝑛𝜆

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Passos em direção a uma base experimental

De Broglie sugere (1924) que um feixe de elétrons deveria apresentar difração ao atravessar um pequeno orifício

Einstein reporta (1925) a necessidade de se postular ondas de matéria a partir de uma análise das flutuações em um gás de moléculas

Einstein observa (1925) pequenos, porém mensuráveis efeitos de difração devido a um feixe de moléculas

Walter Elsasser sugere (1926) que os experimentos realizados por Clinton Davisson com espalhamento de elétrons poderiam ser explicados por difração de elétrons

Clinton Davisson e Lester Germer (EUA), e George P. Thomson (Inglaterra) demonstram simultanea- e independendemente (1927) a natureza ondulatória dos elétrons

Davisson e Germer descobriram o efeito acidentalmente

G.P. Thomson (filho de J.J. Thomson) descobriu a propriedade ondulatória do elétron, enquanto que seu pai descobriu a natureza corpuscular do elétron

Experimento de Davisson e Germer: difração de Bragg em um monocristal, por elétrons

Experimento de Thomson: difração de Debye-Scherrer em um policristal, por elétrons

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Experimento de Davisson-Germer

Concepção original: analisar o arranjo dos átomos na superfície de uma amostra de níquel, através do espalhamento elástico de um feixe de elétrons de baixa velocidade pelo alvo de policristalino

análise da intensidade espalhada em funçãodo ângulo entre o feixe incidente e o alvodo ângulo de espalhamentoda ddp V aceleradora dos elétrons

resultados pareciam um tanto quanto monótonos

Acidentalmente: foi conectada uma garrafa de ar líquido ao sistema, rompendo-se o vácuo e resultando na oxidação do alvo de níquel que estava em alta temperatura

a fim de se remover o óxido a amostra foi reduzida por um cuidadoso aquecimento sob um fluxo corrente de hidrogênio

resultados totalmente novos foram obtidos após ser remontado o sistema

ocorrido: o aquecimento prolongado havia causado o desenvolvimento de regiões monocristalinas na amostra

inesperados e estranhos resultados encontrados deviam-se à difração de elétrons em um monocristal

prosseguimento de seus experimentos e sua análise culminaram, em 1927, com a prova de que os elétrons sofrem difração com um comprimento de onda dado por

𝜆 =𝑕

𝑝

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cátodo (filamento incandescente)

detector móvel

alvo de níquel (monocristal)

feixe de elétrons

ânodo

Adaptado de http://www.leif iphysik.de/web_ph11_g8/versuche/07davisson/davisson.htm

44 V 48 V 54 V 64 V 68 V

= 50°

= 0°

= 90° (°)

0 25 50 75

corr

ente

no

cole

tor

(u.a

)

Diagramas polares de em diferentes voltagens V, para = 90° – interferência Intensidade x , para V = 54 V

Montagem experimental

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Resultados obtidos

diagramas polares para diversas voltagens, para = 90°, mostram que a intensidade de corrente medida no coletor é máxima ⇒ para V = 54 V

⇒ em = 50°

cálculo do comprimento de onda de de Broglie ⇒ h = 6,626 .10-34 J.s⇒ m = 9,11 .10-31 kg⇒ V = 54 V ⇒ K = 54 .1,6 .10-19 J

portanto, se estiver ocorrendo o fenômeno de difração por elétrons, o comprimento de onda associado ao élétron vale = 1,67 Å

Experimento de raios-X com o MESMO cristal

obteve-se o espaçamento entre os planos cristalinos d = 2,15 Å

condição de Bragg para o feixe difratado ⇒ = 50°

excelente concordância entre dB e exp ⇒ provam a validade da equação de de Broglie

⇒ provam caráter ondulatório do elétron (difração)

⇒ = 1,67 Å

⇒ = 1,65 Å

𝜆𝑑𝐵 =𝑕

𝑝=

𝑕

2𝑚𝐾

𝑑 sin 𝜃 = 𝜆𝑒𝑥𝑝 (𝑛 = 1)

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Dualidade onda-partícula

Física clássica

entes são partículas ou ondas

Início do século XX

teoria ondulatória de Maxwell à radiação + descoberta de partículas elementares de matéria (nêutron, pósitron)

dualidade onda-partícula: modelo ondulatório versus modelo corpuscular

apenas um modelo se aplica, dependendo das circunstâncias: ente pode atuar como partícula (localizada) ou como onda (não localizada), mas não como ambos simultaneamente

Princípio da Complementariedade

Niels Bohr (1927)

modelo corpuscular e ondulatório são complementares: se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível provar seu caráter corpuscular na mesma medida

radiação e matéria não são apenas ondas, ou apenas partículas ⇒ caráter mais geral

situações extremas: pode ser aplicado um modelo mais simples, ondulatório ou corpuscular

ligação entre os dois modelos ⇒ interpretação probabilística da dualidade onda-partícula

radiação: Albert Einstein matéria: Max Born

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Modelo simples da radiação

Ondulatório

: campo elétrico

I : intensidade da radiação; energia radiante contida em uma unidade de volume (valor médio do vetor de Poynting)

Corpuscular

N : número médio de fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade de área perpendicular à direção de propagação

I : intensidade da radiação

Albert Einstein (1905) ⇒ sugere pela primeira vez (ef. fotoelétrico) que

I (intensidade da luz) N (número médio de fótons)

Unificação onda-partícula para a radiação

𝐼 =1

𝜇0𝑐𝜀2

𝐼 = 𝑁𝑕𝜈

𝜀2 = 𝑁 𝐼 =1

𝜇0𝑐𝜀2 = 𝑁𝑕𝜈 ⇒

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Comparando radiação e matéria

Onda de radiação

onda de radiação associada a um fóton: satisfaz a equação da onda de Maxwell

medida da probabilidade de encontrar um fóton em uma certa região em um dado instante

ondas superpostas: vale o princípio de superposição

Onda de matéria

onda de matéria associada a uma partícula: satisfaz a equação de Schrödinger

medida da probabilidade de encontrar uma partícula em um dado ponto em um dado instante

ondas superpostas: vale o princípio de superposição

Diferenças fundamentais entre onda e partícula

Ondas podem se sobrepor de forma a se cancelarem (fora de fase; interferência destrutiva)

Partículas não podem se combinar de forma a se cancelarem

Ondas são delocalizadas no espaço

Partículas são localizadas no espaço

𝜀 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝐴 sin 2𝜋 𝑥

𝜆− 𝜈𝑡

𝜀2

𝜀 = 𝜀1 + 𝜀2

𝜓 𝑥,𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 −𝜔𝑡

𝜓2

𝜓 = 𝜓1 + 𝜓2

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Ondas versus pacotes de ondas

Onda – delocalizada – se extende até o infinito

Pacote de duas ondas – regiões localizadas

chamando

substituindo na equação para A(x,t), usando as relações trigonométricas

chegaremos à equação para o pacote de duas ondas:

𝑘 =𝑘1 + 𝑘2

2 Δ𝑘 =

𝑘1 − 𝑘2

2 ⟹ 𝑘1 = 𝑘 + Δ𝑘

𝑘2 = 𝑘 − Δ𝑘

𝜔 =𝜔1 + 𝜔2

2 Δ𝜔 =

𝜔1 − 𝜔2

2 ⟹ 𝜔1 = 𝜔 + Δ𝜔

𝜔2 = 𝜔 − Δ𝜔

𝐴1 𝑥, 𝑡 = 𝐴0 sin 𝑘1𝑥 −𝜔1𝑡

𝐴2 𝑥,𝑡 = 𝐴0 sin 𝑘2𝑥 −𝜔2𝑡

sin 𝐴 ± 𝐵 = sin 𝐴 cos𝐵 ± sin 𝐵 cos𝐴

cos 𝐴 ± 𝐵 = cos𝐴 cos𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴1 𝑥, 𝑡 + 𝐴2 𝑥, 𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴0 sin 𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡 + sin 𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝐴0 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 cos Δ𝑘𝑥 − Δ𝜔𝑡

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A1

A2

A1 +A2

A0sin

2A0cos

2A0sin.cos

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝐴0 sin 𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡 + sin 𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡 = 2𝐴0 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 cos Δ𝑘𝑥 − Δ𝜔𝑡

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2 ondas infinitas ondas

3 ondas

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Pacote de infinitas ondas – 1 pacote localizado

Forma mais geral de uma onda:

Pacote com inf initas ondas de números de onda desde até ( )

e k são dependentes:

Expandindo em Série de Taylor, em torno de k k0 :

Substituindo na equação:

Chamando os limites de integração passam a

𝜓𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 = 𝑎 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑖 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝜓𝑘 𝑥, 𝑡 𝑑𝑘

𝑘0+Δ𝑘

𝑘0−Δ𝑘

= 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 𝑑𝑘

𝑘0+Δ𝑘

𝑘0−Δ𝑘

𝐸 =𝑝2

2𝑚 ⟹ ℏ𝜔 =

ℏ2𝑘2

2𝑚 ⟹ 𝜔 =

2𝑚𝑘2

𝜔 = 𝜔0 + 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑘 − 𝑘0 + ⋯

𝑘0 − Δ𝑘 𝑘0 + Δ𝑘 𝑘0 − Δ𝑘 ≤ 𝑘 ≤ 𝑘0 + Δ𝑘

𝑘 − 𝑘0 = 𝜁 𝑘 = 𝑘0 − Δ𝑘 ⟶ 𝜁 = −Δ𝑘

𝑘 = 𝑘0 + Δ𝑘 ⟶ 𝜁 = +Δ𝑘

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔0𝑡−

𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑘−𝑘0 𝑡 𝑑𝑘

𝑘0+Δ𝑘

𝑘0−Δ𝑘

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Substituindo:

Lembrando que:

a integral f ica:

Paridade das funções trigonométricas:

cosseno é uma função par

seno é uma função ímpar

𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃

2= cos 𝜃

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃

2𝑖= sin 𝜃

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

cos

+Δ𝑘

−Δ𝑘

= 2 cos

Δ𝑘

0

sin

+Δ𝑘

−Δ𝑘

= 0

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 + 𝑖 sin 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 cos 𝜁 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 𝑑𝜁

+Δ𝑘

−Δ𝑘

+ 𝑖 sin 𝜁 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 𝑑𝜁

+Δ𝑘

−Δ𝑘

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝑎𝑒𝑖 𝜁𝑥+𝑘0𝑥−𝜔0𝑡−

𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝜁𝑡 𝑑𝜁

+Δ𝑘

−Δ𝑘

= 𝑎𝑒𝑖 𝑘0𝑥−𝜔0𝑡 𝑒𝑖𝜁 𝑥−

𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡 𝑑𝜁

+Δ𝑘

−Δ𝑘

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A equação f ica, portanto:

Tomando apenas a parte real:

Onda senoidal Modulação – função sinc 𝜙 = sin 𝜙

𝜙

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 + 𝑖 sin 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 cos 𝜁 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 𝑑𝜁

Δ𝑘

0

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 + 𝑖 sin 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

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𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

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Simetria das variáveis x e t: pacotes de infinitas ondas

Forma mais geral de uma onda:

(i) Pacote com inf initas ondas de números de onda desde até ( )

Solução

(ii) Pacote com inf initas ondas de f requência angular desde até ( )

Solução

𝜓𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 = 𝑎 cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑖 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝜓𝑘 𝑥, 𝑡 𝑑𝑘

𝑘0+Δ𝑘

𝑘0−Δ𝑘

= 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 𝑑𝑘

𝑘0+Δ𝑘

𝑘0−Δ𝑘

𝑘0 − Δ𝑘 ≤ 𝑘 ≤ 𝑘0 + Δ𝑘

𝜔0 −Δ𝜔 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔0 + Δ𝜔 𝜔0 − Δ𝜔 𝜔0 + Δ𝜔

𝑘0 −Δ𝑘 𝑘0 + Δ𝑘

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝜓𝜔 𝑥, 𝑡 𝑑𝜔

𝜔0+Δ𝜔

𝜔0−Δ𝜔

= 𝑎𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 𝑑𝜔

𝜔0+Δ𝜔

𝜔0−Δ𝜔

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝑘

𝑑𝜔 𝜔0

𝑡 Δ𝜔

𝑥 − 𝑑𝑘𝑑𝜔

𝜔0

𝑡

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Resumindo

Onda – delocalizada – se extende até o infinito

Pacote de duas ondas – regiões localizadas

Pacote de infinitas ondas – função localizada

𝜓 𝑥,𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 −𝜔𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝐴0 sin 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 cos Δ𝑘𝑥 − Δ𝜔𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 sin

𝑑𝑘𝑑𝜔

𝜔0

𝑥 − 𝑡 Δ𝜔

𝑑𝑘𝑑𝜔

𝜔0

𝑥 − 𝑡

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

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Velocidade da partícula e da onda de matéria a ela associada

O máximo da onda moduladora se move à velocidade de grupo

Lembrando que

a velocidade de grupo será

Relacionando a onda à partícula, usando a relação de de Broglie, teremos

e portanto a velocidade da partícula está relacionada à velocidade de grupo da onda a ela associada

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

𝜔 =ℏ

2𝑚𝑘2 ⟹

𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

= ℏ𝑘0

𝑚

𝑣𝑔 = 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑣𝑔 =ℏ𝑘0

𝑚

𝑝 = ℏ𝑘0 = 𝑚𝑣partícula ⟹ 𝑣partícula = ℏ𝑘0

𝑚

𝑣partícula = 𝑣grupo = 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

vg

vf

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O máximo da onda modulada se move à velocidade de fase

Novamente, lembrando que

a velocidade de fase será

e portanto a velocidade da partícula está relacionada à velocidade de fase da onda a ela associada

A onda de de Broglie (pacote de infinitas ondas) descreve muito bem uma partícula

é localizada

sua velocidade de grupo é idêntica à velocidade da partícula

Podemos, então, descrever o movimento de uma partícula através de um pacote de ondas? NÃO!!!

PACOTES DE ONDAS MODIFICAM SUA FORMA NO TEMPO: SE DESMANCHAM

𝑣𝑓 =𝜔0

𝑘0

𝜔 =ℏ

2𝑚𝑘2 ⟹

𝜔0

𝑘0=

ℏ𝑘0

2𝑚=

𝑣𝑔

2

𝑣partícula = 2𝑣fase = 2𝜔0

𝑘0

𝑣𝑓 =𝑣𝑔

2

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Princípio de Incerteza (x e p)

Estimativa da largura do pacote (distância entre os zeros à esquerda e à direita)

A distância entre os dois zeros será, portanto,

de forma que a precisão é

Lembrando que chegamos a

sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘 = 0 𝑥𝑒 = sin −𝜋

𝑥𝑑 = sin +𝜋

𝑥𝑒 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘 = −𝜋

𝑥𝑑 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘 = +𝜋

Δ𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑥𝑑 −𝑥𝑒 =2𝜋

Δ𝑘

Δ𝑥 ≥ Δ𝑥𝑚𝑖𝑛 ⟹ Δ𝑥 ≥2𝜋

Δ𝑘 Δ𝑝 = ℏΔ𝑘

Δ𝑝 = ℏΔ𝑘

Δ𝑥.Δ𝑝 ≥ 2𝜋ℏ princípio de incerteza

x

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥 − 𝜔0𝑡 sin 𝑥 − 𝑑𝜔

𝑑𝑘 𝑘0

𝑡 Δ𝑘

𝑥 − 𝑑𝜔𝑑𝑘

𝑘0

𝑡

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Princípio de Incerteza (t e E)

Estimativa da largura do pacote (distância entre os zeros à esquerda e à direita)

A distância entre os dois zeros será, portanto,

de forma que a precisão é

Lembrando que chegamos a

t

𝜓 𝑥, 𝑡 = 2𝑎 cos 𝑘0𝑥− 𝜔0𝑡 sin

𝑑𝑘𝑑𝜔

𝜔0

𝑥 − 𝑡 Δ𝜔

𝑑𝑘𝑑𝜔

𝜔0

𝑥 − 𝑡

sin 𝑥 − 𝑑𝑘

𝑑𝜔 𝜔0

𝑡 Δ𝜔 = 0 𝑡𝑒 = sin −𝜋

𝑡𝑑 = sin +𝜋

𝑑𝑘

𝑑𝜔 𝜔0

𝑥 − 𝑡𝑒 Δ𝜔 = −𝜋

𝑑𝑘

𝑑𝜔 𝜔0

𝑥 − 𝑡𝑑 Δ𝜔 = +𝜋

Δ𝑡𝑚𝑖𝑛 = 𝑡𝑑 − 𝑡𝑒 =2𝜋

Δ𝜔

Δ𝑡 ≥ Δ𝑡𝑚𝑖𝑛 ⟹ Δ𝑡 ≥2𝜋

Δ𝜔

Δ𝐸 = ℏΔ𝜔

princípio de incertezaΔ𝑡.Δ𝐸 ≥ 2𝜋ℏ

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Princípio de Incerteza de Heisenberg

Definindo x e t como sendo a meia largura à meia altura, aparece um fator ½ nas equações

Essas duas equações foram apresentadas por Werner Heisenberg, em 1927

No mundo macroscópico, como é muito pequeno x e t são muito pequenos

e não tomamos presença do princípio de incerteza

𝑥 ≫ Δ𝑥 𝑝 ≫ Δ𝑝

𝑡 ≫ Δ𝑡

𝐸 ≫ Δ𝐸

Δ𝑥.Δ𝑝 ≥ 𝜋ℏ

Δ𝑡.Δ𝐸 ≥ 𝜋ℏ

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No mundo microscópico: um exemplo

Um elétron se move na direção horizontal (y); queremos determinar sua coordenada x.

Experimento – colocamos uma fenda (largura d = x) no caminho do elétron

se ele passar pela fenda, saberemos sua coordenada x com uma imprecisão x

a fenda colocada provoca difração comportamento ondulatório

a projeção px do momento no eixo x fornece sua imprecisão p

multiplicando as duas equações, obtemos

(fator 2: forma de definir a imprecisão)

elétron

fenda

anteparo

primeiro mínimo

primeiro mínimo

máximo da

difração

py

pxd

y

x

py

Δ𝑝 ≥ 𝑝 sin 𝜃 =𝑕

𝜆sin 𝜃 ⟹ Δ𝑝 ≥

𝑕

𝜆sin 𝜃

𝑑 sin 𝜃 = Δ𝑥 sin 𝜃 = 𝜆 ⟹ Δ𝑥 =𝜆

sin 𝜃

Δ𝑥.Δ𝑝 ≥ 𝑕

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Com a fenda e o anteparo: obtivemos informações a respeito da posição x do elétron (imprecisão x)

perdemos resolução em seu momento p (imprecisão p)

Sem a fenda e o anteparo: o elétron iria se mover na direção y

saberíamos o valor exato de seu momento py (px = 0) (p = 0)

não teríamos nenhuma informação a respeito de sua posição x (x = )